48对勾函数最值的8种求法
专题48、关于求函数()10y x x x
=+>最小值的八种解法 【法一】均值不等式
0x >，12y x x ∴=+
≥，当且仅当1x x
=，即1x =的时候不等式取到“=”，∴当1x =时，min 2y = 【法二】判别式法
2110y x x yx x =+?-+=，若y 的最小值存在，则240y ?=-≥必存在，即2y ≥或2y ≤-（舍） 找到使2y =时，存在相应的x 即可，通过观察当1x =的时候，min 2y =
【法三】单调性定义
设120x x <<，()12121212121212121111()()1()x x f x f x x x x x x x x x x x x x ??--=-+-=--=- ??
?。 当对于任意的12,x x ，只有(]12,0,1x x ∈时，12()()0f x f x ->，∴此时()f x 单调递增； 当对于任意的12,x x ，只有()12,1,x x ∈+∞时，12()()0f x f x -<，∴此时()f x 单调递减。 ∴当1x =取到最小值，min (1)2y f ==
【法四】复合函数的单调性
2
12y x x =+=+
，t =在(0,)+∞单调递增，22y t =+在(,0)-∞单调递减，在[)0,+∞单调递增，又(0,1)(,0)x t ∈?∈-∞，[)1,x ∈+∞[)0,t ?∈+∞，∴原函数在(0,1)上单调递减；在[)1,+∞上单调递增，即当1x =取到最小值，min (1)2y f ==。
【法五】求一阶导
211'1y x y x x
=+?=-，当()0,1x ∈时，'0y <，函数单调递减；当[)1,x ∈+∞时，'0y >，函数单调递增。∴当1x =取到最小值，min (1)2y f ==。
【法六】三角代换
令tan x α=，0,2πα??∈ ???，则1cot x α=，12tan cot sin 2y x x ααα=+=+=，()0,20,2πααπ??∈?∈ ???
∴当4
πα=，即22πα=时，()max sin 21α=，min 2y =，显然此时1x =。 【法七】向量
1111y x x a b x x =+=?+?=?， 1,,(1,1)a x b x ??== ???
，a b ?cos 2cos a b a θθ=?=，根据图象，
a 为起点在原点，终点在1(y x
=cos a θ的几何意义为a 在b 上的投影，
显然当a b =时，cos a θ取得最小值。此时，1x =，min 2y ==。
【法八】转化为距离问题
11y x x x x ??=+=-- ???
，即y 表示函数y x =和y x =-两者之间的距离，求min y ，即为求两曲线竖直距离的最小值。平移直线y x =，显然当y x =与1y x
=-相切时，两曲线竖直距离最小。
1y x =-关于直线y x =-轴对称，若根据对称性，在01x <<处也必有一个交点，即此时y x =与y 所以，切点一定为(1,1)-点。此时，1x =，min 2y =。
基本不等式—最值—对勾函数耐克函数(学案 附答案)
基本不等式——形式一：a b +≥(a>0,b>0) ____a b +（ ） ——形式二： 2 a b +≥ (a__0,b__0) __ (a >0,b >0) 2 a b + ——形式三：2 2a b ab +?? ≤ ??? （ ） (a>0,b>0)2 a b +≤ 2 a b +？ 用分析法证明：要证 2 a b + （1） 只要证 a b +≥ （2） 要证（2），只要证____0a b +-≥ （3） 要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4） 显然（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立. 探究3：使用基本不等式的三个条件：一正二定三相等 思考：（1）已知y=x+x 1 ( x>0 ) ，求y 的范围. （2）已知y=x+x 1 ( x≠0 ) ，求y 的范围.
例题拓展 【例1 】已知0x >，则x x 4 32+ +的最小值是________。 【 例2 】下列不等式一定成立的是 （ ） A ．xy y x 2≥+ B ．21 ≥+x x C ．xy y x 222≥+ D ． xy xy y x 1 2≥ + 【 例3 】下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ） 基础回顾 1、对于____ _ ,a b ,有22____2a b ab +,当且仅当____ _ 时，等号成立.
