The Primal-Dual Algorithm(原始对偶优化算法)

遗传算法合集

遗传算法合集 遗传算法简介 遗传算法是一类模拟生物进化的智能优化算法，它是由J.H.Holland于六十年代提出的。目前，遗传算法已成为进化计算研究的一个重要分支。 与传统优化方法相比，遗传算法的优点是： ·群体搜索 ·不需要目标函数的导数 ·概率转移准则 遗传算法研究热点 ·收敛性证明 ·新型高效的遗传算子设计 ·遗传算法与局部优化算法的结合 ·遗传算法在各领域的应用研究 ·软计算与计算智能中的遗传算法 遗传算法著作 1.陈国良等，遗传算法及其应用，国防出版社 2.J.H.Holland,Adaptation in Natural and Artificial Systems, Ann Arbor: Univ. of Michigan Press, 1975 3.D.E.Goldberg,Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989 4.L.D.Davis, Handbook of Genetic Algorithms, Van Nostrand Reinhold 5.Z.Michalewicz, Genetic Algorithms + Data Structures=Evolution Programs, Spinger

Press,1996 6.M.Gen,R.Cheng,Genetic Algorithms & Engineering Design, 1997 7.Wiely,Genetic Algorithms in Engineering and Computer Science,1995 8.M.Mitchell,An Introducion to Genetic Algorithms,1996 9.Davis,Genetic Algorithms and Simulated Annealing,1987 10.Davidor,Genetic Algorithms and Robotics,1991 11.Koza,Genetic Programming,1992 12.Bauer,Genetic Algorithms and Investiment Strategies,1994 遗传算法站点 1.The Genetic Algorithms Archive https://www.wendangku.net/doc/6d6100972.html,/galist/ 2.Genetic Adaptive Systems LAB (GASLAB) GASLAB is hosted by the Computer Science Department of the University of Nevada-Reno. https://www.wendangku.net/doc/6d6100972.html,/~sushil/papers/conference/conf.html https://www.wendangku.net/doc/6d6100972.html,/ 3.http://www.mat.sbg.ac.at/~uhl/GA.html 4.https://www.wendangku.net/doc/6d6100972.html,/research/gag/ email:kdejong@https://www.wendangku.net/doc/6d6100972.html, publications: (downloading website) https://www.wendangku.net/doc/6d6100972.html,/research/gas/pubs.html 5.Illinois Genetic Algorithms Laboratory Prof. David E. Goldberg, Director https://www.wendangku.net/doc/6d6100972.html,./illigal.home.html 6.Michigan State University Genetic Algorithms Research and Applications Group (GARAGE) Bill Punch (punch@https://www.wendangku.net/doc/6d6100972.html,,517-353-3541) Erik Goodman (goodman@https://www.wendangku.net/doc/6d6100972.html,,517-355-6453) https://www.wendangku.net/doc/6d6100972.html,/

线性规划的对偶原理

线性规划的对偶原理 3.1 线性规划的对偶问题 一、 对偶问题的提出 换位思考 家具厂的线性规划问题，该问题站在家具厂管理者的角度追求销售收入最大 213050max x x z += ?? ? ??≥≤+≤+0 ,50212034212121x x x x x x 某企业家有一批待加工的订单，有意利用该家具厂的木工和油漆工资源来加工他的产品。他 需要与家具厂谈判付给该厂每个工时的价格。如果该企业家已对家具厂的经营情况有详细了 解，他可以构造一个数学模型来研究如何才能既让家具厂觉得有利可图，肯把资源出租给他， 又使自己付的租金最少。 目标:租金最少；1y -付给木工工时的租金；2y -付给油漆工工时的租金 2150120min y y w += 所付租金应不低于家具厂利用这些资源所能得到的利益 1）支付相当于生产一个桌子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个桌子的收 入 502421≥+y y 2）支付相当于生产一个椅子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个椅子的收 入 30321≥+y y 3）付给每种工时的租金应不小于零 0,021≥≥y y 二、 原问题与对偶问题的数学模型 1. 对称形式的对偶

原问题和对偶问题只含有不等式约束时，一对对偶问题的模型是对称的，称为对称形式的对偶。 原问题： ?? ? ??≥≥=0min X b AX CX z 对偶问题： ?? ? ??≥≤=0max Y C YA Yb w 2. 非对称形式的对偶 若原问题的约束条件全部是等式约束（即线性规划的标准型），即 ?? ? ??≥==0min X b AX CX z 则其对偶问题的数学模型为 ?? ? ??≤=是自由变量Y C YA Yb w max 可把原问题写成其等价的对称形式： min z =CX AX ≥b AX ≤b X ≥0 即 min z =CX ? ? ????-A A X ≥??????-b b X ≥0 设Y 1=(y 1,y 2,…,y m ), Y 2=(y m+1,y m+2,…,y 2m )。根据对称形式的对偶模型，写出上述问题的对偶问题：

