初中数学教案：二次函数的性质与图像

初中数学教案：二次函数的性质与图像

一、二次函数的基本性质

二次函数是指形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c分别为实数且a≠0。在初中数学中，学习二次函数的性质和图像是非常重要的内容，掌握了这些基本知识后能够更好地理解和应用二次函数。

1. 首先是关于二次函数的开口方向。通过观察函数的系数a可以判断其开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口朝上；当a<0时，二次函数的图像开口朝下。这个特点可以通过对比正负值来判断。

2. 其次是关于二次函数的顶点。顶点是二次函数图像上最高或最低点的坐标，在解析式中可以通过完成平方项得到。顶点坐标表达形式为(-b/2a, f(-b/2a))或者(xv, yv)，其中xv=-b/2a为顶点横坐标，yv=f(xv)为纵坐标。

3. 还有关于二次函数的对称轴。对称轴是指经过顶点并与抛物线相切或相交于一点（即x=xv）的某条直线，一般表示为x=xv。在求出顶点后很容易确定对称轴的方程。

4. 最后是关于二次函数的零点。零点是使得函数值为0的横坐标，即f(x)=0的解。求解零点需要将二次函数设置为0，通过公式或者配方法求解出x的值，得到的结果一般有两个，表示抛物线与x轴交点。

二、二次函数图像的绘制

了解了二次函数的基本性质后，我们可以通过这些性质来绘制出准确的二次函数图像。

1. 根据顶点和开口方向确定图像大致形状。如果a>0，则开口朝上，在顶点上方开始从左到右逐渐增大；如果a<0，则开口朝下，在顶点下方开始从左到右逐渐减小。

2. 再通过计算找出顶点坐标和对称轴方程。根据公式-xv=b/2a，可以求得顶点

横坐标xv；然后将xv代入原始方程求得纵坐标yv；对称轴即为x=xv。

3. 找出零点（若存在）。将函数设置为0，并使用公式或配方法求解出零点。

此时可以用一个特殊符号表示两个实数解。

4. 在坐标系中画出对称轴，并以对称轴为中心按照函数的开口方向分别标出顶

点和零点。根据顶点和零点数量可以确定抛物线与x轴的交点个数。

5. 根据已知信息，如对称轴、顶点坐标等，使用刻度尺标出其他需要的坐标点，并将抛物线连起来即可得到准确的二次函数图像。

三、二次函数图像的应用

了解了二次函数的性质和如何绘制图像后，我们就能更好地理解和应用二次函

数在实际问题中的意义。

1. 抛物线与最值问题。通过观察抛物线开口方向可以得知图像是否有最大值或

最小值。在求解优化问题时，可以利用二次函数的性质找到使得函数取得最大或最小值的横坐标。

2. 面积和体积计算。许多几何形状的面积和体积计算都涉及到二次函数。例如，矩形面积可以表示为x*y，其中x和y是矩形边长；圆柱体积可以表示为πr^2h，

其中r是底面半径，h是高度。

3. 运动轨迹分析。在运动学中，运动轨迹往往由一条弧线组成。通过建立数学

模型，可以将运动问题转化为二次函数图像的分析。例如，抛体向上抛物线的高度和时间、水平抛出物体的运动轨迹等。

总结起来，初中数学中学习二次函数的性质与图像是一个非常关键和基础的内容。通过对二次函数基本性质的了解，我们能够更好地理解和应用二次函数。掌握绘制二次函数图像的方法可以让我们准确地表示出二次函数在坐标系中的形状。而对于实际问题中运用二次函数所涉及到的计算、优化和分析等方面，这些知识也是

必不可少的工具。因此，在初中数学教学中，应注重培养学生对于二次函数性质与图像绘制方法的理解与应用能力。

二次函数的图像与性质

二次函数的图像与性质 二次函数是一种由幂指数为2的多项式函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。二次函数是数学中重要的 函数之一，其图像呈现出特殊的凹弧形状，被称为抛物线。 1.图像的性质： -对称性：二次函数的图像在垂直于x轴的直线x=-b/2a处有对称轴，对称轴将抛物线分为左右对称的两部分。 -开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 -最值：当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。 - 零点：二次函数的零点即为其对应的二次方程的解，可以通过求解ax^2 + bx + c = 0得到。 2.导数的性质： - 二次函数的导数为f'(x) = 2ax + b，表示了二次函数在各点的斜率。 -当a>0时，导数恒正，表示抛物线在x轴右侧上升；当a<0时，导 数恒负，表示抛物线在x轴右侧下降。 - 抛物线的顶点处导数等于0，即2ax + b = 0，解得x = -b/2a。 这也是抛物线对称轴的x坐标。 3.二次方程的性质：

