向量法解立体几何公式总结

向量法解立体几何公式总结

一、基本知识点

直线m l ,的方向向量分别为b a ,，平面βα,的法向量分别为21,n n （若只涉及一个平面

α，则用n 表示其法向量）并在下面都不考虑线线重合、面面重合及线在面内的情况。

1、平行问题（结合图象，直观感觉） 1）线线平行b k a b a m l =⇔⇔//// 2）线面平行0//=⋅⇔⊥⇔n a n a l α 3）面面平行2121////n k n n n =⇔⇔βα

2、垂直问题（结合图象，直观感觉） 1）线线垂直0=⋅⇔⊥⇔⊥b a b a m l 2）线面垂直n k a n a l =⇔⇔⊥//α 3）面面垂直0

2121=⋅⇔⊥⇔⊥n n n n βα3、夹角问题

1）异面直线CD AB ,所成的角θ（范围： 2

0π

θ≤<）

cos cos ,.AB CD AB CD AB CD

θ•=<>=

2）线面角θ（范围：2

0π

θ≤

≤），n

a n a n a ⋅⋅=

><=,cos sin θ

3）二面角θ（范围：πθ

≤≤0）

A B

C

D

>

<-=

n a ,2

π

θ2

,π

θ-

>=<>

<-=21,n n πθ>

=<21,n n θ1212

cos n n n n θ•=-

⋅1212

cos n n n n θ•=

⋅

4、距离问题

1）点A 到点B 的距离：222)()()(B A B A B A z z y y x x AB -+-+-=

2）点A 到线l 的距离d

在直线l 上任取点B

a

AB a AB a AB ⋅⋅=

><=,cos cos θ，

θθ2cos 1sin -=，∴θsin ⋅=AB d

3）点A 到面α的距离d

在平面α上任取点B

n

AB n AB n AB ⋅⋅=

><=,cos cos θ

n

n AB n

AB n AB AB AB d ⋅=

⋅⋅⋅

=⋅=θcos

4）异面直线间m l ,间的距离d

在直线l 上任取点A ，在直线m 上任取点B 向量n 与异面直线m l ,的方向向量b a ,都垂直

n

AB n AB n AB ⋅⋅=

><=,cos cos θ

∴n

n AB n

AB n AB AB AB d ⋅=

⋅⋅⋅

=⋅=θcos

5）直线l 到平面α的距离

在直线l 上任取一点A ，转化为点A 到面α的距离d 6）平面α到平面β的距离

在平面β上任取一点A ，转化为点A 到面α的距离d

F

C 1

B 1

A 1

A

C

B

E D

D 1

二、典例训练

例1、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AD 、AB 的中点。

1）求异面直线E B 1与F C 1所成角的大小； 2）求证：异面直线1AC 与C B 1垂直；

3）求直线1BC 与面11D EFB 所成角的大小。

例2、已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AB//CD ，0

90DAB ∠=，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=DC=

1

2

，AB=1，M 是PB 的中点。 1）证明：平面PAD ⊥平面PCD

2）求AC 与PB 所成的角余弦值的大小

3）求平面AMC 与平面BMC 所成二面角余弦值的大小

D 1

C 1

B 1

A 1

A

C

B

D

例3、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点。

（1）在棱1BB 上是否存在一点M ，使⊥M D 1平面AE B 1，为什么？

（2）在正方体表面11A ABB 上是否存在点N ，使⊥N D 1平面AE B 1，为什么？

例4、如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，3,1,2,9010

=

===∠AA BC AB ACB

（1）求三棱柱111C B A ABC -的体积；（2）求证111C AB C A 平面⊥

（3）若D 是1CC 的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使11//C AB DE 平面，

证明你的结论

11

A 1

例5、已知棱长为1的正方体,1AC E ，F 分别是11C B 和11D C 中点. （1）求证：E 、F 、B 、D 共面； （2）求点1A 到平面BDFE 的距离； （3）求直线D A 1到平面BDFE 所成的角.

