培养几何直观能力

培养几何直观能力

几何直观能力是利用图形生动形象地刻画、描述数学问题，直观地反映和揭示思考、讨论、解决问题的思路，表述、记忆一些结果，揭示丰富多彩的数学思想。培养学生几何直观能力，是新课标的要求，也是提高学生数学素养的要求。那么如何培养学生的几何直观能力呢，我在教学中是这样做的：

1、 重视发挥图的优势，培养图感

由于小学生的理解能力有限，在解决问题过程中有一定的困难。在这种情况下，引导学生用线段图表示题意，能使抽象的数量关系变得直观形象，从而让解决问题化难为易，简单易学。例如，绿化造林对可降低噪音，原来80分贝的汽笛噪音，经绿化隔离带后，降低了81，现在有多少分贝？一般解法为：80－80×8

1＝80－10＝70（分贝）。但画图的应用使学生能有更简便的解答方法。

通过画图，并分析可得知：原来80分贝的汽笛噪音是单位1，，现在的噪音比

单位1少了81，那么现在的噪音就是单位1的87，列式为80×（1－81）＝80×87＝70（分贝）。学生们轻而易举地就解答了问题，找到了解题的乐趣，真正感受到了图的魅力。

2、重视利用图形来记忆基础知识

在图形与几何这个领域中有很多的定义、公式等，学生很难记清楚，通过指导学生利用图形来记忆就比较容易解决问题，同时也培养了学生用图形的意识。如在教学完平面图形（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形）的面积之后，就可以借助图形来进行整理，既便于学生记忆这些图形的面积计算公式，又让学生认识到其中的联系和区别，同时还帮助学生构建了知识网络。

3、重视数形结合思想的渗透与应用。

在解决数学问题时，能画图时尽量画图，目的是把抽象的东西直观的呈现出来，把本质的东西显现出来。在数学学习时，应该帮助学生养成一种用直观的图形语言来刻画、分析问题的习惯。借助图形来加强理解，

实际上就是几何直观81 现在？分贝 80分贝 ？

在发挥优势，也是在培养数形结合思想。如植树问题的教学，假如我们在教学中只是注意让学生会区分植树问题的三种情况，并要求学生牢牢地记住相应的计算法则(“加一”“不加不减”“减一”)。那么学生很可能永远只会依葫芦画瓢，更别提发展思维和能力了。通过数形结合，让学生借助图形来理解和分析，使抽象的“植树问题”直观化、生动化。学生很容易掌握了两端都种、两端都不种和只种一端的情况。有了数形结合这根拐杖，学生们才能走得更稳、更好，能将“发现规律”与“运用规律”链接起来，借助数形结合将图文信息与学习基础整合，使得学生思维发展有了凭借，几何直观能力有了发展。

4、重视直观，让图形生动起来。

教师可以充分借助多媒体现代化教育技术，向学生展现具体、形象、直观、声画并茂的材料，让图“动起来”，调动学生多种感官参与学习。在“运动或变换”中研究、揭示、学习图形的性质，这样，一方面加深了对图形性质的本质认识，另一方面对几何直观能力也是一种提升。

