高考数学总复习------ 排列组合与概率统计

高考数学总复习------排列组合与概率统计

【重点知识回顾】

1.排列与组合

⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.

⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.

⑶ 排列与组合的主要公式

①排列数公式：)1()1()!

(!

+-???-=-=

m n n n m n n A m

n (m≤n)

A n

n =n! =n(n―1)(n―2) ...2·1. ②组合数公式：1

2)1()

1()1()!(!!??????-?+-???-=

-=

m m m n n n m n m n C m

n (m≤n). ③组合数性质：①m

n n

m

n C C -=(m≤n). ②n

n n n n n C C C C 2210=+???+++

③1

3

1

4

2

2-=???++=???++n n n n n n C C C C C

2.二项式定理 ⑴ 二项式定理

(a +b)n =C 0n a n +C 1n a n －

1b+…+C r n a n －

r b r +…＋C n n b n ，其中各项系数就是组合数C r

n ，展开

式共有n+1项，第r+1项是T r+1 =C r

n a n －

r b r .

⑵ 二项展开式的通项公式

二项展开式的第r+1项T r+1=C r

n a n －

r b r (r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。

⑶ 二项式系数的性质

①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即C r

n = C r

n n - (r=0,1,2,…,n).

②若n 是偶数，则中间项(第12+n 项)的二项公式系数最大，其值为C 2

n

n ；若n 是奇数，

则中间两项(第21+n 项和第2

3

+n 项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C 21-n n = C 21

+n n .

③所有二项式系数和等于2n ，即C 0

n +C 1

n ＋C 2

n +…+C n

n =2n . ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，

即C 0n +C 2n +…=C 1n +C 3

n +…=2n―1. 3.概率

（1）事件与基本事件：

:S S S ??

????

??

随机事件在条件下,可能发生也可能不发生的事件事件不可能事件:在条件下,一定不会发生的事件确定事件必然事件:在条件下,一定会发生的事件

基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基

本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．

（2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化． （3）互斥事件与对立事件：

（4）古典概型与几何概型：

古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型．

几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例． 两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个． （5）古典概型与几何概型的概率计算公式： 古典概型的概率计算公式：()A P A =

包含的基本事件的个数

基本事件的总数

．

几何概型的概率计算公式：

()A P A =构成事件的区域长度(面积或体积)

试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)

．

两种概型概率的求法都是“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同． （6）概率基本性质与公式

①事件A 的概率()P A 的范围为：0()1P A ≤≤．

②互斥事件A 与B 的概率加法公式：()()()P A B P A P B =+ ． ③对立事件A 与B 的概率加法公式：()()1P A P B +=．

（7）如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是p n (k) = C k

n p k (1―p)n―k . 实际上，它就是二项式[(1―p)+p]n 的展开式的第k+1项.

（8）独立重复试验与二项分布

①．一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；

②．二项分布的概念：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概

率为()(1)(012)k k n k

n P X k C p p k n -==-= ，

，，，，．此时称随机变量X 服从二项分布，记作~()X B n p ，，并称p 为成功概率．

4、统计

（1）三种抽样方法 ①简单随机抽样

简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．

简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性．

实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，…，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性．

②系统抽样

系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况． 系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样．

系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体

的编号分段，要确定分段间隔k ，当N

n

（Ｎ为总体中的个体数，n 为样本容量）是整数时，N k n =

；当N

n

不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被n 整除，这时N k n

'

=；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l ，再按事先确定的规则

抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个编号()l k +，将()l k +加上k ，得到第3个编号(2)l k +，这样继续下去，直到获取整个样本．

③分层抽样

当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样．

分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本． （2）用样本估计总体

样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．

①用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤．画样本频率分布直方图的步骤：求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图． ②茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便．

③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程

度，其计算公式为s = 有时也用标准差的平方———方差来代替标准差，两者实质上是一样的．

（3）两个变量之间的关系 变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解．分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系：如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，其对应的方程叫做回归直线方程．在本节要经常与数据打交道，计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器． （4）求回归直线方程的步骤：

第一步：先把数据制成表，从表中计算出21

1

n

n

i i i i i x y x y x ==∑∑，，，；

第二步：计算回归系数的a ，b ，公式为

111

22

11()()()n n n

i i i i i i i n n

i i i i n x y x y b n x x a y bx =====?

-?

?=??-??=-??∑∑∑∑∑，；

第三步：写出回归直线方程

y bx a =+． （4）独立性检验

①22?列联表：列出的两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为12{,}x x 和12{,}y y 的样本频数表称为22?列联表1

构造随机变量2

2

()()()())

n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）

得到2K 的观察值k 常与以下几个临界值加以比较：

如果 2.706k >，就有0090的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系；

如果 3.841k > 就有0095的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系； 如果 6.635k > 就有0099的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系；

如果低于 2.706k ≤，就认为没有充分的证据说明变量X 和Y 是有关系．

【典型例题】

考点一：排列组合 【方法解读】

1、解排列组合题的基本思路：

① 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 ② 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；

③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”； 2、解排列组合题的基本方法：

① 优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；

位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

② 排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。 ③ 分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结

论；注意：分类不重复不遗漏。 ④ 分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；

在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。

⑤ 插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排

好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。

⑥ 捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”

全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。

⑦ 穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数

比较少的问题。 【命题规律】排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现，难度属中等。

例 1. （2010·天津）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（ ） A.288种 B.264种 C.240种 D.168种

【提示】(1)B,D,E,F 用四种颜色，则有4

41124A ??=种涂色方法； (2)B,D,E,F 用三种颜色，则有3

3

4422212192A A ??+???=种涂色方法；

(3)B,D,E,F 用两种颜色，则有242248A ??=种涂色方法；

所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。故选B

例2、某校开设10门课程供学生选修，其中A ，B ，C 三门由于上课时间相同，至多选一门

学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（B ） A ．120 B ．98 C ．63 D ．56 【提示】分两类：第一类A ，B ，C 三门课都不选，有3

7

C ＝35种方案；第二类A ，B ，C 中

选一门，剩余7门课中选两门，有

13C 2

7

C ＝63种方案．故共有35＋63＝98种方案．故选B

例3、某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为 ( A ) A ．504 B ．210 C ．336 D ．120