例6、如图，111C B A ABC -是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点. （1）求证：平面⊥D AB 1平面11A ABB ； （2）求点C 到平面D AB 1的距离；

（3）求平面D AB 1与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小.

F E

C 1

1B 1

A 1

C

D A

B

例7、（2007浙江卷理）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点． （I ）求证：CM EM ⊥；

（II ）求CM 与平面CDE 所成的角．

例8、（2008浙江卷理）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，

∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2。

（Ⅰ）求证：AE//平面DCF ； （Ⅱ）当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为︒60？

E D

C M

A B

例9、（2009浙江卷理）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆是以AC 为斜边的等腰直角

三角形，,,E F O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，

16AC =，10PA PC ==．

（I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ； （II ）证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面

BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．

例10、（2009宁夏海南卷理）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是

地面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点。 （Ⅰ）求证：AC ⊥SD ；

（Ⅱ）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小 （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC 。若存在，求SE ：EC 的值；若不存在，试说明理由。

例11、（2009江西卷理）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =. 点M 为PD 的 中点，PC AN ⊥于N 点. （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；

（2）求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小； （3）求点N 到平面ACM 的距离.

例12、（2009重庆卷理）如图，在四棱锥S ABCD -中，//AD BC 且AD CD ⊥；平面

CSD ⊥

平面ABCD ，,22CS DS CS AD ⊥==；E 为BS 的中点，2,3CE AS ==．求：

（Ⅰ）点A 到平面BCS 的距离；

（Ⅱ）二面角E CD A --的大小．

N

O D M

B P

A

向量法解立体几何

向量法解立体几何 用传统的方法解立体几何需要烦琐的分析、复杂的计算。而用向量法解题思路清晰、过程简洁。对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简，化难为易的效果。 一. 证明两直线平行 已知两直线a 和b , b D C a B A ∈∈,,,,则⇔b a //存在唯一的实数λ使CD AB λ= 二. 证明直线和平面平行 1.已知直线αα∈∈⊄E D C a B A a ,,,,,且三点不共线，则a ∥⇔α存在有序实数对μλ,使μλ+= 2.已知直线,,,a B A a ∈⊄α和平面 α的法向量,则a ∥⊥⇔α 三.证明两个平面平行 已知两个不重合平面βα,,法向量分别为n m ,,则α∥//⇔β 四．证明两直线垂直 已知直线b a ,。b D C a B A ∈∈,,,，则0=∙⇔⊥b a 五.证明直线和平面垂直 已知直线α和平面a ，且A 、B a ∈,面α的法向量为,则a //⇔⊥α 六.证明两个平面垂直 已知两个平面βα,,两个平面的法向量分别为n m ,,则n m ⊥⇔⊥βα 七．求两异面直线所成的角 已知两异面直线b a ,，b D C a B A ∈∈,,,，则异面直线所成的角θ 为：CD AB ∙=θcos 八．求直线和平面所成的角 A B

已知A,B 为直线a 上任意两点，为平面α的法向量，则a 和平面α所成的角θ为: 1． ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∙2,0π 时-=2πθ 2． ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,2 时2πθ-= 九．求二面角 1．已知二面角βα--l ，且l CD l AB D C B A ⊥⊥∈∈,,,,且βα，则二面角的平面角θ 的大小为：=θ 2.已知二面角,βα--l ,分别为面βα,的法向量，则二面角的平面角θ的 大小与两个法向量所成的角相等或互补。即-=πθ 注:如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系。 (1)通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之。 (2)通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。 十.求两条异面直线的距离 已知两条异面直线b a ,, m 是与两直线都垂直的向量,b B a A ∈∈,则两条 异面直线的距离d = 十一.求点到面的距离 已知平面α和点A,B 且αα∈∉B A ,,m 为平面α的法向量,则点A 到平面α 的距离d =

