数学建模——灰色预测模型

数学建模——灰色预测模型

灰色预测模型（Grey Forecasting Model）是一种用于预测不确定性数据的数学模型。它适用于那些缺乏充分历史数据、不具备明显的规律性趋势或周期性的情况。灰色预测模型基于灰色系统理论，通过分析数据的变化趋势和规律，来进行预测。该模型在处理少量数据、缺乏趋势规律的情况下，具有一定的优势。

灰色预测模型的基本思想：

灰色预测模型基于“白化（Whitening）”和“黑化（Blackening）”的思想，将不确定性数据分为“白色”和“黑色”两部分。其中，“白色”代表已知数据，具有规律性和趋势，可以进行预测；而“黑色”代表未知数据，缺乏规律，需要进行预测。通过建立数学模型，将“白色”和“黑色”数据进行融合，得出预测结果。

灰色预测模型的基本步骤：

1.建立灰色数列：将原始数据分成“白色”和“黑色”两部分，构建灰色数列。

2.建立灰色微分方程：对“白色”数列进行微分，得到一阶或高阶微分方程。

3.求解微分方程：求解微分方程，得到预测模型的参数。

4.进行预测：利用已知的模型参数，对“黑色”数据进行预测，得出未来的趋势。

示例：用灰色预测模型预测销售量

假设你是一家新开设的小型餐厅的经营者，你希望预测未来三个月的月销售量。然而，你的餐厅刚刚开业不久，历史销售数据有限，且不具备明显的趋势。这种情况下，你可以考虑使用灰色预测模型来预测销售量。

步骤：

1.建立灰色数列：将已知的销售数据分为“白色”（已知数据）和“黑色”（未知数据）两部分。

2.建立灰色微分方程：对“白色”销售数据进行一阶微分，得到灰色微分方程。

3.求解微分方程：根据灰色微分方程的形式，求解微分方程，得到模型的参数。

4.进行预测：利用求解得到的模型参数，对“黑色”销售数据进行预测，得到未来三个月的销售量趋势。

这个例子中，灰色预测模型可以帮助你基于有限的历史销售数据，预测未来的销售趋势。虽然该模型的精确度可能不如其他更复杂的方法，但在缺乏充足数据时，它可以提供一种有

用的预测工具。

需要注意的是，灰色预测模型在应用时需要谨慎。它在处理一些简单、不具规律性的数据问题上效果较好，但对于复杂的、有明显趋势的数据问题，可能需要考虑更为复杂的预测方法。

2012数学建模C题：脑卒中发病环境因素分析的灰色模型

脑卒中发病环境因素分析的灰色模型 摘要 本文针对影响脑卒发病环境因素，运用统计分析方法，建立数学建模，讨论了脑卒发病与气压、气温、湿度等环境因素的关系。 针对问题一，首先处理Appendix-C1的数据，从2007年1月到2010年12月份，以月份为单位变量，统计出每月的脑卒中发病病例信息，然后对发病人数，发病年龄，发病人的职业，每月发病病例信息，用SPSS19，Excel软件进行统计分析；最后得到：男女发病比列大致维持在54%:46%；发病年龄主要集中于50-80岁之间，发病人的职业其中70岁左右为发病高峰期；发病人职业主要是以农民、工人、退休人员和离退人员为高危发病人群，其中以农民居多。 针对问题二：首先处理Appendix-C2的数据，以月份为单位变量，建立发 48 的数据矩阵，其次对数据矩阵，用病人数，气压、温度、湿度各种因素的9 中心化方法，变成一个无量纲的数据矩阵C，通过数据矩阵C,建立一个关于脑卒发病环境因素分析的GM(1,N)灰色模型, 最后理论计算与matlab2010编程，通过模型参数权重的大小，进而说明温度、气压、湿度对脑卒发病率的影响由强到弱。 针对问题三：根据问题一知道发病人中70岁左右为发病高峰期。男性的发病人数明显多于女性。发病人职业主要是以农民、工人、退休人员和离退人员为高危发病人群，其中以农民居多。他们发病的内因如：高血压、心脏病、糖尿病、高血脂症、吸烟、镰刀状细胞病等。所以在实际当中，对发病的预防和干预，这些因素都至关重要。而环境也影响这种疾病的诱发，从问题二的分析知:气温、气压、湿度各方面，对不同性别、年龄、脑卒中类型以及既往发病史人群脑卒中发病的影响是不同的，应针对不同人群采取各有侧重的预防脑卒中发病的措施。 关键词：灰色模型中心化温度气压湿度

