灰色预测模型GM

灰色预测模型GM (1,1)

§1 预备知识

平面上有数据序列()()(){}n n y x y x y x ,,,,,,2211 ，大致分布在一条直线上。

设回归直线为：b ax y +=，要使所有点到直线的距离之和最小（最小二乘），即使误

差平方和()∑=--=n

i i i b ax y J 1

2

最小。J 是关于a , b 的二元函数。由

()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅--⋅=∂∂=-⋅--⋅=∂∂∑∑==0

12021

1

n

i i

i i n

i i i i i b x a y b J x b x a y a J

()

()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--⇒∑∑==001

1

2

n

i i i n i i i i i b a y bx ax y x 则得使J 取极小的必要条件为：

⎪⎩⎪⎨⎧=

+=+⋅∑∑∑∑∑=i i

i

i n i i i y nb x a y x x b x a 1

2

（*）

()()

()()()

()()⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎨⎧--=--=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22

2

2

2i i i i i i i i i i i i i x x n y x x x y b x x n y x y x n a (1) 以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。下面提一种观点，上述算法，本质上是用实际观测数据i x 、i y 去表示a 与b ，使得误差平方和J 取最小值，即从近似方程

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b b b x x x a y y y n n 2121 中形式上解出a 与b 。把上式写成矩阵方程。 令 ⎪

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=n y y y Y

21，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=∴b a x x x Y n 1112

1

x

令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=1112

1n x x x B ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a B Y 左乘T B 得

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=b a B B Y B T T

注意到B T B 是二阶方阵，且其行列式不为零，故其逆阵(B T B )-1存在，所以上式左乘

()

1

-B B T

得

[]

Y B B B b a T T

1

-=⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛

（2）

可以具体验算按最小二乘法求得的结果（1）与（2）式完全相同，下面把两种算法统一一下：

由最小二乘得结果：

方程（*） ⎪⎩⎪⎨⎧=

+=+⋅∑∑∑∑∑=i i

i

i n i i i y nb x a y x x b x a 12

方程组改写为：

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∑∑∑n n i i

i y y y x x x b a n x

x

x 212

12

11

1

令：⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭⎫

⎝⎛=11121n x x x B ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=n y y y Y 21，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a a ˆ （*）化为

()

Y B a

B B T T =ˆ 所以

()

Y B B B a

T T ⋅⋅=-1

ˆ 以后，只要数据列(){

}()n j y x j j ,,2,1, =大致成直线，既有近似表达式 n i b

ax y i i ,,2,1 =+=

当令：⎪

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=n y y y Y 21，⎪⎪

⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛=11121n x x x B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a a ˆ 则有 a

B Y ˆ= ()

y B B B a

T T ⋅⋅=-1

ˆ

（2）

（2）式就是最小二乘结果，即按最小二乘法求出的回归直线b ax y +=的回归系数a 与b 。

推广：

多元线性回归

设有m 个变量m x x x ,,,21 ，每个自变量有n 个值，因变量y 有n 个值

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨

⎧++++=++++=++++=mn

m n n n m m m m x b x b x b a y x b x b x b a y x b x b x b a y n 22112

22212121212111121 （1）

如n 个人，每人有m 个指标。

女生： 人： 1x （体重） 公斤

2x （胸围） 厘米

3x （呼吸差） 厘米 k y （肺活量）

毫升 1 11x =35 21x =69 31x =0.7

1600 2 12x =40 22x =74 32x =2.5 2600 3 13x =40 23x =64 33x =2.0 2100

4

14x =42 24x =74 34x =3 2650 5

15x =37 25x =72 35x =101 2400 6

16x =45 26x =68 36x =105 2200 7

17x =43 27x =78 37x =403 2750 8

18x =37 28x =66 38x =2 1600 9

19x =44 29x =70 39x =302 2750 10

10x =42 20x =65

30x =3

2500

方程组（1）是n 个方程m 个数据

⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=m mn n

n

m m b b b a x x x x x x x x x Y

21212221211211111 用X 表示增广矩阵：n 行，m +1列

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a X Y ˆ，⎪⎪

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=m b b b b 21ˆ，⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅b a X X Y X T

T ˆ ()

Y X X X b a T T ⋅=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∴-1

ˆ 其中X X T 为()()11+⨯+m m 阶矩阵。 由此可解出：m b b b a ,,,,21

注意：方程组中m b b b a ,,,,21 不知，意思是：如果线性关系成立

m m x b x b x b a y ++++= 2211

当m b b b a ,,,,21 为多少时，i y 到m m x b x b x b a ++++ 2211的距离之和为最小。 或说，当所有i y 到(m m x b x b x b a ++++ 2211)距离之和为最小时的m b b b a ,,,,21 就是我们要求的最佳系数。

§2 GM 模型前言

为什么要讲GM (1,1)模型？

80年代初，华中理工大学邓聚龙教授提出了灰色系统理论，先后发表过灰色控制、灰色预测、灰色决策、灰色系统理论等多部专著，较详细在阐述了灰色系统理论的产生、理论、方法与应用。在80年代中后期到90年代初，举行了十数次国际、国内有关灰色系统理论的研讨会，在全国形成一股灰色系统理论研究与应用热潮。邓聚龙先生因灰色系统理论方面的供献，获得国家科技进步一等奖。 什么叫灰？用邓先生自己的话来讲：“完全已知的系统称作白系统；完全未知的系统称作黑系统或黑箱；部分已知、部分未知的系统称作灰色系统。”在此，已知或未知到什么程度没有具体说明。所以，“灰”的内涵不是很清楚。举个例子讲，已知某量的真值x 在闭区间[a , b ]上，不可能落在[a , b ]之外，但具体落到区间[a , b ]的什么位置则是完全不知道的。那么，这个量称作灰量，可具体表示为[a , b ]，称其为区间灰数。显然，区间灰数

是客观实际中存在的，除了知道真值x 在[a , b ]上，而不在[a , b ]之外，不再有任何已知

信息，这就是灰量的最基本原型。

由于灰色系统理论从一开始就没有建立在严格的集合论基础之上，使之缺乏必要的数学支撑，这大大限制了灰色系统理论和应用的发展。虽然灰色系统理论在控制、预测、决策等领域有着广泛的应用；但就其精华而言，还在于GM (1,1)模型。即便是现在，在特定情况下，GM (1, 1)还有用，还在被应用，并且预测效果很好。其使用限制条件是：原始数据单调，预测背景呈现稳定发展趋势；其优势是：适用于原始观测数据较少的预测问题，由于数据量很小，无法应用概率统计方法寻找统计规律，而GM (1, 1)模型恰恰弥补了这个空白，由于GM (1, 1)算法简单易行，预测精度相对较高，所以在一些特定问题中，GM (1, 1)仍然是决策者乐于选择的预测模型。

