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深入研读教材把握数学本质

---由一节课例想到的

常年在教学一线，在与教师共同备课、上课、研讨的过程中，我对小学数学课堂教学实践有了更深刻的理解，同时也遇到了很多问题，这些问题促使我深思：一线教师在教学中到底“教”什么？教学结束后教师能够留给学生什么？听了《倍的认识》一课后，感触颇多,下面结合其中的两个片段谈点自己的看法：

【案例】教学例1

片段一：

师：我们今天来做个小游戏，现在就用圆片来摆一摆，听清楚要求。

师：第一行1个小圆片，第二行摆3个小圆片, 第二行摆的是第一行的3倍; 第一行2个小圆片，第二行摆4个小圆片, 第二行摆的是第一行的2倍;

第一行3个小圆片，第二行摆6个小圆片, 第二行摆的是第一行的2倍;

第一行4个小圆片，第二行摆12个小圆片, 第二行摆的是第一行的3倍;

……

师：这时就说第二行的个数是第一行的x倍…

师：这就是我们学习的“倍”的认识.

片段二:

师：刚才我们认识了“倍”，现在老师要求小朋友用圆片来摆一摆“倍”，听清楚要求。

师：用小圆片摆2的4倍，那么应该怎么摆呢？

师：请同学们先想一想，再把它摆出来。（生摆，师巡视。）

师：谁先摆好，就赶快拿上来，摆在黑板上。

反馈：你是怎么摆的？

生：在第一行摆2个圆片，要求第二行摆的是第一行的4倍，2的4倍就是8，所以我在第二行摆了8个。

师：这样摆的同学请举手。

……

听课之后与执教教师做了交流，为什么不用教材上例1的主题图，直接跳到了例2的主题图了呢？教师的理由是：摆正方形，太麻烦，学生不好操作，摆的正方形不

像……。仅仅是操作的问题，就把本质的东西丢了，这种解读教材的方式对吗？如果按照老教材这样教学没有问题，但是实验教材中这样教学就不合适了，这样不利于学生确定“标准”,不利于学生从几个几的角度来建构“倍”念。

【分析】

首先，让我们了解一下“倍”这个概念的地位和作用：

“倍”在小学数学中是一个很重要的概念，说它重要是因为：它与后面分数、比等知识都有密切的联系，是认识一份数（把一个或多个物体作为标准量）和多份数的开始，是后继知识学习的基础，但同时要想让学生准确的建立“倍”概念，也不是很容易的事，所以它又是一个很难教的概念。

随着教材版本的更换改编，我们应该静下心来认真思考：今天应该如何教“倍”？

先看一下教材的编排顺序：原来义务教材中的编排顺序是：“乘法──除法──倍”，现行人教版实验教材的编排顺序是：“乘法──倍──除法”。我发现“倍”的教学提前了，因此，“倍”的认识基础也发生了变化—即乘法的意义。因此对乘法意义理解得正确与否，将直接影响学生正确理解“倍”的含义。因此，我们在教“倍的认识”时，首先要关注学生对乘法意义的理解。下面就“倍的认识”这一内容的教学谈谈我对本节内容的理解。

让我们看一看教材例1的主题图：

我是这样认识这幅主题图的：

首先我们来关注小朋友摆正方形的情境，从他们所摆的情况来看，红红摆了1个正方形，芳芳摆了2个正方形，明明摆了3个正方形。通过前侧得到：这幅图学生在观察的时候98%的学生首先关注到几个正方形的问题，这恰恰是认识“倍”概念的关

键所在。在此基础上，再进一步深入观察：教材不但给出了小朋友摆出的正方形，而且还给每人配了一句话。红红说：摆1个正方形用4根小棒。芳芳说：我摆了2个正方形。这是芳芳的说完整会怎么说呢？从而引出:芳芳说摆2个正方形用8根小棒,即2个4根。明明说：我摆了3个正方形，是3个4根。而且这三句话是有不同的层次的，从他们所摆的正方形和用了多少根小棒的表述中，我们应该清醒地认识到，教师在引导学生观察这幅情境图时，不但要关注每个小朋友分别用了几根小棒，摆了几个正方形，更重要的是要让学生关注这些小朋友所用的小棒根数之间有什么关系。而且这种关系不是以前学习过的“比多比少”，而是他们所用的小棒和同一个标准──“正方形个数”比较有怎样的关系 (这样设计，更有利于学生整体观察：即几个几的问题)。因此，在让学生观察这幅情境图时，一定要使学生从中感悟到三个小朋友所用的小棒根数，分别是1个4根、2个4根和3个4根，而不仅仅是4根、8根和12根。不但如此，还要让学生感悟到，如果把红红所用根数作为比较的标准，那么芳芳所用的小棒根数是2个4根，明明所用的小棒根数是3个4根。这样，把几个几的问题充分说清楚，从而为“倍”概念的建立奠定了坚实的知识基础。再则，由于学生是学习了乘法的意义之后学习“倍”，中间没有经历学习除法的过程，而且在表示乘法意义时，可以用两种算式表示，所有这些变化对初学乘法的学生而言，在正确理解乘法意义上会带来一定的影响。正因为如此，我们在教学“倍的认识”时，更不能急于给“倍”下定义，而是要让学生充分感知图中存在着丰富的几个几，并且会用几个几表述其他小朋友所用小棒的根数，只有当学生对图中的几个几含义十分清楚，才能给“倍”下定义──“3个4根也可以说成4的3倍”。此时让学生理解“倍”的意义，可以说是水到渠成。但为了使学生真正能够把“倍”和几个几联系起来，还必须引导学生用“倍”来说一说图中小朋友所用小棒之间的关系。明明用的小棒是3个4根，所以他用的小棒是4的3倍；芳芳用的小棒是2个4根，所以她用的小棒是4的2倍。同时更应该让学生清楚地认识到，芳芳所用的小棒根数有2个4根，所以芳芳所用的小棒数是4的2倍；明明所用的小棒根数有3个4根，所以明明所用的小棒根数是4的3倍。

