单位圆与诱导公式

单位圆与诱导公式

泗县三中教案、学案：单位圆与诱导公式1年级高一学科数

学课题单位圆与诱导公式1授课时间撰写人时间学习重点诱导公式的记忆、理解、运用。学习难点诱导公式的推导、记忆及符号的判断学习目标

1. 掌握π＋α、－α、π－α等诱导公式；

2. 能熟练运用诱导公式进行化简与求值..

教学过程一自主学习1写出2kπ＋α的诱导公式.sin(2 kπ+ )=；cos(2 kπ+ )=；

2. sin(π＋α)=；cos(π＋α) =；

3.仿上面的步骤推导－α、π－α的诱导公式.口诀：奇变偶不变，符号看象限. （90度的奇数倍函数名称改变，90度偶数倍函数名称不变，“符号”是把任意角α看成锐角时，所在象限的三角函数值的符号.）

二师生互动例1求值：（1）sin225°；（2）cos ；（3）

sin(－ )；（4）cos（－）. 变式：求tan（－2040°）的值.

小结：运用诱导公式的格式；注意符号.例2 化简 .

练1. 已知cos(π＋x)＝0.5，求cos(2π－x)的值. 练2. 化简： .

三巩固练习1. （）. A. B. C. B. 2. 下列式子正确的是（）. A. B. C. D. 3. 化简 =

（）. A. B. C. D. 4. .5. cos(π－x)＝，则cos(－x)= .

四课后反思

五课后巩固练习1. 求证： .

2. 已知sin(π+ )= （为第四象限角），求cos(π+ )+tan(－ )的值.

圆的计算有关公式

圆的计算有关公式1、同一个圆中半径与直径的关系。（1）半径是直径的一半。 1d 用字母表示：r= 2 （2）直径是半径的2倍。 用字母表示：d=2r 2、圆的周长的计算有关公式。 （1）圆的周长=圆周率×直径。 用字母表示：c=兀d （2）圆的周长=圆周率×半径×2。 用字母表示：c=2兀r （3）圆的半径=圆的周长÷圆周率÷2。 用字母表示：r=c÷兀÷2 （4）圆的直径=圆的周长÷圆周率。 用字母表示：d=c÷兀 3、半圆的周长的计算有关公式。 （1）半圆的周长=圆周率×直径÷2+直径。 用字母表示：c=兀×d÷2+d （2）半圆的周长=圆周率×半径+半径×2。 用字母表示：c=兀×r+2r （3）圆的半径=半圆的周长÷(圆周率+2)。 用字母表示：c=c÷(兀+2)

（4）圆的直径=半圆的周长÷(圆周率+2)×2。 用字母表示：c=c÷(兀+2) ×2。 n+半径×2。 4、扇形的周长=圆的周长× 360 n+2r 用字母表示：c=2兀r× 360 (n表示圆心角的度数) 5、环形的周长=大圆的周长+小圆的周长。 用字母表示：c=2兀R+2兀r=2兀×(R+r) 6、圆的面积=圆周率×半径的平方。 用字母表示：S=兀r2 7、半圆的面积=圆周率×半径的平方÷2。 用字母表示：S=兀r2÷2 n。 8、扇形的面积=圆周率×半径的平方× 360 n 用字母表示： S=兀r2× 360 (n表示圆心角的度数) 9、环形的面积=大圆的面积-小圆的面积。 用字母表示：S =2兀R2-2兀r2=2兀×(R2-r2) 10、时钟先问题。 (1)一昼夜=一天=24小时 (2) 时针一昼夜转2圈 (3)分针一昼夜转24圈 (4)秒针一昼夜转1440圈

圆的面积计算

圆的面积计算 教学内容：新课标数学六年级上册P67、68例1，圆的面积计算公式推导，圆面积计算的运用。 教学目标： 1、通过动手操作、认真观察，让学生经历圆面积计算公式的推导过程，理解掌握圆面积公式，并能正确计算圆的面积。 2、学生能综合运用所学的知识解决有关的问题，培养学生的应用意识。 3、利用已有知识迁移，类推，使学生感受数学知识间的联系与区别。培养学生的观察、分析、质疑、概括的能力，发展学生的空间观念。 4、通过学生小组合作交流，互相学习，培养学生的合作精神和创新意识，提高动手实际和数学交流的能力，体验数学探究的乐趣和成功。 教学重点：运用圆的面积计算公式解决实际问题。 教学难点：理解把圆转化为长方形推导出计算公式的过程。 教学准备：多媒体课件及圆的分解教具，学生准备圆纸片和圆形物品。 教学过程： 出示以下图形： 1、请同学们指出这些平面图形的周长和面积，并说说它们的区别。 2、你会计算它们的面积吗？想一想，我们是怎样推导出它们面积的计算公式的？（电脑课件演示） 二、合作交流，探究新知。 1 出示圆： （1）让学生说出圆周长的概念，并指出来。 （2）想一想：圆的面积指什么？让学生动手摸一摸。 （揭示：圆所占平面的大小叫做圆的面积。）