- 二次函数f(x)的解即为对应的二次方程ax^2 + bx + c = 0的解。根的性质可以通过判别式Δ = b^2 - 4ac来判断： -当Δ>0时，方程有两个不相等的实根，对应函数图像与x轴有两个 交点。 -当Δ=0时，方程有两个相等的实根，对应函数图像与x轴有一个交点，此时抛物线与x轴切于顶点。 -当Δ<0时，方程无实根，对应函数图像与x轴没有交点，抛物线位 于x轴上方或下方。 通过以上性质，我们可以更全面地了解和描述二次函数的图像特征和 行为。二次函数是数学中重要的函数之一，具有广泛的应用领域，例如物 理学中的抛物线轨迹、经济学中的成本与收益关系等。在解题和问题分析中，二次函数的性质也常常被应用。 例如，当我们要求解一个实际问题时，可以建立对应的二次函数来描 述其中的关系，并通过函数性质来分析和解决问题。或者对于一个给定的 二次函数，我们可以通过其图像和相关性质来推断函数的行为和特点，进 而进行更深入的研究。 总之，二次函数作为一种特殊的多项式函数，在数学中起到非常重要 的作用。通过研究其图像、导数和二次方程的性质，我们可以更好地理解 和应用二次函数。

新北师大版九年级下册初中数学 课时1 二次函数的图像与性质 教案

第二章二次函数 2 二次函数的图像与性质 课时1 二次函数y=ax2的图像与性质 1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质． 2．猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同. 3.经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验． 4．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维． 作出函数y＝±x2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y＝±x2的性质. 由y=x2的图象及性质对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点. 1、寻找生活中的抛物线展示图形； 2、(1)二次函数的概念；（2）画函数的图象的主要步骤. 合作学习（探究二次函数y＝±x2的图象和性质） 1.用描点法画二次函数y=x2的图象，并与同桌交流。 2.观察图象，探索二次函数y=x2的性质，提出问题： （1）你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. （2）图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么? （3）图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? （4）当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？

o y x A （5）当x 取什么值时,y 的值最小?最小值是什么？ 你是如何知道的？ 3.二次函数y=－x 2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象 4.它与二次函数y=x 2的图象有什么关系？与同伴进行交流。 5.说说二次函数y=－x 2的图象有哪些性质？与同伴交流。 1、已知函数 是关于x 的二次函数。 求：（1）满足条件的m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点， 这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？ 这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 2、已知点A(1，a)在抛物线y=x2 上。 （1）求A 的坐标；（2）在x 轴上是否存在点P ，使得△OAP 是等腰三角形？ 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由，与同伴进行交流.

二次函数数学教案(优秀6篇)

二次函数数学教案（优秀6篇） 二次函数超级经典课件教案篇一 1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象。 2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3.让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y=ax2+bx+c的性质。 初中数学二次函数教案篇二 教学准备 教学目标 1、知识与技能 (1)进一步理解表达式y=Asin(ωx+φ)，掌握A、φ、ωx+φ的含义；(2)熟练掌握由的图象得到函数的图象的方法；(3)会由函数y=Asin(ωx+φ)的图像讨论其性质；(4)能解决一些综合性的问题。 2、过程与方法 通过具体例题和学生练习，使学生能正确作出函数y=Asin(ωx+φ)的图像；并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总结方法，巩固练习。 3、情感态度与价值观 通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。 教学重难点 重点：函数y=Asin(ωx+φ)的图像，函数y=Asin(ωx+φ)的性质。 难点：各种性质的应用。 教学工具 投影仪 教学过程 【创设情境，揭示课题】 函数y=Asin(ωx+φ)的性质问题，是三角函数中的重要问题，是高中数学的重点内容，也是高考的热点，因为，函数y=Asin(ωx+φ)在我们的实际生活中可以找到很多模型，与我们的生活息息相关。 五、归纳整理，整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？ (2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 六、布置作业：习题1-7第4，5，6题。 课后小结 归纳整理，整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？ (2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 课后习题 作业：习题1-7第4，5，6题。 板书 次函数的教学设计篇三

