线性规划的实际应用举例

线性规划的实际应用举例

为了便于同学们掌握线性规划的一般理论和方法，本文拟就简单的线性规划(即两个变量的线性规划)的实际应用举例加以说明。

1 物资调运中的线性规划问题

例1 A，B两仓库各有编织袋50万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运40万个到甲地，20万个到乙地。已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个、180元/

万个；从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个、150元／万个。问如何调运，能使总运费最小?总运费的最小值是多少?

解：设从A仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为z元。那么需从B仓库调运40-x万个到甲地，调运

20-y万个到乙地。

从而有

z=120x+180y+100(40-x)+150·(20-y)=20x+30y+7000。

作出以上不等式组所表示的平面区域(图1)，即可行域。

令z'=z-7000=20x+30y.

作直线l：20x+30y=0，

把直线l向右上方平移至l l的位置时，直线经过可行域上的点M(30，0)，且与原点距离最小，即x=30，y=0时，

z'=20x+30y取得最小值，从而z=z'+7000=20x+30y+7000亦取得最小值，

z min=20×30+30×0+7000=7600(元)。

答：从A仓库调运30万个到甲地，从B仓库调运10万个到甲地，20万个到乙地，可使总运费最小，且总运费的最小值为7600元。

2 产品安排中的线性规划问题

例2某饲料厂生产甲、乙两种品牌的饲料，已知生产甲种饲料1吨需耗玉米0.4吨，麦麸0.2吨，其余添加剂O.4

吨；生产乙种饲料1吨需耗玉米0.5吨，麦麸0.3吨，其余添加剂0.2吨。每1吨甲种

饲料的利润是400元，每1吨乙种饲料的利润是500元。可供饲料厂生产的玉米供应

量不超过600吨，麦麸供应量不超过500吨，添加剂供应量不超过300吨。问甲、乙

两种饲料应各生产多少吨(取整数)，能使利润总额达到最大?最大利润是多少?

分析：将已知数据列成下表1。

表1例2表

解：设生产甲、乙两种饲料分别为x吨、y吨，利润总额为z元，那么

z=400x+500y。

作出以上不等式组所表示的平面区域(图2)即可行域。

作直线l：400x+500y=0。并把l向右上方平移，由于l1：4x+5y=6000与l平行，所以线段MN上所有坐标都是整数的点(整点)都是最优解。易求得M(250，1000)，N(0，1200)。

取整点M(250，1000)，即x=250，y=1000时，

z max=400×250+500×1000=600000(元)=60(万元)。

答：可安排生产甲种饲料250吨，乙种饲料1000吨，能使利润总额达到最大。最大利润为60万元。

注：课本题中出现的线性规划问题大都有唯一的最优解。例2使我们认识到最优解的个数还有其他可能，这里不再深入探究。

3 配料与下料中的线性规划问题

例3甲、乙、丙三种食物的维生素A，B含量及成本如表2。

表2例3表

甲乙丙

维生素A(单位/千克) 600 700 400

维生素B(单位/千克) 800 400 500

成本(元/千克) 11 9 4

某食物营养研究所想用xkg甲种食物，ykg乙种食物，zkg丙种食物配成100kg混合食物，并使混合物至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B。

1)用x，y表示混合食物的成本c(元)；

2)确定x，y，z的值，使成本最低。

解：1)依题意有：

x+y+z=100(3)

c=11x+9y+4z(4)

由(3)得z=100-x-y，代入(4)得：

c=11x+9y+4(100-x-y)=7x+5y+400，其中x＞0，y＞0。

2)将z=100-x-y代入(1)，(2)，并化简，得

作出不等式组所表示的平面区域(图3)，即可行域。

作直线l：7x+5y=0，把直线l向右上方平移至l l的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点的距离最小。

由求得M点的坐标,

故当x=50，y=20时，7x+5y取得最小值，c=7x+5y+400亦取得最小值，

c min=7×50+5×20+400=850。

答：1) c=7x+5y+400(x＞0，y＞0)；

2) 当x=50，y=20，z=30时，成本c最低。

例4 现有2m及3m长的条钢各10根，需截成0.6m和0.8m长两种规格的零件毛坯，其中0.6m长的毛坯需20个，0.8m长的毛坯需30个，为使材料不浪费，且使所用条钢根数最小，该如何设计下料方案。

解：为使材料不浪费，2m长的条钢可截成0.6m长的毛坯2个，0.8m长的毛坯1个，3m长的条钢可截成0.6m长的毛坯1个，0.8m长的毛坯3个。

设需截2m长的条钢x根，3m长的条钢y根，则

作出可行域(如图4)，目标函数为z=x+y.

