原始-对偶算法

18.433 组合最优化

原始－对偶算法

October 28 授课教师：Santosh Vempala 在这一讲中，我们介绍互补松弛性条件并利用它们得到求解线性规划的原始－对偶方法。

1 互补松弛性

由前面的强对偶定理我们已经知道，下面两个线性规划都有可行解时其最优值是相等的，即

利用上面的结论，我们可以验证原始和/或其对偶问提解的最优性。

定理1. 设和分别是(P)和(D)的可行解，那么和是最优解当且仅当下面的条件成立：

证明：首先，由于和是可行解，故且

对下标和做加和，可得

把上面两式相加并利用强对偶定理，可得，

因此，不等式(1)和(2)一定为等式。故结论得证。□2 原始－对偶算法

定理1主要蕴含的结论是：如果和是可行解且满足互补松弛性条件，则他们是最优解。

这个结论产生了原始－对偶算法和出发，使之越来越满足互补松弛性

条件。

方便起见，我们考虑如下原始和对偶规划：

在这种形式下，互补松弛性条件可简化为：

原始－对偶算法步骤如下：

1、从(D)的一个可行解开始。在多数情况下得到这样的一个可行解要比求解线性

规划简单得多。

令

现在我们需要利用(3)得到(P)的一个可行解满足问题是有没有

一个满足这种性质的可行解。

2、写出限定原始规划(RP)如下：

事实上，(RP)的可行解即满足上述提到的性质(3)。这里，变量为人工变量。

如果为0，那么即为(P)的最优解。

3、如果，那么和是最优的。否则，这时我们写

出(RP)的对偶形式，称为(DRP)，并求其解

4、令来改进（D）的解，其中的取值需满足是可行的，而且

由可行性可知，对有

又因为任意均有

所以当时可取任意正数。故取

则满足且是可行的。

又因为且，

注意，在上面的原始－对偶算法中，求解(DRP)通常要比求解(P)或(D)简单。实际上，在这种方法中，(P)和(RP)都是临时规划，我们真正想解的是(D)。为此，我们先解出(DRP)再用这个解来反复改进。

2.1 实例

考虑下面形式的最大流问题：

值得一提的是，在初始的最大流问题中，前三组约束为等式。但是我们将这三组不等式相加，得到0<=0，这些不等式的弱集蕴涵着等式。我们把上述表示形式作为(D)，取为零向量即

可得到它的一个可行解。现在我们直接给出(DRP):

可以看出(DRP)有如下释义。寻找一条从到的路（流值为1）且路上只能经过下列弧：饱和的后向弧，零流的前向弧和任意方向的其它弧。换句话说，我们需要在剩余图中找一条路。这种观察说明最大流算法实际上是一个原始－对偶算法。

最后，需要注意，原始－对偶算法不一定具有多项式执行时间。

遗传算法合集

遗传算法合集 遗传算法简介 遗传算法是一类模拟生物进化的智能优化算法，它是由J.H.Holland于六十年代提出的。目前，遗传算法已成为进化计算研究的一个重要分支。 与传统优化方法相比，遗传算法的优点是： ·群体搜索 ·不需要目标函数的导数 ·概率转移准则 遗传算法研究热点 ·收敛性证明 ·新型高效的遗传算子设计 ·遗传算法与局部优化算法的结合 ·遗传算法在各领域的应用研究 ·软计算与计算智能中的遗传算法 遗传算法著作 1.陈国良等，遗传算法及其应用，国防出版社 2.J.H.Holland,Adaptation in Natural and Artificial Systems, Ann Arbor: Univ. of Michigan Press, 1975 3.D.E.Goldberg,Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989 4.L.D.Davis, Handbook of Genetic Algorithms, Van Nostrand Reinhold 5.Z.Michalewicz, Genetic Algorithms + Data Structures=Evolution Programs, Spinger

