受压构件的稳定(结构稳定原理)
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第2章 受压构件的稳定
2.1 轴心受压构件的稳定
轴心压杆就其自身的截面形状和尺寸而言，有较长细的杆，也有较中短的杆，这可用长细比i l /0=λ来表达。对于长细比大的长细压杆，可以认为是在弹性范围内失稳；对于长细比小的中短杆件，则可能是在弹塑性范围内失稳。因此，应该分别按弹性范围和弹塑性范围来分析理想轴心压杆的临界荷载。
2.1.1 理想轴心压杆的弹性稳定
用理想轴心压杆的欧拉荷载E P 除以杆件的截面积A ，可得轴心压杆欧拉临界应力22202)/(λ
ππσE i l E A P E cr
===，式中i 为回转半径，A
I
i =。由此可计算出应力值为材料比例极限p σ时的长细比p λ，并以此作为长细杆和中短杆的分界；压杆的长细比大于p λ时称为长细杆或大柔度杆，长细比小于p λ时称为中短杆或小柔度杆。
对于理想轴心压杆来说，长细杆是在弹性范围内工作的，所以压杆的稳定分析为弹性稳定问题。通过弹性压杆的静力平衡条件,可以建立理想轴心压杆的平衡微分方程式，解平衡微分方程则可求得轴心压杆的临界荷载。下面来看几个边界条件不同的理想轴心压杆的弹性稳定分析。 1）一端固定一端铰接的压杆 （1）用静力法求解
如图2－1所示一端固定一端铰接的等截面轴心受压弹性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，则取任意截面的弯矩为
)(x l Q Py M -+-=
式中Q 为上端支座反力。由y EI M ''-=，压杆挠曲线的平衡微分方程为:
)(x l Q Py y EI -+-='' 图2－1一端固定一端铰接压杆
128
即 )(x l EI
Q y EI P y -=+'' （2.1） 令EI
P
k =
2，则有 )(2
2x l P
Q
k y k y -=+'' （2.2） 此微分方程的通解为
)(sin cos x l P
Q
kx B kx A y -+
+= （2.3） 式中A 、B 为积分常数，Q ／P 也是未知的。已知边界条件为 当0=x 时，0=y 和0='y ； 当l x =时，0=y 和0=''y .
将边界条件代入式（2.3），可得关于A 、B 、Q ／P 的齐次方程组
0sin cos 0
0=+=-=+
kl B kl A P
Q Bk l P Q
A ⎪⎭
⎪
⎬⎫ （2.4） 对于新的弯曲平衡形式应要求A 、B 、Q ／P 不全为零，于是齐次方程组（2.4）的系数行列式应为零，即
00
sin cos 10
01=-kl
kl k
l 展开并整理得稳定方程为
kl tgkl = （2.5）
此稳定方程为超越方程，可用试算法并结合图解法求解，得493.4=kl ，故
22219.20)493.4(
l
EI
EI l EI k P cr === 如果以两端铰接轴心压杆为标准的计算长度，则
2
2222222222)
7.0()699.0(493.4/493.4/493.4l EI
l EI l EI P cr ππππ≈=⨯= （2）用能量法求解
设压杆的挠曲线函数为 )()(3221x l x a x l x a y -+-=
129
求得结构的势能为
)35
3102152(21)52484(21227216215225214213a l a a l a l P a l a a l a l EI ++-++=
∏ （2.6） 由式（1.18）可知，
01=∂∏∂a 和 02
=∂∏
∂a 。将式（2.6）代入并经整理可得 0)353
524()1014(0
)10
1
4()1524(23122312=-+-=-+-
a P l lEI a P l EI a P l lEI a P l EI ⎭
⎬⎫ （2.7）
由于1a 、2a 不全为零，故方程（2.7）的系数行列式应为零,即
03535241014101415243
23
2
=---
-
P l lEI P
l EI P l lEI P l EI
展开并整理得
0)(2240128
2222=+-l
EI P l EI P （2.8） 解此方程取最小根，可得临界荷载为: 2
92.20l
EI
P cr = 与精确解2
19.20l EI
P cr =相比较，大3.6％。
2）两端固定的压杆
如图2－2所示两端固定等截面轴心受压弹性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，压杆挠曲线的平衡微分方程为
0M Py y EI =+'' （2.9）
式中0M 为失稳变形后压杆固定端处产生的弯矩，是未知数。
图2－2 两端固定的压杆 令EI
P
k =
2，则 P M k y k y 022=+'' （2.10）
方程式（2.10）的通解为： P
M kx B kx A y 0
cos sin +
+=
130
根据边界条件 0
,0
,0='==='==y y l x y y x
可得 00
=+
P
M B 0=Ak
0cos sin 0
=+
+P
M kl B kl A 同样应要求A 、B 、0M 不全为零，于是上面齐次方程组的系数行列式应为零，即
01
cos sin 00
110=kl kl k
可得稳定方程 1cos =kl （2.11） 解此超越方程可得 l k /2π=
则临界荷载 2
24l
EI
P cr π= 位移函数为 )2cos 1(0l
x
EI M y π-=
换算为标准计算长度，临界荷载为 2
2)
5.0(l EI
P cr π=
3）一端固定一端自由的压杆
如图2－3所示一端固定一端自由等截面轴心受压弹性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，压杆挠曲
线的平衡微分方程为 图2－3一端固定一端自由压杆
δP Py y EI =+'' （2.12）
式中δ为失稳变形后压杆自由端处产生的位移，是未知数。 令EI
P
k =
2，则 δ22k y k y =+'' （2.13） 方程式（2.13）的通解为
δ++=kx B kx A y cos sin
131
根据边界条件
δ
==='==y l x y y x ,0,0
可得 δδ-==+B B ,0
0,0==A Ak
0,0cos ,cos sin ≠==++B kl B kl B kl A δδ
则稳定方程为 0cos =kl （2.14） 解此超越方程可得 2/π=kl 则临界荷载 2
24l EI
P cr π=
位移函数为 )2cos 1(l
x
y πδ-=
换算为标准计算长度，临界荷载为 2
2)
2(l EI
P cr π=
由上面的讨论可知，在理想轴心压杆的弹性稳定问题中，尽管边界条件不同，但临界荷载均可表达为
2
220
2)(l EI
l EI
P cr μππ=
=
（2.15） 式中l l μ=0，称为轴心压杆的计算长度。l 为压杆的构造长度；μ为压杆的长度系数，与压杆的边界条件有关。各种端支承条件下，弹性轴心受压杆件的长度系数μ见表2－1。
表2－1 各种端支承条件下，弹性轴心受压杆件的长度系数
计算长度0l 的几何意义是：轴心压杆失稳后，挠度曲线上的两个相邻反弯点之
132
间的距离。其物理意义为：各种端支承下的轴心压杆，其临界荷载与一两端铰接支承的轴心压杆的临界荷载相等时，两端铰接轴心压杆的长度。
如前所述，在临界状态下弹性轴心压杆横截面上的应力称为临界应力，用cr
σ表示，即 22λ
πσE A P cr cr
== （2.16） 式中：λ— 长细比，i l /0=λ；i — 回转半径，A I i /=。
理想轴心压杆的临界荷载E P 称为欧拉荷载，其应力也称为欧拉应力E σ。欧拉应力的计算公式（2.16），只有在杆件的材料为线弹性时才适用。设材料的比例极限为p σ，则式（2.16）的适用范围是
p cr
E
σλ
πσ≤=22 即 p p
E
λσπλ=≥2 （2.17）