上面讲到的背景稳定的发展趋势是指下述情况：如化工设备的腐蚀量，随着使用时间的推移腐蚀不断增加，呈现出稳定的发展趋势，并且腐蚀量的测量通常比较困难(如停产才能测量)，所以实际观测数据较少。这类问题很适合GM (1, 1)模型预测。

§3 GM (1, 1)预备知识

3.1回忆一阶线性常系数微分方程

u ax dt

dx

=+ (1)

其解为：

a u e a u x x at +⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=-)0(

(2)

其中a ，u 为给定的常数。

~

一阶线性常系数微分方程(1)的解(2)是指数型曲线，如下图所示

at e x -=图象 ()at e a u x x -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0图象 ()a u e a u x x at +⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=-0图象

3.2在预备知识中，讲述了最小二乘法：

若数据点)(i i y x ，n i ,,2,1 =近似落在一条直线上，设这条直线为y ＝ax +b ，a , b 为参数。理想的直线要求：每个数据点)(i i y x ，n i ,,2,1 =，到该直线的距离平方和最小――即最小二乘。用最小二乘法求出参数a 与b ，这相当于形式上的解线性方程组：

b ax y i i += n i ,,2,1 = (3)

当令

⎪

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=n y y y y 21，⎪⎪

⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛=11121n x x x B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a a ˆ 则（3）化为

a

B Y ˆ=，()

a B B Y B T T ˆ= ()

Y B B B a

T T ⋅=∴-1

ˆ

（4）

由此求出a b a ˆ=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛，可得回归直线 b ax y +=

（5）

上述形式上的求解结果，本质上是用最小二乘法求解回归参数的过程，故有下面结论。 结论：一组数据点（n 个），且近似线性关系

b ax y i i +≈

则下述表达式可求出回归系数a 与b 。

()

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪

⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n T

T y y y Y x x x B Y B B B b a 21211111，：

t

t

t

上述形式上的计算，本质是使点),(i i y x 到直线y ＝ax ＋b 的距离平方和最小，即是最小二乘法得来的结果。

§4 GM (1，1)模型

G 表示Grey (灰)，M 表示Model (模型)，前一个“1”表示一阶，后一个“1”表示一个变量，GM (1, 1)则是一阶，一个变量的微分方程模型。

给定等时间间隔的数据列，且设数据列单调：

{}),n ( ),2( ),1()(,n 21x x x k x k ⋯⋯=，

k 表示时刻，k x k x ＝)(表示t ＝k 时刻某量的观测值，不妨设1+

{}0

n

030201)0(,,x x x x x ⋯⋯= )0(x 表示原始数据序列。比如：

{}697.3,390.3,337.3,278.3,874.2)0(=x 。

对原始数据作一次累加生成：即令

()n k x x

k

i i k

,,2,11

)

0()

1( ==∑=

得一次累加生成数序列为：

{}

)

1()1(21(1)1(,,,n

x x x x ）= 在此，{}

)

1(k x ={2.874, 6.152, 9.489, 12.879, 16.558}

给定的原始数据序列{}

)0(k x 已经是单增序列，经一次累加后生成的累加数序列具有更强

烈的单调性。我们知道指数序列是单调的，但是，单调序列却不一定是指数型的，不过强烈的单调序列可近似看做是指数的，即可用指数型曲线进行弥合。如果用指数曲线来弥合一次累加生成序列，那么，这条指数曲线一定是某个一阶线性常系数微分方程

u ax dt

dx =+)1()

1(

(6)

的满足某个初始条件的一条积分曲线：

a u e a u x x at +⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=-)1()1()1(

即

a u e a u x x at +⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=-)1()0()1(

（7）

其中a ，u 是待确定的未知参数，该微分方程中的导数dt

dx )

1(可用差商近似表示。

()()t

k x t k x dt dx t ∆-∆+=→∆)1()1(0)1(lim

t ∆为时间间隔，将时间间隔t ∆看做是单位时间间隔，并且认为时间被充分细化(秒，

毫秒。微秒……事实上只要单位时间内函数的增量相对很小，这个单位时间间隔也可以是日，月，年等。)

此时有

()()k x k x dt

dx )1()1()

1(1-+≈ 注意到一次累加生成数)()1(t x 在时刻t ＝k ＋1与t ＝k 时的差为：

()()()11)0()1()1(+=-+k x k x k x

而)

1(dt

dx

是在[k , k ＋1]上某一点取值，既然是近似，索性将dt dx )1(的值取在点k +1，即

()()()11)0()1()1(1

)

1(+=-+≈+=k x k x k x dt

dx k t

于是，一阶线性常系数微分方程

u ax dt

dx =+)1()

1( 可近似化为：

()()()11)1()0(+≤≤≈++k t k u t ax k x

注意到函数)1(x (t )在区间[k , k +1]上取值，当以中值近似时有：

()()()()

12

1)1()

1()1(++-

≈k x k x t x 则微分方程近似转化为：

()1)0(+k x ()()()u k x k x a +⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++≈121)1()1(

这是一个关于参数a 与u 的线性近似表达式。与数据点()i i y x ,近似满足

b ax y i i +≈

比较知，按最小二乘原理，线性回归系数a ，b 满足：

()

N T T Y B B B b a ⋅⋅=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-1

其中

()()

(

)()()()

()()()

⎪

⎪

⎪

⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛+--+-+-=112

11322

112121)

1()1()1()1()

1()1(n x n x x x x x B ，()()()

()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=n x x x Y N

00032 具体到上面给定的数据且用N X 替代N Y ，则上式化作：

()()(

)()()()

()()()

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛+--+-+-=17185.141184.111820.71513.4112

11322

112121)

1()1()1()1()1()1(n x n x x x x x B ， ()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=679.3390.3337.3278.332000n x x x X N 由此看出，若原始数据有n 个，则一次累加生成的数据有n －1个。

计算()