Press,1996 6.M.Gen,R.Cheng,Genetic Algorithms & Engineering Design, 1997 7.Wiely,Genetic Algorithms in Engineering and Computer Science,1995 8.M.Mitchell,An Introducion to Genetic Algorithms,1996 9.Davis,Genetic Algorithms and Simulated Annealing,1987 10.Davidor,Genetic Algorithms and Robotics,1991 11.Koza,Genetic Programming,1992 12.Bauer,Genetic Algorithms and Investiment Strategies,1994 遗传算法站点 1.The Genetic Algorithms Archive https://www.wendangku.net/doc/6413687788.html,/galist/ 2.Genetic Adaptive Systems LAB (GASLAB) GASLAB is hosted by the Computer Science Department of the University of Nevada-Reno. https://www.wendangku.net/doc/6413687788.html,/~sushil/papers/conference/conf.html https://www.wendangku.net/doc/6413687788.html,/ 3.http://www.mat.sbg.ac.at/~uhl/GA.html 4.https://www.wendangku.net/doc/6413687788.html,/research/gag/ email:kdejong@https://www.wendangku.net/doc/6413687788.html, publications: (downloading website) https://www.wendangku.net/doc/6413687788.html,/research/gas/pubs.html 5.Illinois Genetic Algorithms Laboratory Prof. David E. Goldberg, Director https://www.wendangku.net/doc/6413687788.html,./illigal.home.html 6.Michigan State University Genetic Algorithms Research and Applications Group (GARAGE) Bill Punch (punch@https://www.wendangku.net/doc/6413687788.html,,517-353-3541) Erik Goodman (goodman@https://www.wendangku.net/doc/6413687788.html,,517-355-6453) https://www.wendangku.net/doc/6413687788.html,/

04-第三章 线性规划及其原始-对偶算法-1(第3次课)

第三章 线性规划及其原始－对偶算法（I ） 3.1 线性规划问题的历史 线性规划问题最早是由G .B.Dantzig 在1947年以前设想出来的。他当时作为联邦空军审计员的一名数学顾问，需要开发一个数学规划的工具，用于制定布置、训练、后勤保障的方案。 由于这项工作，他于1948年出版了《线性结构的规划》一书。 1948年夏天：T.C. Koopmans&G .B.Dantzig 提出了“线性规划”的名称； 1949年：G .B.Dantzig 提出了单纯形方法。 在此之前：Fourier, W.Karush, L.V . Kantorovich 等人的工作都曾涉及到线性规划的有关工作。 1950－1960：线性规划的理论得到了进一步的发展； 1975年：L.V . Kantorovich 和T.C. Koopmans 获得诺贝尔经济奖－对资源最优分配理论的贡献； 1979年：L.G .. Khanchian 的椭球算法； 1984年：N. Karmarkar 的投影尺度算法。 3.2 线性规划问题的几何解释 一、线性规划问题的标准型 min ..0 c x Ax b s t x Τ=?? ≥? (LP) 其中,,,n n m m n x R c R b R A R ×∈∈∈∈。 另外，总假设： 的元素都为整数，rank 0.b ≥),,(c b A m A =)(记： 可行域： {:,n P x R Ax b x =∈=≥0}}最优解集： *{:(LP)P x P x =∈是的最优解为了深入理解线性规划的目标函数和约束条件，我们首先介绍一些基本的概念。 二、平面、半空间、多面体

5.1 几个重要算法的计算复杂度讨论

第五章 组合优化问题的有效算法 5.1 几个重要算法的计算复杂度讨论 一、线性规划问题的单纯形算法不是多项式时间算法 Klee 和Minty 1972给出了第一这样的例子。 首先要有一个有界多面体，它有指数个顶点。例如，一个立方体： 3,2,1,10=≤≤j x j 有23＝8个顶点。 d －维立方体： d j x j ,,2,1,10L =≤≤ 有d 2个顶点。每一个顶点对应于},,,{21d x x x L 的一个子集，使得该子集中的元素等于1，其余为0。

对于2 1 0< <ε，构造立方体： d j x x x x j j j ,,3,2,1,1, 1111L =?≤≤≤≤??εεε 这个有界多面体是d －维立方体的一个摄动，当0→ε时，它趋于d －维立方体。 为了把上述有界多面体化为标准形式，引进d 个松弛变量： d s s s ,,,21L 和d 个剩余变量： d r r r ,,,21L 因此，有d m 2=个方程，d n 3=个变量，最大化d x ，就构造出如下的线性规划问题： 对于2 1 0<<ε，在d 维空间中构造d 2个约束方程，d 3个变量的线性规划问题： 1x 0x 7 x