2、基本不等式：对于____ _ ,a b ,则2 a b +___ _时，不等式取等号. 注意：使用基本不等式时，应具备三个条件：____ _ ____ _ 【例1 】（1）已知x >0，且y = x ＋ 81 x ，x =_________时，y 取最小值 （2）已知0x >，则x x 4 32+ +的最小值是________。 （3）y x x =++23 122 的最小值是 （4）a+b=2，则3a +3b 的最小值是______________ （5）a+2b=4，则3a +9b 的最小值是______________ 【 例2】设x ，y 为正数， 求14 ()()x y x y ++的最小值 【例4 】若0,0,x y >>且 21 1x y +=，则2x y +的最小值为________
对勾函数求最值
对勾函数年级：高二科目：数学时间：9/6/2009 16:25:27 新5961438 请问对勾函数的最值如何求。 答：同学，你好，现提供以下资料供你参考： 函数的单调性． 显然此函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），用描点法可作出此函数的图象为： 从图象上可看出，函数在（0，）上单调递减，在[，＋∞）上单调递增，在（－∞，－]上单调递增，在[－，0）上单调递减． 我们可用单调性的定义验证它的单调性（证明略）． 很容易看出f(x)是一个奇函数，所以它的图象是关于原点对称的，我们只需记住它在（0，]、[，＋ ∞）上的单调性就可以了，而且我们用这个函数解题时，通常只用这两个区间上函数的单调性． 特殊地，当k=1时，，它在（0，1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增． 一般地，对于函数，我们也可把它转化为的形式，即为， 此时，f(x)在上单调递减，在上单调递增． 说明：因课本并没有介绍此函数的单调性，所以在利用它时应在答题中将它的单调性证一遍 例：甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元． （1）把全部运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解：（1） （2）依题意知s，a，b，v都为正数，故，
当且仅当，即v=时上述等号成立． 若≤c，则当时v=时，全程运输成本y最小． 若>c，，此函数在（0，]上单调递减， 则在（0，c]上也单调递减，所以y≥，当v=c时取等号． 综上知，为使全程运输成本y最小，当≤c时行驶速度应为v=，当＞c时，行驶速度应为v=c． 同学，你好，你要记住做每件事情要有决心。决心决定一切，要努力地去做，让你每一天都充满光彩。学习更上一层楼！
对勾函数最值的十种求法
关于求函数()01>+=x x x y 最小值的十种解法 一、 均值不等式 Θ0>x ，∴21≥+=x x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。 ∴当1=x 的时候，2min =y 二、?法 0112=+-?+=yx x x x y 若y 的最小值存在，则042≥-=?y 必需存在，即2≥y 或2-≤y （舍） 找到使2=y 时，存在相应的x 即可。 通过观察当1=x 的时候，2min =y 三、单调性定义 设210x x << ()()()??? ? ??--=-+-=-21212121211111x x x x x x x x x f x f ()2121211x x x x x x --= 当对于任意的21,x x ，只有21,x x (]1,0∈时，()()21x f x f -0>，∴此时()x f 单调递增； 当对于任意的21,x x ，只有21,x x ()+∞∈,1时，()()21x f x f -0<，∴此时()x f 单调递减。 ∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y 四、复合函数的单调性 2112 +??? ? ??-=+=x x x x y x x t 1 -=在()+∞,0单调递增，22+=t y 在()0,∞-单调递减；在[)+∞,0单调递增 又Θ∈x ()1,0()0,∞-∈?t ∈x [)+∞,1[)+∞∈?,0t ∴原函数在()1,0上单调递减；在[)+∞,1上单调递增 即当1=x 取到最小值，()21min ==f y
五、求一阶导 2'111x y x x y -=?+= 当()1,0∈x 时，0'
最新对勾函数讲解与例题解析
对勾函数 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0时， 。 当x<0时，。 即对勾函数的定点坐标： (三) 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab ，两边同时加上2ab ，整理得到（a+b)^2≥4ab ，同时开根号，就得到了均值定理的公式：a+b ≥2sqrt(ab ）。把ax+b/x 套用这个公式，得到ax+b/x ≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab ），这里有个规定：当且仅当ax=b/x 时取到最小值，解出x=sqrt(b/a ），对应的f(x)=2sqrt(ab ）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab ），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。 三、关于求函数()01>+=x x x y 最小值的解法 1. 均值不等式 Θ0>x ，∴21≥+ =x x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。∴当1=x 的时候，2min =y 2. ?法 0112=+-?+=yx x x x y y X O y=ax