当轴心压杆的长细比p λλ≥时，称为长细杆，只有长细压杆才能应用欧拉公式。如轴心压杆采用Q 235钢，则其E 和p σ的平均值可分别取为E ＝2.06×105MPa 和p σ＝200MPa ,此时100=p λ。
4) 任意端支承条件下的稳定微分方程
从以上讨论可知，轴心受压杆件的临界荷载与压杆两端的支承条件有关。对于任意边界条件，也可采用下列方法建立稳定微分方程。
如图2－5所示两端铰接轴心压杆，杆件的位移有：截面形心的纵向和水平方向的线位移，及截面的角位移。假设只考虑水平位移y 和截面转角θ；微段的变形中只考虑弯曲变形，则
dx
dy
=θ，22dx y d d ≈θ （2.23）
133
图2－5 任意端支承条件分析
取微段ds 如图2－5b )，由于在失稳时荷载P 的方向保持不变，因此微段ds 的截面上剪力和轴力的合力应等于P ，并沿竖直方向作用。
截面上的轴力 P P N ≈=θcos ，P d P dN N ≈+=+)cos(θθ，故可知轴力的增量dN =0；对于剪力来说，θθP P Q ≈=sin ，)()sin(θθθθd P d P dQ Q +≈+=+，考虑几何关系式（2.23），于是有
22dx
y
d P Pd dQ ==θ （2.24）
因为 dx dM
Q =，22dx M d dQ = （2.25）
故可得 22
2
2dx
dy P dx M d = （2.26） 考虑到物理关系y EI M ''-=，代入式（2.26），得到轴心压杆任意端支承条件下的稳定微分方程
0)(22
2222=+dx
dy P dx y d EI dx d （2.27）
当轴心压杆为等截面时，其抗弯刚度EI 为常数，可提到括号外，令EI
P
k =
2，方程（2.27）可写成 02
2
244=+dx dy k dx y d （2.28） 方程（2.28）是一个常系数四阶线性齐次微分方程，方程的通解是
134
4321cos sin C x C kx C kx C y +++= （2.29）
式中的积分常数可由两端支承的边界条件确定。
常用的杆端支承边界条件有： （1） 简支端时，0=y 和0=''y ； （2） 固定端时，0=y 和0='y ； （3） 自由端时，0=''y 和02='+'''y k y ；
根据轴心压杆的上下端支承情况，可得四个边界条件，将其代入式（2.29）可建立四个线性齐次方程，并组成一个方程组，用矩阵表示为
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫
⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡000043214443
42
41
343332312423222114131211C C C C a a a a a a a a a a a a a a a a 或 []{}{}0=C A （2.30） 式（2.30）中的系数矩阵[]A 是一个四阶方阵，其元素ij a 随边界条件而定。为了得到式（2.30）中积分常数i C 的非零解，就要求系数矩阵[]A 相应的行列式等于零，即
0=A （2.31）
方程（2.31）是一个以k 为唯一未知量的特征方程或稳定方程，解此超越方程从而可得i k 值。在无限个i k 根中取最小根，利用式 EI P k /2= 即可求的轴心压杆的临界荷载cr P 。把i k 的最小根代入式（2.29）中，可以得到轴心压杆的弹性挠曲线方程，式中的积分常数i C 则由线性齐次方程式（2.30）解出。
由此可知，求解理想轴心压杆的临界荷载，在数学上是一个求解特征值的问题，满足0=A 的k 值称为特征值；与k 值相应的挠曲线函数)(x y 称作特征向量或特征函数。需注意的是：轴心压杆的弹性挠曲线方程只能给出挠曲线的形状，而不能决定其变形的幅度。
具体解题时，可以从确定边界条件开始，利用式（2.29）和式（2.31）求解，无需每次都要先建立微分方程，然后求解。下面利用任意端支承条件轴心压杆稳定微分方程，求解一端固定一端铰接轴心压杆的临界荷载。
135
如图2－1中所示，一端固定一端铰接轴心压杆两端的边界条件分别为 当0=x 时，0=y 和0='y ； 当l x =时，0=y 和0=''y 。 将边界条件代入式（2.29）可得
cos sin 0cos sin 0
021********=+=+++=+=+kl C kl C C lC kl C kl C C kC C C
利用第1、2式消去第三式中的C 3、C 4可得
0)1(cos )(sin 21=-+-C kl C kl kl
和 0cos sin 21=+klC klC
因为C 1、C 2、C 3、C 4有非零解，由上列两式的系数行列式等于零，可得稳定方程
kl tgkl =
解此方程，求得kl 的最小值 493.4=kl 由此求得轴心压杆的临界荷载
2
222
)
7.0(19.20l EI
l EI EI k P cr π===
2.1.2 理想轴心压杆的非弹性失稳
1）非弹性失稳问题
由于假定轴心受压杆件的材料服从虎克定律，因此，要求压杆的临界应力低于材料的比例极限p σ。从欧拉应力公式22/λπσE cr =可知，它仅适用于p cr σσ≤的长细压杆，因为在长细压杆材料的弹性模量E 是常量。而临界应力在比例极限p σ与屈服极限s σ之间的中短压杆，它们的弹性模量应该是E t ，且不是常量，此时必须考虑材料的非弹性性能。
对于短柱，即λ特别小的轴心压杆，其与临界应力相对应的值必然是屈服极限
s σ。而中短轴心压杆的临界应力处在比例极限p σ到屈服极限s σ的范围内，所以中
136
短压杆的稳定分析属非弹性稳定问题。 2）切线模量理论
假设理想轴心压杆失稳时为小变形，仍用y ''代表曲率，且压杆横截面变形后仍为平面。随着轴向荷载的增加，如图2－6所示，当压杆中应力达到p σ以后，应力—应变曲线将不是直线，其斜率为变量，记作
t E d d =ε
σ
。E t 称为切线模量，其值随着应力的变化而变化，已经不再是常量。 图2－6 切线模量理论
切线模量理论就是假定当轴心压杆的临界应力cr σ超过了p σ时，其弹性模量E 应以相应于该cr σ的切线模量E t 来代替。于是，压杆截面上的内力矩应用y I E t ''-代替y EI ''-，从而导出非弹性状态的临界荷载，如在两端铰接的轴心压杆中
2
2l
I
E P t t π=
（2.32）
由于式（2.32）中E t 是一个变量，具体应用时应把式（8.32）写成
2
2)(λπσI
E A P t t t cr == （2.33）
并据此画出λσ-t cr )(曲线。必须注意，绘制λσ-t cr )(曲线时，由于要利用材料的应力—应变曲线来确定E t ，因此, 所得曲线只能适用于某一种特定的材料。
在轴心压杆中直接应用切线模量公式是困难的，因此，常用熟知的抛物线公式来模拟说明切线模量理论。设抛物线有下列形状
2λσb a cr -= （2.34）
式（2.34）中a 和b 是常数，由轴心压杆的实际条件确定。显然当0=λ时，s cr σσ=；p λλ=时,p cr
σσ=,于是可以确定常数a 和b 。考虑到2
2p
p E
λπσ=，则式（2.34）为 2
2)(λπσσσσσE
p
p s s cr --
= （2.35）
137
这就是轴心压杆非弹性失稳的抛物线公式，只要知道材料的E 、p σ和s σ即可得到非弹性阶段的柱子曲线。
3）双模量理论（折算模量理论）
双模量理论认为当轴心受压杆件弯曲失稳时，压杆外凸一侧纤维的应力是降低的，相当于卸载，故弹性模量应取E,如图2-7所示；而在压杆内凹一侧纤维的应力是增加的，此时弹性模量应是E t 。由于E 和E t 是不相等的，所以压杆截面的中性轴将不与形心轴相重合，这与轴心压杆弹性失稳和切线模量理论的
结论不同。 图2－7 双模量理论
折算模量的表达式如下
I
I E EI E t r 2
1+=
（2.36） 式中：I —为整个压杆截面对形心轴的惯性矩；I 1和I 2分别为压杆中性轴以右和以
左的截面对中性轴的惯性矩。
在折算模量E r 中包含了E 和E t ，这样临界荷载为
2
2l
I
E P r r π=
临界应力为
2
2)(λπσr
r cr E =
