初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题 附答案详解)

初中数学分式方程的应用培优训练（精选40道习题附答案详解）

1．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万元，今年销售额只有80万元．

（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？

（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知B款汽车每辆进价为7.5万元，每辆售价为10.5万元，A款汽车每辆进价为6万元，若卖出这两款汽车15辆后获利不低于38万元，问B款汽车至少卖出多少辆？

2．小明和小刚相约周末到净月潭国家森林公园去徒步，小明和小刚的家分别距离公园1600米和2800米，两人分别从家中同时出发，小明骑自行车，小刚乘公交车，已知公交车的平均速度是骑自行车速度的3.5倍，结果小刚比小明提前4min到达公园，求小刚乘公交车的平均速度．

3．兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．

（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？

（2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出4

5

时，出现了

滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价﹣进价）

4．近年来，泰州多条动车路线的开通进一步加强了与其他城市的沟通，同时也为市民的出行带来了方便．已知某市到泰州的路程约为900km，一列动车的平均速度比特快列车快50%，所需时间比特快列车少2h，求该列动车的平均速度．

5．一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．

（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？

（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？

6．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做5个，甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，问甲、乙两人每小时各做多少个零件？（用列方程的方法解答）

7．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．那么第一批饮料进货单价多少元？

8．某商城销售A，B两种自行车.A型自行车售价为2 100元/辆，B型自行车售价为1 750元/辆，每辆A型自行车的进价比每辆B型自行车的进价多400元，商城用80 000元购进A型自行车的数量与用64 000元购进B型自行车的数量相等．

()1求每辆A，B两种自行车的进价分别是多少？

()2现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆，设购进A型自行车m辆，这100辆自行车的销售总利润为y元，要求购进B型自行车数量不超过A型自行车数量的2倍，总利润不低于13 000元，求获利最大的方案以及最大利润．

9．俄罗斯足球世界杯点燃了同学们对足球运动的热情，某学校划购买甲、乙两种品牌的足球供学生使用．已知用1000元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足球的数量相同，甲种足球的单价比乙种足球的单价少30元．

（1）求甲、乙两种品牌的足球的单价各是多少元？

（2）学枝准备一次性购买甲、乙两种品牌的足球共25个，但总费用不超过1610元，那么这所学校最多购买多少个乙种品牌的足球？

10．为全面改善公园环境，现招标建设某全长960米绿化带，A，B两个工程队的竞标，A队平均每天绿化长度是B队的2倍，若由一个工程队单独完成绿装化，B队比A队要多用6天．

（1）分别求出A，B两队平均每天绿化长度．

（2）若决定由两个工程队共同合作绿化，要求至多4天完成绿化任务，两队都按（1）中的工作效率绿化完2天时，现又多出180米需要绿化，为了不超过4天时限，两队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，且A队平均每天绿化长度仍是B队的2倍，则B队提高工作效率后平均每天至少绿化多少米？

11．小明家用80元网购的A型口罩与小磊家用120元在药店购买的B型口罩的数量相

、两种口罩的单价各是多少元？

同，A型与B型口罩的单价之和为10元，求A B

12．某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？

13．科幻小说《流浪地球》的销量急剧上升．为应对这种变化，某网店分别花20000元和30000元先后两次购进该小说，第二次的数量比第一次多500套，且两次进价相同．

（1）该科幻小说第一次购进多少套？每套进价多少元？

（2）根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250套；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10套．网店要求每套书的利润不低于10元且不高于18元．①直接写出网店销售该科幻小说每天的销售量y（套）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量x的取值范围；

②网店店主期盼最高日利润达到2500元，他的愿望能实现吗?请你说明理由．14．某文化用品商店用2000元采购一批书包，上市后发现供不应求，很快销售完了.商店又去采购第二批同样款式的书包，进货单价比第一次高4元，商店用了6300元，所购数量是第一次的3倍.

（1）求第一批采购的书包的单价是多少元？

（2）若商店按售价为每个书包120元，销售完这两批书包，总共获利多少元？

15．某服装加工厂计划加工4000套运动服，在加工完1600套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高20%，结果共用了18天完成全部任务．求原计划每天加工多少套运动服．

16．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙

两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的3

2

倍，甲队改造360米的道路

比乙队改造同样长的道路少用3天．

（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？

（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？

17．在“为疫情灾区武汉捐款”献爱心的活动中，甲、乙两公司各捐款60000元，已知甲公司的人数比乙公司的人数多20％，乙公司比甲公司人均多捐40元．问：甲、乙两公司各有多少人？

18．为稳步推进5G网络建设，深化共建共享，当甲队施工20天完成5G基站建设工程

的1

3

时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工提前25天完成了剩余的工程．

(1)若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？

(2)若乙队参与该项工程施工的时间不超过12天，则甲队从开始施工到完成该工程至少需要多少天？

19．自2020年开始，新冠病毒疫情严峻，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共4000件送往武汉，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用450元购买甲种物品的件数恰好与用400元购买乙种物品的件数相同．

（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是多少元？

（2）经调查，灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这4000件物品，需筹集资金多少元？

20．今年是脱贫攻坚最后一年，某镇拟修一条连通贫困山区村的公路，现有甲、乙两个工程队．若甲、乙合作，36天可以完成，需用600万元；若甲单独做20天后，剩下的由乙做，还需40天才能完成，这样所需550万元．

（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？

（2）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少万元？

21．甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？

22．列方程解应用题：

中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．

23．某厂制作甲、乙两种环保包装盒．已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料．

（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？

（2）如果制作甲、乙两种包装盒3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度与甲盒数量之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料．

24．2018年8月中国铁路总公司宣布，京津高铁将再次提速，担任此次运营任务是最新的复兴号动车组，提速后车速是之前的1.5倍，100千米缩短了10分钟，问提速前后的速度分别是多少千米每小时?