1

-B

B T

由 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1718.141184.111820

.71513

.411117185.14184.1182.7513.4B B T 得 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=4236.38236.38243.423B B T

，()

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=-03296.116553652.016553652.001341734.01

B B T 计算()N T T X B B B 1

-得

()

N T T

X B B B 1

-⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=06536.303720.0

即a =–0.03720，u =3.06536

这样，所求的微分方程模型为：

06536.303720.0)1()

1(=-x dt

dx

（10）

其解为： ()1)1(+k x ()a u e a u x ak +⎥⎦⎤⎢⎣⎡

-=-1)0(

即解可表示为：

()392535.822665.8510372.0)1(-=+k e k x

（11）

(11)式就是最后得到的预测模型，该模型称作GM (1, 1)预测模型。

由(11)式可求)6()1(x ，即为t ＝6时的预测值，也可求)7()1(x ，)8()1(x 等等。

即用观测值()1x 去检验由模型（11）算出的模型值()1ˆx

。

§5 精度检验

对于任何预测模型，都要对模型的预测结果进行精度检验。GM (1, 1)有三种精度检验方式。

1. 残差检验；

2. 关联度检验(略)；

3. 后验差检验。

残差检验方法：

1、由预测模型计算)(ˆ)1(k x

k ＝2,3,4,5 2、设实际数据为)()1(k x k ＝2,3,4,5

注意到，模型是对一次累加数求的预测值，故还应该将一次累加的模型值

)(ˆ)

1(k x 还原成要求的数据。将模型计算数据)(ˆ)1(k x

和实际数据)()1(k x 还原得 )(ˆ)0(k x

=)(ˆ)1(k x –)1(ˆ)1(-k x )()1(k x ， k =2,3,4,5 3、计算残差

q(k )＝实际值－模型值 ……误差

()实际值

实际值－模型值

=

k e ……相对误差

若ε≤|)(|max k e k

则认为预测模型g ood ，ε为相对误差限是决策者按精度需求预先确定

的阈值。

后验差检验方法

后验差检验是一种常用的基于概率统计的基本检验方法。它以预测误差ε为基础，根据||ε的大小，考察预测误差较小的点出现的概率，以及与预测误差的方差有关指标的大小。第i 级预测误差 i ε被定义为：

i i i m

m ˆ-=ε

其中i m 为第i 种观测数据，i m ˆ为第i 级预测值。 后验差检验所依据的数据有：

(1). 观测数据均值m 与均方差1s (标准差)

∑==

N

k k m N

m 1

1，()∑=-=

N

k k k m m N

S 1

2

11 （1）

其中N 为观测数据的个数。

(2). 预测误差均值ε与预测误差的均方差1s (标准差)

∑==n

k k n 1

1εε，()∑=-=

n k k

n S 1

2

21εε （2）

其中n 为预测数据的个数，一般n

（3）. 后验差比值C 与小误差频率P 定义为：

1

2

S S C =

，{}16745.0S P p k <-=εε 对于外推性好的预测来说，比值C 必须小。因为C 小说明2s 小1s 大，即预测误差离散性小，而观测数据摆动幅值大即原始数据规律性差，而预测数据规律性较好。因此，一个好的预测要求在1s 较大情况下2s 尽可能的小。作为预测指标来说C 越小越好，一般要求 C <0.35，最大时C ≤0.65

外推性好的预测的另一个指标是：“小误差频率P 大”。小误差是指偏差

16745.0||S k <-εε

这是一个相对偏差，一般要求小误差频率P ≥0.95，不得小于0.75，如下所示：

.

资料练习算例

例. 某压力容器，因受腐蚀器壁变薄泄漏而失效。已知10台压力器器壁腐蚀量数据为：

求工作1000h各容器器壁的可能厚度（最小壁厚为1.322mm）。试用GM(1, 1)建模并做后验差检验（每人选一个容器）。

灰色预测法

灰色预测法 1.介绍 灰色预测就是灰色系统所做的预测，灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙教授创立的一种兼具软硬科学特性的新理论。灰色系统的具体含义就是：部分信息已知，部分信息未知的某一系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素有很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。 2.适用问题 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。比如说人口预测、气象预报、初霜预测、灾变预测（如地震时间的预测）、数列预测（如对消费物价指数的预测）。 灰色预测模型所需要的数据量比较少，预测比较准确，精确度比较高。样本分布不需要有规律性，计算简便，检验方便。灰色GM(1,1) 模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论进行预测的方法，对历史数据有很强的依赖性，没有考虑各个因素之间的联系，所以误差偏大，只适合做中长期的预测，不适合长期预测。 3.数学方法核心步骤 3.1数据的检验与处理 首先，为了确保建模方法的可行性，需要对抑制数据作必要的检验处理，设参考数据为

(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，计算数列的级比 (0)(0)(1)().2,3,...,() x k k k n x k λ-== 如果所有的级比()k λ 都在可容覆盖2 2 12(,)n n e e -++ 内，则数列(0)x 可以 作为模型GM(1,1)的数据进行灰色预测，否则，需要对(0)x 做必要地变换处理，使其落入可容覆盖内，即取适当的c ，做平移变换 (0)(0)()(),1,2,...,y k x k c k n =+= 则是数列(0)(0)(0)(0)()((1),(2),...,())y k y y y n =的级比 (0)(0)(1)(),2,3,...,() y y k k X k n y k λ-=∈= 3.2 建立模型 按照下面的办法建立模型GM （1,1） （1） 由上面的叙述知道参考数据列为(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，对 其做一次累加（AGO ）生成数列(1)x (1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(1)(0)((1),(2),...,())((1),(1)(2),...,(1)())x x x x n x x x x n x n ==+-+ 其中(1) (0)1()()(1,2,...,)k i x k x i k n ===∑ 。求均值数列 (1)(1)(1)=0.5()0.5(1)z x k x k +-，k=2,3,...,n 则(1)(1)(1)((2),(3),..., n )z z z =（） 。于是建立灰微分方程为 (0)(1)()(),2,3,...,x k az k b k n +== 相应的白化微分方程为(1) (1)()dx dt ax k b += （2）记(1)(1)(0)(0)(0)(1)(2) 1(3) 1(,),((2),(3).,(),...() 1T T z z u a b Y x x x n B z n ??- ?- ?=== ? ? ?-?? ,则称Y