（3）对比圆的周长和面积，让学生感受他们的区别。 同时引出课题——圆的面积。 2、推导圆面积的计算公式。 （1）学生观察书本P67主题图，思考：这个圆形草坪的占地面积是多少平方米？也就是要求什么？怎样计算一个圆的面积呢？ （2）刚才我们已经回顾了利用平移、割、补等方法推导平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式的方法，那能不能把圆也转化成学过的图形来计算？猜一猜，圆可以转化成什么图形来推导面积公式呢？你打算用什么方式进行转化？ （3）请各小组先商量一下，你们想拼成什么图形，打算怎么剪拼，然后动手操作。 ①分小组动手操作，把圆平均分成若干(偶数)等份，剪开后，拼成其他图形，看谁拼得又快又好？ ②展示交流并介绍：小组代表给大家介绍一下你们组拼出来的图形近似于什么？是用什么方法剪拼的？为什么只能说是“近似”？能不能把拼出的图形的边变直一点？ ③当圆转化成近似长方形时，你们发现它们之间有什么联系？ 课件演示：

圆的周长公式

各位老师好,我今天说课的内容是苏教版小学数学五年级下册第12章第三课时圆的周长。 一、教材分析 在此之前，学生已经有长方形、正方形周长认识为基础，是前面学习圆的圆的认识的深化，同时也是后面学习“圆的面积”的等相关知识的基础，这段知识起着一个承前启后的作用，是小学几何学习的重要内容。 根据上述教材分析，考虑到五年级学生已有的知识结构及心理特征，我制定了如下教学目标： 1.知道圆周长含义，理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值 2.经历圆周长计算公式的推导过程，掌握计算公式，并能利用公 式解决实际问题 3.通过介绍我国古代数学家祖冲之在圆周率方面的伟大成就，激 发学生的民族自豪感；通过探索公式的过程，感受成功的喜悦根据本班学生的实际情况，我确立本节课的教学重点是：经历圆周长公式的推导过程；教学难点是：对圆周率的认识。 根据教学内容特点和学生的认知规律，我将采取采取“猜想——验证”和有意义地接受相结合的学习方式，借助多媒体以及相关教学道具，激发学生的求知欲望。利用实验法和多媒体辅助教学法引导学生认识圆周率，推导圆周长的计算公式。同时在学习过程中，注意独

立思考、小组合作、动手操作的方法相结合,使学生既能学习知识又能培养动手能力. 在教学前需要准备的是：三张大小不同的圆形硬纸片，细线，多媒体课件，直尺 二、教学过程 我把教学过程分为复习引入、探究周长、巩固练习、回顾总结四个流程。 （一）复习引入 我采用以旧知引新知的建构方法，首先让学生回忆圆的相关知识，接着提问你还想知道圆的哪些知识？这样设计，既能回顾旧知，还有新问题的提炼，有效地唤醒学生对未知的探索欲望，激发学生对课题的思考。 （二）探究周长 我把探究周长又细分为4个部分 1.理解圆的周长 有以前所学的长方形正方形的周长为基础，出示一张圆形纸片，对圆的周长做比划触摸而后进行理解和表达。有效的触摸体验，充分的理性概括，使圆周长概念的建构过程充分而有效。

圆的周长计算公式

《圆的周长计算公式》 万建里 教学《圆的周长计算公式》时，教师可让学生利用圆片、铁丝圈、直尺、彩带等材料，测量圆周长。当学生探讨出不同的测量方法后，教师演示（拿着一个一端系有小球的绳子，手执另一端并不停地甩动形式成圆的轨迹），设疑；你们还能用刚才的方法测量出这个圆的周长吗？然后让学生猜一猜，圆的周长可能与它的什么有关？接着让学生把圆的周长与直径比一比，看看它们有什么关系？并让学生小组合作量出圆的周长和直径，算出圆的周长与直径的比值。通过实践探索，学生不难发现圆的周长与直径之间的倍数关系。这样学生就很自然地推导出圆的周长公式。由此可见，学生借助学具自主操作亲自去经历、去实践，获得的圆的周长公式，比教师直接灌输的知识理解得更深刻、记忆更牢固。 首先教师为学生提供了几个大小不一的圆，材质也不一样，有的是用纸板做的，有的是用软布做的，有的是用铁丝围成，有的画在纸上，要求学生分组活动测量出这些圆的周长，每一小组桌上都有教师预先放在桌上的材料工具，包括绳子、纸条、彩笔、尺子、剪刀等。小组活动时，学生纷纷把材料一一选出，逐样试验。一会用绳子绕，一会用纸条围，一会在桌上滚圆一会用剪刀比划着……在学生作讨论、动手活动中产生了许多简易又灵活的方法：生1：圆周是曲线不能直接用尺量，先用纸条围纸板圆一周，再把纸条展开后用尺量。生2：也能用绳子绕。生3：先在纸板圆周上用彩笔做一点标记，把标记放在尺的0刻度上，向前滚动一周，读出刻度。生4：把铁丝圈剪开，再拉直了测量。生5：沿桌边滚一周后直接测量桌边也行。生6：我把布圆对折再对折下去，这条曲线就能用尺小心的量了。这所有的方法归结起来就是绕圈法、滚动法、化曲为直法，而且这些方法得到了很多小组的赞同与证实。 丰富的实践源自巧妙的设计这个活动只是《圆的周长》一课中的一部分，教学目标是为了使学生掌握一些生活中的简易又灵活的测量圆周长的方法，是下面测量圆周长和直径、探求他们比值关系的基础。教师设计安排的这个小组活动充分体现了数学新课程表准中强调的“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能……”这一理念。现代教育主张“要让学生动手做科学，而不是只用耳朵听科学”。因此，在教学中要加强学生动手操作能力的培养，把操作同观察、思维、语言表达有机结合，使学生逐步从具体的操作有效的转化为内部智力活动。特别是教师提供的不同材质的圆，深化了知识难度。每一个圆都是一个新问题，它们向学生设置了一个个具体的问题情境，激起学生寻找适当方法解决不同问题的愿

