04-第三章 线性规划及其原始-对偶算法-1(第3次课)
第三章 线性规划及其原始－对偶算法（I ）
3.1 线性规划问题的历史
线性规划问题最早是由G .B.Dantzig 在1947年以前设想出来的。他当时作为联邦空军审计员的一名数学顾问，需要开发一个数学规划的工具，用于制定布置、训练、后勤保障的方案。
由于这项工作，他于1948年出版了《线性结构的规划》一书。 1948年夏天：T.C. Koopmans&G .B.Dantzig 提出了“线性规划”的名称； 1949年：G .B.Dantzig 提出了单纯形方法。
在此之前：Fourier, W.Karush, L.V . Kantorovich 等人的工作都曾涉及到线性规划的有关工作。
1950－1960：线性规划的理论得到了进一步的发展；
1975年：L.V . Kantorovich 和T.C. Koopmans 获得诺贝尔经济奖－对资源最优分配理论的贡献；
1979年：L.G .. Khanchian 的椭球算法； 1984年：N. Karmarkar 的投影尺度算法。
3.2 线性规划问题的几何解释
一、线性规划问题的标准型
min ..0
c x
Ax b s t x Τ=??
≥? (LP)
其中,,,n n m m n x R c R b R A R ×∈∈∈∈。
另外，总假设： 的元素都为整数，rank 0.b ≥),,(c b A m A =)(记： 可行域： {:,n P x R Ax b x =∈=≥0}}最优解集：
*{:(LP)P x P x =∈是的最优解为了深入理解线性规划的目标函数和约束条件，我们首先介绍一些基本的概念。
二、平面、半空间、多面体
(1) 超平面：对于1,n R R αβ∈∈，定义超平面{:n T H x R x }αβ=∈= (2) 半空间：
{:{:n T L n
T
U H x R x H x R x }}
αβαβ=∈≤=∈≥——两个闭半空间
{:{:i n T L i
n T
U
H x R x H x R x }
}
αβαβ=∈<=∈>——两个不相交的开半空间
H 是和L H i
L H 的边界超平面。
α：超平面H 的法线，因为,z H y H ?∈∈0，有 ()T T T y z y z αααββ?=?=?=，即)(z y ?⊥α
即：法向量α与所有平行于超平面H 的向量垂直。
又：,i
L z H w H ?∈∈，有
()T T T w z w z αααββ?=?
即：法向量α与由超平面指向内部的任意向量构成钝角，也即L H α是指向超平面的外部的。
L H
对于线性规划的标准型，超平面{:n T H x R c x }β=∈=是目标函数的T c x 一个等值面，价格向量c 是等值面的法线。
(3) 多面体（polyhedron ）：由有限个闭半空间的交集形成的一个集合。 (4) 多胞形（polytope ）：非空有界多面体。
思考题：证明一个标准型的线性规划问题的约束区域是一个凸多面体。 三、仿射集、凸集和锥
(1) 线性组合：1p
i i i x λ=∑，其中，1212,,,,
,,,p n p x x x R λλλR ∈∈L L 。
(2)仿射组合：1p
i
i i x λ=∑，其中，1212,,,, ,,,p n
p x x x R λλλR ∈∈L L ，。
1
1p
i i λ==∑(3) 凸组合：1p
i
i i x λ=∑，其中，1212,,,, ,,,p n
p x x x R λλλR ∈∈L L ，，
1
1p
i i λ==∑10(1,2,,i i p )λ≥≥=L 。
(4) 凸锥组合：1
p
i i i x λ=∑，其中，1212,,,, ,,,p n p x x x R λλλR ∈∈L L ，
0(1,2,,)i i p λ≥=L 。
例如，考虑两个点1x 和2x 的情况： 令121,,s s s R λλ=?=∈，则
121212112(1)()x x s x sx x s x λλ+=?+=+?x x s x Δ+=1， 所以，相异点1x 和2x 的：
z 所有仿射组合：由这两个点确定的整条直线；（R s ∈?，所以是整
条直线）
z 所有凸组合：连接这两个点的线段；（10≤≤s ，所以是线段） z 凸组合是仿射组合；反之不成立，只有当1x ＝2x 时成立。 (5) 仿射集：，S 必包含S 12,,n S R x x S ??∈1x 和2x 的所有仿射组合。（包含两个点，必包含经过这两个点的直线）
S S (6) 凸集：，S 必包含S 12,,n S R x x S ??∈1x 和2x 的所有凸组合。（包含两个点，必包含经过这两个点的线段）
S S
显然：
z 超平面是仿射集且凸集； z 闭半空间：凸集但不是仿射集；
z 线性流形{:}n x R Ax b ∈=是仿射集且凸集；
z 线性规划的可行域{:,n P x R Ax b x 0}=∈=≥是凸集但不是仿射集； (7) 内点与边界点：给定集合,,n S R x S ?∈0ε?>，使得
{:||||}n B y R x y S ε=∈?
则称x 是的一个内点。反之，S x 是的一个边界点。 S 对于一个凸集，一个关键的几何特性是下述的分割定理：
定理3.1（分割定理）：令是S n R 中的凸子集，且x 是的一个边界点，则存在一个包含S x 的超平面H ，使得或包含在中，或包含在中。
S L H U H 基于这个分割定理，我们可以定义一个支撑超平面H ： 1). H 和的交是非空的； S 2). 包含。 L H S
H
给定凸多面体及其支撑超平面P H ，称F P H =I 为的一个面。 P z 若dim ：就有一个顶点；
()0F =P
z 若dim ：就有一条边； ()1F =P z 若dim dim ()：就有一个面； ()F =1P ?P (8) n R 的一个子集的维数：
C 仿射子空间：对于一个子空间和一个向量n S R ?n R α∈，集合
{|S y x x S α}α==+∈
称之为n R 的一个仿射子空间。即：用一个向量把一个子空间转换成为一个仿射子空间。
dim(S α)=dim()=中线性独立向量的最大个数
S S 子集C 的维数：包含C 的任意一仿射子空间的最小维数。
(9) 锥：非空集合，若n C R ?,x C 0λ?∈≥总有x C λ∈，则称是一个锥。 C 四、顶点和基可行解 多面体的顶点：几何实体；
线性等式与不等式组的基可行解：代数上的定义。
在线性规划的理论中，将这两个概念联系在一起，用几何直觉导引出代数工具。
顶点：在凸集中的一个点C x ，如果x 不是C 另外两个不同点的凸组合，则称它是C 的一个顶点。
即：一个顶点是这样一个点，它不能位于凸集中另外两个点的连线的线段之中——凸多面体的“端点”。
min ..0
c x
Ax b s t x Τ=??
