的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD。 (1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°, 求这个四棱锥的体积; (2)证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念,以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、(02全国文22)(一)给出两块面积相同的正三角形纸片,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,使它们的全面积都与原三角形面积相等,请设计一种剪拼法,分别用虚线标示在图(1)(2)中,并作简要说明。 (3) (1)(2) (二)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。(三)如果给出的是一块任意三角形的纸片,如图(3)要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标出在图3中,并作简要说明。
高考数学立体几何中探索性问题
立体几何中探索性问题 立体几何中的探索性问题立意新颖,形式多样,近年来在高考中频频出现,而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色,它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具,应用空间向量这一工具,为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法. 【例1】(2018?全国三模)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧面11ABB A 是矩形,90BAC ∠=?,1AA BC ⊥, 124AA AC AB ===,且11BC AC ⊥. (1)求证:平面1ABC ⊥平面11A ACC ; (2)设D 是11A C 的中点,判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ,使得//DE 平面1ABC .若存在,求二面角1E AC B --的余弦值. 【解答】证明:(1)在三棱柱111ABC A B C -中,侧面11ABB A 是矩形,1AA AB ∴⊥, 又1AA BC ⊥,AB BC B =,1AA ∴⊥平面ABC ,1A A AC ∴⊥. 又1A A AC =,11AC AC ∴⊥.又11 BC AC ⊥,111BC AC C =,1 AC ∴⊥平面1ABC , 又1A C ?平面11A ACC ,∴平面1ABC ⊥平面11A ACC . (2)当E 为1B B 的中点时,连接AE ,1EC ,DE ,如图,取1A A 的中点F ,连接EF ,FD , //EF AB ,1//DF AC ,又EF DF F =,1AB AC A =, ∴平面//EFD 平面1ABC ,则有//DE 平面1ABC . 设点E 到平面1ABC 的距离为d , AB AC ⊥,且1AA AB ⊥,AB ∴⊥平面11A ACC ,1AB AC ∴⊥, ∴1 1 22 BAC S =?= 1A A AC ⊥,AB AC ⊥,AC ∴⊥平面11A ABB , 11//AC AC ,11AC ∴⊥平面11ABB , ∴111 1118 2243323 C ABE ABE V S AC -?=??=????=, 由118 3 E ABC C ABE V V --== ,解得1 88 3 33ABC d S =? == 以A 为原点,AB 为x 轴,AC 为y 轴,1AA 为z 轴,建立空间直角坐标系,
第九讲-立体几何中探索性问题的向量解法
立体几何中探索性问题的向量解法 高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后,可以借助向量工具,使几何问题代数化,降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时,更可以发挥这一优势. 本节课主要研究:立体几何中的存在判断型和位置探究型问题等探索性问题。 一、存在判断型 1、已知空间三点A (-2,0,2),B (-2,1,2),C (-3,0,3).设a =AB ,b =AC ,是否存在存在实数k ,使向量k a +b 与k a -2b 互相垂直,若存在,求k 的值;若不存在,说明理由。 解∵k a +b =k (0,1,0)+(-1,0,1)=(-1,k ,1),k a -2b =(2,k ,-2), 且(k a +b )⊥(k a -2b ), ∴(-1,k ,1)·(2,k ,-2)=k 2 -4=0. 则k=-2或k=2. 点拨:第(2)问在解答时也可以按运算律做. (k a +b )(k a -2b )=k 2a 2-k a ·b -2b 2= k 2 -4=0,解得k=-2或k=2. 2、 如图,已知矩形ABCD ,PA ⊥平面ABCD ,M 、N 分别是AB 、PC 的中点,∠PDA 为θ,能否确定θ,使直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线?若能确定,求出θ的值;若不能确定,说明理由. 解:以点A 为原点建立空间直角坐标系A -xyz.设|AD|=2a ,|AB|=2b , ∠PDA=θ.则A(0,0,0)、B(0,2b ,0)、C(2a ,2b ,0)、D(2a ,0,0)、P(0, 0,2atan θ)、M(0,b ,0)、N(a ,b ,atan θ). ∴=(0,2b ,0),=(2a ,2b ,-2atan θ),=(a ,0,atan θ). ∵AB ·MN =(0,2b ,0)·(a ,0,atan θ)=0, ∴⊥.即AB ⊥MN. 若MN ⊥PC , 则·=(a ,0,atan θ)·(2a ,2b ,-2atan θ) =2a 2-2a 2tan 2θ=0. ∴tan 2θ=1,而θ是锐角. ∴tan θ=1,θ=45°. 即当θ=45°时,直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线. 【方法归纳】对于存在判断型问题,解题的策略一般为先假设存在,然后转化为“封闭型”问题求解判断,若不出现矛盾,则肯定存在;若出现矛盾,则否定存在。这是一种最常用也是最基本的方法.
