谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

谈谈拉格朗日中值定理的证明

引言

众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学

应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用 . 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的 . 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入

适当的辅助函数 . 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个 . 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法 . 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述 .

1 罗尔Rolle中值定理

如果函数 f x 满足条件： 1 在闭区间 a,b 上连续； 2 在开区间a, b 内可导；（ 3） f a f b ,则在 a, b 内至少存在一点,使得 f '0 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线y f x 在点 A, B 处的纵坐标相等，那么，在弧AB 上至少有一点 C , f ，曲线在 C 点的切线平行于 x

轴，如图 1，

注意定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不

能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于a, b 的，使得 f '0 . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的.

2 拉格朗日lagrange中值定理

若函数 f x 满足如下条件： 1 在闭区间a, b 上连续； 2 在开区间 a, b 内

可导；则在 a, b 内至少存在一点，使 f ' f b f a

b a

拉格朗日中值定理的几何意义：函数 y f x 在区间 a,b 上的图形是连续光滑曲线弧AB 上至少有一点 C ，曲线在 C 点的切线平行于弦AB . 如图 2，从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若 f x 在闭区间a, b 两端点的函数值相等，即 f a f b ，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，

罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函

数 f x 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.

3证明拉格朗日中值定理

3.1 教材证法

证明作辅助函数 F x f

x

f b f a

b a

x

显然，函数 F x 满足在闭区间a, b 上连续，在开区间a, b 内可导，而且

F a F b ．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点 a b ，使

F ' f ' f b f a 0 .即 f 'f

b f a .

b a b a

3.2 用作差法引入辅助函数法

证明作辅助函数x f x f a f b f a x a

b a

显然，函数x 在闭区间 a, b 上连续，在开区间a, b 内可导， a b 0 ，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点a, b ，使得

' f ' f b f a 0，即 f ' f b f a

b a b a

推广 1 如图 3 过原点 O 作 OT ∥ AB ，由 f x 与直线 OT 对应的函数之差

构成辅助函数x ，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：

1

KOT K AB 助函数为：f b

f

a ， OT 的直线方程为： y f b

f

a x ，于是引入的辅

b a

f b f a x . （证明略）

b a

x f x

b a

推广 2 如图 4 过点 a, O 作直线A'B '∥ AB ，直线 A'B '的方程为：

y f b f a x a，由 f x 与直线函 A' B '数之差构成辅助函数x ，于是有：

b a

f b f a

x f x

b a

x a . （证明略）

推广 3 如图 5 过点作 b, O 直线 A' B'∥ AB ，直 A' B '线的方程为

f b f a

b ，由 f x 与直线 AB

y

b a

x

函数之差构成辅助函数x ，于是有：

x f x f b f a

x b .

b a

事实上，可过 y 轴上任已知点 O, m 作

A/ B/∥ AB 得直线为 y f b f a x m ，

b a

从而利用 f x 与直线的 A'B'函数之差构成

满足罗尔中值定理的辅助函数x 都可以

用来证明拉格朗日中值定理 . 因 m 是任意实数，显然，这样的辅助函数有无多个 . 3.3 用对称法引入辅助函数法

在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于 x 轴的对称函数也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理 .从几何意义上看，上面的辅

2

助函数是用曲线函数 f x 减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数 f x ，即可得与之对称的辅助函数如下：

⑴x f a f b f a

a

f

x

b a

x

⑵x f b f a x f x

b a

⑶x f b f a

a f x

b a

x

⑷x f b f a

b f x

x

b a

等等.这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个. 这里仅以

⑵为例给出拉格朗日中值定理的证明.

证明显然，函数x 满足条件： 1 在闭区间 a,b 上连续； 2 在开区间a,b 内可导； 3 a b af b bf a .由罗尔中值定理知，至少存在一点

f b f

a

b a

f b f a ，显

a,b ，使得' f '0 ，从而有 f '

b a b a

然可用其它辅助函数作类似的证明 .

3.4 转轴法

由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若把坐标系 xoy 逆时针旋转适当

的角度，得新直角坐标系 XOY ，若 OX 平行于弦 AB ，则在新的坐标系下 f x 满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中值定理的证明 .

