浅谈小概率事件原理及其应用
学号20100502050535
密级 ______________ 兰州城市学院本科毕业论文
浅谈小概率事件原理及其应用
学院名称：数学学院
专业名称：数学与应用数学
学生姓名：魏健龄
指导教师：姚淑霞
二〇一四年五月
BACHELOR’S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITY
Principle and Application of the Small Probability Event
College: Mathematics College
Subject: Mathematics and Applied Mathematics
Name: Wei Jianling
Directed by: Yao Shuxia
May 2014
郑重声明
本人呈交的学位论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、资料真实可靠.尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明.本学位论文的知识产权归属于培养单位.
本人签名：日期：
摘要
本文从小概率事件的原理及推断方法出发，通过对生活中的一些有关小概率事件的分析，包括彩票、交通、保险、体育中的小概率事件问题来认识它们发生的原理及其重要性，以此来引导我们面对这些小概率事件时，如何做出准确的分析和判断，进而做出合理的决策.
关键词：小概率事件；原理；推断；彩票
ABSTRACT
In order to understand the principle and the importance of the small probability event, by the theory and method of inferring small probability event,we analyzed the using of some small probability events in life, i ncluding the small probability event in lottery, traffic, insure, sports problem. The purpose of this paper was to guide us how to make analysis and judgment when we face these small probability event, and then make a reasonable decision.
Key words：s mall probability event; principle; deduce; lottery
目录
摘要 ......................................................................................................................................... I ABSTRACT.................................................................................................................................. II 第一章引言 (1)
1.1 研究意义 (1)
1.2 小概率事件的定义 (1)
1.3 小概率事件原理及推断方法 (2)
1.4 小概率事件与不可能事件的区别 (3)
第二章小概率事件的应用 (4)
2.1 小概率事件在彩票中的应用 (4)
2.1.1 双色球中奖概率 (4)
2.1.2 3D中奖概率 (6)
2.1.3 博彩中奖概率 (7)
2.2小概率事件在保险中的应用 (8)
2.2.1 保险公司和消费者投资决策分析 (8)
2.2.2 保险公司赔偿概率的分析 (10)
2.3 小概率事件在交通中的应用 (11)
2.4 小概率事件在体育中的应用 (13)
小结 (16)
参考文献 (17)
致谢 (18)
第一章引言
1.1 研究意义
概率论与人们生活中的很多方面都是息息相关的.往往由于对小概率事件的忽视，许多现象的发生对我们的生活、工作都产生了很大的影响，尤其是一些大自然灾害如地震、洪水和台风等这些属于小概率高损失的巨灾风险事件，一旦发生将给社会和人们的生活带来破坏性的后果.研究表明，虽然它们都属于小概率事件，但这些巨灾事件的发生会极大地改变公众对风险或损失的预期和感知.在巨灾事件发生时以及一段时间内，由于风险信息的显著性和可获得性，公众会产生暂时的紧张和恐惧心理，随着时间的流逝，人们会慢慢从非理性中冷静下来，意识到巨灾风险发生的概率是如此之小，过度的担心是没有必要的.这样类似的事件在生活中发生的次数是非常多的，正是由于人们对这些小概率事件的忽视，造成的后果也非常严重[]1.
小概率事件可能给我们带来欢乐和福音，也可能带来悲伤和灾难.对有利的小概率事件，我们不要随意放弃，在不影响我们正常生活的前提下，尽量的追求.但是，我们也不要对有利的小概率事件抱太大的希望，因为它发生的概率毕竟是非常小的.所以说，对不利的小概率事件，我们一定不能忽视，一定不能天真地认为它绝对不会发生.不利的小概率事件一旦发生，损失是非常大的，有时甚至是无法挽回的或致命的[]2.
1.2 小概率事件的定义
在概率论中，我们把概率很接近于0(或大量重复试验中出现的频率非常低)的事件称为小概率事件.一般地，把事件发生的概率在01
.0以下的事件
.0以下或05
称为小概率事件，这里的01
.0称为小概率标准[]3.
.0和05
1.3 小概率事件原理及推断方法
小概率事件在统计推断的理论及应用中有着重要的应用，就是实际推断原理，即小概率事件在一次试验中实际上是几乎不发生的，把它看成是不可能事件.这是概率论应用中的一条最基本的原理，对于自然界中的随机现象，虽然无法确切地判断其状态的变化，但是依据人们在长期生产实践中所积累的经验，能够自然地把那些概率接进于1的事件，在一次试验中，看成是必然事件，而把那些概率很小的事件，在一次试验中，看成是不可能事件.因此又把实际推断原理叫做小概率事件的实际不可能性原理.
定理1 (贝努利大数定律)：在n 次独立重复试验中，记事件A 发生的次数n A ,p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意正数0>ε,有
1lim =?
?????<-∞→εp n An P n ; 或
0lim =?
?????≥-∞→εp n An P n . 根据贝努利大数定律，事件A 发生的频率n An 依概率收敛于事件A 发生的概率p .就是说，当n 很大时，事件A 发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小.假如某事件A 发生的概率很小，由实际推断原理，在实际应用中，试验次数很大时，便可以用事件A 的频率来代替概率.倘若某事件A 发生的概率很小，例如001.0=p ,则大体上在1000次试验中A 才出现一次，因此概率很小的事件在一次试验中几乎不可能发生.在概率论的应用中，称这样的事件为实际不可能事件.实际不可能事件在一次事件中是几乎不可能发生的，这就是小概率原理，也称为小概率的实际不可能性原理.它是统计假设检验决定推翻还是接受原假设的依据，也是人们在长期实践中总结出的一条实用性很强的原理，小概率原理的推断方法是概率性质的反证法，指的是首先提出假设，其次根据一次试验的结果来进行计算，最后按照一定的概率标准作出判断.若导致不合理现象出现，即小概率事件发生，则拒绝假设；若未导致不合理现象出现，即小概率事件未发生，则不拒绝假设，这就是小概率原理的推断方法[]4.
1.4 小概率事件与不可能事件的区别
对于小概率事件，我们通常认为它是不会发生的，人们出差，旅行可以放心地乘坐汽车或火车，原因是发生交通事故的概率都很小，一次试验（乘坐汽车或火车）中，这个小概率事件实际上不会发生，是实际不可能事件.但是小概率事件不等于不可能事件，我们应知道，不管小概率事件A的概率如何小，如果将试验不断独立的重复下去，那么事件A迟早必然会出现一次，继续重复下去，于是也必然会出现任意多次，而不可能事件是指无论将试验做多少次，事件A都不会发生.这就表明了小概率事件与不可能事件之间的差别.所以我们不能因为发生交通事故是个小概率事件就认为它是不可能事件，就不注意交通安全.
最后,我们应该注意的是小概率原理仅适用于个别的、单独的试验，当试验次数很多时就不适用了.例如，购买奖券时，当你很有钱，采取包号甚至全买下奖券等措施，那么小概率事件就变成了必然事件了[]5.
第二章 小概率事件的应用
小概率原理在实际中不经意的指导着人们的生活.目前，小概率原理在彩票、保险、交通、体育、气象等各种与人们生活息息相关的领域中也有很多的应用.由于小概率事件发生的可能性很小，比如地震、交通事故等，而经常采取忽视的态度.也有很多人对有些现象没有足够的认识，没有认清楚它们发生的可能性的大小，而采取盲目追求的态度，比如彩票.因此，对生活中的小概率事件，有足够的认识是很重要的，正如拉普拉斯所说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”所以，对这些关于小概率的现象有所了解是很有必要的，它们对我们的生活也会起到指导性的作用.
2.1 小概率事件在彩票中的应用
目前在国内31个省（市，自治区）都有彩票发行，可以说彩票遍布中华大地，涉及全国的千家万户.相关的信息也是全国各地媒体如电视、电台、报纸和网点所关注的热点新闻之一.从国家到地方都有专门的管理机构和专职人员，各地方也有了专门的报纸和网站.在国际上许多国家地区也都有相应的彩票发行.作为一种物质利益与社会公益相结合的资金筹措形式，彩票缓解了政府财政压力，成为资助体育、福利等社会公益事业发展的重要途径，并随着社会的发展而发展. 时至今日，彩票已成为世界第六大产业，其年销量正以%10以上的速度增长，年销售额已超过1200亿美元.据统计2004年世界彩票销售额已高达1870亿美元.而在我国，彩票发展的历史已有20年，购买额连年增长，不断再创新高，其发行规模要有一定的发展空间[]6.