≥? (LP)
其中,,,n n m m n x R c R b R A R ×∈∈∈∈m n ，≤。 可行域 {:,n P x R Ax b x =∈=≥0}令，对于12(,,,)n A A A A =L x P ∈有：
1212(,,,)n n x x
A A A x ??????b =??????
L M
即：1122n n x A x A x A b +++=L 。称j A 为变量j x 对应的列。
定理3.2 x P ∈，则x 是的一个顶点P ?x 的正分量对应的A 中的各列是线性独立的。
证明：不仿设，其中12(,,,,0,0,,0)(,0)T T p B x x x x x ==L L 0(1,2,,)i x i p >=L ，
记(,)A B N =，B N x x x ??
=????
，其中B 是A 的前列。则，p B Ax b Bx b =?=。
""? 用反证法，假设x 是p 的一个顶点，但B 的各列不线性独立，则
存在一个非零向量w ，使得0Bw =。令12
,B B B B x x w x x w δδ=+=?，由于，所以对于充分小的0B x >0δ>，有。显然120,0B B x x ≥≥12B B Bx Bx b ==。定义：
1122(,0),(,0)T T B B
x x x x ==，则12
Ax Ax b ==，所以12,x x P ∈，且12
1122
x x x =+，与x 是p 的一个顶点矛盾。
用反证法，假设"?"x 不是的一个顶点，则存在p 12,,0y y P λ1,∈<<使得
12(1)x y y λλ=+?。因为，所以0N x =12
0N N y y ==。令1w x y =?，则为非零向
量，且，所以w 10B B B Bw Bx By b b =?=?=B 中各列线性相关，与假设矛盾。
证毕
令，),(N B A =m m
B R
×∈为满秩矩阵，是(LP)的一个基，B N x x x ??
=???
?，
b
Ax =?
b
Nx Bx N B =+?
b
B Nx B x N B 11??=+，
，令=0，若?N B Nx B b B x 1
1
???=N x 100B b x ???
=≥????，称之为(LP)的一个基可
行解。
推论3.1 x 是(LP)的一个基可行解?x P ∈是的一个顶点。
P 推论3.2 (LP)的可行域至多有各顶点。
m n C
由于假设的元素都为整数，所以任一个基解其分量的绝对值是有界的。
),,(c b A 定理3.3 令x 是一个基解，则有，其中
βα1!||?≤m j m x |}{|max ,ij j
i a =α，
|}{|max 1j m
j b ≤≤=β注：该结论及其证明的思想非常有用。
证明：因为B B B det *
1=?，而0det ≠B 为整数，则必有，所以分母
绝对值大于或等于1，而1|det |≥B *B 每个元素等于B 的)1(?m 阶子式的行列式，而B 的
阶子式的行列式是)1(?m A 中的)!1(?m 个)1(?m 个元素连乘积之和，其绝对值
不大于。由于每一个是1)!1(??m m αj x 1?B 中的m 个元素与中的个元素对应乘积之和，所以。
b m βα1!||?≤m j m x 定理3.4 假定标准的线性规划问题满足(i) rank m A =)(, (ii) φ≠P , (iii) 目标函数有下界，则在最优值相等的意义下，它与下述线性规划等价：
x c T n
i M x x b
Ax t s x
c i T ,,2,1, 0
..min L =≤≥=
其中，是集合
的最大下界。
|}||,max{||},||,max{|,)!1(z b c a m M j i ij m ==+=βαβαz }0,|{≥=x b Ax x c T 由该定理：我们总可以假定可行域是有界区域。 F 证明：
五、非退化与相邻性
(1) 基可行解和顶点不是一一对应：
z 任给一个基可行解，存在唯一的一个顶点与之对应； z 对于中的一个顶点，可能有多个基可行解与之对应。 P 例如：设
4123141234{:10,10,,,,P x R x x x x x x x x x =∈++=+=≥0}0}
即等价于下述图形：
P 212112{:10,10,,P x R x x x x x =∈+≤≤≥
P 有三个顶点，即A=(0,0)，B=(0,10)，C=(10,0)，与之对应的四维空间的坐标为：A=(0,0,10,10)，B=(0,10,0,10)，C=(10,0,0,0)， 显然：
z 顶点A 是对应基变量为34,x x 的一个基可行解； z 顶点B 是对应基变量为24,x x 的一个基可行解； z 顶点C 对应三个基可行解：基变量为12,x x
基变量为13,x x 基变量为14,x x
在这三个基可行解中，都有一个基变量取值为零！
(2) 一个基可行解B N x x ??
???
?非退化：如果，0B x >0N x =。
(3) 一个线性规划问题非退化：如果它对应的所有基可行解都是非退化的。 (4) 基可行解（顶点）相邻：只有一个基变量不相同（即共用m-1个基变量）的基可行解（顶点），称之为是相邻的。
注1：每一个基可行解（顶点）都有n-m 个相邻的基可行解（顶点）； 2：每一个相邻的基可行解，都可以通过下述方式达到：将一个非基变量的值由零增加到正，而同时将一个正基变量由正值减为零，并保持可行性。
六、非退化与相邻性
设可行域有界，即是一个多胞形，如： P P
5x 显然：x P ?∈，x 可以表示成的顶点的凸组合
P (1) 多面体的顶点方向：设非零向量，若任给n d R ∈0x P ∈，射线
0{:,0}n x R x x d P λλ∈=+≥?
则称非零向量为多面体的顶点方向。 d P 显然：为多面体的顶点方向d P ?0,0Ad d =≥。
多面体无界至少有一个顶点方向。
P ?P 定理3.5（分解定理）：令V v {:}i n R i I =∈∈P 是的所有顶点集合，则x P ?∈，有
i i i I
x v d λ∈=+∑
其中，且或者是零向量，或者是的一个顶点方向。
1,0,i i i I
i I λλ∈=≥∈∑d P 证明：数学归纳法，对于x P ∈的正分量的个数归纳。
推论3.1：若是多胞形，则P x P ?∈，x 可以表示成的顶点的凸组合。 P 推论3.2：若P φ≠，则至少存在一个顶点。
P 3.3 线性规划的基本定理
定理 3.6 对于标准的线性规划问题
min ..0
z c x
Ax b s t x Τ==??
