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幂零矩阵性质及应用

性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。证明：? A Q 为幂零矩阵 k Z +∴?∈ .0k s t

A =

令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα?≠= 由引理7知，0k

λ为k A 的特征值 00

.k k s t A ββλβ∴?≠= 从而有0k λ=0即有00λ=

又有0k

A =，知00k

A A A ==?=

0*(1)(1)00k k

E A A A ∴-=-=-=-?=

00λ∴=为A 的特征值。

由0λ的任意性知，A 的特征值为0。 ?A Q 的特征值全为0

A ∴的特征多项式为()n

f E A λλλ=-=

由引理2知，()0n

f A A == 所以A 为幂零矩阵。得证性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0k k Z trA +?∈=。

证明：?A Q 为幂零矩阵，由性质1，知：

A 的特征值全为0 即120n λλλ====L

由引理7，知 k

A 的特征值为120k k k n λλλ====L

从而有 120k k k k

n trA λλλ=+++=L

?由已知，120

k k k k n k Z trA λλλ+

?∈=+++=L (1.1)

令12,,,t λλλL L 为A 的不为0的特征值

且i λ互不相同重数为(1,2,,)i

n i t =L L

由（1.1）式及引理7，得方程组

1122222

1122333

112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=??+++=??+++=???

?+++=?

L L L L L L (1.2)

由于方程组（1.2）的系数行列式为

12222

121

1212121211

()

t t t

t t t t t t

t t t i j j i t

B λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤=

==∏-L L L

L L M

M L

L L L

又(1,2,)i

i t λ=L L 互不相同且不为0，0B ∴≠

从而知，方程（1.2）只有0解，即0

(1,2,,)i n i t ==L L

即A 没有非零的特征值

A ∴的特征值全为0，由性质1，得 A 为幂零矩阵得证

性质3：若A 为幂零矩阵

则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对角线上的元素为0 证明：A 为幂零矩阵，由性质1，知 A 的特征值全为0 由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得

s J J T AT J -??

?= ? ??

其中11

i i i J λλ??

?= ? ??

O O O 阶数为(1,2,,)i

n i s =L

由引理4，知(1,2,,)i i s λ=L 为J 和特征值

又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值所以0(1,2,,)i i s λ==L 即J 的主对角线上的元素全为0 由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i n

i i J E J i s -===g L

12,,,s J J J L L 为幂零矩阵得证

性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-= 证明：A Q 为幂零矩阵，k Z +∴?∈ .0k s t A =

00k

k A A A ∴==?= A 一定不可逆

由性质1，得 A 的特征值为120n λλλ====L 由引理7，得

,A E E A +-的特征值分别为

1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=L L

且有1211n n A E λλλ'''+===g L g

1211n n E A λλλ''''''-===g L g

即1,1A E E A +=-= 得证

性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化证明：令12,,,n λλλL L 为A 的特征值若A 退化，则有 0A =

由引理7，得 120n A λλλ==g

L L g ∴至少存在0

i λ=0为A 的特征值

又由引理7，得

110i λ+=≠为A E +的一特征值

这与A E +为幂零矩阵矛盾得证A 为非退化

性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，

则AB 也为幂零矩阵。即与幂零矩阵可交换的矩阵也是幂零矩阵证明：A Q 为幂零矩阵 .0k k Z s t

A +

∴?∈=

又AB BA = ()00k

AB A B B ==?= AB ∴

也为幂零矩阵得证

性质7：若A 为幂零矩阵且0k

A =，则（1）1

21()

k E A E A A A ---=++++L L

（2）1

211231111

()(1)(0)k k k mE A E A A A m m m m m

---+=

-+++-≠L L 证明：0k A =Q

k k k E E A E A ∴=-=-

()()k E A E A A A -=-++++L L

即1

21()

k E A E A A A ---=++++L L

任意0m ≠，有

[(

)]k k k k k

A mE mE A mE A m E m

∴=+=+=+ 211121111

()((1))k k k A m E E A A A m m m m

---=+

-+++-L L

211

121111()((1))k k k mE A E A A A m m m

---=+-

+++-L L 即有2111211111

()((1))k k k mE A E A A A E m m m m

---+?

-+++-=L L

1211121211

231111

()((1))111

(1)k k k k k k mE A E A A A m m m m

E A A A m m m m

------∴+=

-+++-=-+++-L L L L

性质8：若A 为幂零矩阵且A 0≠，则A 不可对角化

但对任意的n 阶方阵B ，存在幂零矩阵N ，使得B N +可对角化证明：A Q 为幂零矩阵 .0k k Z s t

A +

∴?∈=且A 的特征值全为零

()n f E A λλλ=-=为A 的特征多项式且()0n

f A A ==

令()A m λ为A 的最小多项式，则有()|()A m f λλ 从而有0

0()(1)k A m k n λλ

=≤≤

由于0A 0,k 1≠∴>，又此时 0

0()2k A m k λλ=≥

即A 的最小多项式有重根，由引理5，知 A 不可对角化 B Q 为n 阶方阵由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得

1s J J T BT J -??

?= ? ??

其中11

i i i J λλ??

?= ? ??

O O 阶数为(1,2,,)i n i s =L 令 i i

i i D λλλ??

?= ? ??

阶数为(1,2,,)i

n i s =L

则有011

0i i i J J D ??

?'=-= ? ??

O O 阶数为(1,2,,)i

n i s =L

由引理8，知(0)()0i i i n

i n i J E J ''-?== 即i J '为幂零矩阵(1,2,,)i s =L

现令1

2s J J J J ??' ?

'= ? ? ? ?'?

s D D D D ?? ?

?= ? ??

1112

s s s J D J J J D T BT J D J J D -?

?'+?? ?

? ?

?'===+ ? ? ? ? ?

?'+?

即1

11()(1)B T J D T

TJ T TDT ---''=+=+L L

又D 为对角阵，由（1）式知 1

1B TJ T TDT --'-=可对角化

令N =1

TJ T

-'- 且取 12max(,,,)s k n n n =L L 则有

120k

k k s J J J J ??' ? ?''==

? ? ? ?'?

111

2()()()()()00k

k k k k k k k s J J N TJ T T J T

T T T T J ----??' ?

?'''=-=-=-=-=

? ? ? ?'?