对勾函数最值的十种求法
关于求函数y = x ? 1 x . 0最小值的十种解法 x 一、 均值不等式 1 1 x 0, . y=x ?一_2，当且仅当x ，即x=1的时候不等式取到“=”。 x x 当X =1的时候，y min =2 二、 厶法 1 2 y=x — : x -yx1=0 x 若y 的最小值存在，则 厶=y 2 -4亠0必需存在，即y 亠2或y _ -2 （舍） 找到使y =2时，存在相应的x 即可。 通过观察当x =1的时候，y min =2 三、单调性定义 设 0 ：：： X 1 ：：： x ? 1 1 i f （X 1 ）—f （X 2 ）=人—X 2 十一—一 =（X 1 —X 2 ）1 X 1 X 2 V X 1X 2 丿 当对于任意的X 1,X 2，只有X 1,X 2三〔0,1时，f X 1 - f X 2 2 0, ?此时f x 单调递增; 当对于任意的x 1,x 2，只有X —X 2三［时，f x 1 - f x 2 ：：： 0，?此时f x 单调递减。 当X - 1取到最小值，y min = f 1 =2 四、复合函数的单调性 t = Jx ——2在（0,母）单调递增，y =t 2 +2在（—°°,0）单调递减；在 0,畑）单调递增 x 又 x 三〔0,1 二 t '：L ~0 x 1, ? ：： = t 0,:: -原函数在 0,1上单调递减；在1, 上单调递增 即当X =1取到最小值，丫皿山二f 1 =2 二 X 1 -X 2 3 X 1X 2 y =x 1 2 x
五、求一阶导 1 ' 1 y = X — ： y =1 2 X X 当 10,1时，y' :：: 0，函数单调递减；当 X ，1, 时，y' .0,函数单调递增。 当X =1取到最小值，y min = f 1 =2 六、二角代换 厂兀） 1 a € 0, — 1,则一 =COta I 2丿X 广IT ） a s 0, — in 2a E （0,兀） I 2丿 八、图象相减 1 1 ，即y 表示函数y = x 和y 两者之间的距离 X X 求y min ，即为求两曲线竖直距离的最小值 1 平移直线y = x ，显然当y = x 与y 相切时，两曲线竖直距离最小。 x 令 x = ta n ：, 1 =X tan 二 cot: 2 sin ： n Ji .当一4，即2二时, si n2 max =1 , y min 二2，显然此时x = 1 七、 向量
专题对勾函数
基本不 等式与对勾函数 一、 对勾函数b y ax x =+ )0,0(>>b a 的图像与性质 性质： 1. 定义 域： ),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2()2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称， 即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限 当0x >时，由基本不等式知 b y ax x =+ ≥ab 2（当且仅当b x a = 即)(x f 在x= a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=a b - 时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（ ∞+,a b ），（a b -∞-,） 减区间是（0， a b ），（a b -,0） 一、 对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(<
此函数与对勾函数x b x a y ) ()(-+ -=关于原点对称，故函数图像为 性质： 类型二：斜勾函数b y ax x =+ )0(
对勾函数
对勾函数 对勾函数：图像，性质，单调性 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示： https://www.wendangku.net/doc/ef459679.html,/maths352/3814527.html 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如 f(x)=ax+b/x的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名。当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）。同时它是奇函数，就可以推导出x<0时的性质。令k=sqrt(b/a)，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0 对勾函数的性质及应用 一 . 对勾函数的图像与性质： 1.定义域：（ - ∞， 0）∪（0，+∞） 2.值域： (- ∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即 2√ab （当且仅当取等号），即在x=时，取最小值4. 图像在一、三象限 , 当时， 由奇函数性质知：当x<0 时，在 x=时，取最大值 5. 单调性：增区间为（），（）, 减区间是（ 0，），（ ,0 ） 1、对勾函数的变形形式 类型一：函数的图像与性质 1.定义域： 2.