灰色系统GM(1,1)预测模型

5.1.2 灰色系统GM(1,1)预测模型 GM(1,1)模型的建立 由于统计数据信息不完整，故有部分日用水量数据和70%以上的水厂日供水量数据采用曲线拟合法进行回归分析不能得到令人满意的结果，所以我们考虑用对信息质量要求不高的灰色系统分析法进行预测，建立GM(1,1)模型。 记)),(),...2(),1((n x x x x =其中)(i x 表示第i 年数值。 Step1：令)0(x 为GM （1，1）建模序列，表示灰导数 (0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n = 其中 )()()0(k x k x =，...3,2,1=k Step2：令)1(x 为)0(x 的AGO 序列，对)0(x 作累加生成，即得到新的序列)1(x ， (1)(1)(1)(1)((1),(2),...,())x x x x n = (1)(0)(1)(1)x x = (1) (0)1()()k m x k x m ==∑ Step3：令)1(z 为)1(x 的均值（MEAN ）序列，表示白化背景值 (1)(1)(1)()0.5()0.5(1)z k x k x k =+- （5.9） (1)(1)(1)(1)((2),(3),...,())z z z z n = 则得到GM(1,1)的灰微分方程模型为 b k az k x =+)()()1()0( （5.10） 式中：b a 、为待估计参数，分别称为发展灰度和内生控制灰度。 其中，

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===========---= ----=n k n k n k n k n k n k n k n k n k n k n k k z k z n k x k z k z k z k z b k z k z n k x k z n k x k z a 22 2)1(2)1(22)0(22)1()1(2)1()1(222)1(2)1(2)0()1(2 2)0()1())(()()1()()()()()(;))(()()1()()()1()()( 经变换后得到 )()()1()0(k az b k x -= （5.11） GM(1,1)模型的求解 在（5.11）两端同时乘以ak e 得， (0)(1)()()ak ak ak e x k e az k e b += 即 (1)()()ak ak t z k e be d C -=+? ak b Ce a -=+ 将代入上式中，可得 0(1)b C x a =- 于是得出时间函数(1)(1)x k +的估计值 (1)0?(1)[(1)]ak b b x k x e a a -+=-+ （5.12） 我们把上式（5.12）作为预测方程。利用Matlab 软件编程求解出相应的预测值。具体程序见附录二。

灰色预测模型介绍

数学模型与数学实验数 课程报告 题目：灰色预测模型介绍专业： 班级： 姓名： 学号： 二0一一年六月

1. 模型功能介绍 预测模型为一元线性回归模型，计算公式为Y=a+b。一元非线性回归模型：Y=a+blx+b2x2+…+bmxm。式中：y为预测值；x为自变量的取值；a,b1,b2……bm为回归系数。当自变量x与因变量y之间的关系是直线上升或下降时，可采用一元线性预测模型进行预测。当自变量x和因变量y之间呈曲线上升或下降时，可采用一元非线性预测模型中的y=a+b1x+b2x2+…+bmxm这个预测模型。当自变量x和因变量y之间关系呈上升一下降一再上升一再下降这种重复关系时，可采用一元线性预测模型中的Y=a+bx这个模型来预测。其中我要在这里介绍灰色预测模型。 灰色预测是就灰色系统所做的预测，灰色系统(Grey System)理论[]1是我国著名学者邓聚 龙教授20世纪80年代初创立的一种兼备软硬科学特性的新理论［95］96］。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 灰色系统的基本原理 公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。 公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。 公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。 公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。 公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。 公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 灰色预测模型实际上是一个微分方程, 称为GM模型。GM（1，N）[]1表示1阶的，N个 变量的微分方程型模型；则是1阶的,1个变量的微分方程型模型。在实际进行预测时, 一般选用GM(1,1) 模型, 因为这种模型求解较易, 计算量小, 计算时间短, 精度较高。 现在下面简单介绍有关于灰色预测的相关知识点： 为了弱化原始时间序列的随机性 在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。 关联度]1[

灰色预测GM(1,1)

南昌市民用汽车保有量灰色GM(1,1)模型预测 灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 灰色模型适合于小样本情况的预测，当然对于大样本数据，灰色模型也可以做，并且数据个数的选择有很大的灵活性。 原始序列X (0)： 表1 南昌市民用汽车保有量 年份 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 南昌市民用汽车保有量(万辆) 24.4109 26.7307 30.3878 36.3807 41.0161 43.73 48.41 61 57 63.1 第一步：构造累加生成序列X (1)； 第二步：计算系数值； 通过灰色关联分析软件GM 进行灰色模型拟合求解，得到： α= -0.101624 ， μ=25.290111 ， 平均相对误差为4.685749% 第三步：得出时间响应预测函数模型为： ()()858996.248269896.2731101624.01-=+?k e k X 第四步：进行灰色关联度检验。 真实值： {24.4109,26.7307,30.3878,36.3807,41.0161,43.7300,48.4100,61.0000,57.0000,63.1000} 预测值： {24.4109,29.2310,32.3578,35.8190,39.6504,43.8917,48.5867,53.7839,59.5371,65.9056} 计算得到关联系数为： {1，0.906683，0.444273，0.416579，0.82377，0.357133，0.715694，0.843178，0.333333，0.770986} 于是灰色关联度：r=0.661163 关联度r=0.661163满足分辨率ρ=0.5时的检验准则r>0.60，关联性检验通过。 第五步：后验差检验。 计算真实值的均值与标准差：() 0254.14,2166.4310==S X 计算残差的均值和标准差：6134.49295 .12==?S ， 于是方差比 C=S 2/S 1=0.3289<0.35 S 0=0.6745*S 1=9.4601 ()} {8761.0,6076.0,2866.5,7527.1,7677.1,5638.0,3678.1,0405.0,5708.0,9295.1=?-?=k e k

