把握数学本质几点看法和做法

“把握数学本质”的几点看法和做法

石狮石光华侨联合中学陈润生

（4月9日）

一、问题的提出：

曾经问过几个数学比较优秀的学生这样几个简单的问题，题目和学生的回答如下：

（1）什么叫做点在第二象限？

学生甲：一脸茫然，不知所云？

学生乙：画出第二象限的一个点，指给我看。

（2）什么叫做两圆外切？

学生甲：画出两圆外切的图形，指给我看。

学生乙：有唯一公共点，且一个圆在另一个圆的外部的两个圆的位置关系。

我也茫然！我不能说他们是错的，但我觉得这样的数学仅能是“意犹未尽的数学”。思其原因：学生了解到的仅是对于数学知识的外在理解，而未能很好地把握数学的本质！

我惊叹：“哑巴几何（说不出来的几何）”好可怕！

我思考：我们要怎么引导学生抓住数学的本质，实现数学的教育目标？

二、问题的思考

新课程明确提出：淡化形式，注重实质。数学的学习仅仅了解数学知识的外在形式是不够的，而更深层次的必需抓住它的

本质所在。正如，我们认识一个人，并不应仅仅认识其穿一件衣服下的“他”，而应认识的实实在在的“他”（包括化完妆后的“他”）。数学的外在形式很多，正如人可以穿好几套衣服一样，但它的实质却永远不会变（你就是你），教会学生“透过现象看本质”、“外显和内含相呼应”、“用内含来解释外显”是我们应该引导学生完成的一件很重要的任务。

三、问题的探索：

如何实现抓住数学的本质呢？下面几方面可以进行探索：

1.要让学生明确数学的表现形式是多样的，有外部的表现形式（往往还是有很多种），也有内在本质的东西，仅仅了解数学的外部表现是远远不够的，数学的学习和研究实质上就是要抓住数学本质、应用数学的本质。

2.要让学生具有“翻译”能力——“等价翻译”的能力，这是数学知识实现有“外在形式”转化为“内在形式（本质）”的手段和途径。也就是要让学生“听懂话中之意”！

3.要创设情境，让学生体会到“抓住数学本质，才是抓住数学”的道理。要体现出抓住数学本质的重要性。

4.要让数学的“外在形式”与“内在本质”达到统一。让学生透过外表看本质，由本质问题解释外显现象。

如关于《三角形稳定性》的教学，可以按以下环节，层层递进，抓住和应用数学本质，达到数学的本质与各种外显的统一：

①三角形的三边确定，则三角形就能稳定不变；

数学教学的几点思考

数学教学的几点思考 随着当前社会的发展，社会的各个领域，尤其在工业生产领域，都要用到数学，而且应用越 来越广泛了。小学数学教育是基础的基础教育，教学的目的是为了让学生掌握最基本的数学 知识。那么，怎样让学生更好地掌握数学知识呢？谈谈我的几点看法。 1. 激发学生的兴趣学生的学习兴趣在学习中是一个很有效的因素，它能大大地促进学习。如 果学生对学习内容不感兴趣，那么很难做出持久的努力去学好数学。正如科学家史家贝费里《在科学研究的艺术》一书中所说的那样：“从事研究的人必须对科学有兴趣，科学必须成为他生活的一部分，视它为乐趣和爱好。”而激发学生学习兴趣的最有效的方法就是对于学习材料本身即教学感兴趣。 中国古代数学的发展有着辉煌的成就，为了提高学生的学习兴趣，可以在讲课中穿插介绍一 些我国古代数学家的故事以及他们对数学的贡献。也可以结合实际，讲一讲如何用数学处理 现实生活中的问题。让学生感到数学在生活中是很有用的。 2. 怎样讲好数学课小学生获取知识大部分还是靠老师讲教，也就是从课堂上获取知识，所以讲课对学生学习数学也是很关键的。这就要求教师在课前要有充分的准备。“教学生一滴水，教师必须有一桶水”，所以在备课时要翻阅大量的资料，参考几本不同版本的教材，总结归纳，写出比较完整的教案，内容充实，条理清晰，这样才能让学生在课堂上接受更多的知识。 正确的组织课堂教学，首先要深入钻研教学大纲和教材，了解教学内容在教材中所出的地位 和作用，了解学生与教学内容有关的情况，以及学生的心理发展水平，制定出恰当的教学目的，根据目的选择和组织材料，并在课堂上灵活地实施。 3. 要让学生做大量的习题许多人认为，只有聪明的人才能学好数学，确实，聪明、脑子反应 快的人学数学比较容易些。而我认为，要学好数学关键还是“勤奋”。数学学习是很辛苦的活动，首先要记一些资料，然后在此基础上，做大量的习题才能把知识充分掌握。只有通过做 大量的习题，见多识广，在考场撒谎能够才能对应自如，提高做题速度。只有平时多做练习，考试时才能保证有充分的时间把题做完。做题也有一定的选择性，不能盲目的见题就做，老 师应指导学生选一些比较好的题目，而且课堂上要多讲解习题，教给学生怎样做题。如果不 会做，应当想一想这个题目涉及到哪部分内容，可能用什么方法等等。 收稿日期：2009-11-03

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识,数学方法

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，数学思想”和“数学方法”之间，没有严格的界限，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学四大思想为：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合.运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一种程度时就会产生飞跃，从而上升为数学思想，比如，我们用代数知识去解决某一几何问题（或用几何知识去解某一代数问题）就是数形结合法，当其在整个几何，（或代数）体系中发挥重要作用时，就自然升华为数形结合思想，因此，人们通常将数学思想与数学方法看成一个整体概念——数学思想方法。 二、初中数学教材中的主要数学思想方法 纵观初中数学教材，涉及到的思想方法主要有： 1、符号与换元思想方法 使用符号化语言和在其中引进变元是数学高度抽象的要求，它能够使数学研究的对象更加准确、具体、形象简明，更易于揭示对象的本质，一套形式化的数学语言极大地简化加速思维过程，例如公式（a ＋b）（a－b）＝a2－b2就是采用符号化语方来表述，当a、b代的任意数、单项式、多项式等代数式都成立，这样的字母表示“换元”，初中教材中的公式、法则、运算律等绝大多数都是用含有变元及符号组合，来表示某一般规律和规则的，这种用符号表达的过程，反映了思维的概括性和简洁性。

