拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用

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编号

本科生毕业论文（设计）

题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用

作者姓名常正军

专业数学与应用数学

学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2

研究类型数学应用方向

指导教师李明图

提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5

论文原创性声明

本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

论文作者签名：年月日

摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。

关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用

Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example.

Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application

目录

1 定理的叙述 (1)

1.1罗尔(Rolle)中值定理 (1)

1.2拉格朗日(Larange)中值定理 (1)

2 拉格朗日中值定理证明中辅助函数的构造方法 (1)

2.1借助于数形结合的思想构建辅助函数 (1)

2.2用行列式构造辅助函数 (2)

2.3借助闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理 (3)

2.4借助待定系数法构造辅助函数 (4)

2.5借助定积分构造辅助函数 (5)

2.6借助不定积分构造辅助函数 (5)

2.7借助坐标轴旋转变换构建辅助函数 (6)

3 拉格朗日中值定理的应用 (8)

3.1拉格朗日中值定理在等式证明中的应用 (8)

3.2拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 (9)

错误！未定义书签。3.3拉格朗日中值定理在研究函数性态中的应用 (10)

3.4拉格朗日中值定理在极限和导数方面的应用 (11)

3.5拉格朗日中值定理在方程根的存在性方面的应用 (12)

4参考文献 (13)

5致谢 (14)

拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的及应用

1 定理的叙述

1.1罗尔(Rolle)中值定理 若函数)(x f 满足：

(1)在闭区间[]b a ,上连续； (2)在开区间()b a ,内可导；

(3))()(b f a f =，

则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()ξ'

f =0

1.2拉格朗日(Larange)中值定理 若函数)(x f 满足：

(1)在闭区间[]b a ,上连续； (2)在开区间()b a ,内可导；

则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得

()ξ'f =()()a

b a f b f -- 2 拉格朗日中值定理的证明中辅助函数构造的方法

2.1借助于数形结合的思想构建辅助函数

拉格朗日中值定理的条件与罗尔中值定理的条件相比较，不难发现它们

相差的是函()x f y =在[]b a ,上两端点的函数值)()(b f a f =.为此，可以构建一个新的函数()x F （()x F 要满足的条件：()x F 与)(x f 有关），即把问题转化为满足罗尔定理的条件，然后利用罗尔定理所得到的结论来证明拉格朗日定理.根据Rolle 定理的几何意义，

()()a

b a f b f --是曲线()x f y =在[]b a ,上两端点

B

P

()

x f y =y

()()a

b a f b f y --=

x

a ξ

A

b

()()

a f x F y +=O

1b 0

b n b 0a 1a 2a 3a ()

x f y =B

b A

a

y

x

x

图1

图2

n a 2b L

A ()()()()b f b

B a f a ,,,连线AB 的斜率，则弦AB 方程为：

()()()()a x a

b a f b f a f y ---=

- 用曲线()x f y =的纵坐标之差作辅助函数： ()()()()()()()a x a

b a f b f a f x f y x f x F AB -----=-= （1） 即符合Rolle 定理()()b F x F =的条件. 证明：作辅助函数

()()()()()()a x a

b a f b f a f x f x F -----=

显然()()0==b F a F ,且()x F 满足罗尔中值定理的另两个条件.故至少存在一点()b a ,∈ξ，使得

()()()()0''=---

=a

b a f b f f F ξξ 移项后及得 ()()()a

b a f b f f --=ξ' 另外，也可以用原点与曲线()x f y =在[]b a ,上两端点的连线AB 平行的直线OL 代替弦AB ，而直线OL 的方程为()()x a

b a f b f y --=

. 因此,用曲线()x f y =的纵坐标与直线OL 的总坐标之差，得到另一辅助函数：

()()()()()x a

b a f b f x f y x f x F OL ---

=-= （2） 可以验证()x F 在[]b a ,上满足罗尔中值定理条件，具体证明同上. 2.2 用行列式构造辅助函数

行列式不仅是高等代数中最基本工具，具有很强的操作性. 而且在数学

分析中叶也很广泛地应用. 这样就有机的将一个函数用行列式表示出来了，大大简化了数学分析繁杂的证明过程. 证明：构造辅助函数

()()()()1

11b f b

a f a

x f x

x =? 常见函数()x ?在闭区间[]b a ,上是连续的（由连续函数的判定条件），在

开区间()b a ,内是可微的，并且()()()()111b f b

a f a a f a a =?，同理可得：

()()()()1

11b f b

a f a

b f b b =?=()()()1

11b f b

a f a a f a =()a ?

即函数()x ?在区间[]b a ,上满足罗尔定理的第三个条件，于是又由罗尔定理()b a ,∈?ξ，()0'=ξ? 而对()x ?求导

()()()()()()()()x f b a b f a f b f b a f a

x f x '''1

10

1

---==? ()()()()()()()()01

10

1

'''=---==ξξξ?f b a b f a f b f b

a f a

f ()()()()a b f a f b f -=-ξ' 即 ()()()a

b a f b f f --=

ξ'.