数学建模

深圳人口与医疗预测 摘要 人口与医疗需求的关系是社会可持续发展的重要内容之一。本文拟从深圳人口发展及医疗现状的特征入手，以深圳人口与医疗需求协调发展为目标，由以往各年人口数据和老龄人口数据为基础，建立优化灰色动态预测模型GM（1，1）对未来十年深圳市总人口以及老年人口进行了预测，并利用MATLAB进行求解，并作图分析。优化灰色预测模型是在普通灰色模型进行一阶单变量变换之后的，准确性更高。通过分析预测结果数据得出人口发展情况和人口老龄化结构特点，指出深圳市人口及老龄化发展变化趋势。在此基础上我们进一步分析了影响医疗床位需求的因素，通过分析发现床位数随着时间推移以及人口的增加，呈现递增趋势，则我们用常住人口数对医疗床位做最小二乘估计得出全市床位数和人口数之间的关系并对全市床位数进行预测，进而根据各区床位数跟全市床位数之间的关系比例预测出各区床位数，最后我们为了更好的研究病床需求，以脑血管病为例研究其对医疗机构床位数的需求，据深圳统计年鉴数据得到该病高发年龄段。以2010年该病高发年龄段的人数为基础，分别求出2015和2020年该年龄段的人口与总人口的比率，再根据计算公式求得2015年和2020年较2010年床位增加比，即该病对脑血管类专科医院和综合医院脑血管科的床位需求。 通过以上计算和预测结果，我们分别从健康老龄化问题，人口结构问题，医疗机构的布局问题三个方面对相关部门提出了合理性的建议。 关键词：人口预测，灰色动态预测模型GM（1,1），医疗床位需求，最小二乘法， MATLAB

一．问题的重述 1.1问题的背景 深圳作为中国第一个经济特区，是中国口岸与世界交往的主要门户之一，吸引着中国大批务工人员的迁入，城市人口出现“倒挂”现象，常住人口数远远大于户籍人口数，由于人口发展极大地影响了医疗卫生事业的发展，我们应采用合理的方法预测未来十年的人口数量和结构，进而预测出未来深圳人口的医疗需求。1.2问题的提出 问题一：根据深圳统计年鉴及题中所给数据，建立模型合理预测出未来十年深圳人口的数量和结构，将预测出的人口数与医疗床位数进行拟合，从而预测出未来深圳的床位需求量。 问题二：根据资料所给数据及问题一所预测出的结果，根据深圳卫生统计中所给疾病的顺位，选择一种较为普遍的疾病作为研究对象，预测出该疾病在不同医疗机构的床位需求。 二．问题的分析 对于问题一，人口总数是人口变动各个因素（如出生、死亡和迁移等）综合作用的结果，具有灰色量的特征，我们选取了近十年人口数据（见表1），并用excel分析其大致趋势，即增长趋势（见图1），以此为数据建立灰色动态模型GM（1,1）来预测未来人口数。我们仅选用2000—2010这11年的人口总数作为变量数列，利用灰色系统理论和方法，建立灰色动态模型GM（1,1），并用MATLAB7.0进行预测深圳市未来十年人口数及老年人口数。人口数量的增减会引起医疗床位需求的变化，两者之间呈正比例关系，即医疗卫生资源的增长超过人口增长（或与之同步），人们的卫生服务需求就会得到保障，我们利用最小二乘法进行运算并预测未来十年全市及各区的床位数。

数学建模——灰色预测模型

数学建模——灰色预测模型 灰色预测模型（Grey Forecasting Model）是一种用于预测不确定性数据的数学模型。它适用于那些缺乏充分历史数据、不具备明显的规律性趋势或周期性的情况。灰色预测模型基于灰色系统理论，通过分析数据的变化趋势和规律，来进行预测。该模型在处理少量数据、缺乏趋势规律的情况下，具有一定的优势。 灰色预测模型的基本思想： 灰色预测模型基于“白化（Whitening）”和“黑化（Blackening）”的思想，将不确定性数据分为“白色”和“黑色”两部分。其中，“白色”代表已知数据，具有规律性和趋势，可以进行预测；而“黑色”代表未知数据，缺乏规律，需要进行预测。通过建立数学模型，将“白色”和“黑色”数据进行融合，得出预测结果。 灰色预测模型的基本步骤： 1.建立灰色数列：将原始数据分成“白色”和“黑色”两部分，构建灰色数列。 2.建立灰色微分方程：对“白色”数列进行微分，得到一阶或高阶微分方程。 3.求解微分方程：求解微分方程，得到预测模型的参数。 4.进行预测：利用已知的模型参数，对“黑色”数据进行预测，得出未来的趋势。 示例：用灰色预测模型预测销售量 假设你是一家新开设的小型餐厅的经营者，你希望预测未来三个月的月销售量。然而，你的餐厅刚刚开业不久，历史销售数据有限，且不具备明显的趋势。这种情况下，你可以考虑使用灰色预测模型来预测销售量。 步骤： 1.建立灰色数列：将已知的销售数据分为“白色”（已知数据）和“黑色”（未知数据）两部分。 2.建立灰色微分方程：对“白色”销售数据进行一阶微分，得到灰色微分方程。 3.求解微分方程：根据灰色微分方程的形式，求解微分方程，得到模型的参数。 4.进行预测：利用求解得到的模型参数，对“黑色”销售数据进行预测，得到未来三个月的销售量趋势。 这个例子中，灰色预测模型可以帮助你基于有限的历史销售数据，预测未来的销售趋势。虽然该模型的精确度可能不如其他更复杂的方法，但在缺乏充足数据时，它可以提供一种有