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质总结 二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。 一、图像特征： 1.开口方向： -当a>0时，抛物线开口向上； -当a<0时，抛物线开口向下。 2.顶点： -对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点； -对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。 3.对称轴（y轴）： - 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a； -对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点； -对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。 4.最值： -对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标； -对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。

5.零点： - 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点； -二次函数可能有0个、1个或2个零点； - 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根； - 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根； - 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。 6.增减性： -当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增； -当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。 二、性质总结： 1.函数的解析式： - 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0； -通过解析式可以得到函数的图像特征。 2.零点： -零点是指函数与x轴的交点； - 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解； - 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根； - 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；

初中数学教案：解析二次函数的性质与图像

初中数学教案：解析二次函数的性质与图像解析二次函数的性质与图像 一、概述 二次函数是数学中非常重要的一个概念，也是初中数学必须掌握的内容之一。 本教案将重点讲解解析二次函数的性质与图像，帮助学生深入理解二次函数的特点并学会绘制二次函数的图像。 二、二次函数的基本形式 二次函数可以写成一般形式：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。 这里的a控制二次项的开口方向和大小，b控制一次项对称轴的位置，c是常数项，决定了函数在纵向上的平移。二次函数的图像一定是一个抛物线。 三、二次函数的性质 1. 开口方向：当a＞0时，二次函数的图像向上开口；当a＜0时，二次函数的 图像向下开口。开口方向决定了二次函数的极值点。 2. 极值点：二次函数的极值点即顶点，是抛物线的最高点（或最低点）。极值 点横坐标的求法公式是x = -b/2a，纵坐标的求法是将x带入二次函数的解析式。 3. 对称轴：二次函数的对称轴是过极值点且垂直于横轴的直线。对称轴的方程 为x = -b/2a。 4. 零点：二次函数的零点是函数值 f(x) = 0 的横坐标，可以通过解二次方程来 求解。 5. 判别式：二次函数的判别式Δ = b² - 4ac 用于判断二次方程的根的情况。当Δ＞0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ＜0时，方程无实根。

四、二次函数的图像绘制 在绘制二次函数的图像时，可以根据以下步骤进行操作： Step 1：确定开口方向和平移情况。根据a的正负确定开口方向，根据c的值 确定图像的纵向平移。 Step 2：确定对称轴。根据极值点的横坐标求出对称轴的方程。 Step 3：求解极值点。根据极值点的横坐标求出纵坐标，即函数值。 Step 4：求解零点。将二次函数的解析式设置为0，解方程得到函数的零点。 Step 5：绘制图像。根据上述步骤得到了所有关键点的坐标，可以通过连接这 些点来绘制二次函数的图像。注意绘制时要注意抛物线的对称性和平滑性。 五、例题演练 现在我们通过一个例题来进一步巩固对解析二次函数性质与图像的理解。 例题：已知二次函数f(x)的解析式为f(x) = 2x² + 4x - 1，请绘制函数f(x)的图像。 解答：根据解析式，我们可以得到a=2，b=4，c=-1。由此可以推断出该二次函数图像开口向上，且纵向平移了一格为-1。 接下来，我们计算极值点的横坐标。根据公式x = -b/2a，代入a=2，b=4得到x = -4/4 = -1。再计算纵坐标f(-1) = 2*(-1)² + 4*(-1) - 1 = -3。 然后，我们计算零点。将f(x)设置为0，得到2x² + 4x - 1 = 0，通过解二次方程 可以得到x ≈ -2.37 和x ≈ 0.37。即函数的零点分别约为-2.37和0.37。 通过上述步骤，我们得到了二次函数关键点的坐标值，即顶点(-1, -3)和零点(-2.37, 0)、(0.37, 0)。

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质总结 二次函数的图像和性质 二次函数的图像与性质可以通过解析式、a的取值、开口 方向、函数值的增减、顶点坐标、对称轴和图像与y轴的交点来确定。 当a>0时，二次函数的开口向上；顶点坐标在对称轴上方；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x的增大而增大。图像与y轴的交点坐标为(0.c)。 当a<0时，二次函数的开口向下；顶点坐标在对称轴下方；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x的增大而减小。图像与y轴的交点坐标为(0.c)。 抛物线的平移法则可以通过把抛物线y=ax^2平移k个单 位或h个单位得到y=ax^2+k或y=a(x+h)^2的图像。当k>0时，向上平移；当k0时，向左平移；当h<0时，向右平移。