≥? (LP) 若P φ≠，则或者无下界，或者至少存在的一个顶点，其上达到最小值。
z P z 证明：令V v {:}i P i I ∈∈P 是的所有顶点。 =∵P φ≠，∴V φ≠。
根据分解定理，x P ?∈有i i i I
x v d λ∈=+∑，其中1,0,i i i I
i I λλ∈=≥∈∑，且或
者是零向量，或者是的一个顶点方向。
d P (1) 若有一个顶点方向，且P d 0T C d <，则必无界。事实上，z x P ?∈，可以表示成'(x v d P 0)λλ=+∈>，当λ→+∞时，，所以无下界。
T C x →?∞z (2) 否则，设是目标函数值最小的顶点，且有一个顶点方向满足
，则min T C v P d 0T C d ≥x P ?∈有
min min T T i T T i i i I
i I
C x C v C d C v C v λλ∈∈=+≥=∑∑T
所以在顶点上达到最小值。
z min v 3.4 线性规划问题的单纯形算法
给定一个非退化的基可行解x ，对应的可行基为B 则等式约束变为：
b B Nx B x N B 11??=+ N B Nx B b B x 11???=
目标函数
N N B B x c x c x c Τ
ΤΤ+==N N N B x c Nx B b B c Τ
??Τ+?)(11
=N N B B x c N B c b B c )(11Τ?Τ?Τ??
规划等价于
??
?≥?=????Τ
?Τ?Τ0
..)(min 1111x Nx B b B x t s x c N B c b B c N B N
N B B
如果令：
?????
?????=?n b B ααM 11，， ??
??
?
?
?
???
??
??=++++++?n m m m m m n m m n m m N B ,2
,1
,,22,21
,2,12,11,11βββββββββL M M
M
M L L ()T
N
T B T
n m m C N B C ?=?++121,,,λλλL ， b B C f T B 10?=则上述线性规划问题就变成：
()
()
()()???????
??=≥+++?=+++?=+++?=++?++++++++++++++++)
,,2,1(0..,min ,122,11,,222,211,222,122,111,11122110n i x x x x x x x x x x x x x t s x x x f i n n n m m n m m n n n
n n m m m m n n m m m m n n m m m m L L L
L L L L βββ
αβββαβββαλλλ 典式(LP’) 对应的基可行解为()，目标函数值为。
T
m 0,,0,,,,21L L ααα0f 若有一个0>i λ，不妨设01>+m λ，则可令从0上升到某个1+m x 0>θ，显然，可以使得目标函数值下降。
定理3.7 设是（LP ）的一个可行基，（LP’）为其对应的典式。如果
},,,{21m x x x L 0,,0,021≤≤≤+++n m m m λλλL ，则基对应的基可行解
},,,{21m x x x L ()T
m x 0,,0,,,,210L L ααα=
是最优解。
定理3.8 设是（LP ）的一个可行基，（LP’）为其对应的典式。如果目标函数有下界且存在一个检验数},,,{21m x x x L 0>+k m λ，则非基变量对应的系数
k m x +k m m k m k m +++,,2,1,,,βββL 中至少有一个大于零。
定理3.9 设是（LP ）的一个可行基，（LP’）为其对应的典式。如果存在一个检验数},,,{21m x x x L 0>+k m λ，使得：
（1）非基变量对应的系数k m x +k m m k m k m +++,,2,1,,,βββL 中至少有一个大于零；
（2）所有),,2,1(0m i i L =>α，
则一定存在另一个可行基，它对应的基可行解代入目标函数所得到的值比小（即：新的基可行解要比原来的更好）。
0f
遗传算法合集
遗传算法合集 遗传算法简介 遗传算法是一类模拟生物进化的智能优化算法，它是由J.H.Holland于六十年代提出的。目前，遗传算法已成为进化计算研究的一个重要分支。 与传统优化方法相比，遗传算法的优点是： ·群体搜索 ·不需要目标函数的导数 ·概率转移准则 遗传算法研究热点 ·收敛性证明 ·新型高效的遗传算子设计 ·遗传算法与局部优化算法的结合 ·遗传算法在各领域的应用研究 ·软计算与计算智能中的遗传算法 遗传算法著作 1.陈国良等，遗传算法及其应用，国防出版社 2.J.H.Holland,Adaptation in Natural and Artificial Systems, Ann Arbor: Univ. of Michigan Press, 1975 3.D.E.Goldberg,Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989 4.L.D.Davis, Handbook of Genetic Algorithms, Van Nostrand Reinhold 5.Z.Michalewicz, Genetic Algorithms + Data Structures=Evolution Programs, Spinger
Press,1996 6.M.Gen,R.Cheng,Genetic Algorithms & Engineering Design, 1997 7.Wiely,Genetic Algorithms in Engineering and Computer Science,1995 8.M.Mitchell,An Introducion to Genetic Algorithms,1996 9.Davis,Genetic Algorithms and Simulated Annealing,1987 10.Davidor,Genetic Algorithms and Robotics,1991 11.Koza,Genetic Programming,1992 12.Bauer,Genetic Algorithms and Investiment Strategies,1994 遗传算法站点 1.The Genetic Algorithms Archive https://www.wendangku.net/doc/352615254.html,/galist/ 2.Genetic Adaptive Systems LAB (GASLAB) GASLAB is hosted by the Computer Science Department of the University of Nevada-Reno. https://www.wendangku.net/doc/352615254.html,/~sushil/papers/conference/conf.html https://www.wendangku.net/doc/352615254.html,/ 3.http://www.mat.sbg.ac.at/~uhl/GA.html 4.https://www.wendangku.net/doc/352615254.html,/research/gag/ email:kdejong@https://www.wendangku.net/doc/352615254.html, publications: (downloading website) https://www.wendangku.net/doc/352615254.html,/research/gas/pubs.html 5.Illinois Genetic Algorithms Laboratory Prof. David E. Goldberg, Director https://www.wendangku.net/doc/352615254.html,./illigal.home.html 6.Michigan State University Genetic Algorithms Research and Applications Group (GARAGE) Bill Punch (punch@https://www.wendangku.net/doc/352615254.html,,517-353-3541) Erik Goodman (goodman@https://www.wendangku.net/doc/352615254.html,,517-355-6453) https://www.wendangku.net/doc/352615254.html,/
线性规划的对偶原理