用空间向量法求解立体几何问题典例及解析

用空间向量法求解立体几何问题典例及解析 以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。 首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法 一：利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的夹角 范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。 向量求法：设直线,a b 的方向向量为a,b ，其夹角为θ，则有cos ___________.θ= (2)直线与平面所成的角 定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。 范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。 向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与法向量所成角的余弦值为|cos |___________.θ=直线与平面所成的角为?，则有sin ___________.?=或在平面内任取一个向量m ，则|cos |___________.θ=. (3)二面角 二面角的取值范围是 . 二面角的向量求法： 方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的 即为所求的二面角的大小； 方法二：设1n ，2n 分别是两个面的 ，则向量1n 与2n 的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。 二：利用空间向量求空间距离 （1）点面距离的向量公式 平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是 ，即d = |||| M P ? n n . （2）线面、面面距离的向量公式 平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d = . 平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d = |||| M P ? n n . （3）异面直线的距离的向量公式 设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d

向量法解立体几何公式总结

向量法解立体几何公式总结 一、基本知识点 直线m l ,的方向向量分别为b a ,，平面βα,的法向量分别为21,n n （若只涉及一个平面 α，则用n 表示其法向量）并在下面都不考虑线线重合、面面重合及线在面内的情况。 1、平行问题（结合图象，直观感觉） 1）线线平行b k a b a m l =⇔⇔//// 2）线面平行0//=⋅⇔⊥⇔n a n a l α 3）面面平行2121////n k n n n =⇔⇔βα 2、垂直问题（结合图象，直观感觉） 1）线线垂直0=⋅⇔⊥⇔⊥b a b a m l 2）线面垂直n k a n a l =⇔⇔⊥//α 3）面面垂直0 2121=⋅⇔⊥⇔⊥n n n n βα3、夹角问题 1）异面直线CD AB ,所成的角θ（范围： 2 0π θ≤<） cos cos ,.AB CD AB CD AB CD θ•=<>= 2）线面角θ（范围：2 0π θ≤ ≤），n a n a n a ⋅⋅= ><=,cos sin θ 3）二面角θ（范围：πθ ≤≤0） A B C D > <-= n a ,2 π θ2 ,π θ- >=<> <-=21,n n πθ> =<21,n n θ1212 cos n n n n θ•=- ⋅1212 cos n n n n θ•= ⋅

4、距离问题 1）点A 到点B 的距离：222)()()(B A B A B A z z y y x x AB -+-+-= 2）点A 到线l 的距离d 在直线l 上任取点B a AB a AB a AB ⋅⋅= ><=,cos cos θ， θθ2cos 1sin -=，∴θsin ⋅=AB d 3）点A 到面α的距离d 在平面α上任取点B n AB n AB n AB ⋅⋅= ><=,cos cos θ n n AB n AB n AB AB AB d ⋅= ⋅⋅⋅ =⋅=θcos 4）异面直线间m l ,间的距离d 在直线l 上任取点A ，在直线m 上任取点B 向量n 与异面直线m l ,的方向向量b a ,都垂直 n AB n AB n AB ⋅⋅= ><=,cos cos θ ∴n n AB n AB n AB AB AB d ⋅= ⋅⋅⋅ =⋅=θcos 5）直线l 到平面α的距离 在直线l 上任取一点A ，转化为点A 到面α的距离d 6）平面α到平面β的距离 在平面β上任取一点A ，转化为点A 到面α的距离d

平面向量直线和圆立体几何公式定理

平面向量 坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=-- . (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ. (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212()x x y y +. 向量内积：a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ 两向量的夹角公式：121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+?==?+?+ (a =11(,)x y ,b =22(,)x y ). 平面两点间的距离公式：,A B d 222121()()x x y y = -+- (A 11(,)x y ，B 22(,)x y ). 向量的平行与垂直 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0 ，则： a || b 12210x y x y ?-=.（交叉相乘差为零） a ⊥b (a ≠0 )? a ·b =012120x x y y ?+=.（对应相乘和为零） 线段的定比分公式 ：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ= ，则 121 211x x x y y y λλλλ+?=??+?+?=?+??1 21OP OP OP λλ+=+ 直线和圆 斜率公式 ：2121 y y k x x -= -（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 直线方程：（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠) (111(,)P x y 、222(,)P x y (1212,x x y y ≠≠)) (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，00a b ≠≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 直线0Ax By C ++=的法向量：(,)l A B '= ，方向向量：(,)l B A =- 夹角公式：(1)2 121tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212 tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2 π.