数学建模常用算法模型

数学模型的分类 按模型的数学方法分： 几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等 按模型的特征分： 静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线性模型和非线性模型等 按模型的应用领域分： 人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等. 按建模的目的分： 预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等 一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往往也和建模的目的对应 按对模型结构的了解程度分： 有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等 比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型. 按比赛命题方向分： 国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016美赛六个题目离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策 数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法 该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以

来检验自己模型的正确性,比较好用的算法 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo软件实现 4、图论算法 这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用 7、网格算法和穷举法 当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具 8、一些连续离散化方法 很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的 9、数值分析算法 如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用

灰色模型算法

灰色预测算法及相关程序

1 引言 (3) 2算法的基本原理 (3) 2.1 GM（1，1）模型： (3) 2.2生成数 (4) 2.2.1累加生成 (4) 2.2.2累减生成 (5) 3算法的具体实现流程 (6) 3.1 算法流程图 (6) 3.2 实现步骤 (8) 3.3 数据准备与预处理 (10) 4 算法程序实现 (10) 4.1 程序使用说明 (10) 4.2 程序源代码 (11) 4.3 程序运行 (16) 4.3.1程序运行及运行环境说明 (16) 4.3.2 输入数据 (16) 4.3.3 输出数据 (16) 5 参考文献 (17)

灰色预测算法 1 引言 灰色预测（grey prediction）是利用灰色系统理论就灰色系统所作的预测．灰色系统理论认为，尽管系统表象复杂，数据散乱，信息不充分，但作为系统，它必然有整体功能和内在规律，必然是有序的．现有的分析方法大多依据过去的大量数据，按照统计方法分析其规律，这样不仅受数据量的限制，而且准确程度不高．而灰色系统理论把随机量看作是在一定范围内变化的灰色量，对灰色量的处理不是寻求它的统计规律和概率分布，而是对原始数据加以处理，将杂乱无章的原始数据变为规律性较强的生成数据，通过对生成数据建立动态模型，来挖掘系统内部信息并充分利用信息进行分析预测． 目前，灰色系统理论用于预测主要通过GM（m，n）模型，该模型是灰色系统理论的量化体现，可用于以下几个方面的预测： （1）数列预测：对某个事物发展变化的大小与时间进行预测． （2）灾变预测：预测灾变发生的时间或者说是异常值出现时区的分布．如人体的血压过高或过低的时间预测． （3）季节性灾变预测：对发生在每年特定时区的事件和命题作预测． （4）拓扑预测：即事物整体的预测，亦称波形预测．其特点是对于预先给定的多组数值建立GM（1，1）模型群，根据预测结果构造出整个波形．（5）系统预测：对系统中众多变量间相互协调关系的发展变化所进行的预测． 2算法的基本原理 2.1 GM（1，1）模型： 灰色模型GM（1，1） GM（1，1）的含义为1阶，1个变量的灰色模型，它是在数据生成的基础上建立如下灰微分方程： )0( ( ) +) ()1( k b az k x=

MATLAB + 灰色预测程序,数学建模

MATLAB实现灰色预测程序 灰色预测 很好的东西呐，······~~··`~··~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~````````````` fon [feval,au,ec,C,P]=GM1_1(x, r) if nrgin<2 myar=0; end [mx,nx]=size(x); if mx==1 x=x'; end n=length(x); for i=2:n z(i-1)=0.5*x1(i)+0.5*x1(i-1); end Y=x(2:end); B(:,1)=-z; 2)/au(1)); yc(1)=x(1); for k=1:n+myear-1

y1(k+1)=pm*exp(-au*k)+a(2)/au(1); yc(k+1)=y1(k+1)-y1(k); end feval=yc'; ex=ec./x; r=0; rou=0.5; for k=1:n r=r+rou* s(ec(k))+rou*max(a (ec))); end r=r/n; %%==== %原始序列的标准差 s1=std(x); %计算残差的标准差 s2=std(ec);

%计算C C=s2/s1; %计算后验概率 deta=ec-mean(ec); index=fineta)<0.6745*s1); P=length(index)/n; %% if C<0.35&P>0.95 disp('预测精度为一级') elsP>0.8 disp('预测精度为二级') elseif >0.7 disp('预测精度为三级') else disp('预测精度过低，需要对模型进行修正') end if r>0.6 disp('关联度符合检验要求') end

灰色预测模型原理

灰色预测模型原理 灰色预测模型（Grey Prediction Model）是一种基于灰色系统理论和数学建模方法的预测模型。灰色系统理论是我国学者黄金云教授于1982年提出的一种系统理论，它是研究非确定性和不完备信息系统的一种新方法，可用于研究多变量、小样本和非线性系统。 灰色预测模型主要基于灰色数学建模方法，通过对已知的部分序列数据进行建模和预测，来推测未知的序列数据趋势。它适用于研究数据量小、信息不完备、非线性关系复杂的系统。下面将简要介绍灰色预测模型的原理、模型建立过程以及一些应用案例。 1. 灰色预测模型的原理 灰色预测模型的核心思想是通过对已知数据进行灰色关联度的度量，从而建立出合适的数学模型，进行未来数据的预测。其基本原理可以概括为以下五个步骤： （1）建立灰色微分方程：根据原始数据的特点，确定合适的灰色微分方程，通常使用一阶或高阶灰色微分方程。 （2）求解灰色微分方程：根据所选择的灰色微分方程，求解其参数，得到模型的特征参数。 （3）模型检验：检验所建立的灰色预测模型的拟合程度和误差是否符合要求。