证明作转轴变换 x X cos Y sin， y X sin Y cos ，为求出，解出 X,Y 得

X x c o s y si n xc o s f x s i n X x ①

Y x s i n y c o

s x s i n f x c o s Y x ②

由Y a Y b 得 a sin f a cos b sinf b cos ，从而

t a n f b f a，取满足上式即可 .由 f x 在闭区间 a,b 上连续，在开区间

b a

a,b 内可导，知 Y x 在闭区间 a, b 上连续，在开区间 a, b 内可导，且 Y a Y b ，因此，由罗尔中值定理知，至少存在一点a, b ，使得

3

Y sin f

'cos 0 ，即 f 'tan f b f a

b a

3.5 用迭加法引入辅助函数法

让 f x 迭加一个含待顶系数的一次函数 y kx m ，例如令x f x kx m 或x f x kx m ，通过使 a b ，确定出 k, m ，即可得到所需的辅助函数 .

例如由x f x kx m ，令 a b

得 f a ka m f b kb m ，从而 k f b f a ，而 m 可取任意实数，这

b a

样我们就得到了辅助函数x f b f a x m ，由 m 的任意性易知迭加法可

b a

构造出无数个辅助函数，这些函数都可用于证明拉格朗日中值定理. 3.6 用行列式引入辅助函数法

证明构造一个含 f x 且满足罗尔中值定理的函数x ，关键是满足

x f x 1

a b .我们从行列式的性质想到行列式 a f a 1 的值在 x a, x b 时恰

b f b 1

x f x 1

恰均为 0，因此可设易证x a f a 1 ，展开得

b f b 1

x f b x bf a af x af b f a x bf x .

因为 f x 在闭区间 a, b 上连续，在开区间 a, b 内可导，所以x 在闭区间 a,b 上连续，在开区间 a,b 内可导，且 a b 0 ，所以由罗尔中值定理知，至少存在一点a, b，使得' 0 . 因为' f a f b a b f '0

即： f ' f b f a

b a

3.7 数形相结合法

引理在平面直角坐标系中，已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A a, f a ，

1 a f a

B b, f b ，

C c, f c ，则 ABC 面积为 S ABC 1 1 b f b ，

2

c f c

a

4

这一引理的证明在这里我们不做介绍，下面我们利用这一引理对拉格朗日中值定理作出一种新的证明 . 这种方法是将数形相结合，考虑实际背景刻意构造函数使

之满足罗尔中值定理的条件.如图，设 c,

f c 是直线 AB 与 y f x 从 A 点开

始的第一个交点，则构造

1 a f

2 a

x 1 1 c f c ，

4

x f x

1

易验证 x 满足罗尔中值定理的条件：在闭区间a, c 上连续，在开区间a, c 内

可导，而且ab ，则至少存在一点a,b ，使/0 ，即：

1 a f a 1 a f a

1 c f c 1 c f c 0

1 f 1 1 f '

1 a f a

但是 1 c f c 0 ，这是因为，如果

1 f

1 a f a

1 c f c 0 ，

1 f

则f f c f c f a，这样使得 , f 成为直线 AB 与 y f x 从 A

c c a

点的第一个交点，与已知矛盾）.

1 a f a

0 ，即 f 'f b f a f c f a

.

故 1 c f c 若只从满足罗尔中值定

1 f

b a

c a

1 a f a

理的要求出发，我们可以摈弃许多限制条件，完全可以构造x 1 b f b 来

1 x f x

解决问题，从而使形式更简洁，而且启发我们做进一步的推广：可构造

1 g a f a

x 1 g b f b 来证明柯西中值定理 .

1 g x f x

5

3.8 区间套定理证法

证明将区间 I a, b 二等分，设分点为 1 ，作直线 x 1 ，它与曲线y f x 相交于 M1，过 M1作直线 M 1 L1∥弦 M a M b . 此时，有如下两种可能 :

⑴若直线 M 1 L1与曲线 y f x 仅有一个交点 M 1，则曲线必在直线 M 1 L1的一侧 .否则，直线 M 1 L1不平行于直线 M a M b . 由于

曲线 y f x 在点 M 1处有切线，根据曲线上一点

切线的定义，直线M1 L1就是曲线 y f x 在点 M 1

处的切线，从而 f 1 f b f

a .由作法知，1在区间 a,

b 内部，取1

b a

f b f a

于是有 f

b a

⑵若直线 M 1L1与曲线 y f x 还有除 M1外

的其他交点，设 N1 x1 ,y1为另外一个交点，这时选

取以 x1 , 1为端点的区间，记作 I

1 a , b ，有

1 1

l I 1 b, 1

a 1

b a , f b1 f a1 f b f a ，

2 b1a1 b a

把 I1作为新的“选用区间” ，将 I 1二等分，并进行与上面同样的讨论，则要么得

到所要求的点，要么又得到一个新“选用区间”I 2 .如此下去，有且只有如下

两种情形中的一种发生 :

(a) 在逐次等分“选用区间”的过程中，遇到某一个分点k ，作直线 x k 它与曲线 y f x 交于 M k，过点 M k作直线 M k L k∥弦 MM b , 它与曲线 y f x 只有一个交点 M k，此时取k即为所求 .