圆的周长公式推导

课题：圆的周长公式推导 教学内容：圆的周长公式推导。 教学重点：周长公式的推导过程。 教学难点：灵活地运用圆的周长公式。 学情分析：学生在学习本课之前，已经学习了长方形和正方形周长和面积的计算，经历了用不同方式测量物体长度等学习活动，已经具备了探索 周长公式的知识基础，但学生对一些组合图形的周长概念比较模糊。 学习目标：1、通过动手操作，引导学生发现圆的周长与直径之间的关系，推导出圆周长的计算公式，并能运用公式解决一些简单的实际问题。 2、理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值，并介绍我国数学家对 圆周率的研究史实，向学生进行民族自豪感的教育。 3、理解、掌握圆周长的计算公式，能正确地计算圆的周长。 4、鼓励学生积极参与探索、交流等活动，在解决问题的过程中进行 简单的有条理的思考，获得成功的体验。 设计理念：1、提倡自主、合作、探究的学习方式。 2、课堂是民主的、活动的、自由的，教师是学习活动的参与者、组 织者和引导者。 教学准备：圆形铁丝、直尺、测绳、圆的模型、圆规、课件 教学流程：导入——探究新知——巩固练习——总结 教学过程： 一．引入 1.实践引题。 画圆，理解周长的含义，指出圆的周长。如果第二个圆一周长度（周长）要求比刚才这个圆的周长大，画的时候该怎么办？（半径变大，直径变大。）圆周长的长短与什么有关呢？ 2.揭示课题，板书课题。 二．教学展开 1、按课本问题中的插图和讨论题，分4人小组进行讨论，师巡回指导。 2、出示用铁丝围成的圆，求它的周长，有些什么办法？（绳子绕一周，量绳子；铁丝剪断，化曲为直。） 出示一个圆形，求它一周的长度，还有什么办法？（引出在尺上滚动周长的方法。）在滚时要注意什么？（滚动时很容易原地打转，测量时容易有误差，所以要多次测量求平均值） 3、分组操作：用滚动（将圆片拿起，放在尺上滚）或用绳子绕一周，测绳子长度的方法，分别测出直径是2㎝，3㎝，4㎝，5㎝的圆的周长，填表计算，观察直径与圆周长的关系。（然后分小组汇报，由多组汇报都得到周长是直径的3倍多一点，让学生深刻体验到周长与直径的关系从而引出圆周率）

圆的面积公式03

《圆的面积》教学设计 正定回民小学吴彦霞 教材分析： 本课是学生学习了其它平面图形的面积后教学的，是小学平面几何的最后阶段，教材通过直观的组合图形面积的计算，让学生操作、观察、比较推导出圆的面积计算公式来解决生活中的实际问题。 学情分析： 学生已经掌握长方形、正方形、三角形、梯形的面积计算公式，并有了将一个图形转化成另一个面积相等的图形的转化思想，在此基础上将圆转化成长方形学生是乐于接受的。 教学目标： 知识与技能: 让学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆的面积计算公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的简单实际问题，构建数学模型。 过程与方法： 让学生进一步体会“转化”的数学思想方法，感情极限思想的价值，培养运用已有知识解决新问题的能力，增强空间观念，发展数学思维。 情感态度价值观： 让学生进一步体验数学与生活的联系，感受用数学的方式解决实际问题的过程，提高学习数学的兴趣。 教学重点：让学生经历圆面积公式的推导过程，理解和掌握圆面积的计算

公式。 教学难点：“化圆为方”的转化方法和极限思想的感受。 教学准备：平均分成16份的学具、课件。 教学策略： 1、本课是在学生掌握了面积的含义及长方形、正方形等平面图形面积的计算方法，认识了圆，会计算圆的周长的基础上进行教学的，教学时要注意遵循学生的认识规律，重视学生获取知识的思维过程，重视从学生的生活经验和已有的知识出发。 2、教学本课时，重点引导学生参与知识形成的过程，从而培养学生的创新意识、实践能力，并发展学生的空间观念提出将圆割拼成已学过的图形，组织学生动手操作，让学生主动。 教学过程： 一、复习导入，激发探索欲望 1.复习圆的周长计算方方法，圆周长的一半计算方法。 2.复习圆的面积，学生自己总结圆的面积是什么？ 3.复习已学的平面图形的计算方法。 4.我们先来回忆一下平行四边形的面积计算公式是怎样推导出来？ 我们遇到没学过的图形可以转化成学过的图形来计算,那能否把圆也转化成学过的图形来计算呢？ 【设计意图:复习铺垫，让学生能很快联系所学过的知识，很快就能进入新课的学习。】 二、新课探究

