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(完整)2019-2020年高考数学压轴题集锦——数列(二)

2019-2020年高考数学压轴题集锦——数列（二）

1.数列{}n a 的前n 项和为n S ，

23()n n S a n n =-∈N ．（1）证明数列{}3n a +是等比数列，求出数列{}n a 的通项公式．（2）设21

(3)3

n n n b a -=

+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（3）数列{}n b 中是否存在三项，它们可以构成等比数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由．

2.设数列{}

n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n n S a =，

则称{

}n a 是“H 数列”．

（1）若数列{}n a 的前n 项和为*2()n n S n =∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”．

（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值．

3.已知点

(,)()n n a n ∈N *

在函数()22f x x =--的图象上，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n T 是6n S 与8n 的等差中项．

（1）求数列{}n b 的通项公式．

（2）设83n n c b n =++，数列{}n d 满足11d c =，()n n l d c n d +∈=N *

．求数列{}n d 的前n 项和

n D ．

（3）在（2）的条件下，设()g x 是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数1x ，2x ，恒有121221()()()g x x x g x x g x =+成立，且(2)g a =（a 为常数，0a ≠），试判断数列121n n d g d ?+??? ?????????+??????

是否为等差数列，并说明理由．

4.已知等比数列{}n a 的公比1q >，11a =，且1a ，3a ，214a +成等差数列，数列{}n b 满

足：

1122(1)31n n n a b a b a b n +++=-?+L ，*n ∈N ．

（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式．

（Ⅱ）若8n n ma b -≥恒成立，求实数m 的最小值．

5.已知每项均为正整数的数列1:A a ，2a ，3a ，4a ，L ，n a ，其中等于i 的项有k 个(1,2,3)i =L ，设12(1,2,3)j j b k k k j =+++=L L ，12()(1,2,3)m g m b b b nm m =+++-=L L ．

（1）设数列:1A ，2，1，4，求(1)g ，(2)g ，(3)g ，(4)g ，(5)g ．（2）若数列A 满足12100n a a a n +++-=L ，求函数()g m 的最小值．

6.已知数列

{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列．

（Ⅰ）证明：当01q <<时，{}n a 是递减数列．

（Ⅱ）若对任意*k ∈N ，都有k a ，2k a +，1k a +成等差数列，求q 的值．

7.已知数列{a n }满足a n =2a n-1-2n +5，（n ∈N 且n ≥2），a 1=1，

（I ）若b n =a n -2n +1，求证数列{b n }（n ∈N *）是常数列，并求{a n }的通项；

（II ）若S n 是数列{a n }的前n 项和，又c n =（-1）n S n ，且{C n }的前n 项和T n ＞tn 2在n ∈N *时恒成立，求实数t 的取值范围。

8.已知数列{},{}n n a b ，2

111(,0),(),.1n n n n n

a R a a a n N

b a λλλ+=∈>=+∈=+ （Ⅰ）记12n n P b b b =???L ，求n P 的取值范围；（Ⅱ）记12n n S b b b =+++L ，问：1

n n P S λ

+是否为定值？如果是，请证明，如果不

是，请说明理由。

9.数列{a n }满足：a 1=2，当n ∈N *，n ＞1时，a 2+a 3+…+a n =4（a n ﹣1﹣1）．（Ⅰ）求a 2，a 3，并证明，数列{a n +1﹣2a n }为常数列；

（Ⅱ）设c n =

)1(21

++n

n a a ，若对任意n ∈N *，2a ＜c 1+c 2+…+c n ＜10a 恒成立，求实数a

的取值范围．

10.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2

*122n n S a n N ?

?=+∈ ??

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1

1n n n n n a a b a a +++=，求数列{}n b 前n 项和n T 的值.

11.已知数列{}n a 的满足a 1=1，前n 项的和为n S ，且112

n n n n n a a a a S ++-=-（*n N ∈）．

（1）求2a 的值；（2）设1n

n n n

a b a a +=

-，证明：数列{}n b 是等差数列；

（3）设n b

n a c n ?=2，若21≤≤λ，求对所有的正整数n 都有n c k <+-2322λλ成立

的k 的取值范围．

12.已知数列{}n x 满足11x =

，13n x +=+，求证：（I ）09n x <<；（II ）1n n x x +<；

（III ）1

2983n n x -??