25．某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的羽绒服，B品牌羽绒服每件进价比A品牌羽绒服每件进价多200元，若用10000元购进A种羽绒服的数量是用7000元购进B 种羽绒服数量的2倍.

（1）求A、B两种品牌羽绒服每件进价分别为多少元？

（2）若A品牌羽绒服每件售价为800元，B品牌羽绒服每件售价为1200元，服装店老板决定一次性购进A、B两种品牌羽绒服共80件，在这批羽绒服全部出售后所获利润不低于30000元，则最少购进B品牌羽绒服多少件？

26．芜湖市某医院计划选购A，B两种防护服．已知A防护服每件价格是B防护服每件

价格的2倍，用80000元单独购买A 防护服比用80000元单独购买B 防护服要少50件．如果该医院计划购买B 防护服的件数比购买A 防护服件数的2倍多8件，且用于购买A ，B 两种防护服的总经费不超过320000元，那么该医院最多可以购买多少件B 防护服？ 27．沭阳修远中学初二年级为响应政府在新冠肺炎疫情稳定之后及时复工复产的号召，计划开学之前用3000元购进A 、B 两种医用口罩共1100个，购买A 种医用口罩与购买B 种医用口罩的费用相同．已知A 种医用口罩的单价是B 种医用口罩单价的1.2倍． （1）求A 、B 两种医用口罩的单价各是多少？

（2）若初三年级需要购买A 、B 两种医用口罩共2000个，其中购买A 种口罩a 个（800a ≥），设购买两种口罩总费用为w 元，求w 与a 之间的函数关系式，并求出w 的最小值．

28．列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截

至2017年1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区．据统计，

2017 年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍，2017年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时，求2017年地铁每小时的客运量． 29．甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测10个，甲检测300个与乙检测200个所用的时间相等.甲、乙两个机器人每小时各检测零件多少个？

30．如图反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从A 地到B 地进行训练时行驶路程y （千米）和行驶时间x （小时）之间关系的部分图像，根据图像提供的信息，解答下列问题：

（1）求乙的行驶路程y 和行驶时间x ()13x ≤≤之间的函数解析式；

（2）如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同时到达B 地，求A 、B 两地之间的距离．

31．在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销．某药店用3000元购进甲，乙两种不同型号的口罩共1100个进行销售，已知购进甲种口罩与乙种口罩的费用相同，

购进甲种口罩单价是乙种口罩单价的1.2倍．

()1求购进的甲，乙两种口罩的单价各是多少？

()2若甲，乙两种口罩的进价不变，该药店计划用不超过7000元的资金再次购进甲，乙两种口罩共2600个，求甲种口罩最多能购进多少个？

32．列方程解应用题：马小虎的家距离学校1400米，一天马小虎从家去上学，出发8分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他．已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．

33．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A、B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同．

（1）求A、B两种型号汽车的进货单价；

（2）销售中发现A型汽车的每周销量y A（台）与售价x（万元/台）满足函数关系y A ＝﹣x+20，B型汽车的每周销量y B（台）与售价x（万元/台）满足函数关系y B＝﹣x+14，A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台．问A、B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？

34．水蜜桃是无锡市阳山的特色水果，水蜜桃一上市，水果店的老板用2000元购进一

批水密桃，很快售完；老板又用3300元购进第二批水蜜桃，所购件数是第一批的3

2

倍，

但进价比第一批每件多了5元．

（1）第一批水蜜桃每件进价是多少元？

（2）老板以每件65元的价格销售第二批水蜜桃，售出80％后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批水密桃的销售利润不少于288元，剩余的仙桃每件售价最多打几折？(利润=售价-进价)

35．为响应珠海环保城市建设，我市某污水处理公司不断改进污水处理设备，新设备每小时处理污水量是原系统的1.5倍，原来处理1200m3污水所用的时间比现在多用10小时．

（1）原来每小时处理污水量是多少m2？

（2）若用新设备处理污水960m3，需要多长时间？

36．甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款60000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20℅，乙公司比甲公司人均多捐20元．甲、乙两公司各有多少人？

37．某文具店准备购进甲、乙两种文具袋，已知甲文具袋每个的进价比乙每个进价多2元，经了解，用120元购进的甲文具袋与用90元购进的乙文具袋的数量相等．

（1）分别求甲、乙两种文具袋每个的进价是多少元？

（2）若该文具店用1200元全部购进甲、乙两种文具袋，设购进甲x个，乙y个．

①求y关于x的关系式．

②甲每个的售价为10元，乙每个的售价为9元，且在进货时，甲的购进数量不少于60个，若这批文具袋全部售完可获利w元，求w关于x的关系式，并说明如何进货该文具店所获利润最大，最大利润是多少？

38．甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件？

39．为了践行“绿色低碳出行，减少雾霾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小红家距单位的路程是20千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度的4倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟，才能按原时间到达单位，求小红骑自行车的速度．

40．某工程队接到任务通知，需要修建一段长1800米的道路，按原计划完成总任务的1 3

后，为了让道路尽快投入使用，工程队将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．

（1）按原计划完成总任务的1

3

时，已修建道路多少米？

（2）求原计划每小时修建道路多少米？

参考答案

1．（1）今年5月份A款汽车每辆售价为8万元．（2）若卖出这两款汽车15辆后获利不低于38万元，B款汽车至少卖出8辆．

【解析】

【分析】

（1）设今年5月份A款汽车每辆售价为x万元，则去年同期A款汽车每辆售价为（x+1）万元，根据数量=总价÷单价结合今年5月份与去年同期销售数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；

（2）设B款汽车卖出m辆，则A款汽车卖出（15﹣m）辆，根据总利润=单辆利润×销售数量结合获利不低于38万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可．【详解】

解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价为x万元，则去年同期A款汽车每辆售价为（x+1）万元，

根据题意得：

9080

1

x x

=

+

，

解得：x=8，

经检验，x=8是原方程的解．

答：今年5月份A款汽车每辆售价为8万元．

（2）设B款汽车卖出m辆，则A款汽车卖出（15﹣m）辆，

根据题意得：（10.5﹣7.5）×m+（8﹣6）×（15﹣m）≥38，

解得：m≥8．

答：若卖出这两款汽车15辆后获利不低于38万元，B款汽车至少卖出8辆．

【点睛】

本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，审题能从题中找到等量关系、不等量关系以及各种量之间的关系是关键.

