信号通过系统的频域分析方法

§4-1 概述

系统的频域分析法，是将通过傅利叶变换，将信号分解成多个正弦

函数的和（或积分），得到信号的频谱；然后求系统对各个正弦分量的响应，得到响应的频谱；最后通过傅利叶反变换，求得响应。

频域分析法避开了微分方程的求解和卷积积分的计算，容易求得系统的响应。但是它必须经过两次变换计算，计算量比较大。但是在很多情况下，直接给定激励信号的频谱，且只需要得到响应信号的频谱，这时就可以不用或少用变换。

频域分析法只能求解系统的稳态响应或零状态响应。

§4-2

信号通过系统的频域分析方法

一、系统对周期性信号的稳态响应

1、 基本思路：

周期性信号可以表示（分解）成若干个（复）正弦函数之和。只要分别求出了系统对各个（复）正弦函数的响应（这一点已经在电路分析课程中做了充分讨论），就可以得到全响应。 ⏹ ⏹ 稳态响应：周期信号是一个无始无终的信号，可以认为在很远的

过去就已经加到系统上，系统的响应已经进入了一个稳定的状态——响应中只存在稳态响应。 2、 电系统对周期信号的响应： 1） 将周期信号分解为傅利叶级数； 2） 求电路系统对各个频率信号的作用的一般表达式——网络函数

)(ωj H ―――求解方法：利用电路分析中的稳态响应

3） 求系统对各个频率点上的信号的响应； 4） 将响应叠加，得到全响应。

注意：这里的叠加是时间函数的叠加，不是电路分析中的矢量叠加。 例：P167， 例题4-1

⏹ 某些由周期性信号组成的非周期信号（或概周期信号）也可以用这种分析方法。例如信号：

t t t e πcos cos )(+=

虽然不是周期信号，但是也可以分解成为周期信号的和，从而也可以用这种方法求解。 3、 通过微分方程求系统对周期信号的响应：

在很多场合，已经给出了系统的微分方程，如何求解系统对周期信号的响应？

（1） 对于用微分方程描述的一般系统，有：

)

()(...)()()()(...)()(0111101111t e b t e dt d

b t e dt d b t e dt d b t r a t r dt

d a t r dt d a t r dt d m m m m m m n n n n n ++++=++++------ 我们可以先

假设系统对复正弦信号的响应仍然是同频率的复正弦信号（这个假设是否成立？有待验证！） 设：激励信号是复正弦信号t

j e

j E ωω⋅)(，其响应也是同样频率的复正

弦信号t

j e j R ωω⋅)(。其中)(ωj E 、)(ωj R 分别为频率为ω

的复正弦激励和响应信号的复振幅。将其带入微分方程，可以得到：

()

()

t j m m m

m

t

j n n n e j E b j b j b j b e j R a j a j a j ωωωωωωωωωω)()(...)()

()()(...)()(0111011

++++=++++---或：

()

()

)()(...)()

()

()(...)()(0111011

ωωωωωωωωj E b j b j b j b j R a j a j a j m m m

m

n n n ++++=++++---所以，

)

()(...)()()(...)()()

(0

110111ωωωωωωωωj E a j a j a j b j b j b j b j R n n n m m m m ++++++++=---

可见，“系统对复正弦信号的响应仍然是同频率的复正弦信号”

这样的假设完全成立，可以找到满足系统对t

j e j E ωω⋅)(的响应

t j e j R ωω⋅)(。如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证明只有

t j e j R ωω⋅)(可能是系统对t j e j E ωω⋅)(信号的响应。

令系统的传输函数为：

0110111)(...)()()(...)()()

(a j a j a j b j b j b j b j H n n n m m m m ++++++++=

---ωωωωωωω

它实际上可以将时域中的转移算子)(p H 中的算子p 用ω

j 替代后得到。这里的H 完全是一个代数表达式，可以应用所有的代数运算法则。

这时候，激励和响应的复振幅之间的关系可以表示为为：

)()()(ωωωj E j H j R =

)(ωj H 反映了复正弦激励下激励信号的复振幅与响应信号复振

幅之间的关系：响应信号复振幅等于激励信号的复振幅与系统传输函数的乘积，它的幅度等于)(ωj E 和)(ωj H 幅度的积，相位)(ωj E 和

)(ωj H 两者相位的和。

由此可以得到根据微分方程求解系统对周期信号响应的方法： 1） 将周期信号分解为复数傅利叶级数的和；

2） 求出系统转移算子)(p H ，将其中的算子p 用ωj 替代后得到)(ωj H 。

3） 求系统对各个复频率点上的信号的响应：

)()()(i i i j E j H j R ωωω=

4） 将各个频率点上的响应叠加，得到全响应。

⏹ 这里的结论和方法与电路稳态分析中的结论相似，只不过在正弦稳态分析中讨论的是信号对于实正弦信号的响应，而这里讨论的是对复正弦信号的响应。

⏹ 实数正弦信号可以表示为两个幅正弦信号的和：

2)cos(t

j t j e e t ωωω-+=

。系统对这两个基本点复正弦信号的传输函数分

别为)(ωj H 和)(ωj H -。如果微分方程中的系数都是实数，则可以得

到)()(*

ωωj H j H =-。

假设：

)()()(ωϕωωj e j H j H =

则系统对正弦信号的响应为：

[]

2)()(2

)()()(*

t j t j t

j t j e j H e j H e j H e j H t r ωωωωωωωω+=

-+=

- ()())(c o s )(2

)

()()(ωωωωωωωωϕ+=+=-ϕ-ϕt j H e e e e j H t j j t j j

所以，)(ωj H 同时也反映了系统对频率为ω的实正弦信号的幅度

和相位的影响。这就是电路正弦稳态分析中的结论。所以，这里的第二步也可以改为： 1） 将周期信号分解为实数傅利叶级数的和；

2） 求出系统转移算子)(p H ，将其中的算子p 用

ωj 替代后得到)()()(ωϕωωj e j H j H =。

3） 求系统对各个频率点上的信号的响应： ())(cos )()(ωωωϕ+=t j H t r i

4） 将各个频率点上的响应叠加，得到全响应。 求系统对各个频率点上的信号的响应： 4、 系统的频率特性

)(ωj H 在特定ω点上的取值实际上表示了系统对该频率点上的信号

的幅度和相位的影响。由)(ωj H 可以引出系统的频域特性： 1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信号幅度和相位的影响。 2）频率特性曲线

系统的传输特性也可以用图形的方法表示。系统的传输特性曲线同样可以分为幅频特性和相频特性。其中：

● ● 幅频特性曲线作出了)(ωj H 与频率之间的关系，描

述了系统对各个频率的（复）正弦信号的幅度的影响， ● ● 相频特性曲线作出了)(ωϕ与频率之间的关系，描绘了

系统对各个频率的（复）正弦信号的相位的影响。

系统输出信号的频谱可以通过将信号的频谱与系统的频域特性曲线两者合成分析出： （1） 将激励信号的幅频特性曲线与系统的幅频特性曲线对应频率点上的幅度相乘，可以得到响应信号的幅频特性曲线； （2） 将激励信号的相频特性曲线与系统的相频特性曲线对应频率点上的幅度相加，可以得到响应信号的相频特性曲线。 由输出信号的频谱不难求得输出信号。

⏹ 系统的相频特性)(ωϕ有两种定义方法。第一种是直接定义为

)(ωj H 的相角，即令)

()()(ωωωϕ=j e j H j H ；第二种是定义为

)(ωj H 的相角的负数，即令)

()()(ωωωϕ-=j e j H j H 。在这两种定义

下的相位特性的符号相反。

两种定义中，第一种定义数学上比较直接；第二种定义在画相频特性曲线时比较方便：因为实际系统的)(ωj H 相位在0>ω时一定是负数——它只可能将信号延时，而不会将信号提前。

二、系统对非周期信号的零状态响应

非周期信号通过线性系统的zs r 的求解方法的基本思想与周期信号相似，都是将信号分解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，最后求和（积分）。