作出一组平行线x+y=t(t为参数)中，经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经

过直线2x+y=20和直线x+3y=30的交点M(6，8)。

故当x=6，y=8时，z=x+y取最小值。

答：符合条件的下料方案是：使用2m长的条钢6根、3m长的条钢8根。

通过上述例题，不难发现，简单的线性规划在实际生活中有较广泛的应用。在工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等许多领域都常常使用线性规划方法。

线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：

一是征人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；

二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。

对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题，可以用图解法求解。其基本的解决步骤是：

1)建立线性约束条件及线性目标函数；

2)画出可行域；

3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)；

4)作答。

特别值得一提的是，涉及更多变量的线性规划问题是不能用图解法求解的，需要借助计算机及专门的软件来解决。

线性规划的实际应用举例

线性规划的实际应用举例 即两为了便于同学们掌握线性规划的一般理论和方法，本文拟就简单的线性规划( 的实际应用举例加以说明。个变量的线性规划) 1 物资调运中的线性规划问题 万个40万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运1 A，B两仓库各有编织袋50例/元万个、180/万个到乙地。已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元到甲地，20元／万个。问如何调运，能150/万个、万个；从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元? ?总运费的最小值是多少使总运费最小仓库调Bz元。那么需从x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为解：设从A仓库调运40-x万个到甲 地，调运运万个到乙地。20-y 从而有 。z=120x+180y+100(40-x)+150·(20-y)=20x+30y+7000 1)(图，即可行域。作出以上不等式组所表示的平面区域 z'=z-7000=20x+30y. 令 ：20x+30y=0，作直线l 且与原点距离最小，0)，，l的位置时，直线经过可行域上的点M(30l把直线向右上方平移至l y=0时，即x=30，亦取得最小值，取得最小值，从而z=z'+7000=20x+30y+7000z'=20x+30y 元)。30+30×z=20× 0+7000=7600(min 万个到乙地，可使总万个到甲地，20B30万个到甲地，从仓库调运10A答：从仓库调运元。运费最小，且总运费的最小值为7600 2 产品安排中的线性规划问题 吨，麦麸0.4吨需耗玉米某饲料厂生产甲、乙两种品牌的饲料，已知生产甲种饲料2例1O.4

吨，其余添加剂0.2． 吨甲种1吨，其余添加剂0.2吨。每吨；生产乙种饲料1吨需耗玉米0.5吨，麦麸0.3元。可供饲料厂生产的玉米供应500元，每1吨乙种饲料的利润是饲料的利润是400吨。问甲、乙300吨，麦麸供应量不超过500吨，添加剂供应量不超过量不超过600 ? ?最大利润是多少两种饲料应各生产多少吨(取整数)，能使利润总额达到最大 1。分析：将已知数据列成下表 2表1例表 元，那么吨、y吨，利润总额为z解：设生产甲、乙两种饲料分别为x z=400x+500y。 即可行域。(图2)作出以上不等式组所表示的平面区域 平行，所以线段l4x+5y=6000与。并把400x+500y=0l向右上方平移，由于l：作直线l：1。，N(0，1200)M(250MN上所有坐标都是整数的点(整点)都是最优解。易求得，1000) ，y=1000时，1000)取整点M(250，，即x=250 。元1000=600000()=60(万元)=400×z250+500×max 吨，能使利润总额达到最大。最大利润为1000可安排生产甲种饲料250吨，乙种饲料答：万元。60 使我们认识到最优解的个数还例2课本题中出现的线性规划问题大都有唯一的最优解。注：有其他可能，这里不再深入探究。

线性规划的应用

线性规划的应用 1. 简介 线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。它在许多领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。本文将介绍线性规划的基本概念和应用案例。 2. 基本概念 2.1 目标函数 线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。 2.2 约束条件 线性规划的决策变量受一系列线性约束条件限制。约束条件通常表示为a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b，其中ai为系数，b为常数。 2.3 非负约束 线性规划的决策变量通常有非负约束条件，即xi ≥ 0。 3. 应用案例：生产计划优化 假设某公司有两种产品A和B，每个产品的生产需要消耗不同的资源，且有一定的利润。公司希望通过线性规划来优化生产计划，以最大化利润。 3.1 决策变量 设x1为产品A的生产数量，x2为产品B的生产数量。 3.2 目标函数

公司的目标是最大化利润，因此目标函数可以表示为Z = 10x1 + 15x2，其中 10和15分别为产品A和B的利润。 3.3 约束条件 公司的资源有限，因此有以下约束条件： - 2x1 + 3x2 ≤ 1000：消耗的资源1的限制 - 4x1 + 2x2 ≤ 800：消耗的资源2的限制 - x1, x2 ≥ 0：非负约束条件 4. 解决方法 通过线性规划求解器，可以求解上述生产计划优化问题。求解器将根据目标函 数和约束条件，找到使目标函数最大化的决策变量取值。 5. 结果与分析 经过线性规划求解器计算，得到最优解为x1 = 200，x2 = 100。此时，公司可 以生产200个产品A和100个产品B，获得的最大利润为10*200 + 15*100 = 3500。 6. 应用案例：运输问题 线性规划还可以应用于运输问题，如货物的最佳配送方案。 6.1 决策变量 假设有三个发货点A、B、C和两个收货点X、Y。设x1为从A到X的货物数量，x2为从A到Y的货物数量，x3为从B到X的货物数量，x4为从B到Y的货 物数量，x5为从C到X的货物数量，x6为从C到Y的货物数量。 6.2 目标函数