培养几何直观能力

培养几何直观能力 几何直观能力是利用图形生动形象地刻画、描述数学问题，直观地反映和揭示思考、讨论、解决问题的思路，表述、记忆一些结果，揭示丰富多彩的数学思想。培养学生几何直观能力，是新课标的要求，也是提高学生数学素养的要求。那么如何培养学生的几何直观能力呢，我在教学中是这样做的： 1、 重视发挥图的优势，培养图感 由于小学生的理解能力有限，在解决问题过程中有一定的困难。在这种情况下，引导学生用线段图表示题意，能使抽象的数量关系变得直观形象，从而让解决问题化难为易，简单易学。例如，绿化造林对可降低噪音，原来80分贝的汽笛噪音，经绿化隔离带后，降低了81，现在有多少分贝？一般解法为：80－80×8 1＝80－10＝70（分贝）。但画图的应用使学生能有更简便的解答方法。 通过画图，并分析可得知：原来80分贝的汽笛噪音是单位1，，现在的噪音比 单位1少了81，那么现在的噪音就是单位1的87，列式为80×（1－81）＝80×87＝70（分贝）。学生们轻而易举地就解答了问题，找到了解题的乐趣，真正感受到了图的魅力。 2、重视利用图形来记忆基础知识 在图形与几何这个领域中有很多的定义、公式等，学生很难记清楚，通过指导学生利用图形来记忆就比较容易解决问题，同时也培养了学生用图形的意识。如在教学完平面图形（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形）的面积之后，就可以借助图形来进行整理，既便于学生记忆这些图形的面积计算公式，又让学生认识到其中的联系和区别，同时还帮助学生构建了知识网络。 3、重视数形结合思想的渗透与应用。 在解决数学问题时，能画图时尽量画图，目的是把抽象的东西直观的呈现出来，把本质的东西显现出来。在数学学习时，应该帮助学生养成一种用直观的图形语言来刻画、分析问题的习惯。借助图形来加强理解， 实际上就是几何直观81 现在？分贝 80分贝 ？

如何在教学中培养学生的几何直观

在教学中发展学生的几何直观 几何直观是数学新课程标准里提出的十个核心概念之一，标准里提出几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助它可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。那么如何在教学中培养学生的几何直观呢？我认为要从以下几个方面入手。 （一）抓基本图形的认识 在教学中，首先让同学们认识最简单的基本几何图形，当他们对基本图形有了认识后，就可以把复杂的图形进行拆分和组合，这样就能把复杂图形简单化了，从而也培养了学生的几何直观和空间观念。我用这种方法进行教学，效果很好。 （二）注重观察，增加学生空间观念的积累 从学生的生活经验出发，引导学生把生活中对图形的感受与空间存在的几何图形建立联系，让学生充分感受到数学和生活的联系，体会到数学确实就在我们的身边，更有效地发展学生的空间观念。从而形成应用意识。另外，培养学生的空间观念，还需要引导学生充分的想象，在想象中进一步发展空间感。培养几何直观。 （三）注重动手操作能力的培养发展学生数学几何直观 通过“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、摆一摆、量一量、画一画”等具体、实际的活动方式，引导学生通过亲自触摸、观察、测量、制作和实验，把视觉、听觉、触觉、动觉等协同起来，强有力地促进心理活动的内化，从而使学生掌握图形特征，形成空间观念，发展学生的几何直观。教学中，通过几何直观性的作用，借助于直观，更好的理解和掌握所学内容的实质。让学生亲自动手剪一剪、拼一拼，并带着自己的操作经历进行小组内的讨论和交流，经历了知识的形成过程和几何直观的发展。在这个环节里注重的是让学生在数学活动中动手实践和自主探索发现规律，让学生经历知识的形成过程，使学生在几何直观的基础上对空间观念得到进一步发展。这样不仅让学生学到知识，更重要的是对学生渗透了平移和转化的数学思想方法，培养了学生观察、分析、概括的能力并且训练了学生学会用学到新知解决问题的能力。一、遵循“渗透——推导——验证——应用”的教学过程。 （四）联系生活实际，发展空间想象

(word完整版)初中数学几何证明题技巧

初中数学几何证明题技巧 几何证明题入门难，证明题难做，是许多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。 一要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取。我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。 二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。 三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论（就像电脑一下，你一点击开始立刻弹出对应的菜单），然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。 四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有（1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换

如何培养学生的几何直观能力(二)