2、化归思想方法 化归思想方法是用一种联系、发展、运动与变化的观点去认识问题，而不是用孤立、静止的眼光去看待问题，它是通过观察、联想、类比等手段，把问题进行变换、转化、直到化为已经解决或容易解决的问题。教材中几乎处处都隐含着化归思想，如把有理数的减法运算转化为加法运算，除法运算转化为乘法运算，最后转化为算术数的运算；把一元一次方程转化为最简方程；把异分母转化为同分母；将多元方程转化为一元方程；将高次方程化为低次方程；将分式方程化为整式方程；将无理方程化为有理方程；把求负数立方根问题转化为求正数立方根的问题；把不能直接查表的数转化为可以直接查表的数；把复杂图形转化为基本图形；把多边形转化为三角形或特殊四边形等等。 3、分类思想方法 分类思想方法是一种依据数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的数学思想方法。数学分类须满足两点要求：①相称性，即保证分类对象既不重复又不遗漏。②同一性，即每次分类必须保持同一的分类标准。（注意同一数学对象，也可有不同的分类标准）在教材中有许多处体现分类思想方法如在概念的形成中有：有理数的概念、绝对值的概念等；在定理的证明中有：圆周角定理的证明、弦切角定理的证明等；在运算的法则中有：一元一次不等式（组）的解法、一元二次方程根的判别等，在图形（像）的性质中有：点、直线、圆之间的位置关系、函数图像的性质等，可见，分类

数学理解的本质

数学理解的本质 认知心理学家将知识在学习者头脑中的呈现和表达方式称为知识的表征．对知识的理解与知识的表征密切相关，事实上，对一个事物本质的理解，就是指该事物的性质以一定的方式在学习者头脑中呈现并能迅速提取．基于此，我们将理解解释为对知识的正确、完整、合理的表征． 根据对数学知识的分类，数学理解应涵盖对陈述性知识、程序性知识及过程性知识的理解等3个方面． (1)对陈述性知识的理解． 陈述性知识以命题、表象、线性排序等3种形式作为基本表征单位．命题相当于头脑中的一个观念，一个命题被看作是陈述性知识的最小单元．一个命题不是孤立的，它与其它命题相互联系组成命题网络．表象表征是对事物的知觉特征的保留，是一种连续的，模拟的表征．线性排序是对一系列元素所作的线性次序的编码．在人的知识表征中往往组合了命题、表象及线性排序，从而形成对知识的综合表征—_一图式．Anderson[8]认为：“图式是对范畴的规律性做出编码的一种形式．这些规律性既可以是知觉性的，也可以是命题性的．”显然，图式包容了命题网络，因为命题网络并不对可以知觉的规律性做出编码．Gagne 隅】对图式的特征作了更细致的刻画：①图式含有变量；②图式可按层级组织起来，也可以嵌入另一图式之中；③图式能促进推论． 对数学陈述性知识的理解是从知识的基本单元表征，到形成命题网络，再到获得图式的过程．许多学者认为，所谓对一个陈述性数学知识的理解就是在个体头脑中建立了该对象的一个命题网络．这种界定将知觉表征排除在外，有偏颇的一面，笔者认为，对一个陈述性数学知识的理解，是指学习者获得了该对象的图式． (2)对程序性知识的理解． 程序性知识是由陈述性知识转化而来的，是陈述性知识的动态成分．与静态的陈述性知识不同，程序性知识以“产生式”这种动态形式来表征．所谓产生式指一条“条件——行动”规则，即一个产生式总是对某一或某些特定的条件满足时才发生的某种行为的一种程序．当一个产生式的行动成为另一个产生式的条件时，这2个产生式便建立了相互的联系，若一组产生式有这种相互联系，便形成一个产生式系统，产生式系统代表了人从事某一复杂行为的程序性知识．对数学知识而言，其二重性表现得尤为突出，这种二重性或称为概念性知识和方法性知识(Hiebert& Carpenter) ，或称为对象和过程(Thompson 等)，其本质就是陈述性知识和程序性知识．一个数学概念既包含结果也包含过程，如“加法”：a+b，既代表2个集合中的元素合并或添加起来的过程，又代表合并或添加后的结果．因而，对数学知识的理解就不仅包括对静态的、结果的陈述性知识的理解，而且还包括对动态的程序性知识的理解． 既然程序性数学知识的表征是产生式和产生式系统，因此，程序性数学知识的理解就应解释为学习者对产生式和产生式系统的获得．特别地，我们认为对程序性知识中的策略性知识，其表征是一种双向产生式．双向产生式是一种具有双重功能的指令，它既能指令在具备什么样的条件下会有什么动作，又能指令在不同的情形中选用不同的产生式．换言之，学习者不仅知道“如果?那么?”，而且还应知道在什么条件下去使用这个“如果?那么?”．综上所述，学习者对程序性数学知识的理解，是指他建立了双向产生式和产生式系统． (3)对过程性知识的理解． 过程性知识与程序知识的共通之处是2者都是动态型知识，但2者的内涵是不同的．其一，过程性知识是指个体对数学知识发生发展过程的体验性知识，当然包含对陈述性知识及程序性知识获得的体验，其动态性贯穿于知识学习的全过程．而程序性知识是进行某项操作活动的程序，它是陈述性知识经过内化而得，其动态性表现在学习过程中的知识应用阶段．其二，程序性知识通过一定量的练习后可以习得甚至形成自动化技能，但过程性知识难以通过练习去习得．其三，程序性知识往往是针对某个知识点而言的，而过程性知识则是关注知识点之间的关系． 我们将过程性知识的表征分为2个层面，一是关系表征，二是观念表征．关系表征指个体对知识发展过程中知识之间存在某些关系的体悟．具体地说，它相当于陈述性知识的命题网络中连结命题的连线，以

