数学建模之灰色预测模型

一、灰色预测模型

简介（P372）

特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。

优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。

缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。

1、GM(1,1)预测模型

GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。 1.1模型的应用 ①销售额预测

②交通事故次数的预测

③某地区火灾发生次数的预测

④灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报。（百度文库）

⑤基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析（下载的文档） ⑥网络舆情危机预警（下载的文档） 1.2步骤

①级比检验与判断

GM(1,1)建模。

光滑比为

若序列满足

则序列为准光滑序列。

否则，选取常数c

建立模型:

（1）

③构造数据矩阵B 及数据向量Y

(1),()z n ⎥⎥

⎥⎥- 1⎦(0)Y x ⎢=⎢ ⎢⎢⎣ (1

0.5(1),2,3,

x k

k -=）

④由

1ˆ()T T a

B B B Y -⎡⎤==⎢⎥

⑤由微分方程（1）得生成序列预测值为

则模型还原值为

⑥精度检验和预测

残差

相对误差

相对误差精度等级表

级比偏差

，则可认为达到较高要求。利用matlab求出模型的各种检验指标值的结果如表

经过验证，给出相应预测预报。

2、新陈代谢模型

灰色新陈代谢模型是一个不断考虑新信息的预测模型，它考虑了随着时间推移相继进入系统的扰动因素带来的影响，在不断补充新信息的同时，及时去掉旧信息，使整个系统一直处于更新和发展的过程中，更符合现实世界的变化。

与GM(1,1)模型相比，既能充分发挥传统GM(1,1)模型仅利用少量数据, 就能

获得较高预测精度的优点,又能反映出数据的变化趋势, 从而使预测结果的精度

获得更进一步的提高。局限性在于该模型适合预测具有较强指数规律的序列, 只能描述单调变化的过程。

2.1模型的应用

①深圳货运量预测；（下载文档）

②天津市城市人均住宅建筑面积及非农业户籍人口总数预测（下载文档）；

③网络舆情危机预警（下载文档）。

2.2步骤

①建立新陈代谢数据序列

②后续步骤同GM(1,1)模型。

以

此类推，将计算结果制表并分析。

3、波形预测

波形预测, 是对一段时间内行为特征数据波形的预测。当原始数据频频摆动且摆动幅度较大时，可以考虑根据原始数据的波形预测未来的行为数据发展变化, 以便进行决策。从本质上来看,波形预测是对一个变化不规则的行为数据列的整体发展进的预测。 3.1 模型的应用

①区域降水量预测（下载文档）

②运量需求不平衡航线下客流量预测（下载文档） ③网络舆情危机预警（下载文档） 3.2步骤

①求出序列折线

X 的k 段折线图形为

序列X 的折线为

]}1,2,

,1n -

min

(),)

i

s

s σσ=-+

i

()

,1)

()

x i x i γ-+-

③等高点的计算

γ

γ))(1,2,i x i '=即γ等高点。 GM(1,1)预测。

⑤得出波形预测

画出波形图，并分析。

4、Verhulst 模型

Verhulst 模型主要用来描述具有饱和状态的过程，即S 型过程。常用于人口预测、生物生长、繁殖预测和产品经济寿命预测等。（例如B 题艾滋病疗法的评价及治疗预测） 4.1步骤

①模型的建立

则得到灰色Verhulst 模型为

灰色Verhulst 模型的白化方程为

（2） ②参数求解

构造数据矩阵B 及数据向量Y

(1)(1)2,()())z n z n ⎥⎥ ⎥⎥- (

⎦Y

⎢=⎢⎢⎢⎣ 由

1ˆˆ()ˆT T a

u

B B B Y b -⎡

⎤==⎢⎥⎣⎦

③解微分方程（2）得灰色Verhulst 模型的时间序列响应为

通过累减还原得

④精度检验和预测 同GM(1,1)模型。 例题：

某地区年平均降雨量数据如表1。规定ξ= 320，并认为(0)()x i ξ≤为旱灾。预测下一次发生的时间。

表1 某地区年平均降雨量数据

解：

模型的建立： ①列出原始数据列(0)

(0)(0)(0)((1),(2),,())x

x x x n =，确定在(0)320x s ≤的条件下

的下限灾变数列0

x ξ与其相对应的时刻数列(0)t 。

计算光滑比

(0)1

(0)

1

()

()()

k i t k p k t

i -==

∑

判断序列(0)t 是否满足满足

[](1)

1,2,3,,5;()

()0,,3,4,5;

0.5.

p k k p k p k k ϕϕ+<=∈=<

②对数列(0)t 做1次累加，得(1)

t 。

③建立GM(1，1)模型。

(1)

