复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)
《复变函数论》试题库
《复变函数》考试试题（一）
一、 判断题（20分）：
1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )
2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )
3.若
}
{n z 收敛，则
} {Re n z 与
}
{Im n z 都收敛. ( )
4.若f(z)在区域D 内解析，且
0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )
5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )
6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )
7.若
)
(lim 0
z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )
8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C
0)(=?
C
dz z f . ( )
10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ）
二.填空题（20分）
1、 =-?=-1||0
0)(z z n z z dz
__________.（n 为自然数） 2.
=+z z 2
2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.
4.设
11
)(2+=
z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.
5.幂级数
n
n nz
∞
=∑的收敛半径为__________.
6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.
7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n
n (i)
21______________.
8.=
)0,(Re n z
z e s ________，其中n 为自然数.
9. z
z sin 的孤立奇点为________ .
10.若0z 是)(z f 的极点，则___
)(lim 0
=→z f z z .
三.计算题（40分）：
1. 设
)2)(1(1
)(--=
z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.
2. .cos 1
1||?=z dz z
3. 设?-++=C d z z f λ
λλλ1
73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +
4. 求复数
11
+-=
z z w 的实部与虚部.
四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内
为常数. 2. 试证
: ()f z =
在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,
并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.
《复变函数》考试试题（二）
一. 判断题.（20分）
1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )
2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )
3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )
4. 有界整函数必为常数. ( )
5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0
z f z z →一定不存在. ( )
6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )
7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=?C
dz z f .
( )
8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )
10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21
)21(==n n
n f .
( )
二. 填空题. (20分)
1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z
2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i
z ________.
3.
=-?=-1||00)(z z n z z dz
_________.（n 为自然数）
4. 幂级数0
n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .
5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.
6. 函数e z 的周期为__________.
7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设2
11
)(z
z f +=
，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.
10. ____)1,1
(Res 4
=-z
z . 三. 计算题. (40分)
1. 求函数
)2sin(3
z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数
z
在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z
=处的值.
3. 计算积分：?-=i
i
z z I
d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）
的右半圆.
4. 求
dz
z z
z ?
=-2
2
)2
(sin π
.
四. 证明题. (20分)
1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.
2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.
《复变函数》考试试题（三）
一. 判断题. (20分).
1. cos z 与sin z 的周期均为πk
2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )
3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )
4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )
5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )
6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )
7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则
)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是
)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )
二. 填空题. (20分)
1. 设11
)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.
2. 函数e z
的周期为_________.
3. 若n n n i n n z )1
1(12++-+=
，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.
5. =-?=-1
||00)
(z z n z z dz
_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞
=0n n nx 的收敛半径为__________.
7. 设
1
1
)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.
8. 设1-=z
e ，则___=z .
9. 若0z 是
)(z f 的极点，则___)(lim 0
=→z f z z .
10. ____)0,(Res =n z
z
e .
三. 计算题. (40分)
1. 将函数12()z
f z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.
2. 试求幂级数n
n n z n
n ∑+∞
=!的收敛半径.
3. 算下列积分：
?-C z z z z
e )9(d 22，其中C 是1||=z .
4. 求0282269
=--+-z z z z
在|z |<1内根的个数.
四. 证明题. (20分) 1. 函数
)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它
在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||
时
n z M z f |||)(|≤，
证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
一. 判断题. (20分)
1. 若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件. （ ）
2. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. （ ）
3. 函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界. （ ）
4. 若f (z )在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有
0)(=?
C
dz z f .
（ ）
5. 若)(lim 0
z f z
z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点. （ ）
6. 若函数f (z )在区域D 内解析且0)('=z f ，则f (z )在D 内恒为常数. （ ）
7. 如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0
z f z
z →一定不存在. （ ）
8. 若0)(,0)(0)(0==z f z f n ，则0z 为)(z f 的n 阶零点. （ ）
9. 若
)(z f 与)(z g 在D 内解析，且在D 内一小弧段上相等，则D z z g z f ∈≡),()(. （ ）
10. 若
)(z f 在+∞<<||0z 内解析，则
)),((Res )0),((Res ∞-=z f z f . （ ）
二. 填空题. (20分)
1. 设i
z -=11
，则___Im __,Re ==z z .
2. 若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n
z z z n
n ...lim 21______________.
3. 函数e z 的周期为__________.
