广东省深圳市2002年-2012年中考数学试题分类解析汇编专题10 圆

2002年-2012年广东省深圳市中考数学试题分类解析汇编

专题10：圆

一、选择题

1.（深圳2003年5分）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD=5，AC=7，BE=3，下列命题错误的是【】

A、△AED∽△BEC

B、∠AEB=90o

C、∠BDA=45o

D、图中全等的三角形共有2对

【答案】 D。

【考点】圆周角定理，相似三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，全等的三角形的判定。

【分析】A、根据圆周角定理的推论，可得到：∠ADE=∠BCE，∠DAE=∠CBE∴△AED∽BED，正确；

B、由四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD，有AB CD

，从而根据等弧所对圆周角相等的性质，得∠EBC=∠ECB，由等腰三角形等角对等边的性质，得BE=CE，∴BE=CE=3，AB=5，AE=AC－CE=4，根据勾股定理的逆定理，△ABE为直角三角形，即∠AEB=90°，正确；

C、AE=DE，∴∠EAD=∠EDA=45°，正确；

D、从已知条件不难得到△ABE≌△DC

E、△ABC≌△DCB、△ABD≌DCA共3对，错误。故选D。

2.（深圳2004年3分）已知⊙O1的半径是3，⊙O2的半径是4，O1O2=8，则这两圆的位置关系是【】

A、相交

B、相切

C、内含

D、外离

【答案】D。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。

∵⊙O1的半径是3，⊙O2的半径是4，O1O2=8，则3+4=7＜8，∴两圆外离。故选D。

3.（深圳2004年3分）如图，⊙O的两弦AB、CD相交于点M，AB=8cm，M是AB的中点，CM

：

MD=1：4， 则CD=【 】

A 、12cm

B 、10cm

C 、8cm

D 、5cm 【答案】B 。

【考点】相交弦定理。

【分析】根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算：

∵CM：DM=1：4，∴DM=4CM。

又AB=8，M 是AB 的中点，∴MA=MB=4。

由相交弦定理得：MA?MB=MC?MD，即4·4=MC?4MC，解得MC=2。 ∴CD=MC+MD=MC+4MC=10。故选B 。

4.（深圳2004年3分）圆内接四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD，EF 切圆于C ，若∠BCD=120o，

则∠BCE=【 】

A 、30o B、40o C、45o D、60o 【答案】A 。

【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的性质，弦切角定理。

【分析】由弦切角定理可得：∠BCE=∠BAC；因此欲求∠BCE，必先求出

∠BAC 的度数．已知∠BCD=120°，由圆内接四边形的对角互补，可得出 ∠BAD=60°，而AC 平分∠BAD，即可求出∠BAC 的度数。

∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180°。∴∠BAD=180°－120°=60°。 ∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC= ∠BAD=30°。 ∵EF 切⊙O 于C ，∴∠BCE=∠BAC=30°。故选A 。

4.（深圳2005年3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是半圆的三等分点，AE 、BD 的延

长线交于点C ，

若CE=2，则图中阴影部分的面积是【 】

A 、334-π

B 、π32

C 、332-π

D 、π3

1 【答案】A 。

【考点】扇形面积的计算

【分析】已知D 、E 是半圆的三等分点，如果连接DE 、OE 、OD ，那么△OAE、△ODE、△OBD、

·O B

C M

D

A

·O

B

C

E

D A

F

△CDE都是等边三角形，由此可求出扇形OBE的圆心角的度数和圆的半径长；

由于∠AOE=∠BOD，则AB∥DE，S△ODE =S△BDE；可知阴影部分的面积=S扇形OAE－S△OAE

＋S扇形ODE求解：

连接DE、OE、OD，∵点D、E是半圆的三等分点，

∴∠AOE=∠EOD=∠DOB=60°。

∵OA=OE=OD=OB。

∴△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形。

∴AB∥DE，S△ODE=S△BDE。

∴图中阴影部分的面积=S扇形OAE－S△OAE＋S扇形

ODE

2

60214

2233

36023

??

π

π

=?-??=-。故选A。

5.（深圳2009年3分）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD//BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四

边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为【】

A. 3

cm2 B.

2

3

3

π

??

-

?

??

cm2

C. 23 cm2

D. 43 cm2

【答案】B。

【考点】平行的性质，圆的对称性，角平分线的定义，圆周角定理，勾股定理。

【分析】要求阴影部分的面积，就要从图中看出阴影部分是由哪几部分得来的，然后依面积公式计算：

由AD//BC和圆的对称性，知AB DC

=。

∵AC平分∠BCD，∴AD AB DC

==。∴AD=AB=DC。

又∵A D∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，∴∠ACD=∠DAC=30°。

∴∠BAC=90°，∠B=60°。∴BC是圆的直径，且BC=2AB。

∴根据四边形ABCD的周长为10cm可解得圆的半径是2cm。

由勾股定理可求得梯形的高为3cm。

所以阴影部分的面积=1

3

（半圆面积－梯形面积）=2

11242

233

3223

ππ

+

??

??-?=-

?

??