如何培养学生的几何直观能力 来源：本站原创作者：当涂县团结街小学王昌明发布日期：2012-11-01 11:49:00 几何直观主要是指利用图形来描述和分析问题，这样有助于探索解决问题的思路，预测结果，帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。下面笔者结合小学数学课堂教学，谈谈如何培养小学生的几何直观能力。 在教学中激发学生画图的兴趣 几何直观在本质上是一种通过图形所展开的想象能力，因此学生掌握一定的画图能力必不可少。在低年级数学中，学生年龄偏小，识字量较少，孩子们都爱把生活中复杂的人和事用简单的图表达出来。因此在教数学的运算时我注重让孩子们用画图来表示，并结合图表达出自己的理解。一方面培养学生倾听的能力，又激发了孩子画图的兴趣，并抓住教学契机让学生展示自己的作品，说出自己的想法，及时对学生进行表扬鼓励，激发学生作图的热情。在教学中养成良好的画图习惯 几何直观是具体的，它与许多重要的数学内容紧密相连，如分数的认识，负数的认识等。作为教师要从思想上认识到它的重要性，并把它当作是最基本的能力去培养学生。在日常的教学中，要帮助学生从小养成良好的画图习惯。 在教学中要通过多种途径和方式使学生真正体会画图对理解概念、寻求解决思路带来的益处。要求学生解决问题时能画图的尽量画图，将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把数学的过程变得直观，直观了就容易展开形象思维。如在教学生倍的概念时，6是2的几倍？让学生用自己的图形表示出6（可能画6个圆，或画6个三角形，也有可能画6根小棒），然后每2个一份圈起来，学生很直观地看出6里面有3个2，也就是6是2的3倍，这样为抽象的倍的概念建立了具体形象的表象，理解起来轻松很多，以后在学习较复杂的“和倍、差倍”问题时，学生会很容易想到画直观图帮助解决问题。 数形结合学会画图的技巧 数形结合对于学生几何直观能力的培养作用明显，影响深刻。但是在运用数形结合的实际教学中，许多学生往往由于画图不准确、讨论不全面、理解片面等原因导致出错，因此教学中应让学生掌握画图的一些技巧。例如在教学解决分数问题的应用题时，学生往往因线段图画错而导致解题方法错误。由于分数问题比整数问题显得更加复杂和抽象，在教学中如何变抽象为直观是突破难点的关键所在。 运用模型和多媒体信息技术辅助教学 模型可以让学生直接接触到几何的知识，直观而有效。多媒体技术给学生展示丰富多彩的图形世界，提供直观的演示和展示，可以表现图形的直观变化，以解决学生的几何直观由直观到抽象的演进过程，扩大其空间视野。如在教学“圆柱的认识”时，教师可以直接出示薯片包装盒、水杯等实物，给学生造成强烈的视觉冲击，基本特征映入眼帘，一览无遗。 总之，几何直观的培养应贯穿整个小学数学学习的全过程，通过对学生几何直观能力的培养，使学生学会数学的一种思考方式和学习方式，以促进学生能力的提升和数学素养的发展，也为学生今后深入学习数学奠定基础。

初中数学几何基本图形+初中数学图形与几何

初中数学几何基本图形初中数学图形与几何导读:就爱阅读网友为您分享以下“初中数学图形与几何”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对https://www.wendangku.net/doc/2717742715.html,的支持! 课程简介 初中数学图形与几何 【课程简介】 本模块主要研讨数学课程标准修订稿中“初中数学空间与图形”部分的内容要求，目的是通过研讨，使教师们明确本模块内容的具体要求，并提出教学实施过程中的一些建议。总体分为六个部分: 1. 图形与几何内容结构分析——主要探讨图形与几何部分的整体结构框架和三条主要线索; 2. 图形的性质内容与教学分析——主要探讨图形的性质部分的内容要求、与实验稿的变化以及教学实施中注意的问 1 题; 3. 图形的变化内容与教学分析——主要探讨图形的变化部分的内容要求、与实验稿的变化以及教学实施中注意的问题; 4. 图形与坐标内容与教学分析——主要探讨图形与坐标部分的内容要求、与实验稿的变化以及教学实施中注意的问题; 5. 空间观念与几何直观——主要探讨核心概念空间观念与几何直观的含义，以及在图形与几何的教学中如何培养学生的空间观念与几何直观能力; 6. 推理能力——主要探讨核心概念推理能力的含义，以及在图形与几何的教学中如何培养学生的推理能力。