[高一数学]单位圆与诱导公式一

编制：李彩英审核：包科领导：年级主任：使用时间： 单位圆与诱导公式（一） 【学习目标】 1、理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三 角函数式的化简； 2、通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思 维方式； 3、感受学习、探索发现的乐趣与成功快乐。 【重点.难点】 重点：诱导公式的推导及应用。 难点：相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。 【使用说明与学法指导】 1.结合问题导学，用红色笔勾勒出疑惑点，独立完成探究题，并归纳总结； 2.限时30分钟完成导学案； 3.带※的重点班的C层可以不做。 一、问题导学 1、由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同名三角函数值相等． 即公式一：。 思考：除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等，那么它们的三角函数有何关系呢？ 2、角α的终边与角ˉα的终边关于x轴对称，α与ˉα的三角函数值之间的关系为： 公式二：。 思考：角2π-α与角α的三角函数值之间关系如何？ 3、角α的终边与角α±π的终边关于原点对称，α与α±π的三角函数值之间的关系为： 公式三：。 4、角α的终边与角π-α的终边关于y称，α与π-α的三角函数值之间的关系为： 公式四：。 二、合作.探究.展示 1、求下列三角函数值： （1）sin960；（2）) 6 43 cos( π；（3）) 4 19 cos( π - 2、利用单位圆，求适合cos 2 2 - = α ※3、化简) 2 cos( ) 2 sin( ) 5 sin( ) 3 cos( α π π α π α π α - ? - ? + -

圆概念公式定理

1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr2 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积S=nπr2/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl 〖圆的定义〗 几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。 集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 〖圆的相关量〗 圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率， 值是 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944 5923078164062862089986280348253421170679...， 通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。 圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 〖圆和圆的相关量字母表示方法〗 圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S 〖圆和其他图形的位置关系〗 圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

1.4.3单位圆与诱导公式

1.4.3单位圆与诱导公式 一.教学目标： （一）知识与技能：通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想。 （二）过程与方法：通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，并通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。 （三）情感态度与价值观：通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想，提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力。 二.教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。 三.教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明等。 四.学情分析： 五. 教学方法：讲授法与探究法。 六. 教学过程 第1课时 （一）、导入新课 思路1.(复习引入)我们前面利用单位圆得到了任意角的正弦、余弦函数，周期函数，最小正周期等概念.它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么呢？从周期函数的概念中我们知道正弦、,余弦函数值每隔2π就会重复出现，那么在单位圆中是怎样体现的呢？有什么内在的联系呢？由此引入新课. 思路2.在单位圆中，216°角的终边OP 在第三象限内，将OP 反向延长，与单位圆交于P′点，则在0°—90°之间找到一个角α=216°-180°=36°.由于△OPM ≌△OP′M′，所以有MP=M′P′.又因为sin216°=MP ，sin36°=M′P′，而MP 与M′P′的长度相同、方向相反，所以有sin216°=-sin36°.这样便把求sin216°的值的问题，转化为可查表的36°角的三角函数求值问题.你能把以上几何变换的过程，用三角关系式表示出来吗？由此引入新课. 或者从猜想中引入：比如学生根据上节所求，会得到以下结果： sin 65π＝sin 6π＝21，cos 65π＝-cos 6 π＝-21； sin 32π＝sin 3π＝23，cos 32π＝-cos 3 π ＝-23,等等. 教师由此发问:观察角65π与6π角的关系会得到什么结论？把角6π、6 5π 放到单位圆中又 有什么发现呢？让学生在强烈的探求欲望中展开新课，这也是一种很不错的选择. （二）、推进新课 新知探究

根据圆的周长公式解决实际问题

根据圆的周长公式解决实际问题 教学目标： １、使学生进一步巩固圆的周长的计算方法，提高计算圆的周长的熟练程度。 ２、使学生能根据圆的周长的直径或半径，进一步理解圆的半径、直径和周长的关系，提高学生应用知识解决简单实际问题的能力。 ３、进一步培养学生分析、判断和推理等思维能力。 教学重难点：熟练计算圆的周长 教学过程： 一、复习 1、口述：圆的周长计算公式 2、算圆的周长 d=3l厘米 d=8dm r=2m r=2.5m 问；你能根据怎样的方法算出这些圆的周长吗？ 3、引入新课 二、教学新课 1、一个圆形花坛的周长是25.12分米 ,这个花坛的直径是多少？ 已知什么？要求什么？ 对照公式看一看，已知哪个数要求什么数？ 根据已知条件和要求的问题，你认为用什么方法解答比较好？为什么？ 根据什么来列方程？ 练习，说说方程是怎样列出来的？ 2、用算术方法解答 怎样直接求出花坛的直径呢 25.12÷3.14 为什么可以这样列式？ 三、巩固练习 1、练一练 （1）用一根31.4分米的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少?如果围成一个圆,圆的直径是多少? 分组练习，说说是怎样想的？ 如果已知圆的周长要求半径，应该应用哪个计算公式来解答？