这个理论就称为双模量理论。E r 的大小不仅与压杆材料的应力—应变曲线有关，还与压杆的截面形状有关。
对于矩形截面折算模量为 2
)
(4t t r E E EE E +=
对于理想工字形截面折算模量为 t
t
r E E EE E +=
2
138
由于t r E E E >>，故t r E P P P >>。双模量理论曾一度被认为更为完善，但实验证明切线模量理论所得临界荷载P t 更接近实验结果；“香雷理论”也证明了后者的可靠性。
2.2 初始缺陷对临界荷载的影响
工程实际中的压杆，总存在着初弯曲、初偏心或残余应力等初始缺陷，因而理想轴心受压杆件在工程实际中是不存在的。
2.2.1 初弯曲的影响
如图2－8所示，两端铰接压杆的形心轴在加载之前就已经弯曲，假设其初弯曲的形状为
l
x
f y πsin
00=
若加载后附加挠度为y ，则荷载产生的弯曲应
变应由曲率y ''变化引起，而不是由总曲率y y ''+''0
引起。由静力平衡条件，x 截面处的内力矩等于外力矩，得
)(0y y P y EI +=''- 由l x
f y πsin
00=和EI
P
k =
2，则
l
x
f k y k y πsin 022-=+'' （2.37）
方程（2.37）的齐次通解为
kx B kx A y c cos sin += （2.38） 图2－8 初弯曲轴压杆
特解为 l
x
D l
x
C y p ππcos
sin
+= （2.39）
将式（2.39）代入式（2.37），合并同类项，可得
0cos )(sin )(222
02222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-l x l k D l x f k l k C ππππ 对于一切x 值，仅当正弦项和余弦项前的系数都为零时，上式才能满足。因此
139
0=D 或 222/l k π=
和 ηηη
π
-=
-=
-=
-=
11111)(0
020f f P
P f kl
f C E
式中E P P /=η，P E 为欧拉荷载。如果取222/l k π=，则y 的解将局限为
22/l EI P cr π=，不是所要研究的，因此必须D ＝0，由此可得
l
x
f kx B kx A y y y p c πηηsin 1cos sin 0-+
+=+= （2.40） A 和B 由边界条件确定。
当0=x 时，0=y ，可得 B=0；
当l x =时，0=y ，可得 0sin =kl A ，应取 A ＝0。 则 l
x
f y πη
η
sin
10-= （2.41）
压杆总的挠度为
l
x f l
x
f y y πηπη
η
sin 11sin
)11(000-=
-+
=+ 从而压杆中点（2/l x =处）的总挠度为
E
P P f f /111
00-=-=
ηδ （2.42） 上式表明了荷载P 与位移δ之间的关系。图2－9是表示这种关系的P －δ曲线，从图2－9中可以看到初弯曲降低了轴心压杆的承载力。
初弯曲轴压杆的特性是：一旦施加荷载，压杆即产生弯曲，在P －δ曲线图中，曲线的起始点不在原点。初弯曲0f 越大，压杆中点的挠度δ也越大，承载能力的降低也越显著。由于材料不是无限弹性的，图中曲线只在δ＜10/l 时才有效，而且有初弯
曲的轴压杆的承载力总是小于欧拉应力P E 。 图2－9 初弯曲P －δ曲线
140
现在讨论具有初始偏心的两端铰接压杆，如图2－10所示，在压杆任意截面处，使抵抗力矩y EI ''-和相应的外力矩Py 相等，可得
Py y EI =''-
令EI
P
k =
2，则 02=+''y k y （2.43） 其通解为 kx B kx A y cos sin += （2.44） 由压杆边界条件： 2/l x =时，0e y = 可得 A=0， 2
/cos 0
kl e B =
故 kx kl e y cos 2/cos 0=
＝kx kl
e cos 2
sec 0
在压杆中点0=x 处 )2
sec(2sec
00max E
P P
e kl e y π
== 由上式可得压杆中点的最大挠度为
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-=-=1)2
sec(
00max E
P P
e e y π
δ （2.45） 图
图2－10 初偏心轴压杆
上式表明了荷载P 与位移δ之间的关系。图2－11是表示这种关系的P －δ曲线，从图2－11中可以看到初偏心降低了轴心压杆的承载力。这与初弯曲情况相近，图中曲线②的初偏心0e 大于曲线①的初偏心0e 。
图2－11 初偏心P －δ曲线
141
钢质杆件在制造和加工过程中，由于局部的塑性变形、不均匀冷却和冷加工等的影响，在未受到荷载作用之前，杆件截面上已残留有自相平衡的应力，这种应力称为残余应力σr 。残余应力可以通过实际测量获得，热轧型钢中残余应力的分布主要取决于截面的几何形状和各部分尺寸的比例。图2－12示出了工字形截面翼缘的残余应力。
残余应力的存在对压杆的临界荷载有影响，当压杆失稳时的平均应力
σ=A P /小于有效比例极限p σ时，压杆为弹性状态，其临界应力与无残余应力时的相同。而当平均应力σ大于有效比例极限p σ时，压杆截面将出现塑性区，此时压杆能抵抗弯曲变形的只是杆件截面弹性区的材料。以图2－12中工字形截面压
图2－12 工字形截面翼缘的残余应力
杆为例，由于翼缘出现了塑性区，截面的有效惯性矩将只是截面弹性区的惯性矩
e I ，此时压杆的临界荷载为
I
I P I
I l EI l EI P e
E
e
e
cr =⋅=
=
2
22
2ππ （2.46） 临界应力为 I I I I E e E e
cr
σλ
πσ=⋅=22 （2.47）
式中：I I e /—为压杆临界荷载的折减系数，1/
下面讨论工字形截面轴压杆件残余应力对压杆临界荷载的影响，首先计算折
142
减系数。当压杆失稳时，假设压杆
绕强轴（x 轴）弯曲时 τ===A A bth th b I I e
e e 2
/22/22
2 （2.48）
绕弱轴（y 轴）弯曲时 333
3)(12
/212/2τ===A A
t b t b I I e e e （2.49） 式中：A —为压杆截面积；e A —为压杆弹性部分的截面积。于是压杆的临界应力为 绕强轴弯曲时 τλ
πσ22E
cr
= 绕弱轴弯曲时 322τλ
πσE cr
= 由于1<τ，上面计算表明当轴压杆件发生绕弱轴弯曲失稳时，残余应力对压杆临界应力的影响更大。τ是cr σ的函数，τ与cr σ之间的关系为
)1(s
cr r s σσ
σστ-=
（2.50） 将式（8.50）代入式（8.48）和式（8.49），则
绕强轴弯曲时 2
1
22
)1(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=s cr r s
cr E σσσσλπσ （2.51a ）
绕弱轴弯曲时 2
3
22
)1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=
s cr r
s cr E σσσσλπσ （2.51b ） 根据式（2.51）即可用试算法确定计入残余应力影响时轴压杆的临界应力。
通过上面的分析可知，残余应力将降低压杆的刚度，其原因是由于残余应力的存在，压杆的部分翼缘提前屈服，使压杆截面只有弹性部分能够继续承载。残余应力也将降低承载力，压杆的承载力降低多少取决于I I e /比值的大小。残余应力的影响与杆件的截面形状、弹塑性区各部尺寸的比值、残余应力模式及峰值、失稳的方向等有关，长细比较小的钢质压杆应该考虑残余应力的影响。
143
2.3 轴心压杆的扭转失稳
上面所讨论的都是轴心压杆的弯曲失稳问题，即当轴心压杆失稳后只出现弯曲变形。一般对于双轴对称界面的轴心压杆，失稳时可能绕截面的两个对称轴发生弯曲屈曲，但是有些抗扭刚度和抗翘曲刚度较弱的轴心压杆，除了有可能发生绕对称轴x 或y 的弯曲失稳外，还有可能发生绕截面纵轴z 转动的扭转失稳。