我在数学教学上的几点思考和感受

我在数学教学上的几点思考和感受 发表时间：2018-10-29T10:45:29.967Z 来源：《知识-力量》2018年11月下作者：刘文红 [导读] 我从事小学数学教学已有20多年，在中高年级任教时间比较长，对在教材中的知识点，哪些地方学生容易出错，还是很清楚的，下面就几个难点问题，谈一下我的思考和做法。一数 （安徽蒙城第十二小学，安徽蒙城 233500） 关键词：数形结合；观察感知；动手操作 我从事小学数学教学已有20多年，在中高年级任教时间比较长，对在教材中的知识点，哪些地方学生容易出错，还是很清楚的，下面就几个难点问题，谈一下我的思考和做法。 一数形结合促理解 数学教材中,有些知识比较抽象,直接教学时比较难懂,如果采用数形结合的方法就比较容易理解,在教学《分数与除法》的关系时,教材也是采用分蛋糕的例子来引入的:把1块蛋糕平均分给2个小朋友,每人分几块?如果把7块蛋糕平均分给3个小朋友呢?可见通过类比和画图等方式可以加深对此类问题的理解.所以在遇到抽象问题时,我们不妨也多让学生画一画,多方式探索,从而达到理解和掌握的目的. 北师大版五年级数学第五单元是《分数的再认识》，教学这节内容时，我们一般是复习和巩固教材内容，进一步完善分数的意义，把一个物体或由许多物体组成的一个整体看作单位“1”，平均分成若干份，取其中的一份或几份的数，可以用分数表示。但是学生有时遇到问题却不能很好的理解并应用。 前几天，在一张测试卷中，有这样一题：工程队6天修完了一段长5千米的路，平均每天修这段路的几分之几？平均每天修多少米？ 有不少学生都做错了：第一问5÷6＝5／6 第二问6÷5＝6／5（千米） 我困惑了，看来这种较抽象的分数应用题，还得找方法。 接着，我讲解道：第一问求的是部分和总量之间的关系，可以画一个线段图，把5千米长的路看成单位“1”，平均分成6份，一天修了其中的一份，所以应该是1÷6＝1/6 第二问题是求每天修多少米，求工作效率的，用工作总量除以工作时间就可以了。 算式是5÷6＝5/6（米） 记得当时我刚教学这节内容时，我让两个学生到黑板上板书，结果也出现了两个要特别注意的地方。题目是这样的：山娃家一共养了6只羊，20只兔， （1）羊的只数是兔子的几分之几？ （2）兔子的只数是羊的几分之几？学生的板演 （1）6÷20＝6／20=3/10 这个还都是对的 （2）一学生：20÷6＝20/6=10/3（只） 另一学生：20÷6＝20/6=10/3然后他又化成了带分数。 这两个错误很典型，我就这两种错误，讲解：求一个数是另一个数的几分之几时，结果不要带单位；如果是假分数，也不要化为带分数。因为它表示的是两个数量之间的关系。 为了巩固这类问题，接着我又给出了类似的题目：把10块巧克力平均分给3个人，每人分到几块？每人分得全部的几分之几？ 让学生画图分析，再充分讨论，感受这两个问题的区别和含义。再接着问，平均分给4个人？5个人呢？在直观的图示中，学生已经能很快说出得数了。 我觉得通过这种专项练习和讲解，有利于学生对此类问题的理解和掌握。这类问题是每一届学生都感到惑的，很容易弄不清如何解答，我们不仅要通过讲解，更要让学生画一画，说一说，看得清楚，这样更易于理解。以便在遇到这类问题时都能很快地正确解答。 二几何图形多观察 在教学《长方体的表面积》时，教材是从长方体的展开图进行推导的，学生单纯的计算长方体或正方体表面积时，能够计算出来，而一旦题目有所变化，就不能很好的解答了，特别是与求棱长和在一起时，就容易出现错误。单元测试后，同年级的数学老师都大呼：怎么学生错的这么多！而我班情况还好。教学时，我先让学生自制长方体和正方体，观察它的六个面有什么特点，每个面的面积分别是哪两个数量相乘。对于鱼缸，通风管，粉刷墙壁，贴商标纸，做抽屉或给立柱刷油漆等，此类问题都要去掉一个或两个面，然后正确计算就行了。但是由于学生在解决问题的时候考虑不到位，甚至与现实生活脱节，还是会经常出错。我让学生去观察一些实际的建筑物，在参观中获得知识，加强直观教学，获得生活经验。并把观察到有关长方体表面积的进行归类，如通风管，烟囱，贴商标纸，立柱刷漆等都是计算四个侧面，而教室，游泳池，抽屉等都是五个面。同时让学生收集家里的牙膏盒，化妆品盒等长方体的东西，看看如果用铁丝做长方体框架是求什么，求所用包装纸的大小求的是什么。每次都是让学生多讨论，说出思路和解法再去计算。在学习过长方体的体积后，有些题目是把计算表面积和体积或棱长和都放在一起了，在公式运用上难免有些混淆的时候，特别是几个正方体放在一起时，表面积和体积各发生了什么变化？为此，我还是让学生多观察，用学生自制的正方体作教具，把几个正方体放在一起，表面积和体积各发生了什么变化，让学生有一定的直观体验，再进行计算。除了用实物演示，我还充分用多媒体进行动态演示，体积和表面积和棱长分别表示不同的概念，要用不同的公式计算。通过多媒体的演示，增加了教学的直观感，立体感，动态感。教学效果比较好。 三抽象概念多感知 五年级数学教材中，概念部分也比较多，如最大公因数，最小公倍数，互质数等，我就尽量多举例，让学生感知理解。在教学《倒数》这节时，为了让学生理解什么是互为倒数，我上课时举例：刘欣的同桌是张彦，张彦的同桌是刘欣，张彦和刘欣是互为同桌。这种例子很通俗易懂，学生容易接受。再如，举公倍数的例子时，我说小明是小华叔叔的儿子，他们的爷爷是共同的，他们爷爷的爷爷也是共同的，爷爷的爷爷的爷爷也是共同的，以此类推，所以，公倍数的个数有很多个。在教学“体积”这个概念时，我用两个小石块，放进两个盛