2、练一练（2）一根铁丝正好折成一个正三角形，它的边长为31.4厘米，如果同样长的铁丝围成一个圆，这个圆的半径是多少厘米？ 四、小结 学习了什么内容？圆的直径、半径和周长之间有什么关系？应用圆的周长计算公式能解决哪些问题？ 教学内容：本内容是六年级上册第11—15页圆的周长。 一、教材分析 1、教学主要内容：探索并掌握圆的周长的计算方法，阅读圆周率发展的历史。 2、本节课内容的地位：圆的周长是在学生认识圆、掌握长方形和正方形周长的基础上，对圆的周长作进一步研究。学生掌握了圆周长的计算方法，就为学习圆的面积公式的推导、圆柱和圆锥的学习打下了基础。 3、教材编写特点： （1）开展测量活动，探索圆周率的意义及圆周长的计算方法。 教材引导学生开展测量实验活动，通过实际测量与计算，研究发现圆的周长与直径的关系，从而引出圆周率并得出圆的周长计算公式。 （2）经历探索圆周长计算公式的过程，初步渗透“以直代曲”的极限思想。 在数学阅读“圆周率的历史”中，教材介绍了运用正多边形逼近圆、计算圆周率的方法，使学生体会“以直代曲”的极限思想。 4、教学内容的核心思想：转化、归纳、函数和极限的思想。 二、学生分析 1、学生已有知识经验：在本课教学之前，学生已经认识了圆，会求正方形和长方形等直线段图形的周长，对图形周长已经很清楚了。 2、学生已有生活经验：由于圆的普遍存在和广泛应用，以及部分学生经过自己的课外学习，已经知道了圆周长的计算公式，但对于这个公式的形成过程缺乏了解，只是处于知其然而不知其所以然的状态，主要原因是对圆周率的意义并不理解。因此本节课针对这一点来确定教学目标和教学重难点，通过引导经历探索圆周长计算公式的过程，深入理解圆周率的意义。 3、学生学习该内容可能的困难：对圆周率的意义和“以直代曲”的极限思想的理解。

圆的面积(23)

《圆的面积》教学设计 【教学内容】 义务教育课程标准实验教科书第十一册P69～71例1、例2。 【教学目标】 1、认知目标 使学生理解圆面积的含义；掌握圆的面积公式，并能运用所学知识解决生活中的简单问题。 2、过程与方法目标 经历圆的面积公式的推导过程，体验实验操作，逻辑推理的学习方法。 3、情感目标 引导学生进一步体会“转化”的数学思想，初步了解极限思想；体验发现新知识的快乐，增强 学生的合作交流意识和能力，培养学生学习数学的兴趣。 【教学重点】：掌握圆的面积的计算公式，能够正确地计算圆的面积。 【教学难点】：理解圆的面积计算公式的推导。 【教学准备】：相应课件;圆的面积演示教具 【教学过程】 一、情境导入 出示场景?——《马儿的困惑》 师：同学们，你们知道马儿吃草的大小是一个什么图形呀？ 生：是一个圆形。 师：那么，要想知道马儿吃草的大小，就是求圆形的什么呢？ 生：圆的面积。 师：今天我们就一起来学习圆的面积。（板书课题：圆的面积） [设计意图：通过“马儿的困惑”这一场景，让学生自己去发现问题，同时使学生感悟到今天要学习的内容与身边的生活息息相关、无处不在，同时了解学习任务，激发学生学习的兴趣。] 二、探究合作，推导圆面积公式 1、渗透“转化”的数学思想和方法。 师：圆的面积怎样计算呢？计算公式又是什么？你们想知道吗？ 我们先来回忆一下平行四边形的面积是怎样推导出来？ 生：沿着平行四边形的高切割成两部分，把这两部分拼成长方形师：哦，请看是这样吗？（教师演示）。 生：是的，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽，因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。 师：同学们对原来的知识掌握得非常好。刚才我们是把一个图形先切，然后拼，就转化成别

与圆有关的阴影面积的计算

辅导材料：与圆有关的阴影面积的计算 准备阶段： 1. 圆的面积公式：S r 2.其中r 为圆的半径. 1 2. 半圆的面积公式：S 半圆-r 2. 2 2 3. 扇形的面积公式：S 扇形n 其中r 为扇形的半径,n 为扇形的半径. 360 1 4?扇形的面积公式（另）：S 扇形尹.其中r 为扇形的半径,> 为扇形的弧长. n r 180 n r 1 r — Ir . 180 2 5. 关于旋转： （1） 复习旋转的性质? （2） 会画出一个图形旋转后的图形. （3） 旋转的作用：通过旋转，有时候我们可以把分散的几何条件集中起来，使题目 呈现出整体上的特点. 该作用也常用于与圆有关的阴影面积的计算? 6. 重点介绍：转化思想 在解决数学问题时，把复杂问题简单化，把一般问题特殊化，把抽象问题具体 化等的思想方法，叫做转化思想. 7?怎样求与圆有关的阴影的面积？ （1） 利用圆、半圆以及扇形的面积计算公式? 2 r ,1 360 2 . n r 1 --S 扇形 360 2