即有B N +可对角化且N 为幂零矩阵得证

性质9：n 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n 且幂零指数等于其若当形矩阵中阶数最高的若

当块的阶数

证明；令A 为n 阶幂零矩阵由性质3知，存在可逆矩阵T 使得

1s J J T AT J -??

?= ? ??

其中011

0i J ??

?= ? ??

O O 阶数为(1,2,,)i

n i s =L

且()0i n

i J = 1(1,2,,)i n n

i s ≤≤=L

取12max(,,,)s k n n n =L L ，则k n ≤ 且有

112

1112()00(1.5)k k

k k k s s J J J J A T T T T T T J J ---??

?===??= ? ?

? ? ??

L O

即0k

A =

若令0k 为A 的幂零指数，则0k k n ≤≤ 0

0k A =

若0k k <，则000.i i s t n k ?> 且000k i J ≠

由（1.5）式，得

0001

112()0k k k k k s s J J J J A T T T T J J --??

?==≠ ? ?

? ? ??

这与0

0k A

=矛盾。 0k k n =≤ 得证

性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零，且幂零指数相同并相似于严格上三角形证明：令A 为幂零矩阵，则A 的特征值全为0

若B 与A 相似由引理6，得 A 与B 有相同的特征值 B ∴的特征值也全为0，由性质1，知 B 也为幂零矩阵 A 为幂零矩阵由性质3知，存在可逆矩阵T 使得

s J J T AT J J -??

?== ? ??

其中0110i J ??

?= ? ??

O O O

阶数为(1,2,,)i

n i s =L

且()0i n

i J = 1(1,2,,)i n n

i s ≤≤=L

由性质9，知 12max(,,,)A s k n n n =L L 为A 的幂零指数又A 与B 相似，A 与J 相似从而有B 也与J 相似

∴?可逆矩阵P 使得12

1s J J P BP J J -??

?== ? ??

又由性质9，知 12max(,,,)B s k n n n =L L 为B 的幂零指数从而有 A B k k =

又0110i J ??

?= ? ??

O O O

(1,2,,)i s =L 为严格上三角 12

s J J J J ?? ?

?∴= ? ??

也为严格上三角形

即A ，B 都相似于严格上三角形J 得证

性质11：若A 为幂零矩阵，则,,,()A A A mA m Z *+'

-∈都为幂零矩阵，特别有

2()0A *=

证明：A Q 为幂零矩阵 .0k k Z s t

A +

∴?∈=

由引理1，知 ()()00k

A A '''===

()()00k k A A ***

===

()(1)(1)00k

A A -=-=-?=

,,A A A *'∴-都为幂零矩阵 ()()()00k k k k mA m A m ==?= ()mA m Z +∴∈也为幂零矩阵

又A Q 为幂零矩阵 0A = 即()1r A n ≤- 若()1r A n <-，则有A 的所有1n -阶代数余子式都为0

则有 0A *

= 从而有2

()0A A **

若()1r A n =-，则由性质3知，存在可逆矩阵T ，使得

s J J T AT J J -??

?== ? ??

其中011

0i J ??

? ??

O O O 阶数为(1,2,,)i n i s =L 且()1i i

r J n =-

又显然A 与J ，所以有

()()()(1)1s

i i i i i i r A r J r J n n s n s n ======-=-=-=-∑∑∑

1s ∴= 即有

1011

0T AT J B -??

? ?=== ? ??

O O O (1.3)

又10(1)0n B +*

?= ?

? ??

L L O M O

M 2

()0B *∴= 由（1.3）式及引理1，知 11()()A TBT T B T

21212()[()]()()0

A T

B T T B T *-***-***=== 得证

1、A 为实对称矩阵且2

0A =，则有0A =

证明：令n n ij a A ?=)(，则由A 实对称 A A ='∴ 且011

'=∑∑==n i n

j ij

A A A

又ij a 为实数 n j i a ij ,,2,1,0

ΛΛ==∴ 即0=A

2、所有n 阶幂零指数等于其阶数的幂零矩阵都是相似证明：令A 为n 阶n 次幂零矩阵即)(00n k A A k n

<≠=

A ∴的最小多项式 n A m λλ=)( 又A 幂零矩阵 A ∴的特征值全为0 A ∴的特征多项式为 )()(λλλλn n D A E f ==-=

由引理9，知 n

A n m d λλλ==)()(

又1)()

()

()(11=∴==

--λλλλλn n

n n n D D D d

从而有 1)()()(121====-λλλd d d n ΛΛ

所以所有的n 阶n 次幂零矩阵的不变因子都是 n

λ,1,,1,1ΛΛ 所以所有n 阶幂零指数等于其阶数的幂零矩阵都相似 3、所有n 阶1-n 次幂零矩阵相似（1-n 为幂零指数）证明：令A 为n 阶1-n 次幂零矩阵，则)1(00

-<≠=-n k A A k n

A ∴的最小多项式 1

)(-=n A m λ

又A 幂零矩阵 A ∴的特征值全为0 A ∴的特征多项式为 )()(λλλλn n D A E f ==-=

又λ

λλλλλ=∴==

--)()

()

()(11n n

n n n D D D d

又)()()()(21λλλλλλn n

d d d A E f ??==-=Λ

从而有 1)()()()(1221=====--λλλλλd d d d n n ΛΛ

所以所有n 阶1-n 次幂零矩阵具有相同不变因子 1

,,1,,1,1-n λ

λΛΛ

所以所有n 阶1-n 次幂零矩阵都相似

1、设n 阶方阵，求证：（1）存在+∈Z k ，使得 ΛΛΛ====++)()()(1

s k k k

A r A

r A r

（2）存在+∈Z k ，而且 n k ≤≤1，Λ==+)()(1

k k

A r A r

证明：（1）、由引理3，知在复数域上，?可逆矩阵T 使得

t s J J T AT J J J -+??

? ?

?==

? ? ? ? ??

O O

(1.4)

其中?????

?=i i

i J λλ1

O O

O 阶数为s i n i ,,2,1ΛΛ=

令t 21J ,,J ,J ΛΛ 为0=i λ的若当块 t i ,,2,1ΛΛ=

s 2t 1t J ,,J ,J ΛΛ++ 为0≠i λ的若当块 s t t i ,,2,1ΛΛ++=

由于????