4. 函数2
11
)(z
z f +=的幂级数展开式为__________ 5. 若函数f (z )在复平面上处处解析，则称它是___________.
6. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的
_____________. 7. 设1|:|=z C ，则
___)1(=-?C
dz z .
8. z
z sin 的孤立奇点为________.
9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0
=→z f z z .
10.
=)0,(Res n z
z
e _____________.
三. 计算题. (40分)
1. 解方程013
=+z .
2. 设1
)(2-=z e z f z
，求).),((Re ∞z f s
3.
.))(9(2||2?=+-z dz i z z z
.
4. 函数()f z =z e z
1
11--有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.
四. 证明题. (20分) 1. 证明：若函数
)(z f 在上半平面解析，则函数)(z f 在下半平面解析.
2. 证明0364=+-z z 方程在2||1< 《复变函数》考试试题（五） 一. 判断题.（20分） 1. 若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数. （ ） 2. 若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内 恒等于常数. （ ） 3. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. （ ） 4. 若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析. （ ） 5. 若函数f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析. （ ） 6. 若)(lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是f (z )的可去奇点. （ ） 7. 若函数f (z )在z 0可导，则它在该点解析. （ ） 8. 设函数)(z f 在复平面上解析，若它有界，则必)(z f 为常数. （ ） 9. 若0z 是 )(z f 的一级极点，则 )()(lim )),((Res 000 z f z z z z f z z -=→. （ ） 10. 若 )(z f 与)(z g 在D 内解析，且在D 内一小弧段上相等，则 D z z g z f ∈≡),()(. （ ） 二. 填空题.（20分） 1. 设i z 31-=，则____,arg __,||===z z z . 2. 当___=z 时，z e 为实数. 3. 设1-=z e ，则___=z . 4. z e 的周期为___. 5. 设1|:|=z C ，则 ___)1(=-?C dz z . 6. ____)0,1(Res =-z e z . 7. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________。 8. 函数2 11 )(z z f +=的幂级数展开式为_________. 9. z z sin 的孤立奇点为________. 10. 设C 是以为a 心，r 为半径的圆周，则 ___)(1 =-?C n dz a z .（n 为自 然数） 三. 计算题. (40分) 1. 求复数1 1+-z z 的实部与虚部. 2. 计算积分： z z I L d R e ?=， 在这里L 表示连接原点到1i +的直线段. 3. 求积分：I = ?+-π θθ 202cos 21a a d ，其中0 4. 应用儒歇定理求方程)(z z ?=，在|z|<1内根的个数，在这里)(z ?在 1||≤z 上解析，并且1|)(| 四. 证明题. (20分) 1. 证明函数2||)(z z f =除去在0=z 外，处处不可微. 2. 设 )(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个数R 及M ， 使得当R z ≥|| 时 n z M z f |||)(|≤， 证明:)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数. 《复变函数》考试试题（六） 一、判断题（30分）： 1. 若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 连续. （ ） 2. 若函数()f z 在0z 处满足Caychy-Riemann 条件，则()f z 在0z 解析. （ ） 3. 若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 处满足Caychy-Riemann 条件. （ ） 4. 若函数()f z 在是区域D 内的单叶函数，则()0()f z z D '≠?∈. （ ） 5. 若()f z 在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有 ()0C f z dz =? . （ ） 6. 若()f z 在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有 ()0C f z dz =? .（ ） 7. 若()0()f z z D '≠?∈，则函数()f z 在是D 内的单叶函数.（ ） 8. 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是 1 () f z 的m 阶极点.（ ） 9. 如果函数()f z 在{} :1D z z =≤上解析，且()1(1)f z z ≤=,则()1(1)f z z ≤≤. （ ） 10. sin 1()z z C ≤?∈.（ ） 二、填空题（20分） 1. 若21 (1)1n n n z i n n +=++-，则lim n z =___________. 2. 设21 ()1 f z z =+，则()f z 的定义域为____________________________. 3. 函数sin z 的周期为_______________________. 4. 22sin cos z z +=_______________________. 5. 幂级数 n n nz +∞ =∑的收敛半径为________________. 6. 若0z 是()f z 的m 阶零点且1m >，则0z 是()f z '的____________零点. 7. 若函数()f z 在整个复平面处处解析，则称它是______________. 8. 函数()f z z =的不解析点之集为__________. 9. 方程5 3 2380z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________. 10. 公式cos sin ix e x i x =+称为_____________________. 三、计算题（30分） 1、2lim 6n n i →∞ -?? ??? . 2、设2371 ()C f z d z λλλλ++=-?，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+. 3、设2()1 z e f z z =+，求Re ((),)s f z i . 4、求函数3 6 sin z z 在0z <<∞内的罗朗展式. 5、求复数1 1 z w z -=+的实部与虚部. 