（2）利用整体与部分之间的关系. （3）采用整体思想求不规则图形的面积，一般将其转化为规则图形的和差来解决，具体可以通过平移、旋转或割补的形式进行转化

实战阶段： ★ 1.（ 2015河南）如图（1）所示，在扇 形AOB 中，/ AOB=90，点C 为OA 的 中点,CE 丄OA 交弧AB 于点E.以点O 为圆心,OC 的长为半径作弧CD 交OB 于点D.若OA=2,则阴影部分的面积为 解析：图（1）中阴影所在图形为不规 则图形,可以利用整体与部分之间的关 系的方法求解，即采用整体和差的方 法. 解:连结OE. ??? OA=OB=OE v CE 丄 OA ???△ COE 为直角三角形 v 点C 为OA 的中点 1 1 d 二 OC -OA -OE 1 2 2 ???在 Rt △ COE 中，/ CEO=30 ???/ EOC=60 vZ AOB=90 ? / BOE=30 在Rt △ COE 中,由勾股定理得： CE ,OE 2 OC 2 . 22 12 3 S 阴影 S COE S 扇 形OBE S 扇形OCD 1 1 30 22 2 90 12 2 360 360 3 2 12 ★ 2. （2015.贵州遵义）如图（2）所示, 在圆心角为90°的扇形OAB 中半径 OA=2 cm,C 为弧AB 的中点，D 、E 分 别是OA 、OB 的中点，则图中阴影部分 的面积是 __________ .

圆的面积计算公式的推导(吴琼)

九年义务教育第十一册第94页 圆的面积计算公式的推导 江油市世纪奥桥小学吴琼 设计意图： 拓展学生的思路，培养学生的创新能力，多角度来推导圆的面积计算公式。教学目标： （一）知识与技能 1．知道圆面积的含义。 2．理解和掌握圆面积的计算公式。 （二）过程与方法 1. 通过公式推导培养操作、观察、比较、分析、判断、推理、归纳概括能力，发展空间观念。 2．培养学生迁移类推能力。 （三）情感态度价值观 1.通过对圆面积公式的推导，认识到事物在一定条件下可以互相转化，渗透转化和极限的思想和方法。 2.运用转化思考方法解决实际问题， 探究过程： 1．回忆学过的图形面积公式的推导过程。 2．推导圆面积的计算公式。 （1）教师指导转化。

将已分成16等份的圆用剪刀把每一份剪开，用这些近似等腰三角形的小纸片依次横着拼起来，并用固体胶粘在纸上，看能拼成什么图形？ （2）学生动手操作。 按照老师的示范，请同学们动手剪拼一下，看到底能拼成什么图形。（学生动手操作。） 谁能向大家汇报一下，你把圆拼成了一个什么图形？（生答：拼成了一个近似的平行四边形。请把你拼好的图形放在实物投影上展示给大家看。） （3）课件演示过程。 把圆分成16等份，这些小纸片可以拼成一个近似的平行四边形；把圆分成32等份，可以拼成一个近似的长方形；如果分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越接近于长方形。） （4）推导面积公式。 拼成的长方形与圆有什么联系？同位讨论。 学生汇报讨论结果。生答师继续演示课件。 生：拼成的长方形的面积与圆的面积相等。 师：这个长方形的长和宽与圆的周长和半径有什么关系？ 生：长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径。 因为长方形的面积＝长×宽 所以圆的面积＝周长的一半×半径 S＝πr×r S＝πr2 [设计意图：动手操作是学生学习数学的重要方式，让学生经历公式的推导过程，

与圆有关的相关公式

与圆有关的相关公式 1、圆的半径： 2、圆的直径： 圆的半径=圆的直径÷2 圆的直径=圆的半径×2 或=圆的周长÷圆周率÷2 或=圆的周长÷圆周率 3、圆的周长： 4、圆的面积： 圆的周长=圆的直径×圆周率圆的面积=圆的半径2×圆周率或=圆的半径×2×圆周率或=（圆的直径÷2）2×圆周率 或=（圆的周长÷圆周率÷2）2×圆周率5、圆柱、圆锥的底面积： 圆柱、圆锥的底面积=底面半径2×圆周率 或=（底面直径÷2）2×圆周率 或=（底面周长÷圆周率÷2）2×圆周率 6、圆柱的侧面积： 圆柱的侧面积=底面周长×高 或=底面直径×圆周率×高 或=底面半径×2×圆周率×高 7、圆柱的表面积： 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+圆柱的底面积×2 或=底面周长×高+（底面周长÷圆周率÷2）2×圆周率×2 或=底面直径×圆周率×高+（底面直径÷2）2×圆周率×2 或=底面半径×2×圆周率×高+底面半径2×圆周率×2 8、圆柱的体积： 圆柱的体积=底面积×高 或=底面半径2×圆周率×高 或=（底面直径÷2）2×圆周率×高 或=（底面周长÷圆周率÷2）2×圆周率×高 9、圆锥的体积： 圆锥的体积=底面积×高 1 或=底面半径2×圆周率×高× 3 1 或=（底面直径÷2）2×圆周率×高× 3 1 或=（底面周长÷圆周率÷2）2×圆周率×高× 3

周长公式 长方形的周长=长×2+宽×2或=(长+宽)×2 C=2a+2b 或=2(a+b) 正方形的周长=边长×4 C=4a 平行四边形的周长=四条边的长度之和 梯形的周长=上底+下底+两条腰长 三角形的周长=三条边的长度之和 圆的周长=直径×圆周率或=半径×2×圆周率 C=πd 或=2πr 面积公式 长方形的面积=长×宽 S=ab 正方形的面积=边长×边长 S=a 2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2或=2 1 (上底+上底)×高 S=(a+b)h 三角形的面积=底×高÷2或=2 1 底×高 圆的面积=半径的平方×圆周率

