2013.06.13 毕业论文 基于Rhino的有限元网格离散技术研究

上海工程技术大学

毕业设计论文

题目：基于Rhino的有限元网格离散技术研究学院：电子电气工程学院

专业：自动化

学号： 021209120 学生：裴远亮

教师：田瑾

目录

摘要 (1)

ABSTRACT (2)

0 引言 (4)

1 有限元法 (5)

1.1 有限元法的基本原理 (5)

1.1.1 有限元法基本思想 (5)

1.1.2 有限元法几个基本概念 (5)

1.2 有限元求解的基本步骤 (6)

1.2.1 区域离散 (6)

1.2.2 插值函数的选择 (8)

1.2.3 方程组公式的建立 (8)

1.2.4 方程组的求解 (11)

1.3 有限元法的应用 (13)

2 Rhino建模技术及网格剖分 (14)

2.1 Rhino软件简介 (14)

2.2 Rhino实体建模技术 (16)

2.2.1基本几何体创建 (16)

2.2.2 实体工具 (18)

2.3 网格剖分 (21)

2.3.1 有限元网格剖分的基本原则 (21)

2.3.2 有限元网格生成的方法 (23)

2.3.3 网格质量的度量准则 (27)

2.3.4 Rhino网格工具 (28)

2.4 模型及四面体网格剖分实例 (33)

2.4.1 矩形腔体 (33)

2.4.2 圆柱腔体 (35)

2.4.3 阶梯模型 (36)

3 有限元计算 (39)

3.1 矩形腔体计算 (39)

3.2 圆柱腔体计算 (40)

4 结束语 (41)

5 参考文献 (42)

6 译文 (44)

7 原文说明 (55)

摘要

本文首先对有限元法的基本原理进行简要的叙述，指出了四面体网格在有限元分析中的使用及四面体网格剖分的难点和现状，使用了Rhino 软件建立三维几何模型并对模型进行四面体网格自动剖分，提取网格数据，再转换成有限元计算所需数据，并进行有限元计算。本文的主要内容有以下几个方面：

（1）对有限元法基本原理的学习,其中重点偏向三维有限元分析。以及有限元网格剖分的研究，其中重点是对四面体网格自动剖分进行了研究和叙述，并提出了现今四面体网格单元质量的度量准则和几种常用的算法。

（2）在Rhino建模功能的基础上，建立简单矩形腔体模型和其他复杂模型，本利用Rhino的网格工具对其进行四面体网格自动剖分，并提取网格数据。在Fortran语言环境下将提取网格数据转换成有限元计算所需的网格数据。

（3）最后就是在运用前面所提到有限元分析的基本求解步骤和网格剖分的基础理论条件下，利用我们提取转换的有限元计算所需的网格数据对矩形腔体模型进行相关的有限元计算。

关键词：有限元分析，网格自动剖分，Rhino建模，四面体网格

Study of Finite Element Mesh Discretization Technique in Rhino

ABSTRACT

Firstly,basic principles of the finite element method provides a brief description in this paper. It was then pointed out the advantage of tetrahedral mesh on analyze with the finite element method and the difficulty of the automatic generation technique of tetrahedral mesh. a three-dimensional geometric model and the model tetrahedral mesh automatic generation in Rhino, and extraction grid data, converted to the required data finite element calculation and finite element calculations. The main contents of the following aspects:

(1)Become skilled at the basic principles of the finite element method , Which tend to focus on three-dimensional finite element analysis .And the finite element mesh research, which focuses on tetrahedral mesh automatic generation were studied and described. And put forward today tetrahedral mesh element quality measurement criteria, and several commonly used algorithms.

(2)Based on modeling capabilities in Rhino, the establishment of a simple rectangular cavity and other complex models, and use the tools for their Rhino tetrahedral grid automatic mesh grid and grid data extraction. In Fortran language environment will extract data into a finite element mesh to calculate the required grid data.

(3)The final step is in the use of the previously mentioned finite element analysis of the basic steps and solve the basic theory of meshing conditions, using our transformation to extract the desired grid finite element

data model for the rectangular cavity associated with FEM .