课程既有理论指导，又有大量的教学实例，同时还有主讲教师间的相互交流，给教师们提供了较为广阔的思考空间。 【学习要求】 1(对“初中数学空间与图形”模块的内容结构和主线有清楚 2 的认识，能够说出这些线索之间的区别与联系; 2(了解图形的性质部分的研究的图形有哪些，认识图形的哪些方面，以及在这部分中是如何认识这些图形的; 3(体会图形的变化是研究图形的又一个途径和角度，明确它的学习意义，了解其内容组成; 4(体会图形与坐标是研究图形的又一个途径和角度，明确它的学习意义，了解其内容组成; 5(能够结合自己的教学实践，举出相应的实例，说明图形的性质、图形的变化和图形与坐标的教学经验和方法; 6(理解核心概念——空间观念、几何直观和推理能力的具体含义，体会它们与知识技能的区别和联系，能够借助具体实例说出培养学生上述能力的途径和方法。 专题讲座 初中数学图形与几何 刘晓玫(首师大数学，教授) 史炳星(北京教育学院，副教授 ) 章巍(河北保定三中分校，高级教师 ) 3 一、图形与几何内容结构分析

初中数学9大几何模型

初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED O D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A C D E 图 2 O A B C D E O C D E 图 1 图 2

二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEA=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BE=∠BOA ； ③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 2 1 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- O C O C D E O B C D E O C D A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4

初中数学必背几何定理及公式

初中数学必背几何定理及公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

《发展学生几何直观能力的实践研究》开题报告

《发展学生几何直观能力的实践研究》课题开题报告 《发展学生几何直观能力的实践研究》课题组 各位领导，各位专家，老师们： 我镇《发展学生几何直观能力的实践研究》课题，于2013年5月17日被晋江市教育科学规划办、教师进修学校确定为“晋江市教育科学‘十二五’规划（第二批）立项课题（课题批准号：JG1252-094）。今天开题，我代表课题研究组，将本课题的有关情况向各位领导、专家和老师们汇报如下： 一、教学中遇到的问题和困惑 近两年来，我们经过对一线教师和学生的调研发现，借助几何直观解决问题已经得到了老师和学生的认可。老师都认为，在数学教学中培养学生的几何直观非常有必要，它一方面将复杂的问题变得简单明了，同时有利于培养学生良好的解决问题的习惯。纵观小学1——6年级的数学教学内容，从一年级的比多比少到六年级立体图形的分析，无论是概念、算理、还是意义的教学，都可以借助于几何直观分析解决问题，将较难的问题迎刃而解。经过对个别班级学生的答卷情况进行对比，我们也发现，凡是在试卷中圈圈画画，将繁琐的表达，复杂的数量关系进行提炼用直观图形表示出来的，学生解决问题的正确率就高，反之就差一些，用几何直观解决问题有时会起到四两拨千斤的作用。但在具体的教学中我们发现了如下主要问题： 一是学生利用几何直观来解决实际问题的意识不强，画图的能力也不强，利用图形来检验自己的解题过程和结果的学生更是寥寥无几。 二是教材在解决问题的过程中都是比较重视运用几何直观的，但都缺乏明确的指导。例如，在教材中的画图策略都是直接呈现或以问题形式提示学生，但具体该怎样画却没有体现。这样既不利于教师准确把握教材，也不利于学生更好地掌握画图策略。 三是画图策略缺乏整体设计，各年段的联系和渗透体现不明显。教材对画图策略的编排系统性不强。在低年级主要以实物操作、实物图的形式呈现的，画图策略相对隐性。在中年级画图策略体现得较少。到了高年级画图策略相对明确，且呈现形式比较多样。

初中几何常见九大模型解析(完美版)