在某频率点ω，实际（复）振幅是一个无穷小量： ωπωωπωωd j E j E j E T T 2)()(2lim )(1lim )(0=Ω==→Ω∞→E

所以其响应为：

ωπωωωωωd j E j H j H 2)()()()()(==∴E R

将各个子信号的响应相叠加，求和（积分）：

{})()(...)()(212)()()()(ωωωωωπω

πωωωωωωω

j E j H T F I d e j E j H d e j E j H e t r t j t j t j ====∴⎰⎰∑∞

+∞

-∞+∞-R

或：{})()()(..)(ωωωj E j H t r T F j R ==∴

由此可以得到求解系统对非周期信号的zs r 步骤：

1） 通过F.T.，求激励信号

)(t e 的频谱: {})(..)(t e T F j E =ω 2） 通过电路稳态分析或者系统的转移算子，求出系统对各个频率点

上信号的影响——频域特性)(ωj H （又称频域传输函数） 3） 求出系统响应的频谱特性: )()()(ωωωj E j H j R =

4） 通过I.F.T ，求

)(t r ：

{}⎰

+∞

∞

-=

=ω

ωπωωd e j R j R T F I t r t j )(21

)(..)(

周期性信号与非周期信号分析方法比较：

相同：

通过变换，将以时间为自变量的信号，变为以频率为变量的函数。避免求解微分方程，但是增加了F.T. 和I.F.T. 计算。 差异： 1） 一个使用FS ，将信号分解为许多个有限振幅的正弦信号之和；另一个用FT ，将信号分解为许多个具有无穷小振幅的正弦信号之和； 2） 在叠加时，一个用叠加，一个用积分（I.F.T.）

非周期信号的分析方法，也可以从数学的角度，通过对微分方程两边同时求取傅利叶变换而得到。

对于用微分方程描述的一般系统，有：

)

()(...)()()()(...)()(0111101111t e b t e dt d

b t e dt d b t e dt d b t r a t r dt

d a t r dt d a t r dt d m m m m m m n n n n n ++++=++++------

⏹ ⏹

非周期信号通过线性系统的zs

r 求解公式还有第三种推导方法：

根据卷积积分公式，有：

)()()(t h t e t r ⊗=

{}{}{}{})(.)(.)()(.)(.t h T F t e T F t h t e T F t r T F =⊗=∴

)()()(ωωωj H j E j R =∴

注意：这里的)(ωj H 为： {})(..)(t h T F j H =ω

它定义为系统冲激响应的F.T. 。对照前后公式，可以得到：系统的频域传输函数就是系统冲激响应的F.T.。

频域法和时域法各有利弊。频域法中避免了求系统的冲激响应和卷积计算，)(ωj H 可以通过系统微分方程求得，在实际应用中也可以通过实验的方法求得。但是增加了F.T. 和I.F.T. 计算。

系统的频域特性)(ωj H 是实际工程应用中描述系统特性的

最常用方法，其应用的广泛性程度远远超过了微分方程描述形式。它可以给出系统很多特性。

如第三章中所述，周期信号（例如周期性方波、正弦波等）

也存在傅里叶变换，所以这里所说的“非周期信号的作用下的零状态响应”求解方法实际上也适合于求解系统对周期性信号的稳态响应。相关推导可以自己完成。

例4－2－1 单位阶跃电压作用于下图所示的RC 电路，求电容器上的响应电压。

解（1）将激励信号表示为正弦分量之和，即求输入信号的频谱。

我们很容易求得阶跃函数的频谱

()(){}()1j j E F t ωεπδωω==+

(2)找出联系响应与激励的系统转移函数()j H ω。这里即为电压传输系数。 ()22212122121j C 1j C

j 1j R j C

1j C R R R H R R R C R R R ωωωωωω⋅

+

==

++⋅

+

+

21211j R R R ωτ=⋅++（式中

1212R R C

R R τ=+为电路的时间常数） (3)求输出响应的频谱。

()()()()212

11j j j j 1j C R U E H R R ωωωπδωωωτ⎡⎤=⋅=

+⎢⎥++⎣⎦

(4)由输出响应的频谱经傅里叶反变换求时域响应

()

C u t 。

()(){}

()()()()()11212121211212212j 111+j j 1+j 1j 1j 111j j 1e C C t

u t F U R F R R R F R R R F F R R R t R R τ

ωπδωωτωωττπδωωωτπδωωωτε------=⎧⎫⎪⎪=+⎨⎬

+⎪⎪⎩⎭⎧⎫

=

+-⎨⎬

++⎩

⎭⎡⎤⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎧⎫=+-⎨⎬⎨⎬⎢⎥+⎩⎭⎪⎪⎢⎥

+⎢⎥⎩⎭⎣⎦

⎛⎫=- ⎪+⎝

⎭

例4－2－2 一线性系统频响曲线如下图所示，设激励信号为

t t t e 2cos 2cos 22)(++=,求零状态输出响应。

解 (1)求输入激励的频谱。

由周期信号的频谱密度函数可得

)(ωj E =)(4ωπδ+[])1()1(2-++ωδωδπ+[])2()2(2-++ωδωδπ

(2)求系统函数)(ωj H 。 由给出的频响曲线可以写出

222()02j e

H j ωπωωωω-⎧⎪

-<=⎨⎪>⎩

(3)求响应的频谱。

)1(2)1(2)(8)

()()(2

2

-+++=⋅=-ωδπωδπωπδωωωπ

π

j

j

e e j H j E j R (4)由输出响应的频谱经傅里叶反变换求取时域响应。

{}t

t e

e

j R F t r t j t j sin 242cos 244)()(221+=⎪

⎭⎫

⎝

⎛-+=++==⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭

⎫ ⎝⎛---πωππ 可见输入信号中的二次谐波被滤除，只留有直流与基波分量。输入输出频谱结构如图所示。

假设激励信号e(t)的傅利叶变换为)(ωj E ，响应信号r(t)的傅利叶变换为)(ωj R 。对上式等式两边同时求傅利叶变换，利用傅利叶变换的性质，可以得到：

()

()

)()(...)()

()

()(...)()(0111011

ωωωωωωωωj E b j b j b j b j R a j a j a j m m m

m

n n n ++++=++++---所以，

)

()()()(...)()()(...)()()

(0110111ωωωωωωωωωωj E j H j E a j a j a j b j b j b j b j R n

n n m m m m =++++++++=---

§4-3

理想低通滤波器的冲激响应和阶跃响应

一、 滤波器的概念

在实际应用中，系统特性经常被描述成“允许某些信号分

量通过、同时阻止其它分量信号通过”，或者是“滤除一些无用的信号分量”的形式。这样的系统被称为滤波器。如果这个系统是模拟系统，则相应的系统被称为模拟滤波器；如果这个系统是

离散系统（绝大多数情况下用数字系统实现），则相应的系统能够被称为数字滤波器。

在滤波器中，“有用”和“无用”信号之间常常通过频率

范围划分：

✧ ✧ 如果某系统被设计为让低于某特定频率（该频率被称

为截止频率）的信号分量通过而不让高于此频率的信号分量通过，则该系统被称为低通滤波器（LPF ）。

✧ ✧ 如果某系统被设计为让高于某特定频率的信号分量通

过而不让低于此频率的信号分量通过，则该系统被称为高通滤波器（HPF ）

✧ ✧ 如果某系统被设计为让某两个特定频率之间的信号分

量通过而不让其它频率的信号分量通过，则该系统被称为带通滤波器（BPF ）

✧ ✧ 如果某系统被设计为不让某两个特定频率之间的信号

分量通过而让其它频率的信号分量通过，则该系统被称为带阻滤波器

一、 理想低通滤波器（ILPF ）

其它

0)(0

ωωωω<⎩⎨

⎧=-t j ILPF Ke j H

其它几种理想滤波器：

高通滤波器

带通滤波器

带阻滤波器

二、ILPF 的冲激响应：

{}

[])(21)(21)()(000)(000t t Sa K d Ke d e j H j H IFT t h t t j t

j ILPF ILPF ILPF -===

=⎰⎰--∞+∞-ωπ

ωωπωωπ

ωωωωωω

响应信号的波形:

三、 ILPF 的阶跃响应：

激励信号)()(t t e ε=的频谱：

ωωπδωj j E 1

)()(+

=

则响应信号的频谱： 其它

01)()

()()(0ωωωωπδωωωω<⎪⎩

⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==-t j ILPF e j K j H j E j R

响应信号： {}[])(2)(..)(00t t Si K

K j R T F I t r -+=

=ωπω

其中：

⎰

=

x

dy y y x Si 0

sin )(

激励和响应信号的波形如下：

关于ILPF 的阶跃响应的几点讨论： 阶跃信号通过ILPF 以后： 1） 1） 信号边沿变缓——高频分量有损失。

系统截止频率越高，边沿变化越陡峭。 2） 2） 信号波形发生了失真——因为信号的有些分量没有通过。

什么样的系统才可以不失真地传输信号？4.8节中将讨论这个问题。 3） 3） 信号有延时——系统相频特性的影响。 4） 4） 系统响应超前于激励——物理不可实现。

什么样的系统物理可实现？下一节中将讨论这个问题。

例4－3－1

例4－3－1： 求下面理想低通滤波器对矩形方波的响应

⎩⎨⎧<==-other e e

j H j H c

t j j j 0

.1)()(0

)