线性规划的对偶原理 3.1 线性规划的对偶问题 一、 对偶问题的提出 换位思考 家具厂的线性规划问题，该问题站在家具厂管理者的角度追求销售收入最大 213050max x x z += ?? ? ??≥≤+≤+0 ,50212034212121x x x x x x 某企业家有一批待加工的订单，有意利用该家具厂的木工和油漆工资源来加工他的产品。他 需要与家具厂谈判付给该厂每个工时的价格。如果该企业家已对家具厂的经营情况有详细了 解，他可以构造一个数学模型来研究如何才能既让家具厂觉得有利可图，肯把资源出租给他， 又使自己付的租金最少。 目标:租金最少；1y -付给木工工时的租金；2y -付给油漆工工时的租金 2150120min y y w += 所付租金应不低于家具厂利用这些资源所能得到的利益 1）支付相当于生产一个桌子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个桌子的收 入 502421≥+y y 2）支付相当于生产一个椅子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个椅子的收 入 30321≥+y y 3）付给每种工时的租金应不小于零 0,021≥≥y y 二、 原问题与对偶问题的数学模型 1. 对称形式的对偶
原问题和对偶问题只含有不等式约束时，一对对偶问题的模型是对称的，称为对称形式的对偶。 原问题： ?? ? ??≥≥=0min X b AX CX z 对偶问题： ?? ? ??≥≤=0max Y C YA Yb w 2. 非对称形式的对偶 若原问题的约束条件全部是等式约束（即线性规划的标准型），即 ?? ? ??≥==0min X b AX CX z 则其对偶问题的数学模型为 ?? ? ??≤=是自由变量Y C YA Yb w max 可把原问题写成其等价的对称形式： min z =CX AX ≥b AX ≤b X ≥0 即 min z =CX ? ? ????-A A X ≥??????-b b X ≥0 设Y 1=(y 1,y 2,…,y m ), Y 2=(y m+1,y m+2,…,y 2m )。根据对称形式的对偶模型，写出上述问题的对偶问题：
04-第三章 线性规划及其原始-对偶算法-1(第3次课)
第三章 线性规划及其原始－对偶算法（I ） 3.1 线性规划问题的历史 线性规划问题最早是由G .B.Dantzig 在1947年以前设想出来的。他当时作为联邦空军审计员的一名数学顾问，需要开发一个数学规划的工具，用于制定布置、训练、后勤保障的方案。 由于这项工作，他于1948年出版了《线性结构的规划》一书。 1948年夏天：T.C. Koopmans&G .B.Dantzig 提出了“线性规划”的名称； 1949年：G .B.Dantzig 提出了单纯形方法。 在此之前：Fourier, W.Karush, L.V . Kantorovich 等人的工作都曾涉及到线性规划的有关工作。 1950－1960：线性规划的理论得到了进一步的发展； 1975年：L.V . Kantorovich 和T.C. Koopmans 获得诺贝尔经济奖－对资源最优分配理论的贡献； 1979年：L.G .. Khanchian 的椭球算法； 1984年：N. Karmarkar 的投影尺度算法。 3.2 线性规划问题的几何解释 一、线性规划问题的标准型 min ..0 c x Ax b s t x Τ=?? ≥? (LP) 其中,,,n n m m n x R c R b R A R ×∈∈∈∈。 另外，总假设： 的元素都为整数，rank 0.b ≥),,(c b A m A =)(记： 可行域： {:,n P x R Ax b x =∈=≥0}}最优解集： *{:(LP)P x P x =∈是的最优解为了深入理解线性规划的目标函数和约束条件，我们首先介绍一些基本的概念。 二、平面、半空间、多面体
线性规划的对偶问题
线性规划的对偶问题 Last revised by LE LE in 2021
第二章线性规划的对偶问题 习题 写出下列线性规划问题的对偶问题 (1) max z ＝10x 1＋ x 2 ＋2x 3 (2) max z ＝2x 1 ＋ x 2 ＋3x 3 ＋ x 4 st. x 1＋ x 2 ＋2 x 3 ≤10 st. x 1 ＋ x 2 ＋ x 3 ＋ x 4 ≤5 4x 1＋ x 2 ＋ x 3 ≤20 2x 1 － x 2 ＋3x 3 ＝－4 x j ≥0 （j＝1,2,3） x 1 － x 3 ＋ x 4 ≥1 x 1 ，x 3 ≥0，x 2 ，x 4 无约束 (3) min z ＝3x 1＋2 x 2 －3x 3 ＋4x 4 (4) min z ＝－5 x 1 －6x 2 －7x 3 st. x 1－2x 2 ＋3x 3 ＋4x 4 ≤3 st. －x 1 ＋5x 2 －3x 3 ≥15 x 2 ＋3x 3 ＋4x 4 ≥－5 －5x 1 －6x 2 ＋10x 3 ≤20 2x 1－3x 2 －7x 3 －4x 4 ＝2 ＝ x 1 － x 2 － x 3 ＝－5 x 1≥0，x 4 ≤0，x 2， ，x 3 无约束 x 1 ≤0， x 2 ≥0，x 3 无约束 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化： （1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）； （2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）； （4）模型中全部x1用3 1 'x代换。 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4 st. x 1＋2x 2 ＋ x 4 ≥3 3x 1＋ x 2 ＋ x 3 ＋ x 4 ≥6 x 3 ＋ x 4 ＝2 x 1 ＋ x 3 ≥2 x j ≥0（j＝1,2,3,4） (1) 写出其对偶问题； (2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量 st. 2x 1 ＋x 3 ＋ x 4 ≤8 y 1 2x 1＋2x 2 ＋x 3 ＋2x 4 ≤12 y 2 x j ≥0（j＝1,2,3,4） 其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3 st. 3x 1＋4 x 2 ＋2x 3 ≤60 2x 1＋ x 2 ＋2x 3 ≤40 x 1＋3x 2 ＋2x 3 ≤80 x j ≥0 （j＝1,2,3）（1）写出其对偶问题
5.1 几个重要算法的计算复杂度讨论
第五章 组合优化问题的有效算法 5.1 几个重要算法的计算复杂度讨论 一、线性规划问题的单纯形算法不是多项式时间算法 Klee 和Minty 1972给出了第一这样的例子。 首先要有一个有界多面体，它有指数个顶点。例如，一个立方体： 3,2,1,10=≤≤j x j 有23＝8个顶点。 d －维立方体： d j x j ,,2,1,10L =≤≤ 有d 2个顶点。每一个顶点对应于},,,{21d x x x L 的一个子集，使得该子集中的元素等于1，其余为0。
对于2 1 0< <ε，构造立方体： d j x x x x j j j ,,3,2,1,1, 1111L =?≤≤≤≤??εεε 这个有界多面体是d －维立方体的一个摄动，当0→ε时，它趋于d －维立方体。 为了把上述有界多面体化为标准形式，引进d 个松弛变量： d s s s ,,,21L 和d 个剩余变量： d r r r ,,,21L 因此，有d m 2=个方程，d n 3=个变量，最大化d x ，就构造出如下的线性规划问题： 对于2 1 0<<ε，在d 维空间中构造d 2个约束方程，d 3个变量的线性规划问题： 1x 0x 7 x