灰色预测法GM总结

灰色预测模型 一、灰色预测的概念 1. 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法;灰色系统是介 于白色系统和黑色系统之间的一种系统;灰色系统内的一部分信息是已知的,另一部分信息时未知的,系统内各因素间具有不确定的关系; 2. 灰色预测,是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测,对既含有已知信息 又含有不确定信息的系统进行的预测,也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测;尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的,但毕竟是有序的、有界的,因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律,生成有较强规律性的数据序列,然后建立相应的微分方程模型,从而预测事物未来发展趋势的状况;灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测; 二、灰色预测的类型 1. 灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色 预测模型,预测未来某一时刻的特征量,或达到某一特征量的时间; 2. 畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻,预测异常值什么时候出现 在特定时区内; 3. 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型,预测 系统中众多变量间的相互协调关系的变化; 4. 拓扑预测；将原始数据作曲线,在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点, 并以该定值为框架构成时点数列,然后建立模型预测该定值所发生的时点 三、GM1,1模型的建立 1. 数据处理 为了弱化原始时间序列的随机性,在建立灰色预测模型之前,需先对原始时间序列进行数据处理,经过数据处理后的时间序列即称为生成列; i. 设()()()()()()()()(){} ,,, (00000) 123X X X X X n = 是所要预测的某项指标的原始 数据,计算数列的级比()()() (),,,,() 00123X t t t n X t λ-= =;如果绝大部分的级比都 落在可容覆盖区间(,)221 1 n n e e -++内,则可以建立GM1,1模型且可以进行灰色预

灰色预测模型理论及其应用

灰色预测模型理论及其应用 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测. 灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。 一、灰色系统及灰色预测的概念 1.1灰色系统 灰色系统产生于控制理论的研究中。 若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。 若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。 灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。 区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。 特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。 1.2灰色预测 灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进

行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类： (1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。 (2) 畸变预测（灾变预测）。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。 (3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。 (4) 系统预测，是对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。 上述灰预测方法的共同特点是： （1）允许少数据预测； （2）允许对灰因果律事件进行预测，比如 灰因白果律事件：在粮食生产预测中，影响粮食生产的因子很多，多到无法枚举，故为灰因，然而粮食产量却是具体的，故为白果。粮食预测即为灰因白果律事件预测。 白因灰果律事件：在开发项目前景预测时，开发项目的投入是具体的，为白因，而项目的效益暂时不很清楚，为灰果。项目前景预测即为灰因白果律事件预测。

灰色预测GM(1,1)模型分析

SPSS分析SPSS教程SPSSAU 灰色预测模型GM11 灰色模型 灰色预测GM(1,1)模型分析 Contents 1背景 (2) 2理论 (2) 3操作 (3) 4 SPSSAU输出结果 (3) 5文字分析 (4) 6剖析 (5) 灰色预测模型可针对数量非常少（比如仅4个），数据完整性和可靠性较低的数据序列进行有效预测，其利用微分方程来充分挖掘数据的本质，建模所需信息少，精度较高，运算简便，易于检验，也不用考虑分布规律或变化趋势等。但灰色预测模型一般只适用于短期预测，只适合指数增长的预测，比如人口数量，航班数量，用水量预测，工业产值预测等。 灰色预测模型有很多，GM(1,1)模型使用最为广泛，第1个数字表示进行一阶微分，第2个数字1表示只包含1个数据序列。 特别提示： GM(1,1)模型仅适用于中短期预测，不建议进行长期预测； GM(1,1)模型适用于数量少(比如20个以内)时使用，大量数据时不适合。

灰色预测模型案例 Contents 1背景 (2) 2理论 (2) 3操作 (3) 4 SPSSAU输出结果 (3) 5文字分析 (4) 6剖析 (5) 1背景 当前某城市1986~1992共7年的道路交通噪声平均声级数据，现希望预测出往后一期器械声平均声级数据。数据如下： 年份城市交通噪声/dB(A) 198671.10 198772.40 198872.40 198972.10 199071.40 199172.00 199271.60 2理论 灰色预测GM(1,1)模型一般针对数据量少，有一定指数增长趋势的数据。在进行模型构建时，通常包括以下步骤： 第一步：级比值检验； 此步骤目的在于数据序列是否有着适合的规律性，是否可得到满意的模型等，该步骤仅为初步检验，意义相对较小。级比值=当期值/上一期值。一般情况下级比值介于[0.982,1.0098]之间则说明很可能会得到满意的模型，但并不绝对。 第二步：后验差比检验； 在进行模型构建后，会得到后验差比C值，该值为残差方差/ 数据方差；其用于衡量模型的拟合精度情况，C值越小越好，一般小于0.65即可。 第三步：模型拟合和预测；

灰色理论预测模型及GM(1,1)matlab程序

灰色理论预测模型及GM(1,1)matlab程序灰色预测方法简介 灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。通过对原始数据的整理寻找数的规律，分为三类： a、累加生成：通过数列间各时刻数据的依个累加得到新的数据与数列。累加前数列为原始数列，累加后为生成数列。 b、累减生成：前后两个数据之差，累加生成的逆运算。累减生成可将累加生成还原成非生成数列。 c、映射生成：累加、累减以外的生成方式。 建模步骤 a、建模机理 b、把原始数据加工成生成数； c、对残差（模型计算值与实际值之差）修订后，建立差分微分方程模型； d、基于关联度收敛的分析； e、gm模型所得数据须经过逆生成还原后才能用。 f、采用“五步建模（系统定性分析、因素分析、初步量化、动态量化、优化）”法，建立一种差分微分方程模型gm(1,1）预测模型。 GM(1,1)程序： % 本程序主要用来计算根据灰色理论建立的模型的预测值。 % 应用的数学模型是GM(1,1)。 % 原始数据的处理方法是一次累加法。 clear;clc; % load ('data.txt');

% y=data'; y=[3 4 5 4 7 7]; n=length(y); yy=ones(n,1); yy(1)=y(1); for i=2:n yy(i)=yy(i-1)+y(i); end B=ones(n-1,2); for i=1:(n-1) B(i,1)=-(yy(i)+yy(i+1))/2; B(i,2)=1; end BT=B'; for j=1:n-1 YN(j)=y(j+1); end YN=YN'; A=inv(BT*B)*BT*YN; a=A(1); u=A(2); t=u/a; t_test=input('请输入需要预测个数：'); i=1:t_test+n; yys(i+1)=(y(1)-t).*exp(-a.*i)+t; yys(1)=y(1); for j=n+t_test:-1:2 ys(j)=yys(j)-yys(j-1); end x=1:n; xs=2:n+t_test; yn=ys(2:n+t_test); plot(x,y,'^r',xs,yn,'*-b'); det=0; for i=2:n det=det+abs(yn(i)-y(i)); end det=det/(n-1); disp(['百分绝对误差为：',num2str(det),'%']); disp(['预测值为：',num2str(ys(n+1:n+t_test))]);