2．小刚乘公交车的平均速度为700米/分钟．

【解析】

【分析】

设小明骑自行车的平均速度为x米/分钟，则小刚乘公交车的平均速度为3.5x米/分钟，根据时间=路程÷速度结合小刚比小明提前4min到达公园，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

设小明骑自行车的平均速度为x 米/分钟，则小刚乘公交车的平均速度为3.5x 米/分钟， 依题意，得：160028003.5x x

-=4， 解得：x ＝200，

经检验，x ＝200是原方程的解，且符合题意，

∴3.5x ＝700．

答：小刚乘公交车的平均速度为700米/分钟．

【点睛】

此题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

3．（1）第一批T 恤衫每件的进价是90元；（2）剩余的T 恤衫每件售价至少要80元.

【解析】

【分析】

（1）设第一批T 恤衫每件进价是x 元，则第二批每件进价是（x+9）元，再根据等量关系：第二批进的件数=第一批进的件数可得方程；

（2）设剩余的T 恤衫每件售价y 元，由利润=售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于650元，可列不等式求解.

【详解】

解：（1）设第一批T 恤衫每件进价是x 元，由题意，得

45004950x x 9

=+， 解得x=90

经检验x=90是分式方程的解，符合题意.

答：第一批T 恤衫每件的进价是90元.

（2）设剩余的T 恤衫每件售价y 元．

由（1）知，第二批购进

495099

=50件． 由题意，得120×50×45+y×50×15﹣4950≥650， 解得y≥80.

答：剩余的T 恤衫每件售价至少要80元.

4．该列动车的平均速度为225km/h ．

【分析】

设特快列车速度为xkm/h，动车的平均速度为1.5xkm/h，根据走过相同路程900km，坐动车比特快少2h，列方程求解.

【详解】

可设特快列车的速度为xkm/h，列方程900

x

=

900

1.5x

+2，

解得x=150，

经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，

动车的平均速度为1.5x＝150×1.5＝225(km/h)

答：该列动车的平均速度为225km/h.

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验.

5．解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天．

根据题意，得111

x 1.5x12 +=，

解得x=20．

经检验，x=20是方程的解且符合题意．

1.5 x=30．

∴甲，乙两公司单独完成此项工程，各需20天，30天．

（2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y﹣1500）元，

根据题意得12（y+y﹣1500）=102000解得y=5000，

甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000=100000（元）；

乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×（5000﹣1500）=105000（元）；

∴让一个公司单独完成这项工程，甲公司的施工费较少．

【解析】

（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙工程公司单独完成需1.5x天，根据合作12天完成列出方程求解即可．

（2）分别求得两个公司施工所需费用后比较即可得到结论．

6．甲每小时做20个，乙每小时做15个．

分析: 首先设乙每小时做x 个零件，则甲每小时做（x+5）个零件，根据关键语句“甲做80个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相同”列出方程，再求解即可．

详解:

设乙每小时做x 个，则甲每小时做()5x +个

根据题意，得

80605x x

=+ 解得 15x =

经检验，15x =是原方程的解．

当15x =时，515520x +=+=．

答：甲每小时做20个，乙每小时做15个．

点睛: 此题主要分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程不要忘记检验．

7．第一批饮料进货单价8元

【解析】

【分析】

设第一-批饮料进货单价x 元,则第二批的单价为(x+2)元,根据第二批饮料的数量是第一批的3倍即可列出方程进行求解．

【详解】

解：设第一批饮料进货单价x 元,则第二批的单价为(x+2)元,依题意得： 600016003x 2x

=?+ 解得x=8

经检验,x=8是原方程的解

答：第一批饮料进货单价8元

【点睛】

此题主要考查分式方程的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系．

8．（1）每辆A 型自行车的进价为2 000元，每辆B 型自行车的进价为1 600元；（2）当购

进A型自行车34辆，B型自行车66辆时获利最大，最大利润为13300元．

【解析】

【分析】

(1)设每辆B型自行车的进价为x元,则每辆A型自行车的进价为（x+400）元,根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果;

(2)由总利润=单辆利润×辆数,列出y与x的关系式,利用一次函数性质确定出所求即可.

【详解】

（1）设每辆B型自行车的进价为x元，则每辆A型自行车的进价为（x+400）元，

根据题意，得=，

解得x=1600，

经检验，x=1600是原方程的解，

x+400=1 600+400=2 000，

答：每辆A型自行车的进价为2 000元，每辆B型自行车的进价为1 600元；

（2）由题意，得y=（2100﹣2000）m+（1750﹣1600）（100﹣m）=﹣50m+15000，

根据题意，得，

解得：33≤m≤40，

∵m为正整数，

∴m=34，35，36，37，38，39，40．

∵y=﹣50m+15000，k=﹣50＜0，

∴y随m的增大而减小，∴当m=34时，y有最大值，

最大值为：﹣50×34+15000=13300（元）．

答：当购进A型自行车34辆，B型自行车66辆时获利最大，最大利润为13300元．

【点睛】

本题主要考查一次函数的应用、分式方程的应用及一元一次不等式组的应用.仔细审题，找出题目中的数量关系是解答本题的关键.