d j s r x d j s x x r x x s x r x x j j j j j j j j j d ,,2,1, 0,,,,3,2101min 111111L L =≥==++=??=+=????εεε (LP) 定理5.1 对于每个1>d ，存在线性规划问题，它有d 2个约束方程，d 3个变量，并且它的系数的绝对值为不超过4的整数。当用单纯形算法解这个线性规划问题时，其迭代步数可以为12?d 步。 对单纯形算法的进一步讨论： 1．单纯形算法的变形可以改变选入或退出规则（转轴规则）以避免经过每一个 顶点。但是，对于不同的变形的算法，可以找到不同的反例。这使得我们相信单纯形算法及其变形都不是多项式算法。 2．这种怀的例子在真实问题中很少发生。过去几十年的观察表明，对于中等规 模的实际问题，单纯形算法需要m 4至m 6的迭代步数来完成两阶段的计算。据推测，当n 相对于m 来说较大时，迭代次数预计为m α，其中 ????? ? +

基于对偶方法的变分光流改进算法

基于对偶方法的变分光流改进算法 陈兵 重庆理工大学 摘要： 光流模型一：CLG 模型+（灰度守恒假设+梯度守恒假设）+非二次惩罚+SOR ．．． = ),(v u 光流模型二：CLG 模型+（灰度守恒假设+Laplacian 守恒假设）+非二次惩罚+SOR ．．．= ),(''v u 最终光流：对偶迭代),(v u 与),(''v u 理论依据： 光流三要素：光流产生速度场；是一种携带信息并具有光学特性的载体，如像素等；是三维场景运动对二维平面的投影成像。是带有灰度的像素点在图像平面上的运动而产生的瞬时速度场。 1. CLG 光流模型 1981年，Horn 和Schunck[5]假设两帧图像时间间距很小，图像中某点亮度与物体上对应点处的表面的反射率成比例并假设反射率平滑变化没有空间不连续。在排除对象彼此遮挡的情况下提出了光流算法的经典模型。 设),,(t y x f 是图像像素点),(y x 在t 时刻的亮度。假设t+1时刻，此像素点运动到)1,,(+++t v y u x f ，且亮度保持不变。 则有： )1,,(),,(+++=t v y u x f t y x f 对上式Taylor 展开并忽略二阶及其高阶分量有： 0=??+??+??t f v y f u x f 其中，u 、v 是二维光流水平与垂直分量，f 为灰度图像。在此基础上假设图像又具有连续 性和平滑性，加入平滑权重因子α建立光流数学模型 dxdy f vf uf v u E t y x HS )||)((),(22ωα?+++= ?? Ω 其中，222||||||v u ?+?=?ω。上述模型是一种全局光流方法（H-S 方法），该方法也最终成为了变分方法的理论基础。尽管这种算法可以得到稠密的光流场，但对噪声的鲁棒性很差。 同样是1981年，Lucas 和Kanade[8]利用图像的空间强度梯度，使用牛顿-拉夫逊迭代法提出了一种图像配准技术——局部光流方法（L-K 方法），其模型为 2)(*),(t y x LK f vf uf K v u E ++=ρ 其中，ρK 是以ρ为标准差的Gaussian 函数。L-K 方法使得光流在噪声情况下具有很好的鲁 棒性，但也只是得到稀疏的光流场。 Bruhn 等人结合了H-S 方法和L-K 方法的优缺点提出了CLG 光流模型[7]:

原始-对偶算法

18.433 组合最优化 原始－对偶算法 October 28 授课教师：Santosh Vempala 在这一讲中，我们介绍互补松弛性条件并利用它们得到求解线性规划的原始－对偶方法。 1 互补松弛性 由前面的强对偶定理我们已经知道，下面两个线性规划都有可行解时其最优值是相等的，即 利用上面的结论，我们可以验证原始和/或其对偶问提解的最优性。 定理1. 设和分别是(P)和(D)的可行解，那么和是最优解当且仅当下面的条件成立： 证明：首先，由于和是可行解，故且 对下标和做加和，可得 把上面两式相加并利用强对偶定理，可得， 因此，不等式(1)和(2)一定为等式。故结论得证。□2 原始－对偶算法 定理1主要蕴含的结论是：如果和是可行解且满足互补松弛性条件，则他们是最优解。 这个结论产生了原始－对偶算法和出发，使之越来越满足互补松弛性