≥-? ???

13.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且3

2,2

n n n S a =- *n N ∈. （1）求证1

{}2n n

a -为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1

{

S 的前n 项和为n T ，是否存在正整数λ，对任意*m n ,,-0m n N T S λ∈<不等式恒成立？若存在，求出λ的最小值，若不存在，请说明理

由。

14.已知无穷数列{}n a 的首项112a =，1111,2n n n a n N a a *+??=+∈ ???

（Ⅰ）证明：01<

++-=n

n n

n n a a b a a ，n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：对任意正整数n ，

n T <

15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13

a =，2(1)1n n S n a =++（2n ≥）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21(1)n n

b a =

+（*n N ∈），数列{}n

b 的前n 项和为n T ，证明：33

n T <（*n N ∈）．

参考答案

11.（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a n =-，*()n ∈N ， ∴1123(1)n n S a n ++=-+，

两式相减得：11223n n n a a a ++=--，即123n n a a +=+， ∴132(3)n n a a ++=+，即

n n a a ++=+，又当1n =时，11123a S a ==-，得13a =，

∴数列{}3n a +是以6为首项，2为公比的等比数列， ∴136232n n n a -+=?=?， ∴323n n a =?-．（2）由题意，2121

(3)32(21)233

n n n n n n b a n --=

+=??=-?， ∴1231123252(23)2(21)2n n n T n n -=?+?+?++-?+-?L ， 23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=?+?+?++-?+-?L ，

两式相减得2312222222(21)2n n n T n +=--?-?-?+-?L 23122(222)(21)2n n n +=--?++++-?L

2112(12)

22(21)212n n n -+-=--?+-?-

31122(12)(21)2n n n -+=-+-+-?

112822(21)2n n n ++=-+-?+-? 16(23)2n n +=+-?．

（3）假设存在s ，p ，*r ∈N ，且s p r <<，使得s b ，p b ，r b 成等比数列，则2p s r b b b =?，

∵(21)2p

p b p =-?，(21)2s s b s =-?，(21)2r r b r =-?，

∴22(21)2(21)(21)2p s r p s r +-?=-?-?， ∴

2(21)21(21)(21)

p s r p s r ---?=--， ∵21p -是奇数，21s -，21r -也是奇数， ∴2

(21)(21)(21)

p s r ---是奇数，又22p s r --是偶数，

故

2(21)21(21)(21)

p s r p s r ---?=--不成立，故数列{}n b 中不存在三项，可以构成等比数列．

2.（1）证明：当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，111222n n n n n a S S ---=-=-=， ∴12,1

2,2n n n a n -=?=??

≥，

∴对任意的*n ∈N ，2n n S =是数列{}n a 中的第1n +项， ∴数列{}n a 是“H 数列”．

（2）依题意，1(1)n a n d =+-，(1)

n n n S n d -=+

，若{}n a 是“H 数列”，则对任意的*n ∈N ，都存在*k ∈N 使得k n a S =，即(1)

1(1)2

n n k d n d -+-=+， ∴1(1)

n n n k d --=

+，又∵*k ∈N ，

(1)

n n -∈N ， ∴对任意的*n ∈N ，1

n d

-∈Z 且0d <， ∴1d =-．

3.（1）依题意得22n a n =--，故14a =-．又268n n T S n =+，即34n n T S n =+，

所以，当2n ≥时，113()43462n n n n n n b T T S S a n --=-=-+=+=--．又111134348b T S a ==+=+=-也适合上式，故62n b n =--．

（2）因为83628321n n c b n n n n =++=--++=+， 121n n d n d c d +==+，因此112(1)(*)n n d d n ++=+∈N ．

由于113d c ==，所以{}1n d +是首项为114d +=，公比为2的等比数列．所以111422n n n d -++=?=，所以121n n d +=-．

所以2

24(21)

2222421

n n n n D n n n ++-=

++?+-=-=---（）．（3）方法一：

111(2)2(2)2(2)2n n n n d g g g g --+??==+ ???