Key words:finite element, automatic mesh subdivision, Rhino modeling, tetrahedral mesh

基于Rhino的有限元网格离散技术研究

裴远亮021209120

0 引言

得益于计算机技术的高速发展，有限元法已迅速从工程结构强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种应用广泛并且实用高效的数值分析方法。如今在工程分析法中，有限元分析法成为一种非常有效的方法，能够解决多种复杂工程问题。有限元法应用已经由弹性力学平面问题扩展到空间问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题，动力问题和波动问题。从固体力学发展到流体力学、传热学、电磁学等连续介质力学领域。随着计算机辅助前处理技术和计算机辅助后处理技术的发展，以及有限元法与计算机的结合，有限元法必将会获得更广泛的应用。

然而在进行有限元分析之前，必须对将要分析的几何模型进行网格离散，为保证计算的准确性，网格剖分需满足原来的模型以及有限元分析的要求，所以有限元网格的合理剖分在有限元法中占据着重要的位置。

但是和有限元高度发展的计算功能不相符的是，有限元与处理功能的网格自动剖分很弱。因此，对有限元网格生成技术的分析和研究，对发展有限元技术及实用化有重要的作用。本文利用Rhino的建模功能建立复杂几何模型，再对其进行有限元四面体网格剖分，并提取网格数据，并把网格数据转换成高质量的网格数据文件，再用在有限元计算。

1 有限元法

1.1 有限元法的基本原理

1.1.1 有限元法基本思想

我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出在连续体上任一点上未知量的值。因为点是无限多的，存在无限自由度的问题，很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问题，因此需要采用近似方法来处理。

其中最主要的是离散化方法，把问题归结为只求有限个离散点的数值，把无限自由度问题变成有限个自由度。把一个连续体分割成有限个单元，即把一个复杂的结构看成由有限个通过结点相连的单元组成的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构，以得到复杂问题的近似数值解。这种方法称为有限元法。

有限元法是一种以计算机为手段，通过离散化将研究对象变换成一个与原始结构近似的数学模型，再经过一系列规范化的步骤以求解相应参数的数值计算方法。所谓离散化就是将一个连续体分割成若干个通过结点相连的单元，这样一个有无限个自由度的结构就变换成一个具有有限个自由度的近似结构。该过程还包括对单元和结点进行编码以及局部坐标系和整体坐标系的确定。

1.1.2 有限元法几个基本概念

（1）单元：将求解工程结构看成是由许多小的、彼此用点连接的基本构件，称为单元。在有限元法中，单元用一组结点间相互作用的数值和刚度系数矩阵来描述。

（2）结点：单元与单元之间的连接点，称为结点。在有限元法中，结点就是空间中的坐标位置，它具有物理特性，且存在相互物理作用。

（3）有限元模型：有限元模型真实系统理想化的数学抽象。有一些形状简单的单元组成，单元之间通过结点连接。每个单元的特性是通过一些线性方程来描述的。作为一个整体，所有单元的组合就形成了整体结构的数学模型。

（4）有限元分析：利用数学近似的方法对几何模型进行模拟。并利用简单而又相互作用的单元，用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。

1.2 有限元求解的基本步骤

1.2.1 区域离散

在任何有限元分析中，区域离散（设置区域为Ω）是第一步，也是最重要的一步，因为区域离散的方式将影响计算内存需求、计算时间和数值结果的精度。在这一步骤中，全域Ω被分成许多小区域，用e

（e=1,2,3,…,M)表示，这里M表示子域总数。这些子域通常被称为单元。对于实际上是直线或曲线的一维区域单元通常是短直线，如图1.1（a)。对于二维区域，单元通常是小三角形或矩形，如图1.1（b）。对于三维区域，可剖分成四面体、三棱柱或矩形块，如图1.1（c），其中四面体是最简单、最适合离散任意体积区域的单元。在图1.2中，给出了表示三维区域用四面体网格有限元离散化的一个立方体。

(a) 直线（一维）

(b) 三角形和矩形（二维）

(c) 四面体、三棱柱和矩形块（三维）

图1.1 基本有限元

图1.2 立方体剖分效果

在多数有限元解中，问题是用与单元有关的结点上的为指数函数Φ表达的。例如，线性三角形单元有三个结点，线性四面体单元有四个结点。再次有必要描述一下这些结点。一个结点的完整描述应包括它的坐