【提示】三个新节目一个一个插入节目单中，分别有7,8,9种方法，∴插法种数为7×8×9＝

504或996

6A A ＝504.故选A

考点二：二项式定理

【内容解读】掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。对二项式定理的考查主要有以下两种题型：

1、求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；

2、求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数的区别；

【命题规律】

历年高考二项式定理的试题以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。为此，只要我们把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。

例4、设8

8

018(1),x a a x a x +=+++ 则0,18,,a a a 中奇数的个数为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解：由题知)8,2,1,0(8

==i C a i i ，逐个验证知18808==C C ，其它为偶数，选A 。 例5、组合数C r

n （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ）

A ．r +1n +1C r -1n -1

B ．(n +1)(r +1)

C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1

D ．n r C r -1n -1

解：由1

1!(1)!!()!(1)![(1)(1)]!r

r n n n n n n C C r n r r r n r r

---=

==----- .

例6、在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4

x 的项的系数是 （A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274

解：本题可通过选括号（即5个括号中4个提供x ，其余1个提供常数）的思路来完成。故含4

x 的项的系数为(1)(2)(3)(4)(5)15.-+-+-+-+-=-

例7、若(x +12x

)n

的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为 (A)6

(B)7

(C)8

(D)9

解：因为1()2n x x +

的展开式中前三项的系数0

n

C 、112

n C 、214n C 成等差数列，所以021

14

n n n

C C C +=，即2980n n -+=，解得：8n =或1n =（舍）。88218811

()()22

r r r r r r r T C x C x x --+==。令824r -=可得，2r =，所以4x 的系数为

2281

()72

C =，故选B 。 考点三：概率

【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求法。

【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。

（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。

例8、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。

解：如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此2

144

16

P ππ

?==

?。

答案

16

π

点评：本题考查几何概型，利用面积相比求概率。

例9、从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为

(A)

184

(B)

121

(C)

25

(D)

35

解：354101

21

C P C ==，故选B 。

点评：本小题主要考查组合的基本知识及等可能事件的概率。

例10、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为

（A ）

511 （B ）681 （C ）3061 （D ）408

1

解：基本事件总数为3

1817163C =??。

选出火炬手编号为13(1)n a a n =+-，11a =时，由1,4,7,10,13,16可得4种选法；

12a =时，由2,5,8,11,14,17可得4种选法；13a =时，由3,6,9,12,15,18可得4种选法。

4441

.1716368

P ++=

=??

点评：本题考查古典概型及排列组合问题。 例11、某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为

4

5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）

A.

16

625

B.

96625

C. 192

625

D.

256

625

解：独立重复实验4(4,)5B ，2

2

244196(2)55625P k C ????=== ? ?????

例12、某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i 次击中目标得1~i (123)i =，，分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．

（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；

（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

解： （Ⅰ）设该射手第i 次击中目标的事件为(123)i A i =，，，则()0.8()0.2i i P A P A ==

，，

()()()0.20.80.16i i i i P A A P A P A ==?=．

（Ⅱ）ξ可能取的值为0，1，2，3． ξ的分布列为

00.00810.03220.1630.8 2.752E ξ=?+?+?+?=.

例13、随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、

三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．

（1）求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

解：ξ的所有可能取值有6，

2，1，-2；126(6)0.63200P ξ===，50

(2)0.25200

P ξ=== 20(1)0.1200P ξ==

=，4

(2)0.02200

P ξ=-== 故ξ的分布列为：

（2）60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=?+?+?+-?= （3）设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为

()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =?+?---+-?=-≤≤

依题意，() 4.73E x ≥，即4.76 4.73x -≥，解得0.03x ≤ 所以三等品率最多为3% 考点四：统计

【内容解读】理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念，了解它们各自的特点及步骤．会用三种抽样方法从总体中抽取样本．会用样本频率分布估计总体分布．会用样本数字特征估计总体数字特征．会利用散点图和线性回归方程，分析变量间的相关关系；掌握独立性检验的步骤与方法。

【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。

（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。

例14、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生

产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y 关于x 的线性回归方程Y=bx+a ； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：32．5+43+54+64．5=66.5)

解：(1)散点图略.

(2)

4

1

66.5i i i x y ==∑, 463x y ?=,

4

21

86i i x ==∑, 2

481x =

由所提供的公式可得0.7b

= 0.35a =,故所求线性回归方程为0.70.35y x =+10分 (3)100(0.71000.35)29.65-?+=吨.

例15、为了研究某高校大学新生学生的视力情况，随机地抽查了该校100名进校学生的视力情况，得到频率分布直方图,如图.已知前4组的频数从左到右依次是等比数列{}n a 的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列{}n b 的前六项． (Ⅰ)求等比数列{}n a 的通项公式;

（Ⅱ)求等差数列{}n b 的通项公式；

(Ⅲ)若规定视力低于5.0的学生属于近视学生,试估计该校新生的近视率μ的大小.

解：由题意知：1a ，

20.30.1100 3.a =??=

∵数列{}n a 是等比数列，∴公比2

1

3,a q a == ∴1

113n n n a a q

--== .

∵123a a a ++=13,

∴126123100()87b b b a a a +++=-++= ， ∵数列{}n b 是等差数列，∴设数列{}n b 公差为d ，则得，

1261615b b b b d +++=+ ∴1615b d +＝87，

2741==a b ，∴5-=d ， ∴n b n 532-= μ=12312340.91100a a a b b b b

++++++=,

(或μ=56

10.91100

b b +-=)

答:估计该校新生近视率为91%.

例16、某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:

该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.

(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(5分)

(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y 关于x 的线性

回归方程

y bx a =+；(6分) (Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认

为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(3分)

(参考公式: 11

2

22

1

1

()()

,()n n

i i

i

i

i i n

n

i i i i x y nx y x x y y b a y bx x nx x x ====---=

=

=---∑∑∑∑)

解：(Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选

取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的 其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种 所以3

1

155P (A)==

(Ⅱ)由数据求得11,24x y ==

由公式求得187b =

再由30

7

a y bx =-=-

所以y 关于x 的线性回归方程为 1830

77

y x =-

(Ⅲ)当10x =时, 1507y =

, 150

|22|27-<； 同样, 当6x =时, 787y =, 78

|14|27

-<

所以,该小组所得线性回归方程是理想的.