线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用

线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用 摘要 线性规划对偶问题是运筹学中应用较广泛的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.线性规划对偶问题能从不同角度为管理者提供更多的科学理论依据，使管理者的决定更加合理准确.本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间的关系、线性规划原问题与对偶问题的转化以及对偶理论的应用.本文的研究主要是将复杂的线性规划原问题转化成对偶问题进行解决，简化了线性规划问题，使人们能够快速的找出线性规划问题的最优解. 关键词：线性规划；原问题；对偶问题；转化LinearProgrammingistheOriginalProblemandtheTransformationoftheDu alProblemandApplications Abstract:Linearprogramminginoperationalresearchisresearchearlier,rapiddevelopmentandw ideapplication,themethodisanimportantbranchofmature,itisoneofthescientificmanagementofa uxiliarypeoplemathematicalmethod.Canfromdifferentanglestolinearprogrammingdualproble mforpolicymakerstoprovidemorescientifictheorybasis.Thisarticlemainlyprobesintothelinearp rogrammingproblemandtherelationshipbetweenthedualproblem,linearprogrammingproblem andthetransformationofthedualproblem,theapplicationoflinearprogrammingdualproblem.Thi sarticleisthecomplexoftheoriginalproblemintoitsdualproblemtobesolved,simplifiesthelinearp rogrammingproblem,enablesustorapidlyfindtheoptimalsolutionoflinearprogrammingproble m. Keywords:linearprogramming;theoriginalproblem;thedualproblem;conversion 目录

04-第三章 线性规划及其原始-对偶算法-1(第3次课)

第三章 线性规划及其原始－对偶算法（I ） 3.1 线性规划问题的历史 线性规划问题最早是由G .B.Dantzig 在1947年以前设想出来的。他当时作为联邦空军审计员的一名数学顾问，需要开发一个数学规划的工具，用于制定布置、训练、后勤保障的方案。 由于这项工作，他于1948年出版了《线性结构的规划》一书。 1948年夏天：T.C. Koopmans&G .B.Dantzig 提出了“线性规划”的名称； 1949年：G .B.Dantzig 提出了单纯形方法。 在此之前：Fourier, W.Karush, L.V . Kantorovich 等人的工作都曾涉及到线性规划的有关工作。 1950－1960：线性规划的理论得到了进一步的发展； 1975年：L.V . Kantorovich 和T.C. Koopmans 获得诺贝尔经济奖－对资源最优分配理论的贡献； 1979年：L.G .. Khanchian 的椭球算法； 1984年：N. Karmarkar 的投影尺度算法。 3.2 线性规划问题的几何解释 一、线性规划问题的标准型 min ..0 c x Ax b s t x Τ=?? ≥? (LP) 其中,,,n n m m n x R c R b R A R ×∈∈∈∈。 另外，总假设： 的元素都为整数，rank 0.b ≥),,(c b A m A =)(记： 可行域： {:,n P x R Ax b x =∈=≥0}}最优解集： *{:(LP)P x P x =∈是的最优解为了深入理解线性规划的目标函数和约束条件，我们首先介绍一些基本的概念。 二、平面、半空间、多面体

5.1 几个重要算法的计算复杂度讨论

第五章 组合优化问题的有效算法 5.1 几个重要算法的计算复杂度讨论 一、线性规划问题的单纯形算法不是多项式时间算法 Klee 和Minty 1972给出了第一这样的例子。 首先要有一个有界多面体，它有指数个顶点。例如，一个立方体： 3,2,1,10=≤≤j x j 有23＝8个顶点。 d －维立方体： d j x j ,,2,1,10L =≤≤ 有d 2个顶点。每一个顶点对应于},,,{21d x x x L 的一个子集，使得该子集中的元素等于1，其余为0。