值域： (- ∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4. 图像在二、四象限 , 当 x<0 时，在 x= 时，取最小值；当时，在x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（ 0，），（ ,0 ）减区间是（），（） , 类型二：斜勾函数 ①作图如下 1.定义域： 2. 值域： R 3. 奇偶性：奇函数 4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：增区间为（ - ，0），（ 0， +） . ②作图如下： 1. 定义域： 2. 值域： R 3. 奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：减区间为（ - ，0），（ 0， +） . 类型三：函数。 此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到 练习 1. 函数的对称中心为 类型四：函数 此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到 练习 1. 作函数与的草图 2.求函数在上的最低点坐标 3.求函数的单调区间及对称中心 类型五：函数。此类函数定义域为，且可变形为 a. 若，图像如下： 1．定义域： 2.值域： 3.奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限. 当时，在时，取最大值，当x<0 时，在x=时，取最小值 5.单调性：减区间为（），（）；增区间是 练习 1. 函数的在区间上的值域为 b.若，作出函数图像： 1．定义域： 2.值域： 3.奇偶性：奇函数. 4.图像在一、三象限. 当时，在时，取最小值， 当 x<0 时，在 x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（），（）；减区间是 练习 1. 如，则的取值范围是 类型六：函数 . 可变形为， 函数()01>+=x x x y 最小值的解法 一、 均值不等式 Θ0>x ，∴21≥+=x x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。 ∴当1=x 的时候，2min =y 二、?法 0112=+-?+=yx x x x y 若y 的最小值存在，则042≥-=?y 必需存在，即2≥y 或2-≤y （舍） 找到使2=y 时，存在相应的x 即可。 通过观察当1=x 的时候，2min =y 三、单调性定义 设210x x << ()()()??? ? ??--=-+-=-21212121211111x x x x x x x x x f x f ()2121211x x x x x x --= 当对于任意的21,x x ，只有21,x x (]1,0∈时，()()21x f x f -0>，∴此时()x f 单调递增； 当对于任意的21,x x ，只有21,x x ()+∞∈,1时，()()21x f x f -0<，∴此时()x f 单调递减。 ∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y 四、复合函数的单调性 2112 +??? ? ??-=+=x x x x y x x t 1 -=在()+∞,0单调递增，22+=t y 在()0,∞-单调递减；在[)+∞,0单调递增 又Θ∈x ()1,0()0,∞-∈?t ∈x [)+∞,1[)+∞∈?,0t ∴原函数在()1,0上单调递减；在[)+∞,1上单调递增 即当1=x 取到最小值，()21min ==f y 五、求一阶导 2'111x y x x y -=?+= 当()1,0∈x 时，0' 对勾函数最值的十种求 法 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 关于求函数()01>+=x x x y 最小值的十种解法 一、 均值不等式 0>x ，∴21≥+=x x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。 ∴当1=x 的时候，2min =y 二、?法 若y 的最小值存在，则042≥-=?y 必需存在，即2≥y 或2-≤y （舍） 找到使2=y 时，存在相应的x 即可。 通过观察当1=x 的时候，2min =y 三、单调性定义 设210x x << 当对于任意的21,x x ，只有21,x x (]1,0∈时，()()21x f x f -0>，∴此时()x f 单调递增； 当对于任意的21,x x ，只有21,x x ()+∞∈,1时，()()21x f x f -0<，∴此时()x f 单调递减。 ∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y 四、复合函数的单调性 x x t 1 -=在()+∞,0单调递增，22+=t y 在()0,∞-单调递减；在[)+∞,0单调递增 又 ∈x ()1,0()0,∞-∈?t ∈x [)+∞,1[)+∞∈?,0t ∴原函数在()1,0上单调递减；在[)+∞,1上单调递增 即当1=x 取到最小值，()21min ==f y 五、求一阶导 当()1,0∈x 时，0' ∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y 六、三角代换 令αtan =x ，??? ??∈2,0πα，则αcot 1 =x ∴当4π α=，即22π α=时，()12sin max =α，2min =y ，显然此时1=x 七、向量 ()1,1,1,=??? ??