初中几何常见九大模型解析(完美版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中几何常见九大模型解析 模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有

（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形） 模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE;②； ③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③

?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②；③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？ 模型四：角含半角模型90° （1）角含半角模型90°-1 ?条件：①正方形；②； ?结论：①；②的周长为正方形周长的一半； 也可以这样： ?条件：①正方形；② ?结论：

初中数学基本定理(八)

初中数学基本定理（八） 为您提供初中数学基本定理(八)： 7、反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是;存在、不存在;平行于、不平行于;垂直于、不垂直于;等于、不等于;大(小)于、不大(小)于;都是、不都是;至少有一个、一个也没有;至少有n个、至多有(n一1)个;至多有一个、至少有两个;唯一、至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。 8、面积法 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积

计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。 9、几何变换法 在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。 几何变换包括：(1)平移;(2)旋转;(3)对称。 10、客观性题的解题方法 选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以

浅谈学生几何直观能力的培养

浅谈学生几何直观能力的培养 内容提要：本文通过对几何直观的概念与功能、几何直观能力的载体来探讨培养几何直观能力的途径。 关键词：几何直观能力、空间想像力、直观洞察能力、用图形语言来思考问题能力 1．问题的提出 自从新课程标准实施以来，有不少老师认为新教材的"立体几何初步"内容压缩了，授课时间也只有短短一个月，要较好地培养学生的空间想像能力难以实现，还是旧教材比较好，必需通过一个学期才能培养出来。 如何才能解决上述问题呢？2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》指出："几何学是研究现实世界中物体的形状、大小和位置关系的数学学科。通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。" 笔者通过学习新课标和亲身体验新教材的教学。认识到只要与图形有关的知识都可以作为培养空间想像能力的载体，将教学视野从"立体几何初步"章节推广到整个高中数学，立体几何还可以培养比空间想像能力更高一层的几何直观能力，而且能力的培养是长期的。 以下是笔者对培养学生几何直观能力的肤浅见解，抛砖引玉，希望得到同仁的指点。 2．几何直观概念 徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外

物体验的对应关系。 几何直观是指利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测结果。几何直观能力主要包括空间想像力、直观洞察能力、用图形语言来思考问题能力。 3．几何直观能力的功能。 我国著名的数学家华罗庚说："形缺数时难入微，数缺形时少直观"。要更好地研究数学，离开了图形时不可想象的。 首先直观是在有背景的条件下进行，想象是没有背景的。类比的，几何直观是在几何图形（或几何体）为载体进行的；几何中的推理证明始终在利用几何直观，在想象图形。因此，几何直观可以培养学生的空间感。 其次直观的对象一定是可视的，直观与个人的经验、经历有关，直观有层次性，直观是从一个层次看到更深刻的层次或本质。因此，几何直观可以培养学生的直观洞察力。 几何直观能力的功能主要是较好地理解数学本质和促进学生思维的发展。借助于几何直观、几何解释，能启迪思路，可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法；抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考的机会；揭示经验的策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程，提高学生的数学思维能力。直观常常提供证明的思路和技巧,有时严格的逻辑证明无非是直观思考的严格化和数学加工。几何直观是认识的基础,有助于学生对数学的理解。 借助于几何直观、几何解释，能启迪思路,可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法，抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考的机会，揭示经验的策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程；使学生从非形式化的、算法的、直觉相互作用与矛盾中形成数学观。

初中数学《几何最值问题》典型例题

初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD

初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型 、手拉手模型----旋转型全等 (1)等边三角形 【条件】：△ OAB^H A OCD均为等边三角 形; D AED 【结论】：①厶OA3A OBD②/ AEB=60 :③OE平分/ 【条件】：△ OAB^H A OCD均为等腰直角三角 形; 【结论】：①厶OA3A OBD②/ AEB=90 :③OE平分/ AED E D