9．（1）甲种品牌的足球的单价为50元/个，乙种品牌的足球的单价为80元/个；（2）这所学校最多购买12个乙种品牌的足球．

【解析】

【分析】

（1）设甲种品牌的足球的单价为x元/个，则乙种品牌的足球的单价为（x+30）元/个，根据数量=总价÷单价结合用1000元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设这所学校购买m个乙种品牌的足球，则购买（25-m）个甲种品牌的足球，根据总价=单价×数量结合总费用不超过1610元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

【详解】

（1）设甲种品牌的足球的单价为x元/个，则乙种品牌的足球的单价为（x+30）元/个，

根据题意得：10001600

30

x x

=

+

，

解得：x=50，

经检验，x=50是所列分式方程的解，且符合题意，∴x+30=80．

答：甲种品牌的足球的单价为50元/个，乙种品牌的足球的单价为80元/个．

（2）设这所学校购买m个乙种品牌的足球，则购买（25–m）个甲种品牌的足球，

根据题意得：80m+50（25–m）≤1610，解得：m≤12．

答：这所学校最多购买12个乙种品牌的足球．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

10．（1）A队平均每天绿化160米，B队平均每天绿化80米；（2）110米

【解析】

【分析】

（1）设B队平均每天绿化长度是x米，则A队平均每天绿化长度是2x米，依据由一个工程队单独完成绿化，B队比A队要多用6天，列分式方程求解即可；

（2）设B队提高工作效率后平均每天至少绿化y米，则A队平均每天绿化长度是2y米，依据后3天完成的绿化不少于（960+180）米，列不等式求解即可．

【详解】

解：（1）设B队平均每天绿化x米，则A队平均每天绿化2x米．

依题意，得：960960

6

x2x

-=，

解得：x ＝80，

经检验，x ＝80是原方程的解，且符合题意，

∴2x ＝160．

答：A 队平均每天绿化160米，B 队平均每天绿化80米．

（2）设B 队提高工作效率后平均每天绿化y 米，则A 队提高工作效率后平均每天绿化2y 米，

依题意，得：（160+80）×2+（2y +y ）×（4﹣2）≥960+180，

解得：y ≥110．

答：B 队提高工作效率后平均每天至少绿化110米．

【点睛】

本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用的知识点，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的关系式和不等关系式．

11．A 种口罩的单价是4元，B 种口罩的单价是6元．

【解析】

【分析】

设A 种口罩的单价是x 元，B 种口罩的单价是10-x 元，根据题意列方程求解即可．

【详解】

解：设A 种口罩的单价是x 元，B 种口罩的单价是10-x 元，由题意得

8012010x x

=- 解得4x =

经检验，4x =是方程的根

101046x -=-=

答：A 种口罩的单价是4元，B 种口罩的单价是6元．

【点睛】

本题考查了分式方程实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．

12．实际每天铺设25m 长管道．

【解析】

试题分析：解：设原计划每天铺设x m 管道，则实际每天铺设5(125%)4

x x +=，

故30003000

30

5

4

x x

-=

，解得x=20．经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，

5

25

4

x

∴=，∴实际每天铺设25m长管道．

考点：分式方程应用

点评：本题难度中等，主要考查学生运用分式方程解决工程问题的实际应用能力．注意检验增根情况．

13．（1）该科幻小说第一次购进1000套；每套进件20元；（2）①y＝﹣10x+500（30≤x≤38）；

②他的愿望不能实现，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）设该科幻小说第一次购进m套，根据题意列方程即可得到结论；

（2）①根据题意列函数关系式，根据每套书的利润不低于10元且不高于18元求出x的取值范围；

②设每天扣除捐赠后可获得利润为w元．根据题意得到w与x之间的函数关系，然后根据二次函数的性质求解即可．

【详解】

（1）设该科幻小说第一次购进m套，

则

30000

500

m+

＝

20000

m

，

∴m＝1000，

经检验，m＝1000是原方程的解，

20000

20

1000

=元/套，

答：该科幻小说第一次购进1000套；每套进件20元；（2）①由题意得

y＝250﹣10(x﹣25)＝﹣10x+500，

∵10≤x-20≤18，

∴30≤x≤38，

∴y＝﹣10x+500（30≤x≤38）；

②设每天可获得利润为w元，由题意得

w＝(x﹣20)(﹣10x+500)

＝﹣10x2+700x﹣10000

=﹣10(x-35)2+2250（30≤x≤38），

∵-10<0，

∴抛物线开口向下，

∵30≤x≤38，

∴x=35时，w

最大=2250<2500，

∴他的愿望不能实现．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用，难度一般，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际解答．

14．（1）第一批采购的书包的单价是80元．（2）销售完这两批书包，总共获利3700元．【解析】

【分析】

（1）设第一批采购的书包的单价是x元，则第二批采购的书包的单价是（x+4）元，根据数量=总价÷单价结合第二批购进的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）根据数量=总价÷单价及两次购进数量间的关系，可分别求出第一、二批购进书包的数量，再利用利润=销售单价×数量-进货成本，即可求出结论．

【详解】

（1）设第一批采购的书包的单价是x元，则第二批采购的书包的单价是（x+4）元，

依题意，得：63002000

3

4

x x

=?

+

，

解得：x=80，

经检验，x=80是所列分式方程的解，且符合题意．答：第一批采购的书包的单价是80元．

（2）第一批购进书包的数量为2000÷80=25（个），第二批购进书包的数量为25×3=75（个）．

120×（25+75）-2000-6300=3700（元）．

答：销售完这两批书包，总共获利3700元．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

15．原计划每天加工200套运动服．

【解析】

【分析】

根据题意：“共用了18天完成全部任务”；等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．

【详解】

设原计划每天加工x套运动服．

根据题意，得16002400

18

(120%)

x x

+=

+

．

解得：x=200．经检验，x=200是原方程的解，且符合题意．

答：原计划每天加工200套运动服．

【点睛】

此题考查分式方程在实际问题中的应用．

16．（1）乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．（2）10天.