2.1.1 双色球中奖概率
“双色球”彩票投注区分为红色球号码区和蓝色球号码区，每注投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成.红色球号码从33~1中选择，蓝色球号码从16~1中选择.“双色球”彩票以投注者所选单注投注号码（复式投注按所覆盖的单注计）
与当期开出中奖号码相符的球色和个数确定中奖等级[]7.中奖规定：
一等奖：7个号码符合（6个红色球和1个蓝色球）（红球号码顺序不限,下同）； 二等奖：6个红球号码符合；
三等奖：5个红球和1个蓝球号码符合；
四等奖：5个红球号码或4个红球1个蓝球号码符合；
五等奖：4个红球号码或3个红球1个蓝球号码符合；
六等奖：1个蓝球号码符合（有无红球号码相符均可).
那么，根据双色球中奖规定，计算某人在一次双色球彩票中中奖的概率. 解：根据中奖规则得出六个等级的奖为：
中一等奖的概率为：
177210881161
2345611161116633633=??????==?C C ; 中二等奖的概率为：
1107568
11
2345628293031323311633=??????????=C ; 中三等奖的概率为：
3797376
1161
2345293031323311161116533533=????????==?C C ; 中四等奖的概率为： 23733611
2345293031323311533
=????????=C ; 或 1643343311611C C =?
654720
1161234303132331=??????=; 中五等奖的概率为：
40920
11
2343031323311433=??????=C ; 或
1611
333?C 163331C =87296
1161
233132331=????=; 中六等奖的概率为：16
1. 双色球中六个等级奖项的概率如表1所示.
表1 中奖概率
从上面的计算我们可以看出：“双色球”的中奖概率并不高.彩民之所以有这样的误区，主要还是由于蓝球的原因.因为六等奖只需中蓝球，而且概率高达%25.31,中一等奖是中，中六等奖也是中，从而拉高了“双色球”整体的中奖率.其实在理论上中大奖的概率远远低于其他“乐透型”彩票中奖率.除此之外，我们还可以从概率的大小看出，“双色球”其实是一种不够科学的彩票.因为二等奖中奖率比三等奖中奖率高的多，所以单从数值不难得到三等奖应该比二等奖中的更少一点才对.但是在实际生活中，纵观所有的开奖公告，6~1等奖的中奖注数都是成规则的金字塔状递增结构，这是不符合客观事实的，只有人为干预才可能达到.这样的话我们就对彩票购买的公平性提出了思考，也算是彩票中比较罕见的特殊现象了.
2.1.2 3D 中奖概率
中国福利彩票D 3游戏（以下简称D 3），是中国电脑福利彩票中奖率最高的一种游戏.它是以一个3位自然数为投注号码的彩票，投注者从999~000的数字中选择一个3位数进行投.D 3的投注方式分为单选投注与组选投注.单选投注是将3位数以惟一的排列方式进行单注投注.组选投注是将投注号码的所有排列方式作为一注投注号码进行的单注投注.D 3彩票上的投注号码与当期中奖号码相符情况确定中奖等级.个十百位分别从9~0数字中选出，D 3选号分为直选和组选.组选每位数 9~0各选一个，分2种情况：
(1)如果一注组选号码的3个数字各不相同，则有6种不同的排列方式，因而就有6个中奖机会，这种组选投注方式简称“组选6”.当期摇出的中奖号码中3位数各不相同，且投注号码的三个数字与当期中奖号码相同，顺序不限，即中得“组选
6”奖.比如你买112，开出211，中奖320元.开出221的话就是没有中奖的.以上错了一个号码都没有中奖，全对了才有.
(2)如果一注组选号码的3个数字有两个数字相同，则有3种不同的排列方式，因而就有3个中奖机会，这种组选投注方式简称“组选3”.当期摇出的中奖号码3位数中有任意两位数字相同，且投注号码与中奖号码的数字相同，顺序不限，即中得“组选”3奖.比如你买126，开出612，你也中了，奖金160元[]8.
而直选每位数 9~0各选一个，投注号码与当期公布的中奖号码的3位数按位数全部相同，即中得单选奖，中奖1000元.比如你买123，开出123才中奖了，如果开132就没有中奖.
解：根据中奖规则可计算出D 3中奖的概率.
直选的中奖率为：
100011110
1101101==C C C P ; 组选3的中奖率为：
100033110
1101102==C C C P ; 组选6的中奖率为：
1000
661101101103==C C C P . 从计算结果可以看出“D 3”的中奖概率远小于05.0,因此D 3中奖在生活中也是一种小概率事件，其发生的可能性是很小的.
2.1.3 博彩中奖概率
很多时候我们会在某个街头发现一群人围在一起参与摸彩.由于本钱较小，许多围观者都跃跃预试，有的竟连续数十次结果获奖者寥寥无几.这是为什么呢？
在某一夜市地摊上，摊主拿一签袋，内装黑、白围棋子各八个.规定：不花钱每人从袋中随意摸八个棋，按摸出的黑白棋给如下奖励：全黑或全白奖励20元；一黑七白或一白七黑奖励15元；两黑六白或两白六黑奖励一元；三黑五白或三白五黑奖励五毛钱；黑白各四个摸球人必须花十块钱买一个小饰品；由于无本钱，许多心
怀侥幸者都想驻足一试，然而得前两项奖的人几乎没有，而大多数人都花钱抱着小饰品回家，为什么？
解：一模型，在任取的八个棋子中，取到k 个黑(白)棋的概率为888k k k p C C -=,故，用此式可计算出取得黑(白)棋子个数为k 的概率分布为：
表2 k 的概率分布
从上面的结果我们可以看出，花十块钱买饰品回家的概率是%48.38,奖励五毛钱的概率是%7.482437.02437.0=+,奖励一块钱的概率是1.120609.00609.0=+%,而得到15元和20元奖励的可能性分别仅有10‰和16.0‰,可能性几乎为零.而后两种情况就是我们说的小概率事件.由此可看出之所以大多数人都败兴而归就是由于摊主用了小概率事件的原理.可见在这种游戏中中大奖几乎是不可的，而得到五毛钱和花十块钱买小饰品的概率反而较大，摊主肯定是赚钱的.实际上买彩票也是这个道理，中奖率极低，故买彩票要怀着一颗平常心，主要是献爱心[]9.
从上面的三个实例中我们可以看出，无论是彩票还是博彩，中奖的概率都是非常小的.可以说是“可望而不可及的”.虽然在日常生活中，我们听到或者看到有很多人中奖，但是那也只是很少很少的一部分人，绝大多数的人都没有中奖.所以，我们切不可把彩票作为一种发财的梦想或者手段,更不能沉迷于其中.
2.2 小概率事件在保险中的应用
保险业是最早使用概率的行业之一，它有巨大的利润就是成功地运用了小概率事件原理.
2.2.1 保险公司和消费者投资决策分析
在现实生活中，消费者总是面临着风险下的选择.经验表明，在一般的情况下消
费者都是风险回避者.因此作为风险回避的消费者便会采用购买保险的手段来回避或化解自己所面临的风险.下面我们讨论消费者和保险公司是如何在自愿互利的原则上展开保险活动的.
首先，考察保险活动的需求方即消费者，假定某消费者拥有的一笔财产价值为W 万元，他面临财产遭受失窃、火灾等风险.如果风险发生他将损失L 万元，发生的概率为p .假设该消费者为回避此项财产风险愿意向保险公司支付的保险费为S 元. 我们知道，对于回避风险的消费者来说，他愿意付出一笔钱购买保险，使得无论风险是否发生都能稳妥地保持一笔财产S W -.现在的问题是，该消费者到底愿意支付多少保险金来回避自己的风险？也就是说，他愿意支付的保险金额S 到底是多少？一般来说，其原则是消费者愿意支付的保险金额S 应该等于他的财产的期望损失，即
()10.S p L p =?+-? （1）
或者说，消费者支付的保险金额S 应该使得保险后的稳妥财产S W -等于在风险条件下的财产期望值，即
()()1.W S p W L p W -=?-+-? （2） 在此例中(2)式左边表示消费者购买保险以后的稳妥财产，右边表示消费者面临风险下的财产的期望值，因此消费者愿意购买保险，而且愿意支付的保险费S 应该满足
(1)或()2式.
例2.2.1 假定某消费者的初始财产为50万元，他面临遭受失窃、火灾等风险，如果风险发生他将损失20万元，风险发生的概率为1.0，财产损失的期望值为2万元()1.020?，如果该消费者支付保险金等于财产损失的期望值，即2万元，则他的具体情况如表3所示.
由表3可知，如果消费者购买保险，他支付的保险金S 为2万元，那么不管风险是否发生，扣除保险金后他都持有稳定的收入48万元.也就是说，他刚好使得购买保险条件下的稳定的财产等于风险条件下的财产的期望值即48万元.总之，只要
消费者购买保险的支出等于财产的期望值损失，消费者总是愿意购买保险，使自己在遭受损失时能够得到全部的补偿，从而消除了风险.
