分式方程培优讲义

分式方程培优讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

分式方程拔高讲练

一、含有参数方程

1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是

2．分式方程=1﹣的根为

3．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组

的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为

二、方程无解

1．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是

2．若=0无解，则m的值是

3．若关于x的分式方程﹣=无解，求a=．

三、有增根

1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为

2、关于x的分式方程有增根，则增根为．

3、若关于x的方程有增根，则m的值是．

4、解关于x的方程+=产生增根，则常数a=

四、整体代入解方程

1．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y 的整式方程是．

2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y=．

3．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是．

四、实际问题

1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）

A．﹣10= B．+10=

C．﹣10= D．+10=

2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行

120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（）

A．= B．=C．= D．=

3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（）

A． B． C． D．

4．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5

天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（）

A．﹣=5 B．﹣=5

C．+5= D．﹣=5

5．西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（）

A．+=1 B．+= C．+= D．+=1

【同步训练】

1．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程

+=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣8

2．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=﹣1有

非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．若关于x的分式方程+3=无解，则实数m=．

4．若关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围

是．

5．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：．

6．某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为．

7．关于x的方程：x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，则x+=c+的解是x1=c，x2=．

8．若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是

（）

A．3 B．1 C．0 D．﹣3

9．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，

AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A →C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．

（1）点Q的速度为cm/s（用含x的代数式表示）．

（2）求点P原来的速度．

12．定义新运算：对于任意实数a，b（其中a≠0），都有a?b=﹣，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2?3=﹣=+=1．

（1）求（﹣2）

3的值；（2）若x?2=1，求x的值．

2017年12月02日峰尚的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共14小题）

1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4

【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，

解得：x=，

由题意得：≥0且≠2，

解得：a≥1且a≠4，

故选：C．

2．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（）

A．10 B．12 C．14 D．16

【解答】解：分式方程+=4的解为x=且x≠1，

∵关于x的分式方程+=4的解为正数，

∴＞0且≠1，

∴a＜6且a≠2．

，

解不等式①得：y＜﹣2；

解不等式②得：y≤a．

∵关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，

∴a≥﹣2．

∴﹣2≤a＜6且a≠2．

∵a为整数，

∴a=﹣2、﹣1、0、1、3、4、5，

（﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4+5=10．

故选A．

3．若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是

（）

A．3 B．1 C．0 D．﹣3

【解答】解：解不等式组，可得，

∵不等式组有且仅有四个整数解，

∴﹣1≤﹣＜0，

∴﹣4＜a≤3，

解分式方程+=2，可得y=（a+2），

又∵分式方程有非负数解，

∴y≥0，且y≠2，

即（a+2）≥0，（a+2）≠2，

解得a≥﹣2且a≠2，

∴﹣2≤a≤3，且a≠2，

∴满足条件的整数a的值为﹣2，﹣1，0，1，3，

∴满足条件的整数a的值之和是1．

故选：B．

4．分式方程=1﹣的根为（）

A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣3

【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，

解得：x=﹣1或x=3，

经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3，

故选C

5．如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为

（）

A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4

【解答】解：﹣=1，

去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：

m+2x=x﹣2，

由分母可知，分式方程的增根可能是2，

当x=2时，m+4=2﹣2，

m=﹣4，

故选D．

6．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）

A．﹣10=B．+10=

C．﹣10=D．+10=

【解答】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：

+10=．

故选：B．

7．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行

120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（）

A．=B．=

C．=D．=

【解答】解：设江水的流速为vkm/h，根据题意得：=，

故选：D．

8．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（）

A．B．C．D．

【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣6）个零件，

由题意得，=．

故选A．

9．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（）

A．﹣=5 B．﹣=5

C．+5=D．﹣=5

【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，

∴实际每天植树（x+）万棵，需要天完成，

∵提前5天完成任务，

∴﹣=5，

故选（A）

10．西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（）

A．+=1 B．+=C．+=D．+=1【解答】解：由题意可得，

，

故选B．

11．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是（）

A．m=B．m=3 C．m=或1 D．m=或3

【解答】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2=﹣x+3，

整理得：（m﹣1）x=2，

当m﹣1=0，即m=1时，方程无解；

当m﹣1≠1时，x﹣3=0，即x=3时，方程无解，此时=3，即m=，

故选C

12．若=0无解，则m的值是（）

A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3

【解答】解：方程两边都乘（x﹣4）得：

m+1﹣x=0，

∵方程无解，

∴x﹣4=0，

即x=4，

∴m+1﹣4=0，

即m=3，

故选C．

13．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程+=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）