（4）进行灰色关联度分析：根据已知数据的变化规律，计算各个因素的灰色关联度，确定相关因素的重要性。 （5）进行预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测和分析，得出预测值。 2. 模型建立过程 灰色预测模型的建立过程中，通常包括以下几个步骤： （1）数据的建立与处理：对原始数据进行筛选、预处理和归一化处理，以满足模型的要求。 （2）建立灰色微分方程：从已知数据中提取主要特征，并根据数据的特点选择合适的灰色微分方程。 （3）求解灰色微分方程：根据所选的灰色微分方程，通过累加生成序列、求解参数等方法，得到模型的特征参数。 （4）模型的检验：根据已知数据的拟合程度和误差范围，评估所建立的灰色预测模型的准确性和可靠性。 （5）模型的应用与预测：利用已建立的模型进行未来数据的预测和分析，得出预测结果。 3. 应用案例 灰色预测模型在实际应用中具有广泛的应用范围，以下是一些常见的应用案例：

数学建模灰色预测GM(1,1)

灰色预测GM （1，1） 算法原理： 灰色模型建立的步骤 Step1：对)0(X 作1－AGO ，得序列 (1)(1)(1)(1)((1),(2),,())X x x x n = Step2：对)0(X 作准光滑性检验。由 )1()()()1() 0(-=k k k x x ρ 当()0.5k ρ<时准光滑条件满足。 Step3：检验)1(X 是否具有准指数规律。由 )1()()()1() 1()1(-=k k k x x σ 得29.1)5(,36.1)4(,54.1)3()1()1(≈≈≈σσ 当k>3时，]5.1,1[)()1(∈k σ ，5.0=δ，准指数规律满足，故可对)1(X 建立GM(1,1)模型。 Step4：对)1(X 作紧邻均值生成。令 )1(5.0)(5.0)()1()1()1(-+=k k k x x z 得 (1)(1)(1)(1((2), (3),,())Z z z z n = 于是 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=1)(1)3(1)2()1()1()1(n B z z z ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()3()2()0()0() 0(n Y x x x Step5：对参数列T b a a ],[ˆ=进行最小二乘估计。得 =a ˆ1)(-B B T T B Y Step6：确定模型 (1) (1)d a b dt x x +=

及时间响应式 a b a b k e x x k a +-=--)1()0()1())1(()(ˆ Step7：求)1(X 的模拟值))5(ˆ),4(ˆ),3(ˆ),2(ˆ),1(ˆ(ˆ)1()1()1()1()1()1(x x x x x X = Step8：还原求出)0(X 的模拟值。由(0)(1)(1)(1)(1)()()()(1)ˆˆˆˆk k k k x x x x α==--得(0)(0)(0)(0)(0)(0)ˆˆˆˆˆˆ((1),(2),(3),(4),(5))X x x x x x = Step9：检验误差。 残差：=)(k ε)()0(k x －)(ˆ) 0(k x 相对误差：)(|)(|)0(k k x k ε=∆ 残差平方和：εεT s = 平均相对误差： 211n k k n =∆=-∑∆ 模型精度检验 1.残差检验（最常用）； 2.关联度检验； 3.后残差检验 模型的特点 首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。 残差GM(1,1)模型 当GM(1,1)模型的精度不符合要求时，可用残差序列建立GM(1,1)模型，对

数学建模之灰色预测模型

一、灰色预测模型 简介（P372） 特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。 优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。 缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。 1、GM(1,1)预测模型 GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。 1.1模型的应用 ①销售额预测 ⑤基于1.2步骤2)，则可用光滑比为序列(0)y 建立模型 (1) dx dt ③构造数据矩阵B 及数据向量Y 其中：(1)(1)(1()0.5()0.5(1),2,3,,.z k x k x k k n =+-=） ④由 求得估计值ˆa =ˆb = ⑤由微分方程（1）得生成序列预测值为 则模型还原值为 ⑥精度检验和预测 残差