最后，保险公司的供给方即保险公司.为方便分析，假定保险公司的经营成本为0,于是保险公司追求利润最大化的目标便可以改写成为追求收益最大化的目标.根据前面所表述的例题，如果损失不发生，保险公司不需要支付补偿费，则保险公司收益为S ;如果损失发生，公司需支付补偿费，且补偿费等于消费者的损失L ,则保险公司的收益为L S -,由此，我们可以得知，保险公司的期望收益为
()()S L p S p L S p +?-=?-+-?1 (3) 因此，只要保险公司的期望收益
0≥+?-S L p (4) 则保险公司接受这项投保业务.换言之，由(4)式可知，只要L p S ?≥,即消费者支付的保险费S 大于或等于财产的期望损失L p ?,则保险公司就接受这项业务.还可以
就接受这项业务[]10.
2.2.2 保险公司赔偿概率的分析
例 2.2.2 某人寿保险公司有3000个统一年龄阶层的人参加保险在一年内每个人的死亡概率为1.0%,参加保险的人在1月1日交10元保险费，而在他在这一年死亡时家属可从保险公司领取2000元.求保险公司亏本的概率.
解：设一年中死亡人数为X ,则保险公司每年收入为103000?元=30000元，付出为X 2000元，把“参加保险的每个人在该年是否死亡”看作一次随机试验，3000
个人参加试验就相当于3000重贝努力试验，即()001.03000
~，B X ，3001.03000=?=?=p n λ;
设=A “保险公司亏本”，则： ()()()()150********
2000≤≤-=>=>=X p X p X p A p ; 3001.03000=?=?p n ;
根据莫佛-拉普拉斯定理:
()p X p =≤≤150???
? ??-≤≤-7312.13157312.130X =???? ??Φ7312.112-???
? ??-Φ7312.13 =()932.6Φ-()733.1-Φ
()9582.0-1-1= 9582.0=;
()%18.49582.01=-=A p
即，保险公司亏本的概率是%18.4.
从以上分析可见，保险公司实际上也是应用了小概率事件的原理，知道亏本的概率极小，肯定在保险业中最大的受益者是保险公司.但不能因为收益的概率小就不去投保，因为小概率事件并不是不可能事件，不能掉以轻心，应该重视保险业，重视自身及家人的安全、财产、养老等等问题.
2.3 小概率事件在交通中的应用
随着现代人们生活水平的越来越高，交通设施也越来越齐全.私人汽车销售量的激增、城市化进程和公路建设的快速扩张，我国的整体道路交通系统在逐年膨胀之中，它在给国民带来方便快捷的同时，相应的由于交通产生的事故也逐渐增多.
据统计，2003年我国因交通事故而死亡的人数为十万余人.以全国人口十四亿计算，一年因车祸死亡的概率为十四万分之一.从数学角度来理解，我们通常把概率小于05.0的事件称为小概率事件.很明显的，因车祸死亡的人数这个事件的概率十四万分之一远远的小于05.0,因此来说也是小概率事件.
十四万分之一，单单从数值的角度来分析，它是一个很小的数.作为一个事件的概率，它的发生的可能性也是非常小的，如同买彩票可以中奖一样.在人们通常的普遍认识中，一般对这种发生的可能性非常小的小概率事件采取的是忽视不管或者不够重视的态度.大多数人都认为小概率事件虽然发生，但是发生的可能性是微乎其微的.因此，在日常生活的交通外出过程中，人们往往会对安全的重视程度不足够，很多人都认为十四万分之一的车祸死亡概率很小，全国有那么多的人，一般情况这种事是不会发生在自己的身上.这种错误的认识经常会导致在交通外出中，
驾车行驶中，对周围的环境熟视无睹，对一些安全措施知之甚少，因此酿成的惨剧也数不胜数.
经过统计，我国1998年-----2006年，每年发生的交通事故及造成的死亡人数如下：
1998年，全国共发生道路交通事故346129起,共造成78067人死亡；
1999年，全国共发生道路交通事故3.41万起,共造成4.8万人死亡；
2000年，全国共发生交通道路事故6.61万起，共造成93853人死亡；
2001年，全国共发生道路交通事故5.75万起，共造成6.10万人死亡；
2002年，全国共发生道路交通事故3.77万起，共造成9.10万人死亡；
2003年，全国共发生道路交通事故667507起，共造成104372人死亡；
2004年，全国共发生道路交通事故465083起，共造成93550人死亡；
2005年，全国共发生道路交通事故450254起，共造成98738人死亡；
2006年，全国共发生道路交通事故378781起，共造成89455人死亡.
2006--1998年，据不完全统计因道路交通事故死亡的人数就高达857035人，伤残的还没有统计！9年间就死了将近86万人！
在我们通常所认为的意外事故中，以车祸居首，占意外死亡总数的%50以上.仅以汽车交通事故为例，全世界因交通事故而死亡的人数已超过3000万人，比世界大战所死亡的人数还多.在交通事故中，以青少年的死亡人数最多，其次为老年人.值得指出的是：不论是发达国家或是发展中国家的资料均表明，自行车交通事故所导致的伤亡，儿童青少年是其高危人群. 据估计，当今世界每年死于车祸的人数约为25万～30万人，受伤者约3000万人，永久性伤残者约300万人.我在一份报告中指出，因车祸而死亡的人数以24~15岁的青少年居多，且仍在继续增加.我国城市每万辆车死亡率为50人左右，与国外相比较，为日本的5.26倍，美国的8.17倍.若以万辆车的死亡率作比较，则我国车祸的发生率和死亡率皆居世界之首位.车祸主要危害儿童青少年和老年人.据世界卫生组织统计，每年有18万以上的15岁以下儿童死于道路交通事故，数十万的儿童致残.交通事故在青少年发生意外伤害死亡中占首位原因.车祸后果轻重不一，见头部受伤、骨折、内脏出血、休克、死亡.在步行交通事故中，危险人群为9~5岁儿童；在驾车事故中，危险人群是14~10岁儿童和24~15岁青少年.查阅公安交通部门的交通事故档案可以发现，儿童期交通事故的责任方多半是受害儿童，因不遵守交通规则而发生的车祸在交通事故中占大多数.
例如低龄孩子穿越马路时没有成年人带领，不走人行横道，骑自行车技术不熟练或逆行，在公路旁玩耍，红灯亮时横过马路，骑自行车带人，在机动车道上骑自行车，12岁以下儿童骑自行车上马路，骑车下坡不减速、猛拐等等.%50或被撞或没被撞[]11.
从这些数据和报道中我们可以看出，每年由于交通引起的事故在不断地增加着，并且我们可以发现大多数的交通事故的原因都是由于人数对交通的不遵守，对安全知识的淡薄以及对事故的麻木，而且这些人群大多数是儿童、青少年以及老人.往往这些人群对安全的认识度不是很足够，他们中的绝大部分人认为交通事故是一件发生的可能性很小的事件，因此对外出的安全没有形成正确的认识.根据中国注册机动车车辆、每个人平均每天出行时间、保险公司理赔情况、医院治疗病例、中国人口、城市道路规划、平均寿命及大数法则等，综合得出每个人一生出交通事故的概率为%8723.99,每年每个人出交通事故的概率是%1492785.1,每天每个人出交通事故的概率约为%031506849.0.假如仅仅从每个人每天遇到交通事故的可能性来看，发生的概率是非常小的，也正由于可能性太小，交通安全没有引起人们的注意，由此造成的后果也是人们意想不到的.
通过大量的数据和事件，我们必须对交通中的安全引起足够的认识和重视.虽然交通事故发生的可能性十分小，但我们切记忽视它们的发生.在日常生活中，我们应该认识到安全的重要性，绝对不能因为它们是小概率事件而忽视它们.很多的事实及经验告诉我们，忽视安全也等于忽视我们的生命.因此，正确的认识交通事故这个小概率事件是非常重要的，只有我们正确的认识，提前采取一些有效的措施，才能避免一些不必要的事故发生，才能更好的交通外出.
2.4 小概率事件在体育中的应用
近几年来，我们在体育教学和科研中对统计学的应用可真谓是突飞猛进，若对其发展倾向做总结可分为两个方面的表现：(1)数理统计的很多方法已经被越来越多的应用在体育运动的各个研究领域，这是令人欣慰的；(2)在对体育统计的应用中一些方面的应用显得草率，甚至出现盲目性，这样必然带来各种各样的问题.对此，根据笔者的教学经验，初学者所暴露的问题比较突出.以往也有很多文献对其中存在的问题进行过讨论，但还未能从根本上改变目前体育应用统计中不利的现
状.