对于2 1 0< <ε，构造立方体： d j x x x x j j j ,,3,2,1,1, 1111L =?≤≤≤≤??εεε 这个有界多面体是d －维立方体的一个摄动，当0→ε时，它趋于d －维立方体。 为了把上述有界多面体化为标准形式，引进d 个松弛变量： d s s s ,,,21L 和d 个剩余变量： d r r r ,,,21L 因此，有d m 2=个方程，d n 3=个变量，最大化d x ，就构造出如下的线性规划问题： 对于2 1 0<<ε，在d 维空间中构造d 2个约束方程，d 3个变量的线性规划问题： 1x 0x 7 x

d j s r x d j s x x r x x s x r x x j j j j j j j j j d ,,2,1, 0,,,,3,2101min 111111L L =≥==++=??=+=????εεε (LP) 定理5.1 对于每个1>d ，存在线性规划问题，它有d 2个约束方程，d 3个变量，并且它的系数的绝对值为不超过4的整数。当用单纯形算法解这个线性规划问题时，其迭代步数可以为12?d 步。 对单纯形算法的进一步讨论： 1．单纯形算法的变形可以改变选入或退出规则（转轴规则）以避免经过每一个 顶点。但是，对于不同的变形的算法，可以找到不同的反例。这使得我们相信单纯形算法及其变形都不是多项式算法。 2．这种怀的例子在真实问题中很少发生。过去几十年的观察表明，对于中等规 模的实际问题，单纯形算法需要m 4至m 6的迭代步数来完成两阶段的计算。据推测，当n 相对于m 来说较大时，迭代次数预计为m α，其中 ????? ? +

机组组合问题的优化方法综述2

机组组合问题的优化方法综述 陈皓勇　王锡凡 (西安交通大学电力工程系　710049　西安) 1998205215收稿。 国家教委博士点基金资助项目。 (上接本刊1999年第4期第56页) 5　拉格朗日松弛法 电力系统是一个非常典型的大系统,是大系统优化和控制理论的一个重要应用领域[42]。大系统的分解协调思想最早见于D an tzig 和W o lfe 对于线性规划问题的分解[43],而用于机组组合问题的主要是拉格朗日松弛(L agrangian relaxati on )法[44～47],该方法产生于70年代,是解决复杂整数和组合优化问题的一类优化算法,它建立在下述思想的基础上:许多困难的整数规划问题可看成是由一些边界约束条件联系在一起的一系列相对容易的子问题组成,利用这个特点,把约束条件被破坏的量和它们各自的对偶变量的乘积加在目标函数上作为惩罚项,形成拉格朗日问题。拉格朗日问题相对容易解决,对于最大(小)化问题,它的优化值是原问题优化值的上(下)界,因此在分支定界法中,它能够取代线性规划法以提供下界。 下面以最大化问题为例来说明这种方法: Z =m ax X {c T X AX ≤b , D X ≤e ,X ≥0且是整数向量} 其中　X 是n 维向量;b ,c ,e 分别为m 维、n 维、k 维向 量;A ,D 分别为m ×n ,k ×n 的矩阵。 假设问题的约束条件可以分为两组,即AX ≤b 和D X ≤e ,并且如果去掉约束AX ≤b ,问题会变得相对容易解决。因此可以构造拉格朗日问题: Z D (u )=m ax X {c T X +u T (b -AX ) D X ≤e , X ≥0且是整数向量} 对偶变量u 的值应该通过解对偶问题Z D =m in u {Z D (u ) u ≥0}来得到。由于Z D (u )对u 是不可 微的,通常用次梯度法来求解,从初始点u 0开始,应用公式u k +1=m ax{0,u k -t k (b -AX k )}迭代求解。其中t k 是标量步长,X k 是第k 步拉格朗日问题的优化解。 拉格朗日松弛法在机组组合问题中应用时,把 所有的约束分成两类,一类是全系统的约束,即文章第1部分模型中的P (X ),一类是可以按单台机组分解的约束,如模型中的R (X ,Z ),M (X ,Z ),U (Z ),P (X )可以写成惩罚项的形式,加入目标函数,形成拉格朗日函数,拉格朗日函数可按单台机组分解成一系列的子问题,子问题一般用动态规划法求解,对偶问题一般用次梯度法[48]求解。 拉格朗日松弛法在机组组合问题中的应用研究始于70年代,80年代逐渐推广,90年代成为主流,有大量的理论和应用成果。早期的应用多结合分支定界法,但在后来的应用中发现分支定界的框架是可以完全抛弃的,直接解对偶问题并结合一些启发式的调整策略即能得出原问题的最优解或次优解。在后来的研究中发现,为解决由于线性费用函数造成的解的振荡问题,需要在目标函数中加入二次惩罚项,采用辅助问题原理(aux iliary p rob lem p rinci p le )和增广拉格朗日法(augm en ted L agrangian )来解决 [49～51] 。文献[52,53]以分支定界法为框架,应用对偶方法求分支定界树各节点的下界,使用近似罚函数法,不但能解对偶问题,而且能为构造原问题的近似优化解提供有用的信息。文献[53]论证了对偶间隙(duality gap ,即原问题的优化值和对偶问题优化值之间的差值)相对值随着机组数增加而减少。由于对偶法提供了主问题紧的下界和构造优化可行解的有用信息,只需检查一个节点,甚至可以完全放弃分支定界框架。随着机组数增加,计算量线性增长。文献[54]直接应用拉格朗日松弛法求解机组组合和水火电负荷经济分配的问题,用次梯度法优化拉格朗日乘子,用动态规划法求解单台热力机组的开停机问题,用罚函数法求解凸水电优化控制问题,用文献[52,53]的方法从对偶问题的解构造原问题的可行解。 文献[55]提出的方法,不用分支定界的框架,而是直接从对偶问题的解构造原问题的解。该方法利用了电力系统的如下特点:若所有投入运行的机组能满足系统的旋转备用要求,则系统的功率一定能够平衡。因此使用特殊的算法来选择拉格朗日乘子,保证在迭代的过程中旋转备用能够满足要求。文献[56]使用拉格朗日松弛法进行分解,用连续逼近 1 51999年3月 电　力　系　统　自　动　化 A utom ati on of E lectric Pow er System s 第23卷　第5期