2.3借助闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理

区间套定理是数学分析中的一个重要的定理，它同聚点定理、有限覆盖定理、确界原理、数列的单调有界定理和柯西收敛准则一样反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础.由于它具有较好的构造性，现就利用闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理. 证明：设函数()y f x =图形的两个端点分别为A 和B (如图2).

如果线段AB 和曲线()y f x =所围成的闭区域不是凸集（凸集即在区域内任意两点连线均在此区域内）则截取线段AB 的一部分平行线段与一部分曲线围成的凸集（目的是保证以后所构造的区间构成闭区间套），例如图2中取线段AB 与下半部分曲线所围成的凸集.设AB 或其平行线段（最长平行线段），与所取凸集的两个交点的横坐标分别为0a 、0b ，则[][]b a b a ,,00?（图2中a a =0）将线段AB 或者与AB 平行的该凸集的边界线段向着区域的方向平行移动.可得到一系列与线段AB 平行的直线段，其斜率均为()()a

b a f b f k --=

设这些直线段与区域边界曲线的坐标分别为()()();...,;...,;,2211n n b a b a b a 这些坐标构成的区间上又满足

[][][][]...,......,,,1100?????n n b a b a b a b a 且 ()()()()()ξ'lim

f a

b a f b f a b a f b f n n n n n =--=--+∞

→ 即可得 ()()()()a b f a f b f -=-ξ' 定理得证 2.4 借助待定系数法构造辅助函数

借助待定系数法也可以构造一个新的辅助函数()x F （()x F 要与()x f 有关），使它满足罗尔定理的条件三（即在两端点的函数值相等的条件）.

设λ为待定系数，令 ()()x x f x F λ+=

要使 ()()b F a F = 则需要 ()()()()b F b b f a a f a F =+=+=λλ 即 ()()a

b a f b f ---

=λ

所以，可做辅助函数为 ()()()()x a

b a f b f x f x F ---= 得到与（2）式一样的辅助函数 证明：作辅助函数 ()()()()x a

b a f b f x f x F ---

=

经检验， ()()()()a

b a

b f b a f b F a F --==， 且()x F 满足罗尔定理的另外两

个条件.

故至少存在一点()b a ,∈ξ，使 ()()()()0''=---=a

b a f b f f F ξξ 即得 ()()()a

b a f b f f --=ξ'. 2.5 借助定积分构造辅助函数

在不等式的证明中，常常从要证明的结论出发，采用逆推的方法寻求证明的思路. 照此，可以从拉格朗日的结论()()()a

b a f b f f --=

ξ'出发. 这里作一个约定：()x f '在[]b a ,上存在，则

()()()a f x f dx x f x

a

-=?

'， ()b a x ,∈ 成立

对()x f '在[]b a ,上的可积性不作讨论.

设要构造的辅助函数的导数为 ()()()()a

b a f b f f F ---=ξξ''

其中()()b a x a ,,?∈ξ 则辅助函数为

()()()()()()()x

a

x

a a

b a f b f f d a b a f b f f x F ξξξξ---=??

? ?

?---

=?'

()()()()()a x a

b a f b f a f x f ----

-= 得到与（1）式相同的辅助函数，证法相同，略. 2.6 借助不定积分构造辅助函数

为了寻求证明拉格朗日中值定理的辅助函数，从要证的结

()()()a

b a f b f f --=

ξ'出发也可考虑借助不定积分求其原函数

()()()()()()()c a b a f b f f d a b a f b f f F +---

=??

? ??

---=?ξξξξξ' （c 为任意常数） 经验证，当 ()()a

b a

b f b a f

c ---

=，即可使 ()()0==b F a F

因此，可作辅助函数为

()()()()()()a b a

b f b a f x a b a f b f x f x F ---

---

= 证明：作辅助函数 ()()()()()()a

b a

b f b a f x a b a f b f x f x F ---

---= 经检验 ()()0==b F a F ，且 ()x F 满足罗尔定理的另外两个条件，

故至少存在一点()b a ,∈ξ使

()()()()0''=---=a

b a f b f f F ξξ 即得到 ()()()a

b a f b f f --=

ξ'.

2.7 借助坐标轴旋转变换构建辅助函数

以上几种辅助函数的构造，都是从罗尔定理两端点的函数值相等这一条件出发考虑.下面从曲线()x f y =在[]b a ,上两端点A 、B 的连线弦AB 与x 轴的关系考虑问题.分析拉格朗日中值定理与罗尔定理的几何特征.