(1),dt at b dt

+= （1） ④构造数据矩阵B 及数据向量Y

(1)(1)(1)(2)1(3)1,()z z B z n ⎡⎤- ⎢⎥- ⎢

⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- 1⎣⎦(0)(0)(0)(2)3()x x Y x n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

（）

⑤由

⑥由微分方程（1）得生成序列预测值为

则模型还原值为

预测到第6个和第7个数据。

模型的求解

（1

561,300,632,540,406.2,313.8,576,587.6,318.5)

与其相对应的时刻数列为：(3,8,10,14,17)

利用matlab计算得出序列光滑。

（21

（3）由步骤③，④，⑤并利用matlab

（4）由步骤⑥，预测得到第6个和第7个数据为

由于22.034与17相差5.034这表明下一次旱灾将发生在五年以后。

数学建模——灰色预测模型

数学建模——灰色预测模型 灰色预测模型（Grey Forecasting Model）是一种用于预测不确定性数据的数学模型。它适用于那些缺乏充分历史数据、不具备明显的规律性趋势或周期性的情况。灰色预测模型基于灰色系统理论，通过分析数据的变化趋势和规律，来进行预测。该模型在处理少量数据、缺乏趋势规律的情况下，具有一定的优势。 灰色预测模型的基本思想： 灰色预测模型基于“白化（Whitening）”和“黑化（Blackening）”的思想，将不确定性数据分为“白色”和“黑色”两部分。其中，“白色”代表已知数据，具有规律性和趋势，可以进行预测；而“黑色”代表未知数据，缺乏规律，需要进行预测。通过建立数学模型，将“白色”和“黑色”数据进行融合，得出预测结果。 灰色预测模型的基本步骤： 1.建立灰色数列：将原始数据分成“白色”和“黑色”两部分，构建灰色数列。 2.建立灰色微分方程：对“白色”数列进行微分，得到一阶或高阶微分方程。 3.求解微分方程：求解微分方程，得到预测模型的参数。 4.进行预测：利用已知的模型参数，对“黑色”数据进行预测，得出未来的趋势。 示例：用灰色预测模型预测销售量 假设你是一家新开设的小型餐厅的经营者，你希望预测未来三个月的月销售量。然而，你的餐厅刚刚开业不久，历史销售数据有限，且不具备明显的趋势。这种情况下，你可以考虑使用灰色预测模型来预测销售量。 步骤： 1.建立灰色数列：将已知的销售数据分为“白色”（已知数据）和“黑色”（未知数据）两部分。 2.建立灰色微分方程：对“白色”销售数据进行一阶微分，得到灰色微分方程。 3.求解微分方程：根据灰色微分方程的形式，求解微分方程，得到模型的参数。 4.进行预测：利用求解得到的模型参数，对“黑色”销售数据进行预测，得到未来三个月的销售量趋势。 这个例子中，灰色预测模型可以帮助你基于有限的历史销售数据，预测未来的销售趋势。虽然该模型的精确度可能不如其他更复杂的方法，但在缺乏充足数据时，它可以提供一种有

数学建模常用算法模型

数学模型的分类 按模型的数学方法分： 几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等 按模型的特征分： 静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线性模型和非线性模型等 按模型的应用领域分： 人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等. 按建模的目的分： 预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等 一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往往也和建模的目的对应 按对模型结构的了解程度分： 有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等 比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型. 按比赛命题方向分： 国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016美赛六个题目离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策 数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法 该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以

来检验自己模型的正确性,比较好用的算法 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo软件实现 4、图论算法 这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用 7、网格算法和穷举法 当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具 8、一些连续离散化方法 很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的 9、数值分析算法 如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用

MATLAB + 灰色预测程序,数学建模

MATLAB实现灰色预测程序 灰色预测 很好的东西呐，······~~··`~··~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~````````````` fon [feval,au,ec,C,P]=GM1_1(x, r) if nrgin<2 myar=0; end [mx,nx]=size(x); if mx==1 x=x'; end n=length(x); for i=2:n z(i-1)=0.5*x1(i)+0.5*x1(i-1); end Y=x(2:end); B(:,1)=-z; 2)/au(1)); yc(1)=x(1); for k=1:n+myear-1

y1(k+1)=pm*exp(-au*k)+a(2)/au(1); yc(k+1)=y1(k+1)-y1(k); end feval=yc'; ex=ec./x; r=0; rou=0.5; for k=1:n r=r+rou* s(ec(k))+rou*max(a (ec))); end r=r/n; %%==== %原始序列的标准差 s1=std(x); %计算残差的标准差 s2=std(ec);

%计算C C=s2/s1; %计算后验概率 deta=ec-mean(ec); index=fineta)<0.6745*s1); P=length(index)/n; %% if C<0.35&P>0.95 disp('预测精度为一级') elsP>0.8 disp('预测精度为二级') elseif >0.7 disp('预测精度为三级') else disp('预测精度过低，需要对模型进行修正') end if r>0.6 disp('关联度符合检验要求') end