A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣8

【解答】解：，

解①得x＞m，

解②得x＞1．

不等式组的解集是x＞1，则m≤1．

解方程+=3，

去分母，得1﹣x﹣m=3（2﹣x），

去括号，得1﹣x﹣m=6﹣3x，

移项，得﹣x+3x=6﹣1+m，

合并同类项，得2x=5+m，

系数化成1得x=．

∵分式方程+=3有非负整数解，

∴5+m≥0，

∴m≥﹣5，

∴﹣5≤m≤1，

∴m=﹣5，﹣3，1，

∴符合条件的m的所有值的和是﹣7，

故选C．

14．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=﹣1有非

负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：不等式组整理得：，

由不等式组无解，得到m+2≥﹣2m﹣1，

解得：m≥﹣1，即m=﹣1，0，2，5，

分式方程去分母得：x﹣m+2=﹣x+2，即x=m，

把m=﹣1代入得：x=﹣，不符合题意；

把m=0代入得：x=0，符合题意；

把m=2代入得：x=1，符合题意；

把m=5代入得：x=，不符合题意，

则所有满足条件m的个数是2，

故选B

二．填空题（共15小题）

15．若关于x的分式方程+3=无解，则实数m=3或7．

【解答】解：方程去分母得：7+3（x﹣1）=mx，

整理，得（m﹣3）x=4，

当整式方程无解时，m﹣3=0，m=3；

当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，

∴m﹣3=4，m=7，

∴m的值为3或7．

故答案为3或7．

16．若关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是m＜6且m≠2．

【解答】解：+=3，

方程两边同乘（x﹣2）得，x+m﹣2m=3x﹣6，

解得，x=，

∵≠2，

∴m≠2，

由题意得，＞0，

解得，m＜6，

故答案为：m＜6且m≠2．

17．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：=．

【解答】解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得：=．

故答案是：=．

18．某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为﹣=8．

【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=，

根据题意可得：﹣=8，

故答案为：﹣=8．

19．若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是m≥﹣1

且m≠1．

【解答】解：去分母得，m﹣1=2（x﹣1），

∴x=，

∵方程的解是非负数，

∴m+1≥0即m≥﹣1

又因为x﹣1≠0，

∴x≠1，

∴≠1，

∴m≠1，

则m的取值范围是m≥﹣1且m≠1．

故选：m≥﹣1且m≠1．

20．若关于x的分式方程+=2有整数解，整数m的值是1，3，4，

﹣2，6．

【解答】解：去分母得：mx﹣1+1=2x﹣4，

整理得：（m﹣2）x=﹣4，

解得：x=﹣，

由分式方程有整数解，得到m﹣2=﹣1，1，﹣2，2，﹣4，4，且x﹣2≠0，

解得：m=1，3，4，﹣2，6，

故答案为：1，3，4，﹣2，6

21．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y

的整式方程是y2﹣3y+2=0．

【解答】解：设y=x2+2x，则原方程可化为y+=3，

去分母，得y2﹣3y+2=0．

故答案是：y2﹣3y+2=0．

22．用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y=．

【解答】解：设y=，则原方程变为y﹣+1=0，

故答案为：．

23．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是2．【解答】解：设x+=u，原方程等价于u2﹣u﹣2=0，

解得u=2或u=﹣1，

x+=2或x+=﹣1（不符合题意，舍），

故答案为：2．

24．关于x的分式方程有增根，则增根为x=1．

【解答】解：∵原方程有增根，

∴最简公分母x﹣1=0，

解得x=1．

故答案为x=1．

25．若关于x的方程有增根，则m的值是4．

【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），

得x+2=m

∵原方程有增根，

∴最简公分母（x﹣2）=0，

解得x=2，

当x=2时，m=2+2+4，

故答案为：4．

26．若分式方程的解为正数，则a的取值范围是a＜8，且a≠4．

【解答】解：分式方程去分母得：x=2x﹣8+a，

解得：x=8﹣a，

根据题意得：8﹣a＞0，8﹣a≠4，

解得：a＜8，且a≠4．

故答案为：a＜8，且a≠4．

27．关于x的方程：x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，则x+=c+的解是x1=c，x2=3+．

