空间向量法解决立体几何证明

空间向量法解决立体几何证明

空间向量法是一种运用向量的几何性质进行证明的方法，它以向量为

基本工具，通过对向量的运算和性质的利用来解决立体几何的问题。它不

仅可以简化证明过程，还能够准确地描述空间中的点、线、面等几何元素

的关系，使证明更加直观和清晰。

一、空间向量的定义和性质：

在空间中，我们可以用向量表示点、线、面等几何元素，同时向量之

间也可以进行加减、乘除等运算。

1.向量的定义：向量是具有大小和方向的有向线段，可以通过两点确定，也可以利用坐标表示。

2.平行向量：两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

3.共线向量：如果一个向量与另一个向量成正比例，则它们是共线向量。

4.零向量：即向量的大小为0，没有方向。

5.向量的加法和减法：向量的加法满足交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)；向量的减法可以通过加上相反向量来实现。

6.向量的数量积和向量积：数量积是两个向量的数量乘积，向量积是

两个向量的叉乘积。

二、空间向量法的应用：

1.证明平面垂直或平行关系：

通过计算两个向量的点积来判断它们是否垂直，如果点积为0，则说明两个向量垂直；如果点积为非零常数，则说明两个向量平行。

2.求线段的中点：

设线段AB的中点为M，可以通过向量加法来计算中点坐标，即

M=(A+B)/2

3.证明两个向量共线：

如果一个向量和另一个向量成正比例，则说明它们共线，可以通过向量的除法来验证。

4.求直线的方程：

可以通过设定直线上的一点和与直线平行的向量来确定直线的方程，利用向量法可以方便地表示直线的方向和位置关系。

5.判断四点共面：

通过计算四个向量的混合积来判断四点是否共面，如果混合积为0，则说明四点共面。

6.求空间三角形面积：

可以通过向量的叉乘来计算三个不共线点所确定的面积，公式为

S=1/2*，AB×AC。

三、空间向量法的证明步骤：

1.设定要证明的几何问题，明确所要证明的结论。

2.根据所给信息，用向量来表示图中的几何元素，建立向量方程或相关关系。

3.利用向量的运算和性质，对向量方程进行推导和变换。

4.利用向量等式或相关关系，得出要证明的结论。

5.结合图形元素的性质和几何知识，解释和证明结果的正确性。

通过空间向量法，我们可以用较简洁的方式解决立体几何问题，从而提高解题效率和准确性。同时，空间向量法还能够帮助我们更好地理解几何元素的关系和性质，提升空间思维能力和几何观察力。因此，掌握和运用空间向量法对于解决立体几何问题具有重要意义。

(完整版)用空间向量解立体几何问题方法归纳

用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 (1) 线面平行： l ∥α? a ⊥u? a ·u ＝0? a 1a 3＋ b 1b 3＋c 1c 3＝ 0 (2) 线面垂直： l ⊥α? a ∥u? a ＝ku? a 1＝ka 3，b 1＝ kb 3，c 1＝kc 3 (3) 面面平行： α∥β? u ∥v? u ＝kv? a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4) 面面垂直： α⊥β? u ⊥v? u ·v ＝ 0? a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例 1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ， 的中点， PA ＝AB ＝1， BC ＝2. (1) 求证： EF ∥平面 PAB ； (2) 求证：平面 PAD ⊥平面 PDC. ［证明］ 以 A 为原点， AB ，AD ，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立 空 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)， D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以 E 12，1，12 ， uuur uuur uuur 1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)， uuur ∥AB ，即 EF ∥AB. 又 AB? 平面 PAB ， EF? 平面 PAB ，所以 EF ∥平面 PAB. uuur uuur uuur uuur (2)因为 AP ·DC ＝(0,0,1) (1,0·,0)＝ 0， AD ·DC ＝(0,2,0) (1,0·,0)＝0， uuur uuur uuur uuur 所以 AP ⊥ DC ， AD ⊥ DC ，即 AP ⊥DC ，AD ⊥DC. 又 AP ∩ AD ＝ A ，AP? 平面 PAD ，AD? 平面 PAD ，所以 DC ⊥平面 PAD.因为 DC? 平面 PDC ， 直线 l 的方向向量为 a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面 α， β的法向量 u ＝ (a 3，b 3，c 3)， v ＝(a 4，b 4，c 4) 1 uuur 1 uuur F 0 ， 1， 2 ，EF ＝ －2， 0， 0 ，PB ＝ (1,0， uuur uuur E ， F 分别是 PC ， PD 间直角坐标系如图所示，则 DC ＝(1,0,0)， AB ＝(1,0,0)． uuur 1uuur uuur (1)因为 EF ＝－ 2AB ，所以 EF