条件。 方便起见，我们考虑如下原始和对偶规划： 在这种形式下，互补松弛性条件可简化为： 原始－对偶算法步骤如下： 1、从(D)的一个可行解开始。在多数情况下得到这样的一个可行解要比求解线性 规划简单得多。 令 现在我们需要利用(3)得到(P)的一个可行解满足问题是有没有 一个满足这种性质的可行解。 2、写出限定原始规划(RP)如下： 事实上，(RP)的可行解即满足上述提到的性质(3)。这里，变量为人工变量。 如果为0，那么即为(P)的最优解。 3、如果，那么和是最优的。否则，这时我们写 出(RP)的对偶形式，称为(DRP)，并求其解 4、令来改进（D）的解，其中的取值需满足是可行的，而且 由可行性可知，对有 又因为任意均有

所以当时可取任意正数。故取 则满足且是可行的。 又因为且， 注意，在上面的原始－对偶算法中，求解(DRP)通常要比求解(P)或(D)简单。实际上，在这种方法中，(P)和(RP)都是临时规划，我们真正想解的是(D)。为此，我们先解出(DRP)再用这个解来反复改进。 2.1 实例 考虑下面形式的最大流问题： 值得一提的是，在初始的最大流问题中，前三组约束为等式。但是我们将这三组不等式相加，得到0<=0，这些不等式的弱集蕴涵着等式。我们把上述表示形式作为(D)，取为零向量即 可得到它的一个可行解。现在我们直接给出(DRP):

机器学习10大经典算法

1、C4.5 机器学习中，决策树是一个预测模型；他代表的是对象属性与对象值之间的一种映射关系。树中每个节点表示某个对象，而每个分叉路径则代表的某个可能的属性值，而每个叶结点则对应从根节点到该叶节点所经历的路径所表示的对象的值。决策树仅有单一输出，若欲有复数输出，可以建立独立的决策树以处理不同输出。 从数据产生决策树的机器学习技术叫做决策树学习, 通俗说就是决策树。 决策树学习也是数据挖掘中一个普通的方法。在这里，每个决策树都表述了一种树型结构，他由他的分支来对该类型的对象依靠属性进行分类。每个决策树可以依靠对源数据库的分割进行数据测试。这个过程可以递归式的对树进行修剪。当不能再进行分割或一个单独的类可以被应用于某一分支时，递归过程就完成了。另外，随机森林分类器将许多决策树结合起来以提升分类的正确率。 决策树同时也可以依靠计算条件概率来构造。决策树如果依靠数学的计算方法可以取得更加理想的效果。 决策树是如何工作的 决策树一般都是自上而下的来生成的。 选择分割的方法有好几种，但是目的都是一致的：对目标类尝试进行最佳的分割。 从根到叶子节点都有一条路径，这条路径就是一条“规则”。 决策树可以是二叉的，也可以是多叉的。 对每个节点的衡量： 1) 通过该节点的记录数 2) 如果是叶子节点的话，分类的路径 3) 对叶子节点正确分类的比例。 有些规则的效果可以比其他的一些规则要好。 由于ID3算法在实际应用中存在一些问题，于是Quilan提出了C4.5算法，严格上说C4.5只能是ID3的一个改进算法。相信大家对ID3算法都很.熟悉了，这里就不做介绍。 C4.5算法继承了ID3算法的优点，并在以下几方面对ID3算法进行了改进： 1) 用信息增益率来选择属性，克服了用信息增益选择属性时偏向选择取值多的属性的不足； 2) 在树构造过程中进行剪枝； 3) 能够完成对连续属性的离散化处理； 4) 能够对不完整数据进行处理。 C4.5算法有如下优点：产生的分类规则易于理解，准确率较高。其缺点是：在构造树的过程中，需要对数据集进行多次的顺序扫描和排序，因而导致算法的低效。此外，C4.5只适合于能够驻留于内存的数据集，当训练集大得无法在内存容纳时程序无法运行。 来自搜索的其他内容： C4.5算法是机器学习算法中的一种分类决策树算法,其核心算法是ID3算法. 分类决策树算法是从大量事例中进行提取分类规则的自上而下的决策树. 决策树的各部分是: 根: 学习的事例集. 枝: 分类的判定条件. 叶: 分好的各个类. §4.3.2 ID3算法 1.概念提取算法CLS 1) 初始化参数C={E},E包括所有的例子,为根.