【解答】解：∵x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣

，

∴x+=c+可化为x﹣3+=c﹣3+，

x+=c+的解是x1=c，x2=3+，

故答案为3+．

28．若关于x的分式方程﹣=无解，求a=﹣1或2．

【解答】解：去分母得：3﹣x﹣a（x﹣2）=﹣2，即（a+1）x=2a+5，

当a=﹣1时，显然方程无解；

当a≠﹣1时，x=，

当x=2时，a不存在；

当x=3时，a=2，

综上，a的值为﹣1或2．

故答案为﹣1或2．

29．解关于x的方程+=产生增根，则常数a=﹣4或6．

【解答】解：去分母得：2x+4+ax=3x﹣6，

由分式方程有增根，得到（x+2）（x﹣2）=0，即x=2或x=﹣2，

把x=2代入得：8+2a=0，即a=﹣4；

把x=﹣2代入得：﹣2a=﹣12，即a=6，

综上，常数a=﹣4或6，

故答案为：﹣4或6

三．解答题（共6小题）

30．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，

AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．

（1）点Q的速度为x cm/s（用含x的代数式表示）．

（2）求点P原来的速度．

【解答】解：（1）设点Q的速度为ycm/s，

由题意得3÷x=4÷y，

∴y=x，

故答案为：x；

（2）AC===5，

CD=5﹣1=4，

在B点处首次相遇后，点P的运动速度为（x+2）cm/s，

由题意得=，

解得：x=（cm/s），

经检验x=是原方程的根，

答：点P原来的速度为cm/s．

31．若关于x的方程﹣=1的根是2，求（m﹣4）2﹣2m+8的值．【解答】解：∵关于x的方程﹣=1的根是2，

∴把x=2代入方程得：2﹣=1，

解得：m=4，

则（m﹣4）2﹣2m+8=（4﹣4）2﹣2×4+8=0．

32．设A=，B=

（1）求A与B的差；

（2）若A与B的值相等，求x的值．

【解答】解：（1）A﹣B=

=

=

=

（2）∵A=B

∴

去分母，得2（x+1）=x

去括号，得2x+2=x

移项、合并同类项，得x=﹣2

经检验x=﹣2是原方程的解．

33．定义新运算：对于任意实数a，b（其中a≠0），都有a?b=﹣，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2?3=﹣=+=1．

（1）求（﹣2）

3的值；

（2）若x?2=1，求x的值．

【解答】解：（1）原式=﹣=﹣3

（2）由题意可知：

﹣=1

1﹣（x﹣2）=x

1﹣x+2=x

x=

经检验，x=是原方程的解，

34．（1）计算：（π﹣2）0++（﹣1）2013﹣

（2）解分式方程：﹣=1．

【解答】解：（1）原式=1+2﹣1﹣4

=﹣2；

（2）去分母得x（x﹣1）﹣（x+1）=（x+1）（x﹣1），

解得x=0，

经检验，x=0为原方程的根．

35．解方程：+=．

【解答】解：去分母得：x﹣4+x﹣3=﹣2x﹣6，解得：x=，

经检验x=是分式方程的解．

初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题 附答案详解)

初中数学分式方程的应用培优训练（精选40道习题附答案详解） 1．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万元，今年销售额只有80万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知B款汽车每辆进价为7.5万元，每辆售价为10.5万元，A款汽车每辆进价为6万元，若卖出这两款汽车15辆后获利不低于38万元，问B款汽车至少卖出多少辆？ 2．小明和小刚相约周末到净月潭国家森林公园去徒步，小明和小刚的家分别距离公园1600米和2800米，两人分别从家中同时出发，小明骑自行车，小刚乘公交车，已知公交车的平均速度是骑自行车速度的3.5倍，结果小刚比小明提前4min到达公园，求小刚乘公交车的平均速度． 3．兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元． （1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？ （2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出4 5 时，出现了 滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价﹣进价） 4．近年来，泰州多条动车路线的开通进一步加强了与其他城市的沟通，同时也为市民的出行带来了方便．已知某市到泰州的路程约为900km，一列动车的平均速度比特快列车快50%，所需时间比特快列车少2h，求该列动车的平均速度． 5．一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元． （1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？ 6．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做5个，甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，问甲、乙两人每小时各做多少个零件？（用列方程的方法解答）

分式方程培优讲义

分式方程培优讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

分式方程拔高讲练 一、含有参数方程 1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是 2．分式方程=1﹣的根为 3．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为 二、方程无解 1．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是 2．若=0无解，则m的值是 3．若关于x的分式方程﹣=无解，求a=．

三、有增根 1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为 2、关于x的分式方程有增根，则增根为． 3、若关于x的方程有增根，则m的值是． 4、解关于x的方程+=产生增根，则常数a= 四、整体代入解方程 1．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y 的整式方程是． 2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y=． 3．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是． 四、实际问题 1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（） A．﹣10= B．+10= C．﹣10= D．+10=