，则1111

11111(2)2(2)2(2)(2)221224241n n n n n n n n n

n n d d g g g g g a g a d d ----++-++???? ? ?+????===+=+++．所以1111221

n n n n d d g g a d d --++???? ? ?

??-

=++．因为已知a 为常数，则数列121n n d g d ?+?

?? ?????

????+??????

是等差数列．

方法二：

因为121221()()()g x x x g x x g x =+成立，且(2)g a =，所以111(2)2(2)2(2)2n n n n d g g g g --+??

==+ ?

， 122122

2(2)22(2)2(2)22(2)2(2)n n n n n g g g g g -----??=++=?+??， 123313322(2)22(2)2(2)32(2)2(2)n n n n n g g g g g -----????=?++=?+，

1111(1)2(2)2(2)2(2)2n n n n n g g n g an ----==-?+=?=?L ，

所以1

2124

n n n n d g an a n d -++??

????==+．所以数列121n n d g d ?+?

?? ?????

????+??????

是等差数列．

4.（1）设1n n a q -=，312214a a a =++， 22114q q =++．且0q >，

∴3q =，∴13n n a -=，又∵11n n a b a b +L 11233n n b b b -=+++L

(1)31n n =-?+．

而212133n n b b b --+++?L 1(2)31n n -=-?+，2n ≥， ∴有113(1)3(2)3n n n n b n n --=-?--?， ∴21n b n =-，2n ≥，当1n =时，111a b =，11b =，故21n b n =-．

（2）若8n n ma b -≥恒成立，即：2

3n n m --≥最大值，有1293n n n C --=

，2n ≥时，1

211

3n n n C ---=， 12

2443n n n n

C C ----=

，当2n =，3，L ，6时，1n n C C -≥，即：n s =或6时，n C 最大为181

．即：181

m ≥，可得m 最小为181．

5.（1）根据题目中定义，

12k =，21k =，30k =，41k =，0(5,6,7)j k j ==L ，

12b =，2213b =+=，32103b =++=，44b =，4(5,6,7)m b m ==L ，

1(1)412g b =-?=-， 12(2)423g b b =+-?=-， 123(3)b 434g b b =++-?=-， 1234(4)444g b b b b =+++-?=-， 12345(5)454g b b b b b =++++-?=-．

（2）∵1(1)()m g m g m b n ++-=-，由“数列A 含有n 项”及bj 的含义知1m b n +≤， ∴(1)()0g m g m +-≤，即()(1)g m g m +≥，

又∵设整数{}12max ,n M a a a =L ，当m M ≥时，必有m b n =，

∴(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M -==+L ≥≥≥， ∴()g m 最小值为(1)g M -，

∵1231(1)(1)M g M b b b b n M --=++++--L 1231()()()()M b n b n b n b n -=-+-+-++-L

2334()()()M M M k k k k k k k =----+----++-L L L

23[2(1)]M k k M k =-+++-L

12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++L L

12()n M a a a b =-++++L ，

∵123100n a a a a n ++++-=L ．(1)100g M -=-， ∴()g m 最小值为100-． 6.

（Ⅰ）1n n a q -=，

111(1)n n n n n a a q q q q --+-=-=-，

当01q <<时：有10n q ->，10q -<， ∴10n n a a +-<， ∴{}n a 为递减数列．

（Ⅱ）∵k a ，2k a +，1k a +成等差数列， ∴112()0k k k q q q +--+=， 12(21)0k q q q -?--=，

∵0q ≠， ∴2210q q --=，解得：1q =或1

q =-．

7.（1）由a n =2a n-1-2n+5知：a n -2n+1=2[a n-1-2（n-1）+1]，而a 1=1 于是由b n =a n -2n+1，可知：b n =2b n-1，且b 1=0 从而b n =0，故数列{b n }是常数列．于是a n =2n-1．（5分）