基于对偶方法的变分光流改进算法

基于对偶方法的变分光流改进算法 陈兵 重庆理工大学 摘要： 光流模型一：CLG 模型+（灰度守恒假设+梯度守恒假设）+非二次惩罚+SOR ．．． = ),(v u 光流模型二：CLG 模型+（灰度守恒假设+Laplacian 守恒假设）+非二次惩罚+SOR ．．．= ),(''v u 最终光流：对偶迭代),(v u 与),(''v u 理论依据： 光流三要素：光流产生速度场；是一种携带信息并具有光学特性的载体，如像素等；是三维场景运动对二维平面的投影成像。是带有灰度的像素点在图像平面上的运动而产生的瞬时速度场。 1. CLG 光流模型 1981年，Horn 和Schunck[5]假设两帧图像时间间距很小，图像中某点亮度与物体上对应点处的表面的反射率成比例并假设反射率平滑变化没有空间不连续。在排除对象彼此遮挡的情况下提出了光流算法的经典模型。 设),,(t y x f 是图像像素点),(y x 在t 时刻的亮度。假设t+1时刻，此像素点运动到)1,,(+++t v y u x f ，且亮度保持不变。 则有： )1,,(),,(+++=t v y u x f t y x f 对上式Taylor 展开并忽略二阶及其高阶分量有： 0=??+??+??t f v y f u x f 其中，u 、v 是二维光流水平与垂直分量，f 为灰度图像。在此基础上假设图像又具有连续 性和平滑性，加入平滑权重因子α建立光流数学模型 dxdy f vf uf v u E t y x HS )||)((),(22ωα?+++= ?? Ω 其中，222||||||v u ?+?=?ω。上述模型是一种全局光流方法（H-S 方法），该方法也最终成为了变分方法的理论基础。尽管这种算法可以得到稠密的光流场，但对噪声的鲁棒性很差。 同样是1981年，Lucas 和Kanade[8]利用图像的空间强度梯度，使用牛顿-拉夫逊迭代法提出了一种图像配准技术——局部光流方法（L-K 方法），其模型为 2)(*),(t y x LK f vf uf K v u E ++=ρ 其中，ρK 是以ρ为标准差的Gaussian 函数。L-K 方法使得光流在噪声情况下具有很好的鲁 棒性，但也只是得到稀疏的光流场。 Bruhn 等人结合了H-S 方法和L-K 方法的优缺点提出了CLG 光流模型[7]:

原始-对偶算法

18.433 组合最优化 原始－对偶算法 October 28 授课教师：Santosh Vempala 在这一讲中，我们介绍互补松弛性条件并利用它们得到求解线性规划的原始－对偶方法。 1 互补松弛性 由前面的强对偶定理我们已经知道，下面两个线性规划都有可行解时其最优值是相等的，即 利用上面的结论，我们可以验证原始和/或其对偶问提解的最优性。 定理1. 设和分别是(P)和(D)的可行解，那么和是最优解当且仅当下面的条件成立： 证明：首先，由于和是可行解，故且 对下标和做加和，可得 把上面两式相加并利用强对偶定理，可得， 因此，不等式(1)和(2)一定为等式。故结论得证。□2 原始－对偶算法 定理1主要蕴含的结论是：如果和是可行解且满足互补松弛性条件，则他们是最优解。 这个结论产生了原始－对偶算法和出发，使之越来越满足互补松弛性