2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行 120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（） A．= B．=C．= D．= 3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 4．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5 天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（） A．﹣=5 B．﹣=5 C．+5= D．﹣=5 5．西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（） A．+=1 B．+= C．+= D．+=1 【同步训练】 1．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程 +=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣8 2．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=﹣1有 非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4

分式培优讲义教学文案

讲义 ———分式 姓名： 分式 知识点一：分式的定义

一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（B ≠0） ②分式无意义：分母为0（B=0） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（A=0且B ≠0） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（或 ）

⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或 ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：，，其中 A、B、C是整式，C0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即

注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含 条件B0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

分式方程培优讲义全

分式方程拔高讲练 一、含有参数方程 1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值围是 2．分式方程=1﹣的根为 3．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为 二、方程无解 1．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是

2．若=0无解，则m的值是 3．若关于x的分式方程﹣=无解，求a= ． 三、有增根 1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为 2、关于x的分式方程有增根，则增根为． 3、若关于x的方程有增根，则m的值是．

4、解关于x的方程+=产生增根，则常数a= 四、整体代入解方程 1．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y的整式方程是． 2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y= ． 3．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是． 四、实际问题 1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进

价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（） A．﹣10= B．+10= C．﹣10= D．+10= 2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（） A．= B．=C．= D．= 3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 4．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植 树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5 天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（） A．﹣=5 B．﹣=5 C．+5= D．﹣=5 5．市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角的垃圾， 调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据 题意可列出方程为（）

分式方程培优

(4) 分式方程培优 、分式方程的解法 4、在x=0,X=1,X = -1中，分式方程 5、 若分式方程一( ------- =-一的解为x = 3,则a = . a(x -1) 5 6、 当m= _______ 时，方程竺 - 1的解与方程 ―4 =3的解互为相反数 m+1 x-1 x x +3 7、 方程丄亠=y 的整数解有 ______________ 组。 x +1 8、 解方程： x —7 x —4 x —5 x —6 1、不解下列方程, 判断下列哪个数是方程 2、关于x 的方程 B 2ax 3 3、若分式 a 「x B 、3 x 2 _1 岛1的值等于 2(x+1) .x=-1 3 =一的解为 4 C 、一 x=1,贝U a= 0,贝U x 的值为 A. 1 B. 3 = ----- + x 3 .x=3 D 、一 3 D. -1 1 r 的解( x 2 —2x — 3 D . x=-3 (1) x 14 x 2 -4 2x x 2 -1

(5)x 7 x 9_x10 x 6 x亠6 x亠8 x亠9 x亠5 9、阅读材料： 111 1 方程的解为x = 1 , x+1 x x—2 x-3 1111 方程丄一二丄—的解为x=2, x x-1 x-3 x—4 1111 方程——- - ——的解为x = 3, x—1 x—2 x—4 x—5 (1 )请写出能反映上述方程一般规律的一个方程___________________ 解是x=10. 1111 (2)方程」丄丄—的解是_________________________ x+3 x+4 x + 6 x + 7 ，使它的 二、方程有增根、无解、正解、负解的问题： 1、如果关于x的方程乙泌—无解，则m等于( ) x -5 5 —x A.3 B. 4 C.-3 D.5 1 x—4 2、若方程」7 =有增根，则增根为. x - 3 3 — x 3、若分式方程土3 _1 =0无解，那么a的值应为________________ 。 x_2 x—2 x 16k 4、当k 时关于x的方程 2 有解。 x + 2 x-2 x2-4 5、若关于x的方程- —有增根,则增根是多 少？产生增根的 X2-9 x+3 x-3 少？ m值又是多

培优专题分式方程培优提高经典例题

分式方程专题 例1：去分母法解分式方程 1、 ()()113116=---+x x x 2、2 2416222-+=--+-x x x x x 3、22412212362x x x x x x x -+++=++--- 4、64534275--+--=--+--x x x x x x x x 例2：整体换元与倒数型换元： 1、用换元法解分式方程：（1） 6151=+++x x x x （2）12221--=+--x x x x 变式练习： （11上海）用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2310y y --= 例3：分式方程的（增）根的意义 1、 若分式方程： 024122=+-+-x x a 有增根，求a 的值。 2、关于x 的分式方程131=---x x a x 无解，则a=_________。 变式练习：当m 为 时，分式方程 ()01163=-+--+x x m x x x 有根。

例4一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a 次、a 次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180t ；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270t ． 问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍； ⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运1t 付运费20元计算) 课堂总练习 1关于x 的分式方程 1131=-+-x x m 的解为正数，则m 的取值范围是 2．关于x 的方程 223242mx x x x +=--+会产生增根，则m 为____________ 3．若关于x 的方程 2111 x m x x ++=--产生增根，则 m ＝____________； 4．k 取何值时，方程x x k x x x x +=+-+211 2会产生增根？ 5.当a 为何值时，关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解？