数学建模灰色预测GM(1,1)

灰色预测GM （1，1） 算法原理： 灰色模型建立的步骤 Step1：对)0(X 作1－AGO ，得序列 (1)(1)(1)(1)((1),(2),,())X x x x n = Step2：对)0(X 作准光滑性检验。由 )1()()()1() 0(-=k k k x x ρ 当()0.5k ρ<时准光滑条件满足。 Step3：检验)1(X 是否具有准指数规律。由 )1()()()1() 1()1(-=k k k x x σ 得29.1)5(,36.1)4(,54.1)3()1()1(≈≈≈σσ 当k>3时，]5.1,1[)()1(∈k σ ，5.0=δ，准指数规律满足，故可对)1(X 建立GM(1,1)模型。 Step4：对)1(X 作紧邻均值生成。令 )1(5.0)(5.0)()1()1()1(-+=k k k x x z 得 (1)(1)(1)(1((2), (3),,())Z z z z n = 于是 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=1)(1)3(1)2()1()1()1(n B z z z ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()3()2()0()0() 0(n Y x x x Step5：对参数列T b a a ],[ˆ=进行最小二乘估计。得 =a ˆ1)(-B B T T B Y Step6：确定模型 (1) (1)d a b dt x x +=

及时间响应式 a b a b k e x x k a +-=--)1()0()1())1(()(ˆ Step7：求)1(X 的模拟值))5(ˆ),4(ˆ),3(ˆ),2(ˆ),1(ˆ(ˆ)1()1()1()1()1()1(x x x x x X = Step8：还原求出)0(X 的模拟值。由(0)(1)(1)(1)(1)()()()(1)ˆˆˆˆk k k k x x x x α==--得(0)(0)(0)(0)(0)(0)ˆˆˆˆˆˆ((1),(2),(3),(4),(5))X x x x x x = Step9：检验误差。 残差：=)(k ε)()0(k x －)(ˆ) 0(k x 相对误差：)(|)(|)0(k k x k ε=∆ 残差平方和：εεT s = 平均相对误差： 211n k k n =∆=-∑∆ 模型精度检验 1.残差检验（最常用）； 2.关联度检验； 3.后残差检验 模型的特点 首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。 残差GM(1,1)模型 当GM(1,1)模型的精度不符合要求时，可用残差序列建立GM(1,1)模型，对

数学建模之灰色预测模型

一、灰色预测模型 简介（P372） 特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。 优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。 缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。 1、GM(1,1)预测模型 GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。 1.1模型的应用 ①销售额预测 ⑤基于1.2步骤2)，则可用光滑比为序列(0)y 建立模型 (1) dx dt ③构造数据矩阵B 及数据向量Y 其中：(1)(1)(1()0.5()0.5(1),2,3,,.z k x k x k k n =+-=） ④由 求得估计值ˆa =ˆb = ⑤由微分方程（1）得生成序列预测值为 则模型还原值为 ⑥精度检验和预测 残差

相对误差 相对误差精度等级表 级比偏差 若()k ρ<0.2则可认为达到一般要求；若()k ρ<0.1，则可认为达到较高要求。 利用matlab 求出模型的各种检验指标值的结果如表 经过验证，给出相应预测预报。 2、新陈代谢模型 灰色新陈代谢模型是一个不断考虑新信息的预测模型，它考虑了随着时间推移相继进入系统的扰动因素带来的影响，在不断补充新信息的同时，及时去掉旧信息，使整个系统一直处于更新和发展的过程中，更符合现实世界的变化。 与优点,2.12.2步骤(0)(2), ,())x n (0)(0)(2),,(),x n x 模型。 3,波形预3.1②运量需求不平衡航线下客流量预测（下载文档） ③网络舆情危机预警（下载文档） 3.2步骤 ①求出序列折线 由原始数据列((1),(2), ,())x x x x n =得出序列X 的k 段折线图形为 序列X 的折线为 ②选取等高线 令{}{}max min 11(),()max min k n k n x k x k σσ≤≤≤≤==则有