用向量法解立体几何

y k i A(x,y,z)O j x z 空间向量与立体几何 一．空间向量 1、空间直角坐标系： （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示； （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建 立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通 过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。 （3）作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=（或45），90yOz ∠=； （4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正 方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系 2、空间直角坐标系中的坐标： 如图给定空间直角坐标系和向量a ,设,,i j k 为坐标向量,则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ,使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =． 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯 一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记 作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 3、空间向量的直角坐标运算律 （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， y k i B(b1,b2,b3)A(a1,a2,a3) O j x z

运用空间向量来解决立体几何问题的基本步骤

运用空间向量来解决立体几何问题的基本步骤： 用能够熟练运用空间向量来解决立体几何问题的话，4-8点是必备知识，必须掌握。 （一）选择合适的点作为坐标原点，建立空间直角坐标系。 ?空间直角坐标系中的x 轴，y 轴，z 轴，必须满足两两垂直，如条件中没有现成的，就必须先证明再建系。 ?我们一般使用右手直角坐标系：让右手拇指，食指，中指分别指向x 轴，y 轴，z 轴的正方向。 ?常见的几种建系大家可以记住： （二）能迅速找出所需各点的坐标 空间直角坐标系中点的坐标是（x ，y ，z ），比平面直角坐标系的（x ，y ）多了一个竖坐标z 。 其中x 和y 和我们平面直角坐标系的找法一样： （1）x 轴上y=0， y 轴上x=0； （2）到y 轴的距离= x ，到x 轴的距离=y ，要注意区分坐标正负。 大家在直观图中找坐标出现困难的时候，我们经常将直观图还原成平面图形来找坐标。（直接写在图中） 如图（1）在直角梯形ABCD 中，A D ∥CD ，∠A=90°，BC=2AB=2AD=2，写出图中各点坐标。 如图（3）若将图（1）中的xA y ，移动到xDy ，则图中各点坐标为： 如图（2）边长为2的正三角形ABC 中各点坐标为： （1） (2) （3） 对于竖坐标z ，因为竖直的那条坐标轴就是z 轴，所以可以用射影法来找竖坐标，即看这个点相对于XOY 平面上升或下降多少，上升为正，下降为负。 非官方总结：在建系的时候，最好判断的是z 轴，竖直的那条就是z 轴。关于x 轴和y 轴，可以这样来看：（1）在垂直于z 轴平面找到两条互相垂直的直线；（2）选定直角；（3）按逆时针方向排序，先是x 轴，然后是y 轴。这样就把坐标系建好了。 y y x

利用空间向量解立体几何(完整版)

向量法解立体几何 基本思路与方法 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+- 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离：

方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ?= 0022 Ax By C A B +++ 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. 实例分析

利用 空间向量解立体几何(含综合题

利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 （一）刻画直线与平面方向的向量 1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =-- 2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线 （2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组： 1112220 x y z x y x y z x y z z ++=?? ++=? 解出,,x y z 的比值即可 例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量 解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=??++=? ，解得：2x y z y =-??=? ::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=- （二）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b 表示直线,a b 的方向向量，用,m n 表示平面 ,αβ的法向量） 1、判定类 （1）线面平行：a b a b ?∥∥ （2）线面垂直：a b a b ⊥?⊥ （3）面面平行：m n αβ?∥∥ （4）面面垂直：m n αβ⊥?⊥ 2、计算类： （1）两直线所成角：cos cos ,a b a b a b θ?==

高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳

高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥αa ⊥ua ·u ＝0a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥αa ∥ua ＝k u a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥βu ∥vu ＝k v a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥βu ⊥vu ·v ＝0a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面PAB ； (2)求证：平面PAD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ? ?????12，1，12，F ? ?????0，1，12，EF ＝? ???? ?－12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－ 1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)． (1)因为EF ＝－1 2AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB 平面PAB ，EF 平面PAB ，所以EF ∥平面PAB . (2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，