【解析】

【分析】

（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为3 2 x

米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作120060

40

m

-

天，根据总费用=甲队每天所需费

用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过145万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

【详解】

（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为3 2 x

米，

根据题意得：360360332

x x -=， 解得：x=40，

经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意， ∴32x=32

×40=60， 答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米； （2）设安排甲队工作m 天，则安排乙队工作

12006040m -天， 根据题意得：7m+5×

12006040m -≤145， 解得：m≥10，

答：至少安排甲队工作10天．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．

17．甲300人，乙250人．

【解析】

【分析】

设乙公司有x 人，则甲公司有1.2x 人，根据人均捐款钱数=捐款总数÷人数，结合乙公司比甲公司人均多捐40元，列出关于x 的分式方程并求解即可．

【详解】

解： 设乙公司有x 人，则甲公司有1.2x 人 由题意得：

6000060000401.2x x

-= 解得x=250

检验：经检验x=250是分式方程的解．

则1.2x=300

所以甲、乙两公司分别有300人和250人．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，弄清题意、找准等量关系，正确列出分式方程是解答本题的关键．

18．(1)若乙队单独施工，需要36天才能完成该项工程；(2)若乙队参与该项工程施工的时间不超过12天，则甲队从开始施工到完成该工程至少需要40天

【解析】

【分析】

（1）根据题意先得出甲乙两队共同施工的时间，再设乙队单独施工需要x天才能完成该项工程，并建立方程求解即可；

（2）根据题意设甲队施工y天完成该项工程，由题意建立不等式方程进行求解即可.

【详解】

解：(1)由题意得，甲队单独施工20天完成该项工程的1

3

，所以甲队单独施工60天完成该

项工程，甲队单独施工完成剩余2

3

的工程的时间为60﹣20=40(天)，于是甲乙两队共同施工

的时间为40﹣25=15(天)．

设乙队单独施工需要x天才能完成该项工程，

则

112

15

603

x

??

+?=

?

??

，

解得x=36．

经检验x=36是原分式方程的解．

答：若乙队单独施工，需要36天才能完成该项工程．(2)设甲队施工y天完成该项工程，

则

y12

1-

6036

≤，

解得y≥40．

所以y最小值为40．

答：若乙队参与该项工程施工的时间不超过12天，则甲队从开始施工到完成该工程至少需要40天．

【点睛】

本题考查分式方程和不等式方程的实际应用，理解题意并根据题意列出分式方程和不等式方程是解题的关键.

19．（1）甲单价 90 元/件、乙 80 元/件；（2）筹集资金330000元

【解析】

【分析】

初三数学培优辅导专题

1、从正面观察下图所示的两个物体，看到的是（ ） A . B. C. D. 2、已知：如图，AD ∥EF ，∠1＝∠2．求证：AB ∥DG ． 3、如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米． （1）用含x 的式子表示横向甬道的面积； （2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？

1、计算：0 060cos 160sin 30tan -+= 2、甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B 地，他们离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：( ) （1） 他们都行驶了18千米； （2） 甲在途中停留了0.5小时； （3） 乙比甲晚出发了0.5小时； （4） 相遇后，甲的速度小于乙的速度； （5） 甲、乙两人同时到达目的地。 其中，符合图象描述的说法有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3、正方形ABCD 中，P 为AB 上一点，连接CP ，过B 作BE ⊥CP 于E 。 （1）如图1，连接DE ，过E 作EF ⊥DE 交BC 于F ，求证：BP=BF 。 （2）如图2，连接AE ，分别以AE 、BE 为直角边作等腰直角三角形AEG 、BEF ，连接DF ，求证：AG ⊥DF 图1 图2 P

初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题 附答案详解)

初中数学分式方程的应用培优训练（精选40道习题附答案详解） 1．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万元，今年销售额只有80万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知B款汽车每辆进价为7.5万元，每辆售价为10.5万元，A款汽车每辆进价为6万元，若卖出这两款汽车15辆后获利不低于38万元，问B款汽车至少卖出多少辆？ 2．小明和小刚相约周末到净月潭国家森林公园去徒步，小明和小刚的家分别距离公园1600米和2800米，两人分别从家中同时出发，小明骑自行车，小刚乘公交车，已知公交车的平均速度是骑自行车速度的3.5倍，结果小刚比小明提前4min到达公园，求小刚乘公交车的平均速度． 3．兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元． （1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？ （2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出4 5 时，出现了 滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价﹣进价） 4．近年来，泰州多条动车路线的开通进一步加强了与其他城市的沟通，同时也为市民的出行带来了方便．已知某市到泰州的路程约为900km，一列动车的平均速度比特快列车快50%，所需时间比特快列车少2h，求该列动车的平均速度． 5．一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元． （1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？ 6．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做5个，甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，问甲、乙两人每小时各做多少个零件？（用列方程的方法解答）

浙教版初中数学中考培优题(含答案)

1、在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积是1.28 ㎡,已知床单的长是2 m ，宽是1.2 m ，求花边的宽度. 解：设花边的宽度是x m. ()()28.122.122=--x x 028.06.12=+-x x ()36.08.02 =-x 2.01=x ，4.12=x （舍去） 答：花边的宽度是0.2 m. 2、某商场将进货价为30元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。 ⑴ 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ ⑵ 台灯的售价应定为多少时销售利润最大？ 解：⑴ 设台灯的售价为x 元，(x ≥40)根据题意得 [(600－10×(x －40))](x －30)＝10000 解得：x 1＝80 x 2＝50 当x ＝80时 进台灯数为600－10×(x －40)＝200 当x ＝50时 600－10×(x －40)＝500 ⑵ 设台灯的售价定为x 元时，销售利润最大，利润为y y ＝［600－10（x －40）］·（x －30） 答：⑴ 台灯的售价为80元，进台灯数为200个，台灯的售价为50元时，进台灯数为500个。 ⑵ 3、学校有若干个房间分配给九年级（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人。若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满），那么该班男生人数是多少？ 解：设有x 间，每间住4人，4x 人，15人无处住 所以有4x +15人 每间住6人，则恰有一间不空也不满 所以x -1间住6(x -1)=6x -6人 还有4x +15-6x +6＝-2x ＋21人 不空也不满 所以0＜-2x +21＜6 -6＜2x -21＜0 15＜2x ＜21 7.5＜x ＜10.5 所以x =8, x =9, x =10 不到50人 一共4x +15＜50 所以x =8 所以应该是4×8+15=47人