=b x x a b a x x x x y ?=?+?=+=11 11 ， 根据图象，a 为起点在原点，终点在的 x y 1 =()0>x 图象上的一个向量，θcos a 几何意义为a 在b 上的投影，显然当b a =时，θcos a 取得最小值。 此时，1=x ，222min =?=y 八、图象相减 ??? ??--=+=x x x x y 11 ，即y 表示函数x y =和x y 1 -=两者之间的距离 求min y ，即为求两曲线竖直距离的最小值 平移直线x y =，显然当x y =与x y 1 -=相切时，两曲线竖直距离最小。 x y 1 -=关于直线x y -=轴对称，若x y =与x y 1 -=在1>x 处有一交点，根据对称性，在10< 第十二讲 对勾函数的图像与性质探究 厦门二中 唐文龙 一、实验内容 探究对勾函数b y ax x =+（00a b ≠≠且，下同）的图像与性质，由三部分组成： 1）当a,b 同号时，探究b y ax x =+的图像与性质 2）当a,b 异号时，探究b y ax x =+的图像与性质 3）探究对勾函数b y ax x =+，与y=ax 和y=x b 的图像的关系 二、设计理念 通过用超级画板绘制b y ax x =+ 的图像，观察对勾函数的图象变化规律，进而探究对勾函数在a,b 符号变化时的图像的性质，并通过探究逐步学会数形结合的数学思想方法，培养学生的探究能力 三、实验过程 1..探究问题 当a,b 同号时研究对勾函数b y ax x =+的图像与性质（定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等） 探究过程 1） 当a>0,b>0时，请利用超级画板做出函数b y ax x =+ 的图像，借助函数的图像，研究它的性质：定义域，值域，最值，奇偶性，单调性等等 2） 打开文件“对勾函数.zjz ”，拉动参数a,b 对应的滑动块，让a,b,分别从0慢慢增长到10， 仔细观察函数的图象整体形状（对称性等），增减的变化情况，找出单调区间。 3） 观察函数图像，注意函数分别在哪些位置取到最小值和最大值， 4） 当a<0,b<0时, 拉动参数a,b 对应的滑动块，让a,b,分别从-10慢慢增长到0类似上述问 题研究此函数的图像与性质 探究结果 当a,b 同号时，从对勾函数b y ax x =+ 的图像上看可得到b y ax x =+有如下性质： 1. .定义域：{}|,0x x R x ∈≠；值域{|y y y ≥≤- 对勾函数最值的十种求 法 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 关于求函数 ()01>+=x x x y 最小值的十种解法 一、 均值不等式 0>x ，∴21≥+=x x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。 ∴当1=x 的时候，2min =y 二、?法 若y 的最小值存在，则042≥-=?y 必需存在，即2≥y 或2-≤y （舍） 找到使2=y 时，存在相应的x 即可。 通过观察当1=x 的时候，2min =y 三、单调性定义 设210x x << 当对于任意的21,x x ，只有21,x x (]1,0∈时，()()21x f x f -0>，∴此时()x f 单调递增； 当对于任意的21,x x ，只有21,x x ()+∞∈,1时，()()21x f x f -0<，∴此时()x f 单调递减。 ∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y 四、复合函数的单调性 x x t 1 -=在()+∞,0单调递增，22+=t y 在()0,∞-单调递减；在[)+∞,0单调递增 又 ∈x ()1,0()0,∞-∈?t ∈x [)+∞,1[)+∞∈?,0t ∴原函数在()1,0上单调递减；在[)+∞,1上单调递增 即当1=x 取到最小值，()21min ==f y 五、求一阶导 当()1,0∈x 时，0' 六、三角代换 令αtan =x ，??? ??∈2,0πα，则αcot 1=x ∴当4π α=，即22π α=时，()12sin max =α，2min =y ，显然此时1=x 七、向量 ()1,1,1,=??? ??=b x x a b a x x x x y ?=?+?=+=11 11 ， 根据图象，a 为起点在原点，终点在x y 1 =()0>x 图象上的一个向量，θcos a 的几何意义为a 在b 上的投影，显然当b a =时，θcos a 取得最小值。 此时，1=x ，222min =?=y 八、图象相减 ??? ??--=+=x x x x y 11 ，即y 表示函数x y =和x y 1 -=两者之间的距离 求min y ，即为求两曲线竖直距离的最小值 平移直线x y =，显然当x y =与x y 1 -=相切时，两曲线竖直距离最小。 x y 1 -=关于直线x y -=轴对称，若x y =与x y 1 -=在1>x 处有一交点，根据对称性，在10< 对勾函数的性质及应用 一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质： 1. 