空间向量解决立体几何

1 空间直角坐标系构建三策略 利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其它向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如． 1．利用共顶点的互相垂直的三条棱 例1 已知直四棱柱中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，试求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值． 解 如图以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，B (2,4,0)，C (0,1,0)， 所以BC 1→＝(－2，－3,2)， CD →＝(0，－1,0)． 所以cos 〈BC 1→，CD →〉＝BC 1→·CD →|BC 1→||CD →|＝31717. 故异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值为31717 . 点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可． 2．利用线面垂直关系 例2 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥面BB 1C 1C ，E 为棱C 1C 的中 点，已知AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3 .试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标． 解 过B 点作BP 垂直BB 1交C 1C 于P 点， 因为AB ⊥面BB 1C 1C ，所以BP ⊥面ABB 1A 1， 以B 为原点，分别以BP ，BB 1，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系． 因为AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3 ， 所以CP ＝12，C 1P ＝32，BP ＝32，则各点坐标分别为B (0，0,0)，A (0,0，2)，B 1(0,2,0)，C (32 ，－12，0)，C 1(32，32，0)，E (32，12 ，0)，A 1(0,2，2)．

2020年高考数学二轮复习讲义：用空间向量的方法解立体几何问题

第三讲用空间向量的方法解立体几何问题 高考考点 考点解读 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： (1)加强对空间向量概念及空间向量运算律的理解，掌握空间向量的加、减法，数乘、数量积运算等． (2)掌握各种角与向量之间的关系，并会应用． (3)掌握利用向量法求线线角、线面角、二面角的方法． 预测2020年命题热点为： (1)二面角的求法． (2)已知二面角的大小，证明线线、线面平行或垂直． (3)给出线面的位置关系，探究满足条件的某点是否存在． Z 知识整合hi shi zheng he 1．向量法求空间角 (1)异面直线所成的角：设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成 的角满足cosθ＝|a·b| |a||b|.

(2)线面角 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角满足sin θ＝|c ·n | |c ||n |. (3)二面角 ①如图(ⅰ)，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个半平面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD → 〉. ②如图(ⅱ)(ⅲ)，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉. (4)点到平面的距离的向量求法 如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则点B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n | . 2．利用向量方法证明平行与垂直 设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)． (1)线线平行 l ∥m ?a ∥b ?a ＝k b ?a 1＝k a 2，b 1＝k b 2，c 1＝k c 2. (2)线线垂直 l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (3)线面平行 l ∥α?a ⊥μ?a ·μ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0. (4)线面垂直 l ⊥α?a ∥μ?a ＝k μ?a 1＝k a 3，b 1＝k b 3，c ＝k c 3. (5)面面平行 α∥β?μ∥v ?μ＝k v ?a 3＝k a 4，b 3＝k b 4，c 3＝k c 4. (6)面面垂直 α⊥β?μ⊥v ?μ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.

空间向量法解决立体几何证明

空间向量法解决立体几何证明 空间向量法是一种运用向量的几何性质进行证明的方法，它以向量为 基本工具，通过对向量的运算和性质的利用来解决立体几何的问题。它不 仅可以简化证明过程，还能够准确地描述空间中的点、线、面等几何元素 的关系，使证明更加直观和清晰。 一、空间向量的定义和性质： 在空间中，我们可以用向量表示点、线、面等几何元素，同时向量之 间也可以进行加减、乘除等运算。 1.向量的定义：向量是具有大小和方向的有向线段，可以通过两点确定，也可以利用坐标表示。 2.平行向量：两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。 3.共线向量：如果一个向量与另一个向量成正比例，则它们是共线向量。 4.零向量：即向量的大小为0，没有方向。 5.向量的加法和减法：向量的加法满足交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)；向量的减法可以通过加上相反向量来实现。 6.向量的数量积和向量积：数量积是两个向量的数量乘积，向量积是 两个向量的叉乘积。 二、空间向量法的应用： 1.证明平面垂直或平行关系：

