灰色预测法GM总结
灰色预测模型
一、灰色预测的概念
1. 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法;灰色系统是介
于白色系统和黑色系统之间的一种系统;灰色系统内的一部分信息是已知的,另一部分信息时未知的,系统内各因素间具有不确定的关系;
2. 灰色预测,是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测,对既含有已知信息
又含有不确定信息的系统进行的预测,也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测;尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的,但毕竟是有序的、有界的,因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律,生成有较强规律性的数据序列,然后建立相应的微分方程模型,从而预测事物未来发展趋势的状况;灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测; 二、灰色预测的类型
1. 灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色
预测模型,预测未来某一时刻的特征量,或达到某一特征量的时间;
2. 畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻,预测异常值什么时候出现
在特定时区内;
3. 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型,预测
系统中众多变量间的相互协调关系的变化;
4. 拓扑预测；将原始数据作曲线,在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点,
并以该定值为框架构成时点数列,然后建立模型预测该定值所发生的时点 三、GM1,1模型的建立 1. 数据处理
为了弱化原始时间序列的随机性,在建立灰色预测模型之前,需先对原始时间序列进行数据处理,经过数据处理后的时间序列即称为生成列;
i. 设()()()()()()()()(){}
,,, (00000)
123X X X X X n = 是所要预测的某项指标的原始
数据,计算数列的级比()()()
(),,,,()
00123X t t t n X t λ-=
=;如果绝大部分的级比都
落在可容覆盖区间(,)221
1
n n e
e
-++内,则可以建立GM1,1模型且可以进行灰色预
测;否则,对数据做适当的预处理;方法目前主要有数据开n 方、数据取对数、数据平滑;预处理的数据平滑设计为三点平滑,具体可以按照下式处理
()()()()()()
()()/00001214X t X t X t X t ⎡⎤=-+++⎣⎦
()()()()
()()/00013124X X X ⎡⎤=+⎣⎦ ()()()()()()/000134X n X n X n ⎡⎤=-+⎣⎦
ii. 预处理后对数据作一次累加生成处理,即：将原始序列的第一个数据作为生成
列的第一个数据,将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数据上,其和作为生成列的第二个数据;按此规则进行下去,便可得到生成列; 根据()
()()()101
k
n X
k X n ==∑,得到一个新的数列
()()()()()()()()(){}
,,,...11111123X X X X X n =
这个新的数列与原始数列相比,其随机性程度大大弱化,平稳性大大增加; 2. 新数列的变化趋势近似地用下面的微分方程描述;
()
()11dX aX u dt
+= 其中：a 称为发展灰数；u 称为内生控制灰数; 3. 模型求解; 令()
()
()
[(),(),,()]00023T
n Y X
X
X n =⋯,ˆα为待估参数向量,ˆa u α
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
, ()()()()()()(()())(()())(()())111111112 12123 12
11 12X X X X B X n X n ⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-+⎢⎥=⎢⎥⋯⋯⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦
, 于是模型可表示为
ˆn Y B α
= 通过最小二乘法得到：
()ˆ1
T T n B B B Y α
-= 求解微分方程,即可得灰色预测的离散时间响应函数：
()()()()ˆ1011at u u X t X e a a -⎡⎤+=-+⎢⎥⎣⎦
,,,...,0121t n =- ()()ˆ11X
t +为所得的累加的预测值,将预测值还原即为： ()()()ˆˆˆ()()-()01111X
t X t X t +=+ 注：若数据经过预处理,则还需经过相应变换才能得到实际预测值; 4、模型检验
灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验; 1) 残差检验
()()()ˆˆˆ()()-(-)0111X
t X t X t = ()()()()()()ˆ000t X
t X t ∆=- ()()
()(),,,,()
0012t t t n X t ε∆==
分别求出预测值、绝对误差值和相对误差值,计算出平均相对误差判断精度是否理想;
2) 关联度检验
i. 定义关联系数()t η
()()()()()
()()
()
min max ()max 0000t t t t t ρη∆+∆=
∆
+∆
其中：①()()0t ∆为第t 个点()0X 与()ˆ0X