d j s r x d j s x x r x x s x r x x j j j j j j j j j d ,,2,1, 0,,,,3,2101min 111111L L =≥==++=??=+=????εεε (LP) 定理5.1 对于每个1>d ，存在线性规划问题，它有d 2个约束方程，d 3个变量，并且它的系数的绝对值为不超过4的整数。当用单纯形算法解这个线性规划问题时，其迭代步数可以为12?d 步。 对单纯形算法的进一步讨论： 1．单纯形算法的变形可以改变选入或退出规则（转轴规则）以避免经过每一个 顶点。但是，对于不同的变形的算法，可以找到不同的反例。这使得我们相信单纯形算法及其变形都不是多项式算法。 2．这种怀的例子在真实问题中很少发生。过去几十年的观察表明，对于中等规 模的实际问题，单纯形算法需要m 4至m 6的迭代步数来完成两阶段的计算。据推测，当n 相对于m 来说较大时，迭代次数预计为m α，其中 ????? ? + 基于对偶方法的变分光流改进算法 陈兵 重庆理工大学 摘要： 光流模型一：CLG 模型+（灰度守恒假设+梯度守恒假设）+非二次惩罚+SOR ．．． = ),(v u 光流模型二：CLG 模型+（灰度守恒假设+Laplacian 守恒假设）+非二次惩罚+SOR ．．．= ),(''v u 最终光流：对偶迭代),(v u 与),(''v u 理论依据： 光流三要素：光流产生速度场；是一种携带信息并具有光学特性的载体，如像素等；是三维场景运动对二维平面的投影成像。是带有灰度的像素点在图像平面上的运动而产生的瞬时速度场。 1. CLG 光流模型 1981年，Horn 和Schunck[5]假设两帧图像时间间距很小，图像中某点亮度与物体上对应点处的表面的反射率成比例并假设反射率平滑变化没有空间不连续。在排除对象彼此遮挡的情况下提出了光流算法的经典模型。 设),,(t y x f 是图像像素点),(y x 在t 时刻的亮度。假设t+1时刻，此像素点运动到)1,,(+++t v y u x f ，且亮度保持不变。 则有： )1,,(),,(+++=t v y u x f t y x f 对上式Taylor 展开并忽略二阶及其高阶分量有： 0=??+??+??t f v y f u x f 其中，u 、v 是二维光流水平与垂直分量，f 为灰度图像。在此基础上假设图像又具有连续 性和平滑性，加入平滑权重因子α建立光流数学模型 dxdy f vf uf v u E t y x HS )||)((),(22ωα?+++= ?? Ω 其中，222||||||v u ?+?=?ω。上述模型是一种全局光流方法（H-S 方法），该方法也最终成为了变分方法的理论基础。尽管这种算法可以得到稠密的光流场，但对噪声的鲁棒性很差。 同样是1981年，Lucas 和Kanade[8]利用图像的空间强度梯度，使用牛顿-拉夫逊迭代法提出了一种图像配准技术——局部光流方法（L-K 方法），其模型为 2)(*),(t y x LK f vf uf K v u E ++=ρ 其中，ρK 是以ρ为标准差的Gaussian 函数。L-K 方法使得光流在噪声情况下具有很好的鲁 棒性，但也只是得到稀疏的光流场。 Bruhn 等人结合了H-S 方法和L-K 方法的优缺点提出了CLG 光流模型[7]: 第二章线性规划的对偶问题 习题 2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题 (1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4 st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤5 4x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4 x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1 x1，x3≥0，x2，x4无约束 (3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3 st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15 x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤20 2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束 2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化： （1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）； （2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上； （3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）； 'x代换。 （4）模型中全部x1用3 1 2.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4 st. x1＋2x2＋x4≥3 3x1＋x2＋x3＋x4≥6 x3 ＋x4＝2 x1 ＋x3 ≥2 x j≥0（j＝1,2,3,4） (1) 写出其对偶问题； (2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量 st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y1 2x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2 x j≥0（j＝1,2,3,4） 其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。 2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3 st. 3x1＋4 x2＋2x3≤60 2x1＋x2＋2x3≤40 x1＋3x2＋2x3≤80 x j≥0 （j＝1,2,3） （1）写出其对偶问题 （2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解； 18.433 组合最优化 原始－对偶算法 October 28 授课教师：Santosh Vempala 在这一讲中，我们介绍互补松弛性条件并利用它们得到求解线性规划的原始－对偶方法。 1 互补松弛性 由前面的强对偶定理我们已经知道，下面两个线性规划都有可行解时其最优值是相等的，即 利用上面的结论，我们可以验证原始和/或其对偶问提解的最优性。 定理1. 设和分别是(P)和(D)的可行解，那么和是最优解当且仅当下面的条件成立： 证明：首先，由于和是可行解，故且 对下标和做加和，可得 把上面两式相加并利用强对偶定理，可得， 因此，不等式(1)和(2)一定为等式。故结论得证。□2 原始－对偶算法 定理1主要蕴含的结论是：如果和是可行解且满足互补松弛性条件，则他们是最优解。 这个结论产生了原始－对偶算法和出发，使之越来越满足互补松弛性 条件。 方便起见，我们考虑如下原始和对偶规划： 在这种形式下，互补松弛性条件可简化为： 原始－对偶算法步骤如下： 1、从(D)的一个可行解开始。在多数情况下得到这样的一个可行解要比求解线性 规划简单得多。 令 现在我们需要利用(3)得到(P)的一个可行解满足问题是有没有 一个满足这种性质的可行解。 2、写出限定原始规划(RP)如下： 事实上，(RP)的可行解即满足上述提到的性质(3)。这里，变量为人工变量。 如果为0，那么即为(P)的最优解。 3、如果，那么和是最优的。否则，这时我们写 出(RP)的对偶形式，称为(DRP)，并求其解 4、令来改进（D）的解，其中的取值需满足是可行的，而且 由可行性可知，对有 又因为任意均有 所以当时可取任意正数。故取 则满足且是可行的。 又因为且， 注意，在上面的原始－对偶算法中，求解(DRP)通常要比求解(P)或(D)简单。实际上，在这种方法中，(P)和(RP)都是临时规划，我们真正想解的是(D)。为此，我们先解出(DRP)再用这个解来反复改进。 2.1 实例 考虑下面形式的最大流问题： 值得一提的是，在初始的最大流问题中，前三组约束为等式。但是我们将这三组不等式相加，得到0<=0，这些不等式的弱集蕴涵着等式。我们把上述表示形式作为(D)，取为零向量即 可得到它的一个可行解。现在我们直接给出(DRP): 第二章 线性规划的对偶问题 习题 2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题 ⑴ max z = 10x i + X 2 + 2x 3 st. x i + X 2 + 2 X 3W 10 4x i + X 2 + X 3 W 20 X > 0 (j = 1,2,3) (3) min z = 3x i + 2 X 2 — 3x 3 + 4x 4 st. x i －2x 2+ 3x 3+ 4x 4W 3 X 2 + 3X 3 + 4X 4》一5 2x i — 3x 2 — 7x 3 — 4x 4= 2 = x i >0, X 4W 0, X 2，, X 3 无约束 (2) max z = 2x i + x 2+ 3x 3+ x 4 st. x i + x 2+ x 3 + x 4 W 5 2x i － x 2+ 3x 3 =－ 4 X i — X 3 + X 4> i X i , X 3 > 0, X 2, X 4 无约束 (4) min z =— 5 x i — 6x 2— 7x 3 st. — X i + 5X 2— 3X 3 > i5 — 5X i — 6X 2+ i0X 3 W 20 X i — X 2 — X 3=— 5 X i W 0, X 2>0 , X 3 无约束 2.2已知线性规划问题 max z = CX , AX=b , X >0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的 变化： (1 )问题的第k 个约束条件乘上常数 入(炉0); (2) 将第k 个约束条件乘上常数 入(苗0)后加到第r 个约束条件上； (3) 目标函数改变为 max z = 2CX (入工0)； 4)模型中全部 X i 用 3 X'i 代换。 