?=01

O O O

i J 由引理8，得 0)

(=i

n i J 且1()0i n i J -≠ t i ,,2,1ΛΛ=

0)(=∴r

i J ),,,max(21t n n n k r ΛΛ=≥ t i ,,2,1ΛΛ= 0≠=i

n i

i J λ 即i J 可逆 s t t i ,,2,1ΛΛ++=

()0r i r Z J +

∴?∈≠有i i r i n J r J r ==)()( s t t i ,,2,1ΛΛ++=

由（1.4）式，知A 与J 相似，且

+---∈??????????

?==Z p T J J J J T

T A T AT T p s p

t p

p p p O

1111)(

从而，得p A 与p

J 相似，

综上可得，∑∑∑+=++===

t i p k i

t i k i

i k i

k J

r J

r J r A r 1

)()()()()(

且),,,max(21t n n n k ΛΛ= +∈?Z p 即得证 ΛΛΛ====++)()()(1

s k k k

A r A

r A r

（2）、由（1）知，),,,max(21t n n n k ΛΛ=?

使得 ΛΛΛ====++)()()(1

s k k k

A r A

r A r

又已知 n n i ≤≤1 t i ,,2,1ΛΛ=

n k ≤≤∴1得证

特别当)()(2

A r A r =时，可得 Λ)()()()(4

A r A r A r A r === 2、A ，

B 为n 阶方阵，B 为幂零矩阵且BA AB =，则有A B A =+ 证明：由引理10，在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得

n T AT λλλ-??

?= ? ??

1n T BT μμμ-??

?= ? ??

又B 为幂零矩阵所以B 的特征值全为0，即

1000T BT -??

?* ?= ? ???

O 12

1111()B n T A B T T AT T T T T λλλ----??

?+=+= ? ??

()B n

T A B T T

A T T T λλλ---*+=+=O

又T Θ可逆 0≠T 1

12n n

A B λλλλλλ*+=

=??L O

由12

1n T AT λλλ-??

?= ? ??

知n

λλλ,,,21ΛΛ为A 的特征值

由引理7，得 n A λλλ??=Λ21 从而得证 n A B A λλλ??==+Λ21

3、A 为n 阶方阵，求证C B A +=，B 可对角化，C 为幂零矩阵且CB BC = 证明：由性质3，知

存在幂零矩阵N ，使得N A +可对角化

即存在可逆T ，使得 12

1()n T A N T D λλλ-??

?+=== ? ??

即有)(1

N TDT

A -+=-

由性质11，知 N 幂零矩阵则N -也幂零矩阵又1-TDT 与D 相似，1

-∴TDT 可对角化令1

-=TDT B N C -=，则有C B A += 1

-=TDT B 可对角化 N C -=为幂零矩阵又D Θ为对角阵

CB CTDT CDTT CD DC DC TT C TDT BC =======----11

Θ 得证

4、A ，B ，C 为n 阶方阵，且BA AB C CB BC CA

AC -===，

证明：存在自然数0.,=≤k C t s n k

证明：由于BA AB C CB BC CA

AC -===，

∈?∴Z m A

B C

A A

BC B C A BA C AB C BA AB C C m m m m m m m m )()()()()(1

11111--------=-=-=-=

由引理11，得 ))(())((11

A BC tr

B C

A tr m m --=

0))(())(()))()(()(1111=-=-=----A BC tr B C A tr A BC B C A tr C tr m m m m m

由性质2，得 C 为幂零矩阵由性质9，知 0.,

=≤?k C t s n k 得证

5、在复数域上，n 阶方阵A 相似于对角阵等价于

对于A 的任一特征值λ，有A E λ- 与2

()A E λ-的秩相同。

证明：?因为A 对角化，则存在可逆矩阵T ，使得

n T AT λλλ-??

?= ? ??

从而有

121212

1222()()()()()n n T A E T T A E T λλλλλλλλλλλλλλ---?? ?- ?-= ? ?

???- ?-

?-= ? ? ?-??

O O 所以1

()T A E T λ--与12

()T A E T λ--相同

即A E λ- 与2

()A E λ-的秩相同

?由于在复数域上，存在可逆矩阵T 使得

s J J T AT J -?? ?

?= ? ??

其中11

i i i J λλ??

?= ? ??

O O O 阶数为(1,2,,)i n i s =L

若(1,2,,)i J i s =L 不全为对角阵，则不妨令1J 不可对角化，且有1i n >，有

11121011000()1100n n J E J E ?? ? ?-=

? ?????

? ? ?-=

? ? ??

O O O O

O O

O O O

从而知1

1n J E -的秩大于121()n J E -的秩，即有1

()T A E T λ--的秩大于

12()T A E T λ--的秩

也即A E λ- 的秩大于2

()A E λ-的秩，这与已知矛盾所以所有(1,2,,)i J i s =L 为对角阵，从而得证A 相似于对角阵

例

n x y x y x y x A ????????? ??=0

000000000Λ

ΛM M ΛM M M

ΛΛ 求1-A

解

yJ xE y x x y x y x y x A +=??

???

??+??

???

??=??

???

??=00000

10000001000001010000

010000001000001000000000000

0Λ

ΛM M ΛM M M ΛΛΛ

ΛM M ΛM

M M ΛΛΘ 其中??

?????

??=00000

1000000100

00010Λ

ΛM M ΛM M M

ΛΛn J

且有0=n

n J

2221

1231

(1)10(1)()(1)

001

n n n n n n n n n n

n n n y y x x x y J J J E A xE yJ x x x x x x x --------??-- ?

? ?- ?

=+=-+++-= ? ?

? ??

L L L L O M L

例

n n n a a a a a a A ?-?????

??? ??=10

100101

12Λ

ΛM O O M M

ΛΛ 求1

-A 特别的a 也是

1解：12212100010010

1--++++=?????

??=n n n n n n n J a J a aJ E a a a a a a A ΛΛΛΛM O O M M

ΛΛ 其中n

n n J ?????????

??=0000

1000000100

00010Λ

ΛM M ΛM M M

ΛΛ

n E ????????? ??=10

000

010000001000001ΛΛM M ΛM M M

ΛΛ ?????

? ??---=???????? ??-=-=-10

1000

0010

0001

00000

1000000100

000101

ΛM M ΛM M M ΛΛΛ

ΛM M ΛM M M

ΛΛa a a a E aJ E A n

性质1：当k=2即复数域C 上的n 阶2-幂零矩阵A 的Jordan 标准型为1J Jm ??

? ? ??

O ，其中

011

0i i

i k k

J ?????

?=??

???