线性规划运用举例

线性规划运用举例 线性规划是一种经济学和数学领域中的数学优化技术，其主要目的是将某些目标函数 在满足一定的约束条件下最大或最小化。线性规划在现代经济学、决策科学、制造业和生 产管理等领域都有广泛的应用。下面将举例说明线性规划在实际生产和管理中的应用。 1. 生产计划方案优化 生产计划方案优化是一个很复杂的问题。企业的目标是尽可能地减少生产和仓储成本，同时保证所生产的产品能满足市场需求。线性规划可以帮助企业找到一个最优的计划方案，使得成本最小化，并能够满足市场需求。 例如，生产一种食品有两个不同的发酵温度可以选择。这个决策需要考虑到提高产量 的同时也要保证产品质量。通过将这个问题转化为线性规划问题，可以确定最佳的温度条件，以最小化生产成本并且保证产品质量。 2. 资源分配问题 企业在日常运营中需要管理各种资源，如员工，机器等。为了确保资源的有效利用， 企业需要通过资源分配来确保生产能力最优化。线性规划可以帮助企业分配资源，使得资 源利用更加高效，成本更加低廉和运营更加有效。例如，在生产线上，可以通过线性规划 算法来优化设备的分配和维护计划，使得设备的维护和使用更加平滑，减少因设备故障造 成的损失和停机时间。 3. 市场销售策略 线性规划也可以帮助企业确定最优的市场营销策略。在一个竞争激烈的市场中，企业 需要考虑产品的定价，销售渠道和营销推广策略等因素。通过将这些因素转化为线性规划 问题，企业可以找到最优的市场营销策略。例如，在销售一种产品时，企业可以通过确定 最优价格来最大化销售收入。 总之，线性规划在生产和管理中的应用非常广泛。通过线性规划算法可以解决非常复 杂的问题，帮助企业做出最优的决策，从而实现成本最小化和收益最大化。

线性规划的应用

线性规划的应用 一、引言 线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于生产计划、资源分配、运输问题等领域。本文将介绍线性规划的基本概念和应用案例，并详细解释如何使用线性规划方法解决实际问题。 二、线性规划的基本概念 1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。例如，最大化利润或最小化成本。 2. 约束条件：线性规划问题必须满足一组线性等式或不等式，称为约束条件。这些约束条件限制了决策变量的取值范围。 3. 决策变量：线性规划问题中需要做出决策的变量称为决策变量。例如，生产数量、资源分配等。 4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。线性规划问题的解必须是可行解。 三、线性规划的应用案例 1. 生产计划问题 假设一家公司有两种产品A和B，每种产品的生产需要一定的资源和时间。公司希望确定每种产品的生产数量，以最大化利润。通过线性规划，可以建立目标函数和约束条件，求解出最优的生产计划。 2. 资源分配问题

一个工厂有多个生产线，每个生产线可以生产不同的产品。工厂希望确定每个生产线的产量，以最大化总产量。通过线性规划，可以将总产量视为目标函数，将每个生产线的产量视为决策变量，建立约束条件，求解出最优的资源分配方案。 3. 运输问题 一个物流公司需要将货物从多个供应商运送到多个客户，每个供应商和客户之间的运输成本不同。公司希望确定每个供应商和客户之间的货物运输量，以最小化总运输成本。通过线性规划，可以建立目标函数和约束条件，求解出最优的运输方案。 四、线性规划的解法 1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制等式或不等式的图形来找到最优解。最优解通常出现在图形的顶点处。 2. 单纯形法：对于高维线性规划问题，可以使用单纯形法求解。单纯形法是一种迭代算法，通过不断调整决策变量的取值，逐步接近最优解。 3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。整数规划是线性规划的扩展，适用于需要做出离散决策的问题。 五、线性规划的优势和局限性 1. 优势： a. 线性规划方法简单易懂，求解速度较快。 b. 可以处理大规模的实际问题，提供最优解决方案。 c. 可以灵活地调整目标函数和约束条件，适应不同的需求。 2. 局限性： a. 线性规划只适用于线性目标函数和线性约束条件，无法处理非线性问题。

浅谈线性规划在实际生活中的应用

浅谈线性规划在实际生活中的应用 随着计算机技术的发展，线性规划（Linear Programming，LP）已被广泛应用于科学理论和实际生活中。LP的出现使得工程师们能够快速的解决复杂的实际问题，使得各种优化事件在时间上有很大的优势。本文将探讨线性规划在实际生活中的应用。 首先，线性规划可以用于企业的生产规划，以实现企业的目标以及降低成本。要达到此目的，企业需要根据相关因素，如生产量、市场需求、库存水平、机器等，制定最佳生产计划。例如，一家企业可以用线性规划来解决库存控制问题。同时，企业还可以使用线性规划来进行工资管理、资产配置等，实现企业成本最低化。 其次，线性规划可以用于交通系统的路径规划。线性规划可以解决交通运输问题，如最优路径规划、最短路径规划，以及交通系统的容量调度等。例如，在城市交通系统中，可以使用LP来解决最优路径问题，以帮助出行者在拥堵的状态下，尽快到达目的地。 此外，线性规划还可以用于个人理财规划，以优化个人投资组合。通过线性规划，个人理财者可以根据自己的风险偏好，使用资金最优化分配，即考虑投资组合中的收益、风险和成本等因素。同时，也可以利用LP模型，结合投资者的利率偏好、投资期限等因素，探索个人最优投资组合。 此外，线性规划还可以用于建筑物的设计。例如，可以使用LP 模型来优化财务计划，以确定最佳建筑设计，并考虑在建设过程中可能出现的各种问题。另外，LP也可以用于求解土地利用、城市综合

