高二数学上学期全科竞赛试题
高二数学上学期全科竞赛试题
考试时间：120分钟；试卷满分：150分 第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1.观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的特点,问第100项为（ ） A.10 B.14 C.13 D.100
2.已知实数x,y 满足 ,若直线kx ﹣y+1=0经过该可行域,则实数k 的最大值
是（ ）
A.1
B.
C.2
D.3
3.设数列{a n }、{b n }都是等差数列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,则a 37+b 37等于（ ） A.0 B.37 C.100 D.﹣37
4.已知等差数列
中,前n 项和为 , 若
,则
等于（ ）
A.12
B.33
C.66
D.11 5.若实数x 、y 满足
,则Z=
的取值范围为（ ）
A.（﹣∞,﹣4]∪[ ,+∞）
B.（﹣∞,﹣2]∪[ ,+∞）
C.[﹣2, ]
D.[﹣4, ]
6.等差数列{a n }的前三项依次为a ﹣1,a+1,2a+3,则此数列的第n 项a n =（ ） A.2n ﹣5 B.2n ﹣3 C.2n ﹣1 D.2n+1
7.若3a+4b=ab,a ＞0且b ＞0,则a+b 的最小值是（ ） A. B. C.
D.
8.已知ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若3cos 2cos a C c A =,1tan 3
A =,则角
B 的度数为（ ）
A ．120
B ．135
C ．60
D ．45
9.已知等比数列{}n a 的n 前项积为n T ,若2228log log 2a a +=,则9T 的值为（ ） A. 512± B. 512 C. 1024± D. 1024
10.在△ABC 中,内角A,B 所对的边分别为a,b,若a cos A ＝b cos B,则△ABC 的形状一定是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
11.在等比数列{a n }中,a 1＋a n ＝34,a 2a n －1＝64,且前n 项和S n ＝62,则项数n 等于( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 12.满足45,6,2A c a ==
=的ABC ?的个数记为m ,则m a 的值为（ ）
A. 4
B. 2
C. 1
D. 无法确定
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上 13.已知 0 的最小值为 ． 14.若不等式2 2 492k x y xy +≥对一切正数,x y 恒成立,则整数k 的最大值为________ 15.设ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且 A B C >>, 320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为__________． 16.设等差数列 的前14项和,已知均为正整数,则公差 ____. 三、解答题（本大题共6小题,70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分） 设z=2y ﹣2x+4,式中x,y 满足条件 ,求z 的最大值和最小值． 18. （本小题满分12分） 设数列{a n }的前n 项和是S n , 若点A n （n, ）在函数f （x ）=﹣x+c 的图象上运动,其中c 是与x 无关的常数,且a 1=3（n∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）记b n =aa n ,求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值． 19. （本小题满分12分）在△ABC 中, （1）已知 a=2bsinA,求B ； （2）已知a 2+b 2+ ab=c 2 , 求C ． 20.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S , 11a =, () * 11,1n n a S n N λλ+=+∈≠, 且1a 、22a 、33a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n b n a =?,求数列{}n b 的前n 项和n T . 21.（本小题满分12分）设()2 sin cos cos 4f x x x x π? ? =-+ ?? ? . （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ?? == ??? ,求ABC ?面积的最大值. 22.（本小题满分12分）已知函数()()2 f x x ax a R =-∈. （1）若2a =,求不等式()3f x ≥的解集； （2）若[ )1,x ∈+∞时, ()2 2f x x ≥--恒成立,求a 的取值范围. 参数答案 1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.B 7.D 8.B 9.A 10.D 11.B 12.A 13.9 14.3 15.6:5:4 16.-1 17.解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=2y﹣2x+4得y=x+ , 平移直线y=x+ ,由图象可知当直线y=x+ 经过点A（0,2）时, 直线y=x+ 的截距最大,此时z最大,z max=2×2+4=8． 直线y=x+ 经过点B时,直线y=x+ 的截距最小,此时z最小, 由 ,解得 ,即B（1,1）,此时z min=2﹣2+4=4, 即z的最大值是8,最小值是4． 【解析】17.作出不等式组对应的平面区域,由z=2y﹣2x+4得y=x+ ,利用数形结合即可的得到结论． 18. （1）解：∵点A n（n, ）在函数f（x）=﹣x+c的图象上运动,其中c是与x无关的常数,且a1=3（n∈N*）． ∴ =﹣n+c,即S n=﹣n2+cn, ∴n=1时,a1=S1=﹣1+c=3,解得c=4． 