把握数学本质,以不变应万变

把握数学本质，以不变应万变我们要想解决一个数学问题，关键要把握题中的数学本质，在千变万化中找寻到其中不变的量，求出这些不变的量，然后利用这些不变的量解决最终的问题，以不变应万变。下面，本文主要以“牛吃草”问题为例，阐述解决问题时的“以不变应万变”。 一、“牛吃草”问题 牛吃草问题也称牛顿问题，最早是伟大的数学家、物理学家牛顿在《普通算术》中提出来的。形如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供10头牛吃20天，或者15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？解决这类问题时，难点是草的总量在不断变化，其中包括草的增加：每天新长的和草的减少：每天被牛吃掉的，而且牛的数量在变化，每天被吃掉的草的量也有所不同。因此解题的关键是想办法从变化中找到不变的量，以不变应万变。我们不难发现，主要有以下这些不变的量：（1）牧场上原有的草的量；（2）每天新长出的草是不变的（匀速生长）；（3）每头牛每天的吃草量是不变的。求出这些不变的量，以不变应万变，问题就容易解决了。 我们不妨假设每头牛每天吃草的量为1份，从而我们可以求出10头牛吃20天的草量为：10×20=200（份）；15头牛吃10天的草量为15×10=150（份）。200份草=原有的

草+20天新长的草；150份草=原有的草+10天新长的草。两者都包含原有的草，区别在于新长的草量，为什么前者会比后者多出200-150=50（份）的草？我们不难发现，是因为前者比后者多长了20-10=10（天），也就是说多长的10天的草量就是那多出的50份草，从而可以求出每天新长的草量为：（200-150）÷（20-10）=5（份）。最后利用“每天新长的草量为5份”这个不变的量求出最后一个不变的量：原有的草量。可利用10头牛吃20天的草量为200份求出原有的草量为：200-5×20=100（份）；或者也可用15头牛吃10天的草量为150份求出原有的草量为：150-5×10=100（份）。至此，所有不变的量都已经求出，以这些不变的量应对千变万化的问题，就容易多了。最后要求可供25头牛吃几天，主要有两种想法：（1）25头牛吃草每天消耗25份草，同时每天会新增5份草，也就是说每天净减少25-5=20（份），原有的100份草，100÷20=5（天）就被吃完；（2）由于每天新增5份草，我们可以让其中的5头牛专门去吃每天新增的草，自给自足，剩下的25-5=20（头）牛只能吃原有的100份草，100÷20=5（天）吃完。两种想法略有不同，但列式相同，其本质也一样。 至此，整道题就解完了。解决这类问题的关键是想办法从变化中找到不变的量，然后求出这些不变的量，最后利用这些不变的量再求出最终的问题。

数学教学中数学本质的揭示

数学教学中数学本质的揭示 摘要：中学数学课堂教学一般比较重视数学技能的训练，“精讲多练”已成为数学课堂教学的主要形式。对学生而言，这种做法的必然结果是：强化了技能操作却忽视了对数学基本原理和数学思想方法的理解掌握。忽视了对数学本质的理解，对数学的认识只停留在一个较低的水平。中学数学教学应该呈现数学的本质，感悟数学的精神，应该跳出题海，回归本源。 关键词：数学教学；本质；揭示 现在的教学目标，除知识技能目标之外，还要注意知识的发生过程，提出了过程性目标，这是完全正确的。但是，比呈现数学过程更高的要求是体现数学本质：对基本数学概念的理解，对数学思想方法的把握，对数学特有思维方式的感悟以及对数学美的鉴赏等。一些粗浅、拖沓的“过程”往往不能反映出数学的真正价值，反而白白浪费了时间。 新加坡数学教育家李秉彝先生说过，数学教育必须做到八个字：“上通数学，下达课堂”。所谓上通数学，就是必须理解数学知识的内涵，揭示数学的本质。但是在如今的公开课的展示及其评价中，教师多半聚焦在教育理念的体现、教学方式的选择、课堂气氛的营造、学生举手发言的热烈等方面。至于数学内容的表达、数学本质的揭示、数学价值的呈现，则往往有所缺失。其实，内容决定形式，学生是否能够掌握数学内容，是评价课堂教学是否成功的主要标志。因此，教师在备课时，需要思考如何挖掘教材内容的数学本质。 一、透过现象看本质 数学本质往往隐藏在数学形式表达的后面，需要由教师的数学修养加以揭示。例如，在数学中平面直角坐标系的本质是什么？浅层的理解是用一对数确定点的位置，于是初中数学教学中的大量案例，都把坐标系的价值理解为“位置”的确定，许多教案的内容也都要求在教室里开展“第几排第几座”的游戏。事实上，这种低级的生活化活动，根本不能增加对坐标系的理解。用一对数确定位置，是地理课的任务，连语文课也都会处理几排几座这样的问题，所以这样的活动没有鲜明的学科特点，更没有触及数学概念的本质，我认为平面坐标系的本质则在于用“数”所满足的方程来表示点的运动轨迹，即“数形结合”的思想。引入坐标系的第一节课，拿位置确定作为铺垫可以，更重要的是要引导学生观察和思考：两个坐标一样的点是什么图形？两个坐标都是正数的点构成什么区域？横坐标是零的点是什么图形？这样就有数学味道了，也更深层次的触及了数学的本质。 二、数学操作活动要体现本质 新的数学课程标准中将基本数学活动经验纳入了数学教学的目标之中，这使得学生在数学学习中不仅获得了客观性的知识，还形成了属于学生自己的主观性知识，有助于学生对数学的真正理解，在许多教学设计中，也都注意到了数学活