四、复习建议

1. 对于一些容易混淆的概念，如排列与排列数、组合与组合数、排列与组合、二项式系数与二项展开式中各项的系数等，应注意弄清它们之间的联系与区别.

2. 复习中，对于排列组合应用题，注意从不同的角度去进行求解，以开阔思维，提高解题能力.

3. 注意体会解决概率应用题的思考方法，正向思考时要善于将较复杂的问题进行分解，解决有些问题时还要学会运用逆向思考的方法.

4、注意复习求线性回归方程的方法，回归分析方法，独立性检验的方法及其应用问题。

【模拟演练】 计数原理部分： 1.(2010 ·湖南 )在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为

A ．10 B.11 C.12 D.15 【提示】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有2

4C 6＝（个） 第二类: 与信息0110有一个对应位置上的数字相同有14C 4＝（个）

第三类: 与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有0

4C 1＝（个）

与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同信息有6+4+1=11故选B

2．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有 ( C ) A ．6个 B ．9个 C ．18个 D ．36个

【提示】由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数．故选C 3．(2011·淮阴一模)已知集合M ∈{1，－2,3}，N ∈{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是 ( D ) A ．18 B ．10 C ．16 D ．14

【提示】M 中的元素作点的横坐标，N 中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有1×2个．N 中的元素作点的横坐标，M 中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有2×2个．所求不同的点的个数是2×2＋1×2＋2×2＋2×2＝14(个).故选D 4.(2010·本溪模拟)如图所示的几何体是由一个正三棱锥P —ABC 与正三棱柱ABC —A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有__12__种．

提示：先涂三棱锥P —ABC 的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有13C ×12C ×11C ×

1

2

C ＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．

5．设集合A ＝{1,2,3,4}，m ，n ∈A ，则方程 22

1x y m n

+=表示焦点在x 轴上的椭圆有

( D )

A ．6个

B ．8个

C ．12个

D ．16个

【提示】因为椭圆的焦点在x 轴上，所以当m ＝4时，n ＝1,2,3；当m ＝3时， n ＝1,2；当m ＝2时，n ＝1.即满足条件的椭圆共有3＋2＋1＝6个．故选D

6．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有 ( C ) A ．21种 B ．315种 C ．143种 D ．153种 【提示】1

1

1

1

1

1

597795143C C C C C C ?+?+?=故选C

6．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 ( B )

A ．40种

B ．60种

C ．100种

D ．120种 【提示】由题意可列式为 4

2

2

54260()C C A =种故选B

7．（2010 全国卷1理）某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 ( A ) A .30种 B.35种 C.42种 D.48种 【提示】用间接法333

74330C C C --=种,故选A

8．（2010·广东）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ C ）

A 、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒 【提示】每次闪烁时间5秒，共5×120=600s ，每两次闪烁之间的间隔为5s ，共5×（120-1）=595s ．总共就有600+595=1195s ．故选C 9．（2010·全国卷1）某学校开设A 类选修课3门，

B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种 30 .(用数字作答) 【提示】可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234

C C 种不同的选

法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门有

21

34

C C 种不同的选法.所以不同的选法共有

1234C C +2134181230

C C =+=种.

10．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数（如1 458），若把四位“渐升数”按从

小到大的顺序排列，则第30个数为 1359 .

【提示】 渐升数由小到大排列，形如的渐升数共有：6+5+4+3+2+1=21（个），如123×，个位可从4，5，6，7，8，9六个数字选一个，有6种等；

形如的渐升数共有5个；形如的

渐升数共有4个，故此时共有21+5+4=30个，因此从小到大的渐升数的第30个必为1 359，所以应填1 359.

11．用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一颜色．

(1)若n＝6，则为甲图着色的不同方法共有__480__种；

(2)若为乙图着色时共有120种不同方法，则n＝__5__.

【提示】(1)由分步乘法计数原理，对区域①②③④按顺序着色，

共有6×5×4×4＝480种方法．

(2)与第(1)问的区别在于与④相邻的区域由2块变成了3块．同样利用分步乘法计数原理，得n(n－1)(n－2)(n－3)＝120.所以(n2－3n)(n2－3n＋2)＝120，即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0，所以n2－3n－10＝0，n2－3n＋12＝0(舍去)，

解得n＝5，n＝－2(舍去)．

12．如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有__13_种．

【提示】每个焊接点都有脱落与不脱落两种状态，电路不通可能是1个或多个焊接点脱落，问题比较复杂．但电路通的情况却只有3种，即2或3脱落或全不脱落．因为每个焊接点有脱落与不脱落两种情况，故共有24－3＝13种情况．

13．现有高一四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．

(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？

(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？

(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

解：(1)分四类，第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；

第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；

第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；

第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，

所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．

(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法

N＝7×8×9×10＝5 040(种)．

(3)分六类，每类又分两步：

从一班、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法； 从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法， 从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法； 从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法； 从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法； 从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法， 所以共有不同的选法N ＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)． 概率统计部分：

1．在一所有1000名学生的学校中随机调查了100人，其中有85人上学之前吃早餐，在这所学校里随便问1人，上学之前吃过早餐的概率是（ ）

A ．0.85

B ．0.085

C ．0.1

D ．850

2．一布袋中有红球8个，白球5个和黑球12个，它们除颜色外没有其他区别，随机地从袋中取出1球不是黑球的概率为（ ）

A ．825

B ．15

C ．1225

D ．1325

3．某商店举办有奖销售活动，购物满100元者发兑奖券一张，在10000张奖券中，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖100个，若某人购物满100元，那么他中一等奖的概率是（ ）

A ．1100

B ．11000

C ．110000

D ．11110000

4．如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ）

A ．25

B ．310

C ．320

D ．15

5．军军的文具盒中有两支蜡笔，一支红色的、一支绿色的；三支水彩笔，分别是黄色、黑色、红色，任意拿出一支蜡笔和一支水彩笔，正好都是红色的概率为（ ）

A ．56

B ．13

C ．15

D ．16

6．甲、乙两位学生一起在玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规定：甲学生抛出两个正面得1分；乙学生抛出一正一反得1分．那么各抛掷100次后他们的得分情况大约应为（ ）

A ．甲→25分，乙→25分

B ．甲→25分，乙→50分

C ．甲→50分，乙→25分

D ．甲→50分，乙→50分 二、填空题

1．口袋中放有3只红球和11只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，

随机从口袋中

A B

任取一只球，取到黄球的概率是________．

2． 一个口袋中有4个白球，1个红球，7个黄球．搅匀后随机从袋中摸出1个是白球的概率是_________．

3．2006年5月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31、35、31、34、30、32、31，这组数据的中位数是__________.