(b)在逐次等分“选用区间”的过程中，遇不到上述那种点，则得一闭区间序列

{ I n } ，满足 :

①I I1 I2I n a n , b n

② b a

b a

0 n n

n 2n

6

f b n f a n f b f a

③

a n

b a

b n

由① ②知， { I n } 构成区间套，根据区间套定理，存在唯一的一点

I n

n 1,2,3 ，此点即为所求 . 事实上 lim an lim b n， f 存在

n n

lim f b n f a n

f ，由③lim

f b n f a n f b f a

，所以

b n a n b n a n b a

n n

f f b f

a ，从“选用区间”的取法可知，确在 a,

b 的内部 .

b a

3.9 旋转变换法

证明引入坐标旋转变换 A : x X cos Y sin⑴

y X s i

n Y c o s ⑵

因为cos sin

cos2sin 2 1 0 sin cos

所以 A 有逆变换 A/: X x cos y sin x cos f x sin X x ⑶

Y xs i

n y c o s

x s i n f

x c o s Y x⑷

由于 f x 满足条件 : 1 在闭区间 a, b 上连续； 2 在开区间 a, b 内可导，因此⑷式中函数 Y x 在闭区间 a, b 上连续，在开区间a, b 内可导 .为使 Y x 满足罗尔

中值定理的第三个条件，只要适当选取旋转角，使 Y a Y b , 即

a sin f a cos bsin f

b cos ，也即

t a n

f b f a

b a

.

这样，函数Y x 就满足了罗尔中值定理的全部条件，从而至少存在一点ab ，使 Y sinfcos 0 即 f tan . 由于所选取旋转角

满足 tan f b f a，所以 f f b f a .

b a b a

结论

本论文仅是对拉格朗日中值定理的证明方法进行了一些归纳总结其中还有

很多方法是我没有想到的，而且里面还有很多不足之处需要进一步的修改与补充.

7

通过这篇论文我只是想让人们明白数学并不是纯粹的数字游戏，里面包含了很多深奥的内容 . 而且更重要的是我们应该学会去思考，学会凡是多问几个为什么，不要让自己仅仅局限于课本

上的内容，要开动脑筋学会举一反三，不要单纯为了学习而学习，让自己做知识的主人！

总之，数学的发展并非是无可置疑的，也并非是反驳的复杂过程，全面的思

考问题有助于我们思维能力的提高，也有助于创新意识的培养.

参考文献

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社 .1991： 153-161

[2]吉林大学数学系 . 数学分析 (上册 )[M]. 北京：人民教育出版社 .1979：194-196

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版） .2004：143-153

[4]周性伟 ,刘立民 . 数学分析 [M]. 天津：南开大学出版社 .1986：113-124

[5]林源渠 ,方企勤 . 数学分析解题指南 [M]. 北京：北京大学出版社 .2003： 58-67

[6]孙清华等 . 数学分析内容、方法与技巧（上） [M]. 武汉：华中科技大学出版社.2003：

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110

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[16]李成章 ,黄玉民 . 数学分析（上） [M]. 北京：科学出版社 .1995：77-86

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附录

柯西中值定理

若⑴函数 f x 与 g x 都在闭区间a, b 上连续；

⑵ f ' x 与 g ' x 在开区间 a, b 内可导；

⑶ f ' x 与 g ' x 在 a, b 内不同时为零；

⑷ g a g b ，

则在 a, b 内至少存在一点，使得 f ' f b f a .

g ' b a

区间套定理

若an ,bn 是一个区间套，则存在唯一一点，使得

a n ,

b n，

n1,2,

或a n b n， n1,2,

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谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理 如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理

若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --= ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法 证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a -=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且 ()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使 ()()()()0''=--- =a b a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. 3.2 用作差法引入辅助函数法 证明 作辅助函数 ()()()()()()?? ???? ---+-=a x a b a f b f a f x f x ? 显然，函数()x ?在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ??，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得 ()()()()0''=---=a b a f b f f ζζ?，即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ?，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：