数学建模+灰色预测模型+MATLAB

§12.5 灰色预测 我们通常所说的系统是指：由客观世界中相同或相似的事物和因素按一定的秩序相互关联、相互制约而构成的一个整体．例如：工程技术系统、社会系统、经济系统等．如果一个系统中具有充足的信息量，其发展变化的规律明显、定量描述方便、结构与参数具体，则这种系统通常称为白色系统．如果一个系统的内部特征全部是未知的，则称此系统为黑色系统．如果系统内部信息和特征是部分已知的，另一部分是未知的，这种系统称为灰色系统．例如：社会系统、农业系统、经济系统、气象系统、生物系统等．对于这类系统，内部因素难以辨识，相互之间的关系较为隐蔽，人们难以准确了解这类系统的行为特征．因此，对于这类问题进行定量描述，即建立模型难度较大．区别白色系统与灰色系统的重要标志是系统内各因素之间是否具有确定的关系． 灰色系统分析方法主要是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分利用数量不多的数据和信息寻求相关因素自身与各因素之间的数学关系，建立相应的数学模型．目前，灰色系统理论在实际中已得到了广泛的应用，例如：在工程技术、经济管理、气象预报以及政治、社会、工业、农业等领域都取得了一定的应用成果． 我们往往要对农业问题、商业问题等做未来的预测工作，另外，进行军事战争以及治理生态环境也需对未来的发展情形做一可靠的分析，这就产生了灰色预测．灰色预测是对灰色系统问题进行未来的预测，实际问题中，应用最多的灰色预测模型是以GM(1,1)（即GM(1,N )当N=1时的特例）模型为基础的． 12.5.1 GM(1,1)模型的建立 设X (0) =(X (0) (1),X (0) (2),…,X (0) (n ))，做1－AGO ，得 (1)(1)(1)(1)((1),(2),,()) X X X X n = (1)(1)(0)(1)(0)((1),(1)(2), ,(1)())X X X X n X n =+-+ 则GM(1,1)模型相应的微分方程为： (1) (1)dX aX u dt += （1） 式中：a 称为发展灰数；μ称为内生控制灰数． 设ˆα =(a ,μ)T ，按最小二乘法得到 11ˆ()T T B B B Y α -= （2） 其中

灰色预测模型原理

灰色预测模型原理 灰色预测模型（Grey Prediction Model）是一种基于灰色系统理论和数学建模方法的预测模型。灰色系统理论是我国学者黄金云教授于1982年提出的一种系统理论，它是研究非确定性和不完备信息系统的一种新方法，可用于研究多变量、小样本和非线性系统。 灰色预测模型主要基于灰色数学建模方法，通过对已知的部分序列数据进行建模和预测，来推测未知的序列数据趋势。它适用于研究数据量小、信息不完备、非线性关系复杂的系统。下面将简要介绍灰色预测模型的原理、模型建立过程以及一些应用案例。 1. 灰色预测模型的原理 灰色预测模型的核心思想是通过对已知数据进行灰色关联度的度量，从而建立出合适的数学模型，进行未来数据的预测。其基本原理可以概括为以下五个步骤： （1）建立灰色微分方程：根据原始数据的特点，确定合适的灰色微分方程，通常使用一阶或高阶灰色微分方程。 （2）求解灰色微分方程：根据所选择的灰色微分方程，求解其参数，得到模型的特征参数。 （3）模型检验：检验所建立的灰色预测模型的拟合程度和误差是否符合要求。

（4）进行灰色关联度分析：根据已知数据的变化规律，计算各个因素的灰色关联度，确定相关因素的重要性。 （5）进行预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测和分析，得出预测值。 2. 模型建立过程 灰色预测模型的建立过程中，通常包括以下几个步骤： （1）数据的建立与处理：对原始数据进行筛选、预处理和归一化处理，以满足模型的要求。 （2）建立灰色微分方程：从已知数据中提取主要特征，并根据数据的特点选择合适的灰色微分方程。 （3）求解灰色微分方程：根据所选的灰色微分方程，通过累加生成序列、求解参数等方法，得到模型的特征参数。 （4）模型的检验：根据已知数据的拟合程度和误差范围，评估所建立的灰色预测模型的准确性和可靠性。 （5）模型的应用与预测：利用已建立的模型进行未来数据的预测和分析，得出预测结果。 3. 应用案例 灰色预测模型在实际应用中具有广泛的应用范围，以下是一些常见的应用案例：

数学建模城市空气质量评估及预测

城市空气质量评估及预测 摘要: 本文对我国十个城市的空气质量进行了深入的研究，利用统计学等相关原理，结合我国现行的“创模”和“城考”体系中的环境空气质量指标，就城市空气污染程度，空气质量的预测和影响因素等问题建立出相应的数学模型。 利用层次分析法和Perron-Frobenions等相关原理建立数学模型对中国十大城市的空气污染严重程度给出分析并排名。运用GM（1,1）灰色预测模型，结合相关数据运用excel软件进行数据统计，对成都市2010年11月份的空气质量状况进行预测。使用优势分析原理分析空气中可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮等因素对空气质量的影响程度。关键词：空气质量，层次分析，判断矩阵，相对权重，排名，灰色预测，优势分析，可吸入颗粒，二氧化硫，二 氧化氮 一、问题的提出 1.1背景介绍 随着中国经济的进一步发展，环境问题已是制约我国发展的关键因素之一，而环境问题最突出的就是空气污染。