规划等问题。 最后，LP也可以用于自然资源的有效利用。LP模型可以用于最佳利用公共资源，如水、电、矿产等，达到最大利益的若干目标。此外，LP模型也可以用于环境污染的减排、森林的保护、植物的种植等，确保自然资源的可持续发展。 综上所述，线性规划在实际生活中有着广泛的应用，可以有效地解决复杂的实际问题。但是，在实际应用中，也存在一定的局限性，像非线性问题这类更加复杂的问题就不能使用LP来求解。因此，未来需要在 LP模型和非线性模型之间进行技术上的结合，以解决更多实际问题。

线性规划模型在生活中的实际应用

线性计划模型在生活中实际应用 一、线性计划基础概念 线性计划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟一个关键分支,它是辅助大家进行科学管理一个数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提升经济效果是大家不可缺乏要求，而提升经济效果通常经过两种路径：一是技术方面改善，比如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织和计划改善，即合理安排人力物力资源.线性计划所研究是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达成最好.通常地，求线性目标函数在线性约束条件下最大值或最小值问题，统称为线性计划问题.满足线性约束条件解叫做可行解，由全部可行解组成集合叫做可行域.决议变量、约束条件、目标函数是线性计划三要素. 二、线性计划模型在实际问题中应用 （1）线性计划在企业管理中应用范围 线性计划在企业管理中应用广泛，关键有以下八种形式： 1.产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，是赢利最大. 2.劳动力安排：用最少劳动力来满足工作需要. 3.运输问题：怎样制订运输方案，使总运费最少. 4.合理利用线材问题：怎样下料，使用料最少. 5.配料问题：在原料供给限制下怎样取得最大利润. 6.投资问题：从投资项目中选择方案，是投资回报最大. 7.库存问题：在市场需求和生产实际之间，怎样控制库存量从而取得更高利益. 8.最有经济计划问题：在投资和生产计划中怎样是风险最小 .

（2）怎样实现线性计划在企业管理中应用 在线性计划应用前要建立经济和金融体系评价标准及企业计量体系，摸清企业资源.首先经过建网、建库、查询、数据采集、文件转换等，把整个系统各相关部分特征进行量化，建立数学模型，即把组成系统相关原因和系统目标关系，用数学关系和逻辑关系描述出来，然后白很好数学模型编制成计算机语言，输入数据，进行计算，不一样参数获取不一样结果和实际进行分析对比，进行定量，定性分析，最终作出决议. 3.3 线性计划在运输问题中应用 运输是物流活动关键步骤，线性计划是运输问题常见数学模型，利用数学知识能够得到优化运输方案. 运输问题提出源于怎样物流活动中运输路线或配送方案是最经济或最低成本.运输问题处理是已知产地供给量，销地需求量及运输单价，怎样寻求总配送成本最低方案；运输问题包含产销平衡运输问题和产销不平衡运输问题；通常将产销不平衡问题转化为产销平衡问题来处理；运输问题条件包含需求假设和成本假设.需求假设指每一个产地全部有一个固定供给量全部供给量全部必需配送到目标地.和之类似，每一个目标地全部有一个固定需求量，整个需求量全部必需有出发地满足；成本假设指从任何一个产地到任何一个销地配送成本和所配送数量线性百分比关系.产销平衡运输问题通常提法是： 假设某物资有m 个产地;各地产量分别为物资从产地运往销地单位运价为,满足：∑∑===n j j m i i b a 1 1.其数学模型为： Min Z=∑∑==m i n j ij ij x c 11 ∑==n j ij x 1 产地约束 s.t =∑=m i ij x 1销地约束 （a ）

线性规划的应用与解法

线性规划的应用与解法 线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束下的优化问题。 它在实际应用中被广泛使用，可以用于解决许多现实世界中的问题。 本文将介绍线性规划的应用领域以及常用的解法方法。 一、线性规划的应用领域 线性规划广泛应用于生产计划、资源分配、供应链管理、物流运输、金融投资、市场营销等方面。以下是一些典型的应用场景： 1. 生产计划 线性规划可以用于确定生产计划中各产品的产量，以满足市场需求 的同时最大化利润。通过优化生产计划，企业可以实现资源的合理配置，提高生产效率。 2. 供应链管理 在供应链中，线性规划可以用于确定产品的库存水平、订单的分配 以及运输计划等。通过合理的供应链规划，企业可以降低库存成本、 提高客户满意度。 3. 物流运输 线性规划可以用于优化物流网络，确定货物的运输路线、运输方式 以及运输量。通过优化物流运输方案，企业可以降低运输成本、提高 交货效率。 4. 金融投资