考研数学高数定理证明的知识点

考研数学高数定理证明的知识点考研数学高数定理证明的知识点 这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求 会证。 费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推 举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想 必各位都比较熟悉。条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导” 和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得 函数在该点的导数为0。 前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”，“可导”不难判断是成立的，那么“取极值”呢?似乎不能由条件直 接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。注意到罗尔 定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连 续函数有很好的性质，哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。 那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚，因为直接影响 下面推理的走向。结论是：若最值取在区间内部，则最值为极值;若 最值均取在区间端点，则最值不为极值。那么接下来，分两种情况 讨论即可：若最值取在区间内部，此种情况下费马引理条件完全成立，不难得出结论;若最值均取在区间端点，注意到已知条件第三条 告诉我们端点函数值相等，由此推出函数在整个闭区间上的最大值 和最小值相等，这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数，那在 开区间上任取一点都能使结论成立。 拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌握这两个定理的证明有一箭双雕的效果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明，

若再考这些原定理，那自然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明过 程中体现出来的基本思路，适用于证其它结论。 以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证，那我们对比一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑 在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理结论的形式，移项即可。接下来，要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗 尔定理的结果。这就是构造辅助函数的过程——看等号左侧的式子 是哪个函数求导后，把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现 场调查：根据这个犯罪现场，反推嫌疑人是谁。当然，构造辅助函 数远比破案要简单，简单的题目直接观察;复杂一些的，可以把中值 换成x，再对得到的函数求不定积分。 2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。 几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的.较为 陌生。实际上，从授课的角度，这种在2015年前从未考过的基本公 式的证明，一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急 功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可 能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。 这里给2017考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中 未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。 当然，该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写 出一个极限式子。该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法则， 因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!)。 利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。这个“无中生有” 的项要和前后都有联系，便于提公因子。之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。再由x0的任意性，便得到了 f(x)*g(x)在任意点的导数公式。 类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。 该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续，结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把

拉格朗日中值定理在导数中的应用

拉格朗日中值定理在导数中的应用 拉格朗日中值定理 如函数)(x f 满足如下条件： ①)(x f 在区间[a,b]上连续； ②)(x f 在开区间(a,b)上可导 则在(a,b)内至少存在一个点ξ，使得a b a f b f f --=)()()('ξ 题型设计 题型一、证明a x x f >)(或a x x f <)(成立，0>x 例题：设函数x x e e x f --=)( （1）证明：2)('≥x f ； （2）证明：若对所有0≥x ，都有ax x f ≥)(，则a 的取值范围是]2,(-∞。

题型二、)()2 (2)()(a b b a g b g a g -<+-+λ，)(a b > 例题：已知函数x x x f -+=)1ln()(，x x x g ln )(=。 （1）求函数)(x f 的最大值； （2）设a b a 40<<<，证明：2ln )()2 ( 2)()(a b b a g b g a g -<+-+

题型三、证明|)(||)()(|2121x x x f x f ->-λ 例题：已知函数x a x x x f ln 2)(2 ++=，对任意两个正数21,x x ，证明： （1）当0≤a 时，)2(2)()(2121x x f x f x f +>+； （2）当4≤a 时，|||)(')('|2121x x x f x f ->-

例题：设函数x x x f cos 2sin )(+=。 （1）求)(x f 的单调区间； （2）如果对任何0≥x ，都有ax x f ≤)(，求a 的取值范围。

题型四、证明0)(>x f ，)(a x >成立，其中0)(=a f 例题：设0≥a ，)0(ln 2ln 1)(2 >+--=x x a x x x f 。 （1）令)(')(x xf x F =，讨论)(x F 在),0(+∞内的单调性并求其极值； （2）求证：当1>x 时，恒有1ln 2ln 2+->x a x x 。

拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。 怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。 罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o (如图1)。 拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2). 比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为: 1.首先分析要证明的等式：我们令 (1) 则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。 由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2) 分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论 2.考虑函数

我们知道其导数为 且有 F(a)=F(b)=0. 作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’ 从而有结论成立.