的绝对误差； ②ρ称为分辨率,0<ρ<1,一般取ρ=；
③对单位不一,初值不同的序列,在计算相关系数前应首先进行初始化,
即将该序列所有数据分别除以第一个数据;
ii. 定义关联度()1
1n
t r t n η==∑,称为()()0X t 与()()ˆ0X
t 的关联度 根据上述方法算出()()ˆ0X
k 与原始序列()()0X k 的关联系数,然后计算出关联度,根据经验,当ρ=时,关联度大于便满足检验标准;
3) 后验差检验
计算原始序列标准差和绝对误差序列的标准差分别为:
1S =,
2
S =计算方差比21
S C S =
,小误差概率()()(){}
.00
106745P P t S =∆-∆<,令
()()()00t e t =∆-∆,.0106745S S =,则{}0t P P e S =<
检验指标P 和C 与灰色预测精度检验等级标准如下表所示： XXX 表 C <
<
<
≥
四、残差模型修正
若用原始经济时间序列()0X 建立的GM1,1模型检验不合格或精度不理想时,要对建立的GM1,1模型进行残差修正或提高模型的预测精度;修正的方法是建立GM1,1的残差模型;
设))(),...,2(),1(()0()0()0()0(n εεεε=其中,()()()0k x k ε=-()ˆ()1x
k 为)1(X 的残差序列;若存在k 0,满足
1.的符号一致；)(,)0(0k k k ε≥∀
2.40≥-k n ,则称|))(||,...,)1(||,)((|)0(0)0(0)0(n k k εεε+为可建模残差尾段,仍记为))(),...,1(),(()0(0)0(0)0()0(n k k εεεε+=
设))(),...,1(),(()0(0)0(0)0()0(n k k εεεε+=为可建模残差尾段,其一次累加序列
))(),...,1(),(()1(0)1(0)1()1(n k k εεεε+=的GM1,1模型的时间响应式为
0)]([0)0()1(,))(()1(ˆ0
k k a b
e a b k k k k a ≥+-=+--ε
εεεεεε
则残差尾段的模拟序列为
))(ˆ),...,1(ˆ),(ˆ(ˆ)0(0)0(0)0()0(n k k εεεε+= 其中
0)]([0)0()0(,))()(()1(ˆ0
k k e a b
k a k k k a ≥--=+--εε
εεεε
➢ 若用)0(ˆε
修正)1(ˆX 则称修正后的时间响应式 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥-±+-<+-=+----0)]([0)
0()0(0
)
0()
1(,))(())1((,))1(()1(ˆ0k k e
a b k a a b e a b x k k a b e a b x k x k k a ak ak εεεεε 为残差修正GM1,1模型,简称残差GM1,1;
其中残差修正值)]([0)0()0(0
))()(()1(ˆk k a e a b
k a k ----=+εε
εεεε
的符号应与残差尾段)0(ε的符号保持一致;
➢ 若)1()0()1()1()0())1()(1()1(ˆ)(ˆ)(ˆ----=--=k a a e a
b
x e k x k x k x
则相应的残差修正时间响应式
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥-±--<--=+----0)]([0)
0()0(0
)
0()0(,))(())1()(1(,))1()(1()1(ˆ0k k e
a b k a e a b x e k k e a b x e k x k k a ak a ak a εεεεε 称为累减还原式的残差修正模型;
取定k 后,按此模型,可对k>k0的模拟值进行休整,修正后的精度如下表：
就只有考虑采用其它模型或对原始数据序列进行适当取舍;
再用P 和C 检验预测效果;
五、GM1,1模型的适用范围
灰色GM1,1模型评价推广 1 灰色GM1,1模型优点
灰色GM1,1预测模型在计算过程中主要以矩阵为主, 它与MATLAB 的结合解决了它在计算中的问题. 由MATLAB 编制的灰色预测程序简单实用, 容易操作, 预测精度较高.
2 灰色GM1,1模型的缺点
该模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论对我国人口发展进行预测的方法,
因此它对历史数据有很强的依赖性, 而且GM 1,1的模型没有考虑各个因素之间的联系. 因此, 误差偏大, 尤其是对中长期预测, 例如对中国人口总数变化情况做长期预测时, 误差偏大, 脱离实际. 下面我们来讨论GM1,1模型的适用范围.
GM1,1模型的白化微分方程：
(1)
(1)dX aX u dt
+= 其中a 为发展系数,
可以证明,当GM1,1的发展系数||2a ≥时,GM1,1模型无意义;因此,(,][,)22-∞-⋃+∞是GM1,1发展系数a 的禁区;在此区间,GM1,1模型失去意义;
一般地,当||2a <时,GM1,1模型有意义;但是,随着a 的不同取值,预测效果也不同;通过数值分析,有如下结论：
1当.03a -≤时,GM1,1的1步预测精度在98%以上,2步和5步预测精度都在97%以上,可用于中长期预测；
2当..0305a <-≤时,GM1,1的1步和2步预测精度都在90%以上,10步预测精度也高于80%,可用于短期预测,中长期预测慎用； 3当..0508a <-≤时,GM1,1用作短期预测应十分慎重；
4当.081a <-≤时,GM1,1的1步预测精度已低于70%,应采用残差修正模型； 5当1a ->时,不宜采用GM1,1模型;
如果要考虑到多因素的联系和影响, 此时我们不妨建立GM 1, n 模型. GM 1, N 模型能模拟系统发展的动态过程, 不但吸收了传统的灰色模型的建立, 而且建立了多中改进的灰色模型, 提高了预测精度.