对于单轴对称截面的轴心压杆，除了可能发生绕截面的非对称轴x 发生弯曲失稳外，还可能在绕截面的对称轴y 弯曲的同时，又绕通过截面剪心s 的纵轴扭转而发生弯扭失稳。对于截面不具有对称轴的轴心压杆，因为截面的形心和剪心不重合，则只可能发生弯扭失稳。因此，在分析轴心压杆的稳定问题时，除了要研究其弯曲失稳之外，还必须考虑压杆有无发生扭转失稳和弯扭失稳的可能性。
2.3.1 截面的剪力中心
截面的形心c 与剪心s 是杆件截面上的两个点。剪心即剪力中心，它是内力剪力在截面上通过的点，即主扇性极点。
剪心的位置与截面的对称轴有关，截面有对称轴时，剪切内力通过对称轴，因
此截面的剪心必然在对称轴上。双轴对称 图2－12
截面的杆件，剪心在两对称轴的交点上，并与形心重合。单轴对称截面的杆件，剪心在对称轴上，但具体的坐标需另外求得。对于有几个狭长的矩形截面组成，而且其中心线交于一点的截面，如角形、T 形和十字形截面，其剪力中心必通过此交点。轴心压杆截面剪心的位置如图2－12所示。
根据剪力流理论，杆件截面的剪应力公式为
t
I QS x x =
τ
（2.47）
式中：Q — 截面剪力；I x — 截面对弯曲主轴
的惯性矩；S x —
所求剪力处的截面净矩；
144
t — 所求剪力处的构件壁厚，在翼缘中用t ，在腹板中用t w 。
现在以槽形截面为例，如图2－13所示，计算确定剪力中心S 在x 轴上的位置。首先从自由边计算，任一距自由边距离r 的截面处的剪应力为
2
rh
I Q t I QS x x x ⋅==
τ 图2－13 ⎰⎰===b
b x
x I h
Qtb rdr ht I Q tdr P 00242τ
(2.48)
再计算腹板中的剪应力，可得腹板中剪应力的合力就是Q 。由截面上力矩平衡可得
x Qa Ph =
将截面对x 轴的惯性矩4
2122
3h bt h t I w x +=代入式（2.48），并由Q Ph a x /=可得 tb
h t tb a w x 632
+=
因此可知，槽形截面的剪力中心S 在腹板外侧距腹板中心线x a 处。
剪力中心具有以下性质：
（1）如果压杆弯曲时的外力剪力不通过截面的剪心，则压杆在弯曲的同时还
伴随着产生扭转；
（2）截面的扭转是绕剪心S 发生而不是绕形心C 发生。
2.3.2 自由扭转与约束扭转
1）自由扭转 构件变形时截面翘曲可以自由产生，而又不受任何约束的扭转称为自由扭转。自由扭转不产生正应力，只产生剪应变和剪应力。
利用弹性力学中已导出的自由扭矩k M 与扭率ϕ'之间的关系式，可知
ϕϕ
'==k k
k GI dz
d GI M
（2.49）
145
式中：G —材料的剪切弹性模量；ϕ —截面的扭转角；k I —抗扭惯性矩。
在式（2.49）中的G k I 称为截面的自由扭转刚度。对于高度为b ，厚度为t 的狭长矩形截面的抗扭惯性矩，可近似地取为
33
1
bt I k =
对于有几个狭长矩形截面板件组成的开口薄壁构件截面，如角形、T 形、槽形和工字形等截面，构件总的抗扭刚度可近似地取各板件抗扭刚度之和，即
∑∑====n
i n
i i i ki k t b I I 1
1331
式中：i b 和i t 分别表示第i 块板件的高度和厚度，而n 表示组成截面的板件的序号。
自由扭转使构件截面只产生剪应力，它在截面的厚度范围内形成封闭的剪力流。此剪力流的方向与壁厚的中心线平行，而且大小相等，方向相反，成对地形成扭矩。剪应力在壁厚中心线处为零，在壁厚的外表面最大，沿壁厚按线性变化，板件的最大剪应力为 k i k k I t M /=τ
2）约束扭转
非圆截面构件扭转时，由于截面受到约束而不能自由翘曲时称为约束扭转。槽形和工字形等开口薄壁截面杆件，作为压杆仅受纵向荷载作用时，失稳时可能出现扭转变形，由于约束扭转杆件中翘曲受到约束，从而产生翘曲扭矩，翘曲正应力和剪应力。
现以工字形截面构件来说明约束 图2－14
扭转的内力，如图2－14所示，截面上的内力必须和外力相平衡，而构件上的外力只有扭矩。把由约束扭转产生的剪力f Q 所组成的扭矩称为翘曲扭矩ωM ，
h Q M f =ω，则内力扭矩为 ωM M M k z +=，即
ϕϕω'
''-'=EI GI M x z
146
（2.50）
式中：ωI — 为截面的翘曲惯性矩，或扇性惯性矩。
式（2.50）就是约束扭转平衡微分方程。解此方程可求得扭角ϕ及其对z 的导数ϕ'、ϕ''和ϕ'''，分别代入式（2.49）和式（2.50），即可求得内力矩k M 和ωM ，进而可求出翘曲正应力ωσ和翘曲剪应力ωτ。
3)截面扇形几何特性
在扇性坐标系中有：扇性坐标 ⎰=s
ds 0ρω
扇性静距 ⎰=1
s tds S ωω
扇性惯性积 ⎰⎰==11
;s s y x xtds I ytds I ωωωω
扇性惯性距 ⎰⎰==1
22s A
dA tds I ωωω
式中：ω— 为截面上各点的扇性坐标；S 1是截面中心线的总长，t 是截面的厚度。
对于不同形状的截面有不同的翘曲惯性矩，如
工字形截面 2
0234
24h I t h b I y ==ω 槽形截面 w
w ht bt bt
ht t h b I ++⋅
=6321223ω 而由两个狭长矩形相交组成的角形、T 形和十字形等截面，ωI ＝0。 4）双力矩ωB
约束扭转的构件，上下翼缘的弯矩f M 大小相同，但方向相反，形成一种双力矩ωB ，ϕωω''-=EI B 。双力矩也可以视为以主扇性坐标ω为力臂所组成的力矩，
⎰
⋅=
1
s tds B ωσωω。
翘曲扭转力矩ωM 与双力矩ωB 有如下关系：ϕωωω'''-==EI dz dB M /。
结构稳定理论知识点整理
结构稳定理论知识点整理 ●杆件失稳 1.什么是稳定？ ●稳定问题的类型 ●稳定问题的研究 1)稳定问题研究特点 2)一阶分析法和二阶分析法的区别 3)稳定问题研究方法 ●静力法 ●能量法（依托能量准则） ●能量守恒原理 ●势能驻值原理 ●最小势能原理 ●瑞利-利兹法 ●伽辽金法 ●动力法 ●稳定问题和强度问题的区别？ 2.什么是失稳？ ●失稳类型 1)弯曲失稳 ●弹性失稳（符合胡克定律应力应变线性关系） ●理想情况 ●理想轴心压杆弯曲失稳 ●考虑工况 ●弹性支撑轴心压杆弯曲失稳 ●初始缺陷对轴心压杆临界荷载的影响 ●初始几何缺陷 ●残余应力的影响 ●变截面轴心压杆弯曲失稳 ●压弯构件（梁柱）弯矩作用平面内弯曲失稳（体现柱的特点） ●失稳类型：极值点失稳，构件的极限荷载同时受到最大轴力与 最大弯矩的控制。 ●临界荷载的求解方法 ●边缘屈服准则
●数值积分法 ●不同横向荷载作用下压弯构件的最大挠度与弯矩 ●二阶弯矩：考虑轴压力及纵向弯曲变形影响的弯矩。与构 件两端所作用的轴力P的大小有关。P越大，所引起的二阶 附加弯矩效应越强，构件上的最大弯矩也就越大，反之相 反。 ●一阶弯矩：不考虑轴压力及纵向弯曲变形影响的弯矩 ●一阶弯矩和二阶弯矩的关系：二阶弯矩是一阶弯矩乘以含 轴力的方大系数 ●压弯构件的等效弯矩系数 ●概念：不同荷载压弯构件等效弯矩可以看作在原受弯构件 一阶最大弯矩M0的基础上乘以了一个含有轴力P的放大系 数，这个放大系数就是压弯构件等效系数。 ●压弯构件弯矩作用平面内弯曲失稳的承载力公式构建方法 ●①冷弯薄壁型钢压弯构——基于边缘屈服准则的弹性稳定 相关计算公式 ●②普通热轧型钢压弯构件──基于极限强度准则的弹塑性稳 定相关计算公式 ●非弹性失稳（弹塑性失稳） 2)扭转失稳 ●什么时候发生扭转：外力不通过剪切中心，绕剪切中心轴扭转 ●剪切中心的概念 ●剪切中心的特点和确定方法 ●扭转的特点 ●扭转的类型 ●自由扭转 ●自由扭转的特点 ●自由扭转的刚度方程 ●约束扭转 ●约束扭转的特点 ●约束扭转的刚度方程 ●轴心压杆扭转失稳 ●扭转失稳历程 ●理想轴心压杆弹性扭转失稳临界荷载 ●考虑缺陷 ●扭转失稳设计准则（换算长细比法）
受压构件的稳定(结构稳定原理)