考研数学中值定理五大注意事项

考研数学中值定理五大注意事项 来源：文都图书 中值定理是考研数学得分较低的一块，可以说是考生的“灾难区”，看到一个题目怎么思考处理是个问题，下面，就给大家就这一部分讲解一下事项。 1. 所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的ξ所属区间是闭区间。 2. 拉格朗日中值定理是函数f(x)与导函数f'(x)之间的桥梁。 3. 积分中值定理是定积分与函数之间的桥梁。 4. 罗尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数，而柯西中值定理处理的对象是两个函数，如果结论中有两个函数，形式与柯西中值定理的形式类似，这时就要想到我们的柯西中值定理。 5. 积分中值定理的加强版若在定理证明中应用，必须先证明。 其次对于中值定理证明一般分为两大类题型：第一应用罗尔定理证明，也可又分为两小类：证明结论简单型和复杂型，简单型一般有证明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k (k为任意常数)，f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0，f''(ξ)=g''(ξ)，像这样的结论一般只需要找罗尔定理的条件就可以了，一般罗尔定理的前两个条件题目均告知，只是要需找两个不同点的函数值相等，需找此条件一般会运用闭区间连续函数的性质、积分中值定理、拉格朗日中值定理、极限的性质、导数的定义等知识点。复杂型就是结论比较复杂，需要建立辅助函数，再使辅助函数满足罗尔定理的条件。辅助函数的建立一般借助于解微分方程的思想。第二就是存在两个点使之满足某表达式。这样的题

目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，处理思想把结论中相同字母放到等是一侧首先处理。 上述就是值定理需要注意的事项。希望大家在做题的过程中多加注意，可以配套着汤家凤的《2016考研数学绝对考场最后八套题》来进行对应的训练，掌握好上述的知识点。

拉格朗日中值定理在高考题 中的妙用

拉格朗日中值定理在高考题中的妙用 一．拉格朗日中值定理[1] 拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件： （i）在闭区间上连续； （ii）在开区间内可导； 则在内至少存在一点，使得. 几何意义： 在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线（如图） 二．求割线斜率大小-----------几何意义的利用 由拉格朗日中值几何意义可知:曲线上两点的割线斜率,可以转化为曲线上切线的斜率.即连续函数上任意两点的连线总与某条切线平行.下面通过下题具体分析. 例1：（2011年福建省质检理19题）已知函数 （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）设问是否存在实数，使得函数上任意不同两点连线的斜率都不小于？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 解（Ⅰ）略（Ⅱ）当时，，假设存在实数，使得的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于，即对任意，都有即求任意两点割线斜率的大小，由中值定理知存在，有转为求切线斜率的大小.即在上恒成立.（以下同

参考答案） 评析：该题若用初等方法解决，构造函数同是本题的难点和突破口．将转化为转而考查函数，学生不是很容易想到，但若利用拉格朗日中值定理，则只需求二次导函数在所给区间的最小值即可，学生易接受． 二．利用拉格朗日中值定理证最值 （1）证或 -------------即证与的大小关系 例2：（2009年辽宁卷理21题） 已知函数 （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）证明：若，则对任意，，有. （Ⅰ）略；（Ⅱ）要证成立，即证. 令，则.由于，所以.从而在恒成立.也即.又，，故.则，即，也即. 评注：这道题（Ⅱ）小题用初等方法做考虑函数.为什么考虑函数很多考生一下子不易想到.而且的放缩也不易想到. （2）、证明或成立（其中，） ----------即证或 例3：（2007年高考全国卷I第20题） 设函数.[2] （Ⅰ）证明：的导数； （Ⅱ）证明：若对所有，都有，则的取值范围是. （Ⅰ）略.（Ⅱ）证明：（i）当时，对任意的，都有 (ii)当时，问题即转化为对所有恒成立.令，由拉格朗日中值定理知内至少存在一点（从而），使得，即，由于，故在上是增函数，让得，所以的取值范围是.

拉格朗日中值定理

一拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。 拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻旧，出现创新的一个进程。发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。 用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即 这就是非常著名的费马定律，当一个函数在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则。著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。 在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]任取两点，并且函数在此闭区间是连续的，的 最大值为A，最小值为B，则的值必须是A和B之间的一个值。这是拉格朗日定理最初的证明。 下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。 如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）可导；那么这个函数在此开区间至少存在着一点，使得. 拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。 例1：函数

拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用

分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5

论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日

摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application

总结拉格朗日中值定理的应用

总结拉格朗日中值定 理的应用

总结拉格朗日中值定理的应用 以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意义！ 拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。 凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式， 凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成X，变形后观察法凑成F’(X)，由此求出辅助函数F(x)．如例1. 常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通 常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分

作为k，即使常数部分分离出来并令其为k，恒等变形使等式一端为a与f(a)构成的代数式，另一端为b与．f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a或b)改为变量x移项即为辅助函数f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定k，一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公式．如例3. 倒推法：：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．如例4。