O O （0,1,2;1,2i k i m ==L ），1m

i i k n ==∑

，且至少存在一个j ，使2j k =即至少存在一个0010j k J ??

???

性质2：设C 是复数域，而A 是C 上2-幂零矩阵，设A 的秩为r ，则2n r ??

≤????

，而A 的Jordan

标准型为0

0100010

00????

?????????????????????

O O

，其中对角线上有r 个0010??

???

。性质3：两个2-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相同。

引理1.2：设

01(0,)1

0k k

J k ??????

?=?????

O O ，则(0,)0,k J k =，而(0,)0,(1)l

J k l k ≠≤<。

定理1：复数域C 上的k-幂零矩阵A 的标准型具有形式1m J J ??

? ? ??

O ，其中

011

0i i

i k k

J ??????

?=?????

?O O O （0,1;1,2i k k i m ==L L ），且至少存在一个若当块，使j k k =。

证明：因为A 为幂零矩阵，故A 的特征值全为0，于是A 的特征多项式为n

λ。设幂零矩阵的A 的初等因子为1,

21(m

k k k m k k λ

λλL L 可能相同，

且1

i i k n ==∑），每一个初等因子i

λ对应一个J 块（0i k k ≤≤），这些J 块构成一个若当形矩阵1

J Jm ??

? ? ??

O 因为A 为k-幂零矩阵，所以J 中存在011

k k k

J ?????

?=?????

O O

即至少存在一个j ，使

j k k =

推论2：秩不大于3的两个3-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相等。定理可逆矩阵A 的逆矩阵与伴随矩阵都可以表示为A 的多项式证明：设A 特征多项式()111n n n n f

a a a λλλλ--=++++L

利用hamilaon-cayley 定理

则有()1110n n n n f A A a A a A a E --=++++=L 而A 可逆，得()10n

n a A =-≠

从而

()11211n

a n n n A A a A a E ----=-

+++L 以及()

()n

2111n n n A A A A

a A a E ----==-+++L

一、定理: 若A 是幂零矩阵，则A 不可逆.

性质幂零矩阵的转置矩阵、数乘矩阵、K 次幂、伴随矩阵都是幂零矩阵性质幂零矩阵的特征值为零，特征值为零矩阵为幂零矩阵。

性质幂零矩阵的相似矩阵是幂零矩阵。《幂零矩阵的性质》性质同阶可交换的矩阵的幂零矩阵的乘积是幂零矩阵。

性质设A 为菲零的幂零矩阵，且r 是A 的幂零矩阵，则E 、A 、…A k 线性无关. 性质相似于对角矩阵的幂零矩阵是零矩阵。性质若A 2=0且 A T =A,则A=0

二、性质幂零矩阵与一个与之可交换的矩阵的乘积仍为幂零矩阵。

性质与幂零矩阵可交换的矩阵仍为幂零矩阵。《幂零矩阵的性质及其应用》

性质菲零的幂零矩阵A 不能对角化，对任意的矩阵B ，存在幂零矩阵M 使得可以B+M

对角化

性质任意的n 节下三角矩阵都相似与一个上三角矩阵。《幂零矩阵和幂零线性变换》三、、性质 m 阶幂零矩阵A 的最小多项式为m

性质 σ是n 维线性空间的幂零线性变换，m 为σ的指数，则对任意的非零向量α，向量

组m-1

σασαL 、

、线性无关《幂零矩的标准型》

n阶幂零矩阵的判别及构建_吴险峰

第23卷第4期齐齐哈尔大学学报 Vol.23,No.4 2007年7月 Journal of Qiqihar University July,2007 n 阶幂零矩阵的判别及构建吴险峰（齐齐哈尔大学理学院，黑龙江齐齐哈尔 161006）摘要：利用幂零矩阵的特征值、特征多项式、相似性等性质，给出构建幂零矩阵的几种方法。关键词：幂零矩阵；严格三角形矩阵；主子式中图分类号：O151.21 文献标识码：A 文章编号：1007-984X(2007)04-0072-04 对于有限维的线性空间，在给定基下线性变换与矩阵有着一一对应关系, 而线性变换是比较抽象的，不如矩阵容易理解，因此总是借助于矩阵来研究有限维线性空间的线性变换。幂零变换是一种特殊的线性变换，有许多特殊的性质可以利用，但除了用定义外，怎样判定所给的线性变换是否为幂零变换，又如何构建幂零变换。因为在有限维的线性空间中，幂零变换对应着幂零矩阵，由此幂零矩阵的判定和构建是解决这一问题的关键。因此本文给出了n 阶幂零矩阵的判定方法和构建方法。文中所指的矩阵均为数域F 上的矩阵，数均为数域F 上的数。 1 幂零矩阵的判别引理1 n 阶矩阵A 是幂零矩阵，当且仅当A 的所有特征根都是零。引理2 设n 阶矩阵)(ij a A =的特征多项式为 n n n n A b x b x b x A xI x f ++++=?=??111)(" 则k b 为A 的一切k 阶主子式的和乘以k )1(?，n k ,,2,1"=，即 ∑ ≤<<≤?=n i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k k k k k k a a a a a a a a a b ""# ###""12 122 21 212 11 11) 1( 定理1 数域F 上n 阶矩阵A 为幂零矩阵，当且仅当A 的一切k (n k ,,2,1"=)阶主子式之和为零。证必要性：设)(ij a A =，则由引理2有 n n n n A b x b x b x A xI x f ++++=?=??111)(" 其中系数k b 为A 的一切k 阶主子式的和乘以k )1(?，n k ,,2,1"=，即 ∑ ≤<<≤?=n i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k k k k k k a a a a a a a a a b ""# ###""12 122 21 212 11 11) 1( 收稿日期：2006-11-23 基金项目：黑龙江省教育厅科研项目（11521313）作者简介：吴险峰（1970-），女，黑龙江省拜泉县人，副教授，大学本科，现主要从事李代数及李超代数，E-mail：wuxianfenglaoshi@https://www.wendangku.net/doc/2d3454299.html,。

伴随矩阵的性质知识讲解

伴随矩阵的性质

编号2009011118 毕业论文（设计）（ 2013 届本科）论文题目：伴随矩阵的性质学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：09级本科1班作者姓名：魏瑞继指导教师：俱鹏岳职称：副教授完成日期：2013年 4 月20日

目录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (4) 摘要 (5) 关键词 (5) 0引言 (5) 1主要结论 (6) 1.1伴随矩阵的基本性质 (6) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (9) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (10) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (11) 2应用举例 (12) 例1 (12) 例2 (12) 结束语 (13) 参考文献 (13) 致谢 (14)

陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。作者签名：二〇一二年十二月二十日

伴随矩阵的性质魏瑞继（陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳 745000）摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1)i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ???????L L M M O M M 称为矩阵A 的伴随矩阵.