4．为了缓解旱情，我市发射增雨火箭，实施增雨作业． 在一场降雨中，某县测得10个面积相等区域的降雨量如下表：

则该县这10个区域降雨量的众数为_______(mm)；平均降雨量为___________（mm ）．

5．一个骰子，六个面上的数字分别为1、2、3、3、4、5，投掷一次，向上的面出现数字3的概率是_____．

6．某校学生会在“暑假社会实践”活动中组织学生进行社会调查，并组织评委会对学生写出的调查报告进行了评比．学生会随机抽取了部分评比后的调查报告进行统计，绘制了统计图如下，请根据该图回答下列问题：

（1）学生会共抽取了______份调查报告；

（2）若等第A 为优秀，则优秀率为_____________ ；

（3）学生会共收到调查报告1000 份，请估计该校有多少份调查报告的等第为E ?7．有100张已编号的卡片（从1号到100

号）从中任取1张，计算卡片是奇数的概率是_______，卡片号是7的倍数的概率是________．

8．掷一枚正六面体的骰子，掷出的点数不大于3的概率是_________． 三、解答题

1．小谢家买了一辆小轿车，小谢连续记录了七天每天行驶的路程．

请你用统计初步的知识，解答下列问题：(1)小谢家小轿车每月(每月按30天计算)要行驶多少千米?(2)若每行驶100千米需汽油8升，汽油每升3．45元．请你求出小谢家一年(一年按12个月计算)的汽油费是多少元?

第6题

2．今年“五一黄金周”期间，花果山风景区共接待游客约22.5万人．为了了解该景区的服务水平，有关部门从这些游客中随机抽取450人进行调查，请他们对景区的服务质量进行评分，评分结果的统计数据如下表：

根据表中提供的信息，回答下列问题：

（1）所有评分数据的中位数应在第几档内？

（2）若评分不低于70分为“满意”，试估计今年“五一黄金周”期间对花果山景区服务“满意”的游客人数．

3．在青岛市政府举办的“迎奥运登山活动”中，参加崂山景区登山活动的市民约有12000人，为统计参加活动人员的年龄情况，我们从中随机抽取了100人的年龄作为样本，进行数据处理，制成扇形统计图和条形统计图（部分）如下：

（1）根据图①提供的信息补全图②；

（2）参加崂山景区登山活动的12000 余名市民中，哪个年龄段的人数最多？

（3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想．（不超过30字）

4．袋中装有编号为1、2、3的三个形状大小相同的小球，从袋中随意摸出1球．并且随意抛掷一个面上标有1，2，3，4，5，6各一数字的正方体均匀骰子．

（1）如果摸出1号球和骰子朝上的数字为1则甲胜；如果摸出2号球和骰子朝上的数字为2，则乙胜．这个游戏对双方公平吗？

（2）如果摸出的球编号为奇数和骰子朝上的数字为奇数则甲胜；如果摸出的球编号为偶数和木块朝上的数字为偶数，则乙胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由．

参考答案

一、选择题

1．A （提示：100人中吃早餐的概率85÷100=0.85，可以代表1000名学生吃早餐的概率）

2．D （提示：P （摸出的是黑球）=1212851225=

++，所以P （摸出的不是黑球）=1－1225=13

25）

3．C （提示：共有10000张奖券，其中一等奖10个，购物100元，可得一张奖券，故P （中一等奖）=110000

4．B （提示：P （A 指奇数）=35，P （B 指奇数）=2142=

，所以P （A 、B 同时指奇数）=35×12=3

10） 5．D （提示：P （两支红色水笔）111

236=?=

）

6．B （提示：抛掷两枚硬币的所有可能是正正、正反、反正、反反．所以P （甲抛出两个正

面）=14，P （乙抛出一正一反）=12，各抛100次后，甲得分100×14=25（分），乙得分100×12=50

（分）） 二、填空题

1．11

14 （提示：实验中，我们关注的结果的次数是11，所有等可能出现的结果的次数是14，故取到黄球的概率11

14

）

2．13

（提示：P （白球）=

441

417123==++） 3．31（提示：将这组数据按从小到大排列为30、31、31、31、32、34、35，则位于中间位置的一个数为31，即这组数据的中位数是31）

4．14，14（提示：14出现次数最多，平均降雨量是把各区域降雨量相加再除以10）

5．13（提示：P （向上数字为3）=

2163=

） 6．50，0.16，40（提示：共抽查8+20+15+5+2=50；优秀率为8÷50=0.16；等第为E 的报告

有

2

10004050?

=）

7．12，750（提示：1到100中奇数有50个，P （卡片是奇数）=501

1002=

；7的倍数有100÷714，所以P （卡片号是7的倍数）=147

10050=

）

8．1

2（提示：点数不大于3的数字有1、2、3，所以P （点数不大于3）=31

62

=）

三、解答题

1．解：(1)由图知这七天中平均每天行驶的路程为50(千米)． ∴每月行驶的路程为30×50=l 500(千米)． 答：小谢家小轿车每月要行驶1500千米． (2)小谢一家一年的汽油费用是4 968元．

2．解:（1）所有评分数据的中位数应在第三档内.