2.3 已知线性规划问题 min z = 8X i + 6X 2+ 3X 3+ 6X 4 st. x i + 2X 2 + X 4》3 3x i + X 2 + X 3+ X 4 A 6 X 3 + X 4= 2 X i + X 3 A 2 X j A 0(j =i,2,3,4) (1) 写出其对偶问题； (2) 已知原问题最优解为 X*=(i ，i ，2，0) ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 2.4 已知线性规划问题 min z = 2X i + X 2+ 5X 3+ 6X 4 对偶变量 st. 2X i + X 3+ X 4W 8 y i 2X i + 2X 2+ X 3+ 2X 4W i2 y 2 X j A 0(j =i,2,3,4) 其对偶问题的最优解 y i *=4； y 2*=i ，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。 2.5 考虑线性规划问题 maX z = 2X i + 4X 2+ 3X 3 st. 3X i +4 X 2+ 2X 3W 60 2X i + X 2+ 2X 3W 40 X i + 3X 2+ 2X 3W 80 X j A 0 (j = i,2,3) ( i )写出其对偶问题 ( 2)用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解； ( 3)用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶 问题的解； ( 4)比较( 2)和( 3)计算结果。 2.6已知线性规划问题 max z = 10x i + 5x 2 1、C4.5 机器学习中，决策树是一个预测模型；他代表的是对象属性与对象值之间的一种映射关系。树中每个节点表示某个对象，而每个分叉路径则代表的某个可能的属性值，而每个叶结点则对应从根节点到该叶节点所经历的路径所表示的对象的值。决策树仅有单一输出，若欲有复数输出，可以建立独立的决策树以处理不同输出。 从数据产生决策树的机器学习技术叫做决策树学习, 通俗说就是决策树。 决策树学习也是数据挖掘中一个普通的方法。在这里，每个决策树都表述了一种树型结构，他由他的分支来对该类型的对象依靠属性进行分类。每个决策树可以依靠对源数据库的分割进行数据测试。这个过程可以递归式的对树进行修剪。当不能再进行分割或一个单独的类可以被应用于某一分支时，递归过程就完成了。另外，随机森林分类器将许多决策树结合起来以提升分类的正确率。 决策树同时也可以依靠计算条件概率来构造。决策树如果依靠数学的计算方法可以取得更加理想的效果。 决策树是如何工作的 决策树一般都是自上而下的来生成的。 选择分割的方法有好几种，但是目的都是一致的：对目标类尝试进行最佳的分割。 从根到叶子节点都有一条路径，这条路径就是一条“规则”。 决策树可以是二叉的，也可以是多叉的。 对每个节点的衡量： 1) 通过该节点的记录数 2) 如果是叶子节点的话，分类的路径 3) 对叶子节点正确分类的比例。 有些规则的效果可以比其他的一些规则要好。 由于ID3算法在实际应用中存在一些问题，于是Quilan提出了C4.5算法，严格上说C4.5只能是ID3的一个改进算法。相信大家对ID3算法都很.熟悉了，这里就不做介绍。 C4.5算法继承了ID3算法的优点，并在以下几方面对ID3算法进行了改进： 1) 用信息增益率来选择属性，克服了用信息增益选择属性时偏向选择取值多的属性的不足； 2) 在树构造过程中进行剪枝； 3) 能够完成对连续属性的离散化处理； 4) 能够对不完整数据进行处理。 C4.5算法有如下优点：产生的分类规则易于理解，准确率较高。其缺点是：在构造树的过程中，需要对数据集进行多次的顺序扫描和排序，因而导致算法的低效。此外，C4.5只适合于能够驻留于内存的数据集，当训练集大得无法在内存容纳时程序无法运行。 来自搜索的其他内容： C4.5算法是机器学习算法中的一种分类决策树算法,其核心算法是ID3算法. 分类决策树算法是从大量事例中进行提取分类规则的自上而下的决策树. 决策树的各部分是: 根: 学习的事例集. 枝: 分类的判定条件. 叶: 分好的各个类. §4.3.2 ID3算法 1.概念提取算法CLS 1) 初始化参数C={E},E包括所有的例子,为根. 用对偶单纯形法求解线性 规划问题 The final edition was revised on December 14th, 2020. 例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题. Min z =5x1+3x 2 .-2 x1 + 3x 2 ≥6 3 x1 - 6 x 2 ≥4 Xj≥0（j=1,2） 解：将问题转化为 Max z = -5 x1 - 3 x 2 . 2 x1 - 3x 2+ x 3 = -6 -3 x1 + 6 x 2+ x 4 ≥-4 Xj≥0（j=1,2，3,4） 其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17. 表4-17 例4-7单纯形表 在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解. 注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况. 若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法. 3.对偶问题的最优解 由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解. (1)设原问题(p)为 Min z=CX . ???≥=0X b AX 则标准型(LP)为 Max z=CX . ???≥=0X b AX 其对偶线性规划（D ）为 Max z=b T Y . ???≥=0X b AX 用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0 从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有 （σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I) 线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用 摘要 线性规划对偶问题是运筹学中应用较广泛的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.线性规划对偶问题能从不同角度为管理者提供更多的科学理论依据，使管理者的决定更加合理准确.本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间的关系、线性规划原问题与对偶问题的转化以及对偶理论的应用.本文的研究主要是将复杂的线性规划原问题转化成对偶问题进行解决，简化了线性规划问题，使人们能够快速的找出线性规划问题的最优解. 