设曲线()x f y =在[]b a ,上两端点()()()()b f b B a f a A ,,,.连线弦为AB ,在罗尔中，由于两端点的函数值相等，弦AB 的斜率01=k 即弦AB 与x 轴平行。而在拉格朗日中值定理中由于两端点的函数值不等，弦AB 的斜率

()()02≠--=

a

b a f b f k .所以，弦AB 与x 轴不平行.为了把问题转化为符合罗尔中值定理的条件，可以考虑作坐标轴的旋转，使旋转角θ满足()()a b a f b f k tg --==2θ.则新坐标系的'x 轴与弦AB 平行，在新坐标下有曲线()x f y =在点A 、B 的纵坐标相等. 因此，有坐标轴的旋转公式：

?

??+-=+=θθθθs i n s i n s i n

c o s ''y x y y x x

得 ()θθcos sin 'x f x y +-=

作辅助函数 ()()θθcos sin 'x f x y x F +-==. 因为 ()()θθcos sin a f a a F +-= ()()θθcos sin b f b b F +-=

由 ()()a

b a f b f --==

θθθcos sin tan 得 ()()b F a F = 经此坐标轴的旋转变换，使旋转角θ满足 ()()a

b a f b f --=θtan 因此，构造辅助函数为 ()()θθ

c o s s i n x f x x F +-= 即可把问题转化为符合罗尔定理的条件. 证明：作坐标轴的旋转变换，使旋转角θ满足 ()()a

b a f b f --=

θtan 由坐标轴的旋转公式:

???+-=+=θθ

θθs i n s i n s i n c o s ''y x y y x x

得 ()θθcos sin 'x f x y +-=

作辅助函数 ()()θθcos sin 'x f x y x F +-== 则 ()()θθcos sin a f a a F +-= ()()θθsin sin b f b b F +-= 因为 ()()a

b a f b f --==

θθθcos sin tan 经检验，可得()()b F a F =， 且()x F 满足罗尔定理的另外两个条件. 故至少存在一点()b a ,∈ξ. 使得 ()()0cos sin ''=+-=θξθξf F 即得到 ()()()a

b a f b f f --==

θθξc o s s i n '

3 拉格朗日中值定理的应用

微分中值定理，给出了在区间上函数与其导数之间的联系. 因此，在证明有关导数增量与自变量的增量，或它们与区间内某点处导数值有关的等式与不等式或相关命题时，可以考虑应用微分中值定理，在应用的过程中注意中值定理所成立的条件.

3.1拉格朗日中值定理在等式证明中的应用 例1 当0≥x 时，证明:

()()??? ??≤≤+=

-+214

1

211x x x x x θθ

且 ()()2

1

lim ,4

1lim 0==+∞

→→-

x x x x θθ

分析： 注意到(),21x

x =

欲证等式正是函数()x x f =在区间[]1,+x x 上

用拉格朗日中值定理的结果.

证明：取函数()x x f =，在区间[]1,+x x 上应用拉格朗日中值定理，得 ()()()()()x x f x x x x f x f x f θθ+=-++=-+''11 即

()

x x x x θ+=

-+21

1

为确定 ()x θ的取值范围和求()x θ的极限，由上式出发表示()x θ，得 ()()()x x x x 21214

1-++=θ （3）

当0≥x 时， ()2

1

1+>+x x x ，代入（1）式，即得 ()2

1≤x θ 于是有

()2

141≤≤x θ， 当（3）式 ()()2

1

1lim 2

141lim ,41lim 0=+++=+∞

→+∞→→-

x x x x x x x x θ

例2 设()x f 在[]b a ,上可微，()0=a f ，且存在实数A>0，使得在[]b a ,上

()()x f A x f <'，试证明在[]b a ,上恒有()0=x f .

证明：取()b a x ,∈使A

a x 1

0≤

-≤,由拉格朗日中值定理： ()()()()()()x a a x A f a x f f x f x f <<-<-=-=11'1',0ζζζ

进而 ()()()())(,122

222'12

x a a x A f a x A f a x A a f f <<<-=-=--ζζζζζ

一般地 ()()A f x f 1ζ<()()()()()n n n a x A f a x A f a x -<<-<-ζζ...222 这里 x a n n <<<<<<-121...ζζζζ

取 ()x f M b

x a <<=max ，则当??

???

?+∈A a a x 1,时，

有 ()()(),...2,1.=-≤n a x MA x f n n

易见： ??

?

???+∈A a a x 1

,时，有 ()0≡x f 然后在 ??

????

+++A A a A a 121,21 上重复以 上步骤，得 ??

?

???+++∈A A a A a x 1

21

,21

时，()0≡x f 重复以上步骤即得在 ()x f 在??

?

???+++

∈A A a A a x 121,21恒有()0≡x f 3.2拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 例3 证明：当1a >，n 为正整数时，有不等式

()

1

1111

1

2

2ln 1n n n n

a

a a a a

n

n ++-<

<

+ 分析：注意到'

11

21ln x x a a a x ????

=- ? ?????

应用拉格朗日中值定理.