矩阵与它伴随矩阵的关系1

矩阵与它伴随矩阵的关系摘要通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等. 关键词矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵 1伴随矩阵的定义设() n n ij a A ?=,则它的伴随矩阵()n n ij b A ?=* ,其中ji ij A b = (),,,3,2,1,n j i =ij A 为A 中ij a 的代数余子式. 2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系 2.1 I A A A AA ==**. 2.2 若A 非奇异，则* 11A A A =-. 2.3 ()()T T A A ** =. 证当A 可逆时，1*-=A A A ，且T A 也可逆. 故 ()()1 * -=T T T A A A =() T A A 1- 另一方面， ()()T T A A A 1* -==() T A A 1- 由上两式推出 ()() T T A A ** =. 2.4 ()() 1 ** 1 --=A A . 证当A 可逆时，1*-=A A A ，且1-A 也可逆. 故 ()()A A A A A 1 1 11* 1= =---- 又由 E A A A A A A =??? ? ??=???? ??* *11 故 *A 也可逆，且()A A A 1 1 *= - 从而 ()() 1 ** 1 --=A A .

2.5 ()*1* A a aA n -= (a 为实数). 证设()n n ij a A ?=，再设 ()()n n ij b aA ?=* ，那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式1-n 阶行列式，其中每行提出公因子a 后，可得 ji n ij A a b 1-= ()n j i ,2,1,= 由此即证()*1* A a aA n -=. 2.6 1 *-=n A A ()2≥n . 证当A 可逆时，由于,1*-=A A A 两边取行列式得 1 1* --==n n A A A A 当A 不可逆时，,0=A 这时秩1*≤A 所以.0*=A 从而也有 1 * -=n A A 所以对任意n 阶方阵,A 都有.1 *-=n A A 2.7 当秩n A =时，则秩n A =*.当秩1-=n A 时则秩1*=A .，当秩2-≤n A 则秩0*=A . 证当秩,0≠?=A n A 那么由上面的（1）式有0*≠==n A I A AA 所以 ,0*≠A 即秩n A =* 当秩,01=?-=A n A 0*==I A AA 从而秩,1*≤A 又因秩,1-=n A 所以至少有一个代数余子式,0≠ij A 从而秩,1*≥A 于是秩,1*=A 当秩2-=n A ?0*=A 所以秩0*=A 同理秩2-

幂零矩阵性质及应用

幂零矩阵性质及应用性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。证明：? A Q 为幂零矩阵 k Z +∴?∈ .0k s t A = 令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα?≠= 由引理7知，0k λ为k A 的特征值 00 .k k s t A ββλβ∴?≠= 从而有0k λ=0即有00λ= 又有0k A =，知00k k A A A ==?= 0*(1)(1)00k k E A A A ∴-=-=-=-?= 00λ∴=为A 的特征值。由0λ的任意性知，A 的特征值为0。 ?A Q 的特征值全为0 A ∴的特征多项式为()n f E A λλλ=-= 由引理2知，()0n f A A == 所以A 为幂零矩阵。得证性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0k k Z trA +?∈=。证明：?A Q 为幂零矩阵，由性质1，知： A 的特征值全为0 即120n λλλ====L 由引理7，知 k A 的特征值为120k k k n λλλ====L 从而有 120k k k k n trA λλλ=+++=L ?由已知，120 k k k k n k Z trA λλλ+ ?∈=+++=L (1.1) 令12,,,t λλλL L 为A 的不为0的特征值且i λ互不相同重数为(1,2,,)i n i t =L L 由（1.1）式及引理7，得方程组

1122222 1122333 112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=??+++=??+++=??? ?+++=? L L L L L L (1.2) 由于方程组（1.2）的系数行列式为 12222 121 2 1212121211 11 () t t t t t t t t t t t t t i j j i t B λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤= ==∏-L L L L L M M L M M M L M L L L 又(1,2,)i i t λ=L L 互不相同且不为0，0B ∴≠ 从而知，方程（1.2）只有0解，即0 (1,2,,)i n i t ==L L 即A 没有非零的特征值 A ∴的特征值全为0，由性质1，得 A 为幂零矩阵得证性质3：若A 为幂零矩阵则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对角线上的元素为0 证明：A 为幂零矩阵，由性质1，知 A 的特征值全为0 由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得 12 1 s J J T AT J -?? ? ?= ? ?? ? O 其中11 i i i J λλ?? ? ?= ? ?? ? O O O 阶数为(1,2,,)i n i s =L 由引理4，知(1,2,,)i i s λ=L 为J 和特征值又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值所以0(1,2,,)i i s λ==L 即J 的主对角线上的元素全为0 由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i n n i i J E J i s -===g L 12,,,s J J J L L 为幂零矩阵得证

复矩阵若当标准形的性质与应用

莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目：复矩阵若当标准形的性质与应用姓名：廉换霞学号：410401143 莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2004级 2007年6 月 25 日

复矩阵若当标准形的性质与应用数本041 廉换霞 410401143 摘要：若当标准形有广泛的应用。本文首先给出了若当形矩阵的定义和若当标准形的一些性质及相关例题。然后讲到其应用。若当标准形在“矩阵分解论”、“矩阵方程论”，在解线性递推关系式等等中都有它的应用，我们通过一些例题来说明。最后，利用若当标准形的性质给出了哈密尔顿——凯莱定理的另一种证法。关键词：若当形矩阵若当标准形初等因子可逆阵哈密尔顿——凯莱定理一、定义及性质 1、若当形矩阵的定义形式为 1(,)1t t J t λλλλ??? ? ?= ? ? ?? 的矩阵称为若当块，其中λ是复数。由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。特别地一级若当块就是一级矩阵，因此若当形矩阵包括对角矩阵。 2、若当标准形的性质性质一若当形矩阵除去其中若当块排列次序外，被它的初等因子惟一决定。此性质可用于求矩阵的若当标准形。例1 求矩阵 126103114A --?? ?=- ? ?--?? 的若当标准形解：首先求E A λ-的初等因子 22212601321001301101111411401321001 00011010002100(1)E A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ??+--+-+-???? ? ? ? -=-→--+→--+ ? ? ? ? ? ?---+-+-?????????? ? ?→--+→- ? ? ? ?-+--???? 因此，A 的初等因子是1λ-，2(1)λ-，A 的若当标准形是