相对误差 相对误差精度等级表 级比偏差 若()k ρ<0.2则可认为达到一般要求；若()k ρ<0.1，则可认为达到较高要求。 利用matlab 求出模型的各种检验指标值的结果如表 经过验证，给出相应预测预报。 2、新陈代谢模型 灰色新陈代谢模型是一个不断考虑新信息的预测模型，它考虑了随着时间推移相继进入系统的扰动因素带来的影响，在不断补充新信息的同时，及时去掉旧信息，使整个系统一直处于更新和发展的过程中，更符合现实世界的变化。 与优点,2.12.2步骤(0)(2), ,())x n (0)(0)(2),,(),x n x 模型。 3,波形预3.1②运量需求不平衡航线下客流量预测（下载文档） ③网络舆情危机预警（下载文档） 3.2步骤 ①求出序列折线 由原始数据列((1),(2), ,())x x x x n =得出序列X 的k 段折线图形为 序列X 的折线为 ②选取等高线 令{}{}max min 11(),()max min k n k n x k x k σσ≤≤≤≤==则有

(整理)灰色预测法

灰色预测理论在数学建模中的应用 作者：胡金杭 摘要：灰色系统理论在自动控制领域中已取得了广泛的应用，本文针对灰色预测理论的特点，分析了它在数学建模中的具体应用。首先，本文对如何将实际问题转化为灰色GM(1,1)预测模型给了具体的步骤，同时针对模型的特点，可以对其的预测精度进行后验差检验，随后，针对基本灰色GM(1,1)预测模型单调性的特点，我们可以采用改进的等维灰数递补模型，这样可以大大的提高模型对实际问题的预测精度。 关键字：GM(1,1)预测模型后验差检验等维灰数递补模型 引言 现实中的很多实际问题，都需要通过分析现有的数据，对该问题未来的发展趋势进行预测，随后决策者参考预测得到的结果，就可以制定合理的解决方案。 在预测分析中，最基本的预测模型为线性回归方程，针对一些规律性较强的数据，该模型能作出精确的预测，但在实际中，我们得到的常是一些离散的，规律性不强的数据，为解决此类问题，线性的方法就不适用了，此时，就需要采用灰色预测的方法。 灰色预测理论是将看似离散的数据序列经数据变换后形成有规律的生成数列( 如累加生成、累减生成) ，然后对生成数列建立微分方程，得到模型的计算值后，再与实测值比较获得残差，用残差再对模型作修正，然后便可用建立的灰色模型对该问题进行预测。 一、具体的灰色GM(1,1)预测模型的建立： 我们设已知数据变量组成序列，则我们可得到数据序列 ，用1-AGO生成一阶累加生成序列为： 其中 (1-1) 由于序列具有指数增长规律，而一阶微分方程的解恰是指数增长形式的解，因此我们可以认为序列满足下述一阶线性微分方程模型

(1-2) 我们利用离散差分方程的形式对上微分方程可以得到下矩阵形式： (1-3) 简记为： (1-4) 式中；； 上述方程组中，和B 为已知量，A 为待定参数。可用最小二乘法得到最小二乘近似值。因此，式（1－4）可改写为 式中，E —误差项。 利用矩阵求导公式，可得 (1-5) 解得结果代入（2－2）中，我们可以得到 (1-6) 写成离散形式（令），得到GM(1,1)模型的时间响应函数 （K =1，2，…）(1-7) 我们对其做累减还原，即可得到原始数列的灰色预测模型为： （K =1，2，…） (1-8) 将相关数据代入公式中进行运算，我们得到系数的具体值，即得到了具体的预测公式。 二、灰色模型精度的后验差检验：

数学建模案例分析灰色系统方法建模2灰色预测模型GM11及其应用

§2 灰色预测模型GM(1,1)及其应用 蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。 为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。 一、灰色预测模型GM （1,1） 建模步骤如下： （1）GM （1,1）代表一个白化形式的微分方程： u aX dt dX =+)1() 1( （1） 式中，u a ,是需要通过建模来求得的参数；) 1(X 是原始数据) 0(X 的累加生成（AGO ）值。 （2）将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素，这就是数据处理。表示为： ∑==k n n X k X 1 )0() 1()()( （2） 不直接采用原始数据) 0(X 建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规律， 然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。 （3）对GM （1,1），其数据矩阵为 ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)] 2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B （3） 向量T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0( = （4）作最小二乘估计，求参数u a , N T T Y B B B u a 1)(ˆ-=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=α （4） （5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为 a u e a u X t X at +-=+-))1(()1(ˆ)0()1( （5） 这就是要建立的灰色预测模型。