当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=﹣n2+4n﹣[﹣（n﹣1）2+4（n﹣1）]=﹣2n+5,n=1时也成立． ∴a n=﹣2n+5． （2）解：b n=a =a﹣2n+5=﹣2（﹣2n+5）+5=4n﹣5． ∴n=1时,b1=﹣1＜0； n≥2时,b n＞0． 因此,当n=1时,数列{b n}的前n项和T n取得最小值﹣1 【解析】18.（1）由已知可得： =﹣n+c,即S n=﹣n2+cn,再利用递推关系即可得出．（2）b n=a =a﹣2n+5=4n﹣5．可知：n=1时,b1=﹣1＜0；n≥2时,b n＞0．即可得出． ． 【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式,掌握数列{a n}的前n项和s n与通项a n的关系；如果数列a n的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题． 19. （1）解：∵ a=2bsinA,由正弦定理可得： sinA=2sinBsinA,sinA≠0,化为sinB= ,B∈（0,π）,∴B= 或 （2）解：∵a2+b2+ ab=c2,∴cosC= = =﹣ ,又C∈（0,π）, ∴C= 【解析】19.（1）由正弦定理可得： sinA=2sinBsinA,sinA≠0,化为sinB= ,即可得出；（2）利用余弦定理即可得出． 【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义和余弦定理的定义,掌握正弦定 理:；余弦定 理:; ; 即可以解答 此题． 20.（Ⅰ）1 2n n a -=（Ⅱ）()121n n T n =-?+ 【解析】20.试题分析：（Ⅰ）由11n n a S λ+=+可得()112n n a S n λ-=+≥,两式相减,验证1a 即可得结论；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得1 2n n n b na n -==?,利用错位相减法求解即可. 试题解析：（Ⅰ）∵11n n a S λ+=+（*n N ∈）,∴()112n n a S n λ-=+≥, ∴1n n n a a a λ+-=,即()11n n a a λ+=+（2n ≥）,10λ+≠, 又11a =, 2111a S λλ=+=+, ∴数列{}n a 是以1为首项,公比为1λ+的等比数列, ∴()231a λ=+,∴()()2 41113λλ+=+++,整理得2210λλ-+=,得1λ=, ∴1 2n n a -=． （Ⅱ）1 2n n n b na n -==?, ∴121 1122322n n T n -=?+?+?+?+?,① ∴()1 2 1 2122212 2n n n T n n -=?+?+?+-?+?,② ①-②得2 1 1222 2n n n T n --=+++?+-? ( )1122 12 n n n ?-= -?-, 整理得()121n n T n =-?+． 21.（I ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ?? - ++∈???? ； 单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ?? ++∈? ??? . （II ）ABC ? 23 + 【解析】21.试题分析：（Ⅰ）将已知函数解析式用二倍角公式化简可得()1sin22 f x x =- ,将整体角2x 分别代入正弦函数的单调增区间和单调减区间内,求得x 的范围即为所求．（Ⅱ）由02A f ??= ??? 可得sin A 的值,从而可得cos A ．由余弦定理可得222 2cos a b c bc A =+-,由基本不等式可得bc 的范围,从而可得三角形面积的最大值． 试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin2222 x x f x π? ?++ ? ??=- sin21sin21 sin2222 x x x -= -=- 由222,2 2 k x k k Z π π ππ-+≤≤ +∈可得,4 4 k x k k Z π π ππ- +≤≤ +∈ 由 3222,2 2k x k k Z π πππ+≤≤ +∈可得3,44 k x k k Z ππ ππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ?? - ++∈???? ； 单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ?? ++∈? ??? （Ⅱ）由1sin 0,22A f A ?? =-= ? ?? 得1sin 2A = 由题意知A 为锐角, 所以cos A = 由余弦定理： 2222cos a b c bc A =+- 可得： 2212b c bc +=+≥即： 2bc ≤+当且仅当b c =时等号成立． 因此 1sin 2bc A ≤ ABC ? 22.（1）{|1x x ≤-或3}x ≥；（2）(] ,4-∞. 【解析】22.试题分析：（1）将a 的值代入函数,解不等式即可；（2）先分离参数,再构造新 函数()12h x x x ??=+ ?? ?,结合函数的性质和恒成立的条件可得a 的取值范围. 试题解析：（1）若()2,3a f x =≥ 即()()2 230,310x x x x --≥-+≥ 所以原不等式的解集为{|1x x ≤-或3}x ≥ （2）()2 2f x x ≥--即12a x x ?? ≤+ ??? 在[)1,x ∈+∞时恒成立, 令()12h x x x ?? =+ ??? ,等价于()min a h x ≤在[)1,x ∈+∞时恒成立, 又()124h x x x ??=+ ≥= ?? ?,当且仅当1x x =即1x =等号成立,所以4a ≤. 故所求a 的取值范围是(] ,4-∞. 2019-2020学年湖南省炎德英才杯2018级高二下学期基础学科知识竞赛 数学试卷 ★祝考试顺利★ (解析版) 时量：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。 1.