在金融投资领域，线性规划可以用于配置资产组合，使得投资组合的风险最小或者收益最大。通过优化资产配置方案，投资者可以实现风险和收益的平衡。 5. 市场营销 线性规划可以用于媒体广告投放、价格优化等市场营销决策。通过优化市场营销策略，企业可以提高品牌知名度、扩大市场份额。 二、线性规划的解法方法 线性规划问题通常可以通过单纯形法、内点法、双对偶法等方法求解。下面分别介绍这些方法的基本原理： 1. 单纯形法 单纯形法是一种经典的线性规划求解方法。它通过不断在可行解空间中移动，逐步接近最优解。单纯形法的核心思想是找到一个目标函数值更小的可行解，通过迭代不断优化，最终找到最优解。 2. 内点法 内点法是另一种求解线性规划问题的方法。它通过在可行解空间内搜索最优解，相比于单纯形法，内点法通常具有更好的收敛性和稳定性。内点法的核心思想是通过内点向最优解靠近，直到达到最优解的要求。 3. 双对偶法

线性规划模型及应用场景

线性规划模型及应用场景 线性规划是一种运筹学中的数学方法，用于在有限的资源下寻找达到最佳目标的方案。线性规划模型是通过建立线性关系式和目标函数以确定决策变量的最优值，来求解问题。应用线性规划模型可以在诸多领域中找到合理的应用场景。 一、生产调度与物流管理 生产调度是指以资源约束为条件，在规定时间内安排、组织和运用生产资源的管理活动。而物流管理则是通过有效的供应链管理来实现流程和原料的优化配置。线性规划可以通过建立生产资源约束条件和目标函数，来确定合理的生产进度和物流配送计划，从而提高生产效率、降低物流成本。 举个例子，某工厂生产两种产品A和B，生产线的时间和效率是有限的，同时每个产品有不同的售价和成本。这时可以使用线性规划模型来确定每种产品的生产数量，使得总利润最大化。 二、金融投资与资产配置 金融投资是指将资金投入到各种金融市场和资产中，以期获得回报。而资产配置则是指在不同风险水平下，按照一定的比例配置资金到各种资产上。线性规划可以通过建立风险约束条件和目标函数，来确定最佳的资产配置组合，以实现风险和回报间的平衡。 举个例子，某投资者有一笔固定资金，可以投资于股票、债券和货币市场基金等

多个金融工具。他可以将自己的投资目标、预期收益和风险偏好建立为线性规划模型，以确定最佳的资产配置比例，从而达到理想的投资回报。 三、运输与配送 运输与配送是指将物品从生产地或仓库运往销售点或用户手中的过程。针对运输与配送的问题，线性规划可以通过建立运输路径、运输容量和运输成本等约束条件，来确定合理的物流方案，从而达到最佳的运输效益。 例如，某物流公司需要将商品从N个供应商处运输到M个销售点，每个供应商的供货量和每个销售点的需求量是已知的，同时每个运输路径的距离和费用也是已知的。利用线性规划模型，可以确定每个运输路径上的货物运输量和运输方式，从而降低运输成本，提高物流效率。 四、人力资源管理 人力资源管理是指通过合理的组织、激励和管理，利用有限的人力资源实现组织目标。线性规划可以通过建立员工数量、工时分配和成本效益等约束条件，以及建立目标函数如员工满意度、绩效和利润等来确定最佳的人力资源配置方案。 举个例子，某公司需要合理安排员工的工作时间和休假时间，以满足不同岗位的需求和员工的个人偏好。同时，公司也需要确保员工的生产力和成本效益。通过建立线性规划模型，可以确定合理的员工工时分配和休假安排，从而提高员工满意度和工作效率。

线性规划应用案例

市场营销应用 案例一：媒体选择 在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。 REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。 考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。表4-1列出了收集到的这些信息。 表4-1 REL发展公司可选的广告媒体

5.电台早8:00或晚5:00新闻 3001003020 （30秒）KNOP台 REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。应当推荐何种广告媒体选择计划呢 案例二：市场调查 公司开展市场营销调查以了解消费者个性特点、态度以及偏好。专门提供此种信息的市场营销调查公司，经常为客户机构开展实际调查。市场营销调查公司提供的典型服务包括涉及计划、开展市场调查、分析收集数据、提供总结报告和对客户提出意见。在调查设计阶段，应当对调查对象的数量和类型设定目标或限额。市场营销调查公司的目标是以最小的成本满足客户要求。 市场调查公司（MSI）专门评定消费者对新的产品、服务和广告活动的反映。一个客户公司要求MSI帮助确定消费者对一种近期推出的家具产品的反应。在与客户会面的过程中，MSI统一开展个人入户调查，以从有儿童的家庭和无儿童的家庭获得回答。而且MSI还同意同时开展日间和晚间调查。尤其是，客户的合同要求依据以下限制条款进行1000个访问： 至少访问400个有儿童的家庭； 至少访问400个无儿童的家庭； 晚间访问的家庭数量必须不少于日间访问的家庭数量； 至少40%有儿童的家庭必须在晚间访问； 至少60%无儿童的家庭必须在晚间访问。 因为访问有儿童的家庭需要额外的访问时间，而且晚间访问者要比日间访问者获得更多收入，所以成本因访问的类型不同而不同。基于以往的调查研究，预计的访问费用如下表所示：