二次函数的最值公式：当a>0时，函数有最小值，最小值为y=4ac-b^2/4a；当a<0时，函数有最大值，最大值为y=4ac-b^2/4a。与y轴的交点坐标为(0.c)。 抛物线的开口大小由a决定，a越大开口越小。 二次函数与一元二次方程的关系：二次函数y=ax^2+bx+c 的图像与一元二次方程ax^2+bx+c=0的解有关，即二次函数的顶点坐标和最值问题可以通过一元二次方程的解来求得。当a>0时，函数有最小值，最小值为y=4ac-b^2/4a，对应一元二次方程的两根。当a<0时，函数有最大值，最大值为y=4ac- b^2/4a，对应一元二次方程的两根。 当$\Delta>0$时，二次函数与x轴有两个交点；当 $\Delta=0$时，二次函数与x轴有一个交点；当$\Delta<0$时，二次函数与x轴没有交点。当$\Delta\geq0$时，二次函数与x 轴有交点。（此定理的逆定理也成立。） 7.二次函数的三种常用形式： 1) 一般式：$y=ax^2+bx+c$

《初中数学教案：二次函数的图像与性质》

《初中数学教案：二次函数的图像与性质》一、引言 二次函数是初中数学中的重要内容，学生在初中阶段需要通过了解二次函数的 图像与性质来深入理解函数的相关概念与特性。本篇文章旨在为初中数学教师提供一份完整的教案，以帮助学生更好地掌握二次函数的图像特点和性质。 二、二次函数的基本形式及图像 二次函数的基本形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表函数的系数。而二次函数的图像一般是一个开口向上或开口向下的抛物线。 1. 开口向上的二次函数 在教学中，可以先让学生观察并绘制开口向上的二次函数的图像。指导学生认 识到当a>0时，二次函数的图像呈现开口向上的特点。通过多个实例的练习，学生能够理解并掌握这一性质。 2. 开口向下的二次函数 随后，引导学生观察开口向下的二次函数的图像。指导学生发现当a<0时，二 次函数的图像呈现开口向下的特点。通过实例的练习，学生能够逐渐掌握这一性质。 三、二次函数的顶点及对称轴 二次函数的图像都具有一个明显的顶点及对称轴，通过教学，学生可以了解到 顶点及对称轴的求解方法。 1. 顶点的求解

顶点是二次函数图像的最高点或最低点，也是抛物线的转折点。引导学生通过 提取二次函数的完全平方得到顶点的坐标，并且解释说明当a>0时，顶点为最低点；而当a<0时，顶点为最高点。 2. 对称轴的求解 对称轴是将二次函数图像平分为两半的中线，也是抛物线的对称轴。指导学生 通过将二次函数的x值与对称轴的x值相等来求解对称轴的坐标。 四、二次函数的判别式及根的性质 二次函数的判别式是通过系数来判断二次函数方程的两个根的性质，进而确定 图像和特性。 1. 判别式的计算 学生需要了解二次函数的判别式D = b^2 - 4ac，并根据不同的判别式情况，判 断方程有几个根以及根的性质。 2. 根的性质与图像关系 引导学生通过对二次函数图像的观察，结合判别式的计算结果，了解二次函数 方程的根与图像的关系。例如，当判别式为正时，方程有两个不相等的实数根，与图像与x轴交于两点的位置相对应。 五、实例训练与拓展 通过一系列的实例训练，让学生巩固对二次函数图像与性质的理解，并能够应 用到具体问题中。 1. 实例训练 提供多个简单的实例，要求学生绘制二次函数的图像，并分析其性质，如顶点、对称轴、根等。帮助学生巩固对理论知识的掌握。

新华师大版九年级下册初中数学 课时4 二次函数的图像与性质 教案

第二十六章二次函数 26.2 二次函数的图像与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质 课时4 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质 1.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性. 2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题. 3.能够正确说出二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题. 把数学问题与实际问题相联系的过程. 点法画函数y＝1 2 (x－2)2＋1的图象 1.一位同学在练习中用描 时，画出如图2－2－64所示的图象，你能帮他分析一下原因吗？ 师生活动：出示问题情境，让学生自主思考． 2.请同学们画出二次函数y＝1 2 (x－2)2＋1的图象的草图.