通过计算两个向量的点积来判断它们是否垂直，如果点积为0，则说明两个向量垂直；如果点积为非零常数，则说明两个向量平行。 2.求线段的中点： 设线段AB的中点为M，可以通过向量加法来计算中点坐标，即 M=(A+B)/2 3.证明两个向量共线： 如果一个向量和另一个向量成正比例，则说明它们共线，可以通过向量的除法来验证。 4.求直线的方程： 可以通过设定直线上的一点和与直线平行的向量来确定直线的方程，利用向量法可以方便地表示直线的方向和位置关系。 5.判断四点共面： 通过计算四个向量的混合积来判断四点是否共面，如果混合积为0，则说明四点共面。 6.求空间三角形面积： 可以通过向量的叉乘来计算三个不共线点所确定的面积，公式为 S=1/2*，AB×AC。 三、空间向量法的证明步骤： 1.设定要证明的几何问题，明确所要证明的结论。 2.根据所给信息，用向量来表示图中的几何元素，建立向量方程或相关关系。

空间向量与立体几何解答题精选(含答案)

空间向量与立体几何解答题精选（选修2--1） 1．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥ =∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且12 PA AD DC === ，1AB =，M 是PB 的中点。 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； （Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。 证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2 A B C D P M . （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故 由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD . （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC （Ⅲ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ= 要使14,00,.25 AN MC AN MC x z λ⊥=-==只需即解得 ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为 所求二面角的平面角. 2．如图，在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形, 平面VAD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面VAD ； （Ⅱ）求面VAD 与面DB 所成的二面角的大小． 证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标图系. （Ⅰ）证明：不防设作(1,0,0)A ， 则(1,1,0)B ， )2 3,0,21 (V ， 由,0=⋅VA AB 得AB VA ⊥，又AB AD ⊥，因而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA ，AD 都垂直. ∴AB ⊥平面VAD . （Ⅱ）解：设E 为DV 中点，则)4 3,0,41 (E ， 由.,,0DV EA DV EB DV EB ⊥⊥=⋅又得

8.7空间向量在立体几何中的应用——证明平行与垂直

1.用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP → ＝t a ，则此向量方程叫做直线l 以t 为参数的参数方程.向量a 称为该直线的方向向量. (2)对空间任一确定的点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在唯一的实数t ，满足等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB → ，叫做空间直线的向量参数方程. 2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2. 3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( × ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( √ ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( √ ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行.( × )

用向量法解立体几何

y k i A(x,y,z) O j x z 空间向量与立体几何 一．空间向量 1、空间直角坐标系： 〔1〕假如空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示； 〔2〕在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建 立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。 〔3〕作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=〔或45〕，90yOz ∠=； 〔4〕在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系 2、空间直角坐标系中的坐标： 如图给定空间直角坐标系和向量a ,设,,i j k 为坐标向量,如此存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ,使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =． 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯 一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记 作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 3、空间向量的直角坐标运算律

空间向量解立体几何(含综合题习题)

空间向量解立体几何(含综合题习题) 利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 1.刻画直线与平面方向的向量 直线的方向向量可由直线上的两个点来确定。例如，若有点A(2,4,6)和点B(3,0,2)，则直线AB的方向向量为AB=(1,-4,-4)。 平面的法向量来刻画平面的倾斜程度。法线的方向向量就是平面的法向量。要求出指定平面的法向量，需要平面上的两条不平行的直线。设平面的法向量为n=(x,y,z)，若平面上所选两条直线的方向向量分别为a=(x1,y1,z1)和b=(x2,y2,z2)，则可列出方程组：x1x+y1y+z1z=0和x2x+y2y+z2z=0，解出x,y,z 的比值即可。例如，若a=(1,2,0)和b=(2,1,3)，求a,b所在平面的法向量，则设n=(x,y,z)，有方程组：x+2y=0，2x+y+3z=0，解得：x:y:z=-2:1:1，故n=(-2,1,1)。

2.空间向量可解决的立体几何问题 1）判定类 线面平行：a∥b当且仅当a∥b。 线面垂直：a⊥XXX且仅当a⊥b。 面面平行：α∥β当且仅当m∥n。 面面垂直：α⊥β当且仅当m⊥n。 2）计算类 两直线所成角：cosθ=cos(a,b)=(a·b)/(|a||b|)。线面角：sinθ=sin(a,m)=(a·m)/(|a||m|)。

二面角：cosθ=cos(m,n)（法向量夹角关系而定）或cosθ=-cos(m,n)。 点到平面距离：设A为平面α外一点，P为平面α上任意一点，则A到平面α的距离为d=|AP·n|/|n|，即AP在法向量n 上投影的绝对值。 3）点的存在性问题 在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件。解决该问题时，可以先设出所求点的坐标(x,y,z)，再想办法利用条件求出 坐标。 为底面，以AD为高，构造平面ADE，可知平面ADE与 平面ABCD- A1垂直，且平面ADE与平面EF所成角为所求角，故EF与平面ADE垂直。 1）由题意可知，CF=2CE，又因为. 3）由于EF与平面ADE垂直，所以二面角A1-ED-F的正 弦值为EF/AD=√2/2.

