初三二次函数的图像与性质

初三二次函数的图像与性质

二次函数是初中数学中的一个重要概念。在数学学习的过程中，我

们常常会接触到二次函数，并且需要了解它的图像特点以及性质。本

文将详细介绍初三二次函数的图像和性质，并且给出相关的例题和解析。

一、二次函数的定义及一般式

二次函数是指函数$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数且$a\neq 0$。它的图像是抛物线，并且开口的方向由$a$的正负决定。当$a>0$时，

抛物线开口向上；而当$a<0$时，抛物线开口向下。

二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数。其中，

$a$代表抛物线的开口方向与开口的大小，$b$影响抛物线的位置，

$c$影响抛物线和$y$轴的交点。

【例题1】某二次函数的方程是$y=2x^2-3x+1$，求该二次函数的图

像和性质。

解：根据给定的二次函数方程，我们可以得到$a=2$，$b=-3$，

$c=1$。由于$a>0$，所以抛物线开口向上。

考虑二次函数的图像特点，我们可以使用一些方法来绘制它的图像。首先，我们可以找出抛物线的对称轴，对称轴的方程为$x=-

\frac{b}{2a}$。代入$a=2$，$b=-3$，我们得到$x=-\frac{-

3}{2\times2}=\frac{3}{4}$。因此，对称轴的方程为$x=\frac{3}{4}$。

接下来，我们需要计算抛物线的顶点坐标。顶点坐标可以通过将对

称轴的$x$坐标代入原函数方程计算得到。将$x=\frac{3}{4}$代入

$y=2x^2-3x+1$，我们得到$y=2(\frac{3}{4})^2-

3(\frac{3}{4})+1=\frac{9}{8}-\frac{9}{4}+1=\frac{1}{8}$。因此，顶点

坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。

不难看出，根据顶点的坐标和对称轴的方程，我们可以绘制出该二

次函数的图像。它是一个开口向上的抛物线，对称轴为$x=\frac{3}{4}$，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。

既然我们已经知道了二次函数的图像，接下来我们来了解它的性质。

二、二次函数的性质

1. 零点和交点：二次函数可能有零，也可能没有。当二次函数有零

点时，这些点就是函数图像与$x$轴的交点。零点可以通过解方程

$ax^2+bx+c=0$求得。若该方程有两个根，说明二次函数与$x$轴有两

个交点；若该方程有一个根，说明二次函数与$x$轴有一个交点；若该

方程没有实根，说明二次函数与$x$轴没有交点。

【例题2】某二次函数的方程是$y=2x^2-3x+1$，求该二次函数与

$x$轴的交点。

解：我们已经知道了这个二次函数的方程为$y=2x^2-3x+1$。要求

它与$x$轴的交点，我们需要解方程$2x^2-3x+1=0$。

通过使用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们可以求

出该方程的根。代入$a=2$，$b=-3$，$c=1$，我们得到$x=\frac{-(-

3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\times2\times1}}{2\times2}=\frac{3\pm\sqrt{1}}{4}$。

化简后得到$x=\frac{3\pm1}{4}$，即$x=\frac{1}{2}$和$x=1$。因此，该二次函数与$x$轴的交点为$(\frac{1}{2}, 0)$和$(1, 0)$。