拉格朗日插值定理证明

拉格朗日插值定理证明 作者：田茂（tianmao999@https://www.wendangku.net/doc/d114352913.html, ） 已知： 110111212 211()1...()1...*......................()1...N N N N N N N f x a x x f x a x x f x a x x ----??????????????????=???????????????? ??（1） 则有： 01111100()1*....()()() N N N N i i j i i j j i a a f x x x a x a f x a a ----==≠????????=???????? -=-∑∏ （2） 证明过程如下： 由： ()()0i i f x a f a =-=（3） 可知： ()()()()i i f x f a x a g x -=-（4） 即有： ()()mod()i i f x f a x a ≡-（5） 由中国余数定理（CRT ）可知： 1()()*()*()n i i i i f x N x M x f a ==∑（6） 式（6）中，()i M x 满足： 1()()n i j j j i M x x a =≠=-∏（7） ()i N x 满足： ()()()()1i i i i N x M x n x x a +-=（8） 即有：

()()1mod ()i i i N x M x x a ≡-（9） 由（7）得： ()()()111()() ()mod()n i j j j i n i i j j j i n i j i j j i M x x a x a a a a a x a =≠=≠=≠=-=-+-≡--∏∏∏（10） 如果要满足式（9），由（10）可知，()i N x 为： ()11 ()i n i j j j i N x a a =≠=-∏（11） 将（7）和（11）代入（6）可得： ()1 1111100()()*()*() 1*()*()()()() n i i i i n n j i n i j i j j i j j i N N i i j i i j j i f x N x M x f a x a f a a a x a f x a a ===≠=≠--==≠==---=-∑∑∏∏∑∏（12） 命题得证。

2016考研数学中值定理证明思路总结

2016考研数学中值定理证明思路总结中值定理这块一直都是很多考生的“灾难区”，一直没有弄清楚看到一个题目到底怎么思考处理，因此也是考研得分比较低的一块内容，如果考生能把中值定理的证明题拿下，那么我们就会比其他没做上的同学要高一个台阶，也可以说这是一套“拉仇恨”的题目。下面小编就和大家来一起分析一下这块内容。 1.具体考点分析 首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么，相当于我们的工具，那需要哪些工具呢? 第一：闭区间连续函数的性质。 最值定理：闭区间连续函数的必有最大值和最小值。 推论：有界性(闭区间连续函数必有界)。 介值定理：闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数，都可以在区间上找到一点，使得这一点的函数值与之相对应。 零点定理：闭区间连续函数，区间端点函数值符号相异，则区间内必有一点函数值为零。 第二：微分中值定理(一个引理，三个定理)

费马引理：函数f(x)在点ξ的某邻域U(ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'(ξ)=0。 罗尔定理：如果函数f(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ 柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 (3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0 那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。 第三：积分中值定理： 如果函数f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一个点ξ，使下式成立

罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用

罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用

单位：旅游系 专业：酒店管理 姓名：王姐 学号：1414061039 【摘要】罗尔定理与拉格朗日定理是是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断导数的整体性质的工具。拉格朗日定理存在于多个科学领域之中，其中微积分中的拉格朗日定理即拉格朗日中值定理，又称拉式定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的形式。它在初等数学中有着重要作用，也是一个基础性定理。在许多方面它都有重要的作用 ，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。 【关键词】罗尔定理、拉格朗日定理、重要应用。 引言 拉格朗日定理是高等数学的基础，同时也是一个基础性的定理，在高等数学中有着重要作用，要学习和掌握它的证明方法。 罗尔定理：如果函数()f x 满足条件：○ 1在闭区间[,]a b 上连续；○2在开区间(,)a b 内可导；○ 3在区间两个端点的函数值相等，即()()f a f b =，(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=。 罗尔定理的证明：因为函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，所以它在[,]a b 上必能取得最大值M 和最小值m 。 （1）如果M m =，则()f x 在[,]a b 上恒等于常数M ，因此，在整个区间(,)a b 内恒有 '()0f x =，所以，(,)a b 内每一点都可取作ξ，此时定理显然成立。 （2）如果m M <，因()()f a f b =，则数M 与m 中至少有一个不等于端点的函数值()f a ，设()m f a ≠，这就是说，在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()f M ξ=。 下面证明'()0f ξ=。 由于()f M ξ=是最大值，所以不论x ?为正或负，恒有()()0f x f x ξ+?-ξ≤?， (,)x a b ξ+?∈。 当0x ?>时，()()0f x f x ξ+?-ξ≤?，有已知条件'()f ξ存在可知，