已知命题p ：?x>0,ln(x ＋1)>0,则命题p 的否定是 A.?x>0,ln(x ＋1)≤0 B.?x ≤0,ln(x ＋1)>>0 C.?x 0>0,ln(x 0＋1)>0 D.?x 0>0,ln(x 0＋1)≤0 2.已知集合A ＝{x|－1 2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二试卷 考生注意事项： 1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟. 2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器. 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1.若集合{0}A x x =≥，且A B B ?=，则集合B 可能是（ ） A.{}1,2 B.{1}x x ≤ C.{1,0,1}- D.R 2.若对任意实数x 错误!未找到引用源。都有x x x f x f sin cos 3)(2)(-=-+错误!未找到引用源。，则函数()y f x =错误!未找到引用源。的图象的对称轴方程为（ ） A ．Z k k x ∈+=,4 π π 错误!未找到引用源。 B ．Z k k x ∈- =,4 π π 错误!未找到引用 源。 C ． Z k k x ∈+=,8 π π 错误!未找到引用源。 D ．Z k k x ∈- =,6 π π 错误!未找到引用 源。 3.一个水平放置的一个的正三棱锥,其底面是边长为6的正三角形、侧棱长均为5， 其主视图，俯视图如图所示，则其侧视图（ ） A.形状是等腰三角形，面积为133 B.形状是等腰三角形，面积为 2 39 3 C.不是等腰三角形，面积为 133 D.不是等腰三角形，面积为 2 39 3 4.已知在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ，现将△ABC 绕BC 所在直线旋转到△PBC ，设二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，PB 与平面ABC 所成角为α，PC 与平面PAB 所成角为β，若0＜θ＜π，则α、sin β的范围分别是（ ） )33,0(],3,0(.π A ]33,0(],3,0(.πB )21,0(],3,0(.πC 1.(0,],(0,) 62 D π 5.202,()342x f x x x x ≤≤=+-函数的最大值是（ ） 高中数学知识竞赛题 一、每题10分 1、（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知集合 {}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ?”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 2、（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的 体积之比为 （ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16 【答案】C 3、若直线a 与平面α不垂直，那么平面α内与直线a 垂直的直线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．无数条 D ．不确定 【答案】C 4、直线3x =+的倾斜角为（ ） A.?30 B. ?45 C. ?60 D. ?90 【答案】A 5、（2013年高考上海卷（理））钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜” 是“好货”的 （ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件 【答案】B ． 6、．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））命题“对任意x R ∈, 都有2 0x ≥”的否定为 （ ） A ．对任意x R ∈,都有2 0x < B ．不存在x R ∈,都有2 0x < C ．存在0x R ∈,使得200x ≥ D ．存在0x R ∈,使得200x < 【答案】D 8、已知水平放置的△ABC 是按斜二测画法得到如图所示的直观图， 其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝ 3 2 ，那么△ABC 是一个( )． A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．三边互不相等的三角形 【答案】A 9、圆1C ：222880x y x y +++-=与圆2C 22 4420x y x y +-+-=的位置关系是（ ）. 高二数学上学期创高杯竞赛试题 时量120分钟 总分150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．（5分）若1 31a 2??= ??? ,13b log 2=,12 c log 3 =,则a,b,c 的大小关系是( ) A ．b a c << B ．b c a << C ．a b c << D ．c b a << 2．（5分）在等比数列{}n a 中,121a a =,369a a =,则24a a =（ ） A ．3 B ．3± C D ．3．（5分）设命题1:()p f x x = 在定义域上为减函数；命题:()cos()2 q g x x π =+为奇函数,则下列命题中真命题是( ) A ．p q ∧ B ．()()p q ?∧? C ．()p q ?∧ D ．()p q ∧? 4．（5分）下面命题正确的是 A ．若0x ≠,则1 2x x + ≥ B ．命题“0x R ?∈,2 000x x -≤”的否定是“x R ?∈,20x x ->” C ．若向量a ,b 满足0a b ?<,则a 与b 的夹角为钝角 D ．“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件 5．（5分）在ABC △中, sin 2B = ,1AB =,3BC =,则AC =（ ） A B ． C ．3 D 6．（5分）已知点P 为抛物线2 4y x =上的动点,点P 在y 轴上的射影是,B A 点坐标为 ()3,4-,则+PA PB 的最小值是（ ） A ．