2. 单调性：二次函数在对称轴两侧具有不同的单调性。当$a>0$时，对称轴上的函数值最小，函数图像开口向上，所以函数在对称轴两侧

递增；当$a<0$时，对称轴上的函数值最大，函数图像开口向下，所以

函数在对称轴两侧递减。

3. 极值点：二次函数的顶点是它的极值点。当$a>0$时，函数的顶

点为最小值点；当$a<0$时，函数的顶点为最大值点。

通过以上性质，我们可以更好地理解和分析二次函数的图像。

【例题3】如果一个二次函数的顶点坐标为$(3, 4)$，且开口向上，

求该二次函数的方程。

解：已知顶点坐标为$(3, 4)$，开口向上。根据顶点的坐标，我们可

以得到对称轴的方程为$x=3$。

由于开口向上，所以$a>0$。代入到一般式$y=ax^2+bx+c$，我们得

到$y=a(x-3)^2+4$。

至此，我们可以得到该二次函数的方程为$y=a(x-3)^2+4$，其中$a>0$。

通过以上的例题和解析，我们对初三二次函数的图像与性质有了较为深入的了解。掌握了二次函数的图像特点和性质，我们可以更好地解题和应用二次函数。

综上所述，初三二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向由$a$的正负决定。初三二次函数的性质包括零点和交点、单调性以及极值点等。理解并掌握这些概念，可以帮助我们更好地应对与二次函数相关的问题和题目。初三同学们在学习二次函数时，可通过总结归纳了解二次函数的图像与性质，并灵活应用于解题过程中。希望本文所述能为初三同学的数学学习提供一定的帮助。

二次函数的图像与性质

二次函数的图像与性质 二次函数是一种由幂指数为2的多项式函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。二次函数是数学中重要的 函数之一，其图像呈现出特殊的凹弧形状，被称为抛物线。 1.图像的性质： -对称性：二次函数的图像在垂直于x轴的直线x=-b/2a处有对称轴，对称轴将抛物线分为左右对称的两部分。 -开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 -最值：当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。 - 零点：二次函数的零点即为其对应的二次方程的解，可以通过求解ax^2 + bx + c = 0得到。 2.导数的性质： - 二次函数的导数为f'(x) = 2ax + b，表示了二次函数在各点的斜率。 -当a>0时，导数恒正，表示抛物线在x轴右侧上升；当a<0时，导 数恒负，表示抛物线在x轴右侧下降。 - 抛物线的顶点处导数等于0，即2ax + b = 0，解得x = -b/2a。 这也是抛物线对称轴的x坐标。 3.二次方程的性质：

- 二次函数f(x)的解即为对应的二次方程ax^2 + bx + c = 0的解。根的性质可以通过判别式Δ = b^2 - 4ac来判断： -当Δ>0时，方程有两个不相等的实根，对应函数图像与x轴有两个 交点。 -当Δ=0时，方程有两个相等的实根，对应函数图像与x轴有一个交点，此时抛物线与x轴切于顶点。 -当Δ<0时，方程无实根，对应函数图像与x轴没有交点，抛物线位 于x轴上方或下方。 通过以上性质，我们可以更全面地了解和描述二次函数的图像特征和 行为。二次函数是数学中重要的函数之一，具有广泛的应用领域，例如物 理学中的抛物线轨迹、经济学中的成本与收益关系等。在解题和问题分析中，二次函数的性质也常常被应用。 例如，当我们要求解一个实际问题时，可以建立对应的二次函数来描 述其中的关系，并通过函数性质来分析和解决问题。或者对于一个给定的 二次函数，我们可以通过其图像和相关性质来推断函数的行为和特点，进 而进行更深入的研究。 总之，二次函数作为一种特殊的多项式函数，在数学中起到非常重要 的作用。通过研究其图像、导数和二次方程的性质，我们可以更好地理解 和应用二次函数。

初三数学二次函数知识点总结

初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质：

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -⎛ ⎫=++ ⎪⎝ ⎭，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴

二次函数的图像性质及应用

二次函数的图像性质及应用 二次函数是一种代数函数，由形如f(x) = ax^2 + bx + c 的方程定义，其中a、b、c为实数且a不等于0，x为自变量，f(x)为因变量的值。在二次函数的图像性质及应用方面，可以从以下几个角度来进行解析。 一、图像性质 1. 平移性质：二次函数的图像可以根据a、b、c的值进行平移。当c不为0时，图像沿y轴平移c个单位；当b不为0时，图像沿x轴平移-b/2a个单位；当a 不为0时，图像的开口方向取决于a的正负性，开口向上（a>0）或者开口向下（a<0）。 2. 对称性质：二次函数的图像关于y轴对称。这是因为二次函数的方程中只有x 的二次项没有一次项，故图像关于y轴对称。 3. 零点性质：二次函数的零点是指函数值为0的x值。对于一般的二次函数，它将有两个零点，除非它开口向上或开口向下且顶点位于x轴上，此时则只有一个零点。 4. 首项分类：当a>0时，二次函数的图像开口向上，称为正二次函数；当a<0时，二次函数的图像开口向下，称为负二次函数。首项a的正负性决定了二次函数的凹凸性。