6、求3 i e π -的值. 四、证明题（20分） 1、 方程7 6 3 9610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为6. 2、 若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，(,)v x y 等于常数，则()f z 在D 恒等 于常数. 3、 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1 () f z 的m 阶极点. 《复变函数》考试试题（七） 一、判断题（24分） 1. 若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的某个领域内可导.（ ） 2. 若函数()f z 在0z 处解析，则()f z 在0z 满足Cauchy-Riemann 条件.（ ） 3. 如果0z 是()f z 的可去奇点，则0 lim ()z z f z →一定存在且等于零.（ ） 4. 若函数()f z 是区域D 内的单叶函数，则()0()f z z D '≠?∈.（ ） 5. 若函数()f z 是区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.（ ） 6. 若函数()f z 在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于 常数.（ ） 7. 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1 () f z 的m 阶极点.（ ） 二、填空题（20分） 1. 若11 sin (1)1n n z i n n =++-，则lim n z =___________. 2. 设2()1 z f z z =+，则()f z 的定义域为____________________________. 3. 函数z e 的周期为______________. 4. 22sin cos z z +=_______________. 5. 幂级数 2 20 n n n z +∞ =∑的收敛半径为________________. 6. 若0z 是()f z 的m 阶零点且1m >，则0z 是()f z '的____________零点. 7. 若函数()f z 在整个复平面处处解析，则称它是______________. 8. 函数()f z z =的不解析点之集为__________. 9. 方程8 3 3380z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________. 10. Re (,0)z n e s z =_________________. 三、计算题（30分） 1、 求2 2 +. 2、 设2371 ()C f z d z λλλλ++=-?，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+. 3、设2()z e f z z =，求Re ((),0)s f z . 4、求函数 (1)(1) z z z -+在12z <<内的罗朗展式. 5、求复数1 1 z w z -= +的实部与虚部. 6、利用留数定理计算积分：20 cos dx a x π +? ，(1)a >. 四、证明题（20分） 1、方程763 3 249610z z z z ++++=在单位圆内的根的个数为7. 2、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，()f z 等于常数，则()f z 在D 恒等于常数. 3、 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1 () f z 的m 阶极点. 五、计算题（10分） 求一个单叶函数，去将z 平面上的上半单位圆盘{} :1,Im 0z z z <>保形映射为w 平面的单位圆盘{} :1w w < 《复变函数》考试试题（八） 一、判断题（20分） 1、若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 连续.（ ） 2、若函数()f z 在0z 满足Cauchy-Riemann 条件，则()f z 在0z 处解析.（ ） 3、如果0z 是()f z 的本性奇点，则0 lim ()z z f z →一定不存在.（ ） 4、若函数()f z 是区域D 内解析，并且()0()f z z D '≠?∈，则()f z 是区域D 的单叶函数.（ ） 5、若函数()f z 是区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.（ ） 6、若函数()f z 是单连通区域D 内的每一点均可导，则它在D 内有任意阶导数.（ ） 7、若函数()f z 在区域D 内解析且()0f z '=，则()f z 在D 内恒为常数.（ ） 8. 存在一个在零点解析的函数()f z 使1( )01f n =+且11(),1,2,22f n n n ==L .（ ） 9. 如果函数()f z 在{} :1D z z =≤上解析，且()1(1)f z z ≤=，则()1(1)f z z ≤≤.（ ） 10. sin z 是一个有界函数.（ ） 二、填空题（20分） 1、若21 (1)1n n n z i n n += ++-，则lim n z =___________. 2、设()ln f z z =，则()f z 的定义域为____________________________. 3、函数sin z 的周期为______________. 4、若lim n n z ξ→∞ =，则12lim n n z z z n →∞+++=L _______________. 5、幂级数 5 n n nz +∞ =∑的收敛半径为________________. 6、函数2 1 ()1f z z = +的幂级数展开式为______________________________. 7、若C 是单位圆周，n 是自然数，则 01 ()n C dz z z =-?______________. 8、函数()f z z =的不解析点之集为__________. 9、方程5 3 2 15480z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________. 10、若2 1 ()1f z z = +，则()f z 的孤立奇点有_________________. 三、计算题（30分） 1、求 11 31sin 2(1)(4) z z z dz e zdz i z z π+==+ --? ? 2、设2371 ()C f z d z λλλλ++=-?，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+. 3、设2()1 z e f z z =-，求Re ((),)s f z ∞. 4、求函数 210 (1)(2) z z z +--z <<+∞内的罗朗展式. 5、求复数1 1 z w z -= +的实部与虚部. 四、证明题（20分） 1、方程7 6 3 155610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为7. 2、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内连续，则二元函数(,)u x y 与(,)v x y 都在D 内连续. 4、 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1 () f z 的m 阶极点. 