标值、局部编码和全局编码。结点的局部编码表示它在单元中的位置，而全局编码表示它在整个系统中的位置。因为区域离散过程完全可以与其它步骤分开，所以，通常将它当作一项预处理工作。

1.2.2 插值函数的选择

有限元分析的第二步是选择能近似表达一个单元中未知解的插值函数。通常，插值函数可选择为一阶（线性）、二阶（二次）、或高阶多项式。尽管高阶多项式的精度较高，但通常得到的公式也比较复杂。因此，简单且基本的线性插值仍被广泛采用。一旦选定了多项式的阶数，我们就能导出一个单元未知解的表达式。以e 单元为例，可得到下列形式：

T e T e n j e j e j e N N N

}}{{}{}{~1Φ=Φ=Φ=Φ∑= …………(1.1)

式中，n 是单元中的结点数；e

j Φ是单元j 结点的Φ；e

j N 是插值函数，

通常也称为展开函数或基函数，e

j N 的最高阶被称为单元的阶。例如，若

e

j N 是线性函数，则单元e 是线性单元。函数e j N 的重要特征是：它们只有

在单元e 内才不为零，而在单元e 外均为零。

1.2.3 方程组公式的建立

第三步（也是有限元分析中的主要步骤）是导出方程组的公式。里兹变分和伽辽金方法均可用于这种目的。求解公式前我们先说明边值问题，典型的边值问题可用控制微分方程和边界条件来定义。微分方程可表示为：

f =Φ? ………………………………………………………………（1.2） 式中，?是微分方程，f 激励或加强函数，Φ是未知量。

（1） 里兹方法的求解公式

让我们考虑（1.2)式中的问题。为了简单起见，假设问题是实数值得。可得泛函数F 表示为：

)~()~(1

e M e e F F Φ=Φ∑= ………………………………………………………（1.3）

式中M 是组成全域的单元数，而

ΩΦ-ΩΦΦ=Φ??Ω

Ωd f d F e e e e e ~~~21)~(? ………………………………………（1.4） 将（1.1）式代入（1.4）式，得到

??Ω

ΞΩΦ-ΦΩΦ=d N f d N N F e T e e T e e T e e }{}{}{}{}{}{21? …………………（1.5） 写成矩阵形式

}{}{}]{[}{2

1e T e e e T e e b K F Φ-ΦΦ= ………………………………………（1.6） 其中][e K 是n n ?矩阵，}{e b 是1?n 的列向量，它们的元素为

Ω=?Ω

d N N K e

j e i e ij ? …………………………………………………………（1.7）

和

?Ω

Ω=d fN b e i e i ………………………………………………………………（1.8）

因为?是自伴算符，所以，单元矩阵][e K 是对称的。将（1.6）式代入（1.3）式，可得到

}){}{}]{[}{21()~(e T e e e T e M e

b K F Φ-ΦΦ=Φ∑ …………………………………（1.9） 通过求和运算，并采用全局结点编码，上式可写成

}{}{][}{2

1b K F T T Φ-Φ= …………………………………………………（1.10） 式中][K 是N N ?对称矩阵；N 是未知量或结点总数；}{Φ是1?N 的未知向量，其中元素是未知展开系数；}{b 是1?N 的已知向量。应用驻点条件，令F 对i Φ的偏导数为零：

0)(211

=-Φ+=Φ??∑=i j ji N

j ij i b K K F N i ,,3,2,1 =………………………（1.11）

即可的到方程组。因为][K 是对称的，ji ij K K =，因此，（1.11）式变成

0=-Φ=Φ??∑i j N j

ij i b K F N i ,,3,2,1 =……………………………………（1.12） 或写成矩阵形式：

}{}]{[b K =Φ ………………………………………………………………（1.13）

（2） 伽辽金方法的求解公式

上述方程组也可以用过伽辽金方法导出，对于（1.2）式，第e 个单元的残数加权为

Ω-Φ=?Ω

d f N R

e e i e i )~(? n i ,,3,2,1 =………………………………………（1.14）

将（1.1）式代入（1.14）式后得到

Ω-ΦΩ=??Ω

Ωd fN d N N R e i e T e e i e i }{}{? n i ,,3,2,1 =………………………（1.15）

也可写成矩阵形式

}{}]{[}{e e e e b K R -Φ= ……………………………………………………（1.16） 这里T e n e e e e R R R R R ],,,[}{321 =，矩阵元素e ij K 和e i b 分别于（1.7）式和（1.8）