立体几何公式大全

立体几何公式大全 向量式 坐标式 数量积 cos a b a b θ?=? =121212x x y y z z ++ a b ⊥ 0a b ?= =121212x x y y z z ++=0 //a b （0b ≠） a b λ=（0,λ>方向相同； 0,λ<方向相反） =111(,,)x y z =λ222(,,)x y z 即：12x x λ=，12y y λ=，12z z λ= 模a 2 a a = =222 111x y z ++ 夹角θ（0a ≠，0b ≠） cos a b a b θ?= ? = 121212 2 22222 1 1 1 222 x x y y z z x y z x y z ++++++ 求异面直线a 与b 所成角θ： 121212 222222 111222cos a b x x y y z z a b x y z x y z θ?++= = ?++++KP115/例1 JP60/例3 求直线a 与平面α所成角θ： sin a n a n θ?= ?（n 表示平面α的法向量） KP125/例1 二 面 角 l αβ--的大小 θ: 设1θ为平面α的法向量1n 与平面β的法向量2n 的夹角： 则12112 cos n n n n θ?=?：求二面角θ步骤： 一、 瞄：瞄一下看二面角θ是锐角还是钝角；二、求：先求平面α的法向量1n 与平面β的法向量2n ，而后用12112 cos n n n n θ?= ? 求出 1n 与2n 的夹角1θ；三、定：同锐相等：若θ 是锐角，1θ也是锐角，则1θθ=；同钝相等： JP69/例3(2) KP127/例2（2）

高中数学立体几何知识点总结4篇

高中数学立体几何知识点总结4篇 高中数学立体几何知识点总结4篇 社会心理学是一种以社会群体和人际关系为研究对象的学科，涉及社会认知、群体动态和人际关系等基本领域。统计学是一种以数据收集、分析和解释为基础，为决策和研究提供有力支持的学科。下面就让小编给大家带来高中数学立体几何知识点总结，希望大家喜欢! 高中数学立体几何知识点总结1 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x ，y+y )。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x ,y ) 则 a-b=(x-x ,y-y ). 3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且 ∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。 当λ 0时，λa与a同方向; 当λ 0时，λa与a反方向; 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。 向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果 a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 4、向量的的数量积 定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。 定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+- ∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x +y·y 。 向量的数量积的运算率 a·b=b·a(交换率); (a+b)·c=a·c+b·c(分配率); 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。 高中数学立体几何知识点总结2 直线的倾斜角： 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当

向量法解决立体几何问题总结(一)

向量法解决立体几何问题总结(一) 向量法解决立体几何问题 前言 立体几何问题在数学中起到重要的作用，理解和解决立体几何问题对于提升数学思维和解决实际问题都有着积极的影响。传统的解决方法包括使用平面几何、几何画法等，但这些方法在处理复杂的立体几何问题时可能面临一些困难。向量法作为一种新的解决方法，在解决立体几何问题方面具有独特的优势和应用空间。 正文 1. 什么是向量法 向量法是一种几何运算方法，通过定义和运算向量的方式，对立体几何问题进行求解。向量法帮助我们将几何问题转换为向量问题，进而使用向量的性质和运算来解决。在向量法中，我们可以通过坐标表示向量，进行向量加减法、数量乘法、点乘、叉乘等运算。 2. 向量法解决立体几何问题的优势 •空间直观：向量法将立体几何问题转化为向量问题，使得问题的空间特性更加直观可见。通过绘制向量图形，我们可以更好地理解问题，有助于从几何角度进行分析。