“十一五”“创模”考核指标“空气污染指数”要求：API 指数≤100的天数超过全年天数85%。“城考”依据API 指数≤100的天数占全年天数的比例来确定空气质量得分。“API指数≤100的天数”，通常又被称为空气质量达到二级以上的天数。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国空气质量做出分析和预测是一个重要问题，同时通过对影响空气质量因素的分析，以正确做好环境保护措施也极为重要。 本文主要针对以下几个问题进行相关分析： （1）利用已知的数据，建立数学模型通过分析给出十个城市空气污染严重程度的科学排名。 （2）建立模型对成都市11月的空气质量状况进行预测。（3）收集必要的数据，建立模型分析影响城市空气污染程度的主要因素是什么。 二、基本假设 1）表格中已有的数据具有权威性，值得相信，具有使用价值。 2）空气质量相同等级的污染程度相同。 3）假设该市各种影响空气质量的软因素（如工业发展，人口数量）保持平稳变化。 4）不考虑突发事件即人为因素（如工业事故）造成的空气质量突变。 5）假设各种因素对环境的影响最终主要表现在可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮上，不考虑其他随机因素的影响。

灰度预测模型数学建模论文

承诺书 我们仔细阅读了全国大学生数学建模的竞赛规则（https://www.wendangku.net/doc/1519293922.html,）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们的参赛（报名）队号为： 参赛组别：本科组 参赛队员(先打印,后签名,并留联系电话) ：

题目节能减排 摘要 本文通过建立模型对全国各省会城市的大气环境质量做出定量的综合评价，并对未来各地区大气的污染状况进行分析比较。经过查阅资料得到大量数据，利用MATLAB软件编写程序计算得到了各城市的空气质量综合评价模型；通过曲线拟合和灰度预测模型，分别预测出了未来空气质量的趋势，并比较实际数据得到较好的模型；利用EXCEL软件将各城市每年的空气质量绘制成各种图表，给人更加直观的感受。 在大气环境质量的量化问题上，通过计算空气质量指数AQI来综合评价各城市的空气质量。利用MATLAB软件编写程序计算得到结果，如2010年空气质量最好的三个城市为海口、拉萨、呼和浩特，其AQI分别为40、48、59；空气质量最差的三个城市为兰州、乌鲁木齐、西安，其AQI分别为10.5、91.5、88。在空气质量预测问题上，我们分别尝试了曲线拟合与灰度预测两种方法，将2011年的预测值和实际值比较，发现灰度预测在数据量较少情况下更具有优势。基于此在后续问题处理上都沿用了灰度预测模型，并预测了2012年的空气质量指数和不节能减排情况下2007至2011年的空气质量指数。 解决问题3、4时，用之前建模得到的数据，用EXCEL软件绘制图表，清晰直白的分析节能减排对大气环境质量改善所起作用，文章的最后给出了下一步实施节能减排提出建议。 关键字：AQI MATLAB 灰度预测

数学建模案例分析灰色系统方法建模2灰色预测模型GM11及其应用

§2 灰色预测模型GM(1,1)及其应用 蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。 为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。 一、灰色预测模型GM （1,1） 建模步骤如下： （1）GM （1,1）代表一个白化形式的微分方程： u aX dt dX =+)1() 1( （1） 式中，u a ,是需要通过建模来求得的参数；) 1(X 是原始数据) 0(X 的累加生成（AGO ）值。 （2）将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素，这就是数据处理。表示为： ∑==k n n X k X 1 )0() 1()()( （2） 不直接采用原始数据) 0(X 建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规律， 然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。 （3）对GM （1,1），其数据矩阵为 ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)] 2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B （3） 向量T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0( = （4）作最小二乘估计，求参数u a , N T T Y B B B u a 1)(ˆ-=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=α （4） （5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为 a u e a u X t X at +-=+-))1(()1(ˆ)0()1( （5） 这就是要建立的灰色预测模型。