条件。 方便起见，我们考虑如下原始和对偶规划： 在这种形式下，互补松弛性条件可简化为： 原始－对偶算法步骤如下： 1、从(D)的一个可行解开始。在多数情况下得到这样的一个可行解要比求解线性 规划简单得多。 令 现在我们需要利用(3)得到(P)的一个可行解满足问题是有没有 一个满足这种性质的可行解。 2、写出限定原始规划(RP)如下： 事实上，(RP)的可行解即满足上述提到的性质(3)。这里，变量为人工变量。 如果为0，那么即为(P)的最优解。 3、如果，那么和是最优的。否则，这时我们写 出(RP)的对偶形式，称为(DRP)，并求其解 4、令来改进（D）的解，其中的取值需满足是可行的，而且 由可行性可知，对有 又因为任意均有

所以当时可取任意正数。故取 则满足且是可行的。 又因为且， 注意，在上面的原始－对偶算法中，求解(DRP)通常要比求解(P)或(D)简单。实际上，在这种方法中，(P)和(RP)都是临时规划，我们真正想解的是(D)。为此，我们先解出(DRP)再用这个解来反复改进。 2.1 实例 考虑下面形式的最大流问题： 值得一提的是，在初始的最大流问题中，前三组约束为等式。但是我们将这三组不等式相加，得到0<=0，这些不等式的弱集蕴涵着等式。我们把上述表示形式作为(D)，取为零向量即 可得到它的一个可行解。现在我们直接给出(DRP):

机器学习10大经典算法

1、C4.5 机器学习中，决策树是一个预测模型；他代表的是对象属性与对象值之间的一种映射关系。树中每个节点表示某个对象，而每个分叉路径则代表的某个可能的属性值，而每个叶结点则对应从根节点到该叶节点所经历的路径所表示的对象的值。决策树仅有单一输出，若欲有复数输出，可以建立独立的决策树以处理不同输出。 从数据产生决策树的机器学习技术叫做决策树学习, 通俗说就是决策树。 决策树学习也是数据挖掘中一个普通的方法。在这里，每个决策树都表述了一种树型结构，他由他的分支来对该类型的对象依靠属性进行分类。每个决策树可以依靠对源数据库的分割进行数据测试。这个过程可以递归式的对树进行修剪。当不能再进行分割或一个单独的类可以被应用于某一分支时，递归过程就完成了。另外，随机森林分类器将许多决策树结合起来以提升分类的正确率。 决策树同时也可以依靠计算条件概率来构造。决策树如果依靠数学的计算方法可以取得更加理想的效果。 决策树是如何工作的 决策树一般都是自上而下的来生成的。 选择分割的方法有好几种，但是目的都是一致的：对目标类尝试进行最佳的分割。 从根到叶子节点都有一条路径，这条路径就是一条“规则”。 决策树可以是二叉的，也可以是多叉的。 对每个节点的衡量： 1) 通过该节点的记录数 2) 如果是叶子节点的话，分类的路径 3) 对叶子节点正确分类的比例。 有些规则的效果可以比其他的一些规则要好。 由于ID3算法在实际应用中存在一些问题，于是Quilan提出了C4.5算法，严格上说C4.5只能是ID3的一个改进算法。相信大家对ID3算法都很.熟悉了，这里就不做介绍。 C4.5算法继承了ID3算法的优点，并在以下几方面对ID3算法进行了改进： 1) 用信息增益率来选择属性，克服了用信息增益选择属性时偏向选择取值多的属性的不足； 2) 在树构造过程中进行剪枝； 3) 能够完成对连续属性的离散化处理； 4) 能够对不完整数据进行处理。 C4.5算法有如下优点：产生的分类规则易于理解，准确率较高。其缺点是：在构造树的过程中，需要对数据集进行多次的顺序扫描和排序，因而导致算法的低效。此外，C4.5只适合于能够驻留于内存的数据集，当训练集大得无法在内存容纳时程序无法运行。 来自搜索的其他内容： C4.5算法是机器学习算法中的一种分类决策树算法,其核心算法是ID3算法. 分类决策树算法是从大量事例中进行提取分类规则的自上而下的决策树. 决策树的各部分是: 根: 学习的事例集. 枝: 分类的判定条件. 叶: 分好的各个类. §4.3.2 ID3算法 1.概念提取算法CLS 1) 初始化参数C={E},E包括所有的例子,为根.