【结论】：①右图中△ OC3A OAB>n A OAS A OBD ②延长AC交BD于点E,必有/ BECN BOA ③ AC OD tan/OCD④BD±AC ⑤连接AD BC,必有AD2 BC2 AB 2 三、模型三、对角互补模型 (1)全等型-90 ° 【条件】：①/ AOB=/ DCE=90 :②0C平分/ AOB 【结论】：①CD=CE②OD+OE= 2 OC③S^DCE S A OCD s CD :⑥ S^BCD 证明提示: ①作垂直，如图2,证明△ CDM^A CEN ②过点C作CF丄OC 如图3,证明△FEC ※当/ DCE的一边交AO的延长线于D时（如图4）: 以上三个结论：①CD=CE ② OE-OD=''2 OC ③ S A OCE S A OCD

(2) 全等型-120 【条件】：①/ AOB=N DCE=120 :②。。平分/ AOB ：3 【结论】：① CD=CE ②OD+OE=OC ③ S^CE S ^OCD S ^OCE — OC 2 4 证明提示：①可参考“全等型 -90。”证法一； ②如右下图：在 OB 上取一点F ,使OF=OC 证明△ OCF 为等边三角形。 【条件】：①/ AOB=2i,/DCE=18O-2a;②CD=CE 【结论】：①OC 平分/ AOB ②OD+OE=2OCcos a; ③ S A DCE S A OCD S A OCE OC sin a cos a ※当/ DCE 的一边交AO 的延长线于 D 时(如右下图)： 原结论变成：① ______________________________________________________ ② ________________________________________________________ ； ③ ________________________________________________________ 。 (3)全等型-任意角a 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 A D

如何培养小学生的几何直观能力精编版

如何培养小学生的几何直观能力 王俊利 新课程标准明确指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”所以，我们在数学教学中应该重视几何直观，培养几何直观能力应该贯穿数学教学的始终。让学生更好地感知数学、领悟数学，使数学逻辑和数学直观相互交织，直观中有逻辑，逻辑中有直观。那么，如何培养学生的几何直观能力呢？现结合本人教学实践谈几点体会。 一、动手操作，感知几何直观 教师在教学中应逐步培养学生的空间观念，这就需要通过动手操作，让学生亲身感受各种几何形体的特征，让学生“玩一玩，看一看、摸一摸、拼一拼、画一画”等具体、实际的操作，引导学生通过亲自触摸、观察、制作，把视觉、触觉、协同起来，使学生掌握图形特征，形成初步的几何直观。 例如: 教学《认识图形》这一课，我着重以动手操作，培养学生几何直观的能力。 ⑴认识图形——以活动为学习载体 活动一：摸物体游戏。 师：这节课我们请来了几个朋友，它们躲在口袋里，课前它们悄悄对老师说，你们先得做个游戏。游戏规则是这样的，请你把手伸进袋子里随意摸一个物体，然后告诉大家你摸到的物体是怎样的？用自己的话说一说。 生1：方方的，平平的…… 生2:正方体。 学生摸到“长方体”，另一学生上来找这样的物体…… ⑵画平面图形。 师：看到大家表现这么好，它们非常高兴和你们做朋友。瞧，它们来了。 （出示课件：正方体、长方体、圆柱、三棱柱，请学生说一说它的名称。） ①找脚印 师：还带来了它们玩耍时的照片“雪地小画家”和大家分享。 师：雪地上有这么多漂亮的脚印，猜一猜这是谁的脚印？ 师：长方体的脚印呢？ ②画脚印 师：那我们怎么把这样的脚印请到纸上呢？ 同桌讨论，说一说：你是准备怎么把这样平平的面搬到纸上？ 生1：我准备用印泥…… 生2：我用笔画下来…… 生3：我用纸把它盖住折出边角痕。 …… ③搬一搬 师：小朋友真了不起，想出了这么多的好办法，老师给大家准备了一张纸，请你用你喜欢的方法把手中立体图形其中的一个面搬到纸上，搬好后动手剪一剪，把脚印剪下来。