师生活动：学生独立完成，教师对学生作业进行展示评价，强调先确定顶点，再按图象对称性进行取值. (1)你能直接画出二次函数y＝x2－2x＋4的图象吗？若不能，应该如何思考？ (2)你能把二次函数y＝x2－2x＋4化成y＝a(x－h)2＋k的形式吗？ (3)请画出二次函数y＝(x－1)2＋3的图象的草图．思考：y＝(x－1)2＋3与y＝x2－2x＋4这两个函数有什么关系？ 【探究1】师：你知道吗(多媒体出示引入问题)，当火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h＝－5t2＋150t＋10表示． 图2－2－65 问题：经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？ 本题转化为数学问题，即求在二次函数h＝－5t2＋150t＋10中，当t为何值时，h最大？最大值是多少？如何解决最大值问题？ 用配方法．先化成顶点式，再确定最值，利用二次函数顶点式y＝a(x－h)2＋k(a<0)，当x＝h时，y有最大值，最大值是k. 请同学们试着完成此题．(教师巡视学生解决问题的过程，对学习有困难的学生给予帮助) 解：h＝－5t2＋150t＋10 ＝－5(t2－30t－2) ＝－5(t2－30t＋152－152－2) ＝－5(t－15)2＋1135， ∴当t＝15时，h有最大值，最大值是1135. ∴经过15 s，火箭到达它的最高点，最高点的高度是1135 m.

二次函数图像与性质教案

二次函数图像与性质教案 二次函数图像与性质教案 27.2二次函数的图象与性质第一课时二次函数y=ax2的图象与性质 教学内容 二次函数y=ax2图象的画法及其性质。教学目标 知识与技能：1.使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。 2.使学生能在教师引导下探索并理解二次函数y=ax2在a＞0和a＜0时的图像情况及性质。过程与方法：使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程。情感态度与价值观：培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。重点 使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象难点 用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数y=ax2性质。教具准备 多媒体、课件、课外资料。学具准备平面直角坐标系教学过程： 一、复习准备、引入新课1.平面直角坐标系 相关概念：横轴（x轴）、纵轴（y轴）、坐标原点、象限点的坐标点与有序实数对点的位置及其坐标特征 各象限的点各坐标轴上的点，各象限角平分线上的点、对称于坐标轴的点、对称于原点的点。2.引入新课

反比例函数的性质我们是通过图像总结出来的，二次函数性质的研究也离不开二次函数的图像，那么，如何画二次函数的图像呢？二、动手操作，探求新知1.图像 学生用描点法画函数y=x2和y=-x2的图像（在同一个坐标系中）提示：用光滑的曲线自左向右顺次连接，注意向外延伸。教师演示，规范画法。随堂练习画出下列函数的图像 （1）y=x2（2）y=2x2（3）y=－x22.抛物线 二次函数y=ax2的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线。这条抛物线是轴对称图形，y轴就是它的对称轴。对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。3.性质 （1）让学生观察所画的几个函数的图像，引导总结 y=ax2的图像是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是 （0,0）（2）引导观察y=x2和y=2x2的图象总结当a＞0时抛物线开口向上， 在对称轴的左侧，曲线自左向右下降；在对称轴的右侧，曲线自左向右上升；顶点是抛物线上位置最低的点；归纳性质： 当a＞0时，函数y=ax2的性质如下当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；当x=0时，函数y=ax2取得最小值，最小值y=0。 （3）学生自己观察y=-x2的图象，尝试描述图象的特点并归纳当a＜0时二次函数y=ax2的性质。学生讨论后小组汇报，教师点评并总结。三、随堂练习

二次函数的图像和性质教案

二次函数y=a x2（a≠0）的图像和性质 教学目标： 通过画二次函数的图像的过程，使学生进一步熟练用描点法画函数图像，认识y=ax2（a≠0）的图像的性质。理解图像与表格和解析式之间的关系。培养学生的动手操作能力， 通过总结图像的性质的过程，培养学生善于观察，分析，归纳，概括，善于合作交流的良好习惯 通过练习运用经历建模的过程，让学生体会数学的应用价值。 重点：理解抛物线的概念，会用描点法画二次函数y=a x2（a ≠0）的图像 难点：探索y=a x2（a≠0）的图像和性质 教法：教师通过实际动手操作画不同类型二次函数的图像，多媒体演示，引导学生观察，分析，归纳二次函数y=a x2（a≠0）的图像和性质 学法：学生通过动手操作，相互讨论，总结归纳出本节内容。 教具：多媒体和教学三角板。 学具: 三角板 教学过程： 一，复习引入： 1．举例说明什么是一次函数？ （例如：y=3x+6或y=-0.5x等形式的函数叫一次函数。）