（2）根据题意，样本中不小于70的数据个数为73+147+122=342， 所以，22.5万游客中对花果山景区服务“满意”的游客人数约为1.175.22450

342

=?（万）. 3．解：（1）略 （2）60－69岁

（3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想合理即可． 4．解：①公平 因为获胜概率相同都等于118

； ②不公平；因为甲获胜概率为

31，乙获胜概率为6

1．

概率统计 排列组合

概率统计 排列统计 班级： 姓名： 学号： 成绩： 一 、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求，把正确选项写在表格中。 1.以下条件可以确定一个平面的是（ ）。 .A 空间三点 .B 一直线和一个点 .C 两条直线 .D 两平行直线 2.两条直线不平行是这两直线异面的（ ）。 .A 充分条件 .B 必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件 3.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字，且数字1和2不相邻的五位数，那么这种五位数的个数是（ ）。 .A 72 .B 60 .C 48 .D 50 4.用1,2,3,4,5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。 .A 24个 .B 30个 .C 40个 .D 60个 5.将12人分成两组，一组8人，一组4人的分法数为（ ）。 .A 812A .B 812C .C 841212+C C .D 841212 C C 6.抛掷两枚硬币的试验中，设事件M 表示“两个都是反面”，则事件M 表示（ ）。 .A 两个都是正面 .B 至少出现一个正面 .C 一个是正面一个是反面 .D 以上答案都不对 7.同时抛掷两颗骰子，总数出现9点的概率是（ ）。 . A 14 . B 15 . C 16 . D 1 9 8.样本：6,7,8,8,9,10的标准差是（ ）。 .A 2 . B . C 3 . D 9.下列变量中，不是随机变量的是（ ）。 .A 一射击手射击一次的环数 .B 水在一个标准大气压下100C 时会沸腾

.C 某城市夏季出现的暴雨次数 .D 某操作系统在某时间发生故障的次数 10.某射击手击中目标的概率是0.84，则目标没有被击中的概率是（ ）。 .A 0.16 .B 0.36 .C 0.06 .D 0.42 11.在12件产品中，有8件正品，4件次品，从中任取2件，2件都是次品的概率是（ ）。 . A 19 . B 1 10 .C 111 .D 112 12. 在10(x 的展开式中，6x 的系数为（ ）。 .A 61027C - .B 41027C .C 6109C .D 6 109C - 13.二项式8(1)x -的展开式中的第5项是（ ）。 .A 3 56x .B 3 2 56x - .C 470x .D 270x 14.设()6 26012631+…x a a x a x a x -=+++，则0126+=…a a a a +++（ ）。 .A 32 .B 64 .C 729 .D 56 15.已知某种奖券的中奖概率是50%，现买5张奖券，恰有2张中奖的概率是（ ）。 . A 25 . B 58 . C 516 . D 5 32 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上。 16.56101054 99 4P P P P -=- 。 17.甲、乙两射手彼此独立地射击同一目标，甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.9，则恰好有一人击中目标的概率为 。 18.已知互斥事件,A B 的概率3()4P A = ，1()6 P B =，则()P A B ?= 。 19.若把英语单词“bookkeeper ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 种。 20.若23 1818 x x C C -=，则x = 。 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出推理、演算步骤。 21.5人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站排头或排尾，那么不同的排法总数是多少？（10分）

高考理科数学复习排列组合二项式定理真题解析

专题10 排列组合二项式定理 排列、组合与二项式定理是高中数学中内容相对独立的一个部分，排列、组合的知识为概率与统计中的计数问题提供了一定的方法． 这部分内容的试题有一定的综合性与灵活性，要注意与其他数学知识的联系，注意与实际生活的联系．通过对典型例题的分析，总结思维规律，提高解题能力． §10－1 排列组合 【知识要点】 1．分类计数原理与分步计数原理． 2．排列与组合． 3．组合数的性质： (1)； (2)． 【复习要求】 理解和掌握分类计数与分步计数两个原理．在应用分类计数原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性，在应用分步计数原理时，要注意“步”与“步”之间的相关性和连续性． 熟练掌握排列数公式和组合数公式，注意题目的结构特征和联系；掌握组合数的两个性质，并应用于化简、计算和论证． 正确区别排列与组合的异同，体会解计数问题的基本方法，正确处理附加的限制条件． 【例题分析】 例1 有3封信，4个信筒． (1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法? (2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种寄信方法? ?=-=-=m n m n m n m n A A m n m n C m n n A )!(!!,)!(!m n n m n C C -=1 1-++=m n m n m n C C C

【分析】(1)分3步完成寄出3封信的任务：第一步，寄出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务．根据分步计数原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法． (2)典型的排列问题，共有＝24种寄信方法． 例2 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A ，B 两种作物，每种作物种植1垄，为有利于作物生长，要求A ，B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有______种． 解：设这10垄田地分别为第1垄，第2垄，…，第10垄，要求A ，B 两垄作物的间隔不少于6垄，所以第一步选垄的方式共有(1，8)，(1，9)，(1，10)，(2，9)，(2，10)，(3，10)这6种选法，第二步种植两种作物共有＝2种种植法，所以共有6×2＝12种选垄种植方法． 【评述】排列组合是解决计数问题的一种重要方法．但要注意，计数问题的基本原理是分步计数原理和分类计数原理，是最普遍使用的，不要把计数问题等同于排列组合问题． 对某些计数问题，当运用公式很难进行时，适时采取原始的分类枚举方法往往是最好的．如例2． 在具体的计数问题的解决过程中，需要决策的是，这个计数问题需要“分步”还是“分类”完成，再考虑这个计数问题是排列问题、组合问题还是一般的计数问题．如例1的两个问题． 例3 某电子表以6个数字显示时间，例如09:20:18表示9点20分18秒．则在0点到10点之间，此电子表出现6个各不相同数字来表示时间的有______次． 【分析】分步来确定电子表中的六个数字如下： 第一步：确定第一个数字，只能为0，只有1种方法； 第二步：确定第三位数字，只能为0至5中的一个数(又不能与首位相同)，所以只有5种方法； 第三步：确定第五位数字，也只能为0至5中的一个数(又不能与首位，第三位相同)，所以只有4种方法； 第四步：确定剩下三位数字，0至9共10个数字已用了3个，剩下的7个数字排列在2， 4，6位共有种排法． 由分步计数原理得：1×5×4×＝4200种． 3 4A 2 2A 37A 3 7A