通过以上分析，我们可以清楚地认识到，学生正确掌握“倍”的关键是在学生正确理解几个几的含义基础上，用几个几来理解“倍”，从而使“倍”和几个几之间达到融会贯通。

在此基础上，再举其他的例子，让学生充分感悟：谁是标准，有几个这样的标准

就是标准的几倍,从而真正把倍概念准确建立起来。

【反思】

同样的教学内容,写在教师用书和老师们教案本上的教学目标可能是完全一样的，但在具体实施的过程中，老师们对目标的把握却各有侧重，这反映出的是教师在解读教材时所存在的差异，解读教材的水平的差异也折射出一个教师专业发展的差异。那么如何把教材读深、读透、读到位、读出知识背后所蕴含的数学思想和方法，做到既见树木又见森林，这是我们备课的着力点。所谓备课实际就是一种预设，首先就是对教学目标的预设，而教学目标中首要的内容是数学思想，其次是知识与技能目标，即这就是“教什么”的问题，多数教师还只停留在知识与技能目标的教学层面上，显然，离我们的数学教学还有一段距离。如果教师对“教什么”还是如此浅显、雾里看花、不清不楚，就会造成课堂的低效，甚至是无效。

在共同的教学实践诊断、交流、研讨中，我越来越感觉到一线小学数学教师真正地最欠缺的是对数学学科本质的理解和对教材的准确把握。这是目前一个非常严峻又具有挑战性的问题。要解决好这个问题。不仅需要研究者能从很高的层面对数学有所把握，还需要研究者对小学数学的教学内容、教学定位以及学生的认知水平、心理特征等都有所了解。

认真研读教材是理解教材的必经之路、弄清教材内容的前后联系，领会教材每一个知识点呈现的意图，真正弄清楚“教什么”，这样才能更好地发挥教材的材料作用，发挥教师的主导作用，发挥学生的主体作用，才有利于学生在教师的指导下学得清楚，学得到位，学得有意义。

参考资料：二年级上册小学数学教师用书

把握知识的本质聚焦方法的探索

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/6f5308004.html, 把握知识的本质聚焦方法的探索作者：刘玉琴来源：《教育界·教师培训》2019年第04期【摘要】“進行有价值的学习，让数学真正地发生”，这一直是数学上永恒的话题。真正的数学学习需要让学习者从身动发展到心动，让数学思想扎根于他们的血液之中，这样才会构建出一种源于内心深处的和谐关系。文章对如何更好地构建数学知识进行了一些思考。【关键词】小学数学;教学方式;探讨一、概念性教学——构建有意义的学习经历数学的概念虽然都是纯理论的，但它却是构成数学知识体系的基础。我们要改变传统教学上的那种直接将概念灌输给学生的方式，去探讨别更高质量的教学方法。例如在教学线段时，我们可以进行层次性教学。第一层次通过观察：用一根线拉直前后的样子来让学生感受线段是直的，是有端点的，让学生初步建立线段的表象。在这个过程当中，老师可以用手指一指从哪里到哪里可以看成一条线段。接着让学生找一下身边的线段，用具体的事物来揭示了线段的本质特征。第二层次：结合学生所熟悉的物体，让学生通过剪一剪、折一折来创造一条线段。这里可以发给学生一个花边图形的卡纸，来帮助学生感知线段的存在方式。在学生已经充分理解了线段特征后，再进行第三层次的教学：让学生自己尝试画一画线段，这时候学生画的线段都是直的，但可能没有端点，我们可以再次问问学生：“你的线段从哪到哪？”这时学生会指出来，教师便可以在线段上画出两个小竖线做记号，并介绍这叫作“端点”，让学生完成对“线段的认识”。如果一上来就介绍什么样的图形是线段，然后笼统表示线段有两个端点，学生可能在自己画图的时候，会漏掉那两个端点。“线段”是比较抽象的几何概念，我们觉得很容易，可学生的抽象思维还比较低，认识起来非常困难。特别是当学生学习线段的长度的时候，会搞不清线段从哪量到哪，造成了“食而不化”的局面。因此，在概念教学中，我们要尽量给学生呈现丰富的表象，抽丝剥茧，只有这样才能将概念的本质丰盈起来。二、策略性学习——探究问题的本质以前，“解决问题”叫“应用题”。改成解决问题的目的，是让我们更加注重在教学时培养学生发现问题与解决问题的能力。小学阶段，解决问题所涉及的数量关系很少，特别是二年级，抓题目中的一些字眼就能做了，有些老师就比较注重训练学生做题熟能生巧，形成了一种固定

人教版小学数学新教材解析

小学数学教学中应注意的问题 2012年秋季，全国各地中小学开始使用修订后新课标下的人教版新教材。2014年秋季小学数学的所有年级将全部使用修订后的教材，这套教材既有继承又有创新，教材更加贴近学生生活，符合时代发展的要求，符合儿童认知水平。一、人教版小学数学新教材的特点（一）修订后的教材，还将具有实验教材的主要特点。即1.各部分教学内容编排体现课程标准提倡的数学教育教学理念。如重视发展学生的数感，体现算法多样化，培养学生运算能力;提供关于物体空间关系的更丰富的内容和素材，发展学生的空间观念;加强对统计意义和作用的教学，培养学生数据分析的观念;设计内容丰富又生动有趣的综合实践活动，以利于学生积累数学活动经验，逐步形成应用意识、创新意识和解决问题能力。 2.以学生的已有经验为基础设计活动内容和学习素材，注重学生对知识的体验，获得对知识的理解。 3.教学内容的展开尽量体现知识的形成过程，为学生积累数学活动经验，学习数学思想方法提供机会。 4.注意体现自主探索、合作交流的学习方式。 5.注意体现开放性的教学方法，为教师创造性地组织教学提供丰富的资源。 6.设置“数学广角”，安排渗透数学思想方法的内容，使学生逐步学会数学思维，提高解决问题能力。 7. 结合各部分教学内容进行对学生解决问题能力的培养。（二）通过本次修订将使教材呈现出一些新的特色。主要有： 1.根据小学生学习数学的规律，体现合理的教学顺序和节奏，更利于学生理解数学知识、形成数学能力。根据实验教材使用中获得的对教材编排的意见和建议，新教材对每一部分内容的出现顺序、例题设置、呈现方式和习题设计等都进行认真分析，调整了部分教学内容的出现顺序和教学节奏，使之更加符合小学生学习数学的规律，更有利于学生理解数学知识、形成数学能力。例如，对一年级上下册的教学内容出现顺序进行了调整，将“位置”调到一年级上册，将“分类”调到一年级下册作为“统计”的教学内容。又如，对一些知识的具体教学也做了