127 第2章 受压构件的稳定 2.1 轴心受压构件的稳定 轴心压杆就其自身的截面形状和尺寸而言，有较长细的杆，也有较中短的杆，这可用长细比i l /0=λ来表达。对于长细比大的长细压杆，可以认为是在弹性范围内失稳；对于长细比小的中短杆件，则可能是在弹塑性范围内失稳。因此，应该分别按弹性范围和弹塑性范围来分析理想轴心压杆的临界荷载。 2.1.1 理想轴心压杆的弹性稳定 用理想轴心压杆的欧拉荷载E P 除以杆件的截面积A ，可得轴心压杆欧拉临界应力22202)/(λ ππσE i l E A P E cr ===，式中i 为回转半径，A I i =。由此可计算出应力值为材料比例极限p σ时的长细比p λ，并以此作为长细杆和中短杆的分界；压杆的长细比大于p λ时称为长细杆或大柔度杆，长细比小于p λ时称为中短杆或小柔度杆。 对于理想轴心压杆来说，长细杆是在弹性范围内工作的，所以压杆的稳定分析为弹性稳定问题。通过弹性压杆的静力平衡条件,可以建立理想轴心压杆的平衡微分方程式，解平衡微分方程则可求得轴心压杆的临界荷载。下面来看几个边界条件不同的理想轴心压杆的弹性稳定分析。 1）一端固定一端铰接的压杆 （1）用静力法求解 如图2－1所示一端固定一端铰接的等截面轴心受压弹性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，则取任意截面的弯矩为 )(x l Q Py M -+-= 式中Q 为上端支座反力。由y EI M ''-=，压杆挠曲线的平衡微分方程为: )(x l Q Py y EI -+-='' 图2－1一端固定一端铰接压杆
128 即 )(x l EI Q y EI P y -=+'' （2.1） 令EI P k = 2，则有 )(2 2x l P Q k y k y -=+'' （2.2） 此微分方程的通解为 )(sin cos x l P Q kx B kx A y -+ += （2.3） 式中A 、B 为积分常数，Q ／P 也是未知的。已知边界条件为 当0=x 时，0=y 和0='y ； 当l x =时，0=y 和0=''y . 将边界条件代入式（2.3），可得关于A 、B 、Q ／P 的齐次方程组 0sin cos 0 0=+=-=+ kl B kl A P Q Bk l P Q A ⎪⎭ ⎪ ⎬⎫ （2.4） 对于新的弯曲平衡形式应要求A 、B 、Q ／P 不全为零，于是齐次方程组（2.4）的系数行列式应为零，即 00 sin cos 10 01=-kl kl k l 展开并整理得稳定方程为 kl tgkl = （2.5） 此稳定方程为超越方程，可用试算法并结合图解法求解，得493.4=kl ，故 22219.20)493.4( l EI EI l EI k P cr === 如果以两端铰接轴心压杆为标准的计算长度，则 2 2222222222) 7.0()699.0(493.4/493.4/493.4l EI l EI l EI P cr ππππ≈=⨯= （2）用能量法求解 设压杆的挠曲线函数为 )()(3221x l x a x l x a y -+-=
结构稳定概述(结构稳定原理)
第1章结构稳定概述 工程结构或其构件除了应该具有足够的强度和刚度外，还应有足够的稳定性，以确保结构的安全。结构的强度是指结构在荷载作用下抵抗破坏的能力；结构的刚度是指结构在荷载作用下抵抗变形的能力；而结构的稳定性则是指结构在荷载作用下，保持原有平衡状态的能力。在工程实际中曾发生过一些由于结构失去稳定性而造成破坏的工程事故，所以研究结构及其构件的稳定性问题，与研究其强度和刚度具有同样的重要性。 1.1 稳定问题的一般概念 结构物及其构件在荷载作用下，外力和内力必须保持平衡，稳定分析就是研究结构或构件的平衡状态是否稳定的问题。处于平衡位置的结构或构件在外界干扰下，将偏离其平衡位置，当外界干扰除去后，仍能自动回到其初始平衡位置时，则其平衡状态是稳定的；而当外界干扰除去后，不能自动回到其初始平衡位置时，则其平衡状态是不稳定的。当结构或构件处在不稳定平衡状态时，任何小的干扰都会使结构或构件发生很大的变形，从而丧失承载能力，这种情况称为失稳，或者称为屈曲。 结构的稳定问题不同于强度问题，结构或构件有时会在远低于材料强度极限的外力作用下发生失稳。因此，结构的失稳与结构材料的强度没有密切的关系。 结构稳定问题可分为两类： 第一类稳定问题（质变失稳）—结构失稳前的平衡形式成为不稳定，出现了新的与失稳前平衡形式有本质区别的平衡形式，结构的内力和变形都产生了突然性变化。结构丧失第一类稳定性又称为分支点失稳。 第二类稳定问题（量变失稳）—结构失稳时，其变形将大大发展（数量上的变化），而不会出现新的变形形式，即结构的平衡形式不发生质的变化。结构丧失第二类稳定性又称为极值点失稳。 无论是结构丧失第一类稳定性还是第二类稳定性，对于工程结构来说都是不能容许的。结构失稳以后将不能维持原有的工作状态，甚至丧失承载能力，而且其变形通常急剧增加导致结构破坏。因此，在工程结构设计中除了要考虑结构的 116
结构稳定理论
1.理想压杆：受压杆件两端铰支荷载作用于形心轴，杆轴线沿杆长完全平直，横截面双轴对称且沿杆长均匀不变，杆件无初应力，材料符合胡=胡克定律 2.极限状态：承载能力极限状态和正常使用极限状态。 3.保守力：如果力在它作用的任意可能位移上所做的功与力作用点移动路径无关，只依赖与移动的起点和终点。 4.势能驻值原理与最小势能的区别：势能驻值原理方法比较简单，但从教学角度δp=0只是平衡条件，它不表示从稳定平衡过度到不稳定平衡的临界条件，而最小势能原理方法更加严密。（势能驻值原理：虚位移，基本条件δp=0） 5.伽辽金法瑞利-里兹法的区别：①瑞利里兹法只需要满足几何边界条件即可，而伽辽金法需要满足几何边界条件，力学边界条件；②伽辽金法直接与微分方程相联系，而瑞利里兹法需要写出体系的总势能。 6.计算长度系数μ，将非两端铰支的理想轴心压杆构件，临界荷载公式换算成相当于两端铰支理想轴心压杆构件，求解临界荷载的形式的所利用的计算长度，几何意义：杆件绕由曲线上两反弯点的间距 7.自由度：用来表示约束条件允许的体系，可能变形时所必须的 独立几何参数的数目。 8.柱子曲线：临界应力δcr与长细比的关系曲线，可作为轴心受压构件设计的依据。 9.残余应力：降低比例极限，使柱子提前出现弹塑性屈曲，当超过比例极限后，残余应力使杆件应力应变曲线，同时减小了截面的有效面积和有效惯性矩，从而降低了刚度和稳定性。 10.翘曲：非圆形截面的杆件扭转时，截面处绕杆件轴线转动外，截面上个点还会发生不同的轴向位移而使截面出现凹凸，不像圆截面杆件那样扭转后不保持平面。 11.影响弯曲荷载Mor的因素：①截面的形状，尺寸。②截面的残余应力。③初始几何缺陷。④荷载类型及其作用特点。⑤构件端部和侧向支撑条件。 12．梁的弯曲屈曲5个假设：①构件为各向同性完全弹性体，②弯曲和扭转时，构件截面形状不变，③小变形（侧面）。④构件为等截面无截面。⑤主弯矩作用平面内刚度很大，屈曲前变形对弯扭屈曲的影响的忽略。 13.边缘纤维屈服准则的适用范围：适用于冷弯薄壁钢压弯构件，因为这类构件的边缘纤维屈服荷载非常接近于极限荷载，也适用于格构式压弯构件绕虚轴弯曲失稳。 14影响梁整体稳定的因素有：①与荷载沿梁轴的分布情况有关；②于梁的侧向抗弯刚度，抗扭刚度，翘曲刚度，梁的跨度有关。③与荷载沿梁截面高度的作用位置有关，④于梁的支撑情况有关。 15梁的应变能：由侧向弯曲应变能，自由扭转，翘曲 16.压弯构件：同时承受轴心压力和弯矩作用的杆件。 17.二阶弯矩：考虑轴压力和纵向弯曲变形影响的弯矩。 18.等效压弯构件：两端等弯矩作用的压弯构件，其两端的弯矩称为等效弯矩。 19.等效弯矩系数?m:指把各种不同荷载作用的压弯构件转化为两端等弯矩压弯构件来处理。 20.三个准则（平面内的稳定计算）：①边缘纤维准则②极限承载力准则③半经验半理论准则。 21.钢架的组成和荷载作用条件不同，分为有侧位移失稳和无侧移失稳。 22.钢架平面内失稳荷载方法有：位移法，平移法，矩阵位移法，近似法。4个假设：①变形微小，材料为弹性体，杆件无缺陷；②集中荷载下沿柱轴线作用于柱顶，即假定在屈曲前所有杆件中没有弯矩；③荷载按比例同时增加，各柱同时丧失稳定，④钢架失稳时，不计横梁中的轴力。
混凝土受压构件的设计原理