•简化问题：通过向量法，我们可以将复杂的立体几何问题简化为向量运算问题，减少了繁琐的计算步骤和猜测过程，提高了问题 解决的效率。 •统一性：向量法具有统一的运算法则和性质，使得不同类型的立体几何问题可以采用相似的解决思路和方法。这为解决立体几何 问题提供了一种通用的框架，提升了问题解决的一致性和可重复 性。 3. 向量法解决立体几何问题的应用案例 •平面与直线交点：通过将平面和直线的方程转化为向量形式，可以求得它们的交点。这样的应用可以用于计算平面与光线的交点，进而用于光线追踪、计算机图形学等领域。 •空间线段位置关系：通过向量的数量乘法和点乘运算，可以判断两个空间线段之间的位置关系，如重叠、相交、平行等。这样的 应用可以用于计算机辅助设计、机器人运动规划等领域。 •图形投影：通过向量的点乘运算，可以求得一个图形在另一个图形上的投影。这样的应用可以用于计算机图形学、建筑设计等领 域。 结尾 向量法作为一种新的解决立体几何问题的方法，在数学和工程领 域都有着广泛的应用。通过简化问题、提高解决效率和统一解决思路，向量法为解决立体几何问题提供了一种强有力的工具。在实践中，我

高中数学：向量法解立体几何总结

向量法解立体几何 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作 n ，如果n ，那么向量n叫做平面的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面的法向量为n (x, y, z) ． ③求出平面内两个不共线向量的坐标a(a ,a ,a ), b (b ,b,b ) ． 1 2 3 1 2 3 n a 0 ④根据法向量定义建立方程 组. n b 0 ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 2、用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行。设直线l1,l2 的方向向量分别是a、b，则要证明l∥ 1 l ，只需证明a∥b，即2 a k b (k R) . ⑵线面平行。设直线l 的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l ∥，只需证明 a u ，即a u 0 . ⑶面面平行。若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证∥，只需证u ∥v， 即证u v. 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直。设直线l1,l2 的方向向量分别是a、b，则要证明l1 l2 ，只需证明 a b，即 a b 0 . ⑵线面垂直 ①（法一）设直线l 的方向向量是a，平面的法向量是u ，则要证明l ，只需证明a

∥u，即a u . ②（法二）设直线l 的方向向量是a，平面内的两个相交向量分别为m、n，若 a m 0 , l . 则 a n 0 ⑶面面垂直。若平面的法向量为u ，平面的法向量为v，要证，只需证u v ， 即证u v 0 . 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角 已知a,b为两异面直线，A，C 与B，D 分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为，AC BD 则c os . AC BD ⑵求直线和平面所成的角 求法：设直线l 的方向向量为a，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为，a与u 的夹角为，则为的余角或的补角 a u 的余角.即有：sin cos . a u ⑶求二面角 二面角的平面角是指在二面角l 的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射 线AO l,B O l ，则AOB 为二面角l 的平面角. 如图： A B l O B O A 求法：设二面角l 的两个半平面的法向量分别为m、n ，再设m 、n的夹角为， 二面角l 的平面角为，则二面角为m、n的夹角或其补角. 根据具体图形确定是锐角或是钝角： 如果是锐角，则cos cos m n m n ，即arccos m n m n ；

用向量法解立体几何

y k i A(x,y,z) O j x z 空间向量与立体几何 一．空间向量 1、空间直角坐标系： 〔1〕假如空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示； 〔2〕在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建 立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。 〔3〕作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=〔或45〕，90yOz ∠=； 〔4〕在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系 2、空间直角坐标系中的坐标： 如图给定空间直角坐标系和向量a ,设,,i j k 为坐标向量,如此存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ,使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =． 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯 一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记 作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 3、空间向量的直角坐标运算律