小学数学教材解读的心得体会

小学数学教材解读的心得体会今天我有幸聆听了于文静、孙凤武两位专家对教材的深度解析，感觉受益匪浅。教材上每个章节的每一道例题都有一定的教学目标，不仅如此，例题中的每一个要求、问题，其背后都蕴涵着特定的意图。同样，各道练习题也有不同层次的要求与目标。”因此，要用好、用活教材，首先要认真解读教材，了解教材的编排意图和实际目标，并与学生的认知和现实生活实际相结合。下面我谈一谈我的几点的体会：一、创设的情景更加贴近生活根据小学生的特点为他们创设的情景更加贴近生活，以激发他们的学习兴趣。数学教师在教学中要有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学问题的联系，借助学生熟悉的生活实际中的具体事例，激起学生学习数学的求知欲，寻找生活中的数学问题，运用所学知识分析、解决实际问题，引导他们进行研究性学习。二、教学方式的转变。在教学过程中创设的情境必须目的明确，要为教学服务。如果是问题情境，提出的问题就要紧紧围绕着教学目标，而且要非常具体，要有新意和启发性。这样学生能理解问题的含义，才有可能来探索、思考和解决这些问题。创设的情境要真正为教师服务，为学生服务，为教学服务，如果只是为了情境而情境，那是做秀，是一种假的教学情境，是起不到什么作用的。三、创设的问题情境应该是开放的、富有探索性的 2

教学中提供的问题情境应注意一定的开放性，提供一些富有挑战性和探索性的问题。这样不仅会激发学生进一步学习的动机，还能让学生在解决这些问题之后增强自信心，并且大大提高学习数学的积极性。我认为开放的、有探索性的问题情境对学生思维能力的培养和学习兴趣的激发有很大的作用。例如我在教学《按比例分配》后，让学生做探究延伸题，学生积极性非常高，合作，探究，解决问题后那种喜悦溢于言表。其实，很多时候我都是这样去设计的。总之，对教材的钻研，我们教师要做一个明白人，一定要在尊重教材的基础上，自己细细研读，读出其中的学问。使我们的课堂因“用好、用活教材”而活力无限。 2

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识,数学方法

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，数学思想”和“数学方法”之间，没有严格的界限，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学四大思想为：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合.运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一种程度时就会产生飞跃，从而上升为数学思想，比如，我们用代数知识去解决某一几何问题（或用几何知识去解某一代数问题）就是数形结合法，当其在整个几何，（或代数）体系中发挥重要作用时，就自然升华为数形结合思想，因此，人们通常将数学思想与数学方法看成一个整体概念——数学思想方法。二、初中数学教材中的主要数学思想方法纵观初中数学教材，涉及到的思想方法主要有： 1、符号与换元思想方法使用符号化语言和在其中引进变元是数学高度抽象的要求，它能够使数学研究的对象更加准确、具体、形象简明，更易于揭示对象的本质，一套形式化的数学语言极大地简化加速思维过程，例如公式（a ＋b）（a－b）＝a2－b2就是采用符号化语方来表述，当a、b代的任意数、单项式、多项式等代数式都成立，这样的字母表示“换元”，初中教材中的公式、法则、运算律等绝大多数都是用含有变元及符号组合，来表示某一般规律和规则的，这种用符号表达的过程，反映了思维的概括性和简洁性。

2、化归思想方法化归思想方法是用一种联系、发展、运动与变化的观点去认识问题，而不是用孤立、静止的眼光去看待问题，它是通过观察、联想、类比等手段，把问题进行变换、转化、直到化为已经解决或容易解决的问题。教材中几乎处处都隐含着化归思想，如把有理数的减法运算转化为加法运算，除法运算转化为乘法运算，最后转化为算术数的运算；把一元一次方程转化为最简方程；把异分母转化为同分母；将多元方程转化为一元方程；将高次方程化为低次方程；将分式方程化为整式方程；将无理方程化为有理方程；把求负数立方根问题转化为求正数立方根的问题；把不能直接查表的数转化为可以直接查表的数；把复杂图形转化为基本图形；把多边形转化为三角形或特殊四边形等等。 3、分类思想方法分类思想方法是一种依据数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的数学思想方法。数学分类须满足两点要求：①相称性，即保证分类对象既不重复又不遗漏。②同一性，即每次分类必须保持同一的分类标准。（注意同一数学对象，也可有不同的分类标准）在教材中有许多处体现分类思想方法如在概念的形成中有：有理数的概念、绝对值的概念等；在定理的证明中有：圆周角定理的证明、弦切角定理的证明等；在运算的法则中有：一元一次不等式（组）的解法、一元二次方程根的判别等，在图形（像）的性质中有：点、直线、圆之间的位置关系、函数图像的性质等，可见，分类