(ωωωωωωϕ

解：

)1)(()1(1

)(ωτωτωπδωωj j e e j j E ---+-=

)1](1

)([)(t

j j e e j j R ωωτω

ωπδω---+=

{}

)]([)([1

)(21)(00t t Si t t Si d e j R t r t

j ---==⎰∞∞-ωωπ

ωωπ

ω

其中:

⎰

=y dx x x

y Si 0

sin )(

§4-4 Paley-Wiener 准则

一、 因果系统或物理可实现系统

1、 定义：在任何情况下都满足因果关系（响应不超前于激励）的系统。

2、 系统满足因果性的充分必要条件为：

)(t h 当0

如何判断系统是否物理可实现？

● ● 可以从系统的冲激响应得出。但是系统的冲激响应往往

难于得到。

● ● 在实际应用中，系统特性更多地是使用频域特性进行描

述。此时，如何根据频域特性判定系统是否物理可实现？

二、从系统频率响应函数判断系统因果性——Paley-Wiener 准则：

在∞

<⎰

+∞

∞

-ωωd j H 2

)(（存在且有限）的前提下，系统物理可实现

的充分必要条件是

∞

<+⎰

∞

+∞

-ωωωd j H 2

1)

(ln

● ● 根据这个定理，系统的幅频特性可以在某些的频率点上

等于零，但是不可以在一段频率区间上都等于零。

⏹ ⏹ 这就是理想低通滤波器物理不可实现的原因。

三、物理可实现的LPF

低通滤波器是实际工程应用中最常用的滤波器。既然理想的LPF

不能够实现，那什么样的LPF 才可以实现呢？ 带通形滤波器设计的几个常见名词： 通带：允许通过的信号频率范围； 止带：不允许通过的信号频率范围；

根据Paley-Wiener 准则以及实际系统条件的限制，为了能够

得到物理可实现的滤波器，必须对滤波器的设计要求有所放松： ✧ ✧ 允许在通带和止带之间有缓冲；

过渡带：通带和止带之间的允许缓冲部分；

✧ ✧ 允许在止带内幅频特性不等于零，只要幅频足够小，就可

以系统认为达到了阻止相应信号通过的目的。

止带衰减：止带中各个频率分量上频率特性允许出现的最大的幅度。

✧ ✧ 通带内的各个频率上的增益允许有一定的差异。

通带内起伏：通带内各个频率点上的频率特性允许的误差最大值；

以下是几种常见的滤波器：

1、 最大平坦LPF （Butterworth LPF ）

n

n

c j H 2202

1111)(Ω+=

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+=

ωωω

其中：

0c def

ωω=

Ω

被称为归一化频率值；0c ω称为3dB 截止频率，或简称截止频率。

其幅频特性如下图：

● ● 这里只给出了系统的幅频特性。满足这个特性的系统的频率特性)(ωj H 或者系统的微分方程应该是怎样的？——在拉普拉斯变换一章中将给出详细的解释。

2、 通带起伏型LPF （Chebyshev LPF, Cauer LPF ）

通带起伏形LPF 允许在通带内的幅频特性有一定的起伏，其幅频特性如下图：

以低通滤波器为基础,通过一定的转化,可以设计出高通、带通、带阻等其它滤波器。

滤波器设计问题属于系统综合问题，不属于本课程的研究范畴。这里只是略作介绍。

例4－4高斯幅频特性是否物理可实现？ 解：

根据Paley-Wiener 准则：物理可实现的必须满足

∞

<+⎰∞

∞

-ωωωd j H 2

1)(ln

而高斯幅频特性

()⎪⎭⎫ ⎝⎛

-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝

⎛++=+=+=+∞

→-∞→--∞→∞∞-∞

∞-∞

∞

-∞

∞

-⎰⎰⎰⎰2lim 2(2lim lim 11111)

ln(1)

(ln 1122

2

22

2

πωωωωωωωωωωωωωB B tg B tg d d d e d j H B B B

B B

从上我们可以看出具有高斯幅频特性不满足Paley-Wiener 准则，是发散的，所以物理不可实现。

§4-5 调制与解调

一、 调制与解调

1、调制必要性

1）便于发射 2）利于传输

3）可以充分利用资源 2、调制的定义

用待传输的信号（调制信号），控制另外便于传输的信号（载波）的某一个参数的变化，以便达到传输信号的目的。 3、调制种类： 常用的调制方法： 1） 基于（高频）正弦波的调制， )cos()(000ϕ+=t A t a c ω

相应的调制方法有：

（1） 幅度调制（AM ，调幅波）：用调制信号控制载波的幅度，调制后的波称为调幅波。

（2） 频率调制（FM ，调频）：用调制信号控制载波载波的频率；调制后的波称为调频波

（3） 相位调制（PM ，调相）：用调制信号控制载波载波的相位；调制后的波称为调相波

此外还有其它一些二次调制方法，这里不一一介绍。 2） 基于脉冲波的调制：

原始信号是一系列的周期性的脉冲序列，用调制信号控制脉冲的幅度（脉冲幅度调制）、宽度（脉冲宽度调制）或间隔（脉冲间隔调制）等。

4、解调：从调制信号中恢复出原始的信号的过程。

解调是调制的逆过程。随各种调制方法的不同，解调的方法也不同。

二、 调幅波的调制与解调

1、 调制： 1）定义：

将调制信号加在载波信号的幅度上：

())cos()()(00ϕ++=t t ke A t a c ω

其中e(t)是含有信息的调制信号，它的变化速度一般远远低于载波变化速度。调制信号的存在导致载波信号的大小随时间变化。

幅度调制属于线性调制，它满足齐次性和叠加性。而FM 和PM 调制都属于非线性调制。

2) 2) 调幅波的频谱：

调制信号及其频谱 相应的AM 波及其频谱:

其中,加上直流分量0A 的作用是使得调制后的波形的包络保持原来调制信号的形状,以利于解调。 (见Am.m)

从频谱图中可以看出：幅度调制以后,所占用的频带的宽度等于信号最高频率分量的两倍.

✧ ✧ 频谱中的上边带,下边带与载波分量。 3) 调制系数

调幅波幅度变化的最大值与载波调制前的幅度的比值称为调制系数：

()0

max )(max A t ke A A m =

∆=

定义上调制系数

00max A A A m a -=

，上调制系数0

max

A A A m a -=，下调

制系数0

min

0A A A m b -=

。

一般),max(

b a m m m =。如果b a m m m ==，则称为对称调制。如果1>b m ，则称为过调制。

一般调制都默认为对称调制。

如果调制信号是一个周期性函数，可以表示成为傅利叶级数的和:

∑+∞

=+=1

)

cos()(i n n t n E t e φΩ

假设其中每一个分量单独进行调制时的调制系数称为部分调制系数：

0A E m n

n =

（n=1,2,…）此时的AM 信号为：

)

cos()cos()(010ϕωφΩ+⎪⎭⎫

⎝⎛++=∑∞

=t t n m A t a c n n n (见Am.m)

4) 调制系统框图

5) AM 波的功率

(1) 载波功率：2

021A P c =

(2) 瞬时功率：（在一个载波周期内的平均功率）

()20)(21

)(t ke A t P T +=

(3) 最大功率：

()c a P m A A t P 22max 0max )1(21

)(+=∆+=

如果是对称调制，则c P m t P 2

max )1()(+=。 (4) 平均功率：（在一个调制波周期内的平均功率）

c

n n P m P ⎪⎭⎫

⎝⎛+=∑∞=12211 以单正弦波调制为例，在m=1时，c P

P 4max =，c P P 5.1=。 例4－5－1

例4－5－1 已知调幅波

()tV t t u c ωcos 3cos 20cos 30100Ω+Ω+=

试求:

(1)这一调幅波包含哪几个正弦分量；

(2)这调幅波电压加于Ωk 1负载电阻时负载中吸收的载波功率和边带功率。 解 (1)将已给调幅波按三角公式展开，得

()()()()()10030cos 20cos3cos 100cos 30cos cos 20cos3cos 100cos 15cos 15cos 10cos 310cos 3V

c c c c c c c c c u t t t

t t t t t t t t

t t ωωωωωωωωω=+Ω+Ω=+Ω+Ω=++Ω+-Ω++Ω+-Ω

所以该调幅波中包含有五个正弦分量，即振幅为100V 的载频分量；振幅为15V 的第一对

上下边频分量，其频率分别为

c ω±Ω；振幅为10V 的第二对上下边频分量，其频率分别为

3c ω±Ω。

A t

c ωcos )

t

(2)载波功率为

22

m0111005W

221000c U P R ===

两对边频分量的功率共为

22m3

m1s 221122215100.325W 10001000U U P R R ⎛⎫=+ ⎪

⎝⎭=+=

2、 调幅信号的解调

1） AM 波解调方法： （1） 包络解调法

用电路提取出AM 波的包络。 优点：电路简单，容易实现。

缺点：输出信号中含有一定的干扰。

（2） 同步解调 原来调制信号与频谱

:

调幅信号的频谱

乘以t c ωcos 后的频谱：

如果经过一个低通滤波器后，可以得到与原来调制信号一样的频谱。其中只有直流分量与原信号不同，

但是考虑到原来的调制信号中一般不含

)

t

c ωcos

有直流分量，所以这里的差异可以不考虑。

例：单正弦或周期性信号调制AM波频谱。

✧✧如果原来在调制时就没有加直流分量，则这里就完全是调制

信号了。这样的调制叫做抑制载波幅度调制（AM－SC）。这种调制方式对于发射机的功率利用率比一般的AM波高。

抑制载波幅度调制信号:

原来的信号及其频谱:

调制后的信号及其频谱：

可见，没有直流分量以后，难于从调制过的信号的包络上看出调制信号。这样的信号显然无法用包络解调的方法进行解调。但是还是可以用同步解调的方法进行解调。

这样,经过低通滤波器以后,可以恢复出原来的信号。

同步解调的优点：

不仅能够解调AM波，还可以解调出没有载波的AM－SC波以及后面的其它改进的幅度调制波。

问题：

(1)电路复杂;

(2)解调端产生的参考载波的频率必须与调制端完全一致，否则就无法恢复出原来的信号。

✧✧如何让调制和解调端产生的载波完全一致？

——一般在信号中适当地保留一些载频信号，接收端可以利用其中的信息通过锁相环电路恢复出与调制端完全相同频率的载波信号。

3、AM波的改进：

除了上面的AM-SC以外，还有一些改进的幅度调制方法。

例如：AM波中的上下边带含有相同的结构，可以去处一个，节省频带，由此引出几种改进的调制方式：单边带（SSB）调制，残留边带调制。后者更容易实现，如TV系统。这种调制方法在占用的频带、发射机功率等方面比AM－SC方法更加优越，但是系统也更加复杂。

这种系统的解调只能用同步解调。

例：上边带（USB）调制：

原来AM－SC波频谱：

将其通过一个截止频率为c ω的高通滤波器，就可以得到上边带（USB ）调制信号，其频谱图为：

采用同步解调后，信号的频谱为：

可见，通过低通滤波器，可以还原出原始调制信号的频谱，从而可以在时域还原出原始调制信号。

✧ ✧ 通过上面这个例子，可以看出频域分析法的好处：虽然在这

里难于得到调制后的信号的时域表达式，但是通过频谱分析可以很容易的推导出同步解调的原理。

⏹ ⏹ 通过调制，可以达到在一个媒介中同时传输多路信号的目的

——频分复用（FDMA ）。下节将详细讨论。 4、 AM 波通过系统不产生失真的条件

如果待传输的信号是AM 波，则我们所关心的是它含有信息（调制信号或AM 波的包络）是否发生了失真。这时，系统不产生失真（或严格地说，不使AM 波携带的信息产生失真）的第二个条件可以放宽为“相频特性为任意一条直线”。 这里以周期性信号调制AM 波为例证明： 调制信号为:

)

cos()cos(1)(010ϕωφΩ+⋅⎪

⎭⎫

⎝⎛++=∑∞

=t t n m A t a c n n n []

(()[]()[]⎪⎪

⎭⎫⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--++++++=∑

∞

=00000cos cos 2)(cos n n c n c n c t n t n m t A ϕφΩωϕφΩωϕω假设某系统的幅

频特性等于1，相频特性为：

b k +=ωωϕ)(

则：b k c c +=ωωϕ)(

b kn k n

c c ++=+ΩωΩωϕ)( b kn k n c c +-=-ΩωΩωϕ)(

则AM 信号通过该系统后的响应为：

[]

(()[]()[]⎪⎪⎭

⎫⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++--+++++++++++=∑

∞

=10000cos cos 2)(cos )(n c n c c n c n c c b kn k t n b kn k t n m b k t A t x ΩωϕφΩωΩωϕφΩωωϕω[](()()[]()()[]⎪⎪⎭

⎫⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-++++++++++++++=∑

∞

=10000)(cos )(cos 2)(cos n n c c n c c n c c n t k b k t n t k b k t m b k t A φΩωϕωφΩωϕωωϕω[](()(){}⎪⎭⎫+++++++++=∑∞

=1000)(cos cos )(cos n n c c n c c n t k b k t m b k t A φΩωϕωωϕω[]()b k t n t k m A c c n n n +++⎭⎬

⎫⎩⎨⎧+++=∑∞=ωϕωφΩ010cos )(cos 1

可见：对于调制信号而言，各个调制信号分量产生的延时都是k ，相互的相位和幅度关系都没有变化。所以，即使这个直线没有过原点导致AM 波信号本身产生了失真，但是其含有信息的部分——包络——却不会产生失真。这就证明对于调幅波而言，相位不失真只是要求相频特性是一条直线（不一定要过原点）。 ✧ ✧ 这也是信号必须经过调制再传输的原因之一。信号被调

制后只“要求信道的相频特性是一条直线”就可以进行不失真传输，这比“要求信道的相频特性不仅是直线而且要过原点”显然要简单得多。这个条件在实际应用中也容易得到满足。

✧ ✧ 对于很多信道而言，在高频段容易找到相频特性为线性

（或者近似为线性）的适合于传输信号的频段。一般文献中的“非色散信道”常指这种信道。

✧ ✧ 系统的时延：系统对激励信号（或者其各个信号分量）

产生的时间上的延时； ——如果系统的相频特性为)(ωϕ，则系统对0ω频率点的分量

产生的时延为00)(ωωϕ。

✧ ✧ “群时延”“相时延”

系统对AM 波调制信号（或者AM 波的包络）产生的延时

0t (对于因果系统而言, 00≤t )称为“群时延”。系统相频特

性的直线的斜率k 决定了群时延

整个信号的相移b k +=ωωϕ)(对信号产生的时延

ωωωϕ∆b

k t +==

)(被称为系统的相时延。

✧ ✧ 显然，如果系统的相频特性曲线过原点，则系统的相时

延与群时延相等。

三、 脉冲幅度调制

基于一系列脉冲的调制方法中，只有脉冲幅度调制的方法是线性调制，其它的（脉冲宽度调制和脉冲间隔调制）都属于非线性调制。

1、 调制原理：

用一个周期性脉冲信号()T s t 乘以调制信号()e t ，得到的就

是脉冲幅度调制信号。

()()()T a t e t s t =

调制信号与周期脉冲信号的波形

:

调制后的信号与频谱: ()()()T a t e t s t =

● ● 如果脉冲序列的重复角频率

T π

2=

Ω大于信号的最高

频率m ω的两倍，上面周期化的频谱就不会产生重叠。这时下面的解调就成为可能。

● ● 上面这种基于方波的脉冲幅度调制可以简单地用一个

周期性闭合的电子开关实现。

2、 解调

从上面的频谱中可以看出, 如果

m ω

2≥Ω，只要让调制后的信号经过一个低通滤波器,就可以解调出原来的信号。

✧ ✧ 脉冲幅度调制的意义并不在于信号传输，而是在于信道

的复用，也就是在一个信道中传输多个信号。

)

(t

频域分析法

频域分析法 频域分析法是一种探究信号的量化分析方法，广泛应用于工程领域，如电子、声学、机械、生物医学等，具有很高的科学研究价值。 频域分析法是用来提取信号特征和分析信号组成部分的，它可以用来分析信号的时频特性和频频特性。频域分析法包括三个步骤：信号提取、频域变换和分析。第一步需要从信号中提取想要测量的特征；第二步把信号变换到频域，以获取信号的频域特征；第三步是对提取的特征进行分析，以提取信号的有效信息。 频域分析的最基本的方法是傅里叶变换法，它能将时域信号变换到频域，这样就可以确定信号的频域特征。傅里叶变换的基本原理是：将时域信号的抽样点拆分成一系列的正弦波，用这些正弦波的加和表示原信号。当拆分正弦波的加和够多时，傅里叶变换可以很好地求出信号系数，也就是频谱，用它来表示原信号的特性，这就是傅里叶变换的本质。 除傅里叶变换法，还有基于图像技术的频域处理方法，如图像增强、图像降噪、图像复原和图像分割等。图像技术在频域中的应用可以有效地提取信号的频率特性，从而给出清晰的信号图像。 另一种常用的频域分析法是统计分析法。统计分析法可以帮助我们探究不同信号之间的关系，并对信号进行统计分析，以提取有效信息。主要有数据描述统计、概率统计和数据建模统计。数据描述统计可以统计信号的特征，包括均值、中位数、标准差、最大值、最小值等；概率统计可以分析信号的概率特征；数据建模统计可以将信号映