最优化方法练习题(答案)

练习题一 1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。 2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。 答：针对一般优化模型()()min () .. 0,1,2, 0,1, ,i j f x s t g x i m h x j p ≥===，讨论解的可行域D ，若存在一点*X D ∈，对于X D ?∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)() ,, ,K X X X ，满足(1)()()()K K f X f X +≤， 则迭代法收敛；收敛的停止准则有(1)()k k x x ε+-<， (1)() () k k k x x x ε+-<， ()()(1)()k k f x f x ε+-<， ()()() (1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε?<等等。 练习题二 1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R 2、和R 3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。 解：确定决策变量 对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。 确定目标函数 问题的目标很清楚——“收购价最小”。 确定约束条件 资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。 因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++ 123123123 5210 ..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥??++≥??≥? *2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。 答：略。

运筹学_第2章_对偶理论习题

第二章线性规划的对偶理论 2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题 max z=2x1+2x2－4x3 x1 + 3x2 + 3x3 ≤30 4x1 + 2x2 + 4x3≤80 x1、x2，x3≥0 解：其对偶问题为 min w=30y1+ 80y2 y1+ 4y2≥2 3y1 + 2y2 ≥2 3y1 + 4y2≥－4 y1、y2≥0 2.2 写出下列线性规划问题的对偶问题 min z=2x1+8x2－4x3 x1 + 3x2－3x3 ≥30 －x1 + 5x2 + 4x3 = 80 4x1 + 2x2－4x3≤50 x1≤0、x2≥0，x3无限制 解：其对偶问题为 max w=30y1+80 y2+50 y3 y1－y2 + 4 y3≥2 3y1+5y2 + 2y3≤8 －3y1 + 4y2－4y3 =－4 y1≥0，y2无限制，y3≤0 2.3已知线性规划问题 max z=x1+2x2+3x3+4x4 x1 + 2x2 + 2x3 +3x4≤20 2x1 + x2 + 3x3 +2x4≤20 x1、x2，x3，x4≥0 其对偶问题的最优解为y1*=6/5，y2*=1/5。试用互补松弛定理求该线性规划问题的最优解。 解：其对偶问题为

min w=20y1+ 20y2 y1 + 2y2≥1 （1） 2y1 + y2 ≥2 （2） 2y1 +3y2≥3 （3） 3y1 +2y2≥4 （4） y1、y2≥0 将y1*=6/5，y2*=1/5代入上述约束条件，得（1）、（2）为严格不等式；由互补松弛定理可以推得x1*=0，x2*=0。又因y1*>0，y2*>0，故原问题的两个约束条件应取等式，所以 2x3*+3x4* = 20 3x3* +2x4* = 20 解得x3* = x4* = 4。故原问题的最优解为 X*=（0，0，4，4）T 2.4用对偶单纯形法求解下列线性规划 min z=4x1+2x2+6x3 2x1 +4x2 +8x3 ≥24 4x1 + x2 + 4x3≥8 x1、x2，x3≥0 解将问题改写成如下形式 max（－z）=－4x1－2x2－6x3 －2x1－4x2 －8x3 + x4=－24 －4x1－x2－4x3+x5 =－8 x1、x2，x3，x4，x5≥0 显然，p4、p5可以构成现成的单位基，此时，非基变量在目标函数中的系数全为负数，因此p4、p5构成的就是初始正侧基。整个问题的计算过程列在表2—7中。

线性规划的对偶问题

线性规划的对偶问题文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

第二章线性规划的对偶问题 习题 2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题 (1) max z ＝10x1＋ x2＋2x3 (2) max z ＝2x1＋ x2＋3x3＋ x4 st. x1＋ x2＋2 x3≤10 st. x1＋ x2＋ x3 ＋ x4≤5 4x1＋ x2＋ x3≤20 2x1－ x2＋3x3＝－4 x j≥0 （j＝1,2,3） x1－ x3＋ x4≥1 x1，x3≥0，x2，x4无约束 (3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4 (4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3 st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15 x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤20 2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝ x1－ x2－ x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束 x1≤0， x2≥0，x3无约束 2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化： （1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）； （2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）； （4）模型中全部x1用3 'x代换。 1 2.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4 st. x1＋2x2＋ x4≥3 3x1＋ x2＋ x3＋ x4≥6

x3 ＋ x4＝2 x1 ＋ x3 ≥2 x j≥0（j＝1,2,3,4） (1) 写出其对偶问题； (2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量 st. 2x1 ＋x3＋ x4≤8 y1 2x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2 x j≥0（j＝1,2,3,4） 其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。 2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3 st. 3x1＋4 x2＋2x3≤60 2x1＋ x2＋2x3≤40 x1＋3x2＋2x3≤80 x j≥0 （j＝1,2,3） （1）写出其对偶问题 （2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解； （3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解； （4）比较（2）和（3）计算结果。