把握历史的本质

把握历史的本质，营造好看的戏剧 ——看电视剧《郑和下西洋》电视剧《郑和下西洋》正在热播。一幕幕波澜壮阔的场面，一个个活灵活现的人物，一场场扣人心弦的戏剧。编剧导演演员们花费了大量的心血自不必说，单从整个电视剧的拍摄一直持续了两年之久，就可以体会出其中的甘苦了。为了使场景更具真实感，剧组甚至在海南建造了一艘巨型木帆船，其形制之大罕有其匹。剧组决心把《郑》剧打造成精品，决心要让它打动观众，可以说是不遗余力了。但是，作为历史剧，其魂在哪里？决不是几场好看的戏、几个生动的人物就可以交代的。历史剧的魂，在于把握历史的本质，或者说，再现历史的真实。历史剧与古装戏不同。穿着古装的戏，可以演出任何故事，甚至是外国故事，比如演绎莎士比亚戏剧可以身着中国古装演出，这已有不少先例，而且很少有人提出异议，因为它们仅仅是戏而已。然而历史剧则不同，它兼有历史和剧的两个身分。历史剧必须有历史。虽然历史本身就很生动。但如果照搬上舞台，也会难以欣赏，而且事实上也是办不到的。因此，历史剧作为剧，应该比历史更集中、更强烈、更具戏剧性。这就需要取舍，需要调动组合，需要充实细节。历史记载和真实的历史之间总有差距。一些历史阙载的事要靠剧作者去填补，一些缺乏的细节要靠艺术的想象去充实。为了营造戏剧冲突甚至要虚构人物。历史剧所要求的历史真实，并不是要求完全复原历史。它是在把握历史本质的前提下，将历史艺术化、戏剧化。那么，怎样做到艺术化、戏剧化的历史真实呢？在历史题材的文艺创作上，我同意“大事不虚，小事不拘的”原则。大事是什么？大事是指重大历史事件，重要的时代背景，这些决不可胡编乱造，绝不可时空错乱，其主要人物的基本史实和思想风貌决不可扭曲，重要制度和风俗礼制不可背离历史时代。而其中最重要的是把握历史的本质，不能对历史任意曲解。郑和下西洋是在特定时代发生的一件影响世界的大事。对郑和下西洋的评价见仁见智，不无歧义。但当我们把它放在整个历史事件大背景中去观察，把它放到中华民族历史进程和世界文明进程中去观察的时候，我们不能不说它是中国历史盛世的产物。郑和下西洋在航海事业上，表现出了中国人的勇敢坚毅和聪明才智，表现出在航海技术上的领先地位。郑和航海开辟了横跨印度洋的新航线，促进了东西方的经济文化交流。更重要的，郑和下西洋体现了中国自古以来与周边国家交往的和平理念，体现了“共享太平之福”的世界的崇高理想。永乐七年三月，明成祖朱棣命郑和带给“四方海外诸番王及头目”的敕书明白无误地写道：“凡覆载之内，日月所照、霜露所濡之处，其人民老少，皆欲使之遂其生业，不至失所。” 朱棣特遣郑和赍敕，普谕天下，各国要“循礼安分，毋得违越，不可欺寡，不可凌弱，庶几共享太平之福”。（载《郑和家世资料》）我想，这就是郑和下西洋这一伟大历史事件的本质，也是我们在欣赏电视剧《郑和下西洋》是可以得到的核心启示。与一些教科书和文艺作品不同，电视剧《郑和下西洋》没有把郑和下西洋看成是孤立的事件。它在诠释郑和下西洋的同时，也努力展示那个波澜壮阔的时代。而且用浓墨刻画了郑和下西洋的推动者一代雄主朱棣。这是一个充满矛盾的人，一方面他造反夺位，一方面却又声称恪守祖制；一方面对政治反对派残酷镇压，一方面又力行仁政。他是个兼具守成与开创型的帝王。他继承完善了朱元璋奠定的制度，又把朱元璋的事业推向了新的高峰。朱棣在内广拓疆宇，促进了多民族国家的统一与发展；对外广结友邦，增进了中外的经济文化交流。电视剧通过一系列戏剧场景和复杂的人与人的关系，塑造了一个形象生动的朱棣。

数学理解的本质

数学理解的本质认知心理学家将知识在学习者头脑中的呈现和表达方式称为知识的表征．对知识的理解与知识的表征密切相关，事实上，对一个事物本质的理解，就是指该事物的性质以一定的方式在学习者头脑中呈现并能迅速提取．基于此，我们将理解解释为对知识的正确、完整、合理的表征．根据对数学知识的分类，数学理解应涵盖对陈述性知识、程序性知识及过程性知识的理解等3个方面． (1)对陈述性知识的理解．陈述性知识以命题、表象、线性排序等3种形式作为基本表征单位．命题相当于头脑中的一个观念，一个命题被看作是陈述性知识的最小单元．一个命题不是孤立的，它与其它命题相互联系组成命题网络．表象表征是对事物的知觉特征的保留，是一种连续的，模拟的表征．线性排序是对一系列元素所作的线性次序的编码．在人的知识表征中往往组合了命题、表象及线性排序，从而形成对知识的综合表征—_一图式．Anderson[8]认为：“图式是对范畴的规律性做出编码的一种形式．这些规律性既可以是知觉性的，也可以是命题性的．”显然，图式包容了命题网络，因为命题网络并不对可以知觉的规律性做出编码．Gagne 隅】对图式的特征作了更细致的刻画：①图式含有变量；②图式可按层级组织起来，也可以嵌入另一图式之中；③图式能促进推论．对数学陈述性知识的理解是从知识的基本单元表征，到形成命题网络，再到获得图式的过程．许多学者认为，所谓对一个陈述性数学知识的理解就是在个体头脑中建立了该对象的一个命题网络．这种界定将知觉表征排除在外，有偏颇的一面，笔者认为，对一个陈述性数学知识的理解，是指学习者获得了该对象的图式． (2)对程序性知识的理解．程序性知识是由陈述性知识转化而来的，是陈述性知识的动态成分．与静态的陈述性知识不同，程序性知识以“产生式”这种动态形式来表征．所谓产生式指一条“条件——行动”规则，即一个产生式总是对某一或某些特定的条件满足时才发生的某种行为的一种程序．当一个产生式的行动成为另一个产生式的条件时，这2个产生式便建立了相互的联系，若一组产生式有这种相互联系，便形成一个产生式系统，产生式系统代表了人从事某一复杂行为的程序性知识．对数学知识而言，其二重性表现得尤为突出，这种二重性或称为概念性知识和方法性知识(Hiebert& Carpenter) ，或称为对象和过程(Thompson 等)，其本质就是陈述性知识和程序性知识．一个数学概念既包含结果也包含过程，如“加法”：a+b，既代表2个集合中的元素合并或添加起来的过程，又代表合并或添加后的结果．因而，对数学知识的理解就不仅包括对静态的、结果的陈述性知识的理解，而且还包括对动态的程序性知识的理解．既然程序性数学知识的表征是产生式和产生式系统，因此，程序性数学知识的理解就应解释为学习者对产生式和产生式系统的获得．特别地，我们认为对程序性知识中的策略性知识，其表征是一种双向产生式．双向产生式是一种具有双重功能的指令，它既能指令在具备什么样的条件下会有什么动作，又能指令在不同的情形中选用不同的产生式．换言之，学习者不仅知道“如果?那么?”，而且还应知道在什么条件下去使用这个“如果?那么?”．综上所述，学习者对程序性数学知识的理解，是指他建立了双向产生式和产生式系统． (3)对过程性知识的理解．过程性知识与程序知识的共通之处是2者都是动态型知识，但2者的内涵是不同的．其一，过程性知识是指个体对数学知识发生发展过程的体验性知识，当然包含对陈述性知识及程序性知识获得的体验，其动态性贯穿于知识学习的全过程．而程序性知识是进行某项操作活动的程序，它是陈述性知识经过内化而得，其动态性表现在学习过程中的知识应用阶段．其二，程序性知识通过一定量的练习后可以习得甚至形成自动化技能，但过程性知识难以通过练习去习得．其三，程序性知识往往是针对某个知识点而言的，而过程性知识则是关注知识点之间的关系．我们将过程性知识的表征分为2个层面，一是关系表征，二是观念表征．关系表征指个体对知识发展过程中知识之间存在某些关系的体悟．具体地说，它相当于陈述性知识的命题网络中连结命题的连线，以