混凝土受压构件的设计原理 一、引言 混凝土受压构件是建筑结构中常见的构件类型之一。其设计原理是建 筑结构设计的基础之一。本文将详细介绍混凝土受压构件的设计原理，包括受力分析、截面设计和构件稳定性分析等方面。 二、受力分析 混凝土受压构件受到的主要力是压缩力。在受力分析时，需要计算出 所受压力的大小和作用方向。根据不同的受力情况，可以采用不同的 计算方法。 1. 等效压力法 当混凝土受压构件受到的压力是均匀分布时，可以采用等效压力法进 行计算。等效压力法是将均匀分布的压力转化为一定面积内的等效压力，从而进行计算。 2. 弯矩法
当混凝土受压构件受到的压力是不均匀分布时，可以采用弯矩法进行计算。弯矩法是将不均匀分布的压力转化为相应的弯矩，从而进行计算。 3. 偏心受压法 当混凝土受压构件受到的压力是偏心的时，可以采用偏心受压法进行计算。偏心受压法是将偏心受压的力转化为相应的弯矩和剪力，从而进行计算。 三、截面设计 混凝土受压构件的截面设计是确定构件截面尺寸和钢筋配筋的过程。其目的是满足构件在受压作用下的强度和稳定性要求。 1. 构件截面尺寸设计 构件截面尺寸设计是确定构件截面尺寸的过程。其目的是满足构件在受压作用下的强度和稳定性要求。构件截面尺寸设计需要满足以下要求： （1）构件受压区的混凝土应满足强度要求。
（2）构件受压区的钢筋应满足受拉要求。 （3）构件截面应符合构件的使用要求。 2. 钢筋配筋设计 钢筋配筋设计是确定构件受压区和受拉区的钢筋配筋的过程。其目的是满足构件在受压作用下的强度和稳定性要求。钢筋配筋设计需要满足以下要求： （1）构件受压区的钢筋应满足受拉要求。 （2）构件受拉区的钢筋应满足受拉要求。 （3）钢筋的排列应符合构件的使用要求。 四、构件稳定性分析 混凝土受压构件在受压作用下容易出现稳定性问题，如屈曲和侧向位移等。因此，构件稳定性分析是混凝土受压构件设计的重要内容。 1. 屈曲分析
钢结构的稳定性验算
第七章 稳定性验算 整体稳定问题的实质：由稳定状态到不能保持整体的不稳定状态；有一个很小的干扰力，结构的变形即迅速增大，结构中出现很大的偏心力，产生很大的弯矩，截面应力增加很多，最终使结构丧失承载能力。 注意：截面中存在压应力，就有稳定问题存在！如：轴心受压构件（全截面压应力）、梁（部分压应力）、偏心受压构件（部分压应力）。 局部稳定问题的实质：组成截面的板件尺寸很大，厚度又相对很薄，可能在构件发生整体失稳前，各自先发生屈曲，即板件偏离原来的平衡位置发生波状鼓曲，部分板件因局部屈曲退出受力，使其他板件受力增加，截面可能变为不对称，导致构件较早地丧失承载力。 注意：热轧型钢不必验算局部稳定！ 第一节 轴心受压构件的整体稳定和局部稳定 一、轴心受压构件的整体稳定 注意：轴心受拉构件不用计算整体稳定和局部稳定！ 轴心受压构件往往发生整体失稳现象，而且是突然地发生，危害较大。构件由直杆的稳定状态到不能保持整体的不稳定状态；有一个很小的干扰力，结构的弯曲变形即迅速增大，结构中出现很大的偏心力，产生很大的弯矩，截面应力增加很多，最终使结构丧失承载能力。这种现象就叫做构件的弯曲失稳或弯曲屈曲。不同的截面形式，会发生不同的屈曲形式：工字形、箱形可能发生弯曲屈曲，十字形可能发生扭转屈曲；单轴对称的截面如T 形、Π形、角钢可能发生弯曲扭转屈曲；工程上认为构件的截面尺寸较厚，主要发生弯曲屈曲。 弹性理想轴心受压构件两端铰接的临界力叫做欧拉临界力： 2222//λππEA l EI N cr == (7-1) 推导如下：临界状态下：微弯时截面C 处的内外力矩平衡方程为： /22=+Ny dz y EId (7-2) 令EI N k /2 =，则： 0/222=+y k dz y d (7-3) 解得： kz B kz A y cos sin += (7-4) 边界条件为：z=0和l 处y=0； 则B=0，Asinkl=0，微弯时πn kl kl A ==∴≠,0sin 0 最小临界力时取n=1，l k /π=, 故 2 2 2 2 //λππEA l EI N cr == (7-5) 其它支承情况时欧拉临界力为： 2 222/)/(λπμπEA l EI N cr == (7-6) 欧拉临界应力为： 22/λπσE cr = (7-7)
压弯构件的稳定
第三章压弯构件的失稳 轴力偏心作用的构件或同时受轴力和横向荷载作用的构件称为压弯构件。由于压弯构件兼有受压和受弯的功能，又普遍出现在框架结构中，因此又称为梁柱。 钢结构中的压弯构件多数是截面至少有一个对称轴，且偏心弯矩作用在对称平面的单向偏心情况。对单向偏心的压弯构件，有可能在弯矩平面内失稳，即发生弯曲失稳；也有可能在弯矩作用平面外失稳，即弯扭失稳。其弯曲失稳为第二类稳定问题，即极值点失稳；其弯扭失稳对理想的无缺陷的压弯构件属于第一类稳定问题，即分支点失稳，但对实际构件则是极值点失稳。 对理想的两端简支的双轴对称工形截面压弯构件，在两端作用有轴线压力P和使构件产生同向曲率变形的弯矩M，如果在其侧向有足够的支撑(如图3.1（b）)，构件将发生平面内的弯曲失稳，其荷载―挠度曲线如图3.2（a）中曲线a，失稳的极限荷载为P u，属于极值点失稳。 图3.1 两端简支理想压弯构件图3.2 压弯构件荷载变形曲线 P时，如果在侧向没有设置支撑（如图3.1（ｃ）），则构件在荷载P未达到平面内极限荷载 u 可能发生弯扭失稳，即在弯矩作用平面内产生挠度v，在平面外剪心产生位移ｕ，并绕纵轴产生扭转角 （如图3.１（ｄ）），其荷载－变形曲线如图3.2（b）中曲线b，属于分支点失稳，失稳的分荷载为P yw, ，且P yw
第4章 单个构件的承载能力
第4章单个构件的承载能力——稳定性 4.1 稳定问题的一般特点 4.1.1 失稳的类别 传统上，将失稳粗略地分为两类：分支点失稳和极值点失稳。 分支点失稳的特征是：在临界状态时，结构从初始的平衡位形突变到与其临近的另一平衡位形，表现出乎衡位形的分岔现象。在轴心压力作用下的完善直杆以及在中面受压的完善平板的失稳都属于这一类型。 没有平衡位形分岔，临界状态表现为结构不能再承受荷载增量是极值点失稳的特征，由建筑钢材做成的偏心受压构件，在经历足够的塑性发展过程后常呈极值点失稳。 如果着眼于研究结构的极限承载能力，可依屈曲后性能分为如下三类： (1)稳定分岔屈曲。分岔屈曲后，结构还可承受荷载增量。轴心压力作用下的杆以及中面受压的平板都具有这种持征。 (2)不稳定分岔屈曲。分岔屈曲后，结构只能在比临界荷载低的荷载下才能维持平衡位形。承受轴向荷载的圆柱壳、承受均匀外压的球壳都呈不稳定分岔屈曲形式。 (3)跃越屈曲。结构以大幅度的变形从一个平衡位形跳到另一个平衡位形。铰接坦拱和油罐的扁球壳顶盖都属于这种失稳情形。 缺陷的存在使得结构不再呈分岔失稳形式。但是缺陷的存在并不改变它们屈曲后的性态：在稳定分岔屈曲中极限荷裁仍然高于临界荷裁；而在不稳定分岔屈曲中，缺陷导致极限荷裁大幅度跌落。由此可见，不稳定分岔屈曲的结构对缺陷特别敏感，无视缺陷对承裁力的影响将对设计造成严重的不安全后果。 4.1.2 一阶和二阶分析 经典梁理论(亦称欧拉梁理论)本质上是构建在曲率与弯矩成正比的基础上的：
4.1.3 稳定极限承载能力 杆件的初始弯曲、初始偏心以及板件的初始不平度等都属于几何缺陷；力学缺陷一般表现为初始应力和力学参数(如弹性模量、强度极限等)的不均匀性。 对稳定承载能力而言，残余应力是影响最大的力学缺陷。残余应力在构件截面上是自相平衡的，它并不影响强度承载能力。但是它的存在使得构件截面的一部分提前进人屈服，从而导致该区域的刚度提前消失，由此造成稳定承载能力的降低。 实际结构稳定承载能力的确定是一个计及缺陷的非线性问题。一般而言，这种非线性问题只能以数值方法(如数值积分法，有限单元法等)进行求解。也有一些简化方法来处理杆件的非弹性稳定问题，其中最著名的是切线模量理论和折算模量理论。
《结构稳定理论》复习思考题——含答案-