2021高考数学立体几何专题
专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表 题型年份考点试题位置 单选题2019 表面积与体积2019年新课标1理科12 单选题2018 几何体的结构特征2018年新课标1理科07 单选题2018 表面积与体积2018年新课标1理科12 单选题2017 三视图与直观图2017年新课标1理科07 单选题2016 三视图与直观图2016年新课标1理科06 单选题2016 空间向量在立体几何中的应 用2016年新课标1理科11 单选题2015 表面积与体积2015年新课标1理科06 单选题2015 三视图与直观图2015年新课标1理科11 单选题2014 三视图与直观图2014年新课标1理科12 单选题2013 表面积与体积2013年新课标1理科06 单选题2013 三视图与直观图2013年新课标1理科08 单选题2012 三视图与直观图2012年新课标1理科07 单选题2012 表面积与体积2012年新课标1理科11 单选题2011 三视图与直观图2011年新课标1理科06 单选题2010 表面积与体积2010年新课标1理科10 填空题2017 表面积与体积2017年新课标1理科16 填空题2011 表面积与体积2011年新课标1理科15 填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14 历年高考真题汇编 1.【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上,P A=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是P A,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为() A.8πB.4πC.2πD.π 2.【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()
2019高考数学试题汇编之立体几何(原卷版)
专题04 立体几何 1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则 A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 3.【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是 A.158 B.162 C.182 D.324
4.【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱VA 上的点(不含端点).记直线PB 与直线AC 所成的角为α,直线PB 与平面ABC 所成的角为β,二面角P –AC –B 的平面角为γ,则 A .β<γ,α<γ B .β<α,β<γ C .β<α,γ<α D .α<β,γ<β 5.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°,P 为平面ABC 外一点,PC =2,点P 到∠ACB 两边AC , BC P 到平面ABC 的距离为___________. 6.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长 方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.(本题第一空2分,第二空3分.) 7.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践,利用3D 打印技术制作模型.如图,该模型为长方 体1111ABCD A B C D 挖去四棱锥O ?EFGH 后所得的几何体,其中O 为长方体的中心,E ,F ,G ,H 分别为所在棱的中点,16cm 4cm AB =BC =AA =,,3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3 ,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为___________g. 8.【2019年高考北京卷文数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网 格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为__________.
高考数学专题04 立体几何的探索性问题(第三篇)(原卷版)
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第三篇 立体几何 专题04 立体几何的探索性问题 【典例1】【2020届江苏巅峰冲刺卷】 如图,在四棱锥P ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,∠ABC =∠BAD =90°,AD =AP =4,AB =BC =2,M 为PC 的中点. (1)求异面直线AP ,BM 所成角的余弦值; (2)点N 在线段AD 上,且AN =λ,若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为4 5 ,求λ的值. 【典例2】【2020届江西省赣州市高三上学期期末考试】 如图,在平行四边形ABCD 中,2,4,60AB AD BAD ?==∠=,平面EBD ⊥平面ABD ,且 ,EB CB ED CD ==.