五、计算题（10分） 求一个单叶函数，去将z 平面上的区域4:0arg 5z z π?? << ???? 保形映射为w 平面的单位圆盘{}:1w w <. 《复变函数》考试试题（九） 一、判断题（20分） 1、若函数()f z 在0z 可导，则()f z 在0z 解析.（ ） 2、若函数()f z 在0z 满足Cauchy-Riemann 条件，则()f z 在0z 处解析.（ ） 3、如果0z 是()f z 的极点，则0 lim ()z z f z →一定存在且等于无穷大.（ ） 4、若函数()f z 在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有()0C f z dz =? . （ ） 5、若函数()f z 在0z 处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数.（ ） 6、若函数()f z 在区域D 内的解析，且在D 内某一条曲线上恒为常数，则()f z 在区域D 内恒为常数.（ ） 7、若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是 1 () f z 的m 阶极点.（ ） 8、如果函数()f z 在{} :1D z z =≤上解析，且()1(1)f z z ≤=，则()1(1)f z z ≤≤.（ ） 9、lim z z e →∞ =∞.（ ） 10、如果函数()f z 在1z ≤内解析，则1 1 max{()}max{()}.z z f z f z ≤==（ ） 二、填空题（20分） 1、若12 sin (1)1n n z i n n =+-+，则lim n z =___________. 2、设1 ()sin f z z =，则()f z 的定义域为____________________________. 3、函数sin z 的周期为______________. 4、2 2 sin cos z z +=_______________. 5、幂级数 n n nz +∞ =∑的收敛半径为________________. 6、若0z 是()f z 的m 阶零点且1m >，则0z 是()f z '的____________零点. 7、若函数()f z 在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是______________. 8、函数()f z z =的不解析点之集为__________. 9、方程8 3 2011350z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________. 10、2 Re (,1)1 z e s z =-_________________. 三、计算题（30分） 1、2lim 6n n i →∞-?? ??? 2、设2371 ()C f z d z λλλλ++=-?，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+. 3、设2()1 z e f z z =+，求Re ((),)s f z i ±. 4、求函数 (1)(2) z z z --在12z <<内的罗朗展式. 5、 求复数1 1 z w z -= +的实部与虚部. 6、 利用留数定理计算积分2422 109 x x dx x x +∞ -∞ -+++? . 四、证明题（20分） 1、方程763 9610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为6. 2、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，(,)u x y 等于常数，则()f z 在D 恒等于常数. 7、 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1 () f z 的m 阶极点. 五、计算题（10分） 求一个单叶函数，去将z 平面上的带开区域:Im 2z z π π?? < ? 保形映射为w 平面的单位圆盘{} :1w w <. 《复变函数》考试试题（十） 一、判断题（40分）： 1、若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的某个邻域内可导.（ ） 2、如果0z 是()f z 的本性奇点，则0 lim ()z z f z →一定不存在.（ ） 3、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在D 内连续，则(,)u x y 与(,)v x y 都在D 内连续.（ ） 4、cos z 与sin z 在复平面内有界.（ ） 5、若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1/()f z 的m 阶极点.（ ） 6、若()f z 在0z 处满足柯西-黎曼条件，则()f z 在0z 解析.（ ） 7、若0 lim ()z z f z →存在且有限，则0z 是函数的可去奇点.（ ） 8、若()f z 在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有 ()0C f x dz =? .（ ） 9、若函数()f z 是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.（ ） 10、若函数()f z 在区域D 内解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数.（ ） 二、填空题（20分）： 1、函数z e 的周期为_________________. 2、幂级数 n n nz +∞ =∑的和函数为_________________. 3、设21 ()1 f z z = +，则()f z 的定义域为_________________. 4、 n n nz +∞ =∑的收敛半径为_________________. 5、Re (,0)z n e s z =_________________. 三、计算题（40分）： 1、 2.(9)() z z dz z z i -+? 2、求2 Re ( ,).1iz e s i z -+ 3 、.n n + 4、设2 2 (,)ln().u x y x y =+ 求(,)v x y ，使得()(,)(,)f z u x y iv x y =+为解析函数，且满足 (1)ln 2f i +=。其中z D ∈（D 为复平面内的区域）. 5、求4 510z z -+=，在1z <内根的个数. 《复变函数》考试试题（十一） 一、判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分） 1．当复数0z =时，其模为零，辐角也为零. （ ） 2．若0z 是多项式1 10()n n n n P z a z a z a --=+++L (0)n a ≠的根，则0z 也()P z 是的根.（ ） 3．如果函数()f z 为整函数，且存在实数M ，使得Re ()f z M <，则()f z 为一常数.（ ） 4．设函数1()f z 与2()f z 在区域内D 解析，且在D 内的一小段弧上相等，则对任意的z D ∈，有1()f z 2()f z ≡. （ ） 5．若z =∞是函数()f z 的可去奇点，则Re ()0z s f z =∞ =. （ ） 二、填空题.（每题2分） 1．2 3 4 5 6 i i i i i ????= _____________________. 2．设0z x iy =+≠，且arg ,arctan 2 2 y z x π π ππ-<≤- <<，当0,0x y <>时，arg arctan y x =+________________. 