数学建模+灰色预测模型+MATLAB

§12.5 灰色预测 我们通常所说的系统是指：由客观世界中相同或相似的事物和因素按一定的秩序相互关联、相互制约而构成的一个整体．例如：工程技术系统、社会系统、经济系统等．如果一个系统中具有充足的信息量，其发展变化的规律明显、定量描述方便、结构与参数具体，则这种系统通常称为白色系统．如果一个系统的内部特征全部是未知的，则称此系统为黑色系统．如果系统内部信息和特征是部分已知的，另一部分是未知的，这种系统称为灰色系统．例如：社会系统、农业系统、经济系统、气象系统、生物系统等．对于这类系统，内部因素难以辨识，相互之间的关系较为隐蔽，人们难以准确了解这类系统的行为特征．因此，对于这类问题进行定量描述，即建立模型难度较大．区别白色系统与灰色系统的重要标志是系统内各因素之间是否具有确定的关系． 灰色系统分析方法主要是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分利用数量不多的数据和信息寻求相关因素自身与各因素之间的数学关系，建立相应的数学模型．目前，灰色系统理论在实际中已得到了广泛的应用，例如：在工程技术、经济管理、气象预报以及政治、社会、工业、农业等领域都取得了一定的应用成果． 我们往往要对农业问题、商业问题等做未来的预测工作，另外，进行军事战争以及治理生态环境也需对未来的发展情形做一可靠的分析，这就产生了灰色预测．灰色预测是对灰色系统问题进行未来的预测，实际问题中，应用最多的灰色预测模型是以GM(1,1)（即GM(1,N )当N=1时的特例）模型为基础的． 12.5.1 GM(1,1)模型的建立 设X (0) =(X (0) (1),X (0) (2),…,X (0) (n ))，做1－AGO ，得 (1)(1)(1)(1)((1),(2),,()) X X X X n = (1)(1)(0)(1)(0)((1),(1)(2), ,(1)())X X X X n X n =+-+ 则GM(1,1)模型相应的微分方程为： (1) (1)dX aX u dt += （1） 式中：a 称为发展灰数；μ称为内生控制灰数． 设ˆα =(a ,μ)T ，按最小二乘法得到 11ˆ()T T B B B Y α -= （2） 其中

数学建模之火车客流量预测

目录 铁路旅客流量预测客 (1) 摘要 (1) 一．问题重述 (1) 1.1引言 (1) 1.2问题的提出 (2) 二．问题分析 (2) 2.1根据不同的限制条件整理数据，分析数据的分布 (2) 2.2利用问题一中的结论，建立数学模型 (2) 三．模型假设与符号说明 (2) 3.1.1模型假设 (2) 3.1.2符号说明 (2) 3.2.1模型假设 (3) 3.2.2符号说明 (3) 四．模型的建立与求解 (3) 4.1.1 数据分析处理 (3) 4.1.2利用信息增益的计算公式求出各个特征属性的信息增量 (4) 4.1.3 根据图表分析在不同的特征属性内部客流量的变化规律 (6) 4.1.3.1按车的种类分析 (6) 4.1.3.2按站点分析 (7) 4.1.3.3按时段分析 (8) 4.1.3.4按区间大小分析 (8) 4.2.1灰色预测 (9) 4.2.2问题分析与准备 (10) 4.2.3预测模型的建立 (13) 五．模型的优缺点 (14) 5.1 优点 (14) 5.2 缺点 (14)

六．参考文献 (15) 七． (15) 八．附录 (16)

铁路旅客流量预测客 摘要 铁路客流量预测，可以为制定合理的价格、改善客运站组织方式、优化铁路车辆资源配置、提高客运设备的服务能力提供帮助，对提高铁路客运运输效率具有重要的意义。 影响客流量的因素有很多，例如车次，时间，车站，区间，天气，节假日等。现在我们分析前四个因素对客流量的影响，我们首先引用信息熵概念来计算具体哪个因素对客流量的影响最大，并通过ID3算法生成决策树，根据所得生成树可以快捷方便的分析客流量规律。 在对原始数据进行研究分析后，车站对于客流量的影响最为显著，于是将车站这个因素选定为了主要变量，然后从这个主要变量着手，核心思想是通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化，这种模型对于挖掘和利用原始数据有很好的帮助，同时参考了在问题一中所得出的客流量的一般规律，最终采用累减生成的放松得到了一组灰色序列以弱化数据的随机性和预测未来客流量。 关键字：信息熵ID3算法灰色预测模型 一．问题重述 1.1引言 随着《关于改革完善高铁动车组旅客票价政策的通知》的发布，高铁动车票价将根据市场情况自行定价。铁路部门为了保持市场的竞争力，实现利润最大化，需要了解日常铁路客运流量、淡旺季变动指数、冷热门线路的体情况，而其中对客流的预测是准确把握市场的首要条件，因此铁路客流预测的研究也成为铁路客运服务需要重点研究的方向。 然而铁路客流量受多种因素的影响，比如：“春运”期间铁路客流量骤增，导致铁路运力无法满足客户乘车需求，同时也给铁路客运组织带来巨大压力。在非节假日期间，一些冷门线路区间上座率不足，造成铁路车辆资源的浪费。因此铁路客流量预测，可以为制定合理的价格、改善客运站组织方式、优化铁路车辆资源配置、提高客运设备的服务能力提供帮助，对提高铁路客运运输效率要的意义。 1

台风论文(最终成果)数学建模(免积分)

论文题目：台风路径的预测 姓名：陈子浙专业：电力工程及其自动化0601 姓名：王天福专业：农业工程及其自动化06K1 姓名：吝洪涛专业：机械工程06k3 摘要 台风给广大的地区带来了充足的雨水，成为与人类生活和生产关系密切的降雨系统。但是，台风也总是带来各种破坏，它具有突发性强、破坏力大的特点，是世界上最严重的自然灾害之一。准确及时的台风预报，可以尽大可能减少生命和财产的损失。 台风预测是在原有数据的基础上预测将来的数据。台风是由于气压差的作用而形成和行走的，