对中学数学教学改革的几点看法

对中学数学教学改革的几点看法 发表时间：2011-11-11T13:17:10.980Z 来源：《少年智力开发报（课改论坛）》2011年27期作者：刘朝亮 [导读] 自从教育逐渐普及以来，由于数学的极端重要性，数学教育在人才培养上的重要地位也日益显现出来 山东省金乡县第二中学刘朝亮 一、引言 自从教育逐渐普及以来，由于数学的极端重要性，数学教育在人才培养上的重要地位也日益显现出来，但是，如何从数学的特点出发卓有成效地进行数学教育，以确保数学在教育中的地位和作用，近百年来在世界范围内，进行了大量的改革和探索，推动了中学数学教育改革的深入和发展。本文将就数学教学改革的紧迫性，并结合中学数学教学目的和原则，对这一问题进行探讨。对数学教学改革中应注意的问题及改革的现状进行进一步的阐述。 二、中学数学教学的目的和教学原则 数学教学目的基本上涉及了四个方面的内容： （1）功利性上，强调数学知识的实用性，强调数学在实际问题中的应用和对其它学科发展的影响。 （2）素质性上，强调数学的思想品质培养，科学方法训练。数学的学习有利于培育良好的思想品质，有利于培养科学的学习方法，能够增强人们思维的深刻性、广阔性、灵活性、和独创性。 （3）思想性上，强调数学教育对形成世界观、激发爱国主义、伦理道德方面所起的作用。 （4）个性上，强调数学教育对学生个性发展、身体心理素质方法发展的影响。数学教育过程以人为本，以人为中心。以人的个性发展，全面发展，终身发展为目标。在重视知识学习，能力培养的同时，更重视学生个性发展，身体心理素质的健全发展。 三、中学数学教学改革 （1）情感教育。情感教育是深层次的教育，教师通过自己对事业的义务感、责任感，对学生的同志感、友谊感等满腔热忱去教育学生，引起师生之间情感上的沟通与共鸣，在心理上产生对教师的亲切感、信任感，对数学的向往和追求感。这样既能调动学习积极性，又使学生变消极情感为积极情感，普通情感升华为高尚情感，培养了学生良好的心理品质。 （2）兴趣教育。培养学生对数学的浓厚兴趣是非智力因素教育的重点，也是学生学数学的内在动力，因此，在数学教学过程中，要通过设计适当的问题情景，运用恰当的教法和手段，激发学生对对数学的兴趣与爱好，引起他们的求知欲和好奇心，使每一节课学生都感受到成功的喜悦和其乐无穷的享受。 （3）心理平衡教育。中学生中，因学习遇到困难而悲观失望、自动退学的现象经常出现，尤其是数学科，其抽象性容易使学生产生畏难情绪。因此，在数学教学中，必须注意开导和鼓励学生树立正确的动机，力求在学习上做到以严谨的科学态度正视困难，迎难而上，满怀信心去探究数学的奥秘。 四、中学数学教学改革的关键 （1）运算能力训练。必须使学生认识到，运算不过关，演算失误，不但解决不了实际问题，而且给生产建设造成损失。因此，对各种运算法则，要精通熟练，每演算一套题，要全神贯注，心，口，手高度协调，做到步步把关，准确迅速，要懂得算理，会寻找合理、简捷的算法。 （2）推理能力训练。推理训练，一定要克服单纯老师讲，学生听的做法。教者必须根据教材内容，精心设计，扮演各种角色来开拓学生的思维：1.充当“反面角色”，即教者不但演示正确的解题途径，而有时也有意演示一些错误的步骤，或提出某种模糊的问题来给学生检查、讨论、分析、论证，使他们自己发现问题，纠正错误。2.充当仲裁角色，由教者设疑质疑，让学生去讨论争议，最后将学生的各种意见进行综合分析，辩定是非，给予“仲裁”。以达到统一对问题的理解与认识。3.充当答辩角色，师生双方都可以提出问题来搞课堂答辩，教者尽可能搞一些错误论点来给学生反驳，学生也可以随时提出问题给教师解答。教者也要及时分析解答学生提出的问题。4.充当询问角色，即课堂分析问题，教者不要包办代替，而是层层设问，如“题目给出这个已知条件有什么用？题目中还隐含什么条件？用什么方法解决最合理？用某种方法为什么行不通？”等等，这样，教者似乎处于重重困难状态，从而诱导学生迫不及待地要帮助老师解决困难。 （3）抽象能力训练。抽象能力训练可考虑：1.通过解决应用题，为抽象能力的形成奠定基础。在定理、公式教学中，从具体事实对象出发，引导学生逐步抽象为公式的形式。2.布置学生假日或假期收集一些实际问题先做好记录，并带回学校进行讨论研究，然后抽象成数学问题。 开发学生的智力，培养学生的综合能力是重要的，但在教学过程中，教者要注意处理好以下几个问题： （1）正确处理教与学的关系。在教与学的统一体中，学生是学习的主题，是内因；而学生学习又是在教师的组织、启发和引导下进行的，教师应在教学中发挥主导以及相对于而言的外因作用。于是在改革初期产生了“以教师为主导，学生为主题”的理论，这被认为是我国教学理论上的一个突破。尽管对此尚有不同见解，但在教与学的和谐统一乃是教学的关键这一点上，则已取得普遍共识。 （2）正确处理知识与能力的关系。知识本身不等于能力，而离开知识作基础的“能力”是不存在的。“数学教学是数学活动的教学”，要让学生在掌握知识的同时学会科学思维，通过知识的习得充分汲取数学思想和方法的养分，从而发挥数学广义上的教育功能。能力的形成要有一个过程，主要应通过基础知识的掌握、基本技能的熟练、思想方法的领悟以及具体问题的解决等途径来进行。 （3）正确处理讲与练的关系。所谓讲与练，系指课堂教学中教师与学生各自的活动，是教学的两种基本形式。传统教学以教师讲解为住，往往忽视学生练习。对此，在改革中要正确处理讲和练的关系。但是对于“精”和“多”的度，在理解和掌握上要处理好。要做到合理适中。

对数学教学本质的认识

对数学教学本质的基本认识 “数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”这里，强调了数学教学是一种活动，是教师和学生的共同活动。 一、数学教学过程是教师引导学生进行数学活动的过程。学生要在数学教师指导下，积极主动地掌握数学知识、技能，发展能力，形成积极、主动的学习态度，同时使身心获得健康发展。数学活动可以从以下两个方面加以理解。 1、数学活动是学生经历数学化过程的活动。数学活动就是学生学习数学，探索、掌握和应用数学知识的活动。简单地说，在数学活动中要有数学思考的含量。数学活动不是一般的活动，而是让学生经历数学化过程的活动。当儿童通过模仿学会计数时，当他们把两组具体对象的集合放在一起而引出加法规律时，这实质上就是数学化的过程。 2、数学活动是学生自己建构数学知识的活动。数学学习是学生在学数学，学生应当成为主动探索知识的“建构者”，决不只是模仿者。无论教师的教还是学生的学都要在学生那里体现，不懂得学生能建构自己的数学知识结构，不考虑学生作为主体的教，不会有好的效果。实际上，教师的教总要在学生那里得到体现与落实，是学生在吸收、消化、理解、掌握、运用知识。离开了学生积极主动的学习，数学教师讲得再好也会经常出现“教师讲完了，学生仍不会”的现象，教学对于指导学生建构数学知识应当具有重要的引导和指导作用，教