式的相同。因为这里的算符?不必是自伴的，所以，单元矩阵][e K 也不必是对称的。既然与一结点有关的展开函数遍及所有和该结点直接相连的单元，那么，与结点i 有关的残数加权i R 是对所有直接和结点i 相连的单

元求和。所以，利用局部和全局编码的关系，我们可以扩展（1.16）式，然后将它对每一单元求和，得到

∑∑==-Φ==M

e e e e M e e

b K R R 11}{}]{[}{}{ ………………………………………（1.17） 式中，T n R R R R R ],,,[}{321 =。（1.17）式中求和号内的所有向量和矩阵都按前面描述的方式展开了。令（1.17）式等于零，可得方程组

}0{}){}]{([1=-Φ∑=e e M e e b K

…………………………………………………

（1.18）

在方程组（1.18）式能求得定解之前，必须应用所需的边界条件。有两类边界条件经常出现：一是狄利克雷边界条件，另一类是齐次罗曼边界条件。第一类边界是必要边界条件，它必须显式地加强加在计算中；第二类边界条件通常在求解过程中隐含地自动满足。这是这种原因，第二类边界条件通常称为自然边界条件。

可以看出，在这一步骤中，实际上有三个步骤。首先，应用两种方法中的任一种，写出单元方程组（1.6）式或（1.16）式。其次，将单元方程组对所有单元求和，得到方程组，这个过程叫做组合。最后。我们应用边界条件来得到方程组的最终形式。

1.2.4 方程组的求解

方程组的求解是有限元分析的最后一步。最终的方程组是下列两种形式之一：

}

Φ………………………………………………………………（1.19）

[b

K=

{

}

]{

或者

=

[Φ

ΦB

Aλ…………………………………………………………（1.20）[

}

]{

]{

}

方程（1.19）式是确定型的，它是从非齐次微分方程或非其次边界条件或从它们两者兼有的的问题中导出的。在电磁学中，确定性方程组通常与散射、辐射以及其它存在源或激励的确定性问题有关。而方程（1.20）式是本征值型的，它是从齐次控制微分方程和齐次边界条件导出的。在电磁学中，本征方程组通常与诸如波导中波传输和腔体中谐振等无源问题有关，在这种情形下，已知向量}

{K可写成

{b为零，矩阵}

]

-的形式，这里λ表示未知的本征值。

[B

Aλ

[

]

一旦解出}

{Φ的方程组，就能计算出所需的参数。例如电感、电容、输入阻抗和散射或辐射图等，并能用曲线、图形或彩色图片等形式表示

结果，这些形式更有意义并易于解释。这个最后步骤也称为后处理过程，完全可以同其它步骤分开处理。

对电磁学以及其他工程领域中的许多问题，有限元公式的最终结果是一组线性代数方程组如（1.19）式那样，有许多的算法可解（1.19）式。然而并不是所有的解法都适合用于求解有限元方程组，这里我们介绍一下常用的三角分解法和共轭梯度法。

（1）三角分解法

三角分解法是将原正方矩阵分解成一个上三角形矩阵或是排列的上三角形矩阵和一个下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求反矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。

（2）共轭梯度法

共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降方法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共轭方向，并沿这组方向进行搜素，求出目标函数的极小点。根据共轭方向基本性质，这种方法具有二次终止性。共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。正是基于共轭梯度法的优点，本文所涉及的有限元算例都是运用共轭梯度法求解。