高考数学专题之排列组合小题汇总

温馨提示：（每题4分满分100分时间90分钟）姓名________________ 一、单选题 1．某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 A B C D E F 这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A 、F这两块实验田上，则不同的种植方法有 ( ) A． 360种 B． 432种 C． 456种 D． 480种 2．甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有（） A．种 B．种 C．种 D．种 3．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种 A． 19 B． 26 C． 7 D． 12 4．有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数个数为（） A ． B． C． D． 5．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（） A． 300种 B． 150种 C． 120种 D． 90种 6．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A． 105 B． 95 C． 85 D． 75 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（） A．种 B．种 C．种 D．种 8．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（） A． 168种 B． 156种 C． 172种 D． 180种 9．用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（） A．14400 B．28800 C．38880 D．43200 10．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（） A． 240种 B． 188种 C． 156种 D． 120种 11．定义“有增有减”数列{}n a如下：* t N ?∈，满足 1 t t a a + <，且* s N ?∈，满足 1 S S a a + >.已知“有增有减”数列{}n a共4项，若{}() ,,1,2,3,4 i a x y z i ∈=，且x y z <<，则数列{}n a共有（） 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

2019年上海高中数学 第59讲 排列组合与二项式定理教案(多份)

1 第59讲 计数原理1—乘法原理（分步计数原理） 一、问题引入 常见船上悬挂有红、蓝、白三种颜色的旗帜，代表了不同的信号、不同的含义，随着排列顺序不同、悬挂数目不同，能表达多少种不同的信号？ 路上有10盏路灯，为了节能，关闭其中三盏灯有多少种关法？如果三盏灯还要不相邻，又有多少种关法？ 这便是我们这一章节主要要学习、讨论的内容，先从最基本的计数原理讲起． 二、教学过程 1、（1）参照《课本》49P 图，讨论从A 到B 的不同走法情况． 答： （2）从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 2、乘法原理 ①一般地，如果做成一件事情要分为n 个步骤，而完成其中每一步骤又有若干种不同方法，则做成这件事情的方法总数，可以用分步计数原理得到． 乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方 法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有123n N m m m m = 种不同的方法． ②注意：1m 、2m 、n m 对应的都是完成每一相应步骤的方法数，必须所有步骤都完成后，整件事情才算完成． 例1、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？ （2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？ （3）4名同学争夺跑步项目的前三名，有多少种可能？ （4）4名同学中选3人分别报名跑步、跳高、跳远三个项目，有多少种报名方法？ （5）3封信投4个邮箱，几种投法？ （6）四种型号电视机搞促销，3个顾客各选购一台，几种选法？ （7）四台不同型号电视机搞促销呢？ （8）5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座 例2、（1）()()()123123412a a a b b b b c c ++++++展开后共有多少项？ （2）540的不同正约数有多少个？

高中数学排列组合与概率统计习题

高中数学必修排列组合和概率练习题 一、选择题（每小题5分，共60分） (1)已知集合A={1,3,5,7,9,11}，B={1,7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作 为点的坐标,在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是C (A)32(B)33(C)34(D)36 解分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为x 和y 坐标,不同点的个数为1163P P g 分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为y 和x 坐标,不同点的个数为1163P P g 不同点的个数总数是1111636336P P P P +=g g ,其中重复的数据有(1,7),(7,1)，所以只有34个 (2)从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真 数，则可以得到不同的对数值的个数为 (A)64(B)56(C)53(D)51 解①从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为292P ； ②1不能为底数，以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去； ③1为真数时，对数为0，以1为真数的“对数式”个数有8个,应减去7个； ④2324log 4log 92log 3log 9 ===，49241log 2log 32log 3log 9 == =，应减去4个 所示求不同的对数值的个数为29287453()C ---=个 （3）四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生 不能全排在一起，则不同的排法数有 （A ）3600（B ）3200（C ）3080（D ）2880 解①三名女生中有两名站在一起的站法种数是23P ； ②将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是66P ，其中的 三名女生排在一起的站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列，排列数为55P ，站在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列，故三名女生排在一起的种数是1525P P 。 符合题设的排列数为： 26153625665432254322454322880P P P P -=?????-????=????=种（）（）（） 我的做法用插空法，先将4个男生全排再用插空743342274534522880A A C A A C A --= （4 ）由100+展开所得x 多项式中，系数为有理项的共有 （A ）50项（B ）17项（C ）16项（D ）15项 解1000100110011r 100r r 100100100100100100=C )+C )++C )++C --L L

高三复习：排列组合问题的解题方法

排列组合问题的解题方法 一、特殊元素（或位置） “优先法”：排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑. 例1、在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有( )个． 解1：（元素优先法）根据所求四位数对0和5两个元素的特殊要求将其分为四类：① 含0不含5，共有1324C A =48(个)；②含5不含0，共有1334C A =72(个)；③含0也含5，共有112224C C A ＝48(个)；④不合0也不含5，共有4 4 A ＝24(个)．所以，符合条件的四位数共有48+72+48+24=192(个). 解2：（位置优先法）根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步：第一步：排 个位，有14C 种方法；第二步；排首位，有14C 种方法；第三步：排中间两位，有2 4A 种方法．所以符合条件的四位数共有14C 14C 24 A =192(个)． 二、相邻问题“捆绑法”：对于元素相邻的排列问题，可先将相邻元素“捆绑”起来看作一个元素（整体），先与其它元素排列，然后相邻元素之间再进行排列. 例2、6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？ 解：将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它4个元素一起排列，有A 55 种，甲、乙二人的排列有A 22 种，共有A 22·A 5 5=240种. 三、不相邻问题“插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可. 例3、用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有 个. 解：先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后7与8“插空”， 共有22232 22234576A A A A A 种. 四、有序问题“无序法”：对于元素顺序一定的排列问题，可先考虑没有顺序元素的排列，然后除以有顺序的几个元素的全排列即可. 例4、3男3女排成一排，若3名男生身高不相等，则按从高到低的一种顺序站的站法有多少种？ 解：6个人的全排列有A 66 种，3名男生不考虑身高的顺序的站法有A 3 3种，而由高到低又可从左到右，或从右到左（这是两种不同的站法），故共有不同站法2A 66÷A 3 3 =240种. 五、分排问题“直排法”：n 个元素分成m （m ＜n ）排，即为n 个元素的全排列. 例5、将6个人排成前后两排，每排3人，有多少种排法. 解：6个人中选3个人排在前排有A C 33 36种，剩下3人排在后排有A 3 3种，故共有