2.如何画一次函数的图像? （列表，描点，连线） 二、新授互动 1.你能试着画二次函数y=x2的图像吗？你会选择哪些自变量? 解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数的对应值表： （2）（在直角坐标系中）描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点 （3）连线: 用光滑的曲线从左至右顺次连结各点 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? 让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。 顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点． 三、做一做 1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? 2．将所画的函数的图象作比较，你又能发现什么? 四、归纳

初中数学教学设计二次函数的图象及性质初中数学教学设计《二元一次方程的概念》

初中数学教学设计二次函数的图象及性质初中数学教学 设计《二元一次方程的概念》 初中数学教学设计：二次函数的图象及性质本节课是在学生已经掌握 了二次函数的概念及用描点法作图的基础上进行的，学生作出二次函数的 图象难度不会很大，但对于基础较差的学生来说，由特殊的函数到一般函 数的探索过程中会有较大的难度，因此，通过动画的演示直观地反映了这 一函数图象，学生是比较容易接受的。 教材分析知识点二次函数的图象的画法及性质重点二次函数的图象的 画法及性质，能确定二次函数y=a某2的解析式。 难点用描点法画二次函数y=a某2的图像，探究其性质。 易混（错）点考点二次函数的图象的画法及性质学科特性教学目标知 识与技能1.会用描点法画二次函数y=a某2的图像，理解抛物线的有关 概念； 2.掌握二次函数的性质，能确定二次函数y=a某2的表达式. 过程与方法通过画具体的简单二次函数的图像，探索出二次函数y=a某2 的性质及图像特征情感态度与价值观使学生经历探索二次函数y=a某2图 像性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。 自信课堂教学进程一、激趣导入生发自信上一节所提出的两个问题， 都归结为有关二次函数的问题.为了解决这类问题，需要研究二次函数的 性质.在研究一次函数时，曾借助图象了解了一次函数的性质.对二次函数 的研究，我们也从图象入手.我们知道，一次函数的图象是一条直线.那么，二次函数的图象是什么它有什么特点又有哪些性质让我们先来研究最简单 的二次函数y二、自主合作彰显自信探究画二次函数y=某2的图象.解： 列表.（一般取7组值，或更多）在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲 线顺次（按某由小到大）连结各点（连线），得到函数y=某2的图象，

新苏科版九年级数学下册《5章 二次函数 5.2 二次函数的图像和性质 y=ax^2+k、y=a(x+m)^2的图像》教案_27

学习目标： 1.经历探索二次函数y=ax2+k(a≠0)，y=a(x-h)2(a≠0)的图象作法和性质的过程； 2.能够理解函数y=ax2+k(a≠0)、y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系，知道a、h对二次函数的图象的影响； 3.能正确说出函数y=ax2+k(a≠0)、y=a(x-h)2的图象的性质. 教学过程： 一、探索二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质。 (2)在下图的直角坐标系中，描点并画出函数2 y x =和21 y x =+的图象； 2.思考：函数y=x2+1的图象与y=x2的图象有什么关系？ （1）形状相同吗?（2）相同自变量的值所对应的两个函数值有何关系？ （3）从点的位置看，函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象的位置有什么关系？ 3.归纳：图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗? 函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+ k (a≠0)的图象形状，只是位置不同； 当k >0时，函数y=ax2+ k的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到； 当k〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到。 二、探索二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象作法和性质： 1.操作：在上图右边直角坐标系中，描点并画出函数y=(x+3)2的图象； 2.思考：函数y=(x+3)2的图象与y=x2的图象有什么关系？ （1）形状相同吗? （2）从表格中的数值看，函数y=(x+3)2的函数值与函数y=x2的函数值相等时，它们所对