师教学工作的目的应是引导学生进行有效地建构数学知识的活动。 二、数学教学过程是教师和学生之间互动的过程。教学过程是师生间进行平等对话的过程。在教学中，教师首先应考虑的是要充分调动学生的主动性与积极性，引导学生开展观察、操作、比较、概括、猜想、推理、交流等多种形式的活动，使学生通过各种数学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物和思考问題，产生学习数学的愿望和兴趣。教师在发挥组织、引导作用的同时，又是学生的合作者和好朋友，而非居高临下的管理者。教师的这些作用至少可以在下面的活动中体现出来。 1、教师引导学生投入到学习活动中去。教师要调动学生的学习积极性，激发学生的学习动机；当学生遇到困难时，教师应该成为一个鼓励者和启发者；当学生取得进展时，教师应充分肯定学生的成缋，树立其学习的自信心；当学习进行到一定阶段时，教师要鼓励学生进行回顾与反思。 2、教师要了解学生的想法，有针对性地进行指导，起到“解惑”的作用；教师要鼓励不同的观点，参与学生的讨论；教师要评估学生的学习情况，以便对自己的教学做出适当的调整。 3、教师要为学生的学习创造一个良好的课堂环境，引导学生开展数学活动。教师在数学教学中应经常启发学生思考：“你是怎么知道这个结果的？”而不只是要求学生模仿和记忆。教师应了解学生的真实想法，并以此作为教学的实际出发点，为学生的学习活动提供一个良好的环境，真正发挥引导者的作用。

把握数学本质几点看法和做法

“把握数学本质”的几点看法和做法 石狮石光华侨联合中学陈润生 （4月9日） 一、问题的提出： 曾经问过几个数学比较优秀的学生这样几个简单的问题，题目和学生的回答如下： （1）什么叫做点在第二象限？ 学生甲：一脸茫然，不知所云？ 学生乙：画出第二象限的一个点，指给我看。 （2）什么叫做两圆外切？ 学生甲：画出两圆外切的图形，指给我看。 学生乙：有唯一公共点，且一个圆在另一个圆的外部的两个圆的位置关系。 我也茫然！我不能说他们是错的，但我觉得这样的数学仅能是“意犹未尽的数学”。思其原因：学生了解到的仅是对于数学知识的外在理解，而未能很好地把握数学的本质！ 我惊叹：“哑巴几何（说不出来的几何）”好可怕！ 我思考：我们要怎么引导学生抓住数学的本质，实现数学的教育目标？ 二、问题的思考 新课程明确提出：淡化形式，注重实质。数学的学习仅仅了解数学知识的外在形式是不够的，而更深层次的必需抓住它的

本质所在。正如，我们认识一个人，并不应仅仅认识其穿一件衣服下的“他”，而应认识的实实在在的“他”（包括化完妆后的“他”）。数学的外在形式很多，正如人可以穿好几套衣服一样，但它的实质却永远不会变（你就是你），教会学生“透过现象看本质”、“外显和内含相呼应”、“用内含来解释外显”是我们应该引导学生完成的一件很重要的任务。 三、问题的探索： 如何实现抓住数学的本质呢？下面几方面可以进行探索： 1.要让学生明确数学的表现形式是多样的，有外部的表现形式（往往还是有很多种），也有内在本质的东西，仅仅了解数学的外部表现是远远不够的，数学的学习和研究实质上就是要抓住数学本质、应用数学的本质。 2.要让学生具有“翻译”能力——“等价翻译”的能力，这是数学知识实现有“外在形式”转化为“内在形式（本质）”的手段和途径。也就是要让学生“听懂话中之意”！ 3.要创设情境，让学生体会到“抓住数学本质，才是抓住数学”的道理。要体现出抓住数学本质的重要性。 4.要让数学的“外在形式”与“内在本质”达到统一。让学生透过外表看本质，由本质问题解释外显现象。 如关于《三角形稳定性》的教学，可以按以下环节，层层递进，抓住和应用数学本质，达到数学的本质与各种外显的统一： ①三角形的三边确定，则三角形就能稳定不变；