线性规划应用 例题及作业

第五节 线性规划应用举例 例1 生产计划问题 某工厂可以生产n A A A 、、、 21共n 种产品，生产中需要消耗m B B B 、、、 21共m 种资源。生产每单位产量的A j 产品需要消耗B i 种资源的数量为a ij ，各种产品每单位的利润分别为n c c c 、、、 21。工厂的资源是有限的，每种资源的数量分别为 m b b b 、、、 21。 上述情况可表示在如下生产情况表中。 解： 设：n A A A 、、 、 21的产量分别为n x x x 、、、 21。 问题的线性规划模型为： ,,,z max 21221122222121112121112211≥≤+++≤+++≤++++++=n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c 例2．货运问题 某企业租用了一节火车车皮运送甲、乙两种货物到外地销售。这两种货物每箱的重量分别为：甲—0.2吨，乙—0.3吨；每箱的体积分别为：甲—1米3，乙—0.6米3；每箱可获得的利润分别为：甲—500元，乙—400元。一节车皮的有效载重为56吨，有效容积为180米3。问：为获得最大利润，甲、乙各应运载多少箱？ 可将该问题视为一个生产计划问题，产品为甲、乙，资源为载重量和容积，可列出相应的生产情况表如下：

解：设甲、乙货物的运送两分别为x 1、x 2。 模型为： ,1805.0563.02.0400500z max 2121212 1≥≤+≤++=x x x x x x x x 解得：x 1＝130，x 2＝100，z ＝105000 例3：混合配料问题 某饲养厂每天需要1000公斤饲料，其中至少要含7000克蛋白质、300克矿物质、1000毫克维生素。现有五种饲料可供使用，各种饲料每公斤营养含量及价格如下表所示： 解：设每天各种饲料的选用量依次为：54321,,,,x x x x x 。 模型为： ,,,,100010008.022.05.03005.022.05.07000182638.03.04.07.02.0min 543215432154321543215432154321≥=++++≥++++≥++++≥++++++++=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 求解得：X=[438.6,0,0,276.3,285.1]，z=398.7 例4：下料问题 现需要90根3米长和90根4米长的钢筋，现有一种10米长的钢筋，问：如何切割这种10米长的钢筋，才能使所切割的钢筋数量最少？

线性规划算法的应用案例

线性规划算法的应用案例 线性规划是应用最广泛的数学优化方法之一，也是一种非常有 效的运筹学技术。它的基本思想是将问题建模成一组线性方程和 线性不等式的组合，通过寻找最优解来实现目标最大化或最小化。线性规划算法广泛应用于制造业、金融、物流和交通等领域，以 下将介绍几个重要的应用案例。 1. 生产计划和调度 线性规划算法可以用于制造业的生产计划和调度。例如，在一 家造纸厂中，有若干个可用的生产线、仓库和运输车辆，需要考 虑原材料的成本、工人的人工费用、工厂的能耗费用以及运输的 成本等因素，制定出最佳的生产计划和调度方案。对于这类问题，可以将目标函数设置为生产成本最小化或产出效率最大化，约束 条件包括原材料的库存量、生产线的容量和物流的时间窗口等。 通过使用线性规划算法，可以得到最佳的生产计划和调度方案， 使得企业的生产效率和盈利能力得到提升。 2. 市场营销和广告投放

线性规划算法可以帮助企业制定最佳的市场营销和广告投放方案。例如，在一家快递公司中，需要制定如何调整价格策略、开拓市场份额、投放广告等方案，以达到最大化利润或最小化成本的目标。对于这类问题，可以将目标函数设置为销售额最大化或成本最小化，约束条件包括市场份额的限制、广告投放预算的限制等。通过使用线性规划算法，可以得到最佳的市场营销和广告投放方案，提高企业的营销效率和市场竞争力。 3. 交通运输和物流配送 线性规划算法可以用于交通运输和物流配送领域。例如，在一个物流中心中，需要规划配送路线和运输车辆的分配，以最小化交通堵塞和物流成本的影响。对于这类问题，可以将目标函数设置为运输成本最小化或配送效率最大化，约束条件包括车辆数量的限制、货物配送时间的限制等。通过使用线性规划算法，可以得到最佳的路线规划和车辆分配方案，提高企业的配送效率和物流运转效率。 4. 金融投资和风险管理