（2）S n 是{a n }前n 项和，则S n =1+3+5+…+（2n-1）=n 2，c n =（-1）n n 2 当n 为奇数时，即n=2k-1，T n =T 2k-1=-12+22-32+42+…+（2k-2）2-（2k-1）2

=-k （2k-1）=-

当n 为偶数时，T n =T 2k =T 2k-1+（2k ）2=．

∴T n =

．

由T n ＞tn 2恒成立，则需＞tn 2恒成立．只需n 为奇数时恒成立．

∴（n=1，3，5，7，）， ∴（n=1，3，5，7，）恒成立．而

，

∴t ＜-1，故所需t 的范围为（-∞，-1）．（13分）

8.（1）21211123111

1,,0,1n n n n n n n n n n n n a a a a a b P a a a a a a a a a a λ+++++=

=∴===-=>+Q L Q 1

{}(0,

]1n n a P λ

∴∴+单调递增趋向正无穷，的范围是（2）211111

11111

,1(1)n n n n n n n n n n n n n n a a a b S a a a a a a a a a a ++++-====-∴=-

++ 11

,.n n P S a λ

∴

=为定值

9.（Ⅰ）∵数列{a n }满足：a 1=2，当n ∈N *，n ＞1时，a 2+a 3+…+a n =4（a n ﹣1﹣1）， ∴a 2=4（a 1﹣1）=4（2﹣1）=4，

a 2+a 3=4（a 2﹣1），即4+a 3=4（4﹣1）=12，解得a 3=8．由此猜想{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，即，

用数学归纳法证明： ①当n=1时，a 1=2，成立．

②假设当n=k 时，等式成立，即a 2+a 3+…+a k =4（a k ﹣1﹣1）， ∴22+23+…+2k =4（2k ﹣1﹣1），当n=k+1时，a 2+a 3+…+a k +a k+1 =4（2k ﹣1﹣1）+2k+1

=2k+1﹣4+2k+1

=4（2k ﹣1）=4（a k ﹣1），成立，由①②，得

，

∴a n+1﹣2a n =2n+1﹣2?2n =0， ∴数列{a n+1﹣2a n }为常数列．（Ⅱ）∵c n =

，

当n=1时，c 1=，c n =≤，

∴c 1+c 2+…+c n ＜+++…+=+=+（1﹣）＜

+=，

∴

=c 1＜c 1+c 2+…+c n ＜

，

∵对任意n ∈N *，2a ＜c 1+c 2+…+c n ＜10a 恒成立，

∴，

解得≤a ＜，

故实数a 的取值范围为[，

）．

10.

（1)当1n =时，即2

11122S a ?

?=+ ???,解得112a =,

2112224n n n n n S a S a a ?

?=+?=++ ??

?①

21111

n n n S a a ---?=++

② ①-②：22112n n n n n a a a a a --=-+-，所以22110n n n n a a a a -----=，即

()()1110n n n n a a a a --+--=，

因为{}n a 是正项数列，所以110n n a a ---=，即11n n a a --=，其中2n ≥，所以{}n a 是以

12为首相，1为公差的等差数列，所以()111122

n a n n =+-?=-. (2)因为12n a n =-，所以11

2n a n +=+，

所以

22221122211112222n n n n b n n n n ?

???+- ? ?????==????????-+-+ ? ? ? ?????????()()2222

1111421211122n n n n ??=-=-??-+????????-+ ? ??

???，所以12n n T b b b =+++L

()()22222211111144413352121n n ??????

=-+-++-??????????-+????L ()22

116164144121n n n n n ??+=-=??+++????