3．函数1w z =将z 平面上的曲线22 (1)1x y -+=变成w 平面上的曲线______________. 4．方程4 4 0(0)z a a +=>的不同的根为________________. 5．(1)i i +___________________. 6．级数 20 [2(1) ]n n z ∞ =+-∑的收敛半径为____________________. 7．cos nz 在z n <（n 为正整数）内零点的个数为_____________________. 8．函数3 3 6 ()6sin (6)f z z z z =+-的零点0z =的阶数为_____________________. 9．设a 为函数() ()() z f z z ?ψ= 的一阶极点，且()0,()0,()0a a a ?ψψ'≠=≠，则() Re () z a f z s f z ='=_____________________. 10．设a 为函数()f z 的m 阶极点，则() Re () z a f z s f z ='=_____________________. 三、计算题（50分） 1．设221 (,)ln()2u x y x y = +。求(,)v x y ，使得()(,)(,)f z u x y iv x y =+为解析函数，且满足1 (1)ln 22 f i +=.其中z D ∈（D 为复平面内的区域）.（15分） 2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）.（10分） （1） 2 tan z ； （5分） （2）11 1 z z e e --. （5分） 3．计算下列积分.（15分） （1）19 2443 4(1)(2)z z dz z z =++? （8分）， （2） 2 1cos d π θ θ +? （7分）. 4．叙述儒歇定理并讨论方程7 4 2 520z z z -+-=在1z <内根的个数.（10分） 四、证明题（20分） 1．设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是上半复平面内的解析函数，证明()f z 是下半复平面内的解析函数.（10分） 2．设函数()f z 在z R <内解析，令()max (),(0)z r M r f z r R ==≤<。证明：()M r 在区 间[0,)R 上是一个上升函数，且若存在1r 及2r （120r r R ≤<<），使12()()M r M r =，则 ()f z ≡常数.（10分） 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13 习题六 1. 求映射1 w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2222 11i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221 x x u x y ax a = ==+, 所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y = =-++ 22 2222 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1 w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） 1．设 z 1 3i ，求 z 及 Arcz 。 解：由于 z 1， Arcz 2k , k 0, 1, 。 3 (z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1) 2 z 1z 2 z 1 z 2 3 第一章习题解 答 (一) 2．设 z 1 i , z 3 1 ，试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1 。 z 2 4 i 6i 1 i i 解：由于 z 1 e 3 4 , z 2 3 i 2e 1 2 2 i i ( )i i 所以 z1z2 e 4i 2e 6i 2e ( 4 6)i 2e 12i i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2 5i 1 1 e 12 。 2 3．解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k i 解： z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4 ,k 0,1,2,3 。 4．证明 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 证明：由于 2 2 z 1 z 2 z 1 2 2 z 2 2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是： z 2 ) 2 2 ，并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 ) 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设 z 1， z 2，z 3三点适合条件： z1 z2 z3 0 z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1，z 2， z 3是内 接于单位 圆 z 1 的一个正三角形的顶点。 证 由于 z 1 z 2 z3 1 ，知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。 因为 所以， z 1z 2 z 1z 2 1 ， 所以 z 1 z 2 第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 已知x 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有 对于复数 ,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式： 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 第一章习题解答 （一） 1 ．设2z =z 及A rcz 。 解：由于32i z e π- = 所以1z =，2,0,1,3 A rcz k k ππ=- +=± 。 2 ．设1 21z z = = ，试用指数形式表示12z z 及 12 z z 。 解：由于6 4 12,2i i z e z i e π π - += == = 所以( )646 4 12 12222i i i i z z e e e e π π π π π - - === 54( )14 6 12 2 6 112 2 2i i i i z e e e z e π ππππ+ - = = = 。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+= ===。 4．