大学生数学建模竞赛模板--sars模型灰色预测

SARS对经济指标的影响 王海燕徐昊天 吴德春 摘要 本文针对SARS 疫情传播对经济指标影响的问题，建立灰色预测模型，得到03 年预测数据，并与实际数据作比较，进而研究SARS疫情对该市各经济指标的影响及 其程度。为研究SARS疫情对该市各经济指标的影响，我们作出了不同经济指标的散 点图和数据列表，使得对问题的研究更直观。 （1）SARS对零售业的影响 为简化计算，我们以1997--2002年年总值构造参考数列，得到一个预测各年总值的方程。利用方程先预测出2003年零售额的年总值，根据各月综合服务业数额在年总值中所占比例求得各月预测值。利用MATLAB软件求解，得到得预测值与实际值有一定的相差但相差并不大。从表三我们得出结论：SARS疫情的传播对零售业从4月份开始产生影响，5、6月份影响最大，10月份以后影响就很小了。 （2）SARS对海外旅游业的影响 以1997--2002年每年同期的数据构造参考数列，可以得到1-12月的共12个预 测方程，即可预测2003年各月的海外旅游人数。利用MATLAB软件求解，得到的预 测值和实际值相差很大，说明从4月份开始SARS疫情就对旅游业产生影响，尤其5、 6月份影响最大，但10月份以后影响就变小甚至没有影响了。 （3）SARS对综合服务业总额的影响 以1997--2002年年总值构造参考数列，得到一个预测各年总值的方程。利用方程 先预测出2003年的年总值，再根据各月综合服务业数额在年总值中所占比例求得各 月的预测值。利用MATLAB软件求解，得到得预测值与实际值是很一致的。因此，我 们得出结论：SARS疫情的传播对综合服务业没有影响。 另外，本文对模型的误差进行了准确的分析，使得结论更加科学更加有说服力。虽然模型的建立都是采用了灰色预测法，但在具体的数据处理时，采用了不同的方法，使模型更加丰满，更有特色。 关健词：经济指标；灰色预测；MATLAB；相对误差

毕业设计_数学建模论文中国人口增长预测

中国人口增长预测 摘要 本文从中国人口的实际情况和人口增长的特点出发，根据题目和中国统计年鉴中的相关数据，建立了两个关于中国人口增长的数学模型，并对中国人口做出了分析和预测。 模型一：利用中国统计年鉴中 2000—2005 年人口的数据，运用灰色理论的基本原理建立 GM(1,1) 模型。该模型利用离散数据列进行生态处理，建立动态的微分方程，对我国近5年、10年、20年的总人口分别进行了预测。又根据中国人口城乡分布不同且总趋势也不同的特点，把全国人口分为城市人口、城镇人口、乡村人口三部分分别进行灰色预测。结果表明，该模型较好的反映并预测中国人口短中期和长期的变化情况。 模型二：按人口年龄结构特征，将人口分为幼年（0—14岁）男女、中年（15—49岁）男女、老年（50岁以上）男女。各年龄段的人口变化是由出生率、死亡率和转化为其他年龄段的转化人数决定的。根据各年龄段人口数量变化特点，对各年龄段转化人数引入转化因子，改进马尔萨斯模型，附带出生率、死亡率、生育率、出生性别比率等约束条件，建立了新的具有年龄结构的人口增长模型。结合我国人口的特点，运用已知数据和利用微分方程的数值解，预测出男性和女性幼年、中年、老年的人口数量。可反映中国不同年龄结构的人口分布情况。 关键词：灰色预测；小误差频率；微分方程组；人口模型；转移因子

一．问题重述 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。因此人口预测的科学性、准确性是至关重要的。英国人口学家马尔萨斯的人口指数增长模型和荷兰生物学家的Logistic模型都是经典的人口预测模型。但是，影响中国人口的因素较多，人口结构较复杂，这些模型对人口预测很粗略，甚至是不准确的。因此，我们要根据我国具体的人口结构现状（如老龄化进程加速）、人口的分布现状（如乡村人口城镇化）、人口比率现状（如出生人口性别比持续升高）等特点，来较准确、较具体地对中国人口进行预测，建立人口增长的数学模型，由此对中国人口中短期和长期增长趋势做出预测。 另外，由于影响人口因素所起的作用不同，按照重要次序考虑关键部分的因素作用，我们要对模型的优缺点做出说明和评判。 二．问题分析 人口预测方法很多,主要有一元线性回归法、人口自然增长法、马尔萨斯指数增长法、指数平滑法、指数增长法、Logistic法、宋健模型法和GM(1,1) 法等。不同的方法具有不同的适用范围和特点：一元线性回归法适用于数据直线趋势较明显的预测；自然增长率等资料准确可靠时,可采用人口自然增长法或马尔萨斯法；历史数据较少时,可采用指数平滑和移动平均数法；宋健模型法用于短期预测的精度较高；数据情况复杂并暗藏指数规律时可采用GM(1,1) 模型法。 三．模型建立与求解 3.1 模型一：灰色分析与预测模型 灰色系统理论主要应用于灰色控制、灰色分析、灰色预测、灰色规划、灰色决策等方面。灰色系统的一个基本观点是: 一切随机量都看作是在一定范围内变化的灰色量。对灰色量的处置不是找概率分布, 求统计规律, 而是用数据处理即数据生成的方式来找数据间规律。灰色系统理论的核心是GM(1,1) 模型。它是利用离散数据列进行生态处理后所建立的微分方程型的动态模型。 灰色预测 GM(Gery Model) 模型是进行系统动态分析和预测的模型, 模型推理主要可归纳为: (1) 灰色系统理论基于关联空间概念及光滑离散函数的性质, 定义了灰导数, 灰微分方程, 从而建立灰微分方程模型; (2) GM(1,1)模型对原始数据列采用生成的数据处理方法, 获得随机弱化, 规律性