5 B ．4 C ． D ．1 7．（5分）已知双曲线的一个焦点与圆2260x y x +-=的圆心重合,且其渐近线的方程为 y =,则该双曲线方程为（ ） 2019年耒阳二中高二学科竞赛数学试卷 （提示：把答案写在答案卷上。考试时间：120分钟，满分150分） 一、选择题（将每小题的唯一正确的答案的代号填在题后的括号内。本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 1、已知函数，则不等式f （x ﹣2）+f （x 2 ﹣4）＜0的解集为（ ） A ． （﹣1，6） B ． （﹣6，1） C ． （﹣2，3） D ． （﹣3，2） 2、已知? ??>≤+-=1,log 1 ,4)13()(x x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．1 (0,)3 C ．11[,)73 D ．1[,1)7 3、若正数a ，b 满足a+b=4，则 19 11 a b + --的最小值( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16 4、已知斜四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各棱长均为2，∠A 1AD=60°，∠BAD=90°，平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，则直线BD 1与平面ABCD 所成的角的正切值为（ ） A ． B ． C ． D ． 5、等差数列{}n a 中,10a >,n S 是前n 项和且918S S =,则当=n （ ）时,n S 最大． A ．12 B ．13 C ．12或13 D ．13或14 6、设数列}{n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，}{n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则=+++1021b b b a a a （ ） A ．1033 B ．2057 C ．1034 D ．2058 7、设F 为双曲线22 221x y a b -=（a ＞b ＞0）的右焦点，过点F 的直线分别交两条渐近线于A ， B 两点，OA⊥AB，若2|AB|=|OA|+|OB|，则该双曲线的离心率为（ ） 2017年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二试卷 考生注意事项： 1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟. 2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器. 一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答 案） 1.函数)2sin(3)(π+=x x f 是（ ） （A ）周期为π2的奇函数 （B ）周期为π2的偶函数 （C ）周期为π的奇函数 （D ）周期为π的偶函数 2．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx =0}，N={(x ，y )|x 2+y 2≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）8 （D ）9 3． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如 果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) （A ）1个 （B ）2个 （C ）50个 （D ）100个 4．有若干个棱长为1的小正方体搭成一个几何体，这个几何体的正视图和侧视图均如右图所示，那么符合这个平面图形的小正方体块数最多时该几何体的体积是 （ ） （A ）6 （B ） 14 （C ）16 （D ） 18 5．在平面直角坐标系中，方程|x +y |2a +|x －y | 2b =1 (a ，b 是不相等的两个正数)所代表 的曲线是 ( ) （A ）三角形 （B ）正方形 （C ）非正方形的菱形 （D ）非正方形的长方形 6．已知x ，y 满足?????y －2≤0， x ＋3≥0，x －y －1≤0， 则46 --+x y x 的取值范围是 ( ) （A ）??????720,2 （B ）??????713,1 （C ）??????73,0 （D ）?? ????76,0 7．设四面体四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，它们的最大值为S ，记1234 = S S S S S λ+++， 则λ一定满足( ) （A ）2<λ≤4 （B ）3<λ<4 （C ）2.5<λ≤4.5 （D ）3.5<λ <5.5 第4题 高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。 4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法； 高中数学线性回归方程检测试题（附答案） 高中苏教数学③ 2. 4线性回归方程测试题 一、选择题 1．下列关系属于线性负相关的是（） Ａ．父母的身高与子女身高的关系 Ｂ．身高与手长 Ｃ．吸烟与健康的关系 Ｄ．数学成绩与物理成绩的关系 答案：Ｃ 2．由一组数据得到的回归直线方程，那么下面说法不正确的是（） Ａ．直线必经过点 Ｂ．直线至少经过点中的一个点 Ｃ．直线 a的斜率为 Ｄ．直线和各点的总离差平方和是该坐标平面上所有直线与这些点的离差平方和中最小的直线 答案：Ｂ 3．实验测得四组的值为，则y与x之间的回归直线方程为（） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ． 答案：Ａ 4．为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人所得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别是，那么下列说法正确的是（） Ａ．直线和一定有公共点 Ｂ．直线和相交，但交点不一定是 Ｃ．