线性规划在决策分析中的应用

线性规划在决策分析中的应用 线性规划是运筹学中的一个分支，它是应用数学的一个工具。线性规划可以用 于解决许多最优化问题，包括生产规划、资源分配、物流规划和市场营销等领域。在决策分析中，线性规划也是一个强大的工具，可以帮助决策者更好地做出决策。下面我们将介绍一些线性规划在决策分析中的应用。 1. 产品优化 在制造业中，产品的设计和制造是一个非常复杂的过程。生产商需要考虑许多 因素，如材料成本、生产线效率、人工成本、成品质量等。这些因素之间存在着复杂的相互作用，使得生产商在做出决策时很容易受到各种限制和约束。线性规划可以提供一个优化方案，可以帮助生产商做出更好的决策。 例如，假设一个电子公司想要开发一款新的电视机型号，他们需要考虑到许多 因素。他们需要决定每个电视的大小、分辨率、屏幕类型和所需零件种类等。在同时考虑成本和质量的情况下，生产商需要做出一组决策，这些决策将直接影响电视的价格和质量。使用线性规划，生产商可以在控制成本的同时，生产出满足市场需求的高品质电视。 2. 供应链优化 供应链是指从原材料到最终产品的整个生产过程和物流运输过程。供应链优化 可以帮助企业提高生产效率和降低成本。问题在于如何最大限度地控制成本同时保证生产效率和产品质量。线性规划可以提供一个优化方案，该方案包括如何优化供应链中不同环节的生产过程、库存控制和物流管理。 例如，假设一个汽车制造公司需要将在几周内将大量零部件运至不同的工厂进 行组装。公司需要考虑如何最小化运输成本和最大化生产效率。使用线性规划，制造公司可以通过计算不同最优路径和运输策略，并考虑到不同的限制，如运输时间、货物大小和重量等，最大化供应链的效率。

线性规划的实际应用举例

线性计划实际应用举例 为了便于同学们掌握线性计划通常理论和方法, 本文拟就简单线性计划(即两个变量线性计划)实际应用举例加以说明。 1 物资调运中线性计划问题 例1 A, B两仓库各有编织袋50万个和30万个, 因为抗洪抢险需要, 现需调运40万个到甲地, 20万个到乙地。已知从A仓库调运到甲、乙两地运费分别为120元/万个、180元/万个; 从B仓库调运到甲、乙两地运费分别为100元/万个、150元／万个。问怎样调运, 能使总运费最小? 总运费最小值是多少? 解: 设从A仓库调运x万个到甲地, y万个到乙地, 总运费记为z元。那么需从B仓库调运40-x万个到甲地, 调运 20-y万个到乙地。 从而有 z=120x+180y+100(40-x)+150·(20-y)=20x+30y+7000。 作出以上不等式组所表示平面区域(图1), 即可行域。 令z'=z-7000=20x+30y.

作直线l: 20x+30y=0, 把直线l向右上方平移至l l位置时, 直线经过可行域上点M(30, 0), 且与原点距离最小, 即x=30, y=0时, z'=20x+30y取得最小值, 从而z=z'+7000=20x+30y+7000亦取得最小值, z min=20×30+30×0+7000=7600(元)。 答: 从A仓库调运30万个到甲地, 从B仓库调运10万个到甲地, 20万个到乙地, 可使总运费最小, 且总运费最小值为7600元。 2 产品安排中线性计划问题 例2某饲料厂生产甲、乙两种品牌饲料, 已知生产甲种饲料1吨需耗玉米0.4吨, 麦麸0.2吨, 其它添加剂O.4 吨; 生产乙种饲料1吨需耗玉米0.5吨, 麦麸0.3吨, 其它添加剂0.2吨。每1吨甲种饲料利润是400元, 每1吨乙种饲料利润是500元。可供饲料厂生产玉米供给量不超出600吨, 麦麸供给量不超出500吨, 添加剂供给量不超出300吨。问甲、乙两种饲料应各生产多少吨(取整数), 能使利润总额达成最大? 最大利润是多少? 分析: 将已知数据列成下表1。 表1例2表

实际问题中的线性规划方法

实际问题中的线性规划方法 线性规划是数学中一种非常重要的优化方法，广泛应用于各个 领域。在实际问题中，线性规划方法可以很好地解决很多优化问题。本文将会介绍线性规划方法在实际问题中的应用，例如网络 流问题、供应链优化问题以及航空公司航班计划问题等。 一、网络流问题 网络流问题是指在具有网络形式的问题中，求得网络中一些关 键指标的最优解。这些指标可能是物流方面的，也可能是通信方 面的，甚至可能与能源、水资产有关。这个问题的形式是一组由 多个变量组成的线性方程组，并且这些方程组的决策变量通常用 来描述网络的流量问题。这里的问题是要求出网络中流量的最大 值图。在实际应用中，经常使用线性规划的方法来解决这种问题。 例如，在物流配送领域，我们可能需要在多个仓库和客户之间 优化货物的运输路线。当运输网络以“源点”（例如一个集散地或 一个公路）开始，并以“汇点”（例如一家客户或一个仓库）结束时，通常需要考虑许多线性限制约束，例如运输成本、运输距离 和货物数量等。使用线性规划的方法，可以快速找到最小的总运