射到复杂的模型中，以挖掘深层的信号信息。 频域分析法在各种工程领域中得到了广泛的应用，有助于深入地理解信号的特性。在电子和声学领域，频域分析法可以用来分析信号的声音和数据特性，帮助我们快速发现隐藏的频率特征；机械领域可用来分析信号的空间位移和空间速度特性；生物医学领域用来分析人体心电图、脑电图、超声图像和医学影像信号等。 综上所述，频域分析法是一种量化分析信号的重要技术手段，主要包括信号提取、频域变换和分析三个部分。它在工程领域中有着广泛的应用，可以有效地提取信号的特征，为研究信号提供极大的帮助。

信号通过系统的频域分析方法

§4-1 概述 系统的频域分析法，是将通过傅利叶变换，将信号分解成多个正弦 函数的和（或积分），得到信号的频谱；然后求系统对各个正弦分量的响应，得到响应的频谱；最后通过傅利叶反变换，求得响应。 频域分析法避开了微分方程的求解和卷积积分的计算，容易求得系统的响应。但是它必须经过两次变换计算，计算量比较大。但是在很多情况下，直接给定激励信号的频谱，且只需要得到响应信号的频谱，这时就可以不用或少用变换。 频域分析法只能求解系统的稳态响应或零状态响应。 §4-2 信号通过系统的频域分析方法 一、系统对周期性信号的稳态响应 1、 基本思路： 周期性信号可以表示（分解）成若干个（复）正弦函数之和。只要分别求出了系统对各个（复）正弦函数的响应（这一点已经在电路分析课程中做了充分讨论），就可以得到全响应。 ⏹ ⏹ 稳态响应：周期信号是一个无始无终的信号，可以认为在很远的 过去就已经加到系统上，系统的响应已经进入了一个稳定的状态——响应中只存在稳态响应。 2、 电系统对周期信号的响应： 1） 将周期信号分解为傅利叶级数； 2） 求电路系统对各个频率信号的作用的一般表达式——网络函数 )(ωj H ―――求解方法：利用电路分析中的稳态响应 3） 求系统对各个频率点上的信号的响应； 4） 将响应叠加，得到全响应。 注意：这里的叠加是时间函数的叠加，不是电路分析中的矢量叠加。 例：P167， 例题4-1 ⏹ 某些由周期性信号组成的非周期信号（或概周期信号）也可以用这种分析方法。例如信号： t t t e πcos cos )(+= 虽然不是周期信号，但是也可以分解成为周期信号的和，从而也可以用这种方法求解。 3、 通过微分方程求系统对周期信号的响应： 在很多场合，已经给出了系统的微分方程，如何求解系统对周期信号的响应？ （1） 对于用微分方程描述的一般系统，有： ) ()(...)()()()(...)()(0111101111t e b t e dt d b t e dt d b t e dt d b t r a t r dt d a t r dt d a t r dt d m m m m m m n n n n n ++++=++++------ 我们可以先 假设系统对复正弦信号的响应仍然是同频率的复正弦信号（这个假设是否成立？有待验证！） 设：激励信号是复正弦信号t j e j E ωω⋅)(，其响应也是同样频率的复正 弦信号t j e j R ωω⋅)(。其中)(ωj E 、)(ωj R 分别为频率为ω 的复正弦激励和响应信号的复振幅。将其带入微分方程，可以得到： () () t j m m m m t j n n n e j E b j b j b j b e j R a j a j a j ωωωωωωωωωω)()(...)() ()()(...)()(0111011 ++++=++++---或：

时域与频域分析

时域与频域分析 时域与频域分析是信号处理中常用的两种方法，用于分析信号在时间和频率上的特征。时域分析主要关注信号的幅度、相位和波形，而频域分析则关注信号的频率成分和频谱特性。 一、时域分析 时域分析是指通过对信号在时间轴上的变化进行观察和分析，来研究信号的特性。它通常使用时域图形表示信号，常见的时域图形有时域波形图和时域频谱图。 1. 时域波形图 时域波形图是将信号的幅度随时间变化的曲线图形。通过观察时域波形图，我们可以获得信号的振幅、周期、持续时间等特征。例如，对于周期性信号，我们可以通过时域波形图计算出信号的周期，并进一步分析信号的频谱成分。 2. 时域频谱图 时域频谱图是将信号的频谱信息与时间信息同时呈现的图形。它可以用来描述信号在不同频率下的能量分布情况。常见的时域频谱图有瀑布图和频谱图。瀑布图将时域波形图在频域上叠加，通过颜色表示不同频率下的幅度，以展示信号随时间和频率的变化。频谱图则是将时域信号转换到频域上，通过横轴表示频率，纵轴表示幅度，以展示信号的频谱特性。

二、频域分析 频域分析是指通过将信号从时域转换到频域，来研究信号在频率上 的特性。频域分析通常使用傅里叶变换或者其它频域变换方法来实现。 1. 傅里叶变换 傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的重要方法。它可以将 信号分解成不同频率成分的叠加。傅里叶变换得到的频域信息包括频率、幅度和相位。通过傅里叶变换，我们可以分析信号中各个频率成 分的能量分布，从而了解信号的频谱特性。 2. 频谱分析 频谱分析是对信号的频谱特性进行定量分析的方法。经过傅里叶变 换后，我们可以得到信号的频谱，进而进行频谱分析。常见的频谱分 析方法有功率谱密度分析、功率谱估计、自相关分析等。通过频谱分析，我们可以计算信号的平均功率、峰值频率、峰值功率等参数，进 一步得到信号的特征信息。 三、时域与频域分析的应用 时域与频域分析在信号处理和通信领域具有广泛的应用。例如： 1. 时域分析可以用于信号的滤波和去噪。通过观察时域波形图，我 们可以确定合适的滤波器类型和参数，从而实现信号的去噪和频率响 应控制。

通信中的信号分析技术简介

通信中的信号分析技术简介 随着现代通信技术的迅猛发展，通信系统承载的信息量不断增加，要求对通信信号进行更加精细和深入的分析，以提高通信系 统的性能和稳定性。而信号分析技术作为一种重要的分析工具， 已经成为了通信工程领域中不可或缺的一环。本文将简单介绍通 信中常见的信号分析技术，包括基本的时域分析、频域分析、小 波分析和相关分析等。 一、时域分析 时域分析是指对信号在时间序列上进行分析的一种方法，它可 以显示出信号的时间变化情况，如波形的变化趋势、振幅、周期等。时域分析的主要工具是真实时钟和抽样器，可以通过记录信 号在不同时间点上的值来分析信号的波形和信号特征。 时域分析主要包括信号的自相关性分析、谱相关性分析、冲击 响应分析等，通过这些分析方法可以得到信号中很多有用的信息，以便对信号进行更深入的研究。 二、频域分析

频域分析是指对信号在频域上进行分析的一种方法，可以显示信号在频域上的特征，如频率成分、频率分布等。频域分析技术是通过快速傅里叶变换（FFT）实现的，FFT可以将时域上的信号转换成复杂的频域分量，从而能够对信号的频率谱进行分析。 常见的频域分析方法包括功率谱分析、相位谱分析、频率谱分析等，通过这些方法可以更加深入地理解信号的特征，以便进行更加精细化和高水平的通信系统设计。 三、小波分析 小波分析是指对信号进行更加深入的分析，它可以将信号在时域和频域上进行同时分析，可用于信号的局部频率分析和纹理分析等。小波分析的基本原理是将信号分解成多个小波形，并对每个小波形进行变换，从而可以得到信号在不同频率上的特征。 小波分析的主要应用领域是在数字通信系统中，它可以用于解决数字信号处理中的多信号处理问题，如信号去噪、信号解调和信号识别等，可以大幅提升数字通信的质量和性能。