灰色系统预测GM(1,1)模型及其Matlab实现

灰色系统预测GM(1,1)模型及其Matlab 实现 预备知识 (1)灰色系统 白色系统是指系统内部特征是完全已知的；黑色系统是指系统内部信息完全未知的；而灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统，灰色系统其内部一部分信息已知，另一部分信息未知或不确定。 (2)灰色预测 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行 预测。尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此得到的数据集合具备潜在的规律。灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 目前使用最广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型。它是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间序列呈指数变化规律。因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM(1,1)的预测是非常成功的。 1 灰色系统的模型GM(1,1) 1.1 GM(1,1)的一般形式 设有变量X (0)＝{X (0)(i)，i=1,2，...，n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X (0)进行一次累加(1—AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列： X (1)＝{X (1)(k )，k ＝1，2，…，n} 其中 X (1) (k )＝ ∑ =k i 1 X (0)(i) ＝X (1)(k －1)+ X (0)(k ) (1) 对X (1)可建立下述白化形式的微分方程： dt dX )1(十) 1(aX ＝u (2) 即GM(1,1)模型。 上述白化微分方程的解为(离散响应)： ∧ X (1)(k +1)＝(X (0)(1)－ a u )ak e -＋a u (3) 或 ∧ X (1)(k )＝(X (0)(1)－ a u ))1(--k a e ＋a u (4)

灰色模型介绍及应用

第十章灰色模型介绍及应用（徐利艳天津农学院 2.4万字） 10.1灰色理论基本知识 10.1.1概言 10.1.2有关名词概念 10.1.3GM建模机理 10.2灰色理论模型应用 10.2.1GM（1，1）模型的应用——污染物浓度问题 10.2.2 GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题 10.2.3 GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 10.2.4 GM（1，n）模型的应用——因素相关问题 本章小结 思考题 推荐阅读书目

第十章灰色模型介绍及应用 10.1灰色理论基本知识 10.1.1概言 客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。 灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。信息不完全是“灰”的基本含义。 灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。 目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。 10.1.2有关名词概念 灰数：一个信息不完全的数，称为灰数。 灰元：信息不完全或内容难以穷尽的元素，称为灰元。 灰关系：信息不完全或机制不明确的关系，称为灰关系。具有灰关系的因素是灰因素，灰因素之间的量化作用，称为灰关联。

数学建模之灰色预测模型

一、灰色预测模型 简介（P372） 特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。 优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。 缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。 1、GM(1,1)预测模型 GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。 1.1模型的应用 ①销售额预测 ②交通事故次数的预测 ③某地区火灾发生次数的预测 ④灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报。（百度文库） ⑤基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析（下载的文档） ⑥网络舆情危机预警（下载的文档） 1.2步骤 ①级比检验与判断 由原始数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())x x x x n = 计算得序列的级比为 (0)(0)(1)(),2,3,,.() x k k k n x k λ-== 若序列的级比()k λ∈221 2 (,)n n e e -++Θ=，则可用(0)x 作令人满意的GM(1,1)建模。 光滑比为 (0)1 (0) 1 () ()() k i x k p k x i -== ∑ 若序列满足 [](1) 1,2,3,,1;() ()0,,3,4,,;0.5. p k k n p k p k k n ??+<=-∈=<

则序列为准光滑序列。 否则，选取常数c 对序列(0)x 做如下平移变换 (0)(0)()(),1,2,,,y k x k c k n =+= 序列(0)y 的级比 0(0)(1) (),2,3,,.() y y k k k n y k λ-=∈Θ= ②对原始数据(0)x 作一次累加得 (1)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())(11+(2),,(1)()).x x x x n x x x x x n ==++ （），（） 建立模型: (1) (1),dx ax b dt +=（1） ③构造数据矩阵B 及数据向量Y (1)(1)(1)(2)1(3)1,()z z B z n ??- ??- ? ?=?? ????- 1?? (0)(0)(0)(2)3()x x Y x n ??????=?? ?????? （） 其中：(1)(1)(1()0.5()0.5(1),2,3,,.z k x k x k k n =+-= ） ④由 1??()?T T a u B B B Y b -??==???? 求得估计值?a = ?b = ⑤由微分方程（1）得生成序列预测值为 ? (1) (0)???(1)(1)k 0,1,,1,,??ak b b x k x e n a a -??+=-+=- ? ??? ， 则模型还原值为 (0)(1)(1)???(1)(1),1,2,,1,.x k x k x k n +=+-=- ⑥精度检验和预测 残差 (0)(0)?()()(),1,2,,,k x k x k k n ε=-=

财务灰色预测及灰色控制理论

财务灰色预测及灰色控制理论第一章灰色预测概述 财务灰色预测是利用灰色系统理论中的GM（1，1）模型等方 法对财务数据进行预测的一种方法。相比于传统的时间序列分析 或回归分析，灰色预测不需要具备强相关性或线性关系的数据， 能够快速预测出数据的发展趋势和具体数值。财务灰色预测在金融、股票、企业等领域广泛应用，能够提升决策者的决策能力。 第二章 GM（1，1）模型及其理论基础 GM（1，1）模型是灰色系统理论中常用的一种模型，主要用 于对数据序列的发展趋势进行预测。该模型基于灰色理论的概念，将数据序列划分为两个部分，即已知数据和未知数据。其中已知 数据部分根据累加生成序列AGM进行转化，再求得线性方程，最后利用线性方程预测未来数据。该模型具有可解析性和较高的预 测精度，因此在财务预测中得到广泛应用。 第三章灰色控制理论及其应用 灰色控制理论是指利用GM（1，1）模型对数据的预测结果进 行分析和控制的方法。该方法主要基于灰色预测结果的误差分析，对数据的变化趋势进行调整和控制。灰色控制包括模型检验、参 数估计、误差分析和模型调整等步骤，能够提高灰色预测的精度