立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结

讲义：立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结 一、几种角的范围 1、 _________________________________ 二面角平面角的范围： 2、 _________________________________ 线面角的范围： 3、 _________________________________ 直线倾斜角范围： 4、异面直线夹角范围：_______________ 5、向量夹角范围：_________________ 二、立体几何中的向量方法 1.三个重要向量 (1)直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有 ______ . (2)平面的法向量：直线I丄平面a取直线I的方向向量，则这个向量叫做平面a的法向量.显然一个平面的法向量有 ____ ，它们是共线向量. (3)直线的正法向量：直线L:Ax+By+C=O的正法向量为n=(A,B). 2.直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用 (1)直线l i的方向向量为u 1= (a i, b i, c i),直线l2的方向向量为比=(a2, b2, C2). 女口果丨1 //丨2,那么U1 // U2? 5=右2? _____________________________ ； 女口果丨1丄l2, 那么U1丄U2? U1 U2= 0? ________________ ⑵直线I的方向向量为u= (a1, b1, C1),平面a的法向量为n= (a2, b2, C2). 若I // a 贝U u 丄n? u n = 0? _________________ 若I 丄a 贝U u // n? u = k n? _____________________ (3)平面a的法向量为U1 = (a1, b1, C1)，平面B的法向量为u2= (a2, b2, C2). 若all B U1 / U2? U1 = k u2? (a1, b1, G)=_________ ； 若a丄B 贝y U1 丄U2? U1 U2= 0? ____________________ 3.利用空间向量求空间角 (1)求两条异面直线所成的角：设a, b分别是两异面直线I1, I2的方向向量，则

知识归纳：立体几何中的向量方法

知识归纳：立体几何中的向量方法 1.直线的方向向量：我们把直线l 上的向量以及与共线的向量叫做直线l 的方向向量. 2.平面的法向量：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥，那么向量叫做平面α的法向量.给定一个点，以向量为法向量的平面是完全确定的. 3.空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及到的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义． 4.用向量研究空间线面关系，设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面2 1,αα的法向量分别为21,n n ，则有如下结论 5.用向量法求线线角：AB 与CD 的夹角和AB 与CD 的夹角相等或互补.公式为 cos ,|||| AB CD AB CD AB CD ⋅<>= . 6.法向量求线面角：设平面β的斜线l 与平面β所成的角为α1，斜线l 与平面β的法向量所成角α2，则α1与α2互余或与α2的补角互余.求出斜线与平面的法向量所成的角后，即可求出斜线与平面所成的角的大小.公式为cos ,|||| AB n AB n AB n ⋅<>= . 7.法向量求面面角：一个二面角的平面角α1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补.求出两平面的法向量所成的角后，即可求出二面角的大小.公式为

12 1212cos ,|||| n n n n n n ⋅<>= . 8.向量法求异面直线间的距离：设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为 ，与这两条异面直线都垂直的向量为，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向 量的模.公式为d 9.向量法求点到平面的距离：设分别以平面外一点P 与平面内一点M 为起点和终点的向量为，平面的法向量为，则P 到平面的距离d 等于在方向上正射影向量的模.公式为 | |n d =

空间向量与立体几何知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结 在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。设向量为 a=(a1,a2,a3) 则其在x轴、y轴、z轴上的投影分别为 a1、a2、a3 即 a=(a1,a2,a3) 2）空间向量的模长：向量的模长是指其长度，即 a|=√(a1²+a2²+a3²) 3）向量的单位向量：一个向量的单位向量是指其方向相同、模长为1的向量。设向量 a 的模长为 a| 则其单位向量为 a/|a|

4）向量的方向角：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角分别称为其方向角。设向量 a=(a1,a2,a3) 则其方向角为 α=cos⁻¹(a1/|a|)、β=cos⁻¹(a2/|a|)、γ=cos⁻¹(a3/|a|) 5）向量的方向余弦：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角的余弦值分别称为其方向余弦。设向量 a=(a1,a2,a3) 则其方向余弦为 cosα=a1/|a|、cosβ=a2/|a|、cosγ=a3/|a| 一、知识要点 1.空间向量的概念：在空间中，向量是具有大小和方向的量。向量通常用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。向量具有平移不变性。 2.空间向量的运算：空间向量的加法、减法和数乘运算与平面向量运算相同。运算法则包括三角形法则、平行四边形法则和平行六面体法则。