论文小结处：与传统的数理统计模型相比,该模型在…预测方面具有明显优点：① 无需典型的概率分布；② 减少时间序列的随机性；③ 小样本即可计算；④ 计算简便;用灰色理论预测…理论可靠,方法较简单;对原始数据系列长度要求不高,即使在系列较短的情况下也能取得令人满意的预报结果,弥补了其他方法无法进行短期系列观测资料的…的预测;本文建立的模型经拟合精度检验P= ,C=,模型判为…,预测精度高,能达到预测要求;
灰色预测法GM总结
灰色预测模型 一、灰色预测的概念 1. 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法;灰色系统是介 于白色系统和黑色系统之间的一种系统;灰色系统内的一部分信息是已知的,另一部分信息时未知的,系统内各因素间具有不确定的关系; 2. 灰色预测,是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测,对既含有已知信息 又含有不确定信息的系统进行的预测,也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测;尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的,但毕竟是有序的、有界的,因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律,生成有较强规律性的数据序列,然后建立相应的微分方程模型,从而预测事物未来发展趋势的状况;灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测; 二、灰色预测的类型 1. 灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色 预测模型,预测未来某一时刻的特征量,或达到某一特征量的时间; 2. 畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻,预测异常值什么时候出现 在特定时区内; 3. 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型,预测 系统中众多变量间的相互协调关系的变化; 4. 拓扑预测；将原始数据作曲线,在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点, 并以该定值为框架构成时点数列,然后建立模型预测该定值所发生的时点 三、GM1,1模型的建立 1. 数据处理 为了弱化原始时间序列的随机性,在建立灰色预测模型之前,需先对原始时间序列进行数据处理,经过数据处理后的时间序列即称为生成列; i. 设()()()()()()()()(){} ,,, (00000) 123X X X X X n = 是所要预测的某项指标的原始 数据,计算数列的级比()()() (),,,,() 00123X t t t n X t λ-= =;如果绝大部分的级比都 落在可容覆盖区间(,)221 1 n n e e -++内,则可以建立GM1,1模型且可以进行灰色预
灰色预测GM(1,1)模型分析
SPSS分析SPSS教程SPSSAU 灰色预测模型GM11 灰色模型 灰色预测GM(1,1)模型分析 Contents 1背景 (2) 2理论 (2) 3操作 (3) 4 SPSSAU输出结果 (3) 5文字分析 (4) 6剖析 (5) 灰色预测模型可针对数量非常少（比如仅4个），数据完整性和可靠性较低的数据序列进行有效预测，其利用微分方程来充分挖掘数据的本质，建模所需信息少，精度较高，运算简便，易于检验，也不用考虑分布规律或变化趋势等。但灰色预测模型一般只适用于短期预测，只适合指数增长的预测，比如人口数量，航班数量，用水量预测，工业产值预测等。 灰色预测模型有很多，GM(1,1)模型使用最为广泛，第1个数字表示进行一阶微分，第2个数字1表示只包含1个数据序列。 特别提示： GM(1,1)模型仅适用于中短期预测，不建议进行长期预测； GM(1,1)模型适用于数量少(比如20个以内)时使用，大量数据时不适合。
灰色预测模型案例 Contents 1背景 (2) 2理论 (2) 3操作 (3) 4 SPSSAU输出结果 (3) 5文字分析 (4) 6剖析 (5) 1背景 当前某城市1986~1992共7年的道路交通噪声平均声级数据，现希望预测出往后一期器械声平均声级数据。数据如下： 年份城市交通噪声/dB(A) 198671.10 198772.40 198872.40 198972.10 199071.40 199172.00 199271.60 2理论 灰色预测GM(1,1)模型一般针对数据量少，有一定指数增长趋势的数据。在进行模型构建时，通常包括以下步骤： 第一步：级比值检验； 此步骤目的在于数据序列是否有着适合的规律性，是否可得到满意的模型等，该步骤仅为初步检验，意义相对较小。级比值=当期值/上一期值。一般情况下级比值介于[0.982,1.0098]之间则说明很可能会得到满意的模型，但并不绝对。 第二步：后验差比检验； 在进行模型构建后，会得到后验差比C值，该值为残差方差/ 数据方差；其用于衡量模型的拟合精度情况，C值越小越好，一般小于0.65即可。 第三步：模型拟合和预测；
灰色预测法
灰色预测法 1.介绍 灰色预测就是灰色系统所做的预测，灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙教授创立的一种兼具软硬科学特性的新理论。灰色系统的具体含义就是：部分信息已知，部分信息未知的某一系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素有很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。 2.适用问题 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。比如说人口预测、气象预报、初霜预测、灾变预测（如地震时间的预测）、数列预测（如对消费物价指数的预测）。 灰色预测模型所需要的数据量比较少，预测比较准确，精确度比较高。样本分布不需要有规律性，计算简便，检验方便。灰色GM(1,1) 模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论进行预测的方法，对历史数据有很强的依赖性，没有考虑各个因素之间的联系，所以误差偏大，只适合做中长期的预测，不适合长期预测。 3.数学方法核心步骤 3.1数据的检验与处理