关键词：线性规划；原问题；对偶问题；转化 Linear Programming is the Original Problem and the Transformation of the Dual Problem and Applications Abstract: Linear programming in operational research is research earlier, rapid development and wide application, the method is an important branch of mature, it is one of the scientific management of auxiliary people mathematical method. Can from different angles to linear programming dual problem for policy makers to provide more scientific theory basis. This article mainly probes into the linear programming problem and the relationship between the dual problem, linear programming problem and the transformation of the dual problem, the application of linear programming dual problem. This article is the complex of the original problem into its dual problem to be solved, simplifies the linear programming problem, enables us to rapidly find the optimal solution of linear programming problem. Keywords: linear programming; the original problem; the dual problem; conversion 线性规划的对偶问题文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 第二章线性规划的对偶问题 习题 2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题 (1) max z ＝10x1＋ x2＋2x3 (2) max z ＝2x1＋ x2＋3x3＋ x4 st. x1＋ x2＋2 x3≤10 st. x1＋ x2＋ x3 ＋ x4≤5 4x1＋ x2＋ x3≤20 2x1－ x2＋3x3＝－4 x j≥0 （j＝1,2,3） x1－ x3＋ x4≥1 x1，x3≥0，x2，x4无约束 (3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4 (4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3 st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15 x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤20 2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝ x1－ x2－ x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束 x1≤0， x2≥0，x3无约束 2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化： （1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）； （2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）； （4）模型中全部x1用3 'x代换。 1 2.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4 st. x1＋2x2＋ x4≥3 3x1＋ x2＋ x3＋ x4≥6 x3 ＋ x4＝2 x1 ＋ x3 ≥2 x j≥0（j＝1,2,3,4） (1) 写出其对偶问题； (2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量 st. 2x1 ＋x3＋ x4≤8 y1 2x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2 x j≥0（j＝1,2,3,4） 其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。 2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3 st. 3x1＋4 x2＋2x3≤60 2x1＋ x2＋2x3≤40 x1＋3x2＋2x3≤80 x j≥0 （j＝1,2,3） （1）写出其对偶问题 （2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解； （3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解； （4）比较（2）和（3）计算结果。 线性规划原问题与对偶 问题的转化及其应用 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT 线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用 摘要 线性规划对偶问题是运筹学中应用较广泛的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.线性规划对偶问题能从不同角度为管理者提供更多的科学理论依据，使管理者的决定更加合理准确.本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间的关系、线性规划原问题与对偶问题的转化以及对偶理论的应用.本文的研究主要是将复杂的线性规划原问题转化成对偶问题进行解决，简化了线性规划问题，使人们能够快速的找出线性规划问题的最优解. 关键词：线性规划；原问题；对偶问题；转化LinearProgrammingistheOriginalProblemandtheTransformationoftheDu alProblemandApplications Abstract:Linearprogramminginoperationalresearchisresearchearlier,rapiddevelopmentandw ideapplication,themethodisanimportantbranchofmature,目录 1引言 线性规划问题是运筹学里的一个重要的分支，它的应用比较广泛，因而是辅助人们进行现代科学管理的一种数学方法.随着线性规划理论的逐步深入，人们发现线性规划问题具有对偶性，即每一个线性问题都伴有另外一个线性问题的产生，两者相互配对，密切联系，反之亦然.我们把线性规划的这个特性称为对偶性.于是，我们将其中的一个问题称为原问题，另一个问题则称为它的对偶问题.对偶性不仅仅是数学上的理论问题，而且也是线性规划中实际问题的内在经济联系的必然反映.我们通过对对偶问题的深入研究，发现对偶问题能从不同角度对生产计划进行分析，从而使管理者能够间接地获得更多比较有用的信息. 2文献综述 国内外研究现状 在所查阅到的国内外参考文献[1-15]中，有不少文章是探讨了原问题转化为对偶问题的方法以及对偶性质的证明，并在对偶理论的应用方面有所研究.如郝英奇，胡运权在[1]、[10]中主要介绍了线性规划中原问题与对偶问题中的一些基本概念，探究了实际问题中的数学模型以及解.孙君曼，冯巧玲，孙慧君，李淑君等在[2]中探讨了对偶理论中互补松弛定理在各种情况下的使用方法,使学生更好地掌握互补松弛定理的含义和应用方法.胡运权，郭耀煌，殷志祥等在[3]、[5]中系统的介绍了线性规划中原始问题与对偶问题的两种形式.郭鹏，徐玖平等在[6]、[8]中用不同例子来说明了原问题转化为对偶问题的必要性.崔永新等在[9]、[15]中探讨了对偶问题的相关定理以及对偶问题的可行解和最优解之间的若干性质.李师正，王德胜在[11]中探讨了如何用计算机计算对偶问题的最优解.岳宏志，蔺小林，孙文喻等在[12]、[14]中 线性规划的对偶问题 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 第二章线性规划的对偶问题 习题 写出下列线性规划问题的对偶问题 (1) max z ＝10x1＋ x2＋2x3 (2) max z ＝2x1＋ x2＋3x3＋ x4 st. x1＋ x2＋2 x3≤10 st. x1＋ x2＋ x3 ＋ x4≤5 4x1＋ x2＋ x3≤20 2x1－ x2＋3x3＝－4 x j≥0 （j＝1,2,3） x1－ x3＋ x4≥1 x1，x3≥0，x2，x4无约束 (3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4 (4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3 st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15 x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤20 2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝ x1－ x2－ x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束 x1≤0， x2≥0，x3无约束 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化： （1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）； （2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上； （3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）； 'x代换。 （4）模型中全部x1用3 1 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4 st. x1＋2x2＋ x4≥3 3x1＋ x2＋ x3＋ x4≥6 x3 ＋ x4＝2 x1 ＋ x3 ≥2 x j≥0（j＝1,2,3,4） (1) 写出其对偶问题； (2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量 st. 2x1 ＋x3＋ x4≤8 y1 2x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2 x j≥0（j＝1,2,3,4） 其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3 st. 3x1＋4 x2＋2x3≤60 2x1＋ x2＋2x3≤40 x1＋3x2＋2x3≤80 x j≥0 （j＝1,2,3） （1）写出其对偶问题 （2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解； （3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解； （4）比较（2）和（3）计算结果。 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题 1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？ 2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么？ 3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？ 4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？ 5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？ 6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0>+k n x ，其经济意 义是什么？ 7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量k n x +的检验数0>+k n σ（标准形为 求最小值），其经济意义是什么？ 8．将i j j i b c a ,,的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确 1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。 4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。 5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。 6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0>* i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源已经完全用尽。 7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0=* i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源一定还有剩余。 8．对于i j j i b c a ,,来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 之后，线性规划的最优解就会发生变化。 9．若某种资源的影子价格为u ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 u k 。 10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量0 线性规划的对偶问题及其经济含义 信息工程学院 数学121 12421001 崔旭 在线性规划早期发展中最重要的发现就是对偶问题，即每一个线性规划问题(称为原始问题)都有一个与它对应的对偶线性规划问题（称为对偶问题）。对偶理论主要研究经济学中的相互确定关系，涉及到经济学的诸多方面。产出与成本的对偶、效用与支出的对偶，是经济学中典型的对偶关系。当然，经济系统中还有许多其他这样的对偶关系。 对偶理论有许多重要应用：在原始的和对偶的两个线性规划中求解任何一个规划时，会自动地给出另一个规划的最优解；当对偶问题比原始问题有较少约束时，求解对偶规划比求解原始规划要方便得多；对偶规划中的变量就是影子价格。 对偶定理：有一对对偶的线性规划问题，若其一有一个有限的最优解，则另一个也有最优解，且相应的目标函数值相等。若任一个问题具有无界解，则另一个问题无可行解。对称形式的对偶：原问题和对偶问题只含有不等式约束时，一对对偶问题的模型是对称的，称为对称形式的对偶。例如： 原问题：minz=CX AX>=b X>=0 对偶问题：max=Yb YA<=C X>=0 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。 弱对偶性定理：若()0 Y分别是原问题和对偶问题的可行解，则有 X和()0 C()()0 0b ≥ X Y 最优性定理：若()0 Y分别是原问题和对偶问题的可行解，且有 X和()0 ()0 CX=()0 bY，则()0 Y分别是原问题和对偶问题的最优解。 X和()0 最优对偶变量（影子价格）的经济解释：由对偶定理可知，当达到最优解时，原问题和对偶问题的目标函数值相等。如果在得到最优解时，某种资源并未完全利用，其剩余量就是该约束中剩余变量的取值，那么该约束相对应的影子价格一定为零。因为在得到最优解时，这种资源并不紧缺，故此时再增加这种资源不会带来任何效益。反之，如果某种资源的影子价格大于零，就说明再增加这种资源的可获量，还回带来一定的经济效益，即在原问题的最优解中，这种资源必定已被全部利用，相应的约束条件必然保持等式。 用线性规则方法计算出来的反映资源最优使用效果的价格。用微积分描述资源的影子价格，即当资源增加一个数量而得到目标函数新的最大值时，目标函数最大值的增量与资源的增量的比值，就是目标函数对约束条件（即资源）的一阶偏导数。用线性规划方法求解资源最优利用时，即在解决如何使有限资源的总产出最大的过程中，得出相应的极小值，其解就是对偶解，极小值作为对资源的经济评价，表现为影子价格。影子价格是在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化。这个定义是基于线性规划中的合理利用有限资源以求得最好的经济效果的规划问题。影子价格正是这种假设条件中单位资源对目标极值的贡献，是资源的单位价格，反映资源在企业内部运用的贡献情况，称之为资源的影子价格。 如果目标函数是利润，这里的就是影子利润（意义不大）；如果目标函数是销售金额，这里的才是影子价格。人们通常讨论的是后一种，目标函数是销售金额，是影子价格。从对公式的解读中，人们看基于对偶方法的变分光流改进算法
线性规划的对偶问题
原始-对偶算法
线性规划的对偶问题
机器学习10大经典算法
用对偶单纯形法求解线性规划问题
线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用
线性规划的对偶问题
线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用
线性规划的对偶问题
《运筹学》 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及 答案
线性规划的对偶问题及其经济含义