数字信号处理中的时域与频域分析

数字信号处理中的时域与频域分析 数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是一门研究如何对数字 信号进行处理和分析的学科。在DSP中，时域分析和频域分析是两个重要的方法。时域分析主要关注信号的时间特性，而频域分析则关注信号的频率特性。本文将从理论和应用的角度，探讨时域与频域分析在数字信号处理中的重要性和应用。 一、时域分析 时域分析是对信号在时间上的变化进行分析。通过时域分析，我们可以了解信 号的振幅、相位、周期以及波形等特性。其中，最常用的时域分析方法是时域图和自相关函数。 时域图是将信号的振幅随时间的变化进行绘制的图形。通过观察时域图，我们 可以直观地了解信号的周期性、稳定性以及噪声等特性。例如，在音频信号处理中，通过时域图我们可以判断一段音频信号是否存在杂音或者变调现象。 自相关函数是用来描述信号与其自身在不同时间点的相关性的函数。通过自相 关函数，我们可以了解信号的周期性和相关性。在通信系统中，自相关函数常常用来估计信道的冲激响应，从而实现信号的均衡和去除多径干扰。 二、频域分析 频域分析是将信号从时域转换到频域进行分析。通过频域分析，我们可以了解 信号的频率成分、频率分布以及频谱特性等。其中，最常用的频域分析方法是傅里叶变换和功率谱密度。 傅里叶变换是将信号从时域转换到频域的数学工具。通过傅里叶变换，我们可 以将信号分解为不同频率成分的叠加。这对于分析信号的频率特性非常有用。例如，在音频信号处理中，我们可以通过傅里叶变换将音频信号分解为不同频率的音调，从而实现音频合成和音频特效处理。

功率谱密度是描述信号在不同频率上的功率分布的函数。通过功率谱密度，我 们可以了解信号的频率分布和频谱特性。在通信系统中，功率谱密度常常用来估计信道的带宽和信号的功率。同时，功率谱密度还可以用于噪声的分析和滤波器的设计。 三、时域与频域分析的应用 时域与频域分析在数字信号处理中有着广泛的应用。以下是一些常见的应用领域： 1. 音频信号处理：时域与频域分析在音频信号处理中起着重要的作用。通过时 域分析，我们可以判断音频信号的质量和稳定性。通过频域分析，我们可以实现音频合成、音频特效处理以及音频压缩等。 2. 图像处理：时域与频域分析在图像处理中也有着重要的应用。通过时域分析，我们可以了解图像的亮度、对比度以及纹理等特性。通过频域分析，我们可以实现图像滤波、图像压缩以及图像增强等。 3. 通信系统：时域与频域分析在通信系统中是不可或缺的。通过时域分析，我 们可以了解信号的传输特性和时延等。通过频域分析，我们可以实现信号的调制解调、信道均衡以及信号的编码和解码等。 总结起来，时域与频域分析是数字信号处理中的两个重要方法。通过时域分析，我们可以了解信号的时间特性；通过频域分析，我们可以了解信号的频率特性。这两种分析方法在音频信号处理、图像处理以及通信系统中都有着广泛的应用。通过深入研究和应用时域与频域分析，我们可以更好地理解和处理数字信号。

应用MATLAB对信号进行频谱分析

应用MATLAB对信号进行频谱分析 信号的频谱分析是一种重要的信号处理方法，可以帮助我们深入了解信号的频域特性。MATLAB作为一种强大的科学计算软件，提供了丰富的工具和函数来进行频谱分析。 在MATLAB中，频谱分析可以使用多种方法来实现，包括离散傅立叶变换（DFT）、快速傅立叶变换（FFT）等。下面将介绍几种常用的频谱分析方法及其在MATLAB中的应用。 1.离散傅立叶变换（DFT） 离散傅立叶变换是将信号从时域转换到频域的一种方法。在MATLAB 中，可以使用fft函数进行离散傅立叶变换。例如，假设我们有一个长度为N的信号x，可以通过以下代码进行频谱分析： ```matlab N = length(x); X = fft(x); fs = 1000; % 采样频率 f = fs*(0:(N/2))/N; P = abs(X/N).^2; plot(f,P(1:N/2+1)) ```

以上代码将信号x进行离散傅立叶变换，并计算频谱的幅度谱（P），然后根据采样频率和信号长度计算频率轴。最后使用plot函数绘制频谱图。 2.快速傅立叶变换（FFT） 快速傅立叶变换是一种高效的离散傅立叶变换算法，可以在较短的时 间内计算出频谱。在MATLAB中，fft函数实际上就是使用了快速傅立叶 变换算法。以下是使用FFT进行频谱分析的示例代码： ```matlab N = length(x); X = fft(x); fs = 1000; % 采样频率 f = fs*(0:(N/2))/N; P = abs(X/N).^2; plot(f,P(1:N/2+1)) ``` 3.窗函数 窗函数可以改善频谱分析的效果，常见的窗函数有矩形窗、汉宁窗、 汉明窗等。在MATLAB中，可以使用window函数生成窗函数，然后将窗函 数和信号进行乘积运算，再进行频谱分析。以下是使用汉宁窗进行频谱分 析的示例代码： ```matlab

时域分析与频域分析方法

时域分析与频域分析方法 时域分析和频域分析是信号处理中常用的两种方法。它们可以帮助 我们理解信号的特性、提取信号的频谱信息以及设计滤波器等。本文 将介绍时域分析和频域分析的基本原理和方法，并比较它们的优缺点。 一、时域分析方法 时域分析是指在时间域内对信号进行分析和处理。它研究的是信号 在时间轴上的变化情况，通常用波形图表示。时域分析的基本原理是 根据信号的采样值进行计算，包括幅度、相位等信息。 时域分析方法常用的有以下几种： 1. 时域波形分析：通过观察信号在时间轴上的波形变化，可以获得 信号的幅度、周期、频率等信息。时域波形分析适用于周期性信号和 非周期性信号的观测和分析。 2. 自相关函数分析：自相关函数描述了信号与自身在不同时间延迟 下的相似度。通过计算自相关函数，可以获得信号的周期性、相关性 等信息。自相关函数分析通常用于检测信号的周期性或寻找信号中的 重复模式。 3. 幅度谱密度分析：幅度谱密度是描述信号能量分布的函数。通过 对信号进行傅里叶变换，可以得到信号的频谱信息。幅度谱密度分析 可以用于选取合适的滤波器、检测信号中的频率成分等。 二、频域分析方法

频域分析是指将信号从时间域转换到频率域进行分析和处理。频域 分析研究的是信号的频率特性，通常用频谱图表示。频域分析的基本 原理是将信号分解为不同频率的成分，通过分析每个频率成分的幅度、相位等信息来研究信号的特性。 频域分析方法常用的有以下几种： 1. 傅里叶变换：傅里叶变换是频域分析的基础。它可以将信号从时 域转换到频域，得到信号的频谱信息。傅里叶变换可以将任意连续或 离散的信号表达为一系列正弦曲线的和，从而揭示信号的频率成分。 2. 快速傅里叶变换：快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算傅 里叶变换的方法，可以加快信号的频域分析速度。FFT广泛应用于数 字信号处理、图像处理等领域。 3. 频谱分析：通过对信号进行傅里叶变换或快速傅里叶变换，可以 获得信号的频谱信息。频谱分析可以帮助我们了解信号的频率成分分布、频率特性等，并用于设计滤波器、检测信号的谐波等。 三、时域分析与频域分析的比较 时域分析和频域分析各有其优势和局限性。时域分析适用于观察信 号在时间轴上的波形变化，可以直观地分析信号的幅度、周期等信息。然而，时域分析无法提供信号的频率成分和相位等详细信息。 频域分析通过傅里叶变换等方法将信号转换到频率域，可以获得信 号的频谱信息。频域分析可以分析信号的频率成分、频率特性等，对

信号与系统的频域分析

信号与系统的频域分析 信号与系统是电子、通信、自动控制、计算机等领域的重要基础课程，频域分析是其中的重要内容之一。频域分析是指将信号在频域上 进行分析和处理，通过分析信号的频谱特性和频率分量来了解信号的 频率成分和频率响应。 一、频域分析的基本概念和原理 频域分析是将时域信号转换为频域信号的过程，可以通过傅里叶变 换来实现。傅里叶变换是一种将非周期信号或有限时长的周期信号分 解为一系列基础频率分量的技术，可以将信号在频域上进行表达和处理。在频域中，信号的频率成分和相对能量分布可以清晰地呈现出来，方便人们对信号进行分析和理解。 二、傅里叶级数和傅里叶变换 傅里叶级数是用来分解周期信号为一系列余弦和正弦函数的技术， 适用于周期信号的频域分析。傅里叶级数展开后，通过求解各个频率 分量的振幅和相位，可以得到该周期信号在频域中的频率成分和能量 分布。 傅里叶变换是对非周期信号或有限时长的周期信号进行频域分析的 方法。傅里叶变换将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱特性。 通过傅里叶变换，可以将时域中的信号分解为一系列基础频率分量， 同时还可以得到每个频率分量的相位和振幅信息。 三、频域分析的应用