分式和分式方程知识点总结及练习(供参考)

分式和分式方程知识点总结 一、分式的基本概念 1、分式的定义 一般地，我们把形如B A 的代数式叫做分式，其中 A ， B 都是整式，且B 含有字母。A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。分式也可以看做两个整式相除（除式中含有字母）的商。 2.分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变。 M B M A M B M A B A ÷÷=??=。其中，M 是不等于0的整式。 3.分式的约分 把分式中分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。 4.最简分式 分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。利用分式的基本性质可以对分式进行化简 二、分式的运算 1、分式的乘除 分式的乘法法则 分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 D B C A D C B A ??=? 分式的除法法则 分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘。 C B D A C D B A D C B A ??=?=÷

2、分式的加减 同分母的分式加减法法则 同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）。 B C A B C B A ±=± 异分母的分式加减法法则 异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再加（减）。 分式的通分 把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式，叫做分式的通分，这个相同的分母叫做这几个分式的公分母。 几个分式的公分母不止一个，通分时一般选取最简公分母 BD BC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 分式的混合运算 分式的混合运算，与数的混合运算类似。先算乘除，再算加减；如果有括号，要先算括号里面的。 三、分式方程 1、分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的解 使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）。 3、解分式方程的步骤 1.通过去分母将分式方程转化为整式方程，

分式方程培优答案(教师版)

分式方程培优 一、分类解析 例1. 解方程：x x x --+=121 1 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根 解：方程两边都乘以()() x x +-11，得 x x x x x x x x x 222211121232 32 --=+---=--∴==()()()， 即， 经检验：是原方程的根。 例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现 ()()()() x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。 解：原方程变形为： x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分，得 1671236723836 9 2()()()() ()()()() x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即 经检验：原方程的根是x =- 92 。 例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

解：由原方程得：3143428932874145- -++-=--++- x x x x 即2892862810287x x x x ---=--- 于是，所 以解得：经检验：是原方程的根。 189861810878986810871 1()()()() ()()()()x x x x x x x x x x --=----=--== 例4. 解方程：61244444402222y y y y y y y y +++---++-=2 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。 解：原方程变形为：622222220222()()()()() ()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202y y y y y y +-+-++-=()() 方程两边都乘以()()y y +-22，得 622022 ()()y y y --++= 整理，得经检验：是原方程的根。 216 88y y y =∴== 注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。 二、中考题解： 1．若解分式方程2111x x m x x x x +-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. - -12或 B. -12或 C. 12或 D. 12或- 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：

分式培优训练(含答案)

13、分式总复习 【知识精要】 分式定义：（、为整式，中含有字母）性质通分：约分：分式方程定义：分母含有未知数的方程。如解法思想：把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母依据：等式的基本性质 注意：必须验根应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =??≠=÷÷≠???????-=+???????????????????????????????????????????()()005113 【分类解析】 1. 分式有意义的应用 例1. 若ab a b +--=10,试判断 1111a b -+，是否有意义。 分析:要判断1111 a b -+，是否有意义，须看其分母是否为零,由条件中等式左边因式分解,即可判断a b -+11，与零的关系。 解： ab a b +--=10 ∴+-+=a b b ()()110 即()()b a +-=110 ∴+=b 10或a -=10 ∴-+1111 a b ，中至少有一个无意义。 2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。 例2． 计算:a a a a a a 2211313 +-+--+- 分析：如果先通分,分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分

离分式法”简化计算。 解：原式=+-+--+-a a a a a a ()()111313 =-+-+-=-+--=--+++-=- -+-a a a a a a a a a a a a a 1113 1113 311322 13()()() ()() ()() 例3． 解方程：11765556 222-++=-+-+x x x x x x 分析：因为x x x x 27616++=++()()，x x x x 25623-+=--()()，所以最简公分母为：()()()()x x x x ++--1623,若采用去分母的通常方法,运算量较大。由于x x x x x x x x x x 222225556561561156 -+-+=-+--+=--+故可得如下解法。 解: x x x x x x 222561561156 -+--+=--+ 原方程变为11761156 22-++=--+x x x x ∴++=-+∴++=-+∴=176156 76560 2222x x x x x x x x x 经检验，x =0是原方程的根。 ３. 在代数求值中的应用 例４. 已知a a 2 69-+与||b -1互为相反数,求代数式 ()42222222222a b a b ab a b a ab b a b ab b a -++-÷+-++的值。 分析:要求代数式的值,则需通过已知条件求出a 、b 的值，又因为a a a 226930-+=-≥(),||b -≥10,利用非负数及相反数的性质可求出a 、ｂ的值。