(完整版)考研数学公式推导

积化和差 积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。 公式 sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2（注意此公式前的负号） cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 证明 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。 即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明： sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] =-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)] =-1/2[-2sinαsinβ] 其他的3个式子也是相同的证明方法。 作用 积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘以常数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。 在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算，运算需要利用三角函数表。 运算过程：将两个数通过乘、除10的方幂化为0到1之间的数，通过查表求出对应的反三角函数值，即将原式化为10^k*sinαsinβ的形式，套用积化和差后再次查表求三角函数的值，并最后利用加减算出结果。 对数出现后，积化和差公式的这个作用由更加便捷的对数取代。 和差化积 正弦、余弦的和差化积 指高中数学三角函数部分的一组恒等式 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 因为 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，

拉格朗日中值定理的应用

拉格朗日中值定理的 应用

总结拉格朗日中值定理的应用 以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意义！ 拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。 凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式， 凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成X，变形后观察法凑成F’(X)，由此求出辅助函数F(x)．如例1. 常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通 常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分

作为k，即使常数部分分离出来并令其为k，恒等变形使等式一端为a与f(a)构成的代数式，另一端为b与．f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a或b)改为变量x移项即为辅助函数f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定k，一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公式．如例3. 倒推法：：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．如例4。

谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔() Rolle中值定理 如果函数()x f满足条件：()1在闭区间[]b a,上连续；()2在开区间()b a,内可导；（3）()()b f a f=,则在()b a,内至少存在一点ζ ,使得()0 '= ζ f 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y=在点B A,

处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ， 使得()0'=ζf . 这就是说定理的 条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理 若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间 ()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --=ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦 AB . 如图2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中

考研数学辅导,第三讲 中值定理的证明

第四讲 中值定理的证明技巧 一、 考试要求 1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定 理），并会应用这些性质。 2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值 定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。 3、 了解定积分中值定理。 二、 内容提要 1、 介值定理（根的存在性定理） （1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m 之间的任何值. （2）零点定理 设f(x)在[a 、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c ∈(a 、b)，使得f(c)=0 2、 罗尔定理 若函数)(x f 满足： （1）)(x f 在[]b a ,上连续 （2）)(x f 在),(b a 内可导 （3）)()(b f a f = 则一定存在),(b a ∈ξ使得0)('=ξf 3、 拉格朗日中值定理 若函数)(x f 满足： （1）)(x f 在[]b a ,上连续 （2）)(x f 在),(b a 内可导 则一定存在),(b a ∈ξ，使得))((')()(a b f a f b f -=-ξ 4、 柯西中值定理 若函数)(),(x g x f 满足: （1）在[]b a ,上连续 （2）在),(b a 内可导 （3）0)('≠x g 则至少有一点),(b a ∈ξ使得)(') (') ()()()(ξξg f a g b g a f b f = --

5、 泰勒公式 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间),(b a 内具有直到1+n 阶导数, 则当x 在 ),(b a 内时, )(x f 可以表示为0 x x -的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和，即 ) ())((!1 ))((!21))(()()(00)(200000x R x x x f n x x x f x x x f x f x f n n n +-+???+-''+-'+= 其中1 0)1()()!1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ (ξ介于0x 与x 之间). 在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点： 1．展开的基点； 2．展开的阶数； 3．余项的形式． 其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式． 而基点和阶数，要根据具体的问题来确定． 6、利用中值定理解题的技巧 （1）辅助函数的构造 微分中值定理通常用来证明一些等式、不等式及方程根的存在性。在证明方程根的存在性和不等式时，经常要构造出一个辅助函数，辅助函数的构造方法通常有三种：找原函数法；指数因子法；常数k 值法。 ①、方程根的存在性 方程根的存在性，常用介值定理和罗尔定理来证明。这里着重讲解罗尔定理。下面通过例题来给出三种构造辅助函数的方法。 ②、存在多个中间值的证明 有一类问题，要证明存在两个或两个以上的中间值，满足一定的等式，由于用一次中值定理只能找到一个中间值，故这类问题通常至少要用两次中值定理才能解决。 （2）非构造性的证明 有一类证明题，在证明过程中，不需要构造辅助函数，只需对原题中的函数进行讨论，称这类问题为“非构造性的证明”。 7、利用泰勒公式解题的技巧 泰勒公式常用干处理与高阶导数相关的函数的性态研究，在解题方面，通常用于证明与中间值相联系的不等式以及求函数极限。 （1） 带拉格朗日型余项的泰勒公式