二、应用 1. 自然科学中的运动学问题：二次函数可以用来描述自然界中物体的运动状态。例如，自由落体运动中物体的下落高度与时间的关系可以用二次函数来表示。 2. 经济学中的成本与收益问题：在经济学中，很多问题可以用二次函数来建模。例如，成本与产量之间的关系、价格与需求之间的关系等。 3. 地理学中的地形分析：地理学中，二次函数可以用来描述地形的变化。例如，山谷河流的横断面、地势的坡度等。 4. 工程学中的建模问题：在工程学中，二次函数可以应用于许多建模问题，如桥梁设计、弹道分析等。 总结起来，二次函数的图像性质包括平移性质、对称性质、零点性质和首项分类。而其应用领域广泛，包括自然科学中的运动学问题、经济学中的成本与收益问题、地理学中的地形分析以及工程学中的建模问题等。通过对二次函数的图像性质及应用的深入理解，可以更好地应用于实际问题的建模与求解。

二次函数图像与性质完整归纳

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配 方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当

二次函数图像与性质完整归纳

二次函数图像与性质完整归纳

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质： 上加下减。 a 的 符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质 0 a > 向上 ()00， y 轴 x >时，y 随x 的增大而增 大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最 小值0． a < 向下 ()00， y 轴 x >时，y 随x 的增大而减 小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最 大值0． a 的 符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质

3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 a > 向上 ()0c ， y 轴 x >时，y 随x 的增大而增 大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最 小值c ． a < 向下 ()0c ， y 轴 x >时，y 随x 的增大而减 小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最 大值c ． a 的 符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质 0 a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增 大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最 小值0． a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减 小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最 大值0．

4. () 2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2 y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： a 的 符号 开口方向 顶点 坐标 对称轴 性质 0 a > 向上 ()h k ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增 大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最 小值k ． a < 向下 ()h k ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减 小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最 大值k ．

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质总结 二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。 一、图像特征： 1.开口方向： -当a>0时，抛物线开口向上； -当a<0时，抛物线开口向下。 2.顶点： -对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点； -对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。 3.对称轴（y轴）： - 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a； -对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点； -对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。 4.最值： -对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标； -对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。

5.零点： - 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点； -二次函数可能有0个、1个或2个零点； - 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根； - 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根； - 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。 6.增减性： -当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增； -当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。 二、性质总结： 1.函数的解析式： - 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0； -通过解析式可以得到函数的图像特征。 2.零点： -零点是指函数与x轴的交点； - 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解； - 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根； - 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；

人教版九年级数学上《二次函数的图像和性质》知识全解

《二次函数的图像和性质》知识全解 课标要求 理解二次函数的概念，会根据函数的解析式画出函数的图像，熟练掌握二次函数的图像及性质。 知识结构 知识点1：二次函数概念 一般地，形如y=ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数.其中x 是 自变量，a 、b 、c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.函数的名称反映了函数表达式与自变量的关系. 知识点2：2()y a x h k =-+及2 y ax bx c =++的图像及性质 （1）抛物线2()y a x h k =-+有如下特点： ①当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下； ②对称轴是直线x=h ； ③顶点坐标是（h ，k ）. （2）抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点. 一般地，二次函数2y ax bx c =++的图像叫做抛物线2y ax bx c =++，我们可以用配方求抛物线2 y ax bx c =++=224()24b ac b a x a a -++的顶点与对称轴.因此，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是2b x a =-、顶点坐标是24(,)24b ac b a a --. 内容解析 在本节中，教材首先从实例中引出二次函数，进而给出二次函数的定义.关于二次函数的图像和性质的讨论分为以下几部分.（1）从最简单的二次函数函数2 y x =出发，通过描点画出它的图像，从而引出抛物线的有关概念.（2）讲述二次函数2y ax =的图像的画法，并归纳出这类抛物线的特征.（3）讨论形如2y ax k =+和2()y a x h =-的函数的图像，然后讨论形如2()y a x h k =-+的函数的图像.（4）讨论函数2y ax bx c =++的图像. 上述讨论过程如图26-1所示： 重点难点