数学建模之中国人口增长的预测和人口结构的简析

中国人口增长的预测和人口结构的简析 摘要 本文根据过去数十年的人口数据，通过建立不同的数学模型，对中国人口的增长进行了短期和中长期的预测。 模型一：从中国统计年鉴—2008，查找得到2000-2007年的人口数据，然后用灰色模型进行人口的短期（2008-2017）预测。这里，我们采用两种算法进行人口总数的预测。一种是用灰色模型分别对城镇人口和乡村人口进行人口预测，然后求加和得到总的人口数；另一种是用灰色模型对实际的总人口数进行预测，预测未来10年的总人口数。通过比较相对误差率知道第二种方法预测得到的数据误差较小，故采用第二种方法预测的未来10年的人口数为： 模型二：对于中长期的预测我们采用Leslie模型进行预测。我们利用题中所提供的人口数据的比例，将人分为6种类型，在考虑年龄结构的基础上，对各类人中的女性人数分别进行预测，然后根据男女的性别比例，求出男性的人口数，再将预测得到的各类人数进行汇总加和，最终得到总的人口数。由于我们是根据年龄结构进行的预测，所以可以对人口进行简单的分析，得到老龄化变化趋势，乡镇市的人口所占比例的变化等。 关键词：人口预测；灰色模型；分类计算；Leslie模型

一、模型假设 模型一的假设： 1、不考虑国际迁移，认为国家内部迁移不改变人口总量； 2、不考虑自然灾害、疾病等因素对人口数量的影响； 3、文中短期预测到2017年 4、大面积自然灾害、疾病的发生以及人们的生育观念等因素会对当年的生育率和人口数量产生影响，认为这些因素在预测误差允许的范围内． 模型二的假设： 1、每一年龄组的女性在每一个时间段内有相同的生育率和死亡率； 2、在预测的时间段内男女的性别比例保持现状不变； 3、不考虑人口的迁入和迁出； 4、不考虑空间等自然因素的影响，不考虑自然灾害对人口数量的影响。 二、问题分析 中国是一个人口大国，随着经济的不断发展，生产力达到较高的水平，现在的问题已不是仅仅满足个人的需要，而是要考虑社会的需要。中国未富先老，对经济的发展产生很大的影响。当今面临的问题是如何很好的预测出未来人口的变化趋势，并根据趋势制定出合理可行的人口规划方案，以缓解人口对经济的影响。所以准确的预测出人口的发展趋势势在必行。 （1）短期人口预测：根据获得的历年的人口数据，利用灰色模型预测出未来10年人口的增长趋势。 （2）中长期人口的预测和分析：将人口分为6大类，利用Leslie模型分别预测出各类人未来70年的人口数，并根据获得的数据，对人口的老龄化等进 行简单的分析。

中国人口增长模型(灰色预测模型)

中国人口增长模型 论文摘要：人口问题涉及人口质量和人口结构等因素，是一个复杂的系统工程，稳定的人口发展直接关系到我国社会、经济的可持续发展。如何从数量上准确的预测人口数量以及各种人口指标，对我国制定与社会经济发展协调的健康人口发展计划有着决定性的意义。近年来我国的人口发展出现了许多新的特点，这些都影响着我国人口的增长。鉴此，本文依据灰色预测方法和年龄移算理论，基于人口普查统计数据，从人口系统发展机理上展开讨论。 首先根据灰色预测理论，建立了一级的灰色预测模型，再将近几年我国的人口数量带入模型，便得到未来较短时间内我国的人口数量。所得结果为我国总人口将于2006年、2007，2008，2009，2010年分别达到13.1495，13.2212，13.2909，13.3587，13.4246亿人。 然后分析人口发展方程中按年龄死亡率及生育模式等参数函数的内在变化规律，及其对总人口的影响，建立了莱斯利主模型，并在此基础上针对各参数函数的不同特点，建立了生育模型和死亡模型等子模型。在将所得子模型和主模型结合，依据当前人口结构现状对我国的人口做了长期的预测。所得结果是我国总人口将于2010年、2020年、2030年分别达到13.51058，14.38295，14.78661亿人与国家发展战略报告数据一致。 最后对所建模型的优缺点进行了客观的评价。 一、问题的提出 1.1 问题： 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》还做出了进一步的分析。 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。 1.2 背景分析： 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。