证明：函数()1x

f x a =在区间[],1n n +上满足拉格朗日中值定理的条件，故有

()1

1

121

ln ,,1n

n a a

a a n n ξξξ-+-=?∈+ （4）

因 1a >，()1x

f x a =在 [],1n n +内单调递减，又 1n n ξ<<+ 有 1

111

n n

a

a a ξ

+<<， ()2

221n n ξ---+<<

所以 ()

1

111

2

2

21n n

a

a

a

n

n ξ

ξ+<

<

+ （5） 由 （4）式得

1

111

2

ln n n a a a a

ξ

ξ

+-=

（6）

结合（5）式和（6）式 即可以得到

()

11111

1

2

2

ln 1n n n n

a

a a a a

n n ++-<

<

+ 3.3拉格朗日中值定理在研究函数性态中的应用

若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，则在[]b a ,上()()()()0'0x x f x f x f -+=ξ （若ξ在x 与0x 之间），这可视为函数()x f 的一种变形，它建立了函数与导数的关系，我们可以用它来研究有关函数性态，如函数的一致连续、单调性等.

例4 证明如果()x f 在()+∞,a 上可导，且()+∞∈?,a x ，有()M x f ≤', 其中0>M 为常数，则()x f 在()+∞,a 上一致连续.

证明： ()+∞∈?,,21a x x ， 在以21,x x 为端点的区间上，有 ()()()1

212'x x x f x f f --=

ξ ξ介于21,x x 之间

在利用已知条件，有 ()()1212x x M x f x f -≤- 即 ()x f 在 ()+∞,a 上满足Lipschitz 条件， 则()x f 在()+∞,a 上一致连续。

例5 试证：若函数()x f 在 ()a ,0 0>a 上可导，()x f '单调递增，且()00=f ，则函数

()x

x f 在()a ,0上单调递增. 证明：对任意的21,x x ()a ,0∈，且21x x < ，则()x f 在[]1,x o 和[]21,x x 上均满足 拉格朗日中值定理，于是分别存在()1,0x ∈ξ，()21,x x ∈ζ 使

()()()()()()1

212'11',0x x x f x f f o x f x f f --=--=

ζξ 由于 ()x f '单调递增，且 ()00=f ，所以 ()()ζξ''f f < 即：

()()()121211x x x f x f x x f --≤ ，通分移项整理得 ()()2

211x x f x x f ≤

即函数

()x

x f 在()a ,0上单调递增. 3.4拉格朗日中值定理在极限和导数方面的应用

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，罗尔定理是它的特例，柯西中值定理的它的推广，在求数列极限问题时, 主要用到了如辅助函数法、递推法和累加法, 关键是辅助函数的建立.所以在应用微分中值定理时： 一要仔细观察, 适当变换待证求的式子; 二要认真分析, 巧妙构造辅助函数, 抓住这两点一般会简单解决问题. 例6 设函数()x f 满足：

（1）在 a x =的某δ邻域()δδ+-a a ,内连续； （2）在()()δδ+-a a a a ,,,内可导； （3）()K x f a

x =→'lim .

则()x f 在a x =可导，且()K a f ='

证明：()x f 先对在[]](a a a x ,,δ-?上应用拉格朗日中值定理，有 ()()()()a x f a f x f -=-ξ' ，()()a a a x ,,δξ-?∈

从而有 ()()()()()()ξξξ'''

lim lim lim f a

x a x f a x a f x f a f a a x a x ---→→→-

=--=--= 由 ()K x f a

x =→'lim ， 故 ()()K f a f a ==-

→-ξξ''l i m

同理可证 ()K a f =+' 从而有 ()K a f ='

此结论说明了，若有限导数()x f '在某区间存在，则在区间的每一点处，它或是连续，或是有第二类间断点. 例7 已知 ()()()n n n n n n n a n ++++++=

1

...2111 求 ∞

→n n a lim . 解：设()x x f 2=， 对()x f 在 ()()[]1,+++k n n k n n 上函数 ()x f 符合拉格朗日中值定理的条件， 故可以应用得：

()()()()ζ

1

1212=+-+++-++k n n k n n k n n k n n ， ()()[]1,+++∈k n n k n n ζ

故

()

()

k n n n k

n n k n k n n +<

+-++<++1

21211 当 1,......,1,0-=n k 时，共有n 不等式，将上面这n 不等式相加得： ()()()()2221

......312111-<++++++++n n n n n n n n n <

()()()

121

(211112)

+++++++

n n n n n n n , 即 2

2

211222n a n

a n n -+<

-<

从而 22

2112220n

n

a n -

<

--<

由极限存在准则知 222lim -=∞

→n n a

3.5 拉格朗日中值定理在方程根的存在性方面的应用

例8 设()x f 在[]1,0可导，且对任何()1,0∈x ，都有 ()1'≠x f ，又()10<

试证明在()1,0内，方程()0=-x x f 有唯一实根.