把握数学本质,以不变应万变

把握数学本质，以不变应万变我们要想解决一个数学问题，关键要把握题中的数学本质，在千变万化中找寻到其中不变的量，求出这些不变的量，然后利用这些不变的量解决最终的问题，以不变应万变。下面，本文主要以“牛吃草”问题为例，阐述解决问题时的“以不变应万变”。一、“牛吃草”问题牛吃草问题也称牛顿问题，最早是伟大的数学家、物理学家牛顿在《普通算术》中提出来的。形如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供10头牛吃20天，或者15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？解决这类问题时，难点是草的总量在不断变化，其中包括草的增加：每天新长的和草的减少：每天被牛吃掉的，而且牛的数量在变化，每天被吃掉的草的量也有所不同。因此解题的关键是想办法从变化中找到不变的量，以不变应万变。我们不难发现，主要有以下这些不变的量：（1）牧场上原有的草的量；（2）每天新长出的草是不变的（匀速生长）；（3）每头牛每天的吃草量是不变的。求出这些不变的量，以不变应万变，问题就容易解决了。我们不妨假设每头牛每天吃草的量为1份，从而我们可以求出10头牛吃20天的草量为：10×20=200（份）；15头牛吃10天的草量为15×10=150（份）。200份草=原有的

草+20天新长的草；150份草=原有的草+10天新长的草。两者都包含原有的草，区别在于新长的草量，为什么前者会比后者多出200-150=50（份）的草？我们不难发现，是因为前者比后者多长了20-10=10（天），也就是说多长的10天的草量就是那多出的50份草，从而可以求出每天新长的草量为：（200-150）÷（20-10）=5（份）。最后利用“每天新长的草量为5份”这个不变的量求出最后一个不变的量：原有的草量。可利用10头牛吃20天的草量为200份求出原有的草量为：200-5×20=100（份）；或者也可用15头牛吃10天的草量为150份求出原有的草量为：150-5×10=100（份）。至此，所有不变的量都已经求出，以这些不变的量应对千变万化的问题，就容易多了。最后要求可供25头牛吃几天，主要有两种想法：（1）25头牛吃草每天消耗25份草，同时每天会新增5份草，也就是说每天净减少25-5=20（份），原有的100份草，100÷20=5（天）就被吃完；（2）由于每天新增5份草，我们可以让其中的5头牛专门去吃每天新增的草，自给自足，剩下的25-5=20（头）牛只能吃原有的100份草，100÷20=5（天）吃完。两种想法略有不同，但列式相同，其本质也一样。至此，整道题就解完了。解决这类问题的关键是想办法从变化中找到不变的量，然后求出这些不变的量，最后利用这些不变的量再求出最终的问题。

解析数学归纳法思想

解析数学归纳法思想嘉兴教育学院吴明华从数学和思想的含义去理解，所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果．数学思想是人们对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识（文①第1页）．数学思想广泛存在于数学的概念、方法和过程之中，具有奠基性、总结性和广泛性的特征．与数学方法相比，数学思想具有更高的概括抽象水平，因而更本质、更深刻．可以这么说，数学思想是数学方法的精神实质与理论基础，而数学方法则是实施有关数学思想的技术与操作程式．数学归纳法是一种特殊的证明方法，它的基本形式是：对于一个与自然数（此处约定最小的自然数为1，即正整数）有关的命题，如果①当时命题成立；②假设当时命题成立，则当时命题也成立，那么命题对一切自然数n都成立．在“中学数学核心概念、思想方法体系及其教学设计”课题第8次活动中，围绕两位教师的课堂展示，课题组对数学归纳法及其教学进行了广泛和深入的讨论，涉及到一些本质性的问题但尚未达成统一的认识．本文阐述笔者对数学归纳法所蕴涵的数学思想的一些认识，试图从本质上去理解数学归纳法． 1．数学归纳法中的归纳思想对于一个与自然数有关的命题，数学归纳法将命题理解为一系列命题：，，，…，即N}．然后由命题，，，…都成立去下结论“命题成立”，这就是笔者重点所指的数学归纳法中的归纳思想．所谓归纳，是指从特殊到一般，从局部到整体的推理．命题是一般的、整体的，而命题，，，…中的每一个都是特殊的、局部的，即使从所有命题，，

，…都成立去概括得出命题成立，其思想也是归纳的思想（完全归纳）．让我们想想，对于一个与自然数有关的命题，我们是否有过不用归纳法去处理的经历？譬如说，求证，我们曾经这样做过：设，则，所以，故．我们的证明只是“就一般的自然数n而言”，也就是说，我们并没有逐个地去考察，，…命题是否成立，而只是把n当作“某个”（当然是任意一个）自然数直接去考察命题是否成立，这在数学上叫做“不失一般性”．其实，这样的例子在数学中比比皆是．让我们从更一般的情形来阐述归纳思想．对于一个数学对象P，如果P可以分解为若干个种类，，，…，那么从研究，，，…入手，概括得到对象P的属性的思想，就是归纳的思想．这与分类讨论有点相似，但分类讨论常常是获得对象P在各种情况下的不同结果，而归纳则取向于获得，，，…的共性，以及由这些共性所反映的对象P的本质．有几个问题是必须讲清楚的．首先，数学归纳法中的“归纳奠基”与“归纳递推” 工作，实际上是两个命题的证明，即证明①命题“”成立，②命题“若，则”成立，而这两个命题自身的证明常常用的是“演绎法”．其次，以“归纳递推”为大前提，以命题成立为小前提，得出命题成立，等等的推理过程也是演绎的．还有，若将自然数公理中的归纳公理（见本文后述）理解为大前提，将数学归纳法中的“归纳奠基”与“归纳递推”理解为小前提，那么得出命题成立的推理过程也是演绎的（文①第110页）．但这些都不妨碍数学归纳法在处理与自然数有关的命题时所体现出来的归纳思