11.（1）令n=1得a 2=3．…………2分（2）因为

112

41n n n n n a a a a S ++-=-，所以11241n n n n n

a a S a a ++-=-①．

所以12

121

241n n n n n a a S a a +++++-=

-②，

由②-①，得12112112n n n n n n n n n

a a a a

a a a a a +++++++=

---．………………5分

因为10n a +≠，所以22112n n

n n n n

a a a a a a ++++=---．

所以121112n n n n n n a a a a a a +++++

-=--，即12111n n

n n n n

a a a a a a ++++-=--，

即11n n b b +-=，所以数列{}n b 是公差为1的等差数列． …………8分（其它解法酌情给分）（3）由（2）知，因为b 1=

，所以数列

{}n b 的通项公式为b n =n

．

因为

，

所以，所以数列是常数列．

由．………………11分

所以

因为

所以数列{c n }为单调递增数列当1n ≥时，c n ≥c 1= ，即c n 的最小值为

………………14分

由22-k+3

而当

时，

，当且仅当

时取得，故

. ………………16分

12.（I ）（数学归纳法）

当1n =时，因为11x =，所以109x <<成立. 假设当n k =时，09k x <<成立, 则当1n k =+时，123k k x x +=+. 因为12330k k x x +=≥>，且(

)

1926230k k k x x x +-=-=-<得19k x +<

所以09n x <<也成立. （II ）因为09n x <<，

所以(

)

+1233

10.n n n n n n x x x x x x -=-++=--+>

所以1n n x x +<.

（III ）因为09n x <<3

n x x >. 从而13

2332

n n n x x x +=>+. 所以()12993n n x x +->

-，即()12

993

n n x x +-<-.

所以()1

12993n n x x -??

-≤- ?

又11x =，故1

2983n n x -??

≥-? ?

13.1.证明Q 32,2n n n S a =-11132n ,2

n n n S a ---∴=-≥（2） ………2分作差得113112(2),-2(2)222

n n n n n n n a a n a a n --=-

≥=-≥变形得（） ∴1

{}2

n n a -

为首项为1，公比为2等比数列 ………4分 ∴n-1*

12+

n 2

n n

a N =∈， ………6分 2Q n-1*12+

n 2n n a N =∈，代入32,2n n n S a =-得12,2

n n

S =- ………8分 11

-11111-2-2=2+0,222

n n n n n n n n S S ---=-

->Q （）n

n 2n 12{}b ==21

n n S S ∴-为递增数列，令

n n

n 2n n n

22b ==212-12+1-Q （）（） ………10分 n n-1n n n n n-1n-1n

2211b (2)2-1222-1212-12-1

n ∴<==-≥--（）（）（）（） 11212n 12n n 224141=b =2=b +b =+=

331515

241111

n 3T =b +b ++b +++-+31537715

19119=-152115

n T n T ==≥≤-<-L L 当时，，当时，当时，，………13分

min 1938151,=13452

m n T S λ<=<∴Q 存在∴存在正整数=1λ，对任意

*m n ,,-0m n N T S λ∈<不等式恒成立 ………15分

14.（Ⅰ）证明：①当1n =时显然成立；

②假设当n k =()k N *

∈时不等式成立，即01k a <<，

那么当1n k =+时，

1111()2k k k a a a +=+

>112=g ，所以101k a +<<，即1n k =+时不等式也成立.

综合①②可知，01n a <<对任意n N *

∈成立.--------------------------------5分

（Ⅱ）

122

n n n a a a +=>+，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列。------------7分又

111111()2n n n n n a a a a a +-=-+11()2n n

a a =-，易知1n n a a ??-????

为递减数列，所以111n

n a a +??

-????也为递减数列，

所以当2n ≥时，

111n n a a +-2211()2a a ≤-154()245=-9

=-------------------10分所以当2n ≥时，2

()n n n n n a a b a a ++-==111119()()()40n n n n n n a a a a a a +++--

<-------12分当1n =时，1193

4010

n T T b ===

<，成立；当2n ≥时，12n n T b b b =+++L <

3243199

[()()()]4040

n n a a a a a a ++-+-++-L 1299()4040n a a +=

+-299994273(1)(1)40404040510010

a <+-=+-=< 综上，对任意正整数n ，3

10n T <-----------------------------------------------------------------15分

15.（1）当2n =时，22231S a =+，解得22a =；当3n ≥时，2(1)1n n S n a =++，1121n n S na --=+，以上两式相减，得12(1)n n n a n a na -=+-，∴11

n n a n

a n -=-， ∴132122132122

n n n n n a a a n n a a n a a a n n ----=

??=??=--……，

∴3

,1,2, 2.

n n a n n ?=?=??≥?