分式和分式方程培优精讲

二、知识点梳理 知识点一：分式的定义 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 1、分式有意义：分母不为0（0B ≠） 2、分式值为0：分子为0且分母不为 0（? ??≠=00B A ） 3、分式无意义：分母为0（0B =） 4、分式值为正或大于0：分子分母 同号（???>>00B A 或???<<0 B A ） 5、分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或? ??><00 B A ） 知识点三：分式的通分 ① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 ② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 知识点四：分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示

为：d b c a d c b a ??=? 分式除以分式：式子表示为 c c ??=?=÷b d a d b a d c b a 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子n n n b a b a =??? ?? 3、分式的加减法则： 同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为 c b a c b ±=± c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为 bd bc ad d c ±=±b a 注意：加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。 知识点五：分式方程的解的步骤 ⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程） ⑵解整式方程，得到整式方程的解。 ⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中： 如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根； 如果最简公分母不为0，则是原方程的解。 2、产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解； ②代入最简公分母后值为0。 三、典型例题 例一 当x 有何值时，下列分式有意义 （1）4 4+-x x （2） 2 32+x x （3） 1 22-x （4） 3||6--x x （5） x x 11-

培优专题分式方程及其应用(含答案)

12、分式方程及其应用 【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤： （1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。 下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解读】 例1. 解方程：x x x --+=121 1 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根 解：方程两边都乘以()()x x +-11，得 x x x x x x x x x 22221112123 2 32--=+---=--∴== ()()()， 即， 经检验：是原方程的根。 例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为： x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分，得 1671236723836 9 2 ()()()() ()()()() x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即 经检验：原方程的根是x =- 92。 例3. 解方程：121043323489242387161945 x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。 解：由原方程得：3143428932874145 - -++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=--- 于是，所以解得：经检验：是原方程的根。 189861810878986810871 1()()()() ()()()() x x x x x x x x x x --=----=--== 例4. 解方程：612444444 0222 2y y y y y y y y +++---++-=2 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。 解：原方程变形为：62222222022 2 ()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202 y y y y y y +-+-++-=()()

分式方程练习题及标准答案

分式方程练习题及答案

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分式方程练习题及答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列式子是分式的是（ ） A ．2 x B ．x 2 C ．πx D ． 2 y x + 2．下列各式计算正确的是（ ） A ．1 1--= b a b a B ． ab b a b 2 = C ． ()0,≠=a ma na m n D ． a m a n m n ++= 3．下列各分式中，最简分式是（ ） A ．() () y x y x +-73 B ．n m n m +-22 C ． 2 222ab b a b a +- D ． 2 2222y xy x y x +-- 4．化简 2 293m m m --的结果是（ ）

A.3+m m B.3 +- m m C. 3 -m m D. m m -3 5．若把分式 xy y x +中的x 和y 都扩大2 倍，那么分式的值（ ） A ．扩大2倍 B ．不变 C ．缩小2倍 D ．缩小4倍 6．若分式方程 x a x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．—1 D ．—2 7．已知 4 32c b a ==，则 c b a +的值是（ ） A ．5 4 B. 4 7 C.1 D.4 5

8．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（ ） A ．x x -= +3060 30100 B ．3060 30100-= +x x C ． x x += -3060 30100 D ． 30 60 30100+= -x x 9．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快20% ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。

八年级分式与分式方程培优专题

4 2 《分式与分式方程》培优专题 1下列各式中，无论 X 取何值，分式都有意义的是（ ） 八 1 x 小 3x +1 A . B . C . D 2 2x ：：1 2 x -,-1 x x a 2.分式 ------- 中，当x 二_a 时，下列结论正确的是（ ） 3x _1 (1) C ?右a 工 时，分式的值为零； D 3 2 3.当x 时，分式 x 一1的值为零. 2 x 亠 x —2 5.商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设 A 种糖的单价为a 元/千克，B 种糖的单价为b 元/千克，则m 千克A 种糖和n 千克B 种糖混合而成的什锦糖的单价为 ma ' nb 元 m n /千克（平均价）。现有甲乙两种什锦糖，均由 A 、B 两种糖混合而成；其中甲种什锦糖由 10千克A 种糖和10千克B 种糖混合而成，乙种什锦糖由 100元A 种糖和100元B 种糖混合而成，你认为哪 一种什锦糖的单价较高？为什么？ A .分式的值为零; B .分式无意义 2x 2 ■ 1 1 若a 工时，分式的值为零 3 4.计算：（1）已知 1 x -3 5 x +3 xy _5y ，求—— x _ 2xy _y 的值. x y z xy yz zx 右 — ,求 2 2 2 2 3 4 x + y -z (2) 的值.