人教版小学五年级数学下册教材解读

拨云见日，让教材的精髓熠熠生辉人教版小学五年级数学下册教材解读（分析）本册教材的教学内容主要有：图形的变换，因数与倍数，长方体和正方体，分数的意义和性质，分数的加法和减法，统计，数学广角和综合应用等。教材努力为学生的数学学习提供生动活泼、主动求知的材料与环境；使学生在获得数学基础知识、形成基本技能的同时得到情感、态度、价值观的熏陶，学生全面而富有个性的发展。一、教学内容在数与代数方面，这一册教材安排了因数与倍数、分数的意义和性质，分数的加法和减法。因数与倍数，在前面学习整数及其四则运算的基础上教学初等数论的一些基础知识，包括因数和倍数的意义，2、5、3的倍数的特征，质数和合数。教材在三年级上册分数的初步认识的基础上教学分数的意义和性质以及分数的加法、减法，结合约分教学最大公因数，结合通分教学最小公倍数。在空间与图形方面，这一册教材安排了图形的变换、长方体和正方体两个单元。在已有知识和经验的基础上，通过丰富的现实的数学活动，让学生获得探究学习的经历，认识图形的轴对称和旋转变换；探索并体会长方体和正方体的特征、图形之间的关系，及图形之间的转化，掌握长方体、正方体的体积及表面积公式，探索某些实物体积的测量方法，促进学生空间观念的进一步发展。在统计方面，本册教材让学生学习有关众数和复式折线统计图的知识。在学习平均数和中位数的基础上，本册教材教学众数。平均数、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势的特征数。平均数作为一组数据的代表，比较稳定、可靠，但易受极端数据的影响；中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，但不受极端数据的影响；众数作为一组数据的代表，也不受极端数据的影响。当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数或中位数来表示这组数据的集中趋势。在用数学解决问题方面，教材一方面结合分数的加法和减法、长方体和正方体两个单元，教学用所学的知识解决生活中的简单问题；另一方面，安排了“数学广角” 的教学内容，引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动向学生渗透优化的数学思想方法，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性，感受数学的魅力。本册教材根据学生所学习的数学知识和生活经验，安排了两个数学综合应用活动，让学生通过小组合作的探究活动或有现实背景的活动，运用所学知识解决问题，体会探索的乐趣和数学的实际应用，感受用数学的愉悦，培养学生的数学意识和实践能力。二、教学目标这一册教材的教学目标是，使学生： 1. 理解分数的意义和基本性质，会比较分数的大小，会把假分数化成带分数或整数，会进行整数、小数的互化，能够比较熟练地进行约分和通分。 2. 掌握因数和倍数、质数和合数、奇数和偶数等概念，以及2、3、5的倍数的特征；会求100以内的两个数的最大公因数和最小公倍数。 3. 理解分数加、减法的意义，掌握分数加、减法的计算方法，比较熟练地计算简单的分数加、减法，会解决有关分数加、减法的简单实际问题。

对数学教学本质的认识

对数学教学本质的基本认识 “数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”这里，强调了数学教学是一种活动，是教师和学生的共同活动。一、数学教学过程是教师引导学生进行数学活动的过程。学生要在数学教师指导下，积极主动地掌握数学知识、技能，发展能力，形成积极、主动的学习态度，同时使身心获得健康发展。数学活动可以从以下两个方面加以理解。 1、数学活动是学生经历数学化过程的活动。数学活动就是学生学习数学，探索、掌握和应用数学知识的活动。简单地说，在数学活动中要有数学思考的含量。数学活动不是一般的活动，而是让学生经历数学化过程的活动。当儿童通过模仿学会计数时，当他们把两组具体对象的集合放在一起而引出加法规律时，这实质上就是数学化的过程。 2、数学活动是学生自己建构数学知识的活动。数学学习是学生在学数学，学生应当成为主动探索知识的“建构者”，决不只是模仿者。无论教师的教还是学生的学都要在学生那里体现，不懂得学生能建构自己的数学知识结构，不考虑学生作为主体的教，不会有好的效果。实际上，教师的教总要在学生那里得到体现与落实，是学生在吸收、消化、理解、掌握、运用知识。离开了学生积极主动的学习，数学教师讲得再好也会经常出现“教师讲完了，学生仍不会”的现象，教学对于指导学生建构数学知识应当具有重要的引导和指导作用，教

师教学工作的目的应是引导学生进行有效地建构数学知识的活动。二、数学教学过程是教师和学生之间互动的过程。教学过程是师生间进行平等对话的过程。在教学中，教师首先应考虑的是要充分调动学生的主动性与积极性，引导学生开展观察、操作、比较、概括、猜想、推理、交流等多种形式的活动，使学生通过各种数学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物和思考问題，产生学习数学的愿望和兴趣。教师在发挥组织、引导作用的同时，又是学生的合作者和好朋友，而非居高临下的管理者。教师的这些作用至少可以在下面的活动中体现出来。 1、教师引导学生投入到学习活动中去。教师要调动学生的学习积极性，激发学生的学习动机；当学生遇到困难时，教师应该成为一个鼓励者和启发者；当学生取得进展时，教师应充分肯定学生的成缋，树立其学习的自信心；当学习进行到一定阶段时，教师要鼓励学生进行回顾与反思。 2、教师要了解学生的想法，有针对性地进行指导，起到“解惑”的作用；教师要鼓励不同的观点，参与学生的讨论；教师要评估学生的学习情况，以便对自己的教学做出适当的调整。 3、教师要为学生的学习创造一个良好的课堂环境，引导学生开展数学活动。教师在数学教学中应经常启发学生思考：“你是怎么知道这个结果的？”而不只是要求学生模仿和记忆。教师应了解学生的真实想法，并以此作为教学的实际出发点，为学生的学习活动提供一个良好的环境，真正发挥引导者的作用。

把握数学本质几点看法和做法

“把握数学本质”的几点看法和做法石狮石光华侨联合中学陈润生（4月9日）一、问题的提出：曾经问过几个数学比较优秀的学生这样几个简单的问题，题目和学生的回答如下：（1）什么叫做点在第二象限？学生甲：一脸茫然，不知所云？学生乙：画出第二象限的一个点，指给我看。（2）什么叫做两圆外切？学生甲：画出两圆外切的图形，指给我看。学生乙：有唯一公共点，且一个圆在另一个圆的外部的两个圆的位置关系。我也茫然！我不能说他们是错的，但我觉得这样的数学仅能是“意犹未尽的数学”。思其原因：学生了解到的仅是对于数学知识的外在理解，而未能很好地把握数学的本质！我惊叹：“哑巴几何（说不出来的几何）”好可怕！我思考：我们要怎么引导学生抓住数学的本质，实现数学的教育目标？二、问题的思考新课程明确提出：淡化形式，注重实质。数学的学习仅仅了解数学知识的外在形式是不够的，而更深层次的必需抓住它的