和可靠性。在财务预测中，灰色控制能够对企业财务状况进行实时监控和调整，为企业决策提供有力支持。 第四章实践案例分析 以某企业年度财务数据为例，利用GM（1，1）模型进行灰色预测和灰色控制。首先对财务数据进行累加生成序列的处理，得到AGM序列；然后利用GM（1，1）模型求解出线性方程，预测未来三年的财务数据；最后根据预测结果分析财务数据的趋势和变化原因，并对模型进行误差分析和调整。实践结果表明，灰色预测和灰色控制能够为企业决策提供较为准确的财务信息和预测数据，对企业运营具有重要作用。 第五章总结与展望 财务灰色预测及灰色控制理论在企业决策、金融管理等领域发挥着越来越重要的作用。本文介绍了GM（1，1）模型及其理论基础、灰色控制方法以及实践案例分析，对灰色预测和控制方法进行了深入阐述。未来，随着大数据和人工智能技术的发展，财务灰色预测和灰色控制将进一步创新和发展，为企业和金融领域的发展提供更多支持和指引。

灰色预测模型

灰色预测模型 1.模型建立 灰色系统是指部分信息已知，部分信息未知的系统。灰色系统的理论实质是将无规律的原始数据进行累加生成数列，再重新建模。由于生成的模型得到的数据通过累加生成的逆运算――累减生成得到还原模型，再有还原模型作为预测模型。 预测模型，是拟合参数模型，通过原始数据累加生成，得到规律性较强的序列，用函数曲线去拟合得到预测值。 灰色预测模型建立过程如下： 1) 设原始数据序列()0X 有n 个观察值，()()()()()()(){}n X X X X 0000,...,2,1=，通过累加生成新序列 ()()()()()()(){}n X X X X 1111,...,2,1=，利用新生成的序列()1X 去拟和函数曲线。 2) 利用拟合出来的函数，求出新生序列()1X 的预测值序列(1)X 3) 利用(0)(1)(1)()()(1)X k X k X k =--累减还原：得到灰色预测值序列： ()()(){}00001,2,...,X X X X n m =+ (共n ＋m 个，m 个为未来的预测值)。 将序列()0X 分为0Y 和0Z ，其中0Y 反映()0X 的确定性增长趋势，0Z 反映()0X 的平稳周期变化趋势。 利用灰色GM （1，1）模型对()0X 序列的确定增长趋势进行预测 2 模型求解 根据2006全国统计年鉴数据整理得到全国历年年度人口统计表如表1. 根据上述数据，建立含有20个观察值原始数据序列()0X ： ()[] 09625998705105851112704 127627128453129988130756X =

利用Matlab 软件对原是数列()0X 进行一次累加，得到新数列为()1X ，如表2： 表2：新数列()1X 误差和误差率 1、利用表2，拟合函数，如下： 0.011624(1)92800439183784t x t e +=- 2、精度检验值 c ＝0.3067 （很好） P ＝0.9474 （好） 3、得到未来20年的预测值：

灰色预测模型在供应链管理中的应用研究

灰色预测模型在供应链管理中的应用研究 一、引言 灰色预测模型是一种非参数、非线性的模型。它允许利用一些 少量数据来推断出对未来数据的趋势或变化。因此，该模型在供 应链管理中得到了广泛应用。本文将介绍灰色预测模型，并探讨 其在供应链管理中的应用。 二、灰色预测模型的基础知识 灰色预测模型是由中国科学家李四光于1982年提出的。基于 灰色系统理论，它利用一些少量数据来推断未来数据的趋势或变化。灰色预测模型主要有GM(1,1)模型和GM(2,1)模型两种类型。GM(1,1)模型是一阶灰色预测模型，GM(2,1)模型是二阶灰色预测 模型。 通常，在使用灰色预测模型之前，应对数据进行评估和分析。 然后，可以采用GM(1,1)模型或GM(2,1)模型进行预测。其中， GM(1,1)模型适用于累加型数据，而GM(2,1)模型适用于非累加型 数据。 三、灰色预测模型在供应链管理中的应用 1. 需求预测

需求预测是供应链管理中最重要的一部分。现代的供应链管理需要准确的需求预测来保证物料的及时供应和理想的库存管理。灰色预测模型可以通过削弱时间序列数据的随机性，提高预测精度。 2. 生产计划 在制造业中，生产计划需要精确的预测能力。使用灰色预测模型可以从少量数据中分析原始数据的变化趋势。基于趋势变化预测，可以产生高精度的生产计划。 3. 库存管理 库存管理是供应链中的另一个重要方面。预测需求和补充物料是避免库存短缺和库存过多的关键。灰色预测模型可以分析少量数据，以产生准确的需求预测和物料补充预测。这不仅仅能降低库存成本，还可以减少订单履行时间和提升客户满意度。 4. 购买成本 灰色预测模型可以用来优化采购策略。通过预计采购成本或设备维护成本等因素，可以确定采购策略的最佳时机。最终，这有助于供应商降低采购成本并提高供应链绩效。 五、结论

灰色预测模型论文

GM(1,1)灰色预测模型 摘要 灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型，因此，灰色预测的数据是通过生成数据的gm(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。本文利用灰色预测对重庆市的人均收入进行模拟，容易理解，操作简单灵活，直接面向用户，精度较高。 一、GM(1,1)预测模型的基本原理： 灰色预测的基本原理时间序列预测是采用趋势预测原理进行的.然而时间序列预测存在以下问题:(1)时间序列变化趋势不明显时,很难建立起较精确的预测 模型.(2)它是在系统按原趋势发展变化的假设下进行预测的,因而未考虑对未来 变化产生影响的各种不确定因素.为克服上述缺点,邓聚龙教授引入了灰色因子的概念,采用“累加”和“累减”的方法创立了灰色预测理论.1.1 GM(1,1)模型的基本原理当一时间序列无明显趋势时,采用累加的方法可生成一趋势明显的时间序列.如时间序列X(0)={32,38,36,35,40,42}的趋势并不明显,但将其元素进行“累加”所生 成的时间序列X(1)={32,70,106,141,181,223}则是一趋势明显的数列,按该数列的 增长趋势可建立预测模型并考虑灰色因子的影响进行预测,然后采用“累减”的方法进行逆运算,恢复原时间序列,得到预测结果,这就是灰色预测的基本原理. 数据来源：重庆市统计年鉴 重庆城市居民家庭人均可支配收入： 收入 4375.43 5022.96 5302.05

表1 二、利用软件对数据进行模拟： 模拟值残差相对误差 4375.43 2 3910.0859 -1112.8741 -22.155743 3 4368.869126 -933.18087 4 -17.600379