首先，为了确保建模方法的可行性，需要对抑制数据作必要的检验处理，设参考数据为 (0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，计算数列的级比 (0)(0)(1)().2,3,...,() x k k k n x k λ-== 如果所有的级比()k λ 都在可容覆盖2 212(,)n n e e -++ 内，则数列(0)x 可以 作为模型GM(1,1)的数据进行灰色预测，否则，需要对(0)x 做必要地变换处理，使其落入可容覆盖内，即取适当的c ，做平移变换 (0)(0)()(),1,2,...,y k x k c k n =+= 则是数列(0)(0)(0)(0)()((1),(2),...,())y k y y y n =的级比 (0)(0)(1)(),2,3,...,() y y k k X k n y k λ-=∈= 3.2 建立模型 按照下面的办法建立模型GM （1,1） （1） 由上面的叙述知道参考数据列为(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，对 其做一次累加（AGO ）生成数列(1)x (1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(1)(0)((1),(2),...,())((1),(1)(2),...,(1)())x x x x n x x x x n x n ==+-+ 其中(1) (0)1 ()()(1,2,...,)k i x k x i k n ===∑ 。求均值数列 (1)(1)(1)=0.5()0.5(1)z x k x k +-，k=2,3,...,n
灰色预测模型GM
灰色预测模型GM (1,1) §1 预备知识 平面上有数据序列()()(){}n n y x y x y x ,,,,,,2211 ，大致分布在一条直线上。 设回归直线为：b ax y +=，要使所有点到直线的距离之和最小（最小二乘），即使误 差平方和()∑=--=n i i i b ax y J 1 2 最小。J 是关于a , b 的二元函数。由 ()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅--⋅=∂∂=-⋅--⋅=∂∂∑∑==0 12021 1 n i i i i n i i i i i b x a y b J x b x a y a J () ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--⇒∑∑==001 1 2 n i i i n i i i i i b a y bx ax y x 则得使J 取极小的必要条件为： ⎪⎩⎪⎨⎧= +=+⋅∑∑∑∑∑=i i i i n i i i y nb x a y x x b x a 1 2 （*） ()() ()()() ()()⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪⎨⎧--=--=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22 2 2 2i i i i i i i i i i i i i x x n y x x x y b x x n y x y x n a (1) 以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。下面提一种观点，上述算法，本质上是用实际观测数据i x 、i y 去表示a 与b ，使得误差平方和J 取最小值，即从近似方程 ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b b b x x x a y y y n n 2121 中形式上解出a 与b 。把上式写成矩阵方程。 令 ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=n y y y Y 21，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=∴b a x x x Y n 1112 1 x
灰色预测模型论文
GM(1,1)灰色预测模型 摘要 灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型，因此，灰色预测的数据是通过生成数据的gm(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。本文利用灰色预测对重庆市的人均收入进行模拟，容易理解，操作简单灵活，直接面向用户，精度较高。 一、GM(1,1)预测模型的基本原理： 灰色预测的基本原理时间序列预测是采用趋势预测原理进行的.然而时间序列预测存在以下问题:(1)时间序列变化趋势不明显时,很难建立起较精确的预测 模型.(2)它是在系统按原趋势发展变化的假设下进行预测的,因而未考虑对未来 变化产生影响的各种不确定因素.为克服上述缺点,邓聚龙教授引入了灰色因子的概念,采用“累加”和“累减”的方法创立了灰色预测理论.1.1 GM(1,1)模型的基本原理当一时间序列无明显趋势时,采用累加的方法可生成一趋势明显的时间序列.如时间序列X(0)={32,38,36,35,40,42}的趋势并不明显,但将其元素进行“累加”所生 成的时间序列X(1)={32,70,106,141,181,223}则是一趋势明显的数列,按该数列的 增长趋势可建立预测模型并考虑灰色因子的影响进行预测,然后采用“累减”的方法进行逆运算,恢复原时间序列,得到预测结果,这就是灰色预测的基本原理. 数据来源：重庆市统计年鉴 重庆城市居民家庭人均可支配收入： 收入 4375.43 5022.96 5302.05