《结构稳定理论》复习思考题 第一章 1、两种极限状态是指哪两种极限状态？ 承载力极限状态和正常使用极限状态 2、承载力极限状态包括哪些内容？ （1）结构构件或链接因材料强度被超过而破坏 （2）结构转变为机动体系 （3）整个结构或者其中一部分作为缸体失去平衡而倾覆 （4）结构或者构件是趋稳定 （5）结构出现过度塑性变形，不适于继续承载 （6）在重复荷载作用下构件疲劳断裂 3、什么是一阶分析？什么是二阶分析？ 一介分析：对绝大数结构，常以为变形的结构作为计算简图进行分析，所得的变形和作用的关系是线性的。二阶分析：而某些结构，入账啦结构，必须用变形后的结构作为计算依据，作用与变形成非线性关系。4、强度和稳定问题有什么区别？ 强度和稳定问题问题虽然均属于承载力极限状态问题，但是两者之间的概念不同。强度问题是盈利问题，而稳定问题要找出作用与结构内部抵抗力之间的不稳定平衡状态。 5、稳定问题有哪些特点？进行稳定分析时，需要区分静定和超静定结构吗？ 特点： 1.稳定问题采用二阶分析， 2.不能用叠加原理 3.稳定问题不用区分静定和超净定 6、结构稳定问题有哪三类？ 分支点失稳、极值点失稳、跃越失稳 7、什么是分支点稳定？什么是极值点稳定？什么是跃越稳定？ 理想轴心压杆和理想的中缅内受压的平板失稳均属于分支点失稳 当没有出现有直线平衡状态向玩去平衡状态过渡的分支点，构件弯曲变形的性质始终不变，成为极值点失稳 这种结构有一个平衡位行突然跳到另一个非临近的平衡位行的失稳现象。 8、什么是临界状态？ 结构有稳定平衡到不稳定平衡的界限状态成为临界状态。 9、通过一个简单的例题归纳总结静力法的基本原理和基本方法？P8-P10 10、什么能量守恒原理？什么是势能驻值原理？基于势能驻值原理的方法有哪些？ 保守体系处在平衡状态时，储存于结构体系中的应变能等于外力所做的 功——能量守恒原理 受外力作用的结构，当位移有微小变化而总势能不变，即总势能有驻值时，结构处于平衡状态——势能驻
混凝土结构的稳定性原理
混凝土结构的稳定性原理 一、前言 混凝土结构是建筑工程中常用的一种结构形式，具有良好的力学性能和耐久性能。混凝土结构的稳定性是其设计和施工的重要问题之一。本文将对混凝土结构的稳定性原理进行详细的介绍。 二、混凝土结构的基本组成 混凝土结构主要由混凝土、钢筋和预应力钢筋组成。混凝土是一种由水泥、沙子、石子等原料经过混合而成的灰色坚硬材料。钢筋是一种高强度的钢材，用于增强混凝土结构的抗拉强度。预应力钢筋是一种应力预应力钢筋，通过施加预应力使混凝土结构具有较高的承载能力和稳定性。 三、混凝土结构的稳定性原理 混凝土结构的稳定性是指结构在受到外力作用时保持稳定的能力。混凝土结构的稳定性原理主要包括以下几个方面： 1. 混凝土结构的刚度
混凝土结构的刚度是指结构在受到外力作用时抵抗变形的能力。混凝 土结构的刚度主要由混凝土的弹性模量和截面的惯性矩等因素决定。 当混凝土结构受到外力作用时，其刚度越大，其抵抗变形的能力就越强，稳定性就越好。 2. 混凝土结构的强度 混凝土结构的强度是指结构在受到外力作用时承受能力的大小。混凝 土结构的强度主要由混凝土的抗压强度和钢筋的抗拉强度等因素决定。当混凝土结构的强度越大，其承受外力的能力就越强，稳定性就越好。 3. 混凝土结构的受力状态 混凝土结构的受力状态是指结构在受到外力作用时的应力分布状况。 混凝土结构的受力状态主要由结构的几何形状、荷载形式和受力构件 的刚度等因素决定。当混凝土结构的受力状态合理、均匀，其承受外 力的能力就越强，稳定性就越好。 4. 混凝土结构的变形状态 混凝土结构的变形状态是指结构在受到外力作用时的变形状况。混凝 土结构的变形状态主要由结构的刚度、强度和荷载形式等因素决定。
工字形截面轴心受压柱的整体稳定实验
《钢结构基本原理》 实验报告 实验名称：工字形截面轴心受压柱的整体稳定实验 实验组号：25组 9号工字钢 实验组员： 一、实验目的 1 ．了解工字形截面轴心受压钢构件的整体稳定实验方法，包括试件设计、实验装置设 计、测点布置、加载方式、试验结果整理与分析等。
2 ．观察工字形截面轴心受压柱的失稳过程和失稳模式，加深对其整体稳定概念的理解。 3 ．将柱子理论承载力和实测承载力进行比较，加深对工字形截面轴心受压构件整体稳 定系数及其计算公式的理解。 二、实验原理 ●轴心受压构件整体稳定性能概述 整体失稳破坏是轴心受压钢构件的主要破坏形式。 轴心受压构件在轴心压力较小时处于稳定平衡状态，如有微小干扰力使其偏离平衡位置，则在干扰力除去后，仍能回复到原先的平衡状态。随着轴心压力的增加，轴心受压构件会由稳定平衡状态逐步过渡到随遇平衡状态，这时如有微小干扰力使其偏离平衡位置，则在干扰力除去后，将停留在新的位置而不能回复到原先的平衡位置。随遇平衡状态也称为临界状态，这时的轴心压力称为临界压力。当轴心压力超过临界压力后，构件就不能维持平衡而失稳破坏。实际轴心压杆与理想轴心压杆有很大区别。实际轴心压杆都带有多种初始缺陷，如杆件的初弯曲、初扭曲、荷载作用的初偏心、制作引起的残余应力，材性的不均匀等等。这些初始缺陷使轴心压杆在受力一开始就会出现弯曲变形，压杆的失稳属于极值型失稳。●工字形截面轴心受压构件的弯曲失稳 工字形截面属于双轴对称截面，因此工字形截面轴心受压构件只可能发生弯曲失稳或扭转失稳。对于常见的非薄壁工字形截面，其截面的抗扭刚度和翘曲刚度都很大，因 此不会发生扭转失稳。当构件未设置沿截面强轴的支撑时，由于工字形截面绕强轴的惯性矩大于绕弱轴的惯性矩，因此构件将发生绕弱轴的弯曲失稳。如图所示 工字形截面柱的弯曲失稳 三、试件几何参数，包括名义几何参数和实测几何参数 截面尺寸参数 截面编号 构件长度 l/cm 截面高H/mm 翼缘宽度 B/mm 翼缘厚度 tf/mm 腹板厚度 tw/mm 1 93.88 60.74 25.57 3.01 3.01
混凝土轴心受压构件的稳定系数表
混凝土轴心受压构件的稳定系数表 标题：重新编写混凝土轴心受压构件的稳定系数表 摘要： 混凝土轴心受压构件的稳定性是设计过程中不可忽视的重要考虑因素 之一。稳定系数表是用于评估构件的稳定性，并为结构设计提供指导 的重要依据。本文将重新编写混凝土轴心受压构件的稳定系数表，通 过综合考虑主要影响因素，提供全面准确的稳定系数。 1. 引言 在混凝土结构设计中，轴心受压构件的稳定性是确保结构安全可靠的 关键因素之一。稳定系数表是设计师用于评估构件稳定性的工具，通 过考虑构件几何特征、材料强度和工作条件，提供了决定构件尺寸和 配筋的依据。 2. 受压构件的稳定性分析 稳定性分析的目标是确定构件在受压情况下的最小安全稳定系数。主 要考虑的因素包括构件几何形状、材料特性、加载方式、边界条件等。在重新编写稳定系数表时，我们将充分考虑这些因素，确保表格能够 精确预测构件的稳定性。
3. 构件几何形状 单向受压构件通常采用矩形、圆形和T形截面。稳定系数表将基于这 些几何形状提供详细的参数范围和计算公式。特殊形状的构件，如梯形、L型等，也会在表格中给出适用的公式和参数。 4. 材料特性 稳定系数表将考虑混凝土和钢材料的强度特性。通过考虑混凝土和钢 材料的抗压强度、极限拉伸强度、弹性模量等参数，以及钢材料的弯 曲应力分配规律，提供准确的稳定系数计算公式。 5. 加载方式和边界条件 加载方式和边界条件对构件稳定性的影响至关重要。稳定系数表将考 虑不同加载条件下的构件稳定性计算，如均匀分布荷载、偶然集中荷 载等。同时，不同边界条件，如固定端、铰接端等，也将被充分考虑。 6. 稳定系数表的结构和内容 重新编写的稳定系数表将按照结构化的格式提供，以确保信息的清晰 易读。表格将分为多个部分，包括构件几何形状、材料特性、加载方 式和边界条件等。每个部分将提供详细的参数描述和计算公式，以帮 助设计师准确计算稳定系数。 7. 观点和理解 本文的目标是重新编写混凝土轴心受压构件的稳定系数表，为结构设
钢筋混凝土轴心受压构件的稳定系数表