4 2 _ 2 6.已知a —6a 9与|b -1|互为相反数，求 a - b 2 2 ab —a b 2 b ■ 2ab i_ ■-的值。 a

7.化简下列各式 (1) x _1 1 1 1 + -------------------- + x(x 1) -------------( x ■ 1)( x 2) ---------- (x ■ 2)( x 3)+ IH + (x - 9)( x - 1 0) x 2X +1x - 6x 2x - 5 8 解方程. Q侖邳千耳 ——一19.解方程— x - 1 x - 1x +2x 7x - 3x - 6 2 m 10.如果关于x的方程 1 一 x — 3 x — 有增根， 3 则m的值等于( ) A. -3 B. -2 C. -1 D. 3 2 11.m为何值时，关于x的方程m x—会产生增根？ x —2x - 4 x2 12.轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度。

专题5.8分式方程无解与特殊解(重难点培优)八年级数学下册尖子生同步培优题典(解析版)【北师大版】

2020-2021学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题5.8分式方程无解与特殊解专题培优 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020?浦城县二模）如果关于x 的方程m 3?x ? 1?x x?3 =0无解，则m 的值是（ ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．﹣2 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x ﹣3＝0，求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可． 【解析】去分母得：﹣m ﹣1+x ＝0， 由分式方程无解，得到x ﹣3＝0，即x ＝3， 把x ＝3代入整式方程得：﹣m ﹣1+3＝0， 解得：m ＝2， 故选：A ． 2．（2020秋?綦江区期末）方程12x ?1 ? 6x?1 = 1 x+1 增根为（ ） A ．1 B ．±1 C ．﹣1 D ．0 【分析】先把分式方程变成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【解析】方程两边都乘以（x +1）（x ﹣1）得：12﹣6（x +1）＝x ﹣1， 解得：x ＝1， 经检验x ＝1不是原方程的根，是原方程的增根， 故选：A ． 3．（2020?丛台区校级二模）若关于x 的分式方程m+1x?1 = x 1?x 有增根，则m 的值是（ ） A ．m ＝﹣1 B ．m ＝1 C ．m ＝﹣2 D ．m ＝2 【分析】方程两边同时乘以x ﹣1，得x ＝﹣m ﹣1，由于方程有增根，则有﹣m ﹣1＝1，求解m 即可． 【解析】方程两边同时乘以x ﹣1，得 m +1＝﹣x ，

分式方程培优提高练习

分式方程培优提高练习 一、选择题（每题5分,共30分） 1．若73212++y y 的值为8 1,则96412-+y y 的值是（ ） （A ）21- （B ）171- （C ）71- （D ）71 2．已知x z z y x +=+=531,则z y y x +-22的值为（ ） （A ）1 （B ） 23 （C ）23- （D ）4 1 3．若对于3±=x 以外的一切数98332-=--+x x x n x m 均成立,则mn 的值是（ ） （A ）8 （B ）8- （C ）16 （D ）16- 4.有三个连续正整数,其倒数之和是60 47,那么这三个数中最小的是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 5．若d c b a ,,,满足a d d c c b b a ===,则2 222d c b a da cd bc ab ++++++的值为（ ） （A ）1或0 （B ）1- 或0 （C ）1或2-（D ）1或1- 6．设轮船在静水中的速度为v ,该船在流水(速度为v u <)中从上游A 驶往下游B,再返回A ，所用的时间为T,假设0=u ,即河流改为静水,该船从A 至B 再返回A,所用时间为t ,则（ ） （A ）t T = （B ）t T < （C ）t T > （D ）不能确定T 与t 的大小关系 二、填空题（每题5分,共30分） 7.已知:x 满足方程20061120061 =--x x ,则代数式2007 200520062004+-x x 的值是_____. 8. 已知: b a b a +=+511,则b a a b +的值为_____. 9.方程71011=++z y x 的正整数解()z y x ,,是_____. 10. 若关于x 的方程122-=-+x a x 的解为正数,则a 的取值范围是_____.