初中数学几何经典模型

初中数学几何模型 中点模型 【模型1】倍长 1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交 E D A B C F D A B C E 【模型2】遇多个中点，构造中位线 1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连 【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF的中点，连接GC、GE． （1）如图1，当点E在BC边上时，若AB=10，BF=4，求GE的长； （2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的关系，写出你的猜想；并给予证明； （3）如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗写出你的猜想，并给予证明. 图3 图2 图1 G F D C G F D C G F D C A B E E B A E B A 【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AE=AF，BAF DAE∠ = ∠． (1)求证：CE=CF； (2)若? = ∠120 ABC，点G是线段AF的中点，连接DG，EG．求证：DG上GE． 【例3】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD中点，BA交EF延长线于G，CD交EF 于H．求证：∠BGE=∠CHE． H G E F A B D C

E A B C O D E A B C O D B O A C 角平分线模型 【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形 【例4】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，交AD边于H，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF．若BC=7，DF=3，EH=3AE，则GF的长为. H G F E A D B C 手拉手模型 【条件】OA OB OC OD AOB COD ==∠=∠ ，， 【结论】OAC OBD ?；AEB OAB COD ∠=∠=∠（即都是旋转角）；OE AED ∠ 平分； - 【例5】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为. 【例6】如图，ABC中，90 BAC? ∠=，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连结BE，AG⊥BE 于F，交BC于点G，求DFG ∠ G F D C B A E

初中数学基本定理总结

初中数学基本定理总结 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9、同位角相等，两直线平行 10、内错角相等，两直线平行 11、同旁内角互补，两直线平行 12、两直线平行，同位角相等 13、两直线平行，内错角相等 14、两直线平行，同旁内角互补 15、定理三角形两边的和大于第三边 16、推论三角形两边的差小于第三边 17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18、推论1 直角三角形的两个锐角互余 19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21、全等三角形的对应边、对应角相等 22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36、推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

培养小学生几何直观能力的思考

〔摘要〕《义务教育数学课程标准》（2011版）修订时提出了十个“核心概念” ，其中新增之一就是要培养学生的几何直观能力。在小学数学中培养学生的几何直观能力，要先从直观教学开始，引导学生学会用画图的策略分析题意，解决简单的实际问题，逐步上升到能将直观图与数学语言、符号语言进行合情转换，并逐步在解决数学问题的过程中渗透数形结合思想，感悟数与形、形与数之间的转化。 〔关键词〕几何直观能力培养策略 1 几何直观的意义及现状 “几何直观”在《数学课程标准》（2011版）单独提出，是一个新增加的核心概念之一，而且专门进行了阐释：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”从这些描述中我们可以看出：几何直观是利用图形洞察问题本质的一种方式，既有形象思维的特点，又有抽象思维的特点。几何直观能力可以把思考的问题图像化，可以把抽象和逻辑性很强的问题变得在观察和理解的层面上具有方向性和归纳性。关于“几何直观” ，由于《数学课程标准》（实验稿）只是在“设计思路” 中提及“能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考” 。所以教师在教学实践中对学生这方面的能力培养有所忽略，只是停留在教学经验的层面，部分老师觉得没什么作用，可用可不用，也有部分老师在教学中有时也利用几何直观来处理教学内容，但只是将其作为获得知识的桥梁，没有把它当作目标来对待，没有有意识地培养学生几何直观的意识和能力。 2 培养小学生几何直观能力的教学策略 2.1 动手操作形成直观。学生在动手动脑的过程中，往往会迸射出意想不到的思维火花，学生的思维能力、创新能力得到了提高，更有利于学生的发展。在小学阶段，我们常用的手段就是动手操作，动手操作的目的，就是要建立概念的表象。而这一活动在人脑海中形成的表象和图形很相似，它都有具体的成像。比如加法，在学生的手中，就是把两部分合并，或者在一部分的基础上增加，或者从别的地方移入新的一部分。“合并” 、“增加” 、“移入” 在这里都不是抽象的概念，而是学生活生生的操作活动。学生理解概念，正是从这些简单的操作入手，慢慢内化成语言，最后归纳总结形成比较规范严密的定义。 2.2 新知与已有经验相结合发展直观。新课程理念明确强调：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。 期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆 ” 赵海峰老师在《小数的初步认识》一课中，充分利用了小数与日常生活的密切联系，创设了贴近儿童生活实际的情境，让学生从熟悉的商品价格背景中，以“1角” 为突破口，借助直观的图示去体会分数与小数的内在联系，顺其自然地激活了分数与小数的联结点，从而为后续的“利用分数理解小数” 做充分的准备。这样处理，是为了充分地尊重学生的起点，达到生活经验和数学经验的自然链接。 2.3 图文变换形成直观。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，使抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质。所以，要做好图形与数学语言之间的变换。在教学中，可以通过直观图像与数学符号的互相转换，引导学生逐步学会利用图形描述和分析数学问题。比如，教学《鸡兔同笼》时，可以提