二次函数的图像与性质

二次函数的图像与性质 二次函数是高中数学中一个重要的概念，它在数学和实际问题中有 着广泛的应用。本文将介绍二次函数的图像与性质，包括图像的形状 与位置、顶点坐标、对称性、最值和零点等方面。 1. 图像的形状与位置 二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数， 且a不等于0。二次函数的图像是一个抛物线，它的形状取决于二次项 的系数a的正负和大小。 如果a大于0，则抛物线开口朝上；如果a小于0，则抛物线开口朝下。a的绝对值越大，抛物线的开口越窄；a的绝对值越小，抛物线的 开口越宽。 2. 顶点坐标 二次函数的顶点是抛物线的最高点（开口朝下）或最低点（开口朝上），它的坐标可以通过顶点公式来求得。顶点公式为： x = -b/(2a)，y = f(x) = c - b²/(4a) 顶点坐标的x值表示抛物线的对称轴位置，y值表示抛物线的最值。 3. 对称性 二次函数的图像具有对称性。对于任意点(x, y)在图像上，其关于对 称轴的对称点也必定在图像上。对称轴通过顶点，因此对称性可以通 过对称轴方程来表示：x = -b/(2a)。

4. 最值 二次函数的最值即为函数在定义区间内的最大值或最小值。开口朝上的二次函数在顶点处取得最小值，开口朝下的二次函数在顶点处取得最大值。 最值的计算可以通过顶点坐标中的y值来得到。 5. 零点 二次函数的零点是函数图像与x轴的交点。也就是函数取值为0时的x值，可以通过解二次方程f(x) = 0来求得。二次方程的解可以使用求根公式，即： x = (-b ±√(b²-4ac))/(2a) 其中±表示两个解，可能有两个不同的零点，也可能有两个相等的零点，甚至可能没有实数解。 总结： 二次函数的图像与性质可以通过以下几个方面来描述：图像的形状与位置，顶点坐标，对称性，最值和零点。这些性质对于理解和应用二次函数都非常重要。 通过本文的介绍，相信读者对二次函数的图像与性质有了更深入的理解。掌握二次函数的这些性质，可以帮助我们解决各种实际问题，提升数学应用能力。

九年级数学-二次函数的图象和性质

第二十二章 二次函数 第5讲 二次函数的图象和性质 【板块一】二次函数的图象和性质 题型一 开口方向、对称轴、顶点坐标及位置 【例1】(1)抛物线y ＝2x ²＋1的开口方向是 向上 ，对称轴是 y 轴 ，顶点坐标是 (0，1) ；二次函数 y ＝－ 12 (x ＋1)²﹣2的图象的开口方向是 向下 ，对称轴是直线 x ＝﹣1 ，顶点坐标是(﹣1.﹣2). (2)抛物线y ＝2x ²＋1在x 轴的 上 方；当x ＞0时，图象自左向右逐渐 上升 ，它的顶点是最低点；抛物线y ＝－12 (x ＋1)²﹣2，当x 为全体实数 时，它的图象在x 轴的 下方 ，顶点是 最高点 。 【解析】当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下，y ＝a (x ﹣h )²＋k 的顶点坐标为(h ，k )，对称轴是直线x ＝h ；当a ＞0时，抛物线的顶点为最低点，当a ＜0时，抛物线的顶点为最高点。 题型二 抛物线的开口大小 【例2】如图，若抛物线y ＝ax ²与四条直线x ＝1，x ＝2，y ＝1，y ＝2围成的正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是( ) A .14≤a ≤1 B ．12≤a ≤2 C .12≤a ≤1 D .14 ≤a ≤2 【解析】确定a 的取值范围，就是探究抛物线的开口大小，当抛物线经过点D 时，开口最小；抛物线经过点B 时，开口最大，而这两条抛物线的解析式的a 值分别2， 14，∴14≤a ≤2. 故选Ｄ． 【例3】如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y ＝x ²；②y ＝－ 12 x ²，③y ＝－2x ²的图象，则三个图象I ，Ⅱ，Ⅲ对应的抛物线的解析式依次是 ②③① . 【解析】当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时，开口向下；当|a |越大，开口越小，当|a |越小，开口越大。故