八年级分式与分式方程培优专题

《分式与分式方程》 1．下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ） A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2221 x x + 2．分式31 x a x +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零； B ．分式无意义 C ．若13a -≠时，分式的值为零； D ．若13 a ≠时，分式的值为零 3.当x _______时，分式2212 x x x -+-的值为零． 4.计算:（1）已知13x y 1-=，求5352x xy y x xy y +---的值． （2） 若432z y x ==,求222z y x zx yz xy ++++的值. 5.商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A 种糖的单价为a 元/千克，B 种糖的单价为b 元/千克，则m 千克A 种糖和n 千克B 种糖混合而成的什锦糖的单价为ma nb m n ++元/千克（平均价）。现有甲乙两种什锦糖，均由A 、B 两种糖混合而成；其中甲种什锦糖由10千克A 种糖和10千克B 种糖混合而成，乙种什锦糖由100元A 种糖和100元B 种糖混合而成，你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？ 6.已知a a 2 69-+与||b -1互为相反数，求()42222222222 a b a b ab a b a ab b a b ab b a -++-÷+-++的值。 7.化简下列各式 （1） 2481124811111x x x x x -----++++ （2）1111(1)(1)(2)(2)(3)(9)(10) x x x x x x x x +++++++++++

初中数学 培优专题9 分式方程及其应用含答案

精品文档12、分式方程及其应用 【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （）解这个整式方程；2 ）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于3 （ 零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得3. 的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解析】2x解方程：例1. 1??11x?x?解首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，分析：完后记着要验根)11)(x??(x，得解：方程两边都乘以2，1)x(x?1)(?1x2?(x?)?22，1??x即x?2x?2?3?x?23经检验：x?是原方 程的根。2 精品文档． 精品文档5?x?1x?6x?2x解方程例2. ???6x?2x?7x?3x?分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现 )x?3?x2)与((x?6)与x?7)、((，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用的值相差1 分式的等值性质求值。1x?6x?5x?2x?解：原方程变形为：???2?3xx?6x?x?7方程两边通分，得11?)x(x?6)(x?7)(?2)(x?3)6)(x??3?2)(x7)?(x所以(x?36?即8x?9???x29??x经检验：原方程的根是。2 19??1032x?3424x?2316x12x例3. 解方程：???5x?98x?74x??4x38可化为一个整数与一个简单的分因此，分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，

分式方程的应用培优资料

分式方程的应用培优资料 【典型例题】 例1 在我市南沿海公路改建工程中,某段工程拟在30天内(含３０天）完成.现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成;若两队合做１8天后，甲工程队再单独做1０天，也恰好完成.请问： (1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？ （2）已知甲工程队每天的施工费用为0.６万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做)？最低施工费用是多少万元？ 例2 甲、乙两辆公共汽车分别自Ａ、B两地同时出发，相向而行.甲车行驶85千米后与乙车相遇,然后继续前进．各车到达对方的出发点等候30分钟立即依原路返回.当甲车行驶65千米后又与乙车相遇,求Ａ、Ｂ两地距离. 例3.本市进入汛期，部分路面积水比较严重．为了改善这一状况，市政公司决定将一段路的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工.如果甲、乙两队合做需12天完成此项工程;如果甲队单独完成此项工程需２0天，求：（1)乙队单独完成此项工程需多少天? (2）如果甲队每施工一天需要费用2万元,乙队每施工一天需要费用1万元，要使完成该工程所需费用不超过３５万元,那么乙工程队至少要施工多少天? 例４、(20１0深圳)A、B两地相距18公里，甲工程队要在Ａ、B两地间铺设一条输送天然气管道,乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里,甲工程队提前３周开工,结果两队同时完成任务,求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道? 【强化训练】

1.a=___时，分式62 2-+-a a a 的值是0 2．已知???=++=--0 2022z y x z y x 则分式2222 22z y x z y x ++--=__＿＿ 3.在分式2242 x x x ---中,当ｘ__＿__＿＿＿_＿＿_＿时有意义,当x ___＿_＿___时分式值为零． 4．函数y 2(3)x -+-中，自变量x 的取值范围是＿______＿_＿_. 5． （201１浙江杭州）已知分式 235x x x a --+，当ｘ＝２时,分式无意义，则a= ,当a<6时，使分式无意义的x 的值共有 个． ６．用换元法解方程222026133x x x x +- =+ ,若设x 2+３ｘ＝y ，，则原方程可化为关于y 的整式方程为＿___＿___＿＿__． 7．已知x x 2 320--=,那么代数式()x x x --+-11132的值是_______＿_。 8.已知（a+b)∶(b+c)∶（c+a)＝３∶4∶5 求:①a ∶b ∶c ②bc c ab a +-22 9.解方程： 1113(3)(3)(6)(6)(9)218 x x x x x x x ++=++++++ 10、（2010辽宁进入防汛期后，某地对河堤进行了加固.该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务.这 是记者与驻军工程指挥官的一段对话： 通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.