圆的面积计算公式

《圆的面积计算公式》课堂实录 教学目标： 知识与技能：掌握圆的面积计算公式，并能正确计算圆的面积。 过程与方法：在合作交流、动手操作中提高同学们推理归纳能力， 发展空间观念。 情感态度与价值观：在学习新知中体验数学与生活的联系，提高 学习数学的兴趣。 教学重点、难点：圆的面积计算公式的推导。 教学准备：多媒体课件、正方形纸片、正六边形纸片、剪刀。 教学过程： 一、体验“圆出于方” 师：今天老师给大家带来几个平面图形，看大家认不认识（课件依次展示正方形、正六边形、正十二边形、正二十四边形……，当课件展示到正二十四边形时同学们都回答是圆， 这时教师把正二十四边形放大，让同学们观察到它确实是一个 多边形，再依次展示其它正多边形。大家不难发现正多边形的 边数越多它就越接近圆形。） 师：如果正多边形有无数条边，它就变成了一个什么图形 生：圆。 师：（课件出示圆形）其实圆形就是一个有无数条边的正多边形，也就是我们常说的“圆出于方”。大家想一下我们都了解过圆的哪些知识

生：周长、半径、直径…… 师：有哪位同学能说一下圆周长的计算公式： 生：C=2πr、C=πd. 师：很正确，我们了解了圆的这么多知识，大家还想研究一下圆的哪些知识 生：圆的面积。 师：你知识什么是圆的面积吗 生：圆所占平面的大小叫圆的面积。 师：你回答的可真不错，下面我们就一起来研究一下圆的面积。（通过本环节，让同学们感受圆出于方的变化过程、复习圆周长的计算公式、认识圆的面积，都为下面圆的面积公式的推导做好准备。）二、动手操作、合作探究圆的面积计算公式。 1．推导正方形的面积计算公式。 师：刚才我们已经知道圆就是一个有无数条边的正多边形，我们研究圆的面积就从最简单的正多边形开始研究。（课件出示正方形）拿出学具袋中的正方形，要求它的面积需要知道什么 生：边长。 师：下面我们小组合作，抛开以前求正方形面积的方法，利用我们学过的知识和学具袋中的工具看看能不能再探究出一种求正方形面积的方法。 （小组合作时教师可适当引导，最后汇报总结。）

椭圆周长和面积计算公式

一、椭圆周长、面积计算公式 根据椭圆第一定义，用a表示椭圆长半轴的长，b表示椭圆短半轴的长，且a>b>0。 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程 （一）发现椭圆常数 常数在于探索和发现。椭圆三要素：焦距的一半（c），长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。 椭圆的周长取值范围：4ab>0）。定义3：T=K1+f，T为椭圆周率”。有聪明的网友提出“定义：T=k1+f没有依据”，现就此问题作出如下分析说明。 （一）

《圆的面积计算公式》教学设计

《圆的面积计算公式》教学设计 （一）课标分析 《义务教育数学课程标准》在“学段目标”的“第二学段”中提出“探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征；体验简单图形的运动过程，能在方格纸上画出简单图形运动后的图形，了解确定物体位置的一些基本方法；掌握测量、识图和画图的基本方法”“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值”。 《义务教育数学课程标准》在“课程内容”的“第一学段”中提出“能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形”“会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图”；又在“第二学段”中指出“通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，知道扇形，会用圆规画圆”“通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式；探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题”“通过观察、操作等活动，进一步认识轴对称图形及其对称轴，能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形”“能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，并运用它们在方格纸上设计简单的图案”。 （二）教材分析 本单元教材在各知识板块的编排中，都体现了上述的理念与内容，即以实践性的活动让学生“做”起来，在“做”的过程中，引发学生的“思考”，进而主动探索，最终理解概念（或得出结论）。在实际教学中，教师应注意多让学生动手操作，通过画一画、剪一剪、围一围、拼一拼等多种形式，帮助学生认识圆的基本特征，探索圆的周长、面积计算公式。 （三）学生分析 1.学生认知水平和能力状况 本课时是在学生掌握了常规规则图形的面积计算的基础上教学的，主要是利用长方形的面积公式对圆的面积计算公式进行推导，正确计

中考复习与圆有关的计算

中考总复习——与圆有关的计算 ●教学目标 一、知识目标 1．弧长计算公式及扇形面积计算公式 2．圆锥的侧面积公式，表面积公式 二、能力目标 1．掌握弧长及扇形面积公式后，能用公式联想到与圆锥侧面和关系关掌握圆锥侧面积公式 2．能用弧长公式及扇形面积公式，求阴影部分的周长及面积 三、情感目标 1．体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．2．体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力． ●教学重点 1．经历复习弧长及扇形面积计算公式的过程． 2．理解圆锥侧面与底面的联系 3．会用公式解决问题． 4. 会用两个不同的式子表示圆锥侧面展开图的弧长，会用两种不同的式子表示圆锥的侧面积 ●教学难点 1．应用弧长及扇形面积计算公式解决问题 2．根据圆锥侧面与底面的联系解决问题 3. 求阴影面积 ●教学过程 一、知识点复习 同学们，今天我们要进行的是中考总复习的第24课时，与圆有关的计算。主要内容分为弧长及扇形面积，圆锥，阴影面积的求法这三方面内容。而这些计算都离不开公式。所以，我们先来把基本知识点复习一下。 （接下来由教师引导，学生回答）． 考点一：弧长及扇形面积 1．如果弧长为l，圆心角为n°，圆的半径为R，那么弧长的计算公式为：?Rn＝l1802．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．若 2?Rn扇形的圆心角为n°，所在圆的半径为R，弧长为l，面积为S，则S＝或3601S＝lR 2(注：公式中的n表示1°的圆心角的倍数，所以不写单位) 考点二：圆锥 1．如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那么它的侧面展开图是一个扇形．这个扇形的弧长等于底面的周长．这个扇形的面积可以用弧长l和底面半径r表示为________