可以肯定的是，从目前我国体育科研发展的水平上分析，最紧迫的问题不是缺乏有效的数理统计的方法，而是在面临体育领域中的具体问题时，运用何种统计方法，以及如何正确使用统计方法的问题.
小概率事件原理作为统计推断的最基本的思想，在体育科研甚至在体育统计教科书中都没有得到足够的重视.从国内体育科研文献中，采用统计方法进行处理的论文很多，但明确此思想的却很少.从暴露的问题中发现，初学者在处理统计推断过程中，对小概率事件原理这个概念也是模糊的.在一些体育统计教科书中，也并没有将这个思想提高到应有的地位加以明确，致使在解决具体问题时，出现一定的实际困难.
分析原因有两个方面：(1)对小概率事件原理在统计推断原因中的地位和作用认识不足，产生轻视思想.(2)源于体育运动的复杂性，实际问题中的小概率事件原理有时难以确定，产生回避心理.对此，从教学过程中看，初学者反应尤其严重些.客观地讲，小概率事件原理是联系实际问题与统计方法的重要桥梁，,轻视固然不行，回避也不妥.下面就看看小概率事件原理在体育方面的应用[]12.
例2.4 根据以往资料，篮球运动员张三投篮的命中率都为%70,他在一场比赛开始后连续投篮7次命中次数不超过2次，可否认为该运动员尚未进入状态，为教练提供理论依据.
解：假定7次投篮是相互独立的7次试验，用ξ表示其投中的次数，则服从7=n ,7.0=p 的二项分布，其概率分布为：
()==k p ξC k 7
0.7k 0.3k -7()7,6,5,4,3,2,1=k . 投篮7次命中0次、1次、2次的概率分别：
0002187
.03.0)}0{(7===ξp ; 0035721
.03.07.0)}1{(617=??==C p ξ; 0250047
.03.07.0)}2{(5227=??==C p ξ. 投篮7次命中0次、1次、2次的概率分别为：
)}2{()}1{()}0{(=+=+=ξξξp p p
0250047.00035721.00002187.0++=
0.02879550.05.=<
这是一个小概率事件，而在一次试验中竟然发生了.从而说明该运动员此时不在状态，这时他的命中率要低于0.7.同理，也可知道其他球员的比赛状态，作为教
小概率大概率事件
大概率事件即指出现可能性较大的随机事件 大概率事件与小概率事件相对，在概率论中很少研究，主要是利用小概率事件原理来做统计分析，而大概率事件实际应用不大，故不提及。 小概率事件： “小概率事件”是个数学概念，在概率论中我们把概率很接近于0（即在大量重复试验中出现的频率非常低）的事件称为小概率事件。当然并不是说完全为零，只不过发生的几率很低而已。小概率事件分两种，一种是事情发生的几率本身就很小。还有一种情况，是一件事发生的可能性本身不算低，但很多件这种事正好同时发生，这种几率就也很低了。 由于发生的可能性极小(把发生可能性很小的事件称为小概率事件),而忽视了它的存在,其实利用小概率事件可以解决一些看似很难的问题.因此有必要对小概率事件作全面而正确的认识。 需要注意，小概率事件在一次试验中发生的机会非常小，但是，如果做了许多次试验，它必然发生。 “小概率事件”是个数学概念，指的是概率几乎接近于零的事件。 小概率事件是有可能发生的，只是发生的可能性很小而已，并且没有规律可循.因为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，所以人们对待小概率事件有- 大概率事件，就是该发生而没有发生的事件； 小概率事件，就是不该发生而发生了的事件。
概率也叫机率、或然率，是对可能发生也可能不能发生的随机事件，出现可能性大小的度量，由此可见，大概率事件即指出现可能性较大的随机事件，反之亦然。墨菲定律根本内容是：如果事情有变坏的可能，不管这种可能性有多小，它总会发生。墨菲定律的原句是：如果有两种或两种以上的方式去做某件事情，而其中一种选择方式将导致灾难，则必定有人会做出这种选择。 很小小概率事件是一个事件的发生概率，那么它在一次试验中是几乎不可能发生的，但在多次重复试验中是必然发生的。
浅谈小概率事件原理及其应用
学号20100502050535 密级 ______________ 兰州城市学院本科毕业论文 浅谈小概率事件原理及其应用 学院名称：数学学院 专业名称：数学与应用数学 学生姓名：魏健龄 指导教师：姚淑霞 二〇一四年五月
BACHELOR’S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITY Principle and Application of the Small Probability Event College: Mathematics College Subject: Mathematics and Applied Mathematics Name: Wei Jianling Directed by: Yao Shuxia May 2014
郑重声明 本人呈交的学位论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、资料真实可靠.尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明.本学位论文的知识产权归属于培养单位. 本人签名：日期：
摘要 本文从小概率事件的原理及推断方法出发，通过对生活中的一些有关小概率事件的分析，包括彩票、交通、保险、体育中的小概率事件问题来认识它们发生的原理及其重要性，以此来引导我们面对这些小概率事件时，如何做出准确的分析和判断，进而做出合理的决策. 关键词：小概率事件；原理；推断；彩票
ABSTRACT In order to understand the principle and the importance of the small probability event, by the theory and method of inferring small probability event,we analyzed the using of some small probability events in life, i ncluding the small probability event in lottery, traffic, insure, sports problem. The purpose of this paper was to guide us how to make analysis and judgment when we face these small probability event, and then make a reasonable decision. Key words：s mall probability event; principle; deduce; lottery
小概率事件中的大道理
小概率事件中的大道理 王世昆 在概率论中，把事件发生概率接近于“零”的事件称为小概率事件。小概率事件可分为正面小概率事件（如中大奖）和负面小概率事件（如地震、爆炸、火灾、安全事故等）。虽然小概率事件发生的几率比较小，但如果防范不到位、处理不及时，负面小概率事件一旦发生，往往会造成严重后果，甚至由“偶然”变为“必然”，由小概率变为大几率。因此，如何减少甚至有效规避负面小概率事件的发生，维护和谐稳定，确保经济又好又快发展，是摆在每一位领导干部面前的重要课题。 小概率大问题 当前，我国正处于改革开放关键期，大量社会矛盾集中出现，“触点”增多，“燃点”降低，稍有不慎，小矛盾就可能造成大冲突，小问题就可能酿成大事端。近年来，我国接连发生了上海在建楼整体倾覆、晋州“风斩塔”、四川内江服用预防药品集体中毒等一系列小概率事件。这些负面小概率事件不但给企业和国家带来不同程度的损失，而且带来了许多负面影响。 负面小概率事件高发，有客观原因，有改革发展中难以避免的因素，但根本原因还是人的原因，多数并非“天灾”，而是“人祸”。美国安全工程师海因里希经过大量的研究，认为存在着“88∶10∶2”规律，即在100起事故中，有88起是纯属人为的，有10起
是人为和物的不安全状态造成的，只有2起是难以预防的，即所谓“天灾”、小概率事件。因此，小概率事件看似“偶然”，实则“必然”，透视它们的发生、发展过程，我们不难从中发现一些共性原因。 原因之一：重视程度不够高是负面小概率事件发生的思想根源。千里之堤毁于蚁穴。任何一点细微的疏漏都有可能导致事故的发生，任何侥幸麻痹、投机取巧的想法都可能造成不可挽回的后果。今年以来发生的王家岭煤矿透水事故、河南伊川煤矿瓦斯爆炸事故、伊春“8〃16”重大爆炸事故等，给我们再次敲响警钟。事故发生有多方面的原因，究其根源还是事故单位和事故责任者长期以来主观上轻视、麻痹大意、疏漏细节、安全意识淡薄、违章操作所造成的。一些地方、部门和企业领导干部对安全发展的科学理念认识不深刻，对安全工作的极端重要性认识不到位，不能时刻绷紧安全生产这根弦，习惯于以文件传达文件，以会议贯彻会议，对上级安排部署认识不深，落实不力，执行不严，总认为没有问题，结果出了大事。 原因之二：隐患处理不及时是负面小概率事件发生的直接因素。小概率事件从“隐性”到“显性”往往有一个过程，多数群体性事件由小到大几乎都有征兆，社会上有“风声”，信访上有反应。“海因里希理论”认为，一起重大安全事故背后会有29起事故征兆，每个征兆后面有10起事故苗头。反过来说这29起征兆和10起事故苗头都有发生事故的几率。看到事故苗头，如果能果断处
