第3讲数学归纳法一、选择题
1.利用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=1-a n+2
1-a
(a≠1,n∈N*)”时,在验
证n=1成立时,左边应该是( )
A1 B1+a
C1+a+a2D1+a+a2+a3
解析当n=1时,左边=1+a+a2,故选C.
答案 C
2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,x n+y n能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是().A.假设n=k(k∈N+),证明n=k+1命题成立
B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1命题成立
C.假设n=2k+1(k∈N+),证明n=k+1命题成立
D.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2命题成立
解析A、B、C中,k+1不一定表示奇数,只有D中k为奇数,k+2为奇数.
答案 D
3.用数学归纳法证明1-1
2+
1
3-
1
4+…+
1
2n-1
-
1
2n=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n,则
当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上().
A.1
2k+2B.-
1
2k+2
C.1
2k+1-
1
2k+2
D.
1
2k+1
+
1
2k+2
解析∵当n=k时,左侧=1-1
2+
1
3-
1
4+…+
1
2k-1
-
1
2k,当n=k+1时,
左侧=1-1
2+
1
3-
1
4+…+
1
2k-1
-
1
2k+
1
2k+1
-
1
2k+2
.
答案 C
4.对于不等式n2+n (1)当n=1时,12+1<1+1,不等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*且k≥1)时,不等式成立,即k2+k 1时,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+2<(k2+3k+2)+(k+2)=(k+2)2=(k+ 1)+1, 所以当n=k+1时,不等式成立,则上述证法().A.过程全部正确 B.n=1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 解析在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,故推理错误. 答案 D 5.下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( ) A.6+6·7k B.2+7k-1 C.2(2+7k+1) D.3(2+7k) 解析(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除. (2)假设当k=n(n∈N*)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除, 那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36. 这就是说,k=n+1时命题也成立. 由(1)(2)可知,命题对任何k∈N*都成立. 答案D 6.已知1+2×3+3×32+4+33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a、b、c的值为(). A.a=1 2,b=c= 1 4B.a=b=c= 1 4 C.a=0,b=c=1 4D.不存在这样的a、b、c 解析∵等式对一切n∈N*均成立,∴n=1,2,3时等式成立,即 ??? 1=3(a -b )+ c , 1+2×3=32(2a -b )+c , 1+2×3+3×32=33(3a -b )+c , 整理得??? 3a -3b +c =1,18a -9b +c =7, 81a -27b +c =34, 解得a =12,b =c =1 4. 答案 A 二、填空题 7.用数学归纳法证明不等式 1n +1+1n +2+…+1n +n >1324的过程中,由n =k 推导n =k +1时,不等式的左边增加的式子是________. 解析 不等式的左边增加的式子是12k +1+12k +2-1k +1=1(2k +1)(2k +2) ,故填 1 (2k +1)(2k +2) . 答案 1 (2k +1)(2k +2) 8.用数学归纳法证明: 121×3+223×5+…+n 2(2n -1)(2n +1)=n(n +1)2(2n +1);当推证当n =k +1等式也成立时,用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析当n =k +1时, 121×3+223×5+…+k 2(2k -1)(2k +1)+(k +1)2 (2k +1)(2k +3) =k(k +1)2(2k +1)+(k +1)2(2k +1)(2k +3) 故只需证明k(k +1)2(2k +1)+(k +1)2 (2k +1)(2k +3) = (k +1)(k +2) 2(2k +3) 即可. 答案 k(k+1) 2(2k+1) + (k+1)2 (2k+1)(2k+3) = (k+1)(k+2) 2(2k+3) 9.已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个数对是________. 解析本题规律:2=1+1;3=1+2=2+1; 4=1+3=2+2=3+1; 5=1+4=2+3=3+2=4+1; …; 一个整数n所拥有数对为(n-1)对. 设1+2+3+…+(n-1)=60,∴(n-1)n 2=60, ∴n=11时还多5对数,且这5对数和都为12,12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7, ∴第60个数对为(5,7). 答案(5,7) 10.在数列{a n}中,a1=1 3 且S n=n(2n-1)a n,通过计算a2,a3,a4,猜想a n的表 达式是________. 解析当n=2时,a1+a2=6a2,即a2=1 5 a 1 = 1 15 ; 当n=3时,a1+a2+a3=15a3, 即a3= 1 14 (a1+a2)= 1 35 ; 当n=4时,a1+a2+a3+a4=28a4, 即a4= 1 27 (a1+a2+a3)= 1 63 . ∴a1=1 3 = 1 1×3 ,a2= 1 15 = 1 3×5 ,a3= 1 35 = 1 5×7 ,a4= 1 7×9 , 故猜想a n= 1 2n-1 2n+1 . 答案a n= 1 2n-1 2n+1 三、解答题 11.已知S n =1+12+13+…+1n (n >1,n ∈N *),求证:S 2n >1+n 2(n ≥2,n ∈N *). 证明 (1)当n =2时,S 2n =S 4=1+12+13+14=2512>1+2 2,即n =2时命题成立; (2)假设当n =k (k ≥2,k ∈N *)时命题成立,即S 2k =1+12+13+…+12k >1+k 2, 则当n =k +1时,S 2k +1=1+12+13+…+12k +12k +1+…+12k +1>1+k 2+1 2k +1+ 12k +2+…+12k + 1>1+k 2+2k 2k +2k =1+k 2+1 2=1+k +12, 故当n =k +1时,命题成立. 由(1)和(2)可知,对n ≥2,n ∈N *.不等式S 2n >1+n 2都成立. 12.已知数列{a n }:a 1=1,a 2=2,a 3=r ,a n +3=a n +2(n ∈N *),与数列{b n }:b 1 =1,b 2=0,b 3=-1,b 4=0,b n +4=b n (n ∈N *).记T n =b 1a 1+b 2a 2+b 3a 3+…+b n a n . (1)若a 1+a 2+a 3+…+a 12=64,求r 的值; (2)求证:T 12n =-4n (n ∈N *). (1)解 a 1+a 2+a 3+…+a 12=1+2+r +3+4+(r +2)+5+6+(r +4)+7+8+(r +6)=48+4r . ∵48+4r =64,∴r =4. (2)证明 用数学归纳法证明:当n ∈N *时,T 12n =-4n . ①当n =1时,T 12=a 1-a 3+a 5-a 7+a 9-a 11=-4,故等式成立. ②假设n =k 时等式成立,即T 12k =-4k ,那么当n =k +1时, T 12(k +1)=T 12k +a 12k +1-a 12k +3+a 12k +5-a 12k +7+a 12k +9-a 12k +11=-4k +(8k +1)-(8k +r )+(8k +4)-(8k +5)+(8k +r +4)-(8k +8)=-4k -4=-4(k +1),等式也成立. 根据①和②可以断定:当n ∈N *时,T 12n =-4n . 13.设数列{a n }满足a 1=3,a n +1=a 2 n -2na n +2,n =1,2,3,… (1)求a 2,a 3,a 4的值,并猜想数列{a n }的通项公式(不需证明); (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和,试求使得S n <2n 成立的最小正整数n ,并给出