钢筋混凝土轴心受压构件的稳定系数表 1. 引言 钢筋混凝土结构是现代建筑中常见的一种结构形式，其具有较好的承载能力和耐久性。在钢筋混凝土结构中，轴心受压构件承担着重要的承载任务。为了确保轴心受压构件在使用过程中的安全性和稳定性，需要对其进行充分的设计和计算。本文将介绍钢筋混凝土轴心受压构件的稳定系数表。 2. 稳定系数的概念及意义 在钢筋混凝土结构设计中，稳定系数是评估结构稳定性和安全性的重要指标之一。稳定系数反映了结构在受力作用下抵抗失稳破坏的能力。对于轴心受压构件来说，其失稳破坏形式主要有屈曲、侧扭和局部失稳等。 通过计算得到轴心受压构件的稳定系数表，可以直观地了解不同参数对于结构稳定性的影响，为工程师提供设计参考和决策依据。稳定系数表中的数据是基于理论计算和试验结果得出的，对于结构设计和施工具有重要的指导意义。 3. 稳定系数表的内容和格式 钢筋混凝土轴心受压构件的稳定系数表通常包括以下内容： 3.1 构件几何参数 稳定系数表中需要包含轴心受压构件的几何参数，如截面形状、尺寸、钢筋布置等。这些参数对于结构的承载能力和稳定性有重要影响。 3.2 材料参数 稳定系数表中需要包含轴心受压构件所使用材料的参数，如混凝土抗压强度、钢筋强度等。这些参数是计算稳定系数的基础。 3.3 稳定系数计算方法 稳定系数表中需要说明计算稳定系数所使用的方法和公式。常见的计算方法包括欧拉公式、约束条件法等。不同方法适用于不同类型的结构，工程师可以根据实际情况选择合适的方法进行计算。 3.4 稳定系数示例计算 为了方便工程师使用稳定系数表，表中应包含一些示例计算。这些示例计算可以覆盖不同类型的轴心受压构件，展示不同参数对于稳定系数的影响。
轴心受压构件的三种失稳形式
轴心受压构件的三种失稳形式 轴心受压构件是一类常见的结构构件，其在受到压力作用时可能出现失稳的情况。失稳形式是指构件在压力作用下产生的不稳定变形或破坏形式。本文将以轴心受压构件的三种失稳形式为标题，分别介绍这三种形式及其特点。 一、屈曲失稳 屈曲失稳是轴心受压构件最常见的一种失稳形式。当轴心受压构件的受压变形达到一定程度时，构件会发生屈曲失稳。屈曲失稳的特点是构件呈现一种不稳定的弯曲形态，即构件的轴线在垂直于轴线方向上发生侧向偏移。这种侧向偏移会导致构件的截面形状发生变化，进而降低了构件的承载能力。 屈曲失稳是由于构件的材料或几何形状不满足一定的稳定性要求，或者是在施加压力时引入了不稳定因素。为了提高构件的屈曲稳定性，可以采取一些措施，如增加构件的截面尺寸、选择合适的材料、加强构件的连接等。 二、侧扭失稳 侧扭失稳是指轴心受压构件在受到压力作用时，出现了扭转变形而发生的失稳。侧扭失稳的特点是构件的轴线在垂直于轴线方向上发生了扭转，构件的截面形状也会发生变化。这种扭转变形会导致构件的截面不再处于纯压应力状态，从而降低了其承载能力。
侧扭失稳通常是由于构件的截面形状不规则或者材料的强度不均匀等因素引起的。为了防止侧扭失稳，可以采取一些措施，如增加构件的扭转刚度、增加构件的截面尺寸、采用合适的材料等。 三、屈剪失稳 屈剪失稳是轴心受压构件在受到压力作用时，由于剪切力的作用而产生的失稳。屈剪失稳的特点是构件的截面形状发生变化，出现了剪切破坏的现象。这种剪切破坏会导致构件的承载能力降低。 屈剪失稳通常是由于构件的截面形状不满足屈剪稳定性要求或者施加压力时引入了剪切力的因素。为了提高构件的屈剪稳定性，可以采取一些措施，如增加构件的剪切刚度、增加构件的截面尺寸、采用合适的材料等。 轴心受压构件的失稳形式主要包括屈曲失稳、侧扭失稳和屈剪失稳。了解这些失稳形式对于设计和使用轴心受压构件具有重要意义，可以帮助我们合理选择构件的尺寸、材料和连接方式，从而确保构件的稳定性和安全性。
钢结构构件稳定承载力分析简述
钢结构构件稳定承载力分析简述 摘要：对钢结构工程进行分析，不难发现结构中实际存在着大量的轴心受压和压弯构件。这一类构件容易发生失稳破坏，尤其是压弯构件不仅受轴向压力的作用，同时还在横截面受到弯矩作用，整体受力比较复杂。所以对钢结构构件的稳定理论分析具有重要意义。 关键词：钢结构；压弯构件；稳定承载力 一、钢结构稳定的分类 按失稳性质可将钢结构失稳类型分类如下: (l)平衡分岔失稳 完善的(即无缺陷的、挺直的)轴心受压构件和完善的在中面内受压的平板的失稳都属于平衡分岔失稳，理想的受弯构件及受压的圆柱壳的失稳也属于这种失稳形式。 作用的轴向压力P较小时，构件会始终保持着直线平衡状态，构件截面承受均匀的压力，产生轴向压缩变形。此时在其横向加一微小干扰，构件会呈现微小弯曲，但是撤去干扰后，构件会立即恢复原来的直线平衡状态。逐渐增加轴向压力P达到某种程度大小r时，构件会突然弯曲，构件由直线状态的平衡转化为弯曲状态的平衡。由于在同一荷载点出现了平衡分岔现象，所以称之为平衡分岔失稳，又称第一类失稳。若受压构件屈曲后，挠度增加时荷载还略有增加，这种平衡状态是稳定的，属于稳定分岔失稳，反之，若在屈曲后只能在远比屈曲荷载低的条件下维持平衡状态，则这种平衡状态是不稳定的，属于不稳定分岔失稳。
(2)极值点失稳 承受压力与弯矩双重作用构件的失稳现象。如图1(a)(b)所示的压弯构件的受力图与荷载-位移曲线图。当荷载刚开始作用，构件就会发生挠曲。当构件有挠度后，轴力也会对构件产生弯矩作用，随着轴压力不断增大，挠度的增加显示出非线性的特性，在A点处，构件将进入弹塑性的工作范围。在弹塑性阶段，挠度将出现更快的增加(见AB线)。在弹塑性阶段，外弯矩的增加是由截面的弹性部分承担的，随着荷载的增加，塑性区不断发展，弹性区不断减小，曲率增量越来越大。到曲线的最高点B时，杆件的内弯矩增量已无法与外弯矩增量取得平衡，导致构件失稳，挠度曲线进入下降段BC。可以看出，在图1(b)中，构件处于曲线的上升段0B时是稳定的，处于下降段BC时，杆件是不稳定的。曲线的最高点B是两段线段转折点，成为临界状态，这类失稳不存在平衡分枝现象，其稳定承载力是荷载-挠度曲线的极值点，称为极值型失稳，也称第二类失稳。 （a）（b） 图1 (3)跃越失稳 如图2所示的两端铰接的拱结构，在均步荷载q作用下有挠度w，其荷载-挠度曲线也有稳定的上升段以，但是达到曲线的最高点A时会突然跳跃到一个非临近的具有很大变形的C点，拱结构顷刻下垂。在荷载-挠度曲线上，虚线AB是不稳定的，BC 段虽然稳定的而且一直是上升的，但是因为结构已经破坏，故不能被利用，与A点相对应的荷载是拱的临界荷载。这种失稳现象称为跃越失稳，它既无平衡分岔点，又无极值点，但和不稳定分岔失稳又有某些相似的现象，都在丧失平衡之后又跳跃到另一个稳定平衡状态。
压杆稳定的概念
§压杆稳定的概念 构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。例如，受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯（图15-1a），致使结构丧失承载能力；又如，狭长截面梁在横向载荷作用下，将发生平面弯曲，但当载荷超过一定数值时，梁的平衡形式将突然变为弯曲和扭转（图15-1b）；受均匀压力的薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式（图15-1c）。上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳定失效，简称为失稳或屈曲。工程中的柱、桁架中的压杆、薄 壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可 能发生失稳。 由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性也较大。历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。如1907年加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。近代这类事故仍时有发生。因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。 “稳定”和“不稳定”是指物体的平衡性质而言。例如，图15-2a所示处于凹面的球体，其平稳是稳定的，当球受到微小干扰，偏离其平衡位置后，经过几次摆动，它会重新回到原来的平衡位置。图15-2b所示处于凸面的球体，当球受到微小干扰，它将偏离其平衡位置，而不再恢复原位，故该球的平衡是不稳定的。 受压直杆同样存在类似的平衡性质问 题。例如，图15-3a所示下端固定、上 端自由的中心受压直杆，当压力小于 某一临界值时，杆件的直线平衡形式 是稳定的。此时，杆件若受到某种微小 干扰，它将偏离直线平衡位置，产生微 弯（15-3b）；当干扰撤除后，杆件又回 到原来的直线平衡位置（图15-3c）。 但当压力超过临界值时，撤除干扰后，杆件不再回到直线平衡位置，而在弯曲形式下保持平衡（图15-3d），这表