定义域：),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2[]2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状， 且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，b y ax x =+ ≥ab 2（当且仅当b x a ，即)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0） 二、对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(<时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,a b ），（a b -∞-,）, 类型二：斜勾函数b y ax x =+)0( 对勾函数的性质及应用 、 对勾函数 y ax b (a 0,b 0) 的图像与性 x 质： 1. 定义域： ( ,0) (0, ) 2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, ) 原点呈中心对称，即 f(x) f( x) 0 即 f (x) 在 x= b 时，取最小值 2 ab a 、 对勾函数的变形形式 2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, ) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 对勾”的形状，且函数图像关 于 4. 图像在一、三象限 , 当 x 0 时， y ax b 2 ab (当且仅当 x b 取等号)， 由奇函数性质知：当 x <0 时， f (x) 在 x= b 时，取最大值 2 ab a 5. 单调性：增区间为( , b ) ,a , 减区间是( 0 ， 类型一：函数 y ax b (a 0,b x 质 1. 定义域： ( ,0) (0, ) 0)的图像与性 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状 4. 图像在二、四象限, 当x<0时， f （x）在x= b时，取最小值 2 ab；当x 0时，a f（x）在x= b时，取最大值 2 ab a 5. 单调性：增 区间为（0，b），（b,0 ）减区间是（b, a a a, b a) 类型二：斜勾函数y ax b（ab 0）x ① a 0,b 0 作图如下 1. 定义域：（ ,0）（0, ） 2. 值域：R 3. 奇偶性：奇函数 4. 图像在二、四象限，无 最大值也无最小值. 5. 单调性：增区间为（- ，0），（0，+ ） ② a 0,b 0 作图如下： 1. 定义域：( ,0) (0, ) 2. 值域：R 3. 奇偶性：奇函数 4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值 5. 单调性：减区间为（- ，0），（0，+ ） 关于求函数() 01>+ = x x x y 最小值的十种解法 一、 均值不等式 0>x ，∴21≥+ =x x y ，当且仅当x x 1= ，即1=x 的时候不等式取到“=”。 ∴当1=x 的时候，2min =y 二、?法 0112 =+-?+ =yx x x x y 若y 的最小值存在，则042≥-=?y 必需存在，即2≥y 或2-≤y （舍） 找到使2=y 时，存在相应的x 即可。 通过观察当1=x 的时候，2min =y 三、单调性定义 设210x x << ()()()???? ?? - -=- + -= -21212 1 21211 111x x x x x x x x x f x f ()2121211 x x x x x x --= 当对于任意的21,x x ，只有21,x x (]1,0∈时，()()21x f x f -0>，∴此时()x f 单调递增； 当对于任意的21,x x ，只有21,x x ()+∞∈,1时，()()21x f x f -0<，∴此时()x f 单调递减。 ∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y 四、复合函数的单调性 2 11 2 +??? ? ? ? -=+=x x x x y x x t 1- =在()+∞,0单调递增，22 +=t y 在()0,∞-单调递减；在[)+∞,0单调递增 又 ∈x ()1,0()0,∞-∈?t ∈x [)+∞,1[)+∞∈?,0t ∴原函数在()1,0上单调递减；在[)+∞,1上单调递增 即当1=x 取到最小值，()21min ==f y 五、求一阶导 2 ' 111x y x x y - =?+ = 当()1,0∈x 时，0' 专题48、关于求函数()10y x x x =+>最小值的八种解法 【法一】均值不等式 0x >，12y x x ∴=+ ≥，当且仅当1x x =，即1x =的时候不等式取到“=”，∴当1x =时，min 2y = 【法二】判别式法 2110y x x yx x =+?-+=，若y 的最小值存在，则240y ?=-≥必存在，即2y ≥或2y ≤-（舍） 找到使2y =时，存在相应的x 即可，通过观察当1x =的时候，min 2y = 【法三】单调性定义 设120x x <<，()12121212121212121111()()1()x x f x f x x x x x x x x x x x x x ??--=-+-=--=- ?? ?。 当对于任意的12,x x ，只有(]12,0,1x x ∈时，12()()0f x f x ->，∴此时()f x 单调递增； 当对于任意的12,x x ，只有()12,1,x x ∈+∞时，12()()0f x f x -<，∴此时()f x 单调递减。 ∴当1x =取到最小值，min (1)2y f == 【法四】复合函数的单调性 2 12y x x =+=+ ，t =在(0,)+∞单调递增，22y t =+在(,0)-∞单调递减，在[)0,+∞单调递增，又(0,1)(,0)x t ∈?