几何直观在小学数学教学中的运用

几何直观在小学数学教学中的运用 几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。小学生的思维水平止处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质，能够帮助学生打开思维的大门，开启智慧的钥匙，突破数学理解上的 难点。 （一）以图连线—搭建桥梁，沟通联系 “在传统领域之间界限的日趋消失是现代数学的特性之一，而几何直观在其间起着联络作用。”某些问题的信息之间，某个知识块之间，代数与几何之间，几何直观使复杂多样的分类变得简单明了 （二）以图促思—渗透数形结合思想 “数无形不直观，形无数难入微”，“数形结合”的思想是重要的数学思想，其实质是使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。小学数学教材中特别注重这种思想的渗透，借助几何直观，可以把数形结合思想更好地反映出来。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。 （三）以图求解—有助于数学方法的再创造 直观是抽象思维问题的信息源，又是途径信息源，它不仅为抽象思维提供信息，而且由于直观形象在认知结构中鲜明性强，可以多思路、反复地给抽象

思维以技巧。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。直观图形的使用，不但可以帮助学生发现并理解数学结论，而且有利于掌握数学发现的方法，有利于培养学生的观察能力和空间观念。 借助几何直观进行教学，可以形象生动地展现问题的本质，有助于促进学生的数学理解，有机渗透数学思想方法的同时，提高学生的思维能力和解 决问题的能力。 如何在小学数学教学中培养学生的空间观念 正娟 关键词：空间观念；几何知识；教学；几何图形变式新课标指出：“空间观念是一种自觉地感受空间图形、运用空间图形的意识和能力”.其主要表现在：实物的形状与几何图形之间的想象；复杂图形的分解；描述实物或几何图形的运动、变化和位置的关系；运用图形描述问题、利用图形直观来进行思考等.在初中几何的教学中，教师不仅要重视学生“合情推理”的逻辑思维能力，更应该重视空间观念的培养。本文就如何在教学中培养学生的空间观念浅谈几点。 一、从建立表象到再造想象，再从再造想象到创造想象. 1.运用感性材料，建立表象 空间观念指的是物体的大小、形状、方向、距离在人脑中留下的既直觉又有一些概括性的形象。表象是具有感知的形象在头脑中的保持，它是具体感知向概念、思维过渡的重要环节。没有形成清晰的表象就不能很好地进行思维活动，没有丰富的表象储备，表象的重新组合或再造而产生新的表象的过程将会困难，培养初步的空间想象能力也就无从说起。小学教材的几何知识（系统学习时）的安排是：线→面→体，即一维空间→二维空间→三维空间；从图形来说是简单单一→复杂组合；从计算来说是长度→面积→体积.无论哪一方面，都是以大量表象的化，形象思维活动向抽象思维活动转化，揭示出概念的本质属性而得到概念，形成初步的空间想象能力，发展思维的。