本质所在。正如，我们认识一个人，并不应仅仅认识其穿一件衣服下的“他”，而应认识的实实在在的“他”（包括化完妆后的“他”）。数学的外在形式很多，正如人可以穿好几套衣服一样，但它的实质却永远不会变（你就是你），教会学生“透过现象看本质”、“外显和内含相呼应”、“用内含来解释外显”是我们应该引导学生完成的一件很重要的任务。三、问题的探索：如何实现抓住数学的本质呢？下面几方面可以进行探索： 1.要让学生明确数学的表现形式是多样的，有外部的表现形式（往往还是有很多种），也有内在本质的东西，仅仅了解数学的外部表现是远远不够的，数学的学习和研究实质上就是要抓住数学本质、应用数学的本质。 2.要让学生具有“翻译”能力——“等价翻译”的能力，这是数学知识实现有“外在形式”转化为“内在形式（本质）”的手段和途径。也就是要让学生“听懂话中之意”！ 3.要创设情境，让学生体会到“抓住数学本质，才是抓住数学”的道理。要体现出抓住数学本质的重要性。 4.要让数学的“外在形式”与“内在本质”达到统一。让学生透过外表看本质，由本质问题解释外显现象。如关于《三角形稳定性》的教学，可以按以下环节，层层递进，抓住和应用数学本质，达到数学的本质与各种外显的统一： ①三角形的三边确定，则三角形就能稳定不变；

对数学理解的再认识

对数学理解的再认识作者：黄燕玲等文章来源：数学教育学报摘要：现代心理学将知识分为陈述性知识和程序性知识 2 大类，根据数学知识的特征，我们将数学知识分为结果性知识和过程性知识 2 类，其中结果性知识包括陈述性知识和程序性知识．因而，数学理解就应指对陈述性知识、程序性知识和过程性知识的理解．图式的获得、产生式系统的建构、关系和观念表征的完善分别是陈述性知识理解、程序性知识理解、过程性知识理解的本质．关键词：数学理解；陈述性知识；程序性知识；过程性知识中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2002）03–0040–04 “数学理解”已成为当今数学教育研究的一个热点[1~4]．纵观这些研究，可以发现有一个明显的缺陷，即缺乏对数学过程性知识理解的探究，本文旨在对这一问题作初步探索． 1.数学理解”的研究概述 1.1 两种学习理论对“理解”的阐释行为主义把学习解释为刺激与反应之间的联结，认为学习过程是一种试误过程，在不断的尝试与错误中逐渐形成联结．在行为主义看来，刺激与反应的联结受到练习和使用的次数增多而变得越来越强，反之，变得越弱．因而，行为主义学习观强调技能训练，实现技能由“自觉地执行”向“自动地执行”的转化，于是，个体对知识的理解就是记忆概念、规则和方法，并能迅速提取并用于解决问题．显然，行为主义将知识理解定位在知识记忆的层面上，而不对“机械性记忆”和“在理解基础上的记忆”加以区别．事实上，行为主义只关注人的外部行为，不研究人的内部思维过程，因而不可能对“知识的理解”作深入探讨．现代认知心理学认为理解的实质是学习者以信息的传输、编码为基础，根据已有信息建构内部的心理表征、并进而获得心理意义的过程．Mayer 给出了学习者的理解过程模式[5]，如图1 所示．在这一模式中，个体的理解分为3 个阶段：第一阶段，各种信息经过注意的“过滤”，部分信息经过感觉登记进入短时记忆．第二阶段是编码阶段，进入短时记忆的信息没有得到复述和加工的部分很快消退，得到及时复述和进一步加工的信息进入长时记忆．第三阶段是表征的重新建构和整合阶段．当信息进入长时记忆后，一方面，使已有图式的一些节点和相应的区域被激活，从而使已经得到编码的信息获得了心理意义；另一方面，新信息的纳入又使已有的图式发生相应的变化，形成新的知识网络和认知结构．由于认知心理学是从人的内部心理去探索人类的学习规律，从而对知识理解的解释就更加深刻和合理． 1.2 对数学理解的研究对数学理解的研究主要集中在几个方面．（1）数学理解的界定．Hiebert 和Carpenter[1]认为：“一个数学的概念或方法或事实被理

把握数学本质实现有效教学

把握数学本质实现有效教学摘要：在讲解二项式定理中的一个例题时，从给出的解法中发现，学生还不会运用已学过的知识，或者想不到运用二项式展开式通项公式解决问题，这一现象非常普遍。本文通过分析三个普遍存在的教学设计，结合中职生的现状，认为立足数学基础，把握数学本质，可以达到数学课有效教学的目的。关键词：职校数学立足基础有效教学一、问题的提出 1.解题讲解（中职数学教材拓展模块3.2二项式定理）例3求的二项展开式的常数项。教材解答过程：解：由于，故，解得m=5。所以二项式展开式中的第5项是常数项，为 2.讲解例题时学生的情况在讲解例题时，一部分学生无从下手，一部分学生对看上去十分复杂的题目（10次方，以前从来没见过！）吓得不敢尝试。小部分学生想到按照二项式展开式将其展开，可

是就是没有学生想到用二项式的通项公式这种最“简单的方法”来解题。 3.评析如此多的学生想不到应用刚刚讲过的二项式通项公式（），原因何在？教师是如何讲授公式的？学生是如何记忆公式的？所采用的方法是否有效？笔者认为有必要弄清楚以上的问题，有利于在以后的教学中采取有针对性的措施和方法，切实提高公式的学习效率。二、普遍使用的教学设计 1.设计1 教师引导学生阅读教科书，并提出两个问题：一是观察（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的展开式系数有什么规律？二是尝试写出（a+b）n的展开式，写出展开式的第m+1项，即通项公式讲解例1、例2、例3。 2.设计2 教师板演分别将（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4展开，利用初中接触过的“杨辉三角”观察展开式系数的规律，给出（a+b）n的展开式和第m+1项。评析：这两种设计都是定位于公式的学习与应用，教师引导学生努力分析和总结公式的规律，寻找好的记忆技巧，追求灵活运用等解题能力的提高。但记忆技巧的形成要建立在学生对公式本质深刻认识的基础上，不然，随着时间