表1 二、利用软件对数据进行模拟： 模拟值残差相对误差 4375.43 2 3910.0859 -1112.8741 -22.155743 3 4368.869126 -933.18087 4 -17.600379
(整理)灰色预测法
灰色预测理论在数学建模中的应用 作者：胡金杭 摘要：灰色系统理论在自动控制领域中已取得了广泛的应用，本文针对灰色预测理论的特点，分析了它在数学建模中的具体应用。首先，本文对如何将实际问题转化为灰色GM(1,1)预测模型给了具体的步骤，同时针对模型的特点，可以对其的预测精度进行后验差检验，随后，针对基本灰色GM(1,1)预测模型单调性的特点，我们可以采用改进的等维灰数递补模型，这样可以大大的提高模型对实际问题的预测精度。 关键字：GM(1,1)预测模型后验差检验等维灰数递补模型 引言 现实中的很多实际问题，都需要通过分析现有的数据，对该问题未来的发展趋势进行预测，随后决策者参考预测得到的结果，就可以制定合理的解决方案。 在预测分析中，最基本的预测模型为线性回归方程，针对一些规律性较强的数据，该模型能作出精确的预测，但在实际中，我们得到的常是一些离散的，规律性不强的数据，为解决此类问题，线性的方法就不适用了，此时，就需要采用灰色预测的方法。 灰色预测理论是将看似离散的数据序列经数据变换后形成有规律的生成数列( 如累加生成、累减生成) ，然后对生成数列建立微分方程，得到模型的计算值后，再与实测值比较获得残差，用残差再对模型作修正，然后便可用建立的灰色模型对该问题进行预测。 一、具体的灰色GM(1,1)预测模型的建立： 我们设已知数据变量组成序列，则我们可得到数据序列 ，用1-AGO生成一阶累加生成序列为： 其中 (1-1) 由于序列具有指数增长规律，而一阶微分方程的解恰是指数增长形式的解，因此我们可以认为序列满足下述一阶线性微分方程模型
(1-2) 我们利用离散差分方程的形式对上微分方程可以得到下矩阵形式： (1-3) 简记为： (1-4) 式中；； 上述方程组中，和B 为已知量，A 为待定参数。可用最小二乘法得到最小二乘近似值。因此，式（1－4）可改写为 式中，E —误差项。 利用矩阵求导公式，可得 (1-5) 解得结果代入（2－2）中，我们可以得到 (1-6) 写成离散形式（令），得到GM(1,1)模型的时间响应函数 （K =1，2，…）(1-7) 我们对其做累减还原，即可得到原始数列的灰色预测模型为： （K =1，2，…） (1-8) 将相关数据代入公式中进行运算，我们得到系数的具体值，即得到了具体的预测公式。 二、灰色模型精度的后验差检验：
灰色理论基础(自己总结)
灰色理论 在灰色理论中，通常用GM （n, m ）来表示灰色模型，其中，n 为差分次数，m 为变量的个数。对于沉降的预测，工程研究人员一般采用GM （1, 1）来进行预测。 等时距GM （1, 1）模型 等时距GM （1, 1）模型是最常用的一种灰色预测模型，也是非等时距GM （1,1）模型的建模基础。设观测到的原始等时距数据序列为： {}[0](0)(0)(0)(0)(1),(2),,(),,()X x x x k x n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 其中，(0)()x k 为k t 时刻对应的初始数值，时间步长1i i t t c +-=为常数，1,2,3i n =⋅⋅⋅。 对[0]X 中的数据经过一次累加（1-AGO ）运算，得到光滑的生成数列： {}[1](1)(1)(1)(1)(1),(2),,(),,()X x x x k x n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 其中，(1)(0)1()()k k i i x t x t ==∑，1,2,3k n =⋅⋅⋅。 [1]X 的均值数据序列[1]Z 可以表示为：{}[1](1)(1)(1)(1)(1),(2),,(),,(1)Z z z z k z n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅- 其中，(1)(1)(1)()1/2()(1)z k x k x k ⎡⎤=++⎣⎦。 (1)()x k 的GM （1, 1）模型白化形式的微分方程可表示为： （1） 其中，a ，b 为待定参数，可以由式（1）离散化后求得，式（1）在区间[,1]k k +离散后的方程为： (0)(1)(1)()x k az k b ++= （2） 离散的过程： 式（1）在区间[,1]k k +上积分，有： 11 1(1)(1)()()k k k k k k dx t ax t dt bdt ++++=⎰⎰⎰ 1(1)(1)(1)(0)()(1)()(1) k k dx t x k x k x k +=+-=+⎰ 所以，式（1）离散后的方程为式（2）。
灰色预测模型简介
实用文档 一、 GM （1，1）模型的建立 GM 表示灰色理论的灰微分方程模型。GM （1，1）即一阶一个变量的灰微分方程模型。 GM （1，1）预测模型是最常用的一种灰色动态预测模型，其建模原理是： 设有一组原始序列：(0)(0)(0)(0)((1),(2),....,())x x x x n = 对原始序列作一价累加生成，得(1)(1)(1)(1)((1),(2),....,())x x x x n = 其中：(1)(0)1()()k i x k x i ==∑ k=1,2,…..，n 再作(1)x 的一阶均值生成，得 ((2),(3),....())x x x x n = 其中：(1)(1)()1/2((1)())x k x k x k =--+ k=1, 2,3…..，n 即构成了灰色模块，可建立灰色模型，GM （1，1）模型的一般式为： (1) (1)dx ax u dt += 解此微分方程得：(1)(0)ˆ(1)((1))ak u u x k x e a a -+=-+ （k=0,1,…..） 式中参数a,u 可由最小二承法求得：1ˆ()T N a a B B Y u -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 其中：(2)1(3)1::()1x x B x n -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (0)(0)(0)(2)(3):(3)N x x Y x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 通过累减还原得到(0)x 的预测模型为(0)(0)ˆ(1)(1)((1))a ak u x k e x e a -+=-- （k=1,2,…）