圆周长的公式推导

圆周长的公式推导 使用教材六年制青岛版课本《数学》第十一册 教学内容圆的周长 教学目的使学生理解圆的周长和圆周率 的意义，推导圆周长的公式，并能利用公式简单的计算． 培养学生的观察、比较、分析、综合和动手操作的能力． 对学生进行爱国主义教育 教学过程 一、认识圆的周长 1．在黑板出图 问：这是什么图形？什么是正方形的周长？怎么计算？再出示一个正方形纸，问：这个正方形的周长与边长有什么关系？明确正方形的周 2．请学生把正方形纸折成“田字格”状，以交点为圆心，画一个最大的圆．问：这个圆与这个正方形有什么关系？明确圆的直径与正方形的边长相等． 3．请学生到黑板上指出圆的周长指的是哪部分的长度？问：圆的周长指的是什么？出示课题：圆的周长 [评：正方形的周长只与边长这一个数据有关，这点与圆的周长计算方法相似．教师精心选择这一教学内容，用于复习旧知和引入新课，渗透、孕伏的作用非常有效．] 二、圆周长公式的推导： 1．测量：问：圆的周长还是一条直的线段的长吗？要求学生利用工具（直尺、小线、圆形纸片）测量圆的周长．问：是怎样测量的？明确无论是用“滚动”的方法，还是“缠绕”的方法，都是把曲线转化成直的线段，然后通过测量线段的长度得出圆的周长． 教师收集测量数据并板书． 2．设疑：问：黑板上的这个圆的周长谁能测量？学生实践后发现不容易用刚才的办法来测量周长．再出示用小球抡出的圆，问：这样的圆怎么直接测量周长？指出要解决这些问题还要想新方法．

3．推导公式： （1）观察黑板上的图： 问：正方形的周长和谁有关？这两个圆的周长相等吗？圆的周长又和谁有关？明确圆的周长随直径的变化而变化．问：圆的直径和正方形的边长相等，它们的周长相等吗？圆的周长与正方形的周长比较会怎么样？明确可估计出圆周长小于直径的4倍． （2）圆周长到底是直径的几倍？要求学生测量圆形纸片（前面已测过周长）的直径，问：能发现什么？与前面周长数据相对应地取出直径数据并板书，明确圆的周长是直径的3倍还多一些． 出示教具 验证圆的周长总是直径的3倍还多一些． （3）讲解：如果我们再实验下去，总能发现圆的周长是直径的3倍多一些，这个倍数是固定不变的，我们叫它圆周率，记作：π．问：什么是圆周率？ 介绍我国著名的数学家祖冲之计算圆周率的故事，并讲解圆周率是一个无限不循环小数及小学阶段的取值3.14． （4）问：圆周长可以怎么计算？总结公式： 圆周长=直径×圆周率 c=πd （5）练习：填表：（单位：米） 问：如果直径是30米，50米，周长是多少？怎么计算快？指导利用表中数据进行计算的方法．

与圆有关的计算教案

积是.北京立新学校教案 教案编号：__________授课日期:__20XX年4月日课题与圆有关的计算课型复习课 1.掌握圆锥、扇形面积公式，多边形内角和公式等与圆有关的计算公式 教学目标 教学重点教学难点教学策略2.能灵活运用上述公式进行与圆有关的面积、角、线段的计算能灵活运用上述公式进行与圆有关的面积、角、线段的计算 能灵活运用上述公式进行与圆有关的面积、角、线段的计算采用学生自主学习和合作学习的教学方法 教学过程设计 教学环节和时间分配一、课前预测 教师活动 1.已知圆锥的高是30cm，母线长是50cm，则圆锥的侧 面积是. 2、已知圆锥的底面半径是3cm，母线长为6cm，则侧面 积为________cm2．（结果保留π）3、已知圆锥的底面半 学生活动设计意图 径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为 独立完成课了解学生对与4.已知圆锥的底面半径是3，母线长是4，则圆锥的侧面前检测试 卷. 5.现有一个圆心角为90，半径为 8cm的扇形纸片，用它 恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面 圆的半径为. 6.一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长 为________．(结果保留π) 7.已知圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则这个圆锥的 侧面积为__________cm2． 圆的有关计算 这部分知识的 掌握情况，调动 学生已有的知 识记忆． 二、 知识回顾 1.扇形与圆锥的有关计算 (1)设扇形所在圆的半径为r，圆心角为n°，则： ①扇形的弧长：l＝_ ②扇形的面积：S＝______＝_______ （2）设圆锥的底面半径为r，底面周长为C，