对小学数学教学的几点建议-讲座稿

对小学数学教学的几点建议 尊敬的各位领导、老师： 大家好！ 我和大家交流的题目是《小学数学教学的几点建议》，在这过程中说得不当的地方，敬请大家批评指正。 一、用生活中素材帮助我们进行教学 我的第一个建议是，在小学数学教学中，我们可以充分挖掘身边的素材进行教学。 我们的教学条件各不相同，如果有多媒体的支撑，我们能够用生动的动画、精美的图片带领学生轻松学习。但现在的大多数教室的设备，还停留在一支粉笔一块黑板的年代，于是我们在生活中去寻找帮助我们教学的素材尤其重要。 一位老师在进行四年级下册的数学广角里的植树问题时，他伸出两个指头，问大家：“这表示数字几？”孩子们都说二，再伸出三个手指，大家都说三。老师再伸出三个手指问大家：“那大家说说这两个手指间有多少个空”，学生说有两个。这位老师这时告诉告诉学生：“这里的手指间的“空”，在我们数学的植树问题里，是一个新的概念，那就是“间隔”。现在，我让几名同学上来扮演树，我们来看看有多少间隔”。 在这个教学片段里，这位老师没有用多媒体，就是借助老师自己的手进行启发，再让几名学生进行演示，就让学生一下子明白了间隔的意义，整个过程显得轻松且有趣，教学效果也明显。 在进行四则运算的教学时，有位老师遇到难题了，他虽然根据教师用书上的提示，在学生开始接触四则运算时先标出运算顺序，但还是有一部分学生掌握得不太好。有一天，他在黑板上写出尊老爱幼这个词，他说：“尊老是放在前面的，先有尊老，才有爱幼，我们的亲人，有爷爷奶奶爸爸妈妈及兄弟姐妹，我们有东西都要先想到分给爷爷奶奶，然后是爸爸妈妈，最后才是兄弟姐妹。而在运算符号的大家庭中，括号就是爷爷妈妈，我们要先算括号，而乘除则是爸爸妈妈，我们第二步就是算乘除了，最后才是兄弟姐妹，也就是加减了，大家说，大家说，运算符号一家，爷爷奶奶是谁，爸爸妈妈是谁，是兄弟姐妹谁。”接下来，他又以考一考的方式让孩子们复述了几遍他们对应的关系，再进行练习。后来的情况说明，他这种方法的效果很好，基本没有再在运算顺序上出错的孩子了。 二、用好《教师教学用书》 我们在备课时，教案是最常用的，但《教师教学用书》在很多方面却更胜一筹。他没有直接提出我们备课手册里要的东西，但只要花上那么一点功夫，对我们的备课能起到事半功倍的作用。 1、表格形成知识系统 《教师教学用书》有哪些方面好呢，我认为，他的第一个好是每单元前面的知识结构图 《教师用书》里大多数单元不是有表格就是有结构图，这个结构图或结构表，把我们一个单元的主要内容及呈现方式都给浓缩进来了，如果我们在进入每一个单元的教学前，都花上那么几分钟看看，就能够让我们整体把握本单元内容，形成完整的知识体系。便于我们在教学中调整我们的教学进度，也能让我们在对学生的引导中自觉不自觉地把这种认识传递给他们。 2、“教学建议”指导我们灵活采用教法 《教师用书》除了知识结构表可以看之外，第二个看点就是“教学建议”。这些建议不像教案一样，已经把方法固定化，比如教案上常提到的使用多媒体，我们却因条件的限制做不到，以教案作为自己的指导的话，不太适用。所以，我的认识是：“教学建议”可以指导我们灵活采用教法 3、“教学建议”进行练习指导 教学建议的第二个作用，体现在对如何提示我们进行练习指导。 三、用好课本上的主题图、插图 课本是我们进行教学，学生进行学习最基本的依托，所以我们要充分利用课本。在我们人教版的课本中，有个独创，那就是有丰富的主题图和插图。我的第三个建议是，我们要用好课本上的主题图和插图。 这些主题图有什么特征呢，我看有两个，那就是图数并茂、多幅连贯。 四、让学生参与到探索过程中来 我的第四个建议是：让学生参与到探索过程中来， 有的专家甚至提出了这样的理念：“问题比答案更重要过程比结果更精彩”“得到方法就等开拥有未来”，其依据是“听过的，我们会忘记，看过的，我们会有痕迹，亲自做过的，我们会永远记忆”， 在教学到分数的基本性质时，有位老师让孩子们回去剪三张纸条，分别是0.1米、0.10米和0.100米，还要写上具体的数字。第二天一上课，他让孩子们拿出来这三张根纸条，有个学生就大声说这三张纸条一样长，于是这位老师就因势利导，让学生理解了小数末尾添上“0”或去掉“0”小数的大小不变 五、营造严肃、活泼的课堂气氛 课堂是我们师生解决问题的共同战场，良好的课堂气氛决定了教学效果，于是我认为，我们要营造一个严肃活泼的课堂气氛。 1、要求学生上课要精神抖擞、注意力集中。 第一点，我们得要求孩子们上课就得精神抖擞，注意力集中。有一句话说，良好的开头是成功的一半。对于精神状态不佳的孩子，有位老师这样提醒他们：不要焉妥妥、憨痴痴、傻乎乎地坐着，要有精气神，让那股子精气神从脊柱这里向

浅谈从数学文化中理解数学的价值

浅谈从数学文化中理解数学的价值 张瑶03级3班1030500723 数学是什么？数学的特点是什么?数学的价值是什么?我想不是每一个人都能清楚地回答出这三个问题,尽管我们学习的数学专业,但对数学的本质,数学的精髓还知之甚少,需要我们大量阅读关于数学文化,数学史方面的书籍,从而领悟其中的精华。 R.柯朗和H.罗宾斯在《数学是什么》一书告诉我们：数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望。它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。也许我们对这段话还不是很理解，以下我想主要从以下几个大方面谈谈数学的特点和价值在这些方面的具体体现。 一、数学文化的概念 由于数学对象并非物质世界中的真实存在，而是人类抽象思维的产物，所以，数学本身就是一种文化，古希腊的亚里士多德指出，数学是研究大小的量和书的，但是它们所研究的量和书，并不是那些我们可以感觉到的，占有空间的广延性的，可分的量和书，而是作为某种特殊性质的抽象的量和数，使我们在思想中将它们分离开来研究的。从而，在亚里士多德看来，数学对象就只是一种抽象的存在，即是人类抽象思维的产物。 1．数学传统的内涵： 数学对象是客体的，但数学活动的主体——数学家从事的数学活动必定是在一定传统指导之下进行的，他们的行为方式形成了数学传统。数学家有着自己特殊的“工作方式”。以下这个笑话被用来表明在解决问题时，数学家采取与一般科学家（如：物理学家）不同的方法： 有人提出这样一个问题：“架设在你面前有煤气灶，水龙头，水壶和火柴，你想烧些水，应当怎样去做？”对此某人回答到：“在壶上放上水，点燃煤气，在把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，然后又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你有应当怎么做？”这时被提问者往往有信心地回答道：“点燃煤气，在把水壶放到煤气灶上。”因为“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒去壶中的水，并声称他已把后一问题划归为原先的问题了。”这笑话说明了数学思维的一个重要特点：“在解决问题时，数学家往往不是对问题实行直接的攻击，而是不断地对此进行变形，直至最终把它转化成了某个已经得到解决的问题。 2．数学在历史发展中存在三个辩证关系： 1）抽象化与具体化 由于数学的发展在很大程度上凭助更高层次的抽象得以实现，所以更新，更高的抽 象程度是数学发展的一个重要特征；但是我们不能认为抽象化是数学发展的唯一形 式。事实上，例如：“计算数学，运筹学，统计数学等与实践密切相关的学科的建 立与发展就是具体化的实际例子。更重要的是，数学向着更高抽象程度的发展又并 非是一个单向的简单过程，而是在抽象与具体的辩证运动中得以实现的 2）一般化与特殊化 对于特殊化发法在数学解题中的作用人们已经作了较为透彻的研究，因为特殊化可 以更好地弄清题意，我们可以通过特例对可能的结论进行猜测，通过有一般向特殊 的化归解决原来的问题。与此相对照，就一般化方法而言，人们只注意了它的构造 性功能，忽视这一方法在解题中的作用。例如：由“轨迹作图法”在几何作图中的 广泛应用可看出：“轨迹作图具有“化难为易”的功能，而由原来所求作的对象到 相应轨迹的过渡事实上就是一个一般化的过程。所以我们不应片面强调一般化或特 殊化，而应明确地肯定一般化与特殊化的辩证运动是数学发展的一个基本规律。 3）多样化与一体化