小概率事件特点、原理及其应用
小概率事件特点、原理及其应用 概率是衡量事件本身发生可能性的大小。一个任意事件是否发生主要取决于它本身，它是事件本身的一种属性，人们是否认识它或者是否能计算出它都不会影响这种属性的存在，是客观的。概率论中，把概率非常小或者说概率接近于零的事件称为小概率事件。那么，到底小概率事件的概率要小到什么程度才能算是小概率事件呢？概率论中没有具体规定，而是在不同的情况有着不同的指标，由事件本身性质而定，大多是用0.01、0.05这两数值。即一般情况下，事件发生的概率小于或者低于0.01或0.05，就是小概率事件，这两个数值就是小概率标准。在很多情况下，人们都认为它发生的概率非常小而忽视了它，但是运用小概率事件可以帮助我们解决一些难题，因此我们必须正确认识小概率事件。 一、小概率事件原理 小概率事件发生的概率很小，那么它在一次试验中实际几乎是不会发生的。在数学上，我们称这个原理为小概率事件原理。小概率事件原理是概率论中具有实际应用意义的基本理论，例如，若事件A是小概率事件，但在一次或少数次实验中小概率事件A居然发生了，就有理由认为情况不正常，事件A不应该发生。 虽然在一次实验中小概率事件几乎不可能发生，但这并不说明它永远不会发生。小概率事件迟早都会发生是指只要独立的试验次数无限增多，
那么小概率事件就会发生。小概率事件并不是不可能事件，所以我们在实际生活和工作中不能忽视小概率事件。小概率事件是否可以忽略，要具体问题具体分析，例如，任何小概率的事件对航天飞机来说都有可能是致命的，而一批商场产品中有1%的次品却无妨大碍。在比较复杂的问题中，利用小概率事件原理可以帮助我们透析小概率事件发生现象的更深背景。 二、小概率事件的应用 小概率事件原理在日产生活中的应用十分广泛，它在不经意地指导人们的实际生活，目前，小概率原理在经济、医学、体育、交通、气象等各种与人们生活息息相关的领域中也有解释的空间，下面我们举出几个例子对小概率事件的原理做出探讨： （一）对交朋友的概率问题研究 我们对现实的交朋友概率做个初步的研究，探讨在生活中我们每个人交到朋友的概率是多少。假设：我们平均每天遇到100人（包括在我们眼前路过的陌生人），平均一年就有36500人，如果我们从一般意义上的朋友说，按每年遇到25人算，那么我们每一个从一般意义上讲的朋友大概是在碰到1460人之后的那个人。而在地球上有60亿人，而且这个数目还将不断上升，相遇是如此小概率的事件。按平均每年遇到5个好朋友人算，那么我们需要碰到7300个人，才能交到这样一位好朋友。
概率论与数理统计及其应用课后答案
第1章 随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求 )])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。 ~ 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___ --=AB P AB P ， 5 .0)(625.0)])([()()])([()])([(___ =-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。
解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72.0900 648 = 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为 48344=??个，所以出现奇数的概率为 ` 48.0100 48 = （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为 48.0100 48 = 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解: （1）所求概率为338 4 12 1 31425=C C C C ；
如何理解统计学中的“小概率事件”
如何理解统计学中的“小概率原理”？ 朱继民博士 统计学是一门处理数据的收集、整理与分析的艺术，是指导人们如何对科学探索活动进行严密地设计、获取可靠的数据、正确地归纳分析与推理判断的科学。医学统计学在医学研究中帮助揭示疾病或现象发生、发展规律，为预防疾病、促进健康提供客观依据。 学过统计学的同学多有这样的体会：刚刚开始的前前几节课感觉很轻松，可是学着学着就开始犯糊涂了，晕车现象较为严重。原因在哪里呢？许多人给出的答案是数学基础差，而我却认为症结不在这里。统计学的概念与统计思维较为抽象，不易理解；方法丰富、适用范围与对数据的要求不尽相同，掌握起来困难，实际应用时常有无从下手的困惑；统计学内容的连贯性很强，环环相扣，而且前一环恰是下一环的基础；如果中间环节脱落，对后面内容的学习往往会有超出想象的影响。 现从统计学中的一个概念谈谈如何理解统计学的概念，并从应用层面看其与其他知识点的融合。 概率是统计学的一个重要的基本概念，它反映事件或现象发生可能性的大小，用P 表示；当P＝1时，表示肯定发生，即为必然事件，P＝0时，肯定不会发生，即为不可能事件，P介于0与1之间，可能发生也可能不发生，即为随机事件。统计学重点关注的是随机事件在一次试验中发生的概率。掷币的结果有两种可能，要么正面朝上，要么反面朝上，概率均为0.5；如果只进行一次掷币试验，那么在掷币前我们无法确定掷币的结果到底是哪种情况，即朝上的面是正还是反。掷币的结果就是一种随机事件。 小概率事件即发生概率很小的事件（通常指P≤0.05或0.01）在统计学中有着重要的应用。对于小概率事件，很容易理解；即这样的事件理论上可以发生但发生的概率较小，在一次试验中发生的可能性则几乎为零。如买彩票中大奖就是典型的小概率事件。也许每一期均会有大奖开出（概率超低），但对于某一个彩民来说他买一注就中大奖的可能性（小概率事件在一次试验中就发生的概率）几乎没有。其实这就是小概率事件在统计学上应用的重要理论依据——小概率原理，即小概率事件在一次试验中发生的可能性很小，如果真的发生了，统计学则怀疑其真实性。统计学依据小概率原理作出结论的正确性很高，但也存在犯错误的风险（较低）。现以一个例子来看统计学是如何对待小概率事件的：不透明箱子里装有大小、形状、质地均相同的小球100个，其中白色球95个，红色球5个。现在如果由某个人从该箱子中摸球，每次只允许摸1个球；那么，在球被摸出之前，我们知道白球和红球均有被摸到的可能，只是被摸到的概率不同，分别是0.95和0.05。在试验中，如果摸到的是白球，统计学会承认球是从该箱子中摸出的；如果摸到的是红球，统计学则否认球是从该箱子中摸出的。统计学这样判定结果的依据
小概率事件原理及其应用
本科学生毕业论文（设计） 题目（中文）：小概率事件原理及其应 用 (英文)：Principle of the Little Probability Events and Its Application 姓名 XXX 学号 200805002231 院（系）数学与计算科学系 专业、年级信息与计算科学2008级 指导教师 XXX 2012年4月28日 目录 绪论 1.小概率事件原理 1.1概率论与小概率事件 1.2小概率原理及其推断方法 1.2.1 小概率原理 1.2.2 小概率推断方法 1.3小概率事件和不可能事件之间的区别
2.小概率事件原理的应用 2.1 经典的小概率事件研究 2.2 小概率事件原理在商场管理中的应用 2.3 小概率事件原理在保险中的应用 2.4 小概率事件原理在日常生活中的应用 2.5小概率事件原理在贝叶斯统计中的应用 2.6 小概率事件原理在假设检验中的应用 3.小概率事件原理的更多具体应用 3.1有趣的小概率事件的应用 3.2近期的小概率事件分析 结束语 参考文献 致谢 小概率事件原理及其应用 摘要 小概率事件原理是概率论与数理统计学中的一个基本原理,而正确理解小概率事件原理及其推断方法,能辩证地分析、处理、应用小概率事件对我们有着非凡的实际意义.论文围绕小概率事件展开讨论.首先,论述概率论起源及小概率事件的定义；其次,对小概率事件原理和小概率事件的推断方法进行详细的介绍,阐述了小概率事件和不可能事件之间的区别与联系.最后,该论文针对生活与生产实践中的小概率事件作了深层次的说明,并结合实例剖析了小概率事件原理及其在实践中的应用,说明小概率事件原理的实用价值. 【关键词】小概率事件假设检验原理 Principle of the Little Probability Events and Its Application Abstract The principle of small probability event is a basic principle of probability and mathematical statistics. It is meaningful to understand it and its inference method correctly, and so it is with analyzing, processing and applying the principle dialectically. The paper discusses around the little probability event. First of all, it discusses the origin of probability theory and the definition of the small probability