浅谈幂等矩阵的性质

万方数据

浅谈幂等矩阵的性质作者：侯君芳，黄丽莉作者单位：郑州旅游职业学院,河南郑州,450009 刊名：科技风英文刊名：TECHNOLOGY TREND 年，卷(期)：2009，""(13) 被引用次数：0次相似文献(6条) 1.期刊论文高灵芝幂等矩阵秩试题求解及其结论的推广-中国科教创新导刊2008,""(31) 本文从高等代数课本中的一道习题入手,从不同的角度给出这道习题的不同解法,并把其结论进行了推广. 2.期刊论文邹本强.ZOU Ben-qiang特殊矩阵的特征值性质-重庆职业技术学院学报2006,15(5) 在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具,在讨论矩阵的性质时给出了矩阵特征值的定义,但对矩阵特征值的性质研究很少,对特殊矩阵的特征值性质的研究更少,而特殊矩阵的特征值对研究特殊矩阵有很重要的意义.我们在研究矩阵及学习有关数学知识时,经常要讨论一些特殊矩阵的性质.为此,本文围绕幂等矩阵、反幂等矩阵、对合矩阵、反对合矩阵、幂零矩阵、正交矩阵、对角矩阵、可逆矩阵等特殊矩阵给出了其主要性质并加以证明,为广大读者学习矩阵时提供参考. 3.期刊论文孙莉.陈传良.王品超分块矩阵的理论应用-曲阜师范大学学报(自然科学版)2002,28(1) 分块矩阵的理论在高等代数中有着广泛的应用,用这一理论解决问题简明而清晰,该文是本理论的具体应用. 4.期刊论文杨忠鹏.陈梅香.林国钦.Yang Zhongpeng.Chen Meixiang.Lin Guoqin关于三幂等矩阵的秩特征的研究-数学研究2008,41(3) 本文对已有的关于三幂等矩阵秩的等式作了进一步研究,指出其中有些可以作为判定三幂等矩阵的充要条件,即三幂等矩阵的秩特征等式.本文还证明了有无穷多种三幂等矩阵的秩特征等式形式. 5.期刊论文杨忠鹏.陈梅香.YANG Zhong-peng.CHEN Mei-xiang关于矩阵秩等式研究的注记-莆田学院学报2008,15(5) 最近一些文献应用自反广义逆和广义Schur补得到了一些重要的矩阵秩的恒等式.对这些结果,给出了只用分块初等变换的简单证法;作为应用对 k(k=2,3,4)幂等矩阵的秩等式作进一步讨论,还给出了打洞技巧在求秩上应用的例子. 6.期刊论文林志兴.杨忠鹏.LIN Zhi-xing.YANG Zhong-peng与给定矩阵A的可交换子环C(A)的一些探讨-莆田学院学报2010,17(2) 收集整理现在常用的高等代数与线性代数材料中与给定矩阵A可交换的矩阵所构成的全矩阵空间pn×n的子空间C(A)的习题.指出C(A)的交换性及用 A的多项式表示问题同C(A)的维数与n有密切关系,得到n(n≥3)阶幂等矩阵A或对合矩阵A的C(A)都是不可交换的结论. 本文链接：https://www.wendangku.net/doc/2d3454299.html,/Periodical_kjf200913005.aspx 授权使用：洛阳工学院（河南科技大学）(wflskd)，授权号：d7e0c32f-0155-4388-9ee0-9dde00edfb00 下载时间：2010年8月26日

复矩阵的Jordan标准形的性质及应用

复矩阵的Jordan 标准形的性质及应用学生姓名：李英红指导教师：周芳（太原师范学院数学系0802班 2008101217）摘要：任意一个矩阵并非都与对角矩阵相似，当一个矩阵不能与对角矩阵相似时，可以找到一个比较简单的类似于对角矩阵的矩阵与它相似。本文主要介绍相似于一个简单的类似对角矩阵的性质和应用，对于今后的学习有很大的帮助。关键词：对角矩阵若当标准形幂零矩阵相似正文 1、定义形如1 1i i i i i i m m J λλλ??? ? ?= ? ?? ? 的方阵称为i m 阶的Jordan 块,i c λ∈,通常记为()i n i J λ. 2、定义若当形由若干个Jordan 块组成的准对角阵1 2 s J J J J ?? ? ?= ? ? ?? ? 称为Jordan 标准形。定理1 复数域c 上两个n 阶矩阵A 和B 相似E A E B λλ?--与等价证明 ""?若A 和B 相似,存在可逆矩阵T ,使得1B T AT -=,所以1 ()E B T E A T λλ--=-, 因而E A E B λλ--与等价. ""?E A E B λλ--与等价,则有相同的不变因子,相同的初等因子,则可推得A 和B 相似. 定理2 (Jordan 标准形定理) 每个n 阶的复矩阵A 都与一个Jordan 标准形相似,这个Jordan 标准形除了其中Jordan 块的排列次序外被A 唯一决定，记为A J . 证明设n 阶的矩阵A 的特征矩阵E A λ-的初等因子为1212(),(),,() s k k k s λλλλλλ--- (2.1) 令1 1i i i i i i m m J λλλ??? ? ?= ? ?? ? 并令12s J J J J ?? ? ?= ? ? ??? ，则E J λ-的全部初等因子也为（2.1）式则A 和J 相似推论1 复矩阵A 与对角矩阵相似?E A λ-的初等因子都是一次的。

幂零矩阵性质及应用

幂零矩阵性质及应用数本041 严益水学号：410401109 摘要：幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。关键词：幂零矩阵若当块特征值幂零指数一、预备知识（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》李师正高等教育出版社、《高等代数》（第二版）北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等教育出版社、《高等代数选讲》陈国利中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册）杨子胥山东科学技术出版社）（一）一些概念 1、令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵。 2、若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数。 3、设1111n n nn a a A a a ?? ? = ? ? ?? ，称1111n n nn a a A a a ?? ?'= ? ??? 为A 的转置，称111*1n n nn A A A A A ?? ? = ? ? ?? 为A 的伴随矩阵。其中(,1,2,,)ij A i j n = 为A 中元素ij a 的代数余子式 4、设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为trA 。 5、主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。 6、形为