(1)在线段EA 上是否存在一点F ,使//EC 平面FBD ,证明你的结论; (2)求二面角A EC D --的余弦值. 【典例3】【北京市昌平区2020届高三期末】 如图,在四棱锥P ABCD -中,P A ⊥平面ABCD ,CD ⊥AD ,BC ∥AD ,1 2 BC CD AD == . (Ⅰ)求证:CD ⊥PD ; (Ⅰ)求证:BD ⊥平面P AB ; (Ⅰ)在棱PD 上是否存在点M ,使CM ∥平面P AB ,若存在,确定点M 的位置,若不存在,请说明理由. 【典例4】【2019届陕西省西安中学高三下学期第十二次重点考试】 在三棱锥P—ABC 中,PB ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,AB=PB =2,BC E 、G 分别为PC 、P A 的中点.
(1)求证:平面BCG ⊥平面P AC ; (2)假设在线段AC 上存在一点N ,使PN ⊥BE ,求 AN NC 的值; (3)在(2)的条件下,求直线BE 与平面PBN 所成角的正弦值 【典例5】【浙江省丽水市2020届模拟】 如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,AD BC ∥,90ABC ∠=?,1AB BC ==,2PA AD ==. (1)求证:CD ⊥平面PAC ; (2)在棱PC 上是否存在点H ,使得AH ⊥平面PCD ?若存在,确定点H 的位置;若不存在,说明理由. 【典例6】【江苏省苏州市实验中学2020届高三月考】 直四棱柱1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,90ABC ∠=?, E 、 F 分别为棱AB 、11B C 上的点,2AE EB =,112C F FB =.求证: (1)//EF 平面11AAC C ; (2)线段AC 上是否存在一点G ,使面EFG ⊥面11AAC C .若存在,求出AG 的长;若不存在,请说明理由. 【典例7】【山东省临沂市2019年普通高考模拟】 如图,底面ABCD 是边长为3的正方形,平面ADEF ⊥平面ABCD ,AF ∥DE ,AD ⊥DE ,AF =DE =
2007年高考理科数学“立体几何”题
2007年高考“立体几何”题 1.(全国Ⅰ) 如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =, 则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( ) A . 15 B . 25 C . 3 5 D . 45 解:如图,连接BC 1,A 1C 1,∠A 1BC 1是异面直线1A B 与1AD 所成的角,设AB=a ,AA 1=2a ,∴ A 1B=C 1B=5a , A 1C 1=2a ,∠A 1BC 1的余弦值为4 5 ,选D 。 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知 正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为 . 解:一个等腰直角三角形DEF 的三个顶点分别在 正三棱柱的三条侧棱上,∠EDF=90°,已知 正三棱柱的底面边长为AB=2,则该三角形 的斜边EF 上的中线DG=3. ∴ 斜边EF 的长为23。 四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形, 侧面SBC ⊥底面ABCD .已知45ABC =∠, 2AB = ,BC = SA SB == (Ⅰ)证明SA BC ⊥; (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小. 解法一: (Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC ⊥底面ABCD , 得SO ⊥底面ABCD . 因为SA SB =,所以AO BO =, 又45ABC =∠,故AOB △为等腰直角三角形,AO BO ⊥, 由三垂线定理,得SA BC ⊥. (Ⅱ)由(Ⅰ)知SA BC ⊥,依题设AD BC ∥, 1 A A B 1B 1A 1D 1C C D C 1A C F A D B C A S
用空间向量解决立体几何中的探索性问题
典型例题 例题:如图,四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为矩形, P A ⊥平面ABCD ,点E 是棱PD 的中点,点F 是PC 的中点. (1)证明:PB ⊥平面AEC ; (2)若四边形ABCD 为正方形,探究在什么条件下,二面角C -AF -D 大小为60°? [解] (1)证明:连接BD ,设AC ∩BD =O ,连接OE , 因为四边形ABCD 为矩形, 所以点O 是BD 的中点, 因为点E 是棱PD 的中点, 所以PB ⊥EO , 又因为PB ⊥平面AEC ,EO ⊥平面AEC , 所以PB ⊥平面AEC . (2)由题意知AB ,AD ,AP 两两垂直,以A 为坐标原点,以AB ,AD ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设AB =AD =2a , AP =2c , 则A (0,0,0),C (2a ,2a ,0), D (0,2a ,0),P (0,0,2c ),F (a ,a ,c ). 因为z 轴⊥平面CAF , 所以设平面CAF 的一个法向量为n =(x ,1,0), 而AC ―→=(2a ,2a ,0), 所以AC ―→·n =2ax +2a =0,得x =-1, 所以n =(-1,1,0). 因为y 轴⊥平面DAF , 所以设平面DAF 的一个法向量为m =(1,0,z ), 而AF ―→=(a ,a ,c ),所以AF ―→·m =a +cz =0,得z =-a c ,所以m =(1,0c a ), 所以cos 60°=|n·m||n|·|m|=1 2·1+a 2c 2=12,得a =c . 即当AP 等于正方形ABCD 的边长时,二面角C -AF -D 的大小为60°. 解题策略 利用空间向量求解探索性问题的策略 (1)假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论. (2)在这个前提下进行逻辑推理,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解,是否有规定范围内的解”等.若由此推导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论. 变式练习 如图,ABEDFC 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD 上,OA =1,OD =2,⊥OAB ,⊥OAC ,⊥ODE ,⊥ODF 都是正三角形. (1)证明:直线BC ⊥平面OEF ; (2)在线段DF 上是否存在一点M ,使得二面角M -OE -D