实用文档 二、模型检验 GM （1，1）残差模型可提高原模型的精度，共有两种方式： （1）当用累加生成序列的残差建立ＧＭ（１，１）残差模型时，其残差序列为 (0)(1)(0)ˆ()()()t x t x t ε=- 其累加生成的ＧＭ（１，１）模型为(1)(0)(1)((1))a t u dt t e at a εεε εε-+=-+ 其导数即为对模型ˆ(1)x 的修正项： (0)()()(1)a t u t i a e a εεεεδε-⎛⎫--- ⎪⎝ ⎭ 其中1()()0()t i t i t i δ≥⎧-=⎨<⎩ 修正后的模型为 (0)(0)(0)ˆ(1)((1))()()(())a t at u u x t a x e t i a t e a a εεεε δε--+=--+--- （２）当用还原模型的残差序列建立ＧＭ（１，１）模型时，其残差序列为 (1)(0)(0)ˆ()(1)()q t x x t =- 其累加生成模型为 (1)(0)(1)(1)q a t q q q q u u q t q e a a -⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭ 对模型的修正项求导，得 (0)()()(1)q a t q q q u t i a q e a δ-⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝ ⎭ 式中1()()0() t i t i t i δ≥⎧-=⎨ <⎩
灰色预测总结讲解
灰色系统建模 灰色系统理论在建模中的应用:灰色系统理论在建模中被广泛用来处理数据。与插值拟合相比，利用灰色模型处理数据不仅对数据没有很强的限制，而且精度更高，计算更简便。常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍. 累加生成: (0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)[(1),(2),,()], ,[(1),(2),,()],: x x x x x n x x x x x n x x ==令为原始序列,记生成数为如果 与之间满足如下关系 (1)(0)1 ()();1,2,,(21) k i x k x i k n ===-∑ ,1AGO -一次累加生成则称为记为 累加生成在灰色系统理论中有着非常重要的地位,它能使任意非负数列,摆动的或非摆动的,转化为非减的 的,递增的数列. 累减生成:累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加生成的逆运算,常简记为IAGO(Inver se Accumulated Generating Operation), 累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息,其运算符号为∆. ()() () ,,: r r i x r x i ∆令为次生成数列对作次累减生成记为其基本关系式为 (0)()()(1)()(0)()(0)()(2)()(1)()(1)()()()(1)()(1)()[()]() [()][()][(1)][()][()][(1)](25) [()][()][(1)] r r r r r r r r i r i r i r x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k --∆=∆=∆-∆-∆=∆-∆--∆=∆-∆ -
GM灰度模型预测方法
GM灰度模型预测方法 GM(1,1)灰度模型是一种灰度系统建模和预测方法，它是由中国科学 家灰色系统理论的创始人邓聚龙教授于1984年提出的。GM(1,1)模型是一 种线性灰度预测模型，主要用于描述和预测短期和中期非随机灰度序列的 发展趋势。它广泛应用于经济、环境、社会发展等领域，具有简单、高效、灵活的特点。 GM(1,1)模型的建立是基于灰色预测理论的，该理论将预测的问题转 化为寻找构造相似数据序列的问题，以便对原始序列进行预测。GM(1,1) 模型的基本思想是通过灰色累加生成序列，将原始序列单纯累加变成灰色 累加后的序列，再对其进行建模和预测。 首先，对原始序列进行数据标准化。通过比例变化到0-1之间，使序 列具有可比性和可比较性。 然后，对标准化后的序列进行累加生成序列。通过一次累加操作来转 化原始序列，使其变成一个累加生成序列。 接下来，建立GM(1,1)模型。通过常微分方程(一阶线性微分方程)来 描述灰色累加生成序列的发展趋势。GM(1,1)模型可以表示为： $x^{(1)}(k)+ax^{(0)}(k)=b$，其中$x^{(1)}(k)$表示一次累加生成序列，$x^{(0)}(k)$表示原始序列，a和b为模型参数。然后，通过解微分方程，得到GM(1,1)模型的解析表达式。 接着，对模型进行检验。主要包括残差检验和后验差检验。残差检验 用于检验模型在建立时的合理性和适用性，后验差检验用于检验模型的精 度和稳定性。
最后，通过GM(1,1)模型进行预测。通过灰色预测模型的解析表达式，可以对未来的序列值进行预测。通常可以使用累减法或累加法来还原预测值，使其恢复到原始序列的范围。 GM(1,1)模型也存在一些限制。首先，它只能用于中小样本的预测， 对于大样本的预测效果可能较差。其次，模型对异常值和噪声的敏感性较高，需要对数据进行预处理和清洗。最后，模型对序列的发展趋势做出的 假设是线性的，对于非线性序列的预测效果不理想。 总之，GM(1,1)灰度模型是一种简单而有效的灰度预测方法，适用于 中小样本的非随机灰度序列的预测。通过对灰色累加生成序列的建模和分析，可以对序列的发展趋势进行预测。然而，在应用时需要注意模型的限制，同时结合实际情况进行预测结果的解释和评估。
灰色预测模型GM(1_1)及其应用