在海平面上影响台风行走路径和风速的因素有很多，例如陆地的影响和海平面的湿度、温度等因素的影响。 通过对不同插值方法的比较，结合假设，考虑到台风的运动轨迹应该是时间的连续光滑函数，下面采用三次样条插值模型，对初始点及预测点之间的缺失点进行补充。 本文利用分型分布模型预测台风的未来位置，用首尾相接的分段折线将全部数据点一次相连，成为分段变维分型。利用这种方法，算得分维数D，从而预测未来二十四小时的经纬度。 其次，本文利用灰色预测模型预测台风的未来风速，利用灰色预测方法建立风速的GM（1，1）模型，从而预测了未来24小时的风速。 本文利用Matlab计算得经度的分维数D和纬度的分维数D’，并根据模型分别预测出未来24小时的经纬度： 根据灰色预测预测出未来24小时的风速，根据Matlab编程计算获得。 关键词：分维分布模型；灰色预测；插值预测； 一、问题的提出 台风给广大的地区带来了充足的雨水，成为与人类生活和生产关系密切的降雨系统。但是，台风也总是带来各种破坏，它具有突发性强、破坏力大的特点，是世界上最严重的自然灾害之一。准确及时的台风预报，可以尽大可能减少生命和财产的损失。请利用附件中的数据，预测未来24小时内的台风的位置和风速。

中国人口增长模型(灰色预测模型)

中国人口增长模型之邯郸勺丸创作 论文摘要：人口问题涉及人口质量和人口结构等因素，是一个复杂的系统工程，稳定的人口发展直接关系到我国社会、经济的可持续发展。如何从数量上准确的预测人口数量以及各种人口指标，对我国制定与社会经济发展协调的健康人口发展计划有着决定性的意义。近年来我国的人口发展出现了许多新的特点，这些都影响着我国人口的增长。鉴此，本文依据灰色预测方法和年龄移算理论，基于人口普查统计数据，从人口系统发展机理上展开讨论。 首先根据灰色预测理论，建立了一级的灰色预测模型，再将近几年我国的人口数量带入模型，便得到未来较短时间内我国的人口数量。所得结果为我国总人口将于2006年、2007，2008，2009，2010年分别达到13.1495，13.2212，13.2909，13.3587，13.4246亿人。 然后分析人口发展方程中按年龄死亡率及生育模式等参数函数的内在变更规律，及其对总人口的影响，建立了莱斯利主模型，并在此基础上针对各参数函数的分歧特点，建立了生育模型和死亡模型等子模型。在将所得子模型和主模型结合，依据当前人口结构现状对我国的人口做了长期的预测。所得结果是我国总人口将于2010年、2020年、2030年分别达到13.51058， 14.38295，14.78661亿人与国家发展战略陈述数据一致。

最后对所建模型的优缺点进行了客观的评价。 一、问题的提出 1.1 问题： 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究陈述》还做出了进一步的分析。 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和弥补新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。 1.2 布景分析：

数学建模城市空气质量评估及预测

城市空气质量评估及预测 摘要: 本文对我国十个城市的空气质量进行了深入的研究，利用统计学等相关原理，结合我国现行的“创模”和“城考”体系中的环境空气质量指标，就城市空气污染程度，空气质量的预测和影响因素等问题建立出相应的数学模型。 利用层次分析法和Perron-Frobenions等相关原理建立数学模型对中国十大城市的空气污染严重程度给出分析并排名。运用GM（1,1）灰色预测模型，结合相关数据运用excel软件进行数据统计，对成都市2010年11月份的空气质量状况进行预测。使用优势分析原理分析空气中可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮等因素对空气质量的影响程度。关键词：空气质量，层次分析，判断矩阵，相对权重，排名，灰色预测，优势分析，可吸入颗粒，二氧化硫，二 氧化氮 一、问题的提出 1.1背景介绍 随着中国经济的进一步发展，环境问题已是制约我国发展的关键因素之一，而环境问题最突出的就是空气污染。

“十一五”“创模”考核指标“空气污染指数”要求：API 指数≤100的天数超过全年天数85%。“城考”依据API 指数≤100的天数占全年天数的比例来确定空气质量得分。“API指数≤100的天数”，通常又被称为空气质量达到二级以上的天数。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国空气质量做出分析和预测是一个重要问题，同时通过对影响空气质量因素的分析，以正确做好环境保护措施也极为重要。 本文主要针对以下几个问题进行相关分析： （1）利用已知的数据，建立数学模型通过分析给出十个城市空气污染严重程度的科学排名。 （2）建立模型对成都市11月的空气质量状况进行预测。（3）收集必要的数据，建立模型分析影响城市空气污染程度的主要因素是什么。 二、基本假设 1）表格中已有的数据具有权威性，值得相信，具有使用价值。 2）空气质量相同等级的污染程度相同。 3）假设该市各种影响空气质量的软因素（如工业发展，人口数量）保持平稳变化。 4）不考虑突发事件即人为因素（如工业事故）造成的空气质量突变。 5）假设各种因素对环境的影响最终主要表现在可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮上，不考虑其他随机因素的影响。