立体几何中的探索性问题-存在型问题配套练习
立体几何中的探索性问题-存在型问题配套练习 福州第三中学陈增 1. 如图,在三棱锥P?ABC中,PA⊥底面ABC,△ABC为正三角形,D、E分别是BC、CA的中点. (1)证明:平面PBE⊥平面PAC. (2)在BC上是否存在一点F,使AD//平面PEF?说明理由. 2. 如图,在三棱锥V?ABC中,VC⊥底面ABC,AC⊥BC,D是AB的中点,且AC=BC=a,∠VDC=θ(0<θ<π 2 ). (1)求证:平面VAB⊥平面VCD; (2)当角θ在(0,π 2)上变化时,求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围. P C B A
立体几何中的探索性问题-存在型问题配套练习参考答案 福州第三中学陈增 1.解:(1)证明:∵PA⊥底面ABC,BE?平面ABC, ∴PA⊥BE. 又△ABC是正三角形,E是AC的中点, ∴BE⊥AC,又PA∩AC=A. ∴BE⊥平面PAC. 又BE?平面PBE,∴平面PBE⊥平面PAC. (2)存在满足条件的点F,且F是CD的中点. 理由:∵E、F分别是AC、CD的中点, ∴EF//AD. 而EF?平面PEF,AD?平面PEF, ∴AD//平面PEF. 2.解:(1)证明:因为AC=BC=a,所以△ACB是等腰三角形.又D是AB的中点,所以CD⊥AB. 又VC⊥底面ABC,所以VC⊥AB. 于是AB⊥平面VCD.又AB?平面VAB, 所以平面VAB⊥平面VCD. (2)在平面VCD内过点C作CH⊥VD于H,则由(1)知CH⊥平面VAB.连接BH, 于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角. 在Rt△CHD中,易知CH=√2 2 asinθ. 设∠CBH=φ,在Rt△BHC中,CH=asinφ, 所以√2 2 sinθ=sinφ. 因为0<θ<π 2,所以0高职高考数学课程初步立体几何
第四编 立体几何初步 第九章 立体几何初步 第一节 简单几何体的表面积和体积 1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积的计算公式如下: 2. 球、柱、锥、台的表面积及体积计算公式: 名 称 表面积S 体积V 棱 柱 底侧S S 2+ h S 底 棱 锥 底侧S S + h S 底3 1 棱 台 下底上底侧S S S ++ h S S S S )(3 1 下底上底下底上底?++ 球 24R π 33 4 R π 圆 柱 )(2r l r +π h r 2π 圆 锥 )(r l r +π h r 23 1π 圆 台 )()(222121r r l r r +++ππ )(3 1 222121r r r r h ++π 第二节 三视图 1. 柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体. (2)棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体. (3)棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分. (4)圆柱:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体. l r r π2r l r π2l ' r r ' 2r πr π2rl s π2=侧rl S π=侧()l r r S '+=π侧
(5)圆锥:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体. (6)圆台:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分. (7)球体:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体. 2. 空间几何体的三视图和直观图: (1)三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下) (2)画三视图的原则:长对正,高齐平,宽相等. (3)直观图:斜二侧画法. ①在已知图形中取相互垂直的x 轴和y 轴,两轴相交于点O ,画直观图时,把它们画成对应的'x 轴和'y 轴,两轴相交于点'O ,且使)135(45??='''∠或y O x ,它们确定的平面表示水平面. ②原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变; ③原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行,长度为原来的一半. 第三节 空间几何体的平行问题 1. 线线平行的判断: ①平行于同一条直线的两条直线互相平行。 ②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 ③如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线 和交线平行。 l b a l b l a // //?b a // α b a α α ?b b a //?α //a ? b a a =?βαβα // b a //
立体几何中的开放探索性问题(教师版)教师版)2014.10.06