频域分析在信号处理和系统分析中广泛应用。在通信系统中，频域 分析可以用于信号调制、解调和信道估计等方面。在音频和视频信号 处理中，频域分析可以用于音频和视频编码、去噪和增强等技术。在 自动控制系统中，频域分析可以用于系统的稳定性和响应特性分析。 四、常见的频域分析方法 除了傅里叶变换外，还有一些常见的频域分析方法，如离散傅里叶 变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、功率谱密度分析（PSD）等。这些方法在不同的领域和应用中有着各自的优缺点和适用范围。熟练 掌握这些方法的原理和使用技巧，可以更好地进行频域分析和信号处理。 五、总结 频域分析是信号与系统领域中重要的理论和实践内容，通过分析信 号在频域上的频率成分和能量分布，可以深入理解信号的特性和系统 的行为。傅里叶变换作为频域分析的核心工具，能够将信号在时域和 频域之间进行转换，为信号处理和系统分析提供了强有力的工具。熟 练掌握频域分析的基本知识和方法，有助于我们在实际应用中更好地 处理和分析各种信号和系统。

音频处理中的时域和频域分析方法

音频处理中的时域和频域分析方法音频处理作为数字信号处理的一个重要分支，涉及到对音频信号的处理、分析和转换。在音频处理中，时域和频域分析方法是两种常用的分析手段，它们可以帮助我们更好地理解音频信号的特性和进行相应的处理。 一、时域分析方法 时域分析是指对音频信号在时间上的变化进行分析。它主要通过对时域波形进行观察和处理，来获取音频信号的有关信息。常用的时域分析方法包括以下几种： 1. 声波图形展示：通过绘制音频信号的波形图，可以直观地了解音频信号的振幅和变化规律。一般情况下，波形图的横轴表示时间，纵轴表示振幅，可以通过观察波形的形状、峰值和波峰之间的间隔等信息来判断音频信号的特点。 2. 时域滤波：时域滤波是指通过对音频信号的波形进行滤波操作，来实现去噪、降噪等效果。常见的时域滤波方法有均值滤波、中值滤波、高通滤波和低通滤波等。这些滤波方法可以通过在时域上修改波形达到减少噪声、增强信号等目的。 3. 时域特征提取：时域特征提取是指从音频信号的波形中提取出一些描述音频特征的参数，如平均能量、时域宽度、时长等。这些特征参数可以应用于音频信号的分类、识别和分析等方面。 二、频域分析方法

频域分析是指对音频信号在频率上的变化进行分析。它主要通过对音频信号进行傅里叶变换，将时域信号转换为频域信号，来获取音频信号的频谱信息。常用的频域分析方法包括以下几种： 1. 频谱图展示：通过绘制音频信号的频谱图，可以清晰地表示音频信号在不同频率上的能量分布。频谱图的横轴表示频率，纵轴表示幅度或能量，可以通过观察频谱图的形状、峰值和频谱线之间的距离等信息来了解音频信号的频谱特性。 2. 频域滤波：频域滤波是指通过对音频信号的频谱进行滤波操作，来实现音频信号的降噪、去除杂音等效果。常见的频域滤波方法有低通滤波、高通滤波和带通滤波等。这些滤波方法可以通过在频域上修改频谱来减少或排除一些频率成分。 3. 频谱分析与重构：通过对音频信号进行频谱分析，可以提取出音频信号的频谱特征，如基波、谐波等，进而对音频信号进行重构或合成。频谱分析与重构可以应用于音频信号的编辑、合成和声码器等方面。 总结： 时域和频域分析方法在音频处理中扮演着重要的角色。时域分析主要从时间上对音频信号进行观察和处理，频域分析则通过傅里叶变换将时域信号转换为频域信号来获取频谱信息。时域分析适用于观察音频信号的波形特征和进行时域滤波，频域分析则适用于观察音频信号的频谱分布和进行频域滤波。两种方法在实际应用中常常结合起来，以实现更精确、全面的音频处理效果。

应用FFT实现信号频谱分析

应用FFT实现信号频谱分析 FFT（快速傅里叶变换）是一种用于将时域信号转换为频域信号的算法。它通过将信号分解成多个正弦和余弦波的组合来分析信号的频谱。频 谱分析是一种常用的信号处理技术，用于确定信号中存在的频率成分以及 它们的强度。 FFT的应用广泛，包括音频分析、图像处理、通信系统等领域。下面 将介绍一些常见的应用场景和具体实现。 1.音频分析 在音频领域，频谱分析可以用于确定音乐中的各种音调、乐器和声音 效果。通过应用FFT算法，可以将音频信号转化为频谱图，并从中提取音 频的频谱特征，如基频、谐波倍频等。这对于音频处理、音乐制作以及语 音识别等任务非常重要。 2.图像处理 在图像处理中，频谱分析可以用于图像增强、图像去噪、图像压缩等 方面。通过将图像转换为频域信号，可以对不同频率的成分进行加权处理，以实现对图像的调整和改善。例如，可以使用FFT将图像进行频谱滤波， 降低噪声或突出一些特定频率成分。 3.通信系统 在通信系统中，频谱分析用于信号调制、信道估计和解调等任务。通 过分析信号的频谱，可以确定信道的衰减和失真情况，从而进行信号调整 和校正。此外，FFT还可以用于信号的多路径传播分析，以提高信号通信 质量和可靠性。

如何实现FFT信号频谱分析？ 1.数据采集 首先，需要采集信号数据。可以使用传感器或任何可以捕捉信号的设 备来获取时域信号。 2.数据预处理 接下来，需要对采集到的数据进行预处理。例如，可以对信号进行去 直流操作，以消除直流分量对频谱分析的影响。 3.数值计算 使用FFT算法对预处理后的数据进行频谱分析。FFT的实现可以使用 现有的库函数或自己编写。在计算FFT之前，通常需要对数据进行零填充，以提高频率分辨率。 4.频谱分析 通过计算FFT结果的幅度谱或功率谱，可以得到信号的频谱信息。幅 度谱表示信号不同频率成分的相对强度，而功率谱则表示信号在不同频段 上的能量分布。 5.结果可视化 最后，将频谱分析的结果可视化。可以绘制幅度谱或功率谱的图表， 以显示信号中的频率成分和它们的强度。常用的绘图工具包括 Matplotlib、GNUplot等。 总结：

频域分析方法在信号处理中的应用研究

频域分析方法在信号处理中的应用研究 随着科技的不断发展，信号处理在各个领域中的应用越来越广泛。在信号处理的过程中，频域分析方法起到了至关重要的作用。频域分析方法通过将时域信号转化为频域信号，可以更好地理解信号的特性和结构。本文将对频域分析方法在信号处理中的应用进行深入研究。 首先，让我们来了解一下频域分析方法的基本原理。频域分析是指通过傅里叶变换将时域信号转化为频域信号的过程。傅里叶变换可以将一个信号表示成不同频率分量的叠加，从而揭示出信号的频域特性。通过分析频域信号，我们可以得到信号的谱特性，如频率、幅度和相位等。这些谱特性可以帮助我们更好地理解信号的本质和进行相应的信号处理。 频域分析方法在信号处理中有着广泛的应用。其中一个重要的应用领域是音频信号处理。音频信号是一种连续的时域信号，通过对音频信号进行频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图。频谱图反映了不同频率的音频分量的强度。在音频信号处理中，频域分析方法被广泛用于音乐合成、音乐压缩和音频效果处理等方面。通过频域分析方法，我们可以理解音频信号的声音特性，并根据需求进行相应的处理和改变。 另一个重要的应用领域是图像处理。在图像处理中，频域分析方法可以用来对图像进行滤波和增强。通过将图像转化为频域信号，我们可以利用频域滤波器对图像进行去噪、增强和边缘检测等操作。频域滤波器可以在不同的频率范围内对图像进行针对性的处理，从而获得更好的效果。频域分析方法在图像处理中的应用，可以有效地改善图像的质量和增强图像的细节。 除了音频信号处理和图像处理，频域分析方法还具有广泛的应用领域。在通信系统中，频域分析方法可以用于信号的调制与解调、信道估计和无线频谱分配等方面。在生物医学工程中，频域分析方法可以用于心电图的分析和识别、脑电信号的