小概率事件的应用
小概率时间的原理与应用 侯志飞 地信 201114430116
对小概率事件的认识 概率是刻画随机事件发生可能性大小的数量指标。一个随机事件发生的可能性大小是由它自身决定的，是它自身的一种属性，不受你是否认识到或者是否计算出来的影响，它是客观存在的。在概率论问题中，一般把概率很小很接近于零的事件称为小概率事件。那么，具体概率小到何种程度才算小概率事件呢？概率论中不作具体规定，而是指出不同场合有不同的标准，视事件的重要性而定，一般多采用0.01、0.05这两个值，即事件发生的概率在0.01或0.05以下的事件成为小概率事件，这两个值称为小概率标准。当事件的发生会产生严重后果（如雪崩、山洪、沉船等）时，那么小概率事件的阀值应选得比这两个值更小一些，否则可以选得大一些。 小概率事件原理是概率论中具有实际应用意义的基本理论，又称为似然推理，根据大量重复试验中事件出现的频率接近于它们的概率，即指：若事件A 为小概率事件，但在一次或少数次试验中小概率事件A 居然发生了，就有理由认为情况不正常，事件A 不应该发生。小概率事件原理又称为小概率事件不发生原理，但应该明确：若某试验中出现A 的概率为ε，不管ε>0如何小，如果把试验不断独立地重复下去，那么A 迟早必然会出现一次，从而也必然会出现任意多次，因为第一次试验中A 不出现的概率为1-ε，前n 次A 都不出现的概率为()1n ε-，因此前n 次试验中A 至少出现一次的概率为1-()1n ε-。当n →∞时概率趋于1，这表示A 迟早会出现1次的概率为1。出现A 以后，把下次试验当作第一次，重复上述推理，可见A 必然再次出现。 由以上分析可看出，小概率事件并不是不可能事件，所以我们在实际生活和工作中不能忽视小概率事件。小概率事件是否可以忽略，要具体问题具体分析，例如，任何小概率的事件对航天飞机来说都有可能是致命的，而一批皮鞋中有0.01的次品却无妨大碍。在较复杂的问题中，利用小概率事件原理可以帮助我们透析小概率事件发生现象的更深背景
生活中的小概率事件
生活中的小概率事件 前言: 概率作为数学的一个重要部分，在生活中的应用越来越广，同样也在发挥着越来越广泛的用处。让学生用数学知识和数学的思维方法去看待、分析、解决实际生活问题，在数学活动中获得生活经验，概率论是指导人们从事物表象看本质的一门科学，本文主要简单介绍了概率论现实生活的部分现象与分析概率知识的广泛应用。 关键字：小概率概率原理应用 正文： 1.小概率事件的原理 小概率事件应从两方面认识它：一方面由实际推断原理知道，小概率事件A在一次实验中几乎是不发生的；另一方面，在不断地独立重复实验中，小概率事件A迟早发生的概率为1。 前者是讲：在实践中，人们总结到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”，这一经验称为“实际推断原理”。事实上，“小概率事件”通常是指发生概率在0.01以下或0.05以下的事件。这两个值称为小概率标准，主要是为了查表方便，没有其他特别的含义。对于这类实验来说，在大量重复的实验中，平均每100次或20次才发生一次，所以认为在一次实验中该事件是几乎不可能发生的。后者是讲：尽管“小概率事件”，在一次实验中几乎不发生，但如果实验的次数多了，该事件当然是很可能发生的。 2.小概率事件原理的应用 2.1在一次实验中小概率事件几乎不发生 数学中的小概率原理认为：在一次实验中，概率很小的事件实际上不可能发生。这个“很小”，一般理解为在个别事件中发生的概率小于5?，这样的事件称为小概率事件。小概率事件在一次事件中认为是不可能发生的。如果在一次实验中，某个小概率事件发生了，则认为出现了不合理的现象，由此可以推断原来的条件或假设是错误的。 这个小概率原理就是我们假设检验这一章理论依据。 小概率原理的推断方法是概率性质的反证法，首先提出假设，继而根据一次实验的结果进行计算，最后按一定的概率标准作出鉴别。 其一般程序是： 第一步：先根据问题的题意提出原假设H0;
全概率公式及其应用
1绪论 1.1问题的提出 概率论是统计学在实际生活中应用的理论基础，在实际生活、生产、工作中经常会遇到各种各样有关于概率计算问题的模型或者事件，而往往有些实际事件的解决是十分复杂的，如果只是使用一般的概率计算方法是无法快捷甚至根本无法解决这些问题，而全概率公式是概率论中的一个重要公式，它提供了计算复杂事件概率的一条有效途径，使一个复杂事件的概率计算问题化繁为简，使用全概率公式解决问题可以借助引入各种小前提，将事件分解为两个或是若干个互不相容的简单事件的并集并且在每个小部分中可以比较容易的求得所需要的概率，从而进一步应用加法公式求出复杂事件的概率，所以针对某些复杂事件的处理一般可以使用全概率公式进行简化计算。 大家不禁思量，在解决概率问题时，使用全概率公式与使用一般方法相比有何不同？其优势体现在哪？全概率公式主要应用于哪些领域？本文主要探究的即是全概率公式在解决一些实际生活中遇到的问题中的应用以及其优势。 1.2使用全概率公式解决问题的意义 通过调查和统计我发现全概率公式的应用范畴十分广泛，同时其涉及领域也非常宽广。 我们可以看到，在现实的各种领域，比如生活、生产、经济、保险、投资、医疗等领域中，常常会涉及各种类型的概率计算，但是由于这些实际事件都会有着各种各样的限制条件或者其样本空间极为
复杂，因此在计算中也会遇到各种复杂问题。全概率公式的存在即有效地解决了一些复杂繁琐类的问题。在遇到使用一般方法进行处理分析十分麻烦乃至容易出错的复杂事件时，如果可以把这个事件分割成为互不相容的两个或者若干个简单事件，那么就可以运用全概率公式将样本空间按照某种方式进行分割，使原本复杂的事件转变为两个或者若干个简单事件，再使用条件概率对每个简单是件进行运算，最后运用加法公式将所有结果进行相加即可以准确便捷的得出结果，这也就是全概率公式的意义所在。灵活使用全概率公式有助于把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息。 1.3研究背景及预期结果 目前很多文献与论文都提及到了全概率公式的应用，但是一般都是对全概率公式进行证明、解释或者深度推广，其中很多文章都对全概率公式在某一部分领域的应用做出了阐释，并未能总结出全概率公式在各种领域中的实际问题上的应用。本文就是为了探求全概率公式在各种实际问题上的应用，归纳总结全概率公式的理解方法、求解问题时的分析方法、解决实际应用时的具体步骤以及应用此公式时应该注意的事项等几点研究体会，旨在更加完备的总结出全概率公式在解决各种复杂问题时的作用。 2全概率公式的概述 2.1全概率公式 全概率公式是概率论中的一个重要公式，它主要展示了“化整为零”的数学思想，将复杂的问题分割为两个或者若干个简单问题进行
小概率原理在生活中的应用开题报告(1)
毕业论文 题目：小概率原理在生活中的应用学院：汽车与电子工程学院 年级、专业：2006级数学与应用数学学生姓名：谌泽宾 学号：0605101047 指导教师：朱新霞 完成时间：2010.05
毕业论文（设计）开题报告 （理工类） 题目：小概率原理在生活中的应用 学院：汽车与电子工程学院 年级、专业：2006级数学与应用数学 学生姓名：谌泽宾 学号：0605101047 指导教师：朱新霞 日期：2010.03
主要研究内容、研究意义及预期目标： 一研究内容及研究意义 在中学阶段，已经初步接触概率论，而小概率原理只是概率论中一小部分。虽然小概率只是概率论中的一小部分，但是它的原理所发挥的作用却不可忽视。小概率事件在日常生活中有着很广泛的应用。通过分析小概率事件的含义、小概率原理及以实例说明小概率事件在概率论及假设检验中的实际应用,帮助人们对小概率事件树立正确的认识。 1、小概率原理在产品检验中的应用 2、小概率事件在商业生活中的应用 3、小概率原理在森林防火中的应用 4、小概率原理在医学检验中的应用 5、小概率原理在地震中的应用 二预期目标 用概率的原理揭示生活中的现象，为人们生活决策提供理论依据，指导人们应该怎么避免不可能事件的发生。在产品的检验中，为人们节省人力和财力提供理论依据，用小概率原理对西昌历史上7级以上地震的分析中，说明大地震发生的几率性很小，不必杞人忧天。小概率原理在森林防火中的应用则提示人们，在什么时节应该加强森林防火。小概率原理在福利彩票双色球中的应用,则说明：买彩票只能作为娱乐消遣。