3.共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平 行或重合，那么这些向量也叫做共线向量。共线向量定理指出，空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。 4.共面向量：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 5.空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那 么对空间任一向量p有唯一的有序实数组x、y、z，使 p=xa+yb+zc。若三向量a、b、c不共面，则{a,b,c}叫做空间的 一个基底，a、b、c叫做基向量。 6.空间向量的直角坐标系：在空间直角坐标系中，一个向 量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。向量的模长是指其长度，向量的单位向量是指其方向相同、模长为1的向量。向量的方向角是指其在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角，向量的方向余弦是指其在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角的余弦值。 二、改写后的文章 空间向量与立体几何是高中数学中的重要内容。本文将对空间向量的基本概念、运算法则、共线向量、共面向量、基本定理和直角坐标系进行总结和归纳。

纵观立体几何考题感悟向量方法解题

纵观立体几何考题感悟向量方法解题 在高中数学学习中，立体几何一直是学生们非常头疼的一个部分。立体几何的主要难点是空间的复杂性，加上几何思维本来就不易理解，许多学生解题困难。但是，通过向量方法解题是一种很好的解决立体几何问题的方法。本文将通过纵观立体几何考题，分享一些关于向量方法解题的经验与感悟。 一、向量的基本概念及运算 向量的表示法是用箭头表示。箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。一个向量可以被表示为一个由有序数对$(x,y)$所确定的点A和另一个由有序数对$(x',y')$所确定 的点B之间的向量$\vec{AB}$。向量也可以表示为箭头的坐标，即$\vec{AB}=\begin{pmatrix}x'-x\\y'-y\end{pmatrix}$。向 量的大小表示为$|\vec{AB}|=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}$。 向量的运算有向量加法和向量数乘。向量加法的定义是： $\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\e nd{pmatrix}$。其中，$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$， $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$。向量数乘的定义是： $\lambda\vec{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)$。其中，$\lambda$是一个实数。 二、应用向量方法求解空间几何问题 1.立体几何基本概念

首先，我们需要掌握一些立体几何的基本概念，比如平面、线段、角等。此外，还需要了解空间中的直线、平面、空间角、平行线等概念。了解这些概念是建立解题基础的必要条件。 2.向量表达式的转化 在解题中，我们可以通过向量的基本运算将问题转化为向量的加、减、数乘问题。因此，我们需要能够将向量从一个表达式转化为另一个表达式，并灵活地运用向量的加、减、数乘运算法则来求解问题。 3.使用向量法求解空间几何题 在解题中，我们可以通过向量法来解决一些复杂的题目。例如，我们可以用向量求空间中两点的距离，也可以用向量求三角形的面积或四面体的体积。此外，我们还可以利用向量法来判断两个向量是否相交或垂直，以及求解平面的方程式等。 三、典型题型分析 1.平面的方程式问题 在平面的问题中，我们可以使用向量法来求解平面的方程式。在解题中，我们需要先求出向量法向量$\vec{n}$，然后再代 入已知点$\vec{A}$，得到平面的方程式。例如，平面的方程 式为：$ax+by+cz=d$，则向量法向量$\vec{n}=(a,b,c)$。 2.空间向量共面问题

空间向量与立体几何知识总结（高考必备!）

空间向量与立体几何知识总结（高考必备!） y k i A(x,y,z) O j x z 辅导科目：数学授课教师：全国章年级：高二上课时间：教材版本：人教版总课时： 已上课时：课时 学生签名： 课题名称 教学目标 重点、难点、考点 教学步骤及内容 空间向量与立体几何 一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示 空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k （单位正交基底） 为坐标向量，则存在 唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++ ，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在 空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a = ．在空间直角坐标系O xyz -中， 对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使O A xi yj z k =++ ，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．

二、空间向量的直角坐标运算律 （1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈ ， （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =--- ． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （3）//a b b a λ?= 11 223 3()b a b a R b a λλλλ=?? =∈??=? 三、空间向量直角坐标的数量积 1、设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量> > 2、模长公式 222 123||a a a x x x = = ++ 3、两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则22 2 2 212121||()()()

高中数学立体几何解析几何判定性质公式整理（全）

高中数学立体几何解析几何判定性质公式整理（全） 高中数学必修二复习 基本概念 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 空间两直线的位置关系： 空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类： （1）共面：平行、相交 （2）异面： 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类： （1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面 直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面