灰色预测模型GM(1_1)及其应用

灰色预测模型GM(1,1)的应用 一、问题背景： 蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。 为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。 二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测 下面是对Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。 在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm 2）情况下的蠕 变断裂时间见下表。 数 列 序 数 K 1 2 3 4 5 载荷应力（kg/mm 2） 37 36 35 34 33 断裂时间（)(100)0(K X ⨯小时） 2.38 2.80 4.25 6.85 11.30 一次累加数列)()1(K X 2.38 5.18 9.43 16.28 27.58 1、建立GM （1,1）模型 （1）数据处理：将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素。即根据断裂时间数列)()0(k X 由∑==k n n X k X 1)0()1()()(得到 )()1(k X 。 （2）建立矩阵B,y:

灰色预测模型简介

实用文档 一、 GM （1，1）模型的建立 GM 表示灰色理论的灰微分方程模型。GM （1，1）即一阶一个变量的灰微分方程模型。 GM （1，1）预测模型是最常用的一种灰色动态预测模型，其建模原理是： 设有一组原始序列：(0)(0)(0)(0)((1),(2),....,())x x x x n = 对原始序列作一价累加生成，得(1)(1)(1)(1)((1),(2),....,())x x x x n = 其中：(1)(0)1()()k i x k x i ==∑ k=1,2,…..，n 再作(1)x 的一阶均值生成，得 ((2),(3),....())x x x x n = 其中：(1)(1)()1/2((1)())x k x k x k =--+ k=1, 2,3…..，n 即构成了灰色模块，可建立灰色模型，GM （1，1）模型的一般式为： (1) (1)dx ax u dt += 解此微分方程得：(1)(0)ˆ(1)((1))ak u u x k x e a a -+=-+ （k=0,1,…..） 式中参数a,u 可由最小二承法求得：1ˆ()T N a a B B Y u -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 其中：(2)1(3)1::()1x x B x n -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (0)(0)(0)(2)(3):(3)N x x Y x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 通过累减还原得到(0)x 的预测模型为(0)(0)ˆ(1)(1)((1))a ak u x k e x e a -+=-- （k=1,2,…）

实用文档 二、模型检验 GM （1，1）残差模型可提高原模型的精度，共有两种方式： （1）当用累加生成序列的残差建立ＧＭ（１，１）残差模型时，其残差序列为 (0)(1)(0)ˆ()()()t x t x t ε=- 其累加生成的ＧＭ（１，１）模型为(1)(0)(1)((1))a t u dt t e at a εεε εε-+=-+ 其导数即为对模型ˆ(1)x 的修正项： (0)()()(1)a t u t i a e a εεεεδε-⎛⎫--- ⎪⎝ ⎭ 其中1()()0()t i t i t i δ≥⎧-=⎨<⎩ 修正后的模型为 (0)(0)(0)ˆ(1)((1))()()(())a t at u u x t a x e t i a t e a a εεεε δε--+=--+--- （２）当用还原模型的残差序列建立ＧＭ（１，１）模型时，其残差序列为 (1)(0)(0)ˆ()(1)()q t x x t =- 其累加生成模型为 (1)(0)(1)(1)q a t q q q q u u q t q e a a -⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭ 对模型的修正项求导，得 (0)()()(1)q a t q q q u t i a q e a δ-⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝ ⎭ 式中1()()0() t i t i t i δ≥⎧-=⎨ <⎩

基于灰色预测模型的铁路货运量预测

基于灰色预测模型的铁路货运量预测 铁路货运量是衡量铁路运输发展水平的重要指标之一。铁路货运量预测是铁路 运输管理的重要组成部分，对于制定合理的投资和运输规划具有重要的指导意义。目前，国内外运输管理部门普遍采用灰色预测模型对铁路货运量进行预测，本文将从灰色预测模型的基本原理、模型构建、模型评价等方面对铁路货运量预测进行探讨。 一、灰色预测模型基本原理 灰色系统理论是由中国科学家李纪周教授提出的一种新型的系统分析和预测方法，简称灰色预测。灰色预测是一种非常有效的模型，不需要大量的数据，只需少量的数据就可以对未来进行预测。其基本思想是将数据分为灰色部分和白色部分，对灰色部分进行建模，通过对白色部分的分析，确定模型参数，进而预测未来的发展趋势。 灰色预测模型基本原理包括灰色数学和灰色建模两个方面。灰色数学是指将不 确定的因素通过内部联系表示为确定的因素，从而使模型有可预测性。灰色建模是将灰色数学应用到实际问题中，通过对数据的特性进行分析，建立灰色预测模型，对未来的趋势做出预测。 二、铁路货运量预测模型构建 铁路货运量预测是基于历史数据建立预测模型，通过对历史数据趋势进行分析，建立适合未来预测的模型。在建立铁路货运量预测模型时，需要考虑以下几个方面。 1、数据的准备 铁路货运量预测模型建立的第一步是准备数据。数据应具有代表性、完整性、 可靠性和连续性。数据的时限应根据预测所需预测时段的长短而确定，过长或过短都不利于预测。

2、数据的稳定性和平稳性分析 为了建立有效的预测模型，必须首先对数据的稳定性和平稳性进行分析。只有稳定和平稳的时间序列才能够进行有效的预测。 3、模型的构建 灰色预测模型的具体构建包括确定级数、构建GM(1,1)模型、验证预测模型和修改预测模型。其中GM(1,1)模型是经典的灰色预测模型之一，其基本思想是通过对原始数据进行累加生成新的数据序列，再建立一阶微分方程的模型，预测未来发展趋势。 4、模型的优化 建立铁路货运量预测模型并不止于构建GM(1,1)模型，模型的优化和改进也是关键的一步。优化模型的方法主要包括参数调整、模型降阶、组合模型等。 三、模型评价 模型评价是灰色预测模型建立的最后一步，评价模型的好坏是判断模型预测能力的重要指标。常用的模型评价方法包括均方差、平均绝对误差、平均绝对百分比误差、平均相对误差等。 四、结论 灰色预测模型是一种非常有效、具有广泛应用价值的预测模型，在铁路货运量预测中得到了广泛的应用。与其他预测模型相比，灰色预测模型只需要少量历史数据就可以进行预测，并且其预测精度较高，具有较好的稳定性和可靠性。当然，灰色预测模型还存在一定的不足之处，需要在实际应用中不断改进和完善。但是，总体来说，灰色预测模型在铁路货运量预测中的应用前景广阔，将为铁路运输的管理和规划带来新的思路和方法。