立体几何中的开放探索性问题 数学开放性题是近年高考命题的一个新的亮点,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果是未知的是解题假设,那么就称为条件开放型;如果是未知的是解题目标,那么就称为结论开放型;如果是未知的是解题推理,那么就称为策略开放型.当然,作为数学高考试题中开放题其"开放度"是比较弱的,如何解答立体几何中的这类问题,还是通过实际例子加以说明. 一、 规律探索型 例1.1111ABCD A BC D - 是单位正方体,黑白两个蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为”走完一段”. 白蚂蚁的爬行路线是111AA A D →→ , 黑蚂蚁的爬行路线是 1AB BB →→ ,它们都依照如下规则:所爬行的第n+2段与第n 段所在直线必须是异面直线, 设黑白两个蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白两个蚂蚁的距离是多少? D 1C 1 规则黑蚂蚁的爬行路线是11D D D DA →→,走6段又回到出发点A 。故而它们的周期为6。20052005段后停止在正方体的B 顶点处,白蚂蚁走完2005 这类题为操 二、 操作设计型 例2.(Ⅰ)给出两块面积相同的正三角形纸片(如图1,图2),要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,并作简要说明; (Ⅱ)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小; (Ⅲ)(附加题)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3),要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标示在图3中,并作简要说明. 【分析】 本题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力. 通过数学科的高考,倡导重视数学应用,是从1993年开始的,已经经历了十个年头.这些年来,尽管数学科高考中有关数学应用的试题存在这样那样的缺陷,但是它所倡导的加强数学学科与社会实际和生产实际的联系,引导考生置身于现实社会大环境中,关心身边的数学问题,具有良好的导向,也促进了中学数学教学加强数学应用的研究,推动数学教学改革.这种命题方向得到数学教育界的普遍肯定.回顾这些年来高考中有关数学应用的问题,所涉及的知识面上还存在
高考数学各题型解法:立体几何篇
2019年高考数学各题型解法:立体几何篇高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道,解答题1道),共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题,而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题,当然,二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展。从历年的考题变化看,以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题,是在解决立体几何问题的过程中,大量的、反复遇到的,而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容,因此在主体几何的总复习中,首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手,通过较为基本问题,熟悉公理、定理的内容和功能,通过对问题的分析与概括,掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想,以提高逻辑思维能力和空间想象能力。 2.判定两个平面平行的方法: (1)根据定义--证明两平面没有公共点; (2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另
一个平面; (3)证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质: ⑴由定义知:“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得:“两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理:”如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那 么它们的交线平行“。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 家庭是幼儿语言活动的重要环境,为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作,孩子一入园就召开家长会,给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长,要求孩子回家向家长朗诵儿歌,表演故事。我和家长共同配合,一道训练,幼儿的阅读能力提高很快。 宋以后,京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末,学堂兴起,各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意,即主管县一级的
2018年高考数学立体几何试题汇编
2018年全国一卷(文科):9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .217 B .25 C .3 D .2 18.如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =?∠,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点 D 的位置,且AB DA ⊥. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ; (2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且2 3 BP DQ DA == ,求三棱锥Q ABP -的体积. 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点 P 的位置,且PF BF ⊥. (1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ; (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科: 9.