必有直线 Ｄ．和必定重合 答案：Ａ 二、填空题 5．有下列关系： （1）人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系 （2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系 （3）苹果的产量与气候之间的关系 （4）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系（5）学生与他（她）的学号之间的关系 其中，具有相关关系的是． 答案：（1）（3）（4） 6．对具有相关关系的两个变量进行的方法叫做回归分析．用直角坐标系中的坐标分别表示具有的两个变量，将数据表 中的各对数据在直角坐标系中描点得到的表示具有相关关 系的两个变量的一组数据的图形，叫做． 答案：统计分析；相关关系；散点图 7．将一组数据同时减去3.1，得到一组新数据，若原数据的平均数、方差分别为，则新数据的平均数是，方差是，标准差是． 答案：；； 8．已知回归直线方程为，则可估计x与y增长速度之比约为． 答案： 三、解答题 9．某商店统计了近6个月某商品的进价x与售价y（单位：元）的对应数据如下： 3 5 2 8 9 12 4 6 3 9 12 14 求y对x的回归直线方程． 解：，， 回归直线方程为． 10．已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下： 45 42 46 48 42 6.53 6.30 9.25 7.580 6.99 35 58 40 39 50 高二年级学科知识竞赛数学试卷 第I 卷（选择题） 一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．命题:p 方程 11 52 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是 A ．53< 吉林省延边市长白山第一高级中学2021-2022高二数学上学期学科竞 赛试题 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（每题5分，共60分） 1．命题:(1,),23x p x ?∈+∞> ，则p ? 是（ ） A.(1,),2 3x x ?∈+∞ B.(,1],2 3x x ?∈-∞ C.0 0(1,),2 3x x ?∈+∞ D.0 0(,1],2 3x x ?∈-∞ 2．已知23:,522:≥=+q p ,则下列判断中，错误的是 （ ） A ．p 或q 为真，非q 为假 B ． p 或q 为真，非p 为真 C ．p 且q 为假，非p 为假 D ． p 且q 为假，p 或q 为真 3．“x y =”是“||||x y =”的（ ）条件 A ．充要 B ．充分不必要 C ．必要不充分 D ．既不充分也不必要 4. 过椭圆2 2 41x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆交于,A B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 5．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①m α?，n ?α，m β，n βα β? ②n m ∥，n m αα?? ③α β，m α?，n m n β?? ④m α∥，n m n α?? 其中，真命题的个数有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（ ） A ．一条射线 B ．双曲线右支 C ．双曲线 D ．双曲线左支 7．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1AD 所成角的大小为（ ） A ．30? B ．45? C ．60? D ．90? 8. 圆：01222 2 =+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最小值是（ ） A ． 2 B ．21+ C ．12- D ．221+ 9．过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为其右焦点， 若1230F F P ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A ． 2 2 B ．13 C ．12 D ． 3 3 10．不论m 取任何实数，直线()0121:=++--m y x m l 恒过一定点，则该定点的坐标 是（ ） A ．()3,2 B ．()3,2- C ．()0,2- D ．?? ? ??- 21,1 11．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -的体积为1，则阳马P ABCD -的外接球的 表面积等于（ ） A ．17π B ．18π C ．19π D ．20π 12.已知椭圆C 的焦点为121,0,0F F -()，(1)，过2F 的直线与C 交于,A B 两点.若 222AF F B =,1AB BF =，则椭圆C 的方程为（ ） 高中数学选修2-3统计案例之线性回归方 程习题课 1．相关关系的分类 从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关． 2．线性相关 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线． 3．回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法． (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变 量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其回归方程为y^＝b^x＋a^，则b^，a^其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距． 4．样本相关系数 r＝ ∑ i＝1 n (x i－x)(y i－y) ∑ i＝1 n (x i－x)2∑ i＝1 n (y i－y)2 ，用它来衡 量两个变量间的线性相关关系． (1)当r＞0时，表明两个变量正相关； (2)当r＜0时，表明两个变量负相关； (3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很 强的线性相关关系． 