证明2 2 2 1212 122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212 122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 121 2 122R e () z z z z z z -=+- 所以2 2 2 12 12122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0 321=++z z z , 1 321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于 1 321===z z z ，知 3 21z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 3 1z z z == ()[]()[]2 12322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 2 1212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 2 1z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()3 22121=+-=z z z z 2 3 ∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A） 1．1 -i 一．填空题（每小题3 分，共计15 分） 的幅角是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1 ）；3.f (z) =1 +z 2 ， z - sin z f (5)(0) =（）； f (z) = 1 ， 4．z = 0 是 z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）； 二．选择题（每小题3 分，共计15 分） 1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）； （A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y； （C） f '(z) =u x +iv y ； （D） f '(z) =u y +iv x. 2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ． 3 ；（B）3(z -1) ；（C） 3(z -1) ；（D） 3 . （A） z - 2 z - 2 (z - 2)2 (z - 2)2 3.如果级数∑c n z n 在z = 2 点收敛，则级数在 n=1 （A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛； （C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点一定发散．４．下列结论正确的是( ) （A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点一定解析； 得分 e (B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ? C f (z )dz = 0 （C ） 如果 ? C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内一定解析； （D ） 函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是 u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) ∞为sin 1 的可去奇点 z (B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤立奇点; ∞ 1 (C) sin 1 z (D) 为 的孤立奇点. sin z 三．按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计 40 分） （1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求 a , b , c , d . z （2）．计算 ? C z (z - 1)2 d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ； 得分 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1） （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部． 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y =Θ ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y =Θ ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 656121213 1 3121311+-=-++=??? ??++ 第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ---------------------------------------------------- … 复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） / ——课后习题答案 习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数． 若z =x ，x ∈，则z x x ==． 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z （z <1） B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z （z <1） D () ∑∞ =-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 复变函数与积分变换试题与答案 1.（5）复数z与点(,) x y对应,请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。 2.（6）请指出指数函数z e w=、对数函数z w ln =、正切函数=的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。 z w tan 3.（9）讨论函数2 2i =的可导性，并求出函数)(z z f+ ) (y x f在可导点的导数。另外，函数) f在可导点解析吗？是或否请说明 (z 理由。 4.（7）已知解析函数v u z f i )(+=的实部y x y u 233-=，求函数 v u z f i )(+=的表达式，并使0)0(=f 。 5.（6×2）计算积分： （1）?+-C n z z z 1 0) (d , 其中C 为以0z 为圆心,r 为半径的正向圆周, n 为正整数； （2）?=+-3||2d ) 2()1(e z z z z z 。 6.（5×2）分别在圆环 （1）1||0< 7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。 (1) 3 sin )(z z z z f -=; (2) z z z f sin 1)(2=; (3) 11 e )(-=z z z f . 8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。 9.（6分）求将上半平面 0)Im( z 保形映照成单位圆 1|| w 的分式线性函数。 10.（5×2）（1）己知 F )()]([ωF t f =，求函数)52(-t f 的傅里叶变换； （2）求函数) i 5)(i 3(2 )(ωωω++= F 的傅里叶逆变换。复变函数试题及答案
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