平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角 由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ③直线和平面平行——没有公共点 直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 两个平面的位置关系： （1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点

用空间向量解立体几何问题方法归纳(学生版)

用空间向量解立体几何问题方法归纳(学生版) -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

用空间向量解立体几何题型与方法 一．平行垂直问题基础知识 直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4) (1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0 (2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝k u⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3 (3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝k v⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4 (4)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD 的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. (1)求证：EF∥平面PAB； (2)求证：平面PAD⊥平面PDC. 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直. 例2、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． 求证：(1)B1D⊥平面ABD； (2)平面EGF∥平面ABD.

二．利用空间向量求空间角基础知识 (1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所 成的角为θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b| |a||b|. (2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角 为θ，则sin θ＝|cos〈n，a〉|＝|n·a| |n||a|. (3)向量法求二面角：求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2， 若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2| |n1||n2|； 若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－|n1·n2| |n1||n2|. 例1、如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点． (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； (2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．

空间向量解立体几何(含综合题习题)

空间向量解立体几何(含综合题习题) 利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 1.刻画直线与平面方向的向量 直线的方向向量可由直线上的两个点来确定。例如，若有点A(2,4,6)和点B(3,0,2)，则直线AB的方向向量为AB=(1,-4,-4)。 平面的法向量来刻画平面的倾斜程度。法线的方向向量就是平面的法向量。要求出指定平面的法向量，需要平面上的两条不平行的直线。设平面的法向量为n=(x,y,z)，若平面上所选两条直线的方向向量分别为a=(x1,y1,z1)和b=(x2,y2,z2)，则可列出方程组：x1x+y1y+z1z=0和x2x+y2y+z2z=0，解出x,y,z 的比值即可。例如，若a=(1,2,0)和b=(2,1,3)，求a,b所在平面的法向量，则设n=(x,y,z)，有方程组：x+2y=0，2x+y+3z=0，解得：x:y:z=-2:1:1，故n=(-2,1,1)。

2.空间向量可解决的立体几何问题 1）判定类 线面平行：a∥b当且仅当a∥b。 线面垂直：a⊥XXX且仅当a⊥b。 面面平行：α∥β当且仅当m∥n。 面面垂直：α⊥β当且仅当m⊥n。 2）计算类 两直线所成角：cosθ=cos(a,b)=(a·b)/(|a||b|)。线面角：sinθ=sin(a,m)=(a·m)/(|a||m|)。

二面角：cosθ=cos(m,n)（法向量夹角关系而定）或cosθ=-cos(m,n)。 点到平面距离：设A为平面α外一点，P为平面α上任意一点，则A到平面α的距离为d=|AP·n|/|n|，即AP在法向量n 上投影的绝对值。 3）点的存在性问题 在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件。解决该问题时，可以先设出所求点的坐标(x,y,z)，再想办法利用条件求出 坐标。 为底面，以AD为高，构造平面ADE，可知平面ADE与 平面ABCD- A1垂直，且平面ADE与平面EF所成角为所求角，故EF与平面ADE垂直。 1）由题意可知，CF=2CE，又因为. 3）由于EF与平面ADE垂直，所以二面角A1-ED-F的正 弦值为EF/AD=√2/2.

用向量方法解立体几何题

用向量方法求空间角和距离 前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n （３）求二面角 a l ⊥，在β内 b l ⊥，其方向如图，则二 方法一：在α内 平面角α=arccos |||| a b a b 面角l αβ--的 方法二：设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角 α=12 12arccos |||| n n n n

2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β⊂且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 方法二：在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别为异面直 线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥， n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离 || |||cos ||| AB n d AB n θ== （此方法移植于点面距离的求法）． 例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是 棱1111,A D A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角； （III ）求1B 到面EFBD 的距离 记异面直线1DE FC 与所成的角为α， 解：（Ⅰ） 则α 等于向量 1 DE FC 与的夹角或其补角， 1 1 ||||111111cos || ()() ||||||DE FC DE FC DD D E FB B C DE FC α∴=++=