（2）2

,1,1251(1),2,(1)

n n n b a n n ?=??

==?+?≥+?? 当1n =时，114332550

T b ==<；当2n ≥时，21111

(1)(1)1

n b n n n n n =<=-+++，

∴411111133133()()()252334150150n T n n n =+-+-++-=-<++…， ∴33

n T <

（*n N ∈）．

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

历年高考数学真题(全国卷整理版)43964

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试一、选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D)

（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ =，则cos2α= (A) （B ） (C) (D) （8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2= (A)1 4（B） 3 5 (C) 3 4 (D) 4 5 （9）已知x=lnπ，y=log52， 1 2 z=e，则 (A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x (10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 （11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝7 3。动点P从 E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（A）16（B）14（C）12(D)10 二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。（注意：在试题卷上作答无效）（13）若x，y 满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。（14）当函数取得最大值时，x=___________。（15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。三.解答题：（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c。

高考数学压轴专题专题备战高考《数列》难题汇编及答案

数学高考《数列》试题含答案一、选择题 1．已知等比数列{a n }，a n ＞0，a 1=256，S 3=448，T n 为数列{a n }的前n 项乘积，则当T n 取得最大值时，n =（） A ．8 B ．9 C ．8或9 D ．8.5 【答案】C 【解析】【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0，可得q ＞0．根据a 1＝256，S 3＝448，可得256（1+q +q 2）＝448，解得q ．可得a n ，T n ，利用二次函数的单调性即可得出．【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a n ＞0，∴q ＞0． ∵a 1＝256，S 3＝448， ∴256（1+q +q 2）＝448，解得q 12= ． ∴a n ＝2561 1()2 n -?=29﹣n ． T n ＝28?27?……?2 9﹣n ＝2 8+7+…+9﹣n ()217 289[)89242 2 22 n n n ??--- ?+-? ?==． ∴当n ＝8或9时，T n 取得最大值时，故选C ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【答案】B 【解析】由a 1+a 3+a 5=21得24242 1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2 135()22142q a a a ++=?=，选B. 3．数列{}n a 的通项公式为( )n a n c n N * =-∈．则“2c <”是“{}n a 为递增数列”的（）条件． A ．必要而不充分 B ．充要 C ．充分而不必要 D ．即不充分也不必要

2011高考数学压轴题专题训练

2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD ）第六章数列高考题三、解答题 22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ （I ）设n n a b n = ，求数列{}n b 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) （II ）由（I ）知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型，易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.（2009北京理）已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . （Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；