应的自变量的值有什么关系? （3）从点的位置看，函数y=(x+3)2的图象与函数y=x 2的图象的位置有什么关系？它是轴 对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 3.结论:函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x 2 的图像沿x 轴向 平移 个单位长度得到, 所以它是 ,这条抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小. 4.①抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x 2 沿x 轴 平移了 个单位;抛物线 y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x 2 沿x 轴 平移了 个单位. ②图象向左平移还是向右平移,移多少个单位长度,有什么规律吗? 三、例题： 1.函数y=4x 2+5的图象可由y=4x 2的图象向 平移 个单位得到；y=4x 2 -11的图象 可由 y=4x 2 的图象向 平移 个单位得到。 2.将函数y=-3x 2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x 2的图象；将y=2x 2 -7的图象 向 平移 个单位得到可由 y=2x 2的图象。将y=x 2 -7的图象向 平移 个 单位可得到 y=x 2 +2的图象。 3.将抛物线y=4x 2 向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 。 将抛物线y=-5x 2 +1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 。 4.二次函数y=2（x+5）2的图像是 ，开口 ，对称轴是 ，当 x= 时，y 有最 值，是 。它是由二次函数y=2x 2向____平移______个单位得到。它向左平移6个单位后的二次函数的解析式为___________。 5.将函数y=3（x －4）2的图象沿x 轴对折后得到的函数解析式是 ； 将函数y=3（x －4）2的图象沿y 轴对折后得到的函数解析式是 。 6.把抛物线y=a （x-4）2向左平移6个单位后得到抛物线y=- 3（x-h ）2 的图象，则a= ，h= 。若抛物线y= a （x-4）2的顶点A ，且与y 轴交于点B ，抛物线y= - 3（x-h ）2的顶点是M ，则S ΔMAB = . 7.如图所示，在直角坐标系中，函数1y x =-+与21 (1)2 y x =- -的图象大致是（ ） 8.函数y=ax 2 -a 与y= )0(≠a x a 在同一直角坐标系中的图象可能是 （ ） 三、课堂小结 四、课堂作业 姓名___________ 1.二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x 2向 平移 个单位得

《二次函数的图像和性质》教案

二次函数的图像和性质(1) 教材分析： 本节内容是在学生已经学习过的一次函数、反比例函数的图象与性质，以及二次函数的 有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，又是对前面所学一次函数、反比例函数图象与性质的一次升华，还是今后学习的基础，在教材中起着非常重要的作用． 教学设计： 本课一开始先让学生回忆用描点法画函数图象的一般步骤和方法，然后根据表中的各对对应值，在直角坐标系中描出相应的各点，用光滑的曲线连接，画出图象．通过画出图象，让学生分析、归纳二次函数的图象与性质. 教学目标： 知识与技能：1.掌握二次函数的图象的作法及其性质，会根据图象用数学语言表达图象的性 质． 2.能分清当a>0,a<0时图象之间有什么共同点与不同点． 过程与方法：通过对二次函数图象与性质的发现，提高分析、归纳等能力，体验数学中的数 形结合思想的应用. 情感态度和价值观：引导学生养成全面看问题，分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示 和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极性． 教学重难点： 重点：能在直角坐标系中，正确画出二次函数的图象，并能说出二次函数的图象的性质. 难点：作二次函数图象时要选取适当的点，选取适当数目的点. 课前准备 教具准备 教师准备PPT 课件 课时安排：4课时 教学过程： 知识回顾： 一次函数:y =kx +b (k ≠0) 图象:直线 反比例函数： (k ≠0)图象:双曲线 问:1．如何画出函数图象呢? 2．如何得到相应的性质呢? 【设计意图】： 通过对一次函数和反比例函数解析式、图象的回顾，一方面巩固学生的旧知，另一方面 对本节课的学习起到类比作用. 合作探究一: 二次函数y=ax 2 (a>0)的图象 请同学们用描点法按下列要求画图： k y x

二次函数的图像与性质(教案)

二次函数的图像与性质（教案） 教学目标： 一. 知识与技能： 1. 通过对二次函数性质习题的讲评，使学生熟练掌握二次函数的图像与性质 2. 懂得从图像中获取有关的性质信息。 3. 使学生会通过图像求二次函数的解析式。 二. 过程与方法：通过数形结合理解二次函数的性质。 三. 情感态度与价值观：培养数形结合思想，体验函数具体解决现实问题的功能。 教学重点：如何在图像中获取有用的信息。 教学难点：性质的综合应用 教学过程： 一. 引入：华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”要真正的研究数学就应该数 形结合，研究函数就是用数形结合的思想 二次函数是函数问题中的主要内容，中考试题中年年考查，可以出简单题、中档题甚至于综合性难题，但实际上有相当一部分的题型都跟二次函数的图像与性质有关，本节课通过对我们做过的习题进行讲评，使同学们熟练掌握二次函数的图像与性质 二.讲评： 一. 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的性质： 1.图像位置 一题.5. 在同一坐标系中，函数y=-x-1和y=x²+2x+1 的图像可能是（ ） 总结抛物线()2 0y ax bx c a =++≠的性质： Ａ．