证明：（存在性）令()()x x f x F -=在[]1,0 利用零点定理易证.

（唯一性）反证法，假设有两个实根21,x x ，使得()()2211,x x f x x f == 不妨设21x x < 在[]21,x x ()1,0? 上对()x f 应用拉格朗日中值定理，有

()()()()

21121

21212',,1x x x x x x x x x f x f f ∈=--=--=

ξξ

这与()1'≠x f 矛盾， 故结论得证.

参考文献

[1] 叶春辉.微分中值定理及其探究性学习教学研究[J].长江工程职业技术学院学报，2008,12.

[2] 华东师范大学数学系. 数学分析(上册)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004.

[3] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 高等教育出版社, l993.

[4] 韩应华，姚贵平等. 微分中值定理的应用及推广[J].内蒙古农业大学学报，2009,9

[5] 朱智和.微分中值定理在解题中的若干应用[J]. 绍兴文理学院学报，2009,12

[6] 余惠霖.拉格朗日中值定理证明中若干辅助函数的构造[J].广西民族师范学院学报，2011,6

[7] 王有文.拉格朗日中值定理的另一种证明方法[J].忻州师范学院学报，2012,4

致谢

历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的论文指导老师李明图，以及给我带过课的诸位老师，他们对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！

谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理 如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理

若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --= ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法 证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a -=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且 ()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使 ()()()()0''=--- =a b a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. 3.2 用作差法引入辅助函数法 证明 作辅助函数 ()()()()()()?? ???? ---+-=a x a b a f b f a f x f x ? 显然，函数()x ?在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ??，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得 ()()()()0''=---=a b a f b f f ζζ?，即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ?，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：

几种构造辅助函数的方法及应用

几种构造辅助函数的方法及应用 许生虎 （西北师范大学数学系，甘肃 兰州 730070） 摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求 辅助函数的几种方法及在解题中的作用。 关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法 1. 引言 在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。 构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。 2. 构造辅助函数的七中方法 2.1“逆向思维法” 例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()?=2 1 21dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，

使()() θθθf f -='. 证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数. 将()() θθθf f '变为()()0='?+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '?+='=,可考虑 辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F 因为()()ξξf f =1 , 而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F = 所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF 即:()() θθθf f -='. 证毕 2.2 原函数法 在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下: (1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ (2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式; (3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;

构造辅助函数证明微分中值定理及应用

构造辅助函数证明微分中值定理及应用 摘要：构造辅助函数是证明中值命题的一种重要途径。本文给出了几种辅助函数的构造方法：微分方程法，常数K值法，几何直观法，原函数法，行列式法；并且举出具体例子加以说明。 关键字：辅助函数，微分方程，微分中值定理 Constructing auxiliary function to prove differential median theorem and its copplications

Abstract: Constructing auxiliary function is the important method to prove median theorem. This paper gives several ways of constructing auxiliary function:Differential equation, Constant K, Geometry law, Primary function law, Determinant law;and Gives some specific examples to illustrate how to constructing. Key words: Auxiliary function; Differential equation; Differential median theorem 目录 一：引言 (4) 二：数学分析中三个中值定理 (4) 三：五种方法构造辅助函数 (6) 1：几何直观法 (6)

2：行列式法…………………………………………………………………… .第7页 3：原函数法 (8) 4：微分方程法 (10) 5：常数k值法 (13) 四：结论 (15) 参考文献 (15) 致谢 (16) 一:引言 微分中值定理是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的基本工具，在高等数学课程中占有十分重要的地位，是微分学的理论基础，这部分内容理论性强，抽象程度高，所谓中值命题是指涉及函数（包括函数的一阶导数，二阶导数等）定义区间中值一些命

拉格朗日中值定理在导数中的应用

拉格朗日中值定理在导数中的应用 拉格朗日中值定理 如函数)(x f 满足如下条件： ①)(x f 在区间[a,b]上连续； ②)(x f 在开区间(a,b)上可导 则在(a,b)内至少存在一个点ξ，使得a b a f b f f --=)()()('ξ 题型设计 题型一、证明a x x f >)(或a x x f <)(成立，0>x 例题：设函数x x e e x f --=)( （1）证明：2)('≥x f ； （2）证明：若对所有0≥x ，都有ax x f ≥)(，则a 的取值范围是]2,(-∞。

题型二、)()2 (2)()(a b b a g b g a g -<+-+λ，)(a b > 例题：已知函数x x x f -+=)1ln()(，x x x g ln )(=。 （1）求函数)(x f 的最大值； （2）设a b a 40<<<，证明：2ln )()2 ( 2)()(a b b a g b g a g -<+-+

题型三、证明|)(||)()(|2121x x x f x f ->-λ 例题：已知函数x a x x x f ln 2)(2 ++=，对任意两个正数21,x x ，证明： （1）当0≤a 时，)2(2)()(2121x x f x f x f +>+； （2）当4≤a 时，|||)(')('|2121x x x f x f ->-