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,13AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A .15 B . 5 C . 5 D . 2 20.如图,在三棱锥P ABC -中,22AB BC ==,4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC; --为30?,求PC与平面PAM所成角的正弦值.(2)若点M在棱BC上,且二面角M PA C 全国3卷理科 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19.(12分) 如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点. (1)证明:平面AMD⊥平面BMC; (2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值. 2018年江苏理科: 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲.
2021新高考数学二轮总复习专题突破练18立体几何中的翻折问题及探索性问题含解析
专题突破练18 立体几何中的翻折问题及探索性问题 1.(2020河北石家庄5月检测,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC=4,D,E分别是AC,AB边上的中点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C=A1D,如图 2. (1)求证:平面A1CD⊥平面A1BC; (2)求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值. 2. (2020贵州贵阳适应性训练,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,且平面PAD⊥平面ABCD,F为棱PD的中点. (1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF∥平面PAE?并说明理由; (2)若PA=PD=AB,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.
3.(2020浙江台州模拟,19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=3,AA1=2.以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD,连接DA1和DC1. (1)求证:A1D∥平面BCC1B1; (2)在线段BC上是否存在点F,使平面DA1C1与平面A1C1F垂直?若存在,求出BF的长;若不存在,请说明理由. 4.(2020云南昆明一中模拟,19)图1是由边长为4的正六边形AEFBCD,矩形DCGH组成的一个平面图形,将其沿AB,DC折起得几何体ABCD-EFGH,使得CG⊥AD,且平面EFGH∥平面ABCD,如图2. (1)证明:在图2中,平面ACG⊥平面BCG; (2)设M为图2中线段CG上一点,且CM=1,若直线AG∥平面BMD,求图2中的直线BM与平面AHB 所成角的正弦值.
5.(2020北京通州一模,18)如图1,已知四边形ABCD 为菱形,且∠A=60°,取AD 中点为E.现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ,使得∠AEG=90°,如图2. (1)求证:AE ⊥平面EBHG ; (2)求二面角A-GH-B 的余弦值; (3)若点F 满足AF ????? =λAB ????? ,当EF ∥平面AGH 时,求λ的值. 6.
高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何大全
新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编 立 体 几 何 一、选择题 【2017,6】如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是( ) 【2016,7】如图所示,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 28π 3 ,则它的表面积是( ) A .17π B . 18π C . 20π D . 28π 【2016,11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ,α∥平面11CB D ,αI 平面 ABCD m =, αI 平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为( ) A . 3 B .22 C .3 D .13 【2015,6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着,书 中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛 【2015,11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体 的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r =( ) B A .1 B .2 C .4 D .8 【2015,11】 【2014,8】 【2013,11】 【2012,7】 【2014,8】如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的一个 几何体的三视图,则这个几何体是( ) A .三棱锥 B .三棱柱 C .四棱锥 D .四棱柱 【2013,11】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A .16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π 【2012,7】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 A .6 B .9 C .12 D .15 【2012,8】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球