输成本以及分配给每个节点的货物数量，从而提高物流的效率并降低成本。 二、供应链优化问题 供应链优化问题通常可以看作是网络流问题的一个具体实例，它也可以使用线性规划的方法以最小化成本或最大化利润的方案来求解。这个问题涉及到优化生产和分销的方案，从而最大限度地降低整个供应链的成本或提高利润。这种问题通常包括许多限制条件，例如合理的货物存储、库存管理、运输和分销等。线性规划的方法可以非常有效地解决这些问题，以实现最优化的运营方案。 例如，在某个制造公司中，我们可能需要考虑如何最小化原材料和物流成本，同时最大程度地利用现有的生产能力以及最大程度地满足客户要求。这个问题涉及到许多因素，例如供应链的表现、货物的需求、生产规模等。使用线性规划的方法，可以快速找到最佳的物流路线、最佳的生产数量以及最佳的库存管理方案等，从而提高供应链的效率。 三、航空公司航班计划问题

线性规划通过线性规划解决实际问题

线性规划通过线性规划解决实际问题线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于解决实际问题。它能够 帮助我们合理安排资源，最大化利益或最小化成本。通过线性规划， 我们可以得到一个最优的决策方案。 一、线性规划的基本概念和原理 线性规划是一种在约束条件下求解线性目标函数的优化问题。它的 基本概念包括决策变量、目标函数和约束条件。 1. 决策变量: 在线性规划中，我们需要定义一些决策变量，它们代 表着我们需要做出的决策或者选择的方案。 2. 目标函数: 目标函数是线性规划中需要优化的目标，可以是最大 化利润、最小化成本等。 3. 约束条件: 约束条件是限制线性规划问题的条件，可以是资源的 限制、技术要求等。 线性规划的原理是通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，然后通过求解数学模型来得到最优解。 二、线性规划的应用领域 线性规划在实际中有着广泛的应用领域，下面举几个例子来说明： 1. 生产计划: 一家制造厂需要决定如何安排生产计划，以最大化利润。线性规划可以帮助厂商确定每种产品的生产数量，以及每种产品 所需要的资源和人力安排。

2. 运输调度: 一个物流公司需要决定如何合理地调度运输车辆，以最小化运输成本。线性规划可以帮助物流公司确定各个仓库之间的物流路径和货物的运输量。 3. 资源分配: 一个学校需要决定如何合理地分配教职工和学生的资源，以最大化教育效益。线性规划可以帮助学校确定教职工的安排和学生的班级编排。 三、线性规划的解决步骤 解决线性规划问题一般需要以下几个步骤： 1. 建立模型: 根据实际问题，将问题转化为线性规划模型，包括确定决策变量、目标函数和约束条件。 2. 求解方法: 使用线性规划方法，如单纯形法、对偶法等，求解线性规划模型，得到最优解。 3. 解释结果: 对最优解进行解释和分析，确定最优决策方案。 四、线性规划方法的优势和局限性 线性规划方法有一定的优势和局限性。 1. 优势：线性规划方法是一种成熟、有效、可靠的数学方法，能够提供合理的决策方案。它可以考虑多个因素的综合影响，使决策更加科学和合理。

线性规划的应用

线性规划的应用 线性规划（Linear Programming）是一种通过建立数学模型来解决 最优化问题的方法。它在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资 源分配、物流运输等。本文将介绍线性规划的应用，并探讨其中的几 个具体案例。 一、生产计划 生产计划是企业内部管理的重要环节，通过线性规划可以帮助企业 有效地安排生产任务和资源，提高生产效率。例如，某工厂需要生产 两种产品A和B，并且每种产品所需原材料和生产时间有限。通过线 性规划模型，可以求解出每种产品的最佳生产数量，以最大化生产利 润或满足市场需求。 二、资源分配 资源分配是在有限资源条件下，合理安排资源的问题。例如，某公 司有多个项目需要投资，每个项目的预算、收益和风险不同。通过线 性规划可以确定投资方案，使得投资组合的收益最大化或风险最小化。同时，线性规划还可以应用于人力、物力、财力等资源的合理分配， 以提高资源利用效率。 三、物流运输 物流运输是各个行业都需要考虑的问题，通过线性规划可以优化物 流运输方案，降低运输成本。例如，某物流公司需要确定多个仓库的 货物调拨方案，其中包括货物的装载量、运输距离、货物的运输费用

等因素。通过建立线性规划模型，可以找到最佳调拨方案，降低运输 成本，提高效率。 四、投资组合 投资组合是投资者在各种投资资产中进行配置的问题。通过线性规 划可以帮助投资者在有限的资金条件下，选择最佳的投资组合。例如，某投资者在股票、债券和货币市场等资产中进行投资。通过线性规划 可以确定每种资产的投资金额，以最大化投资收益或降低风险。 综上所述，线性规划在各个领域都有广泛的应用。它通过建立数学 模型，解决实际问题，提高效率和效益。无论是生产计划、资源分配 还是物流运输和投资组合，线性规划都能够提供科学、准确的决策支持。相信随着技术的不断发展和应用场景的扩大，线性规划在未来将 发挥更加重要的作用。