1.3 有限元法的应用

目前，有限元法计算在许多工程计算中都有应用，例如流体力学、电磁学、工程结构等。我们这里就简单地介绍一下，有限元法在电磁电气方面的应用，如电机的电磁分布、电磁力、变形、转子运动、动态变化过程以及电子电力装置相结合等情况下的分析和特性预测及电机参数的计算等。有近些年比较新的内容。如传动调节器的计算等。还有变压器及其他电力系统元件，如高压线圈、输电线电缆、接地系统、输电线配电线的外部磁场、电晕等的分析。也有一些研究项目，例如核磁共振成像系统磁体、磁流体发电、电池物体发射以及电磁对人体影响等计算分析这些应用各具特色，它们的计算分析方法也不尽相同。

总的来说，可以根据这些应用中电磁现象的变化快慢程度分为三大类型，即静磁场、涡流场和高频场等。三维有限元静磁场计算目前还是比较成熟的。三维有限元涡流场的计算目前的目标主要是如何来减少计算量同时提高计算精度。高频场的有限元计算有其特殊性。出现了相应的一些新的方法。

对于高频场，位移电流不能忽视。其有限元法计算采用矢量磁位，仍具有介质交界处连续的特点，因此介质交界条件自动满足，不用考虑。对于高频场的处理有两种方法：一种是类似于涡流场情况，这是求解获得的是对应某个频率下的场量分布；另一种专门用于高频场的分析，即为特征值和特征矢量的计算。通过对特征值的计算分析，既能获得对于某个频率下场分布的完整的解，而且也能考察系统的其它一些特点如共振特性等。它特别适合于谐振腔、天线等装置设备的电磁有限元计算。

2 Rhino建模技术及网格剖分

2.1 Rhino软件简介

Rhino，中文名称犀牛，是一款超强的三维建模工具，大小才几十兆，硬件要求也很低。不过不要小瞧它，它包含了所有的NURBS建模功能，用它建模感觉非常流畅，所以大家经常用它来建模，然后导出高精度模型给其他三维软件使用。强大的曲面建造和优质的模型结构，使得它能够轻松自如的创建非常精确的工业产品、建筑、首饰、家具的三维模型。从设计稿、手绘到实际产品，或是只是一个简单的构思，Rhino所提供的曲面工具可以精确地制作所有用来作为彩现、动画、工程图、分析评估以及生产用的模型。Rhino可以在Windows系统中建立、编辑、分析和转换NURBS曲线、曲面和实体。不受复杂度、阶数级以及尺寸的限制。

Rhino也支援多边形网格和点云特色包括：不受约束的自由造形3D 建模工具以往您只能在二十至五十倍价格的同类型软件中找到这些工具。让您可以建立任何可以想象的造形。精确完全符合设计、快速成形、工程、分析和制造从飞机到珠宝所需的精确度。兼容性兼容于其它设计、制图、CAM、工程、分析、着色、动画以及插画软件。读取和修复难以处理的IGES档案。容易使用非常容易学习使用，让您可以专注于设计与想象而不必分心于软件的操作上。高效率不需要特别的硬设备，即使在一般的笔记型计算机上也可以执行。经济实惠普通的硬设备，容易上手，价格相当于一般的Windows软件，并且不需额外的维护费用。目前广泛的应用与韩国、台湾等工业设计发达的地区。

最后我们给出两个用Rhino创造的3D作品，如图2.1所示的汽车模型和图2.2所示的变形金刚。

图2.1 汽车模型

图2.2 变形金刚模型

2.2 Rhino实体建模技术

2.2.1基本几何体创建

Rhino中的基本几何体包括：立方体、球体、圆柱体、椭球体、圆管、圆锥、抛物面椎体、圆环等。如图2.3所示。

图2.3 Rhino中的基本几何体

关于这些基本几何体命令的使用，操作起来很简单，因此只简单叙述下，见图2.4所示。

图2.4 实体命令

以上的命令中，简单地介绍一下操作拉伸曲线出实体命令建立一个三棱体实体，具体过程，先用Rhino的直线工具在主体操作窗上，画一个如图2.5所示的三角形，再点击拉伸曲线出实体命令之后，选中三角形，按完成键，拖动三角形到合适的高度即可。建立的三棱体如图 2.6所示。

图2.5 三角形