例题：设函数x x x f cos 2sin )(+=。 （1）求)(x f 的单调区间； （2）如果对任何0≥x ，都有ax x f ≤)(，求a 的取值范围。

题型四、证明0)(>x f ，)(a x >成立，其中0)(=a f 例题：设0≥a ，)0(ln 2ln 1)(2 >+--=x x a x x x f 。 （1）令)(')(x xf x F =，讨论)(x F 在),0(+∞内的单调性并求其极值； （2）求证：当1>x 时，恒有1ln 2ln 2+->x a x x 。

拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。 怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。 罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o (如图1)。 拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2). 比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为: 1.首先分析要证明的等式：我们令 (1) 则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。 由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2) 分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论 2.考虑函数

我们知道其导数为 且有 F(a)=F(b)=0. 作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’ 从而有结论成立.

中值定理构造辅助函数

微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论 ()()'()()()'()f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()()f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得 ()()()()()() f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有() ()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231 n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．

中值定理有关的证明题辅助函数法

与微分中值定理有关的证明题，辅助函数方法介绍 一．积分法 例 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，试证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ， 满足：22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-?=-? 分析 将求证等式改写为22[()()]2[]()0f b f a b a f ξξ'-?--?= 左端看成一个函数()F x （辅助函数）在ξ处的导数，即令 22()[()()]2[]()F x f b f a x b a f x ''=-?--? 积分得222()[()()][]()F x f b f a x b a f x =-?--? 证明：作辅助函数222()[()()][]()F x f b f a x b a f x =-?--? 22()[()()]2[]()F x f b f a x b a f x ''=-?--? 则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且 22 ()()()()F a a f b b f a F b =-= 由罗尔定理知：存在(,)a b ξ∈，使()0F ξ'=，即得 22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-?=-? 说明：（1）由于积分的不唯一性，也可以取 2222 ()[()()]()[](()())F x f b f a x a b a f x f a =----- 由此可得()()0F a F b ==，不但计算更方便，而且对证明更有信心 （2）本题若取2()g x x =，所以()2g x x '= 由柯西中值定理得：存在(,)a b ξ∈， 使得 22()()()2f b f a f b a ξξ '-=- 移项得22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-?=-? 但是为了应用柯西中值定理，必须假定00a b a b ≤<<≤或，以确保()0g x '≠ 而对0a b <<情况，不能应用柯西中值定理 二．微分方程法（含有求知函数以及未知函数的等式，称为微分方程，课本第6章） 例 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，求证：在(0,1)内至少存在 一点ξ，满足：2()()0f f ξξξ'+= 分析 本题求证式中不仅含有()f ξ'，而且含有()f ξ，对()f ξ是难以直接积分法，像上例的求出一个()F x ，使得它的导数满足()2()()F x f x x f x ''=+常常不可能 由于[()()]()()()()u x f x u x f x u x f x '''=+中既含有含有()f x 又含有()f x ' 与求证式构造已是相同的了，但要使()2()u x u x x '==和同时成立也是不可能的， 解决矛盾的关键，结论中可能约去了一个不等于的的公因子 因为任给一个()0x ?≠，有 2()()0()[2()()]0f f f f ξξξ?ξξξξ''+=?+= 从而求证式等价于2()()()()0f f ?ξξ?ξξξ'+= 上式左端看成一个函数()()()F x u x f x =（辅助函数）在ξ处的导数，即令 ()()()()() 2()()()()F x u x f x u x f x x f x x x f x ??'''=+'=+ 令 () () ()2()()()()2u x u x u x x u x x x x x ???''==?== （说明()f x 与()f x '的系数对应成比例） 所以 () ()222 u x u x du u du dx x dx x u x '=?==分离变量得 22ln ln du dx u x c u x =?=+? ? 得 2u cx = 取1c = 得2u x = 作辅助函数2()()F x x f x =

拉格朗日中值定理在高考题 中的妙用

拉格朗日中值定理在高考题中的妙用 一．拉格朗日中值定理[1] 拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件： （i）在闭区间上连续； （ii）在开区间内可导； 则在内至少存在一点，使得. 几何意义： 在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线（如图） 二．求割线斜率大小-----------几何意义的利用 由拉格朗日中值几何意义可知:曲线上两点的割线斜率,可以转化为曲线上切线的斜率.即连续函数上任意两点的连线总与某条切线平行.下面通过下题具体分析. 例1：（2011年福建省质检理19题）已知函数 （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）设问是否存在实数，使得函数上任意不同两点连线的斜率都不小于？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 解（Ⅰ）略（Ⅱ）当时，，假设存在实数，使得的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于，即对任意，都有即求任意两点割线斜率的大小，由中值定理知存在，有转为求切线斜率的大小.即在上恒成立.（以下同