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质总结 二次函数的图像和性质 二次函数的图像与性质可以通过解析式、a的取值、开口 方向、函数值的增减、顶点坐标、对称轴和图像与y轴的交点来确定。 当a>0时，二次函数的开口向上；顶点坐标在对称轴上方；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x的增大而增大。图像与y轴的交点坐标为(0.c)。 当a<0时，二次函数的开口向下；顶点坐标在对称轴下方；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x的增大而减小。图像与y轴的交点坐标为(0.c)。 抛物线的平移法则可以通过把抛物线y=ax^2平移k个单 位或h个单位得到y=ax^2+k或y=a(x+h)^2的图像。当k>0时，向上平移；当k0时，向左平移；当h<0时，向右平移。

二次函数的最值公式：当a>0时，函数有最小值，最小值为y=4ac-b^2/4a；当a<0时，函数有最大值，最大值为y=4ac-b^2/4a。与y轴的交点坐标为(0.c)。 抛物线的开口大小由a决定，a越大开口越小。 二次函数与一元二次方程的关系：二次函数y=ax^2+bx+c 的图像与一元二次方程ax^2+bx+c=0的解有关，即二次函数的顶点坐标和最值问题可以通过一元二次方程的解来求得。当a>0时，函数有最小值，最小值为y=4ac-b^2/4a，对应一元二次方程的两根。当a<0时，函数有最大值，最大值为y=4ac- b^2/4a，对应一元二次方程的两根。 当$\Delta>0$时，二次函数与x轴有两个交点；当 $\Delta=0$时，二次函数与x轴有一个交点；当$\Delta<0$时，二次函数与x轴没有交点。当$\Delta\geq0$时，二次函数与x 轴有交点。（此定理的逆定理也成立。） 7.二次函数的三种常用形式： 1) 一般式：$y=ax^2+bx+c$

一次函数与二次函数的图像与性质

一次函数与二次函数的图像与性质一次函数和二次函数是数学中常见的函数类型。它们在图像和性质 上有着明显的区别。本文将分别对一次函数和二次函数的图像及性质 进行介绍。 一、一次函数的图像与性质 一次函数又称为线性函数，它的表达式为y = ax + b，其中a和b是 常数，且a ≠ 0。一次函数的图像是一条直线，具有以下性质： 1. 斜率：一次函数的斜率代表了直线的倾斜程度。斜率为正值时， 直线向右上方倾斜；斜率为负值时，直线向右下方倾斜；斜率为零时，直线为水平线。 2. 截距：一次函数的截距代表了直线与y轴的交点。当x=0时，直 线与y轴的交点为截距b。 3. 线性关系：一次函数的图像是一条直线，表示了两个变量之间的 线性关系。直线方程中的斜率a表示了自变量x单位增加时因变量y的增加量。 二、二次函数的图像与性质 二次函数的一般形式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c是常数，且 a ≠ 0。二次函数的图像是一条抛物线，具有以下性质： 1. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。当 a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，也就是函 数的根。零点也是方程y=0的解。 3. 极值点：二次函数的极值点是指函数图像的最高点或最低点。当 抛物线开口向上时，极值点是最低点；开口向下时，极值点是最高点。 4. 对称轴：二次函数的对称轴是指抛物线的中心线，对称轴的方程 为x=-b/(2a)。对称轴把抛物线分为两个对称的部分。 5. 最值：二次函数的最值是指函数图像的最低点或最高点的纵坐标值。 总结： 一次函数和二次函数在图像与性质上具有明显的区别。一次函数的 图像是一条直线，具有斜率和截距，表示了线性关系。而二次函数的 图像是一条抛物线，具有开口方向、零点、极值点、对称轴和最值等 性质。 了解和掌握一次函数和二次函数的图像与性质，对于数学问题的解 决和实际应用具有重要意义。在解题过程中，可以通过判断函数类型，灵活运用相关性质，从而得到正确的答案。通过深入学习和实际练习，使我们对一次函数和二次函数的理解更加深入，应用更加灵活。

二次函数图像和性质总结(附答案解析)

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ， 处,具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上"h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移"． 概括成八个字"左加右减,上加下减"． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上〔下平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2 ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左〔右平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -⎛ ⎫=++ ⎪⎝ ⎭,其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选 取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ,()20x ，〔若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，． 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时,y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，．当 2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时,y 有最