春季高考数学数列历年真题

精品文档第五章：数列历年高考题一、单项选择题 1、（2003）已知数列{a n }是等差数列，如果a 1 =2，a 4 =-6则前4项的和S 4 是（） A -8 B -12 C -2 D 4 2、（2004年）在?ABC中，若∠A、∠B、∠C成等差数列，且BC=2，BA=1，则AC 等于（） A 33 2 B 1 C 3 D 7 3、（2004）在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服，如果每次能洗去污垢的 3 2，则要使存留在衣服上的污垢不超过最初衣服上的2℅，该洗衣机至少要清洗的次数是（）A 2 B 3 C 4 D 5 4、（2005年）在等差数列{a n }中，若a 1 +a 12 =10，则a 2 +a 3 + a 10 +a 11 等于（） A 10 B 20 C 30 D 40 5、（2005年）在等比数列{a n }中，a 2 =2,a 5 =54,则公比q=（） A 2 B 3 C 9 D 27 6、（2006年）若数列的前n项和S n =3n n - 2,则这个数列的第二项a 2 等于（） A 4 B 6 C 8 D 10 7、（2007）为了治理沙漠，某农场要在沙漠上栽种植被，计划第一年栽种15公顷，以后每一年比上一年多栽种4公顷，那么10年后该农场栽种植被的公顷数是（）A 510 B 330 C 186 D 51 8、（2007年）如果a,b,c成等比数列，那么函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点个数是（） A 0 B 1 C 2 D 1或2 9、（2007年）小王同学利用在职业学校学习的知识，设计了一个用计算机进行数字变换的游戏，只要游戏者输入任意三个数a 1 ，a 2 ，a 3 ，计算机就会按照规则：a 1 + 2a 2 - a 3 ，a 2 + 3a 3 ,5a 3 进行处理并输出相应的三个数，若游戏者输入三个数后，计算机输出了29,50,55三个数，则输入的三个数依次是（） A 6,10,11 B 6,17,11 C 10,17,11 D 6,24,11 10、（2008年）在等差数列{a n }中，若a 2 +a 5 =19，则a 7 =20，则该数列的前9项和是（） A 26 B 100 C 126 D 155 11、（2009年）在等差数列{a n }中，若a 1 +a 8 =15，则S 8 等于（） A 40 B 60 C 80 D 240 12、（2009年）甲、乙两国家2008年的国内生产总值分别为a（亿元）和4a(亿元)，甲国家计划2028年的国内生产总值超过乙国，假设乙国的年平均增长率为，那么甲国的年平均增长率最少应为（） A 9.6℅ B 9.2℅ C 8.8℅ D 8.4℅ 13、（2009年）如果三个实数a,b,c成等比数列，那么函数y=ax2+bx+c与y=ax+b 在同一坐标系中的图像可能是（） 14、（2010年）已知2，m，8构成等差数列，则实数m的值是（） A 4 B 4或-4 C 10 D 5 x

高考数学压轴题：交集数列

高考数学压轴题：交集数列数列中一类元素交并问题，实际考查思想方法，如最小公倍数、余数分析法，二项式定理应用. 类型一两个等差数列取交集数列问题典例1. 若数列{}n a 的通项公式为232n n a +=- ，数列{b }n 的通项公式为n b 5 34 n =--．设集合* {|2,}n A x x a n N ==∈， *{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任一项 1,n c A B c ∈是A B 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式．类型二一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题典例2已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+，数列{n b }的通项公式为2 n b n =．若将数列{n a }，{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c }，则数列{}n c 的通项公式为____．类型三一个等差数列和一个指数型数列取交集数列问题典例3 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为319n a n =-， 2n n b =.将{}n a 与{}n b 中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{}n c . （1）试写出1c ，2c ，3c ，4c 的值，并由此归纳数列{}n c 的通项公式；（2）证明你在（1）所猜想的结论. 1. 设数列{a n }的通项公式为12-=n a n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －2．集合A ＝{x ∣x ＝a n ，n ∈N * }，B ＝{x ∣x ＝b n ，n ∈N * }．将集合A ∪B 中的元素从小到大依次排列，构成数列c 1，c 2，c 3，…，则{c n }的通项公式为___________. 2. 已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0，设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项，（1）若k=7，12a = （i ）求数列{}n n a b 的前n 项和T n ；

历年高考数学压轴题集锦

高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OP OQ ?=，求直线PQ 的方程；（3）设AP AQ λ=（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FM FQ λ=-. (14分) 2．已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。（1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。（2）证明)(x f 是偶函数。（3）试问方程01 log )(4=+x x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2 2 =-+y x 。（1）若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过点F 的直线g （3）过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S

4.以椭圆2 22y a x +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点；（Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 6 已知过函数f （x ）=12 3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。（1）求a 、b 的值；（2）求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立；（3）令()()132 ++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有最大值1？ 7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→ → ?PN PM 的等比中项。（1）求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2）若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。 8．已知数列{a n }满足a a a a b a a a a a a a n n n n n n +-=+=>=+设,2),0(322 11 （1）求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与 8 7 的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围；（Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程． 10. )(x f 对任意R x ∈都有.2 1)1()(= -+x f x f