参考答案） 评析：该题若用初等方法解决，构造函数同是本题的难点和突破口．将转化为转而考查函数，学生不是很容易想到，但若利用拉格朗日中值定理，则只需求二次导函数在所给区间的最小值即可，学生易接受． 二．利用拉格朗日中值定理证最值 （1）证或 -------------即证与的大小关系 例2：（2009年辽宁卷理21题） 已知函数 （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）证明：若，则对任意，，有. （Ⅰ）略；（Ⅱ）要证成立，即证. 令，则.由于，所以.从而在恒成立.也即.又，，故.则，即，也即. 评注：这道题（Ⅱ）小题用初等方法做考虑函数.为什么考虑函数很多考生一下子不易想到.而且的放缩也不易想到. （2）、证明或成立（其中，） ----------即证或 例3：（2007年高考全国卷I第20题） 设函数.[2] （Ⅰ）证明：的导数； （Ⅱ）证明：若对所有，都有，则的取值范围是. （Ⅰ）略.（Ⅱ）证明：（i）当时，对任意的，都有 (ii)当时，问题即转化为对所有恒成立.令，由拉格朗日中值定理知内至少存在一点（从而），使得，即，由于，故在上是增函数，让得，所以的取值范围是.

拉格朗日中值定理

一拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。 拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻旧，出现创新的一个进程。发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。 用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即 这就是非常著名的费马定律，当一个函数在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则。著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。 在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]任取两点，并且函数在此闭区间是连续的，的 最大值为A，最小值为B，则的值必须是A和B之间的一个值。这是拉格朗日定理最初的证明。 下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。 如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）可导；那么这个函数在此开区间至少存在着一点，使得. 拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。 例1：函数

中值定理构造辅助函数

中值定理构造辅助函数 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'() f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()() f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得()()()()()()f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有()()()()0()() f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231 n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+…

拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用

分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5

论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日

摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application

总结拉格朗日中值定理的应用

总结拉格朗日中值定 理的应用

总结拉格朗日中值定理的应用 以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意义！ 拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。 凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式， 凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成X，变形后观察法凑成F’(X)，由此求出辅助函数F(x)．如例1. 常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通 常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分

作为k，即使常数部分分离出来并令其为k，恒等变形使等式一端为a与f(a)构成的代数式，另一端为b与．f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a或b)改为变量x移项即为辅助函数f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定k，一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公式．如例3. 倒推法：：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．如例4。

拉格朗日插值定理证明

拉格朗日插值定理证明 作者：田茂（tianmao999@https://www.wendangku.net/doc/119026248.html, ） 已知： 110111212 211()1...()1...*......................()1...N N N N N N N f x a x x f x a x x f x a x x ----??????????????????=???????????????? ??（1） 则有： 01111100()1*....()()() N N N N i i j i i j j i a a f x x x a x a f x a a ----==≠????????=???????? -=-∑∏ （2） 证明过程如下： 由： ()()0i i f x a f a =-=（3） 可知： ()()()()i i f x f a x a g x -=-（4） 即有： ()()mod()i i f x f a x a ≡-（5） 由中国余数定理（CRT ）可知： 1()()*()*()n i i i i f x N x M x f a ==∑（6） 式（6）中，()i M x 满足： 1()()n i j j j i M x x a =≠=-∏（7） ()i N x 满足： ()()()()1i i i i N x M x n x x a +-=（8） 即有：

()()1mod ()i i i N x M x x a ≡-（9） 由（7）得： ()()()111()() ()mod()n i j j j i n i i j j j i n i j i j j i M x x a x a a a a a x a =≠=≠=≠=-=-+-≡--∏∏∏（10） 如果要满足式（9），由（10）可知，()i N x 为： ()11 ()i n i j j j i N x a a =≠=-∏（11） 将（7）和（11）代入（6）可得： ()1 1111100()()*()*() 1*()*()()()() n i i i i n n j i n i j i j j i j j i N N i i j i i j j i f x N x M x f a x a f a a a x a f x a a ===≠=≠--==≠==---=-∑∑∏∏∑∏（12） 命题得证。

中值定理构造辅助函数

【第 1 页 共 8页】 微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'() f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()() f b f a g x f x g b g a -=-g 再两边同时积分得()()()()()() f b f a g x f x C g b g a -=+-g ，令0C =，有()()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-g 故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--g 为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231 n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．

微分中值定理怎样构造辅助函数

微分中值定理怎样构造 辅助函数 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键，下面介绍怎样构造的方法，还有附带几个经典例题，希望对广大高数考生有所帮助。 先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)=f(ε) 证明过程： f ’(ε)=f(ε), 所以f ’(x)=f(x), 让f(x)=y, 所以 y dx dy =,即dx dy y =1，所以对两边简单积分，即??=dx dy y 11，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C ，但这只是我的经验方法，所以不加）就是x y =ln ，也就是x e y =，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把x e 除下来，就是1=x e y ，所以左边就是构造函数，也就是x e y -?，而y 就是f(x)，所以构造函数就是x e x f -)(，你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。 二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证： 在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)+2εf(ε)=0 证：一样的， xy dx dy 2-=，把x,y 移到两边，就是xdx dy y 21-=，所以积分出来就是2ln x y -=，注意y 一定要单独出来，不能带ln ，所以就是=y 2x e -，移出1就是,12=x ye 所以构造函数就是2)(x e x f ，再用罗尔定理就出来了。 三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a ，a ）中存在ε使f ’(ε) ε+2f(ε)=0.

罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用

罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用

单位：旅游系 专业：酒店管理 姓名：王姐 学号：1414061039 【摘要】罗尔定理与拉格朗日定理是是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断导数的整体性质的工具。拉格朗日定理存在于多个科学领域之中，其中微积分中的拉格朗日定理即拉格朗日中值定理，又称拉式定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的形式。它在初等数学中有着重要作用，也是一个基础性定理。在许多方面它都有重要的作用 ，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。 【关键词】罗尔定理、拉格朗日定理、重要应用。 引言 拉格朗日定理是高等数学的基础，同时也是一个基础性的定理，在高等数学中有着重要作用，要学习和掌握它的证明方法。 罗尔定理：如果函数()f x 满足条件：○ 1在闭区间[,]a b 上连续；○2在开区间(,)a b 内可导；○ 3在区间两个端点的函数值相等，即()()f a f b =，(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=。 罗尔定理的证明：因为函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，所以它在[,]a b 上必能取得最大值M 和最小值m 。 （1）如果M m =，则()f x 在[,]a b 上恒等于常数M ，因此，在整个区间(,)a b 内恒有 '()0f x =，所以，(,)a b 内每一点都可取作ξ，此时定理显然成立。 （2）如果m M <，因()()f a f b =，则数M 与m 中至少有一个不等于端点的函数值()f a ，设()m f a ≠，这就是说，在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()f M ξ=。 下面证明'()0f ξ=。 由于()f M ξ=是最大值，所以不论x ?为正或负，恒有()()0f x f x ξ+?-ξ≤?， (,)x a b ξ+?∈。 当0x ?>时，()()0f x f x ξ+?-ξ≤?，有已知条件'()f ξ存在可知，

拉格朗日中值定理的应用

拉格朗日中值定理的 应用

总结拉格朗日中值定理的应用 以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意义！ 拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。 凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式， 凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成X，变形后观察法凑成F’(X)，由此求出辅助函数F(x)．如例1. 常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通 常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分

作为k，即使常数部分分离出来并令其为k，恒等变形使等式一端为a与f(a)构成的代数式，另一端为b与．f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a或b)改为变量x移项即为辅助函数f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定k，一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公式．如例3. 倒推法：：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．如例4。

谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔() Rolle中值定理 如果函数()x f满足条件：()1在闭区间[]b a,上连续；()2在开区间()b a,内可导；（3）()()b f a f=,则在()b a,内至少存在一点ζ ,使得()0 '= ζ f 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y=在点B A,

处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ， 使得()0'=ζf . 这就是说定理的 条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理 若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间 ()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --=ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦 AB . 如图2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中

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微分中值定理证明中辅助函数的构造 1原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数， 主要思想分为四点：（1）将要证的结论中的§换成兀；（2）通过恒等变形将结论化为易消 除导数符号的形式；（3）用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取 积分常数为零；（4）移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数F ⑴. 例1：证明柯西中值定理. 分析：在柯西中值定理的结论酬筒中令…，得 '先变形为衞喘伯"）再两边同时积分得 尸（兀）=/（兀）_ /丫）一/"" g （x ）为所求辅助函数. g@）-g ⑷ 例2：若兔，q , $，…，色是使得&）+” + ￥ +…+上、=0的实数.证明方程 2 3 n + \ 兔+q 无+匕2兀2 +…+匕“"=0在（0, 1）内至少有一实根. 证： 由于［*（&）+。］兀 + 偽〒 ++ a n x n ）dx = a^x-^ — x 1 +—x 3 +??? + -^—兀"° +C 」 ? 2 3 n +1 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 F （x ） = a {}x + — x 2 + —x 3 +??? + -^-x"J （取C = 0 ）,贝！J 2 3 n + 1 1） F （x ）在［0, 1］上连续 2） F （x ）在（0, 1）内可导 3） F （0）=0, 尸⑴二勺+色+纟+…+厶二。 2 3 n + \ 故尸（尢）满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在e （0,1）使F@） = 0,即 （。（）兀+号■兀2 + 守兀‘+…+上穿兀处）：=卍=0亦即€z 0+a,^ + ^2 +???+qg" = 0? /(b)-/⑺) g(b)-g(a) g(x) = /(Q + C ,令 C = 0 /(毎 g(坍 /(>