幂零矩阵迹的特征

幂零矩阵迹的特征严文（061114228）（孝感学院数学与统计学院湖北孝感 432000）摘要：2009年全国大学生数学竞赛题（第3题）：设V是复数域上向量空间， -=，那么f的所有特征值均为0，并且,f g是V上的线性变换，且满足fg gf f g和f之间存在相同的特征向量（对应的特征值不一定相等）．我们把它转换为矩阵，在矩阵中讨论特殊情况即AB BA =，求证A和B有公共特征向量，并且求出A和B的公共特征向量. 关键词：幂零矩阵；迹；特征值；特征向量 Features of Nilpotent matrix trace Y AN Wen (Department of Mathematics and Statistics,Xiaogan university,Xiaogan,Hubei 432000,China) Abstract：2009 National College Mathematics Competition Problems (3th item)：Based vector space V is the complex field,,f g are the linear transformation, and satisfies fg gf f -=, Then all the eigenvalues of f are 0, Between f and g there are the same feature vector (not necessarily equal the corresponding eigenvalue). We convert it to matrix and discussed in the special circumstances that BA AB=, V erify:A and B have public feature vectors, and eigenvectors obtained the public. Key words：Nilpotent matrix; Trace;Eigenvalue;Eigenvector.

浅谈伴随矩阵的性质及其应用【开题报告】

开题报告数学与应用数学浅谈伴随矩阵的性质及其应用一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的根据和意义矩阵是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一概念自19世纪英国数学家凯利首先提出以后, 就形成了矩阵代数这一系统理论, 而且还广泛应用于实际生活. 把现实世界中的实际问题抽象成数学模型, 求出模型的解, 验证模型的合理性后, 用它的解来解释现实问题, 这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具, 在数学模型中具有重要的作用, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等. 矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵、幂等矩阵、伴随矩阵等, 在不同的矩阵类型中近几年来分别取得了不同的成果与进展. 而伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类, 其理论与应用有自身的特点, 它是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念, 是许多数学分支研究的重要工具. 在线性代数的解题方面, 灵活地运用这些伴随矩阵的性质有效地解决了线性代数中的问题, 且它有助于拓宽解决线性代数问题的思路. 比如, 矩阵间一些关系的证明, 求矩阵的逆, 一些复合矩阵的行列式等. 运用伴随矩阵的性质还可以用来解决一些复杂的问题. 比如, 用伴随矩阵的性质: I A A A AA ==**可以解决《美国数学月刊》上的E3227号问题(注: 若A 和B 为n 阶矩阵, 存在非零向量x 和向量y , 使得0=Ax , Bx Ay =. 设i A 为A 中第i 列被B 中的第i 列替换后所得到的矩阵,证明01=∑=n i i A ). 现今不仅专业研究伴随矩阵的数学工作者愈加众多, 而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具. 如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法, 这有利于刚体力学的发展, 体现伴随矩阵的物理意义. 正因为它有如此重要的作用, 古今中外对其研究颇多, 并且得到了许多重要的成果. 如杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质; 王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上, 探讨了伴随矩阵的运算性质, 特别研究了

伴随矩阵

伴随矩阵在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。 A的伴随矩阵可按如下步骤定义： 1.把D的各个元素都换成它相应的代数余子式；（代数余子式定义：在一个n级行列式A中,把元所在的第i行和第j列划去后，留下来的阶行列式叫做元的余子式，记为M ij；称（-1）^i+j *M ij为a ij的代数余子式） 2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵，补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）：去除A的行列式D中元素对应的第i行和第j列得到的新行列式D1代替a ij，这样就不用转置了）即：n阶方阵的伴随矩阵A*为 A11 A12 (1) A21 A22 (2) 。。。。。。 An1 An2 ……Ann 例如：A是一个2x2矩阵， a11，a12 a21，a22 则由A可得Aij (I,j=1,2)为代数余子式此图片为相应代数余子式的计算过程。

则A的伴随矩阵A* 为 A11 A21 A12 A22 即 a22 , -a12 -a21, a11 （余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵）注意：在matlab中一阶矩阵的伴随矩阵是空矩阵。原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射，例如 1 2 3 2 2 1 -------> 3 4 3 +2 6 -4

-3 -6 5 2 2 -2 其中1对应5 ；2 2 对应-3；3对应2；等等基本性质： (1)AA*=A*A=|A|E; (2)|A*|=|A|n-1 具体求法 ①当矩阵是大于等于二阶时：主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式. 非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的. 主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。常用的可以记一下： a b —— 1/(ad-bc) (d -c c d -b a) ②当矩阵的阶数等于一阶时，他的伴随矩阵为一阶单位方阵. 3.二阶矩阵的求法口诀:主对角线对换，副对角线符号相反

矩阵理论2014-2015

2014‐2015学年度上学期《矩阵理论》期末试题一. 选择题: 1. n 2 阶实奇异矩阵A的特征多项式与最小多项式相等,则A的伴随矩阵列空间的维数为( ) A. 0 B. 1 C. n D. 不能确定 2. 设是n维线性空间上的线性变换,适合下列条件的与其它三个不同的是( ) A. σ是单映射 B. dim Im σ n C. σ是一一对应 D. σ适合条件σ 0 3. 设A是实的反对称矩阵, 则下列命题正确的是( ) A. e 是实的反对称矩阵 B. e 是正交矩阵 C. cos A是实的反对称矩阵 D. sin A是实的对称矩阵 4. 设方阵A幂收敛到方阵B, 则下列说法 ① |B| 0 ②B是幂等矩阵 ③ AB BA B ④r A r B 正确的有( )个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11?1 ,n 2, B I xx ,其中I为单位5. 设n维向量x √ 矩阵,则下列选项正确的是( ) A. ‖B‖ 1 B. ‖B‖ 1 C. ‖B‖ 1 D. ‖B‖ 1