灰色预测模型GM(1,1)的应用 一、问题背景： 蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。 为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。 二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测 下面是对Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。 在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm 2）情况下的蠕 变断裂时间见下表。 数 列 序 数 K 1 2 3 4 5 载荷应力（kg/mm 2） 37 36 35 34 33 断裂时间（)(100)0(K X ⨯小时） 2.38 2.80 4.25 6.85 11.30 一次累加数列)()1(K X 2.38 5.18 9.43 16.28 27.58 1、建立GM （1,1）模型 （1）数据处理：将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素。即根据断裂时间数列)()0(k X 由∑==k n n X k X 1)0()1()()(得到 )()1(k X 。 （2）建立矩阵B,y:
GM模型建立与预测方法
GM模型建立与预测方法 1.灰色系统理论简介： 灰色系统理论是由中国科学家李文建于1982年提出的，它是一种描述不确定性系统的理论方法。灰色系统理论将系统划分为有较多信息和有较少信息的两个部分，将有较多信息的部分称为白色信号，将有较少信息的部分称为黑色信号。 2.GM(1,1)模型的建立步骤： (1)原始数据序列的累加生成： 将原始数据序列累加得到累加序列，令累加序列为 $$X^{(1)}=\sum_{i=1}^n X(i),\quad i=1,2,...,n.$$ (2)累加生成序列的一次累减生成： 将累加序列的每个相邻数据相减得到累减序列，令累减序列为 $$Z^{(1)}=\sum_{i=1}^{n-1} X(i),\quad i=1,2,...,n-1.$$ (3)GM(1,1)微分方程的建立： 由累减生成序列得到微分方程为 $$\hat{X}(k+1)-a\hat{X}(k) = b,$$ 其中 $\hat{X}(k)$ 表示 $Z^{(1)}$ 的紧邻均值，即 $$\hat{X}(k)=\frac{Z^{(1)}(k)+Z^{(1)}(k+1)}{2},\quad k=1,2,...,n-1.$$ 系数$a$是发展系数，系数$b$可以由初始数值求得。
(4)模型参数的计算： 根据微分方程，可以得到模型参数的计算公式： $$a = \frac{\sum_{i=1}^{n-1}(X^{(1)}/X(i))}{n-1},\quad b = X(1)-\frac{a}{1-a}X^{(1)}.$$ 3.GM(1,1)模型的预测方法： (1)模型参数的计算： 根据已有的数据序列，利用上述步骤计算得到模型的参数$a$和$b$。 (2)模型的状态方程和预测方程： 状态方程可以表示为 $$X^{(1)}(k+1)=aX^{(1)}(k)+b,$$ 预测方程可以表示为 $$\hat{X}(k+1) = X(1)-\frac{b}{a}[1-\exp(-a)]\exp(a(k+1)).$$ (3)模型的残差检验： 计算原始序列和预测序列的离差，如果离差不满足预先设定的阈值，说明预测的效果较好；否则需要调整模型参数重新预测。 4.GM(1,1)模型的优缺点： 优点： -对小样本非线性序列预测效果较好； -模型的建立相对简单，计算速度较快；
灰色模型算术公式
灰色模型算术公式 灰色模型是一种用于预测和分析数据的方法，其基本思想是将数据分为两类：已知数据和未知数据。已知数据是指已经确定并可以用来建模的数据，而未知数据则是需要预测或者分析的数据。为了对未知数据进行预测或分析，灰色模型使用了灰色系统理论中的灰色预测方法。 灰色模型的算术公式包括：灰色微分方程、灰色模型GM(1,1)、灰色关联度等。其中，灰色微分方程是灰色预测方法的核心公式，它的形式为： $$ frac{dx}{dt} + a x = u $$ 其中，$x$ 表示原始数据序列，$t$ 表示时间，$a$ 表示灰色微分方程的参数，$u$ 表示灰色微分方程的非齐次项。通过对该方程进行求解，可以得到灰色模型的预测结果。 另外，灰色模型GM(1,1)是一种常用的灰色预测模型，它的基本形式为： $$ x(k+1) = (x(1)-frac{u}{a})e^{-ak} + frac{u}{a} $$ 其中，$x(k+1)$ 表示预测值，$x(1)$ 表示初始值，$a$ 和 $u$ 分别表示灰色微分方程的参数。通过对历史数据进行处理，可以得到灰色模型GM(1,1)的预测结果。 此外，灰色关联度是用于分析数据间关系的一种方法，在灰色系统理论中被广泛应用。灰色关联度的计算公式为： $$ r_{ij} = frac{sum_{k=1}^n
min(x_i(k),x_j(k))}{sum_{k=1}^n x_i(k)} $$ 其中，$x_i(k)$ 和 $x_j(k)$ 分别表示第 $i$ 个和第 $j$ 个 数据在第 $k$ 个时刻的值，$n$ 表示时刻数。通过计算灰色关联度，可以了解数据之间的关系，从而对其进行进一步的分析和预测。 总之，灰色模型的算术公式包括灰色微分方程、灰色模型GM(1,1)、灰色关联度等，这些公式是灰色预测和分析方法的核心内容。在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的公式进行计算和分析。
灰色系统预测GM(1,m)