分式方程培优讲义

分式方程培优讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

分式方程拔高讲练 一、含有参数方程 1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是 2．分式方程=1﹣的根为 3．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为 二、方程无解 1．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是 2．若=0无解，则m的值是 3．若关于x的分式方程﹣=无解，求a=．

三、有增根 1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为 2、关于x的分式方程有增根，则增根为． 3、若关于x的方程有增根，则m的值是． 4、解关于x的方程+=产生增根，则常数a= 四、整体代入解方程 1．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y 的整式方程是． 2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y=． 3．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是． 四、实际问题 1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（） A．﹣10= B．+10= C．﹣10= D．+10=

2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行 120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（） A．= B．=C．= D．= 3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 4．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5 天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（） A．﹣=5 B．﹣=5 C．+5= D．﹣=5 5．西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（） A．+=1 B．+= C．+= D．+=1 【同步训练】 1．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程 +=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣8 2．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=﹣1有 非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4

七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线

专题24 相交线与平行线 阅读与思考 在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行. 当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键． 两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据． 1．平行线的判定 (1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行； (3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行． 2．平行线的性质 (1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； (3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形： 例题与求解 【例1】 (1) 如图①，AB ∥DE ，∠ABC ＝0 80，∠CDE ＝0 140，则∠BCD ＝__________. （安徽省中考试题） (2) 如图②，已知直线AB ∥CD ，∠C ＝0 115，∠A ＝0 25，则∠E ＝___________. （浙江省杭州市中考试题）

图② A 解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解. 【例2】如图，平行直线AB ，CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有( )． A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手． C D B 例2题图 例3题图 【例3】 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC //ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证：∠EDF ＝∠BDF . （天津市竞赛试题） 解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形． 【例4】 如图，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝ 41∠EAB ，∠FCF ＝41∠ECD .求证：∠AFC ＝4 3 ∠AEC . （湖北省武汉市竞赛试题） D E C A B 图1

分式方程培优讲义全

分式方程拔高讲练 一、含有参数方程 1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值围是 2．分式方程=1﹣的根为 3．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为 二、方程无解 1．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是

2．若=0无解，则m的值是 3．若关于x的分式方程﹣=无解，求a= ． 三、有增根 1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为 2、关于x的分式方程有增根，则增根为． 3、若关于x的方程有增根，则m的值是．

4、解关于x的方程+=产生增根，则常数a= 四、整体代入解方程 1．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y的整式方程是． 2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y= ． 3．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是． 四、实际问题 1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进

价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（） A．﹣10= B．+10= C．﹣10= D．+10= 2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（） A．= B．=C．= D．= 3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 4．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植 树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5 天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（） A．﹣=5 B．﹣=5 C．+5= D．﹣=5 5．市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角的垃圾， 调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据 题意可列出方程为（）

(完整版)初一数学培优专题讲义

初一数学基础知识讲义 第一讲和绝对值有关的问题 一、知识结构框图： 数 二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数 当为0 当为负数 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 三、典型例题 例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b

解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++L 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x

分式方程培优

(4) 分式方程培优 、分式方程的解法 4、在x=0,X=1,X = -1中，分式方程 5、 若分式方程一( ------- =-一的解为x = 3,则a = . a(x -1) 5 6、 当m= _______ 时，方程竺 - 1的解与方程 ―4 =3的解互为相反数 m+1 x-1 x x +3 7、 方程丄亠=y 的整数解有 ______________ 组。 x +1 8、 解方程： x —7 x —4 x —5 x —6 1、不解下列方程, 判断下列哪个数是方程 2、关于x 的方程 B 2ax 3 3、若分式 a 「x B 、3 x 2 _1 岛1的值等于 2(x+1) .x=-1 3 =一的解为 4 C 、一 x=1,贝U a= 0,贝U x 的值为 A. 1 B. 3 = ----- + x 3 .x=3 D 、一 3 D. -1 1 r 的解( x 2 —2x — 3 D . x=-3 (1) x 14 x 2 -4 2x x 2 -1

(5)x 7 x 9_x10 x 6 x亠6 x亠8 x亠9 x亠5 9、阅读材料： 111 1 方程的解为x = 1 , x+1 x x—2 x-3 1111 方程丄一二丄—的解为x=2, x x-1 x-3 x—4 1111 方程——- - ——的解为x = 3, x—1 x—2 x—4 x—5 (1 )请写出能反映上述方程一般规律的一个方程___________________ 解是x=10. 1111 (2)方程」丄丄—的解是_________________________ x+3 x+4 x + 6 x + 7 ，使它的 二、方程有增根、无解、正解、负解的问题： 1、如果关于x的方程乙泌—无解，则m等于( ) x -5 5 —x A.3 B. 4 C.-3 D.5 1 x—4 2、若方程」7 =有增根，则增根为. x - 3 3 — x 3、若分式方程土3 _1 =0无解，那么a的值应为________________ 。 x_2 x—2 x 16k 4、当k 时关于x的方程 2 有解。 x + 2 x-2 x2-4 5、若关于x的方程- —有增根,则增根是多 少？产生增根的 X2-9 x+3 x-3 少？ m值又是多

初三数学中考培优试题

初三数学中考培优试题 一．解答题： 1．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合 （1）直接写出点A、B的坐标：A（_________，_________）、B（_________，_________）； （2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是_________； （3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由； （4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值． 2．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒． （1）当点B与点D重合时，求t的值； （2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？ （3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．