数学教学的几点思考(新)

数学教学的几点思考 致学课使用最广泛的课程中学教师就应该把数学课 教好使学生学好。我们在中学的英语课本中学过数学家高斯的故事，在他小的时候计算过一个数学题目是从1加到100的和是多少。不到一分钟的功夫小高斯就做出了答案是5050。我用这个故事来教育学生好好学习思考未来属于你们。现在我们面临的问题很多其中最关键的就是怎样使学生学好数学在这方面教学万法问题。究竟怎样才能把学生教好呢？第一、数学教学活动要注重课程目标的整体实现。第二任重学生在学习活动中的主体。第三、注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握。第四。引导学生积累教学活动经验、感悟数学思想。 一、数学教学活动要注重课程目标的整体实现 新观含中不仅包含对事物的新认识、新思想而且包含一个不断学习的过程。为此现在就必须学会学习只有不断地学习获取新知识更新观含形成新认识。数学教学应根据具体的教学内容创设有助于学生自主学习的问题情景引导学生通 过实践、思考探索交流获得数学的基础知识基本技能、基本思考和基本活动经验使学生主动的、富有个性的学习不断提高发现问题和提出问题的能力分析问题的能力和解决问题

的能力。作为数学教师在教学中不仅要教学生学会更应教学生会学。教学教学活动是师生积极参与交往互动共同发展的过程。 课程目标的整体实现需要日积月累。在日常的教学活动中应努力挖掘教学内容中可能蕴涵的与上述四个方面有关的教育价值通过长期的教学过程看逐渐实现课程的整体目标。因此无论是设计、实施课堂教学方案还是组织有效的教学活动不仅要重视学生获得知识技能而且要激发学生的兴趣通过独立思考考或者合作交流感悟数学的基本思想引导学生在参入数学活动的过程中积累基本经验帮助学生形成良好的学习习惯。 二、注重学生在学习活动中的主体 有效的数学教学活动是教师教育学的统一应体现“以人为本”的理含促使学生的全面发展。学生是数学学习的主体在积极参与学习活动的过程中不断到发展学生获得知识可以通过接受学习也可以通过自主探索等方式但必须建立在自己思考考的基础上；学生应用知识并逐步形成技能离不开自己的实践学生在获得知识库技能的过程中只有亲身参与教师精心设计的教学活动才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展。 创新能力在数学教学中主要表现对已解决问题寻求新的解法。“学起于思，思源于疑、学生探索知识的思维过程

对数学理解的再认识

对数学理解的再认识 作者：黄燕玲等文章来源：数学教育学报 摘要：现代心理学将知识分为陈述性知识和程序性知识 2 大类，根据数学知识的特征，我们将数学知识分为结果性知识和过程性知识 2 类，其中结果性知识包括陈述性知识和程序性知识．因而，数学理解就应指对陈述性知识、程序性知识和过程性知识的理解．图式的获得、产生式系统的建构、关系和观念表征的完善分别是陈述性知识理解、程序性知识理解、过程性知识理解的本质． 关键词：数学理解；陈述性知识；程序性知识；过程性知识 中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2002）03–0040–04 “数学理解”已成为当今数学教育研究的一个热点[1~4]．纵观这些研究，可以发现有一个明显的缺陷，即缺乏对数学过程性知识理解的探究，本文旨在对这一问题作初步探索． 1.数学理解”的研究概述 1.1 两种学习理论对“理解”的阐释 行为主义把学习解释为刺激与反应之间的联结，认为学习过程是一种试误过程，在不断的尝试与错误中逐渐形成联结．在行为主义看来，刺激与反应的联结受到练习和使用的次数增多而变得越来越强，反之，变得越弱．因而，行为主义学习观强调技能训练，实现技能由“自觉地执行”向“自动地执行”的转化，于是，个体对知识的理解就是记忆概念、规则和方法，并能迅速提取并用于解决问题．显然，行为主义将知识理解定位在知识记忆的层面上，而不对“机械性记忆”和“在理解基础上的记忆”加以区别．事实上，行为主义只关注人的外部行为，不研究人的内部思维过程，因而不可能对“知识的理解”作深入探讨． 现代认知心理学认为理解的实质是学习者以信息的传输、编码为基础，根据已有信息建构内部的心理表征、并进而获得心理意义的过程．Mayer 给出了学习者的理解过程模式[5]，如图1 所示． 在这一模式中，个体的理解分为3 个阶段：第一阶段，各种信息经过注意的“过滤”，部分信息经过感觉登记进入短时记忆．第二阶段是编码阶段，进入短时记忆的信息没有得到复述和加工的部分很快消退，得到及时复述和进一步加工的信息进入长时记忆．第三阶段是表征的重新建构和整合阶段．当信息进入长时记忆后，一方面，使已有图式的一些节点和相应的区域被激活，从而使已经得到编码的信息获得了心理意义；另一方面，新信息的纳入又使已有的图式发生相应的变化，形成新的知识网络和认知结构．由于认知心理学是从人的内部心理去探索人类的学习规律，从而对知识理解的解释就更加深刻和合理． 1.2 对数学理解的研究 对数学理解的研究主要集中在几个方面． （1）数学理解的界定．Hiebert 和Carpenter[1]认为：“一个数学的概念或方法或事实被理