考研数学定理声明.doc

都是有多年考研辅导经验的,指导复习当然针对性强，有事半功倍的效果。缺点就是,嘿嘿,学费问题。你所在地的学费情况我就不清楚了，你可以自己去查一下～还有一句话想说，其实这两个办法也不是对立的,你可以在学校里去旁听老师的课,把第一轮扎扎实实的复习完,放假回家去报名参加个辅导班,利用假期有针对性的做第二轮复习~相信两轮复习下来,你的长进一定不蝎呵呵~ 我就说这么多，要是以后想起来了会再来补充的~最后祝你如愿考上理想院校哦~加油 也不知道一楼是哪个名校数学系的研究生,广州大学吗？这么有才华！听他的话等楼主没考到１3０哭的地方都找不到。 考研每一门学科都要复习好几轮,也不知道楼主考什么专业,数学几? 基础差的话第一轮复习要弄清楚定理及其证明过程。如果应届本科生又是学理科,平时成绩不错，高数，线性分都很高的话第一轮可以直接看教材做题。

有一个证明题,而且基本上都是应用中值定理来解决问题的。但是要参加硕士入学数学统一考试的考生所学专业要么是理工要么是经管，考生们在大学学习数学的时候对于逻辑推理方面的训练大多是不够的,这就导致数学考试中遇到证明推理题就发怵,以致于简单的证明题得分率却极低。给大家简单介绍一些解决数学证明题的入手点,希望对有此隐患的考生有所帮助。 1.结合几何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理,包括条件及结论。 知道基本原理是证明的基础，知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力。如２0０６年数学一真题第１６题(1）是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在,求值是很容易的,但是如果没有证明第一步,即使求出了极限值也是不能得分的。因为数学推理是环环相扣的,如果第一步未得到结论,那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单,只用了极限存在的两个准则之一:单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决,因为对于该题中的数列来说,“单调性”与“有界性”都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多,更多的是要用到第二步。

(整理)拉格朗日中值定理的几种特殊证法

届学士学位毕业论文 关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法 学号： 姓名： 班级： 指导教师： 专业： 系别： 完成时间：年月

学生诚信承诺书 本人郑重声明：所呈交的论文《关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法》是我个人在导师王建珍指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名：日期： 指导教师声明书 本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。 指导教师签名：时间：

摘要 拉格朗日中值定理在高等代数和数学分析的一些理论推导中起着重要作用,本论文为了更准确的理解拉格朗日中值定理,介绍了其几种特殊的证明方法.首先本文从分析和几何的角度构造辅助函数对拉格朗日中值定理进行了证明,其中在分析法构造辅助函数中应用了推理法、原函数法、行列式法及弦倾角法,在几何法构造辅助函数中应用了作差构造法、面积构造法和旋转坐标轴法;其次,应用了区间套定理证明法和巴拿赫不动点定理证明法对拉格朗日中值定理进行了证明;最后,本文为能将拉格朗日中值定理表述更为深刻,还将其应用到求极限,证明函数性态等具体问题中. 关键词：拉格朗日中值定理;区间套定理;巴拿赫不动点定理

柯西与拉格朗日中值定理的多种证明方法

微分中值定理的进一步探讨 □ 孙 莹 摘要： 微分中指定理中的 C auchy 中值定理与Lagrange 中值定理是数学分析学习内容的重中之重，其具有较强的理论性,其揭示函数与其导数之间的关系,在知识结构和思想体系中建立起应用导数进一步研究函数性质的桥梁。我们在处理数学证明题中会经常用到这两个定理，但是课本中给出的证明方法单一而且独特，较难掌握，为弥补此不足之处，本课题将帮助大家多角度地了解微分中值定理的证明方法，以便更深刻地理解Cauchy 中值定理与Lagrange 中值定理，学会用多种方法处理同一问题的思想。 关键词： C auchy 中值定理；Lagrange 中值定理；常数k 法；行列式法；坐标旋转法 文章一开始先给出Roller 中值定理，因为Cauchy 中值定理和Lagrange 中值定理的多种证明过程都会用到Roller 中值定理的结论。然后给出北师大版的数学分析上册书中的Cauchy 中值定理和Lagrange 中值定理及其证明过程，目的在于让读者发现其与其它证明方法的联系。 定理1 （Roller 中值定理） 若()f x 满足如下条件： ()i 在[,]a b 上都连续； ()ii 在(,)a b 上都可导； ()iii )()(b f a f =， 则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得0)('=ξf 。 定理2 （Cauchy 中值定理）[1] ()f x ，()g x 满足以下几个条件： ()i 在[,]a b 上都连续； ()ii 在(,)a b 上都可导 ()iii )('x f 和)(' x g 不同时为零 )(iv )()(b g a g ≠ 则存在ξ(,),a b ∈使得 ''()()()()()() f f b f a g g b f a ξξ-=-。