最小值。 0时，顶点纵坐标 最大值。 当0y =时，即轴 的【练习】 已知反比例函数x y =的图像如下右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图像大 致为（ ） 【总结】灵活运用二次函数中24a b c b ac -、、、的性质在图像中解题，也就是根据抛物线确定二次函数解析式中字母系数的取值范围，很好地体现了数形结合的数学思想，这就需要大家对于二次函数的性质与图像要比较熟悉，并能在图像中从这些性质来思考解决问题的思路。 2.图像对称性 二题4. 二次函数y=ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于(-1, 0)和(5, 0)两点, 则该抛物线的对称轴是 【总结】二次函数的对称性：二次函数的图像是一个关于对称轴 2b x a =-对称的轴对称图形，当抛物线上两点的纵坐标相同，即()() 12,,,x y x y 时，1222x x b a +=-。 【练习】抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2x =且抛物线上点A （3，-8），则该抛物线 上 纵坐标为-8的另一点的坐标 是 。 3. 二次函数的增减性： 三题1．抛物线 y=x²-2x-1 的对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小 【总结】 ①如图1，当0a 时，当2b x a -时，y 随x 的增大而增大，当2b x a -时，y 随x 的增 大而减小。 ②如图2，当0a 时，当2b x a -时，y 随x 的增大而减小，当2b x a -时，y 随x 的增 大而增大。 物线21y x =-上，下列 【练习】 已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛 说法中正确的是（ ） A ． B ． C ． D

二次函数图像和性质教学设计【优秀3篇】

二次函数图像和性质教学设计【优秀3篇】 （经典版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制单位：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如总结报告、合同协议、规章制度、条据文书、策划方案、心得体会、演讲致辞、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as summary reports, contract agreements, rules and regulations, doctrinal documents, planning plans, insights, speeches, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!

九年级数学 21.2二次函数的图象和性质(共6课时)教学设计

21.2二次函数的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2的图象和性质 教学目标 【知识与技能】 使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质. 【过程与方法】 使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力. 【情感、态度与价值观】 使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质. 重点难点 【重点】 使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象. 【难点】 用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么? (一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.) 2.画函数图象的一般步骤是什么? 一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线). 3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质? (运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.) 二、新课教授 【例1】画出二次函数y=x2的图象. (2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y). (3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.

思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题: (1)二次函数y=x2的图象是什么形状? (2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? (3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么? 师生活动: 教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题. 学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价. 函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数 的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2. 由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称 轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛 物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点. 【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象. 思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点? 师生活动: 教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象. 学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.

二次函数的图象和性质教案

22.1 二次函数的图象和性质教案 教学目标 1. 理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式，通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． 2. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质． 3. 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，能说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单的实际问题． 4. 了解二次函数y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象之间的关系．会确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．能够从图象的平移变换的角度认识二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征． 5. 让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系模型的过程，发展概括及分析问题、解次问题的能力． 教学重点 1. 了解二次函数y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象之间的关系．会确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 2. 从图象的平移变换的角度认识二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征． 教学难点 1. 了解二次函数y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象之间的关系． 2. 理解图象的平移和变换的理解和确定． 课时安排 6课时 1

2 教案A 第1课时 教学内容 22.1.1 二次函数． 教学目标 1．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 2．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 3．让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系模型的过程，发展概括及分析问题、解次问题的能力． 4．通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点． 教学重点 理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c ）是常数，且a ≠0的概念． 教学难点 教材中涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的抽象概括能力． 教学过程 一、导入新课 正方体的六个面是全等的正方形（下图），设正方体的棱长为x ，表面积为y ．如果改变正方体的棱长x ，那么正方体的表面积y 会随之改变，y 与x 之间有什么关系？ 教师引导学生思考问题，列出方程．导入新课的教学． 二、新课教学 显然，对于x 的每一个值，y 都有一个对应值，即y 是x 的函数，它们的具体关系可以表示为 y ＝6x 2． 问题1 n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比赛的场次数m 与球队数n 有什么关系？ 每个队要与其他(n －1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数 m ＝ 2 1 n (n －1)， 即 m ＝ 21n 2－2 1n ．