拟采用的技术路线、研究方法及步骤： 一研究方法 主要通过文献参考、资料搜集以及导师指导的方法进行初稿，二稿到三稿再定稿四部曲。 二技术路线及步骤 1 回顾知识 2 选定题目 3 参考文献 4 搜集资料 5 整合资料 6 完成初稿 7 参考文献 8 修改初稿 9 完成二稿 10参考文献 11修改二稿 12完成三稿 13参阅意见 14完成论文 总体安排及进度计划： 1、起止时间：2009.12.25～ 2010.05.20 2、查阅资料: 2010.01.13～ 2010.03.10 3、初稿时间：2010.03.14～ 2010.04.13 4、二稿时间：2010.04.14～ 2010.05.05 5、三稿时间：2010.05.05～ 2010.05.13 6、定稿时间：2010.05.13～ 2010.05.20
概率论文之小概率事件
概率统计论文 题目：小概率事件原理及其应用 学院：建筑工程学院 专业：工程管理 班级：２班 姓名： 学号： 2012 年１１月1９日
小概率事件原理及其应用 通过本学期对概率统计科目的学习以及通过学习概率对其他等方面的理解与应用，我感触很多，尤其是对于小概率事件的学习。下面我将谈谈我对小概率事件原理及其应用。 小概率事件，大家并不陌生，在生活中有许多小概率事件，这些事件看起来一点都不起眼，但是很多情况下却起着非常重要的作用，有的可能发生大的事故，如某人因购买彩票而中了大奖，意外发现了金银财宝等那是“天上掉馅饼”；还有“说曹操曹操就到”；还有像雷电伤人，吃饭被鱼刺卡喉，某人因车祸而失去生命，等等，这些小概率事件我们认为几乎是不可能发生的，对有些人来说，或许一辈子也碰不到一次，但是也有一些人可能多次遇到，小概率事件虽然看上去一点也不起眼，但是有时可能带来欢乐和福音，有时也可能带来悲伤与灾难，甚至可能会发生大的事故，如5.12汶川大地震，长江流域百年一遇的洪水，等等，虽然这些事件本身发生的概率极小，但往往具有和大的破坏力，因此说有些小概率事件是不可忽视的，我们只有充分的认识和把握它，并加以很好的应用，小概率事件就会给我们的生活带来意想不到的收获。 小概率事件的原理是概率论中具有实际应用意义的基本理论，又称为似然推理，根据大量重复试验中事件出现的频率接近于它们的概率，即指：若事件A 为小概率事件，但在一次或少数次试验中小概率事件A 居然发生了，就有理由认为情况不正常，事件A 不应该发生。小概率事件原理又称为小概率事件不发生原理，但应该明确：若某试验中出现A 的概率为ε，不管ε>0如何小，如果把试验不断独立地重复下去，那么A 迟早必然会出现一次，从而也必然会出现任意多次，因为第一次试验中A 不出现的概率为1-ε，前n 次A 都不出现的概率为()1n ε-，因此前n 次试验中A 至少出现一次的概率为1-()1n ε-。当n →∞时概率趋于1，这表示A 迟早会出现1次的概率为1。出现A 以后，把下次试验当作第一次，重复上述推理，可见A 必然再次出现。 再对于像一些生活中的事例子，如众所周知的买彩票的中奖概率，还有赛马、股票等等，我们都可以运用本学期的对概率统计的学习来计算做这些事能够达到目标的几率等等， 例如：”关于买彩票的问题”。 一．玩法和设奖方式 彩票玩法比较简单，2元买一注，每一注填写一张彩票．每张彩票由一个6位数字和一个特别号码组成．每位数字均可填写0、1、…、9这10个数字中的一个；特别号码为0、1、2、3、4中的一个． 每期设六个奖项，投注者随机开出一个奖号──一个6位数号码，另加一个特别号码即0～4中的某个数字．中奖号码规定如下：彩票上填写的6位数与开出的6位数完全相同，而且特别号码也相同──特等奖；6位数完全相同──一等奖；有5个连续数字相同──二等奖；有4个连续数字相同──三等奖；有3个连续数字相同──四等奖；有2个连续数字相同──五等奖．
全概率公式及其应用
全概率公式及其应用 (清华大学数学科学系 叶俊) 命题趋势: 即使是填空题和选择题，只考单一知识点的试题很少，大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力。要求大家能灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。 1. 全概率公式和Bayes 公式 概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和Bayes 公式正好起到了这样的作用。对一个较复杂的事件A ，如果能找到一伴随A 发生的完备事件组 ,,21B B ，而计算各个i B 的概率与条件概率)| (i B A P 相对又要容易些，这时为了计算与事件A 有关的概率，可能需要 使用全概率公式和Bayes 公式。 背景：例如，在医疗诊断中，为了诊断出现症状A 的患者，到底患了疾病B B 12, 中的哪一种，可用Bayes 公式算出在症状A 的情况下，起因于疾病B i 的概率 P B A i ()，而后按各个后验概率P B A i ()的大小来推断患者患哪种病的可能性最大． 完备事件组的理解：所有病因都知道，且没有并发症。 定义 称事件族 ,,21B B 为样本空间Ω的一个划分（也称 ,,21B B 为一个完备的事件组），如果满足)(j i B B j i ≠=φ 且Ω=∞ =i i B 1 。进而，如还有 ,,2,1,0)( =>i B P i 则称 ,,21B B 为样本空间Ω的一个正划分。 一般地，划分可用来表示按某种信息分成的不同情况的总和，若划分越细,则相应的信息更详尽。 定理1 (全概率公式) 设事件...,21B B 为样本空间Ω的一个正划分，则对任何一个事件A ,有 )()()(1 i i i B A P B P A P ∑∞ == 定理 2 (Bayes 公式) 设 ,,21B B 为样本空间Ω的一个正划分,事件A 满足 P A ()>0, 则
对小概率事件的认识和理解
对小概率事件的认识和理解 小概率事件是影响人们工作生活以及妨碍人们做出选择的一类事件。小概率原理之所以合乎情理，它的理论依据是伯努利大数定律。伯努利大数定律指出：事件A发生的概率与其发生的频率很接近，这样概率很小的事件发生的频率也很小，因而在一次试验中就认为A不会发生。若要研究小概率事件，首先要将小概率事件（一般定义其概率为0.05）与不可能事件概念分开。然而人们在长期的经验中往往更愿意相信两者是等价的，同样都不会发生。若是某小概率事件发生了，人们潜意识里便认为事件发生的条件改变了，例如某种人为原因造成，使它不再是小概率事件。然而，即便一个事件发生的概率再小它也还是存在的，只要将这一试验无限次的重复下去总有一天它会发生并且发生很多次，这便是小概率时间与不可能事件的本质区别。有古语说“有志者事竟成”从一定程度上来说不无道理。那么，你可能会问，多小的概率才能算是小概率事件呢？这要看时间发生的场合与发生后可能造成的后果。例如，一批食品达不到国家安检要求必须为小概率事件，因为它一旦发生就会对大量人的身体健康造成损害；其他影响不大的时间概率可以稍大一点，但一般不超过0.05，统计学认为小概率不应超过0.01或0.05。有关小概率时间的一些应用：尽管前面说过，某些小概率时间发生了人们不愿意承认，但是也有很多情况下人们是宁愿相信小概率事件是存在的。比如博彩，其实买彩票的人们心里的深知中奖概率小到何种程度，但是还是抱着投资很少的钱去赢得这个小概率事件的心态重复投资。以小概率原理来讲，在试验次
数很少的时候，小概率事件是近似等于不可能事件的。。就以购买江苏体彩为例：从0 －9这十个数中任选（可重复）6个数组成6位数,6 位数选定后,还要在0,1,2,3,4 中选一个“特别号”，以兑特等奖用，不难算的中特等奖的概率为五百万分之一。可见中高额奖金率极低,想一夜暴富可以说是天方夜谭。同样的例子有很多，例如保险公司常常获得巨大的利润即利用了小概率原理，充分了解了人们相信小概率事件存在的心理。保险公司亏本概率计算问题例：某一保险公司，有2500个统一年龄层的相同社会阶层的人参加保险，在一年内，每个人死亡的概率为0.002。每个参加保险的人在1月1日付12元保险费，而当它在这一年死亡时，家属可从公司领取保险费2000元。求：此保险公司亏本的概率。按年来算，每年公司的收入为12×2500=30000元，假定死亡x人，则保险公司该年需赔付2000x 元，若保险公司赔本，则需2000x>30000即x>15.把“参加保险的每人在该年是否死亡”看成一次随机试验，2500人参加试验就相当于2500重贝努利试验，于是x~b(k,2500,0.002).由泊松定理，P(x>15)=0.0069。可见保险公司赔本的概率是非常小的。
小概率事件原理资料