3．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是_________三角形； （2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限 且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为 A，连接AC交直线l于B． （1）求抛物线的表达式； （2）直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于 点E，且DE：BE=4：1．求直线y=x+m的表达式； （3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

专题27 数形结合——初中数学培优

专题27 数形结合 阅读与思考 数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想. 数形结合有下列若干途径： 1．借助于平面直角坐标系解代数问题； 2．借助于图形、图表解代数问题； 3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题； 4．借助于函数解几何问题. 现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能. 代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步． 例题与求解 【例l 】设1342222+-+++= x x x x y ，则y 的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题） 解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．()()921122+-+++= x x y ＝ ()()()()2222302101-+-+-++x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C (x ，0)，使它到两 点A （－1，1）和B (2，3)的距离之和（即CA ＋CB ）最小. 【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x 厘米，面积是x 平方厘米，这样的直角三角形 ( ) A ．不存在 B ．至多1个 C ．有4个 D ．有2个 （黄冈市竞赛试题） 解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．

培优专题分式方程培优提高经典例题

分式方程专题 例1：去分母法解分式方程 1、 ()()113116=---+x x x 2、2 2416222-+=--+-x x x x x 3、22412212362x x x x x x x -+++=++--- 4、64534275--+--=--+--x x x x x x x x 例2：整体换元与倒数型换元： 1、用换元法解分式方程：（1） 6151=+++x x x x （2）12221--=+--x x x x 变式练习： （11上海）用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2310y y --= 例3：分式方程的（增）根的意义 1、 若分式方程： 024122=+-+-x x a 有增根，求a 的值。 2、关于x 的分式方程131=---x x a x 无解，则a=_________。 变式练习：当m 为 时，分式方程 ()01163=-+--+x x m x x x 有根。

例4一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a 次、a 次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180t ；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270t ． 问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍； ⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运1t 付运费20元计算) 课堂总练习 1关于x 的分式方程 1131=-+-x x m 的解为正数，则m 的取值范围是 2．关于x 的方程 223242mx x x x +=--+会产生增根，则m 为____________ 3．若关于x 的方程 2111 x m x x ++=--产生增根，则 m ＝____________； 4．k 取何值时，方程x x k x x x x +=+-+211 2会产生增根？ 5.当a 为何值时，关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解？

中考数学总复习培优专题精选经典题

初三数学中考总复习培优资料一 一、选择题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分.） 1．-2的绝对值是 A ．-2 B ．- 12 C ．2 D ．12 2．下列运算正确的是 A ．x 2+ x 3= x 5 B ．x 4·x 2= x 6 C ．x 6÷x 2 = x 3 D ．( x 2)3 = x 8 3．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是 4．已知a -b =1，则代数式2a -2b -3的值是 A ．-1 B ．1 C ．-5 D ．5 5．若⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4和6，圆心距O 1O 2=8，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 6．对于反比例函数y =1 x ，下列说法正确的是 A ．图象经过点（1，-1） B ．图象位于第二、四象限 C ．图象是中心对称图形 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 7．某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32．对这组数据，下列说法正确的是 A ．平均数为30 B ．众数为29 C ．中位数为31 D ．极差为5 8．小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 折线表示小亮的行程s (km)与所花时间t (min)之间的函数关系. 下列说法错误．．的是 A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min 9．一元二次方程x x 22 =的根是（ ） A ．2=x B ．0=x C ．2,021==x x D ．2,021-==x x 10．如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是（ ） A ．1 B ． 21 C ．31 D ．4 1 A B C D （第8题图）

分式方程培优答案(教师版)

分式方程培优 一、分类解析 例1. 解方程：x x x --+=121 1 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根 解：方程两边都乘以()() x x +-11，得 x x x x x x x x x 222211121232 32 --=+---=--∴==()()()， 即， 经检验：是原方程的根。 例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现 ()()()() x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。 解：原方程变形为： x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分，得 1671236723836 9 2()()()() ()()()() x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即 经检验：原方程的根是x =- 92 。 例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

解：由原方程得：3143428932874145- -++-=--++- x x x x 即2892862810287x x x x ---=--- 于是，所 以解得：经检验：是原方程的根。 189861810878986810871 1()()()() ()()()()x x x x x x x x x x --=----=--== 例4. 解方程：61244444402222y y y y y y y y +++---++-=2 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。 解：原方程变形为：622222220222()()()()() ()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202y y y y y y +-+-++-=()() 方程两边都乘以()()y y +-22，得 622022 ()()y y y --++= 整理，得经检验：是原方程的根。 216 88y y y =∴== 注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。 二、中考题解： 1．若解分式方程2111x x m x x x x +-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. - -12或 B. -12或 C. 12或 D. 12或- 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：

初三数学圆的专项培优练习题(含答案)

初三数学圆的专项培优练习题(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初三数学圆的专项培优练习题（含答案） 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成立的 是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．33C．6 D．23 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1

A．19° B．38° C．52° D．76° 图四图五 6．如图五，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE =1：3，则AB= ．7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。

分式培优训练(含答案)

13、分式总复习 【知识精要】 分式定义：（、为整式，中含有字母）性质通分：约分：分式方程定义：分母含有未知数的方程。如解法思想：把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母依据：等式的基本性质 注意：必须验根应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =??≠=÷÷≠???????-=+???????????????????????????????????????????()()005113 【分类解析】 1. 分式有意义的应用 例1. 若ab a b +--=10,试判断 1111a b -+，是否有意义。 分析:要判断1111 a b -+，是否有意义，须看其分母是否为零,由条件中等式左边因式分解,即可判断a b -+11，与零的关系。 解： ab a b +--=10 ∴+-+=a b b ()()110 即()()b a +-=110 ∴+=b 10或a -=10 ∴-+1111 a b ，中至少有一个无意义。 2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。 例2． 计算:a a a a a a 2211313 +-+--+- 分析：如果先通分,分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分