∈-∞，[)1,x ∈+∞[)0,t ?∈+∞，∴原函数在(0,1)上单调递减；在[)1,+∞上单调递增，即当1x =取到最小值，min (1)2y f ==。 【法五】求一阶导 211'1y x y x x =+?=-，当()0,1x ∈时，'0y <，函数单调递减；当[)1,x ∈+∞时，'0y >，函数单调递增。∴当1x =取到最小值，min (1)2y f ==。 【法六】三角代换 令tan x α=，0,2πα??∈ ???，则1cot x α=，12tan cot sin 2y x x ααα=+=+=，()0,20,2πααπ??∈?∈ ??? ∴当4 πα=，即22πα=时，()max sin 21α=，min 2y =，显然此时1x =。 【法七】向量 1111y x x a b x x =+=?+?=?， 1,,(1,1)a x b x ??== ??? ，a b ?cos 2cos a b a θθ=?=，根据图象， 对勾函数最值的十种求法 Prepared on 22 November 2020 关于求函数 ()01>+=x x x y 最小值的十种解法 一、 均值不等式 0>x ，∴21≥+=x x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。 ∴当1=x 的时候，2min =y 二、?法 若y 的最小值存在，则042≥-=?y 必需存在，即2≥y 或2-≤y （舍） 找到使2=y 时，存在相应的x 即可。 通过观察当1=x 的时候，2min =y 三、单调性定义 设210x x << 当对于任意的21,x x ，只有21,x x (]1,0∈时，()()21x f x f -0>，∴此时()x f 单调递增； 当对于任意的21,x x ，只有21,x x ()+∞∈,1时，()()21x f x f -0<，∴此时()x f 单调递减。 ∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y 四、复合函数的单调性 x x t 1 -=在()+∞,0单调递增，22+=t y 在()0,∞-单调递减；在[)+∞,0单调递增 又 ∈x ()1,0()0,∞-∈?t ∈x [)+∞,1[)+∞∈?,0t ∴原函数在()1,0上单调递减；在[)+∞,1上单调递增 即当1=x 取到最小值，()21min ==f y 五、求一阶导 当()1,0∈x 时，0' 六、三角代换 令αtan =x ，??? ??∈2,0πα，则αcot 1=x ∴当4π α=，即22π α=时，()12sin max =α，2min =y ，显然此时1=x 七、向量 ()1,1,1,=??? ??=b x x a b a x x x x y ?=?+?=+=11 11 ， 根据图象，a 为起点在原点，终点在x y 1 =()0>x 图象上的一个向量，θcos a 的几何意义为a 在b 上的投影，显然当b a =时，θcos a 取得最小值。 此时，1=x ，222min =?=y 八、图象相减 ??? ??--=+=x x x x y 11 ，即y 表示函数x y =和x y 1 -=两者之间的距离 求min y ，即为求两曲线竖直距离的最小值 平移直线x y =，显然当x y =与x y 1 -=相切时，两曲线竖直距离最小。 x y 1 -=关于直线x y -=轴对称，若x y =与x y 1 -=在1>x 处有一交点，根据对称性，在10< 对勾函数的性质及应用 一、概念： 【题型1】函数()(0,0)a f x x a k =+ >≠ 【例1】函数1 ()f x x =+ 的值域为 【例2】函数3 () x f x x += +的值域为 【题型2】函数()(0)ax bx c f x ac ++=>。 【例3】函数1 ()x x f x ++=的值域为 【题型3】函数2()(0,0)ax f x a b = ≠>。 【例 4】函数2()1 x f x x = +的在区间[)2,+∞上的值域为 【解析】2x ≥，∴，函数15 222≥+=【例5】如2214 x a x +=-+，(1,2)x ∈，则实数a 的取值范围是 (1,2)x ∈4y x x =+ 1144x x <+，7352a <-<【题型4】函数2()(0)ax bx c f x a ++=≠. 【例6】已知1x >-，求函数710 ()1 x x f x x ++=+的最小值。 ，1x >-， 710 1 x ++的最小值【例7】已知1x <，求函数299 ()x x f x +-=的最大值。 ，1x <， 99 1 x x +--的最大【题型5】函数2 ()(0)x m f x a += ≠ 【例8】求函数21 ()2 x f x x x -= ++在区间(1,)+∞上的最大值。 【例9】求函数2223 () x x f x ++=在区间[0,)+∞上的最大值。 【例10】求函数()f x =的最小值。 类型九：函数 2 ()0) f x a>。 【例12】求函数 2 () f x= 的最小值。 【解析】由题可知，函数 22 () f x===2 t=，则 1 ()() f x g t t t ==+，显然在[) 2,+∞上单调递增，故 min 15 ()(2)2 22 g t g ==+=，此时0 x=，故函数 2 () f x=的最小值为 5 2 。 【例13】求函数() f x=的值域.对勾函数详细分析.doc
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