数学建模——-甲醇价格近期预测和长期预测模型

甲醇价格近期预测和长期预测模型 摘要：合理安排产品价格是公司企业取得良好收益的主要举措。从区域经济发展和产品产业内在关系的视角，对影响产品价格的因素进行分析选择，在此基础上，利用各因素的相互联系，对产品的市场价格进行预测，又是帮助公司企业合理安排产品价格变动的主要方法。 本文对甲醇而言进行价格预测，甲醇的价格波动受到进口量、进口均价、出口量、出口均价、月产量和开工率的影响，利用多个因素的数据进行也测，有利于甲醇制造商对价格做出合理安排，既能让消费者满意，又能给自己带来最大的收益。 本题的最主要的问题在于误差，误差能尽可能减小，但不会消失。为了接减少预测误差，本文采用多种方法对甲醇的价格进行短期、长期的预测。 关键词：预测灰色预测权数神经网络

一、问题重述 1.1问题一 已知近期和近几年的甲醇市场变化和具体数值，对近期（一个月）的甲醇行情变化做出预测。 1.2问题二 在第一问的基础上，综合更多因素，对长期（一年）的甲醇行情变化做出预测。 1.3问题三 有代表性、指导性、真实性、前瞻性的价格指数模型（类PPI）和行业景气指数模型（类PMI）[1]，是指导公司企业做出决策的重要指导方案。 1.4 问题四 企业的发展离不开好的决策方法，根据以往数据和预测给出建议是很由必要性参考价值和的。 二、问题分析 2.1 问题一 该题是一道短期预测题，短期预测的方法都很多，但是简单的方法受到的限制多，适用范围小，一次合理选择预测方法是一个难点。在这个题目中，大量数据的处理同样是一个难点。为了预测下一个月的平均单价，我们简化条件，处理数据采用灰色预测法，建立G（1，1）模型求解。 2.2 问题二 该题同样是预测题目，除了问题一遇到的问题，另外，时间的变化，其他因素的影响也会造成价格的变动，考虑的要素增多，为了全面考虑，我们利用回归方程，建立线性方程组，多次求解，得到各因素的权重，进而解决问题。 2.3 问题三 给出价格指数模型，景气指数模型，必要的问题是对两个概念的理解，涉及到经济方面的问题，难点在于经济预测和数学模型的联系，前两个问题的合理解决也有助于解决该题。

数模论文——校赛一等奖

2014年南京邮电大学 数学建模校赛 选题： A题 学生姓名：杨冠张凯杨韵怡 班级学号： Q12010316 Q12010317 Q12010304 学院：贝尔学院 专业：理工强化班

计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究 摘要 影响人口增长的主要因素有出生率、死亡率、政府政策、老龄化和城镇化等。我们在考虑了这些因素的基础上，逐步建立了三个模型。 模型一，灰色预测模型。只考虑了自然的出生率、死亡率，而忽视了人口的迁徙、政府政策等影响因素。为了减少累计误差，在模型中使用逐差法，求得净增人数，进行预测。经过误差对比，可以判断该模型在解决此类问题时，是适用的。 模型二，宋健人口发展模型。由于灰色预测模型不适合对人口结构进行分析，故针对问题二建立模型二。由模型得到如平均年龄、平均寿命、老龄化指数等人口参数，考虑延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，讨论对人口预测的影响。但由于宋健人口发展模型中的生育率函数不能够很好地体现二孩政策对人口发展的影响，故引进模型三。 模型三，由于问题二要求讨论计划生育新政策，故在模型二的基础上加上政策因素的影响，引入孩次模型的思想。结合延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，重点考虑城镇化因素对人口预测的影响。将人口在城乡的基础上分为开放二孩政策前后四类，运用数据分别算出这四类的总和生育率，再以孩次模型为基础，算出开放二孩政策后的总和生育率。同时结合孩次模型考虑了开放二孩政策对男女婴儿性别比例的影响。 关键词：灰色预测模型，宋健人口发展模型，孩次性别递进人口发展模型，生育新政策，城镇化

目录 一、问题重述 (3) 二、模型假设 (3) 三、符号说明 (3) 四、问题分析 (4) 五、模型的建立与求解 (5) 5.1 模型一灰色预测模型 (5) 5.1.1问题的进一步分析 (5) 5.1.2 模型的建立 (6) 5.1.3模型求解 (7) 5.1.4模型检验 (10) 5.1.5结果分析 (10) 5.2 模型二宋健模型 (11) 5.2.1问题的进一步分析 (11) 5.2.2 模型的建立 (11) 5.2.3模型求解 (13) 5.2.4模型检验 (14) 5.2.5结果分析 (15) 5.3 模型三孩次模型 (16) 5.3.1问题的进一步分析 (16) 5.3.2 模型的建立 (16) 5.3.3模型求解 (17) 5.3.4模型结果 (18) 5.3.5结果分析 (20) 六、模型的优缺点分析 (20) 七、对政府政策的建议 (21) 八、参考文献 (21) 九、附录 (23)