用对偶单纯形法求对偶问题的最优解

用对偶单纯形法求对偶问题的最优解 摘要：在线性规划的应用中，人们发现一个线性规划问题往往伴随着与之配对的另一个线性规划问题.将其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题.对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题的内在联系.由对偶问题引申出来的对偶解有着重要的经济意义.本文主要介绍了对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求解对偶问题的最优解. 关键词：线性规划；对偶问题；对偶单纯形 Using Dual Simplex Method To Get The Optimal Solution Of The Dual Problem Abstract：In the application of the linear programming，people find that a linear programming problem is often accompanied by another paired linear programming problem.One is called original problem. Another is called the dual problem. Duality theory reveals the internal relations between the dual problem and the original problem. The solution of the dual problem is of a great economic significance. In this paper，we mainly discuss the basic form of the dual problem and how to use dual simplex method to get the optimal solution of the dual problem. Key words: linear programming；dual problem；dual simplex method 1 引言 首先我们先引出什么是线性规划中的对偶问题.任何一个求极大化的线性规划问题都有一个求极小化的线性规划问题与之对应，反之亦然，如果我们把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题，并称这一对互相联系的两个问题为一对对偶问题.每个线性规划都有另一个线性规划(对偶问题)与它密切相关，对偶理论揭示了原问题与对偶问题的内在联系.下面将讨论线性规划的对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求最优解.在一定条件下，对偶单纯形法与原始单纯形法相比有着显著的优点. 2 对偶问题的形式 对偶问题的形式主要包括对称形对偶问题[]3和非对称性对偶问题. 2.1对称形对偶问题 设原线性规划问题为 Max 1122... n n Z c x c x c x =+++

线性规划的对偶问题

第二章线性规划的对偶问题 习题 2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题 (1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4 st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤5 4x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4 x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1 x1，x3≥0，x2，x4无约束 (3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3 st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15 x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤20 2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束 2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化： （1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）； （2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上； （3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）； 'x代换。 （4）模型中全部x1用3 1 2.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4 st. x1＋2x2＋x4≥3 3x1＋x2＋x3＋x4≥6 x3 ＋x4＝2 x1 ＋x3 ≥2 x j≥0（j＝1,2,3,4） (1) 写出其对偶问题； (2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量 st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y1 2x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2 x j≥0（j＝1,2,3,4） 其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。 ４７