5．线性回归模型 (1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误差． (2)相关指数 用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：R2＝，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好． 规律 (1)函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是 石家庄二中2020~2021学年第一学期期中考试高二竞赛班数学试卷 考试时间为120分钟，总分150 一、选择题 1．对于简单随机抽样，每个个体每次被抽到的机会（ ） A ．相等 B ．不相等 C ．无法确定 D ．与抽取的次数有关 2．命题“x ?∈R ，20x >”的否定是（ ） A ．0x ?∈R ，0 2 0x > B ．0x ?∈R ，020x ≤ C ．x ?∈R ，20x < D ．x ?∈R ，20x ≤ 3．从0，1，2，3，4，5这六个数中取两个奇数和两个偶数组成没有重复数字的四位数的个数是（ ） A ．300 B ．216 C ．180 D ．162 4．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示： 根据上表可得回归直线方程??0.56y x a =+，样本点的中心为(170,69)，据此模型预报身高为172cm 的高三男生的体重为（ ） A ．70.09 B ．70.12 C ．70.55 D ．71.05 5．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ：“抽到一等品”，事件B ：“抽到二等品”，事件C ：“抽到三等品”，且已知()0.65P A =，()0.2P B =，()0.1P C =．则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ） A ．0.65 B ．0.35 C ．0.3 D ．0.005 6．已知命题p ：1x >，命题q ：2 x x >，则q ?是p ?的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽样时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列开始向右读，请你写出抽取检测的第5袋牛奶的编号是（ ）（下面摘取了随机数表第7行至第9行） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 山东省新泰一中2018-2019学年高二数学上学期竞赛试题 一选择题(每小题5分，共60分) 1．等比数列的前n项和为，若，则公比 A． B． 2 C． 3 D． 2．已知，则“”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知是等差数列，，则该数列的前14项的和（） A． 52 B． 104 C． 56 D． 112 4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（） A． B． 1 C． D． 5．已知函数，若对任意，都有成立，则实数x 的取值范围为 A． B． C． D． 6．已知等比数列满足，且成等差数列．若数列满足 （n∈N*），且，则数列的通项公式（） A． B． C． D． 7．已知抛物线上的点到焦点的距离是,则抛物线的方程为( ) A．B． C． D． 8．若曲线y＝a x在x＝0处的切线方程是xln 2＋y－1＝0则a＝( ) A．B． 2 C． ln 2 D． ln 9．已知点M为椭圆上一点，椭圆的长轴长为，离心率，左、 右焦点分别为F1、F2，其中B（3，2），则的最小值为（） A． B． C． D． 10．将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是（） A．平面平面B．四面体的体积是 C．二面角的正切值是 D．与平面所成角的正弦值是 11．在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 12．在正方体中，点是侧面内的一动点，若点到直线与到直线 的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 二填空题（每小题5分，共20分） 13．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若，则abc=____. 14．若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数的值为_____________. 15．已知函数__________________. 16．已知实数且，则的最小值为__________． 三解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分，请写出必要的解题步骤） 17．设复数. (1)当为何值时,是实数; (2)当为何值时, 是纯虚数. 高中数学竞赛基本知识集锦 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 α αααααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan +=-=+-±= 积化和差 ()()[]βαβαβα-++=sin sin 2 1cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 2 1sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 2 1cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2 1sin sin 和差化积 2 cos 2sin 2sin sin βαβ αβα-+=+ 2 sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2 cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ 2 sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 万能公式 α αα2tan 1tan 22sin += α αα22tan 1tan 12cos +-= α αα2tan 1tan 22tan -= 三倍角公式 ()()αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()() αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 二、某些特殊角的三角函数值 三、三角函数求值 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子 求值：7 6cos 74cos 72cos πππ++ 提示：乘以72sin 2π，化简后再除下去。 求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 22 来个复杂的 设n 为正整数，求证n n n i n i 21212sin 1+=+∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲 四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。 例 求证：x 为锐角，sinx+tanx<2x 设12π ≥≥≥z y x ，且2π =++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值。 注：这个题目比较难 高一数学竞赛试题 一、单选题（8×5′＝40′） 1、已知集合{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+<<-且B ≠?，若A B A =，则（ ） (A)34m -≤≤ (B)34m -<< (C)24m << (D)24m <≤ 2、已知()1,2a =，(),2b x =-且()a a b ⊥-，则实数x 为（ ） (A)－7 (B)9 (C)4 (D)－4 3、同时掷两枚骰子，得到的点数和为6的概率是（ ） (A)5 12 (B)5 36 (C)19 (D)5 18 40y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ） (C)--5、函数2sin 24y x π?? =- ???的一个单调递减区间是（ ） (A)3 7 ,88ππ?????? (B)3,88ππ?? -???? (C)3 5 ,44ππ?????? (D),44ππ?? -???? 6、一个与球心距离为1的平面截球所得圆面面积为π，则球的表面积为（ ） (A) (B)8π (C) (D)4π 7、直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ） (A)210x y +-= (B)210x y +-= (C)230x y +-= (D)230x y +-= 8、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()6f 的值为（ ） (A)－1 (B)0 (C)1 (D)2 二、填空题（6×5′＝30′） 9、方程()21033log 1log x x -=+的解是 。 10、正方体的内切球与其外接球的体积之比为 。 11、过点()1,3-且平行于直线230x y -+=的直线方程为 。 12、方程sin 10 x x = 有 个根。 13、已知()1sin 2πα+=-，则cos α= 。 14、已知()1,2a =，()2,3b =-，则a 在b 上的射影长 。 三、解答题（第15、16题各12分，第17、18、19、20题各14分） 15、若对于一切实数x 、y ，都有()()()f x y f x f y +=+ （1）求()0f 并证明()f x 为奇函数； （2）若()13f =，求()3f -。 16、为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A 、B 、 C 三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A 、B 、C 区中分别有18、27、18个工厂。 （1）求从A 、B 、C 区中应分别抽取的工厂个数； （2）若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这 2个工厂中至少有1个来自A 区的概率。 2.非线性回归模型 教学目标 班级____姓名________ 1.进一步体会回归分析的基本思想. 2.通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度. 教学过程 一、非线性回归模型. 非线性回归分析的步骤：（1）确定研究对象；（2）采集数据；（3）作散点图；（4）选取函数模型，并转化成线性回归模型，并转化数据；（5）求线性回归方程；（6）建线性回归模型，求残差，画残差图；（7）求2R ，刻画拟合效果. 二、例题分析. 例1：研究红铃虫产卵数与温度的关系. （例见教科书2P ） 1.确定研究对象：红铃虫产卵数与温度的关系. 2.采集数据： 3.作散点图： 4.选取函数模型，并转化成线性回归模型，并转化数据： （1）根据样本点的变化趋势，选取函 数模型：x c e c y 21=（指数函数模 型）； （2）令y z ln =，将指数函数 模型转化成一次函数模型a bx z +=（1ln c a =，2c b =）； （3）数据转化： （4）新散点图： 5.求线性回归方程： 温度C x ο/ 21 23 25 27 29 32 35 产卵数/y 个 7 11 21 24 66 115 325 21 23 25 27 29 32 35 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 运用公式求得272.0?=b ，849.3?=a ，线性回归方程为849.3272.0?-=x z ， 而红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为849.3272.0)1(?