2020年高考理科数学易错题《排列组合》题型归纳与训练

2020年高考理科数学《排列组合》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 计数原理的基本应用 例1 某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 A ．3种 B ．6种 C ．9种 D ．18种 【答案】 C . 【解析】 可分以下2种情况：①A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有 62312=?C C 种不同的选法；②A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有31322=?C C 种不同的选法．所以根据分类计数原理知不同的选法共有6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C 【易错点】注意先分类再分步 【思维点拨】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A 类选修课选1门，B 类选修课选2门；A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果. 题型二 特殊元素以及特殊位置 例 1 将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法有（ ）种.（用数字作答） 【答案】 480 【解析】考虑到C B A ,,要求有顺序地排列，所以将这三个字母当作特殊元素对待。先排F E D ,,三个字母，有12036 =A 种排法；再考虑C B A ,,的情况：C 在最左端有2种排法，最右端也是2种排法，所以答案是4804120=?种. 【易错点】注意特殊元素的考虑 【思维点拨】对于特殊元素与特殊位置的考量，需要瞻前顾后，分析清楚情况，做到“不重复不遗漏”；如果情况过于复杂，可以考虑列举法，虽然形式上更细碎一些，但是情况分的越多越细微，每种情况越简单，准确度就越高. 题型三 捆绑型问题以及不相邻问题 例1 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）个.

沪教版(上海) 高三年级 新高考辅导与训练 第五章 排列组合与二项式定理 本章测试(wd无答案)

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第五章排列组合与二 项式定理本章测试 一、单选题 (★★) 1. 将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（） A．12种B．24种C．36种D．48种 (★) 2. 在某次数学测验中，记座号为的同学的考试成绩为，若 且满足，则这四位同学考试成绩的所有可能有（）． A．15种B．20种C．30种D．35种 (★★) 3. 用0,1, 2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间,这样的五位数的个数有 A．48个B．12个C．36个D．28个 (★★) 4. 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有（） A．240种B．180种C．120种D．60种 (★) 5. 设，则（）．A．B．C．D． (★★) 6. 等于（）． A．B．C．D． 二、填空题

(★★) 7. 若，则 ________ ． (★★★) 8. 有4个男生、3个女生，高矮互不相同，现将他们排成一行，要求从左到右女生从 矮到高排列，共有______种排法． (★) 9. 在1到100这100个正整数中，取两个不同的数相乘，其积为7的倍数，这样的取法有_______种． (★) 10. 一个三位数，其十位上的数字小于百位上的数字，也小于个位上的数字，如523，769等，这样的三位数共有________个． (★★) 11. 若把英文单词“ hello”的字母的顺序写错了，则可能出现的错误共有 _________ 种．(★★) 12. 如图，用6种不同颜色对图中 A， B， C， D四个区域染色，要求同一区域染同一色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有 ________ 种． (★★) 13. 从一个小组的若干人中选出4名代表的方法种数为 A，又从该小组 B中选出正、副 组长各一人的选法种数为 B，且，则此小组的人数为 __________ ． (★)14. 若展开式中各项系数的和为128，则展开式中项的系数为_________． (★★★) 15. 展开式的项数共有_________项． (★★★) 16. 的展开式中，项的系数为________．(★★) 17. 某商场开展促销抽奖活动，摇出的一组中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的 每位顾客从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个号码中任意抽出6个组成一组，如果顾客 抽出的6个号码中至少有5个与摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖．一位顾客可能抽出 的不同号码组共有组，其中可以中奖的号码共有组，求的值． 三、解答题 (★★) 18. 从，，，，这七个数字中任取三个不同的数字，分别作为函数 的系数，，，求： 可组成多少个不同的二次函数？ 其中对称轴是轴的抛物线有多少条？ (★★★) 19. 从中任取三个或三个以上的数，使其和为偶数的取法共有多少种？ (★★★) 20. 求证：当，且时，能被整除． (★★★) 21. 求多项式展开式中 x奇次项系数的和．

高中数学-排列组合概率综合复习

高中数学 排列组合二项式定理与概率统计

其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。 例4、设88 018(1),x a a x a x +=+++L 则0,18,,a a a L 中奇数的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 例5、组合数C r n （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ） A ．r +1n +1C r -1n -1 B ．(n +1)(r +1) C r -1n -1 C ．nr C r -1 n -1 D ．n r C r -1n -1 . 例6、在的展开式中，含的项的系数是 （A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274 例7、若(x +12x )n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为 (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 考点三：概率 【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求法。 【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。 （2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。 例8、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率 为 。 例9、从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 (A) 1 84 (B) 121 (C) 25 (D) 35 例10、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…， 18的18名 火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 )5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 4 x

排列组合高考专项练习题

例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定， 又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，C（2,10）*2*P（2,2），因而本题为180。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入 （一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。 （二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。 （三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。 从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，∴本题答案为：=56。 2．注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合 例3．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有____ __种。 分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。 第一类：A在第一垄，B有3种选择； 第二类：A在第二垄，B有2种选择； 第三类：A在第三垄，B有一种选择， 同理A、B位置互换，共12种。 例4．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有_______ _。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析：显然本题应分步解决。 （一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法； （二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。 （三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法； （四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。 例5．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。

高考数学专题之排列组合综合练习

高考数学专题之排列组 合综合练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

1．从中选个不同数字，从中选个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为（） A． B． C． D． 2．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为（）A．33 B．36 C．40 D．48 3．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（） A．900种 B．600种 C．300种 D．150种 4．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）. 5．有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为__________．(用数字作答） 6．有个座位连成一排，现有人就坐，则恰有个空位相邻的不同坐法是 __________． 7．现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答） 8．（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 9．由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数． 10．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法

(上海专版)高考数学分项版解析专题12排列组合、二项式定理、算法文

专题12 排列组合、二项式定理、算法 文 一．基础题组 1. 【2010上海,文11】 2010年上海世博会园区每天9：00开园，20：00停止入园．在下边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入________． 【答案】S ←S ＋a 2. (2009上海,文4)某算法的程序框图如图所示 ，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是 ___________. 【答案】? ??≤>-=1,2,1,2x x x y x 【解析】由程序框图可知,当输入实数满足x ＞1时,输出y=x-2;