灰色GM （1,1）模型及其原理 1灰色GM （1,1）模型的构建 GM （1,1）模型是将离散的随机数经过依次累加成算子，削弱其随机性，得到较有规律的生成数，然后建立微分方程、解方程进而建立模型。设所要预测的某项指标的原始数据序列为： ()()()()()()()()(){}n X X X X X 00000,,3,2,1 = 对原始数据序列作一次累加生成处理，获得新的数据序列： ()()()()()()(){}n X X X X 1111,,2,1 = 式中：()()()()∑ ==i k k X i X 101 n i 3,2,1= 经过累加处理，新生成的数据序列与原始的数据序列相比，具有平稳性增强而波动性减弱的特点。对生成数列建立GM （1，1）白化形式的微式方程[4]： ()() ()u aX dt t dX =+11 式中：a 称为发展系数，u 称为内控发展灰数。 利用最小二乘法拟合求得估计参数： ()n T T X B B B u a 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 式中：()()()()[]()()()()[]⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-=1121121211111n X n X X X B ()()()()()()[]n X X X X n 000,,3,2 = 将B 带入公式，最终确定GM （1,1）预测模型 ()()()()a e a X t X at μμ+⎥⎦⎤⎢⎣ ⎡-=-∧∧ 100 n t 2,1,0= 将值代入离散模型公式求()()t X ∧ 1，预测的累加值还原为预测值： ()()()()()()1110--=∧ ∧ ∧ t X t X t X 2模型精度的检验 2.1残差检验 计算残差()()t 0ε及其相对残差()()t q 0，即：
GM(1,1)灰度模型预测方法
GM(1,1) 灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型，因此，灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。 灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 1．GM(1,1)模型预测方法 已知参考数据列()(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()x x x x n =⋅⋅⋅,1次累加生成序列(1AGO)- ()()(1)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()(1),(1)(2),,(1)()x x x x n x x x x x n =⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ 其中：(1) (0)1 ()(),1,2,,k i x k x i k n ===⋅⋅⋅∑。(1)x 的均值生成序列 ()(1)(1)(1)(1)(2),(3),,()z z z z n =⋅⋅⋅ 其中：(1)(1)(1)()0.5()0.5(1),2,3,,z k x k x k k n =+-=⋅⋅⋅。 建立灰微分方程 (0)(1)()(),2,3,,,x k az k b k n +==⋅⋅⋅ 相应的白化微分方程为 (1) (1)()dx ax t b dt += 记T [,]u a b =，T (0)(0)(0)(2),(3),,()Y x x x n ⎡⎤=⋅⋅⋅⎣⎦，(1)(1)(1)(2)1(3)1()1z z B z n ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ,则由最小二乘法，求得使T ()()()J u Y Bu Y Bu =--达到最小值的u 的估计值为 ()T 1T T ˆˆˆ,u a b B B B Y -⎡⎤==⎣⎦ 于是求解其白化微分方程得 ˆ(1)(0)ˆˆ(1)(1),0,1,,1,ˆˆak b b x k x e k n a a -⎛⎫+=-+=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ 2. GM(1,1)模型预测步骤 （1）数据的检验与处理 首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列作必要的检验处理。设参考数据列为()(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()x x x x n =⋅⋅⋅，计算序列的级比 (0)(0)(1)(),2,3,,()x k k k n x k λ-==⋅⋅⋅
GM(_)模型,灰色预测
小额贷款远程智能预警系统 人数预测算法的设计 一、灰色系统的引入： 灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述. 灰色系统模型的特点：对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。 目前，灰色系统已经成为社会、经济、科教、技术等很多领域进行预测、决策、评估、规划、控制、系统分析和建模的重要方法之一。 特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的建模与分析，具有独特的功效。 灰色模型的优点 （一） 不需要大量的样本。 （二） 样本不需要有规律性分布。 （三） 计算工作量小。 （四） 定量分析结果与定性分析结果不会不一致。 （五） 可用于近期、短期，和中长期预测。 （六） 灰色预测精准度高。 二、GM （1,1）模型（grey model 一阶一个变量的灰微分方程模型） 灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型。因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。 GM （1,1）的具体模型计算式 设非负原始序列 ()()(){} n x x x X )0()0()0()0(,...,2,1= 对) 0(X 作一次累加 ()()∑==k i i x k x 1 )0() 1( ; k=1,2,…,n 得到生成数列为 ()()(){} n x x x X )1()1()1()1(,...,2,1= 于是()k x ) 0(的GM （1,1）白化微分方程为 u ax dt dx =+)1() 1( (1—1)