组合优化问题简介

在管理科学、计算机科学、分子物理学和生物学以及超大规模集成电路(VLSI)设计、代码设计、图象处理和电子工程等科技领域中，存在着大量组合优化问题。其中许多问题如货郎担问题、图着色问题、设备布局问题以及布线问题等，至今没有找到有效的多项式时间算法。这些问题巳被证明是NP 完全问题[1]。 用最优算法如线性规划求NP 完全间题的最优解，需要问题规模的指数阶时间，在问题规模增大时，往往由于计算时间的限制而丧失可行性。用近似算法如贪心法求解NP 完全问题，在多项式界的时间里，只能给出近似最优解。 本章介绍组合优化问题和计算复杂性理论的基本概念，并结合几个组合优化的NP 完全问题实例，介绍其近似算法。最后，在引人邻域结构概念的基础上，介绍一种通用的近似算法—局部搜索算法。 §1组合优化问题 组合优化问题的目标是从组合问题的可行解集中求出最优解。本书研究那些可以用数学语言精确描述的组合优化问题，并假定其可行解集是有限的或可数无限的，同时解的质量可以量化，因而可以比较不同解间的质量差异。 1.1组合优化问题的基本概念 优化问题有三个基本要素:变量、约束和目标函数。在求解过程中选定的基本参数称为变量，对变量取值的种种限制称为约束，表示可行方案衡量标准的函数称为目标函数。 货郎担问题(TSP)是组合优化中最为著名的问题，它易于陈述而难于求解。自1932年K. Menger 提出以来，已引起许多数学家的兴趣，但至今尚未找到有效的求解方法。由于货郎担问题综合了一大类组合优化问题的典型特征，下面以它为例说明组合优化间题的基本概念。 例1.1货郎担问题(TSP) 给定n 个城市和每两个城市间的距离。一个货郎自某一城市出发巡回售货，问这个货郎应该如何选择路线，使每个城市经过一次且仅一次，并且路径长度最短。 设[]ij D d =是距离矩阵，其元素ij d 表示城市j i ,间的距离。则对变量D 的约束是： (1)每个元素是非负整数，即 0,0,ij d i j n ≥≤≤; (2)对角线上的元素为0，即 0,0ii d i n =≤≤; (3)是对称矩阵，即 ,0,ji ij d d i j n =≤≤; (4)任愈三个元素满足三角不等式，即 ,0,,i j j k i k d d d i j k n +≥≤≤; TSP 的一个解可表述为一个循环排列()12,,n ππππ= ，它也可表示为 1231n πππππ→→→→→ . 的一条路径，()1i i n π≤≤是该路径中第i 个经过的城市。显然，满足i j ππ≠，若i j ≠的解才是可行解。所有可行解的集合构成解空间S ，即S={n 个城市的所有循环排列},解空间的规模为()1! 2 n S -=。路径长 度 ()1 ,1 i i n i f d πππ +==∑（约定11n ππ+=） 是货郎担问题的目标函数。TSP 的目标是使路径长度最短，即使目标函数()f π最小。 下面给出组合优化问题的定义。 定义1.1 组合优化问题是在给定的约束条件下，求目标函数最优值(最小值或最大值)的问题。组合优化问题的一个实例可以表示为一个对偶(S, f )，其中解空间S 为可行解集，目标函数f 是一个映射，定义为 :f S R →. 求目标函数最小值的问题称为最小化向题，记为 () m i n ,f i i S ∈； （1.1.1） 求目标函数最大值的同题称为最大化间题，记为

运筹学与最优化方法习题集

一．单纯性法 1.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 12212 1212max 25156224 ..5,0 z x x x x x s t x x x x =+≤??+≤?? +≤??≥? 2.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 12121212 max 2322 ..2210,0z x x x x s t x x x x =+-≥-?? +≤??≥? 3.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 1234123412341234max 24564282 ..2341,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+≤?? -+++≤??≥? 4.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 123123123 123123max 2360210 ..20,,0 z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤??-+≤?? +-≤??≥? 5.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 12312312123 max 224..26,,0z x x x x x x s t x x x x x =-++++≤??+≤??≥? 6.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 121212max 105349 ..528z x x x x s t x x =++≤?? +≤?

7.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 16 分） 12121212max 254212..3218,0z x x x x s t x x x x =+≤? ?≤?? +≤??≥?

第二章线性规划的对偶理论

2.1 写出线性规划问题的对偶问题，并进一步写出其对偶问题的对偶问题 (a) min z=2x1+2x2+4x3(b) max z=5x1+6x2+3x3 s.t. x1+3x2+4x3≥2 s.t. x1+2x2+2x3=5 2x1+x2+3x3≤3 -x1+5x2-3x3≥3 x1+4x2+3x3=5 4x1+7x2+3x3≤8 x1, x2≥0, x3无约束x1无约束,x2≥0, x3≤0 解：(a)对偶问题的原问题为 max w=2y1+3y2+5y3 s.t. y1+2y2+y3≤2 3y1+y2+4y3≤2 4y1+3y2+3y3=4 y1≥0, y2≤0, y3无约束 (b)原问题的对偶问题为 min w=5y1+3y2+8y3 s.t. y1-y2+4y3=5 2y1+5y2+7y3≥6 2y1-3y2+3y3≤3 y1无约束, y2≤0, y3≥0 2.3 已知线性规划问题： max z=x1+x2 s.t. -x1+ x2+ x3 ≤2 -2x1+x2- x3 ≤1 x1, x2, x3≥0 试应用对偶理论证明上述线性规划问题最优解为无界。 解：原问题的对偶问题为 min w=2y1+ y2 s.t. -y1- 2y2 ≥1 2y1+ 5y2 ≥1 y1- y2 ≥0 y1, y2≥0 由于约束条件3可得 y1-y2 ≥0 →y1≥y2 →-y1≤-y2 且y2≥0 所以 -y1-2y2 ≤-3y2≤0 （1） 由于约束条件1可得 -y1- 2y2 ≥1 （2） （1）（2）不等式组无解 所以其对偶问题无可行解,又知点X=(1,1,1)为原问题一个可行解,即原问题有可行解, 现在其对偶问题无可行解。根据对偶理论性质3原问题无界.