用数学归纳法证明不等式

用数学归纳法证明不等式在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用．例1已知x＞－1，且x≠0，n∈N，n≥2．求证：(1＋x)n＞1＋nx．证：(1)当n=2时，左边=(1＋x)2=1＋2x＋x2，右边=1＋2x，因x2＞0，则原不等式成立．(在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫) (2)假设n=k时(k≥2)，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx．师：现在要证的目标是(1＋x)k+1＞1＋(k＋1)x，请同学考虑．师：现将命题转化成如何证明不等式 (1＋kx)(1＋x)≥1＋(k＋1)x．显然，上式中“=”不成立．故只需证：(1＋kx)(1＋x)＞1＋(k＋1)x．提问：证明不等式的基本方法有哪些？ (学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结) 师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生丙用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．当n=k＋1时，因为x＞－1，所以1＋x＞0，于是左边=(1＋x)k+1=(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(1＋kx)=1＋(k＋1)x＋kx2；右边=1＋(k＋1)x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x．这就是说，原不等式当n=k ＋1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立． (通过例1的讲解，明确在第二步证明过程中，虽然可以采取证明不等式的有关方法，但为了书写更流畅，逻辑更严谨，通常经归纳假设后，要进行合理放缩，以达到转化的目的)例2证明：2n＋2＞n2，n∈N＋．证：(1)当n=1时，左边=21＋2=4；右边=1，左边＞右边．所以原不等式成立． (2)假设n=k时(k≥1且k∈N)时，不等式成立，即2k＋2＞k2．现在，请同学们考虑n=k＋1时，如何论证2k+1＋2＞(k＋1)2成立．师：将不等式2k2－2＞(k＋1)2，右边展开后得：k2＋2k＋1，由于转化目的十分明确，所以只需将不等式的左边向k2＋2k＋1方向进行转化，即：2k2－2=k2＋2k＋1＋k2－2k－3．由此不难看出，只需证明k2－2k－3≥0，不等式2k2－2＞k2＋2k＋1即成立．师：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命题成立，因此在证明第一步中，应补充验证n=2时原命题成立，那么，n=3时是否也需要论证？师：(补充板书)当n=2时，左=22＋2=6，右=22=4，所以左＞右；当n=3时，左=23＋2=10，右=32=9，所以左＞右．因此当n=1，2，3时，不等式成立．(以下请学生板书) (2)假设当n=k(k≥3且k∈N)时，不等式成立．即2k＋2＞k2．因为2k+1＋2=2·2k＋2=2(2k ＋2)－2＞2k2－2=k2＋2k＋1＋k2－2k－3=(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0，k＋1＞0) ≥k2+2k＋1=(k＋1)2．所以2k+1＋2＞(k＋1)2．故当n=k＋1时，原不等式也成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N都成立．师：通过例2可知，在证明n=k＋1时命题成立过程中，针对目标k2＋2k＋1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤(把验证

数学的本质与其对数学教学的意义

随着数学课程改革的不断深入和发展，数学教育中的许多深层次问题也越来越引起广大教育工作者的重视。“数学是什么?”“数学来自于哪里?”这些涉及数学本质的问题就是诸多深层次问题中的重要问题。正确理解数学的本质对于树立正确的数学教育观念、对于数学课程改革的继续发展均有着巨大的现实指导意义。一、数学是什么?作为一个现代人，不知道“数学”的人恐怕不多，但能将数学是什么解释得很清楚的人恐怕也不是很多。其实，即使作为专业的数学工作者，由于各自的认识与经历不同，对数学是什么的回答也有相当大的差异。1．“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”众所周知，关于数学的这个定义是恩格斯提出来的。事实上，恩格斯的这个定义，很多年以来，就是国内和国际数学界与哲学界公认的最权威的定义，最新版(2005年版)的《现代汉语词典》仍然是这样来定义数学的——“研究现实世界的空间形式和数量关系的学科”。20世纪以来，新的数学分支不断产生，纯数学越来越抽象，它与现实世界之间的距离似乎越来越远；同时，应用数学在现实世界中的涉及面空前广泛且越来越广泛，数学的研究对象似乎不仅仅是空间形式与数量关系；而且，有不少研究者从自己的认识出发，提出了关于数学的多种定义。于是乎，近些年有人就认为恩格斯给数学所下的定义过时了或“远远不够了”。这样的认识是片面的，因为事实并非如此。匡继昌先生深刻分析了“数学是什么”，认为“数学的定义应该反映数学研究的对象及其本质属性”，“只有从唯物辩证法的哲学高度，才能认清现实世界的数量关系和空间形式不是固定不变的，而是其内涵不断加深，外延不断拓广的”，所以，“恩格斯关于‘数学是什么’的论断并未过时”。2．数学是系统化了的常识这是国际著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔的观点。他认为数学的根源是普通常识，作为常识的数学，随着语言从说话到阅读和写作的不断进步与发展，也不断地进步与发展着。如数概念的获得，主要是由口头语言中相应的数词来支持的(如从一个人、一支笔、……，得到“1”)，在这个过程中，首先是数学思想的语言表达。普通常识是有等级的，普通常识由经验上升成规律后，这些规律再次成为普通常识，即较高层次的常识。弗赖登塔尔曾经说过：“为了真正的数学及其进步，普通的常识必须要系统化和组织化。如同以前一样，普通常识的经验被结合成为规律(比如加法的交换律)，并且这些规律再次成为普通的常识，即较高层次的常识。作为更高层次数学的基础——一个巨大的等级体系，是由于非凡的相互影响的力量来建立的。”3．数学是人为规定的一套语言、符号系统这是部分数学史家们的看法。持这种观点的人虽然不多，但很有代表性，它给了我们认识“数学是什么”的一个新角度。翻开一部数学史，除了早期的数学与生活有着非常高的关联度，还需借助现实的生活事实去解释外，后来的数学就越来越关注自己的“语言、符号”了。这种现象最早可追溯到欧几里得的《几何原本》，到了现代，数学的这种特性表现得更加充分。当然，数学作为人为规定的一套语言、符号系统，必须要有一定的条件。通俗点讲，就是这套语言、符号系统必须能自圆其说，高雅点讲，这套系统必须是完备的。举例来说，如果你规定1+1=3，在此基础上去构造一套语言、符号系统，并且能自圆其说，也许一个新的数学分支就诞生了。数学史上不乏这样的先例。如伽罗瓦的群论，康托尔的集合论等等，当初他们出现在数学家们的眼前时，并不为大家所认可。但事实证明，这些是数学，而且是非常重要的数学。由于康托尔的集合论在自圆其说方面有一点小小的问题，从而导致了历史上的一次严重的数学危机。随着这一危机的解决，集合论变得更加完备，数学的基础变得更加稳固。集合论的创立是数学史上的一个巨大成就，以至于今天的小学数学教学中，都必须渗透集合论的思想，从而提高学生的数学认知能力。

深入研读教材 把握数学本质