离分式法”简化计算。 解：原式=+-+--+-a a a a a a ()()111313 =-+-+-=-+--=--+++-=- -+-a a a a a a a a a a a a a 1113 1113 311322 13()()() ()() ()() 例3． 解方程：11765556 222-++=-+-+x x x x x x 分析：因为x x x x 27616++=++()()，x x x x 25623-+=--()()，所以最简公分母为：()()()()x x x x ++--1623,若采用去分母的通常方法,运算量较大。由于x x x x x x x x x x 222225556561561156 -+-+=-+--+=--+故可得如下解法。 解: x x x x x x 222561561156 -+--+=--+ 原方程变为11761156 22-++=--+x x x x ∴++=-+∴++=-+∴=176156 76560 2222x x x x x x x x x 经检验，x =0是原方程的根。 ３. 在代数求值中的应用 例４. 已知a a 2 69-+与||b -1互为相反数,求代数式 ()42222222222a b a b ab a b a ab b a b ab b a -++-÷+-++的值。 分析:要求代数式的值,则需通过已知条件求出a 、b 的值，又因为a a a 226930-+=-≥(),||b -≥10,利用非负数及相反数的性质可求出a 、ｂ的值。

九年级数学培优专题

九上考点复习专题 1、 如图，△ABC 的高CF 、BG 相交于点H ，分别延长CF 、BG 与△ABC 外接圆交于D 、 E 两点，则下列结论：①AD=AE ；②AH=AE ；③若DE 为△ABC 的外接圆的直径，则BC=AE.其中正确的是（ ） A 、① B 、①② C 、②③ D 、①②③ 2、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O 、H 分别为边AB 、AC 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转120°到△A 1BC 1的位置，则整个旋转过程中OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为___________. 3、如图，已知点E 在Rt △ABC 的斜边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与直角边BC 相切于点D 。 （1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若BD=2BE=4，求AC 。 4、如图，已知AB=4为⊙O 的直径，弦C D ⊥AB 且CD 过AO 的中点。 （1）如图1，求线段CD 的长度； （2）如图2，P 为优弧CD 上一动点，Q 为△ACP 的内心，当Q 点恰好在线段CD 上时，求DQ 的长度； （3）如图3，点M 与点O 关于直线AC 对称，当点P 在优弧AC 上运动时，试求 2 2 2PM PC PA 的值。 A H C B C 1 B 1 A 1 O 1 A B C D E H F G A B C D O E B C D O A B C D O A B C D O A P Q M P

5、如图，AB 为直径，PB 为切线，点C 在⊙O 上，PO 交⊙O 于D ，AC∥OP。 （1）求证：PC 为⊙O 的切线。 （2）过D 点作DE⊥AB，E 为垂足，连AD 交BC 于G ，CG=3，DE=4 （3）在（2）下，求半径。 6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，F 为BE 的中点。 （1）如图1，当边AD 与边AB 重合时，连接DF ，求证：DF ⊥CF ； （2）如图2，若∠BAE=135°，求CF 的长； （3）将△ADE 绕点A 旋转一周，求点F 运动路径的长。 7、在直角坐标系中，M 为x 轴正半轴上一点，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 为AB 延长线上一点（不含B 点），连接PC 交⊙M 于Q 点，连接DQ ，若A （-1,0） ，C （0，3）。 （1） 如图，求圆心M 的坐标； （2） 如图，过B 点作B H ⊥DQ 于H 点，当P 点运动时，线段CQ 、QH 、DH 有何数量关系， 证明你的结论； （3） 如图，R 为⊙M 的直径DF 延长线上一个动点（不包括F 点），过B 、F 、R 三点作 ⊙N ，CF 交⊙N 于T ，当R 点在DF 的延长线上运动时，FT-FR 的值是否变化？请 说明理由。 D C B A F E D C B A F E

分式和分式方程培优精讲

二、知识点梳理 知识点一：分式的定义 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 1、分式有意义：分母不为0（0B ≠） 2、分式值为0：分子为0且分母不为 0（? ??≠=00B A ） 3、分式无意义：分母为0（0B =） 4、分式值为正或大于0：分子分母 同号（???>>00B A 或???<<0 B A ） 5、分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或? ??><00 B A ） 知识点三：分式的通分 ① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 ② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 知识点四：分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示

为：d b c a d c b a ??=? 分式除以分式：式子表示为 c c ??=?=÷b d a d b a d c b a 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子n n n b a b a =??? ?? 3、分式的加减法则： 同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为 c b a c b ±=± c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为 bd bc ad d c ±=±b a 注意：加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。 知识点五：分式方程的解的步骤 ⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程） ⑵解整式方程，得到整式方程的解。 ⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中： 如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根； 如果最简公分母不为0，则是原方程的解。 2、产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解； ②代入最简公分母后值为0。 三、典型例题 例一 当x 有何值时，下列分式有意义 （1）4 4+-x x （2） 2 32+x x （3） 1 22-x （4） 3||6--x x （5） x x 11-

培优专题分式方程及其应用(含答案)

12、分式方程及其应用 【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤： （1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。 下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解读】 例1. 解方程：x x x --+=121 1 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根 解：方程两边都乘以()()x x +-11，得 x x x x x x x x x 22221112123 2 32--=+---=--∴== ()()()， 即， 经检验：是原方程的根。 例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为： x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分，得 1671236723836 9 2 ()()()() ()()()() x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即 经检验：原方程的根是x =- 92。 例3. 解方程：121043323489242387161945 x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。 解：由原方程得：3143428932874145 - -++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=--- 于是，所以解得：经检验：是原方程的根。 189861810878986810871 1()()()() ()()()() x x x x x x x x x x --=----=--== 例4. 解方程：612444444 0222 2y y y y y y y y +++---++-=2 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。 解：原方程变形为：62222222022 2 ()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202 y y y y y y +-+-++-=()()