数学建模——灰色理论

第六章灰色系统预测 本章重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM（1，1）模型，GM（1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用举例。 6.1灰色系统理论的产生和发展动态 1982邓聚龙发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。 1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。 1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。 6.2灰色系统的基本原理 6.2.1灰色系统的基本概念 我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。系统信息不完全的情况有以下四种： 1.元素信息不完全 2.结构信息不完全 3.边界信息不完全 4.运行行为信息不完全 6.2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别 主要在于对系统内涵与外延处理态度不同； 研究对象内涵与外延的性质不同。 灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。 “黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内

涵均注重的方法。 6.2.3灰色系统的基本原理 公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。 公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。 公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。 公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。 公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。 公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。 6.2.4灰色系统理论的主要内容 灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G ，M ）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。 灰色关联分析 灰色统计 灰色聚类 6.3灰色系统预测模型 灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。 6.3.1灰色系统理论的建模思想 下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。考虑4个数据，记为)4(),3(),2(),1()0()0()0()0(

大学生数学建模竞赛模板--sars模型灰色预测

SARS对经济指标的影响 王海燕徐昊天 吴德春 摘要 本文针对SARS 疫情传播对经济指标影响的问题，建立灰色预测模型，得到03 年预测数据，并与实际数据作比较，进而研究SARS疫情对该市各经济指标的影响及 其程度。为研究SARS疫情对该市各经济指标的影响，我们作出了不同经济指标的散 点图和数据列表，使得对问题的研究更直观。 （1）SARS对零售业的影响 为简化计算，我们以1997--2002年年总值构造参考数列，得到一个预测各年总值的方程。利用方程先预测出2003年零售额的年总值，根据各月综合服务业数额在年总值中所占比例求得各月预测值。利用MATLAB软件求解，得到得预测值与实际值有一定的相差但相差并不大。从表三我们得出结论：SARS疫情的传播对零售业从4月份开始产生影响，5、6月份影响最大，10月份以后影响就很小了。 （2）SARS对海外旅游业的影响 以1997--2002年每年同期的数据构造参考数列，可以得到1-12月的共12个预 测方程，即可预测2003年各月的海外旅游人数。利用MATLAB软件求解，得到的预 测值和实际值相差很大，说明从4月份开始SARS疫情就对旅游业产生影响，尤其5、 6月份影响最大，但10月份以后影响就变小甚至没有影响了。 （3）SARS对综合服务业总额的影响 以1997--2002年年总值构造参考数列，得到一个预测各年总值的方程。利用方程 先预测出2003年的年总值，再根据各月综合服务业数额在年总值中所占比例求得各 月的预测值。利用MATLAB软件求解，得到得预测值与实际值是很一致的。因此，我 们得出结论：SARS疫情的传播对综合服务业没有影响。 另外，本文对模型的误差进行了准确的分析，使得结论更加科学更加有说服力。虽然模型的建立都是采用了灰色预测法，但在具体的数据处理时，采用了不同的方法，使模型更加丰满，更有特色。 关健词：经济指标；灰色预测；MATLAB；相对误差

灰度预测模型数学建模论文

承诺书 我们仔细阅读了全国大学生数学建模的竞赛规则（https://www.wendangku.net/doc/8919151905.html,）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们的参赛（报名）队号为： 参赛组别：本科组 参赛队员(先打印,后签名,并留联系电话) ：

题目节能减排 摘要 本文通过建立模型对全国各省会城市的大气环境质量做出定量的综合评价，并对未来各地区大气的污染状况进行分析比较。经过查阅资料得到大量数据，利用MATLAB软件编写程序计算得到了各城市的空气质量综合评价模型；通过曲线拟合和灰度预测模型，分别预测出了未来空气质量的趋势，并比较实际数据得到较好的模型；利用EXCEL软件将各城市每年的空气质量绘制成各种图表，给人更加直观的感受。 在大气环境质量的量化问题上，通过计算空气质量指数AQI来综合评价各城市的空气质量。利用MATLAB软件编写程序计算得到结果，如2010年空气质量最好的三个城市为海口、拉萨、呼和浩特，其AQI分别为40、48、59；空气质量最差的三个城市为兰州、乌鲁木齐、西安，其AQI分别为10.5、91.5、88。在空气质量预测问题上，我们分别尝试了曲线拟合与灰度预测两种方法，将2011年的预测值和实际值比较，发现灰度预测在数据量较少情况下更具有优势。基于此在后续问题处理上都沿用了灰度预测模型，并预测了2012年的空气质量指数和不节能减排情况下2007至2011年的空气质量指数。 解决问题3、4时，用之前建模得到的数据，用EXCEL软件绘制图表，清晰直白的分析节能减排对大气环境质量改善所起作用，文章的最后给出了下一步实施节能减排提出建议。 关键字：AQI MATLAB 灰度预测