-=x e y . 6.建线性回归模型，求残差，画残差图； 残差849.3272.0)1() 1(??--=-=i x i i i i e y y y e 7.求2R ，刻画拟合效果. 注意事项： （1）根据样本点的变化趋势，选取函数模型时，可能的选择不止一个； （2）本例可选取二次函数模型423c x c y +=， （3）令2x t =，将二次函数模型转化成一次函数模型43c t c y +=； （4）不同模型拟合效果不同，可根据2R 来判断，2R 越大，拟合效果越好. 作业：为了研究某种细菌随时间x 变化时，繁殖个数y 的变化，收集数据如下： 天数x /天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y / 个 6 12 25 49 95 190 （1）用天数x 作解释变量，繁殖个数y 作预报变量，作出这些数据的散点图； （2）描述解释变量x 与预报变量y 之间的关系； （3）计算相关指数 2R . 高二数学上学期全科竞赛试题 考试时间：120分钟；试卷满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1.观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的特点,问第100项为（ ） A.10 B.14 C.13 D.100 2.已知实数x,y 满足 ,若直线kx ﹣y+1=0经过该可行域,则实数k 的最大值 是（ ） A.1 B. C.2 D.3 3.设数列{a n }、{b n }都是等差数列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,则a 37+b 37等于（ ） A.0 B.37 C.100 D.﹣37 4.已知等差数列 中,前n 项和为 , 若 ,则 等于（ ） A.12 B.33 C.66 D.11 5.若实数x 、y 满足 ,则Z= 的取值范围为（ ） A.（﹣∞,﹣4]∪[ ,+∞） B.（﹣∞,﹣2]∪[ ,+∞） C.[﹣2, ] D.[﹣4, ] 6.等差数列{a n }的前三项依次为a ﹣1,a+1,2a+3,则此数列的第n 项a n =（ ） A.2n ﹣5 B.2n ﹣3 C.2n ﹣1 D.2n+1 7.若3a+4b=ab,a ＞0且b ＞0,则a+b 的最小值是（ ） A. B. C. D. 8.已知ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若3cos 2cos a C c A =,1tan 3 A =,则角 B 的度数为（ ） A ．120 B ．135 C ．60 D ．45 9.已知等比数列{}n a 的n 前项积为n T ,若2228log log 2a a +=,则9T 的值为（ ） A. 512± B. 512 C. 1024± D. 1024 10.在△ABC 中,内角A,B 所对的边分别为a,b,若a cos A ＝b cos B,则△ABC 的形状一定是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 11.在等比数列{a n }中,a 1＋a n ＝34,a 2a n －1＝64,且前n 项和S n ＝62,则项数n 等于( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 12.满足45,6,2A c a == =的ABC ?的个数记为m ,则m a 的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 无法确定 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上 13.已知 0 浙江省高中数学竞赛试题及答案 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1.集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ?=?,则实数a 取值范围为（....） A. 3a ≥ B. 1a ≤-. C. 1a ≤-或 3a ≥ D. 13a -≤≤ 2.若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知等比数列{a n }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（.....） A. 4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且2 8z i =，则z =（ ） A.22z i =+ B. 22z i =-- . C. 22,z i =-+或22z i =- D. 22,z i =+或22z i =-- 5. 已知直线AB 与抛物线24y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足 00min{}C A C B CA CB ?=?，则下列一定成立的是（ ） 。 A. 0C M AB ⊥ B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线 C. 00C A C B ⊥ D. 012 C M AB = 6. 某程序框图如下，当E =0.96时，则输出的K=（ ） A. 20 B. 22 ... C. 24 . D. 25 , 7. 若三位数abc 被7整除，且,,a b c 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。 A.4 B. 6 ... C. 7 .D 8 8. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。 A. . .. 9. 设函数234()(1)(2)( f x x x x x =--()f x = A.0x = B. 1x = . C. 2x =10. 已知(),(),()f x g x h x 正视图：上下两个 22019-2020学年湖南省炎德英才杯2018级高二下学期基础学科知识竞赛数学试卷及答案
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