二次函数图像与性质完整归纳

二次函数图像与性质完整归纳 二次函数的图像与性质 二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表 示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。根据 a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。 在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的 形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对 称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。

除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。根据 a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。 在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k 的形式。根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和 对称轴可以得到不同的性质。当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h； 当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对 称轴为直线x=h。 二次函数图象的平移 二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。具体方法有两种：一种是将抛物线解析式转化成顶

中考数学考点14二次函数图像与性质及与a、b、c的关系(解析版)

二次函数图像与性质及与a 、b 、c 的关系 【命题趋势】 在中考中.二次函数的图像与性质常在选择题和填空题常考；二次函数图像与系数a 、b 、c 的关系常在选择题或填空题的最后一题出现。 【中考考查重点】 一、会用描点法画出二次函数的图像.通过图像了解二次函数的性质； 二、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为k a x +=-) h (2 y 的形式.并能 由此得到二次函数图像的顶点坐标.说出图像的开口方向.画出图像的对称轴。 考点一：二次函数的概念及三种解析式 概念 形如 的函数叫二次函数 三种解析式 1. 一般式：； 2. 顶点式： （a ≠0）其中（h,k ）为二次函数的顶点 坐标 3. 交点式：.其中 为抛物线与x 轴交 点的横坐标 图像画法 列表、描点、连线 1．（2021秋•黔西南州期末）下列各式中.y 是关于x 的二次函数的是（ ） A ．y ＝4x +2 B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2 C ．y ＝3x 2+5﹣4x D ．y ＝ 【答案】C 【解答】解：A ．y ＝4x +2.是一次函数.故A 不符合题意； B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2＝﹣2x +1.是一次函数.故B 不符合题意； C ．y ＝3x 2+5﹣4x ＝3x 2﹣4x +5.是二次函数.故C 符合题意； D ．y ＝ 等号右边是分式.不是二次函数.故D 不符合题意； 故选：C ．

考点二：二次函数的图像与性质 2 ．（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x +5.则该二次函数图象的顶点坐标是（ ） A ．（﹣2.1） B ．（2.1） C ．（2.﹣1） D ．（1.2） 【答案】B 【解答】解：∵二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x +5. ∴x ＝﹣ ＝﹣ ＝2.y ＝ ＝ ＝1. 二次函数图象的顶点坐标为（2.1）. 故选：B ． 3．（2020秋•莫旗期末）对于二次函数y ＝（x ﹣1）2 +2的图象.下列说法正确的是（ ） A ．开口向下 B ．当x ＝﹣1时.y 有最大值是2 C ．对称轴是直线x ＝﹣1 解析式 对称轴 直线（还可以利用.其中为y 值相等的两个点 对应的横坐标）求解） 顶点坐标 2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ， 增减性 当时.在对称轴左侧.y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧.y 随x 的增大而增大 当a ＜0时.在对称轴左侧.y 随x 的 增大而增大；在对称轴右侧.y 随x 的增大而减少 最值 当 时.y 有最小值 当2b x a =-时.y 有最小值 2 44ac b a -． 当a ＜0时.y 有最大值 当 时.y 有最大值

(完整)二次函数的图像及其性质

二次函数的图像 【学习目标】 1、会做函数y=ax 2 和y=ax 2 +c 的图象,并能比较它们的异同；理解a,c 对二次函数图象的影响，能正确说出两函数的开口方向，对称轴和顶点坐标； 2、了解抛物线y=ax 2上下平移规律； 3、熟练掌握二次函数的性质； 4、应用二次函数解决实际问题. 【主要概念】 【1】二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点. 【2】二次函数图像的画法 五点法： 1、先根据函数解析式,求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 2、求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A ，B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图.如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

【3】二次函数的性质

【4】二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义 a 表示开口方向:a 〉0时,抛物线开口向上 a 〈0时，抛物线开口向下 b 与对称轴有关:对称轴为x=a b 2- c 表示抛物线与y 轴的交点坐标:(0，c ） 【5】二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点. 当∆〉0时,图像与x 轴有两个交点； 当∆=0时，图像与x 轴有一个交点； 当∆〈0时，图像与x 轴没有交点。 【5】二次函数的平移 1、将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； 2、 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位