小概率事件原理在生活中的应用 一、摘 要： 概率是研究随机现象的数量规律的科学，它的理论的方法已成为研究国民经济和技术不可缺少的工具，概率最早起源于对赌博问题的研究。十七世纪就出现了概率论，随着社会的发展，概率论在工农生产、国民经济、现代科学技术等方面具有广泛的应用。这既是近年来我国数学课程改革的成果之一，也是实现教育内容现代化的一个重要举措。高中数学的许多知识与概率有着密切的联系，特别是所学的排列、组合等知识在概率中得到了较为充分的应用，同时已经学习了的概率论与数理统计等内容也都以概率初步知识为基础。 小概率事件概率论是研究随机现象统计好规律的科学。在概率论与数理统计已获得当今社会的广泛应用、概率已成为日常生活的普通常识的今天，对现实生活中的概率问题进行研究就更显得十分重要，小概率事件原理是概率论中实用价值较高，应用范围较广的基本理论，下面我们略举一些实例介绍其在其他生活领域的应用。 关 键 词：概率，骗局，抽签，质量检查，商场管理，相遇问题，假设检验，经济效益， 二、小概率事件的认识： 在n 次独立的重复试验中，事件A 发生的次数设为n μ，P 为事件A 发生的概率。则对ε? ＞0，有 0}P -n {lim n n =≥∞→εμP 或 1}{lim =≤-∞→εμP n P n n 根据伯努力大数定律，在大量重复试验中事件出现的频率接近于概率。假设事件A 发生的概率为0.001，则在1000次试验中，事件A 发生的次数大体为1次。但不管其概率是多么小，其值总是一个确定的正数。该事件随着试验次数的不断增加，迟早会发生的概率趋近于1。事实上，假如在某个随机试验中，事件A 的概率为 P （A ）=ε，ε是一个充分小的正数，则不论ε如何小，只要不断独立地重复这一试验，事件A 总是会发生的（即A 发生的概率为1）。 设以A k 表示事件A 于第k 次试验中发生这一事件，则P （A k ）=ε。
生活中的小概率事件
生活中的小概率事件前言: 概率作为数学的一个重要部分，在生活中的应用越来越广，同样也在发挥着越来越广泛 的用处。让学生用数学知识和数学的思维方法去看待、分析、解决实际生活问题，在数学 活动中获得生活经验，概率论是指导人们从事物表象看本质的一门科学，本文主要简单介 绍了概率论现实生活的部分现象与分析概率知识的广泛应用。 关键字：小概率概率原理应用 正文： 1.小概率事件的原理 小概率事件应从两方面认识它：一方面由实际推断原理知道，小概率事件A在一次 实验中几乎是不发生的；另一方面，在不断地独立重复实验中，小概率事件A迟早发生的 概率为1。 前者是讲：在实践中，人们总结到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”，这一经验称为“实际推断原理”。事实上，“小概率事件”通常是指发生概率在 0.01以下或0.05以下的事件。这两个值称为小概率标准，主要是为了查表方便，没有其 他特别的含义。对于这类实验来说，在大量重复的实验中，平均每100次或20次才发生一次，所以认为在一次实验中该事件是几乎不可能发生的。后者是讲：尽管“小概率事件”，在一次实验中几乎不发生，但如果实验的次数多了，该事件当然是很可能发生的。 2.小概率事件原理的应用 2.1在一次实验中小概率事件几乎不发生 数学中的小概率原理认为：在一次实验中，概率很小的事件实际上不可能发生。这 个“很小”，一般理解为在个别事件中发生的概率小于5?，这样的事件称为小概率事件。 小概率事件在一次事件中认为是不可能发生的。如果在一次实验中，某个小概率事件发生了，则认为出现了不合理的现象，由此可以推断原来的条件或假设是错误的。 这个小概率原理就是我们假设检验这一章理论依据。 小概率原理的推断方法是概率性质的反证法，首先提出假设，继而根据一次实验的 结果进行计算，最后按一定的概率标准作出鉴别。 其一般程序是： 第一步：先根据问题的题意提出原假设H0; 第二步：然后在原假设H0 成立的条件下，寻找与问题有关的小概率事件A,并进行 一次试验； 第三步：再观察试验结果，看A是否发生？若发生则与小概率事件在一次试验中不 可能发生原理矛盾，从而拒绝原假设H0，否则只能接受原假设H0。
全概率公式的推广及应用
全概率公式的推广及应用 摘要全概率公式是概率论中的重要公式，在实际生活中有广泛的应用，但 适用条件比较严格.本文给出五种全概率公式的推广形式，弱化了全概率公式事件列是互不相容的条件，拓展了使用范围，最后给出了相关的应用. 关键词概率空间;事件;全概率公式 Generalization and Applications of Full probability formula Xiaoye Cheng School of mathematics and computer science Abstract Full probability formula is one of the most important formula in probability theory. It has been used widely in real life. However, the conditions of this formula is very strict. In this paper, we give five kinds of generalized formula, which weaken the incompatible conditions in full probability formula. In the last section, we give some examples to show the applications of these generalized full probability formula. Keywords probability space;events; full probability formula 1、引言 我们学习了事件和概率，知道一个复杂事件的发生往往由多种条件导致，这时它的概率往往不易直接求得，在这种情况下复杂事件的概率就需要使用全概率公式，但全概率公式的使用条件比较有限，所以扩大全概率公式的使用范围，推广全概率公式是本文研究的内容.全概率公式是概率论中最基本的公式之一，提供了计算复杂函数概率的一条有效途径，往往能使一个复杂函数的概率计算问题简化，但全概率公式的适用条件限制了它的使用范围，因此将全概率公式的条件弱化，扩大它的使用范围就成为我们研究的目标.本文给出了五种全概率公式的推广形式，进一步拓展了全概率公式的使用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工.
小概率事件的原理与应用
小概率事件的原理与应用 摘要：小概率事件原理是概率论中具有实际应用意义的基本理论，它的存在发展变化是不以人的意志为转移的，我们应该充分认识重视和运用它。本文阐述了小概率事件和不可能事件的区别 ，小概率事件的原理，及其在日常生活中的应用。 关键词：小概率事件 小概率事件原理 应用 一般来讲，我们会首先关注那些发生概率比较大的事情。概率论的发展初期，概率研究就是围绕赌博来进行的，赌徒当然希望自己以比较大的可能性获胜，从而寻找胜率大的策略。相应的，我们谈概率分布，也喜欢谈论这个分布的峰值，大量统计理论实际上就是在研究“峰值” 。更重要的是，在上世纪随机过程逐渐被科学家，特别是物理学家重视的时候，随机数学是被视作宏观确定理论的某种补充，期间，大数定律和中心极限定理都客观上迎合了科学家们的这种直观和愿望人们总是相信，基于随机运动在大尺度下的稳定性，我们关注大概率事件，是合情又合理的。 回到科学研究本身，当我们以常规的科学态度去观察“大概率”的时候，我们同样发现小概率的价值。比如生活中就有一些小概率事件,它们起着非常重要的作用, 有的可能会导致大的事故的发生。比如自然界中的日全食，地震，暴雨,，小行星撞地球等等。又比如人类社会的彩票中奖, 电梯停电。这样的例子很多，虽然这些事件本身发生概率很小，但往往具有很大的破坏性。 因此, 这些小概率事件是不可忽视的。因此，对小概率事件的研究和分析亦显得尤为重要。 小概率事件与小概率原理 “大”“小”本身就是带有模糊色彩的形容词。如果仅仅停留在文字概念层面，我们很难进行深入的数学处理。比如，一台阑尾切除手术和一台心脏移植手术，我们对于手术过程中的“小概率”差错就不可能有统一的标准和认识。所以，作为数学来讲，首先要确定怎样的事件才被称作小概率事件。并且，一般来说，小概率的定义应该是一种“动态趋势”，也就是说，对于固定尺度的系统，谈论“大”“小”是意义不大的，我们要看随着系统某一特征参数（比如规模大小）的变化，我们关心的发生概率以一种怎样的“速率”变化。不过，一般来说，概率论中将概率很小（小于0.05）的事件叫做小概率事件。贝努利大数定律：在n 次独立重复试验中，记事件A 发生的次数为 A n 。P 是事件Ａ发生的概率。则对于任意正数ε＜ 0 ，有 lim {}1A n n P p n ε→∞-<= 或 lim {}0A n n P p n ε→∞-≥= 根据贝努利大数定律，事件A 发生的频率A n / n 依概率收敛于事件A 发生的概率。就是说，当很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性非常小。假如某事件发生的概率很小，由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替概率。倘若某事件发生的概率α很小，则它在大量重复试验中出现的频率也应该很小。 例如，若＝0.001，则大体上在1000次试验中，才能出现1 次。因此，概率很小的事件在一次试验中不大可能发生。在概率论的应用中，称这样的事件为实际不可能事件。实际不可能事件在一次试验中 n A A A αA