离散控制系统的时域和频域分析方法

离散控制系统的时域和频域分析方法离散控制系统是一种常见的控制系统形式，它在许多工程领域都有广泛的应用。为了实现对离散控制系统的性能评估和优化设计，需要对其进行时域和频域分析。本文将介绍离散控制系统的时域和频域分析方法。 一、时域分析方法 时域分析是通过观察离散时间系统的时间响应来研究系统的动态特性。常用的时域分析方法有以下几种： 1. 单位脉冲响应（Unit Pulse Response）分析法 单位脉冲响应分析法是通过在离散控制系统输入单位脉冲信号，观察系统的输出响应来研究系统的特性。该方法可以获取系统的脉冲响应序列，从而了解系统的时域特性，如系统的阶数、稳定性等。 2. 阶跃响应（Step Response）分析法 阶跃响应分析法是通过在离散控制系统输入阶跃信号，观察系统的输出响应来研究系统的特性。通过分析系统的阶跃响应曲线，可以获得系统的响应时间、超调量等重要参数，从而评估系统的性能。 3. 差分方程分析法 差分方程分析法是通过建立离散时间系统的差分方程，利用数学方法求解系统的时间响应。通过分析差分方程的解析解或数值解，可以获取系统的时域响应，进一步研究系统的动态行为。

二、频域分析方法 频域分析是通过研究离散控制系统在频域上的特性，如频率响应、幅频特性等，来评估系统的稳定性和性能。以下是常用的频域分析方法： 1. Z变换法 Z变换是一种广泛应用于离散时间系统的频域分析方法。通过对系统的差分方程进行Z变换，可以获得系统的传递函数，进而分析系统的稳定性、幅频特性等。 2. 频谱分析法 频谱分析法是通过对离散信号的频谱进行分析，了解系统在频率域上的特性。常用的频谱分析方法有傅里叶变换、快速傅里叶变换等，通过分析系统的频谱图，可以获取系统的频率响应、主要频率成分等信息。 3. Bode图法 Bode图法是一种常用的频域分析方法，用于分析系统的幅频特性和相频特性。通过绘制系统的幅频特性曲线和相频特性曲线，可以直观地评估系统的频率响应和稳定性。 结论 离散控制系统的时域和频域分析方法为我们评估和优化系统的性能提供了重要的工具。时域分析方法可以通过观察系统的时间响应，了

在MATLAB中使用频域方法进行信号分析

在MATLAB中使用频域方法进行信号分析 信号分析是一种用于探索信号特征、提取有用信息以及解决实际问题的方法。在信号分析中，频域方法是一种常用且有效的工具。频域方法通过将信号从时域转换为频域，可以更好地理解信号的频率特征和谱密度。 MATLAB是一款功能强大的数学计算和数据分析软件，在信号处理领域广泛应用。通过其丰富的函数库和强大的计算能力，我们可以使用多种频域方法进行信号分析。本文将介绍一些MATLAB中常用的频域方法，并展示如何使用这些方法进行信号分析。 第一部分：频域变换 频域变换是将时域信号转换为频域信号的过程。在MATLAB中，常用的频域变换方法包括傅里叶变换、快速傅里叶变换等。下面我们将详细介绍这些方法的原理和使用。 1. 傅里叶变换 傅里叶变换是频域分析的基础。它将信号表示为一组正弦和余弦波的和，可以将信号的时域特征转化为频域特征。在MATLAB中，可以使用fft函数进行傅里叶变换。 例如，我们有一段包含正弦信号的时域数据，可以使用fft函数计算其频域表示。代码如下： ```MATLAB t = 0:0.01:1; % 时间范围 f = 10; % 信号频率 x = sin(2*pi*f*t);

X = fft(x); ``` 通过上述代码，我们可以得到信号x的频谱表示X。可以使用plot函数绘制频谱图，代码如下： ```MATLAB f = (0:length(X)-1)/length(X)*Fs; % 频率范围 plot(f, abs(X)) ``` 上述代码中，我们计算了频率范围f，并使用abs函数计算频域信号的模。绘制得到的图形可以直观地显示信号的频率成分。 2. 快速傅里叶变换（FFT） 傅里叶变换是一种高效的频域变换方法，但是当信号长度较大时，计算复杂度较高。为了解决这个问题，快速傅里叶变换（FFT）被广泛应用。FFT算法通过分治策略将傅里叶变换的复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)，大大提高了计算效率。 在MATLAB中，可以使用fft函数进行FFT计算。和上述傅里叶变换代码类似，只需要将fft函数替换为fft函数即可。 第二部分：频域滤波 频域滤波是一种常用的信号处理技术。它通过将信号转换到频域，对频域信号进行滤波操作，然后再将滤波后的信号转换回时域。频域滤波可以用于滤除噪声、增强信号以及去除不需要的频率成分。 1. 频域滤波器设计

应用FFT对信号进行频谱分析

应用FFT对信号进行频谱分析 引言 频谱分析是信号处理中的一项核心技术。对于FFT（快速傅里叶变换）来说，它是一种以较快的速度计算傅里叶变换的算法，广泛应用于信号处理、通信、音频处理、图像处理等领域。本文将介绍如何应用FFT对信号 进行频谱分析。 一、信号的频谱分析 1.傅里叶变换 傅里叶变换是将一个信号分解成一系列互相正交的复指数形式的波的 和的过程。它将一个信号从时域转换到频域，给出信号在频率上的分布情况。 2.FFT算法 傅里叶变换是一个连续的过程，需要进行积分计算。然而，FFT是一 种离散的傅里叶变换算法，通过将输入信号离散化，使用一种快速的算法 来加速计算过程。FFT算法能够将信号从时域转换到频域并给出高精度的 频谱分析结果。 二、应用FFT进行频谱分析的步骤 1.信号采样 首先，需要对待分析的信号进行采样。采样是指以一定频率对信号进 行等间隔的时间点采样，将连续的信号离散化。 2.零填充

为了提高频谱分析的精度，可以对信号进行零填充。在采样的信号序 列中增加零值，可以增加频谱分析的细节。 3.FFT计算 使用FFT算法对离散信号进行傅里叶变换计算。在实际应用中，通常 使用现有的FFT库函数，如MATLAB的fft函数或Python的numpy.fft模块。 4.频谱绘制 得到FFT计算的结果后，可以通过绘制频谱图来展示信号在不同频率 上的能量分布情况。常见的频谱绘制方式包括直方图、折线图和曲线图等。 三、应用FFT进行频谱分析的实例 为了更好地理解FFT的应用，以音频信号的频谱分析为例进行说明。 1.音频信号采样 选择一个音频文件，将其转换为数字信号，然后对其进行采样，得到 一系列离散的数字信号。 2.FFT计算 使用FFT算法对采样的数字信号进行傅里叶变换计算，得到信号在频 域上的能量分布情况。 3.频谱绘制 将计算得到的频域信息进行可视化。可以通过绘制频谱图来展示信号 在不同频率上的能量分布情况，例如绘制直方图、折线图或曲线图等。 4.结果分析

时域离散信号和系统的频域分析

时域离散信号和系统的频域分析 信号与系统的分析方法有两种：时域分析方法和频域分析方法。 在连续时间信号与系统中，信号一般用连续变量时间t 的函数表示，系统用微分方程描述，其频域分析方法是拉普拉斯变换和傅立叶变换。在时域离散信号与系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，系统则用差分方程描述，频域分析方法是Z 变换和序列傅立叶变换法。 Z变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连 续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为 简单的代数方程，使其求解大大简化。因此，对求解离散时间系 统而言，Z变换是一个极重要的数学工具。 2．2 序列的傅立叶变换（离散时间傅立叶变换） 一、序列傅立叶变换： 正变换：DTFT[x(n)]=（2.2.1） 反变换：DTFT-1 式（2.2.1）级数收敛条件为 ||= (2.2.2) 上式称为x(n)绝对可和。这也是DTFT存在的充分必要条件。 当遇到一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其DTFT可用冲激 函数的形式表示出来。 二、序列傅立叶变换的基本性质： 1、 DTFT的周期性 ，是频率的周期函数，周期为2。 ∵ = 。 问题1：设x(n)=R N(n)，求x(n)的DTFT。 ==

== 设N为4，画出幅度与相位曲线。 2、线性 设=DTFT[x1(n)]，=DTFT[x2(n)]，则：DTFT[a x1(n)+b x2(n)] = = a+b 3、序列的移位和频移 设 = DTFT[x(n)]， 则：DTFT[x(n-n0)] = = DTFT[x(n)] = = = 4、 DTFT的对称性 共轭对称序列的定义：设序列满足下式