否则,即输入实数满足x≤1时, 输出y=2x .综上可知???≤>-=.1,2, 1,2x x x y x 3.【2016高考上海文数】在n x x ??? ? ?-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________. 【答案】112 【考点】二项式定理 【名师点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项求解.本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等. 4. 【2015高考上海文数】 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 【答案】120 【解析】①男教师选1人，女教师教师选4人，有454613=C C 中不同的选法； ②男教师选2人，女教师教师选3人，有603623=C C 中不同的选法； ③男教师选3人，女教师教师选2人，有152633=C C 中不同的选法； 由分累计数原理得不同的选取方式的种数为120156045==+种. 【考点定位】组合，分类计数原理. 【名师点睛】 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误． 5.【2015高考上海文数】.在62)12(x x + 的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）.

高考数学排列组合常见题型

选修2-3：排列组合常见题型 可重复的排列（求幂法） 重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。 在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。 【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）4 3（2）34 （3）3 4 相邻问题（捆绑法） 相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 【例1】,,,,A B C D E 五人站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种 练习：（2012辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！ 【解析】：C 相离问题（插空法 ） 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是 52563600A A = 【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法 【解析】： 111789A A A =504 【例3】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 【解析】：把此问题当作一个排队模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯3 5C = 10 种方法。

(完整版)排列组合高考真题及答案

1 ?将标号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6张卡片放入3个不同的信圭寸中?若每个信封放2张，其中标号为1, 2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （力72 种但）18 种（C） 36 种（D）54 种 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力?【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有4种方法；其他四封信放入两个信 封，每个信封两个有圧'种方法，共有'M “种，故选B. 2某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天?若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有 （A） 30种但）36种 （C） 42种解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值（D） 48种16日，再加上甲值14日且乙 值16日的排法 即C; C: 2C； C: C：C3=42 法二：分两类 甲、乙同组，贝y只能排在15 S,有C： =6种排法 3?某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员

工中的甲' 乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有

解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有2A 2 A 4A :种方法 甲乙排中间，丙排7号或不排7号，共有 4A22 ( A44 A31A31A33) 种 方法 故共有IOO8种不同的排法 4.8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 (A) A8√?92 (B) Aδ8C92 (C) A88A72 (D) Aδ8C72 答案：A 5?由 1、 2、 3、4、 5、 6组成没有重复数字且1、 3都不与5相邻的六位偶 的个数是 (A) 72 (B) 96 (C) 108 (D) 144 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法 ①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3A; A;二24个 ②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3A∣A2 = 12个 算上个位偶数字的排法，共计3 (24+ 12) = 108个 答案：C 6. 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂 一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用 (A) 288 种(B) 264 种(C) 240 种(D) 168 种 A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D.

排列组合二项式定理与概率统计

排列组合二项式定理与概率统计 重点知识回顾 1. 排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关 ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合, ⑶排列与组合的主要公式 _ r — r+1 项是 T r+1 =C n a n r b r . ⑵二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项T r+1=c n a n —r b r （r=0,1,…叫）做二项展开式的通项公式。 ⑶二项式系数的性质 ① 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即 c n = c n r （r=0,1,2，…,n ）. 项和第n 3项）的二项式系数相等，并且最大，其值为 2 A n = n! =n(n — 1)(n — 2) ....... 2 ? 1. ②组合数公式： c m n! n(n 1) (n m 1) (m < n) m!( n m)! m (m 1) 2 1 ③组合数性质： ①c m ㈡ m (m < n) ② c 0 c ； c n 2 c ； 2n ③ Cn Cn c 4 C n c 1 c 3 C n C n 2n 1 2.二项式定理 ⑴二项式定理 (a +b)n =C 0a n +c n a n — 1 r b+ …+C n a n r b r +… + c n b n ,其中各项系数就是组合数c n ，展开式共有n+1项，第 问题?区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关, 与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题 求共有多少种方法的 ①排列数公式: A m n! (n m)! n(n 1) (n m 1) (m

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

[高考必看]上海高考排列组合概率题汇总

上海高考排列组合概率题汇总 1. （1985理）从六个数字1、2、3、4、5、6中任取四个不同的数字，有多少种取法？ 由这六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？[15；180] 2. （1985文）从六个数字1、2、3、5、7、9中任取四个不同的数字，有多少种取法？ 由这六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？[15；60] 3. （1986）用1、2、3、4四个数字组成没有重复数字的四位奇数的个数是________。[12] 4. （1987）= ++++1010910210110C C C C ____________。[1023] 5. （1987）七人并排成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同排法的种数是（ ） （A ）1440（B ）3600（C ）4320（D ）4800[B] 6. （1988）从6个运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲、乙都不能跑第一棒， 那么共有___________种不同的参赛方案。[240] 7. （1989）两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人 一个座位），则不同坐法的种数（ ）（A ）3858C C （B ）385812C C P （C ）3858P P （D ）8 8P [D] 8. （1990）平面上，四条平行直线和另外五条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有_______个。[60] 9. （1991）设有编号1、2、3、4、5的五个球和编号1、2、3、4、5的五个盒子，现将 这五个球投放入这五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为（ ）（A ）20（B ）30（C ）60（D ）120[A] 10. （1992）由1、2、3、4、5组成比40000小的没有重复数字的五位数的个数是 ________________。[72] 11. （1993）1名教师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不 同的排法_____________种。[72] 12. （1994）计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画， 排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放两端，那么不同陈 列方式有（ ）（A ）5544P P 种（B ）554433P P P 种（C ）554413P P C 种（D ）5 54422P P P 种[D] 13. （1994试）9支足球队中，有5支亚洲队，4支非洲队，从中任意抽取两队进行比赛， 则1队是亚洲队且1队是非洲队的概率是（ ）（A ） 29 1 4 1 5C C C +（B ） 2 9 1 4C C （C ） 2 9 1 5 C C （ D ） 2 9 1 415C C C [D] 14. （1995）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组