二. 填空题: 1.设e e e e 0e ,则A . 2.设n 阶方阵A 的最小多项式为λ λ λ ? λ λ , 其中n k 2,λ ,λ ,…,λ 全不为0, 则 dim R A = ; 3. 设A 1 100 01001 ,矩阵 sinA 的Jordan 标准形J . 4. 矩阵A 111 122123 ，A 的Cholesky 分解A LL ，下三角矩阵 L . 5. 设给定矩阵A 2012 ，B 102 1 , 矩阵空间R 上线性变换T 为: T X kX AXB , ?X ∈R . T 是可逆变换当且仅当参数k 满足条件 . 三. 设V 是有限维欧氏空间, u ∈V 是一个单位向量, V 上线性变换σ定义为: 对任意x ∈V , σ x x a x,u u . (1) 试求非0实数a,使得σ是V 上正交变换. (2) 多项式空间R x 中的内积定义如下: 对任意f x ,g x ∈R x , f x ,g x f x g x dx . 试求R x 中向量α 1和β x 的长度; 并求正实数k 和单位向量u ∈R x , 使得上述正交变换σ将向量α变成kβ. 四. 设A 0010 11 1011 111 1 21 1110

伴随矩阵的若干性质及应用

伴随矩阵的若干性质及应用摘要矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般n 阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单. 关键词矩阵伴随矩阵特征值引言因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题. 本文出现的矩阵A 和B 均为n 阶方阵. 1.一般n 阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用 1.1 E A A A AA ==**,在求解A 与*A 的乘积，*A 和1-A 的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下： ()1当A 为可逆矩阵时，*A 也为可逆矩阵，由E A A A AA = =**可得()A A A = -1 *； ()2当A 为可逆矩阵时，由E A A A AA = =**可得1*-=A A A ；例1、已知A 为一三阶矩阵，且??? ? ? ??=100310241A ，求() 1 * -A . 解经计算可得1=A ，所以() ? ??? ? ??===-1003102411 *A A A A .

例2、已知A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为*A ，且4 1= A ，求()*1 32A A --. 解 ()1 111* 14 32132132------=-= -A A A A A A A 1611 4141413 131-=? ?? ??-=??? ??-=-=--A A A . 例3、已知A 和 B 均为n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为*A 和*B ，分块矩阵 ? ?? ? ??=B O O A C ，求C 的伴随矩阵* C . 解由E C C C CC ==**得， ???? ??=???? ? ?=??? ? ??==------11 11 1 1 * B B A O O A B A B O O A B A B O O A B O O A C C C . 1.2 当A 为可逆矩阵时，有() () * 11 * --=A A 证明因为 () E A A A E A AA 1 * 11 * ,---==故有，A A A * 1 =-；又因为A A 11=- 从而 () () E A E A A A A A A 1 1* 1 ** 11 = ==----，因0≠A ，故() E A A =-* 1*, 所以 () () * 11 * --=A A . 例4、已知A 为一三阶可逆矩阵，且???? ? ??=-2311123211 A ，求*A 的逆矩阵. ㈠解因为E A AA A A ==**，且A 为可逆矩阵，可得 () A A A A A 11 * --== ，而2 311123 211=-A =8，() ???? ? ??------==--315513151811 1A A ,所以() ???? ? ??------=-3155131511 *A .

伴随矩阵的性质及其应用

伴随矩阵的性质及其应用摘要：在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它我们可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。伴随矩阵不仅仅可以求矩阵的逆，它还有很多重要的性质。本文介绍了伴随矩阵的十四条性质，每一条都给出了详细的证明，同时也给出了应用伴随矩阵性质的例子。伴随矩阵是矩阵学习中的重点和难点，它的性质及其应用更是学习中的重中之重，掌握这些性质、证明及其应用将有利于我们今后的数学学习. 关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质 Adjoint matrices properties and applications Abstract Adjoint matrices is matrix and linear algebra, is an important concept of an important branch of mathematics study many tools, through which we can deduce that the inverse matrix calculation formula of inverse square, is the problem can be solved, the status of adjoint matrix in the matrix, it is special the properties and application has unique characteristics. In university mathematics study, adjoint matrices is only used for the inverse matrix solution, not too deep understanding of adjoint matrix, actually there are many important properties, this paper introduces the properties of adjoint matrix 12 is given, every single detail of the proof and the partial nature, and introduces the application of the development process, along with matrix matrix was the key and difficult point matrix learning, it is also learning the properties and applications of priority, master these properties, proof and application will benefit our future mathematics learning. Keywords Adjoint matrix Reversible matrix The phalanx Properties 矩阵是高等数学中非常重要的一个概念，而且应用相当广泛，它是线性代数的核心，矩阵的运算、概念和理论贯穿整个线性代数的学习中。伴随矩阵是一种特殊矩阵，它和矩阵的逆矩阵有着紧密的联系，方阵的伴随矩阵是在求可逆矩阵的逆矩阵时提出

幂零矩阵迹的特征

幂零矩阵迹的特征摘要：2009年全国大学生数学竞赛题（第3题）：设V是复数域上向量空间， -=，那么f的所有特征值均为0，并且,f g是V上的线性变换，且满足fg gf f g和f之间存在相同的特征向量（对应的特征值不一定相等）．我们把它转换为矩阵，在矩阵中讨论特殊情况即AB BA =，求证A和B有公共特征向量，并且求出A和B的公共特征向量. 关键词：幂零矩阵；迹；特征值；特征向量 Features of Nilpotent matrix trace YAN Wen (Department of Mathematics and Statistics,Xiaogan university,Xiaogan,Hubei 432000,China) Abstract：2009 National College Mathematics Competition Problems (3th item)：Based vector space V is the complex field,,f g are the linear transformation, and satisfies fg gf f -=, Then all the eigenvalues of f are 0, Between f and g there are the same feature vector (not necessarily equal the corresponding eigenvalue). We convert it to matrix and discussed in the special circumstances that BA AB=, Verify:A and B have public feature vectors, and eigenvectors obtained the public. Key words：Nilpotent matrix; Trace;Eigenvalue;Eigenvector.

伴随矩阵的性质

目录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (3) 摘要 (4) 关键词 (4) 0引言 (4) 1主要结论 (4) 1.1伴随矩阵的基本性质 (4) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (8) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (9) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (10) 2应用举例 (11) 例1 (11) 例2 (11) 结束语 (12) 参考文献 (12) 致谢 (13)

伴随矩阵的性质魏瑞继（陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳 745000）摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的 2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1) i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A * = 11 2111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ??? ?? ?? 称为矩阵A 的伴随矩阵. 1主要结论 1.1伴随矩阵的基本性质性质1 若A 是n 阶方阵(2)n ≥,那么

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