（cm2）。故选B。

A D B

6．（2012广东深圳3分）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内OB上一点，∠BM0=120o，则⊙C的半径长为【】

A．6 B．5 C．3 D。32

【答案】C。

【考点】坐标与图形性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，含30度角的直角三角形的性质。

【分析】∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°。

∵AB是⊙O的直径，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°－∠BAO=90°－60°=30°，

∵点A的坐标为（0，3），∴OA=3。∴AB=2OA=6，∴⊙C的半径长=AB

2

=3。故选

C。

二、填空题

1. （深圳2010年招生3分）右图中正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B 两点，分别以A、B 两点为圆心，画与x 轴相切的两个圆，若点A（2 , 1) ，则图中两个阴影部分面积的和是▲

【答案】 。

【考点】圆和双曲线的中心对称性，圆的切线的性质。

【分析】由题意，根据圆和双曲线的中心对称性，知图中两个阴影部分面积的和是圆的面积；由两个圆与x 轴相切和点A （2 , 1) ，知圆的半径为1，面积为π，因此图中两个阴影部分面积的和是π。

2.（深圳2011年3分）如图，在⊙O 中，圆心角∠AOB=120o，弦AB=23cm ，则 OA= ▲ cm. 【答案】2。

【考点】三角形内角和定理，弦径定理，特殊角三角函数值。 【分析】过O 作OD⊥AB 于D 。∵∠AOB=120o，∴∠OAB=30o。

又∵∠ADO=90o，AD=1

AB 32

=，

∴OA=

AD

32cos OAD

3=

=∠。

三、解答题

1. （深圳2002年10分）阅读材料，解答问题

命题：如图，在锐角△ABC 中，BC=a 、CA= b 、AB=c ，△ABC 的外接圆半径为R ，

则R 2C

sin c B sin b A sin a ===。 证明：连结CO 并延长交⊙O 于点D ，连结DB ，则∠D=∠A ∵CD 为⊙O 的直径，∴∠DBC=90o。 在Rt△DBC 中， ∵R

2a

DC BC D sin =

=

， ∴sinA=

R 2a ，即R 2A sin a =。 同理R 2B sin b =、R 2C sin c =。

∴R 2C

sin c B sin b A sin a === 请你阅读前面所给的命题及证明后，完成下面（1）、（2）两小题 （1）前面的阅读材料中略去了“R 2B sin b =和R 2C

sin c

=”的证明过程，请你把“R 2B

sin b

=”的证明过程补写出来。

B

C

A

D

c b a

O

A b

O

· A

O

·

（1） （2） （2）直接用前面阅读材料中命题的结论解题

已知，如图，在锐角△ABC 中，BC=3，CA=2，∠A=60o，求△ABC 的外接圆的半径R 及∠C。

【答案】证明：（1）连接CO 并延长并⊙O 于点D ，连接DA ，则∠B=∠D。

∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DAC=90°。 在Rt△DAC 中，sinD=AC

CD

，即sinD=b 2R 。

∴sinB=

b 2R

，即R 2B sin b

=。

（2）由命题结论知BC CA

sinA sinB

=

， ∵BC=3，CA=2，∠A=60o，∴

32sinB =，即2

sinB=2

。 ∵△ABC 是锐角三角形，∴∠B=45°。∴∠C=75°。 由

a

2R sinA

=得

032R sin60=，∴R=1。 【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）根据已知的证明过程，同样可以把∠B 和b 构造到直角三角形中，构造直径所对的圆周角，是圆中构造直角三角形常用的一种方法，根据锐角三角函数进行证明。

（2）根据

R 2C

sin c

B sin b A sin a ===，代入计算。 2.（深圳2003年18分）如图，已知A （5，－4），⊙A 与x 轴分别相交于点B 、

C ，⊙A 与y 轴相且于点

D ，

（1）求过D 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）连结BD ，求tan∠BDC 的值；

（3）点P 是抛物线顶点，线段DE 是直径，直线PC 与直线DE 相交于点F ， ∠PFD 的平分线FG 交DC 于G ，求sin∠CGF 的值。

【答案】解：（1）∵A（5，－4），⊙A 与x 轴分别相交于点B 、C ，⊙A 与y 轴相且于点D ，

∴由圆的性质和弦径定理可得D （0，－4），B （2，0），C （8，0）。

P

x

y

B

C O

D A

E F

G

设过D 、B 、C 三点的抛物线的解析式为2y x x a b c =++。将D 、B 、C 的坐标代

入，得

44206480c a b c a b c =-??++=??++=?，解得，14

524a b c ?=-???=??

=-???

，∴抛物线的解析式为y=215x x 442-+-。 （2）作弧BC 的中点H ，连接AH 、AB ， 则由弦径定理和圆周角定理，∠BDC=∠BAH=1

2

∠BAC， ∴tan∠BDC=tan∠BAH=

34

。 （3）由（1）y=()2

21519x x 4=x 54244-+---+ 得

点P 的坐标为（5，9

4

）。

由P 、C 坐标可求得直线PC 的解析式为y=3

x 64

-+。

设M 为直线PC 与y 轴的交点，则M 的坐标为（0，6）。 ∵OM=6，OC=8，∴由勾股定理，得MC=10。 又MD=OM ＋OD=10，∴MD=MC=10。∴∠MCD=∠M DC 。

∴∠MCA=∠MDA=∠MDC+∠CDA=90°。∴∠MCO=∠BDC=∠PFD。

∴∠CGF=∠GDF+

12∠PFD=∠GDF+ 1

2

∠BDC=∠HDF=45°。 ∵DA=AH=半径，∴sin∠CGF=sin45°= 2

。

【考点】二次函数综合题，弦径定理，圆周角定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。

【分析】（1）由A 点坐标，即可得出圆的半径和OD 的长，连接AB ，过A 作BC 的垂线不难求出B 、C 的坐标．然后可用待定系数法求出抛物线的解析式。

（2）取弧BC 的中点H ，连接AH 、AB ，根据弦径定理和圆周角定理可得出∠BDC=

1

2

∠BAC=∠BAH，由此可求出∠BDC 的正切值。（也可通过求弦切角∠PCO 的正切值来得出∠BDC 的正切值）

（3）由于∠CGF=∠CDF+∠GFD=∠CDF+

1

2

∠CFD ，而∠PCO=∠PFD=∠BDC ，那么