巧用空间向量法解立体几何题

巧用空间向量法解立体几何题 前言： 向量具有一套良好的运算体系，它可以把几何图形的性质转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现了“数”与“型”的结合。因此，用向量解决立体几何中的某些问题，会显得特别简捷。 向量既能体现“数”的运算性质，又具有“形”的直观特征。因此，它是“数”与“形”合理转化的桥梁和纽带，是解决平行、垂直、角和距离的有效工具。 1.利用向量法解决立体几何题的关键及难点 利用向量的坐标解决立体几何中的平行、垂直、求角、求距离等问题，关键是建立正确的空间直角坐标系，难点是正确表示已知点的坐标和求平面的法向量。对于轴上点的坐标，坐标平面内点的坐标都比较容易，比较复杂的可以单独画出相应平面来求解，对空间任意一点A，求其坐标的一般方法：过A做z轴的平行线交平面xoy于B，过B分别作x，y轴的平行线，分别交y，x轴于C，D，则由，，的长度和方向便可求得点A的坐标。其余点的坐标，多数情况下用待定坐标法。先假设点的坐标，再根据题目条件加以解决，特别注意点在棱上这一条件。 举例：2009年高考题——如何求点M的坐标 总结 （1）利用空间向量改变了传统教材的数学观点，加强了对空间图形的代数解法，降低了论证几何体面积和体积计算的要求，明确了立体几何的发展方向，注重了立体几何的实际应用，因此，根据共线向量定理、共面向量定理及两个向量的数量积等基础知识去证明点线共面、线面平行与垂直以及求角和距离等都是高考命题的热点。其中二面角的求解一直是高考命题的重点，多为解答题，难度不大，空间向量的引入减少了空间角和距离的论证过程，但在建立空间直角坐标系的过程中仍需线面关系的判断和证明。（2）空间中的角与距离的求解可直接转化为直线的方向向量与平面的法向量的有关运算，思路简单，避免作角作距离的繁杂推理过程。但其中的代数计算量不可小视。

空间向量方法解立体几何教案

空间向量方法解立体几何 【空间向量基本定理】 例1.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、 PD上的点，且M分成定比2，N分PD成定比1，求满足的实数x、y、z的值。 分析;结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都 用、、表示出来，即可求出x、y、z的值。 如图所示，取PC的中点E，连接NE，则。 点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。 【利用空间向量证明平行、垂直问题】 例2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。 （1）证明：PA//平面EDB； （2）证明：PB⊥平面EFD； （3）求二面角C—PB—D的大小。 点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量． （2）证明线面平行的方法： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线； ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量． （3）证明面面平行的方法： ①转化为线线平行、线面平行处理； ②证明这两个平面的法向量是共线向量． （4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直． （5）证明线面垂直的方法： ①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；

向量法解决空间立体几何---点存在性问题--教师版

向量法解决空间立体几何---点存在性问题-教师版 1、如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝BC ＝2AC ＝2. (1)若D 为AA 1中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ； (2)在AA 1上是否存在一点D ，使得二面角B 1-CD -C 1的大小为60°？ 解：(1)证明：如图所示，以点C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，D (1,0,1)， 即11C B ＝(0,2,0)，1DC ＝(－1,0,1)，CD ＝(1,0,1)． 由11C B ·CD ＝(0,2,0)·(1,0,1)＝0＋0＋0＝0，得11C B ⊥CD ，即C 1B 1⊥CD . 由1DC ·CD ＝(－1,0,1)·(1,0,1)＝－1＋0＋1＝0，得1DC ⊥CD ，即DC 1⊥CD . 又DC 1∩C 1B 1＝C 1，∴CD ⊥平面B 1C 1D .又CD ⊂平面B 1CD ，∴平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D . (2)存在．当AD ＝2 2AA 1时，二面角B 1-CD -C 1的大小为60°.理由如下： 设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD ＝(1,0，a )，1CB ＝(0,2,2)， 设平面B 1CD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·1CB ＝0m ·CD ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＋2z ＝0， x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)． 又∵CB ＝(0,2,0)为平面C 1CD 的一个法向量，则cos 60°＝ |m ·CB | |m |·|CB | ＝ 1a 2＋2 ＝1 2， 解得a ＝2(负值舍去)，故AD ＝2＝2 2AA 1.∴在AA 1上存在一点D 满足题意． 2．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC

用空间向量解决立体几何中的垂直问题

第2课时用空间向量解决立体几何中的垂直问题 学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.掌握用向量方法证明有关空间线面垂直关系的方法步骤． 知识点一向量法判断线线垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b ＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 知识点二向量法判断线面垂直 设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ(k∈R)． 知识点三向量法判断面面垂直 思考平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. 梳理若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (1)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×) (2)两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直．(√) (3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√) (4)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(√) 类型一线线垂直问题 例1已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中

点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝1 4CC 1.求证：AB 1⊥MN . 考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 方向向量与线线垂直 证明 设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . 由已知得A ⎝⎛⎭⎫－1 2，0，0， B ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，3 2，0， N ⎝ ⎛⎭ ⎫ 0， 32，14，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 中点， ∴M ⎝⎛⎭ ⎫14，3 4，0. ∴MN -→＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1-→ ＝(1,0,1)， ∴MN -→·AB 1-→ ＝－14＋0＋14＝0. ∴MN -→⊥AB 1-→ ，∴AB 1⊥MN . 反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1. 考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 方向向量与线线垂直 证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ，BC ，C 1C 两两垂直．

用空间向量法求解立体几何问题典例及解析....

用空间向量法求解立体几何问题 一：利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的夹角 范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。 向量求法：设直线,a b 的方向向量为a,b ，其夹角为θ，则有cos ___________.θ= (2)直线与平面所成的角 定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。 范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。 向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与法向量所成角的余弦值为|cos |___________.θ=直线与平面所成的角为ϕ，则有 sin ___________.ϕ=或在平面内任取一个向量m ，则|cos |___________.θ=. (3)二面角 二面角的取值范围是 . 二面角的向量求法： 方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的 即为所求的二面角的大小； 方法二：设1n ，2n 分别是两个面的 ，则向量1n 与2n 的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。 二：利用空间向量求空间距离 （1）点面距离的向量公式 平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是 ，即d = || || MP ⋅n n . （2）线面、面面距离的向量公式 平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d = . 平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d = || || MP ⋅n n . （3）异面直线的距离的向量公式 设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =|| || MP ⋅n n . 三：利用空间向量解证平行、垂直关系

空间向量解决立体几何问题的六大题型

空间向量解决立体几何问题的六大题型 知识要点 1、点到直线的距离 已知直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点.设AP a =，则向量AP 在直线l 上的投影向量()AQ a u u =⋅，在Rt APQ ∆中，由勾股定理得： 2 222||||()PQ AP AQ a a u =-=-⋅ 2、点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点.过点P 作平面α的垂线l ，交平面α于点Q ，则n 是直线l 的方向向量，且点P 到平面α的距离就是AP 在直线l 上的投影向量QP 的长度.|| |||||||||| n AP n AP n PQ AP n n n ⋅⋅=⋅ == 3、用向量运算求两条直线所成角 已知a ，b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是a ，b 上的任意两点，a ，b 所成的角为θ，则 ①cos ,|||| AC BD AC BD AC BD ⋅<>=

②cos |cos ,|AC BD AC BD AC BD θ⋅=<>= ⋅. 4、用向量运算求直线与平面所成角 设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的角为 ϕ，则有 ①cos |||| a a μ ϕμ⋅= ②sin cos a u a u θϕ⋅== ⋅.（注意此公式中最后的形式是：sin θ） 5、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若PA α⊥于A ，PB β⊥于B ，平面PAB 交l 于E ，则∠AEB 为二面角l αβ--的平面角，∠AEB +∠APB =180° . 若12n n ⋅分别为面α，β的法向量 ①121212cos ,|||| n n n n n n ⋅<>= ②cos θ根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则12cos |cos ,|n n θ=<>； 若二面角为顿二面角（取负），则12cos |cos ,|n n θ=-<>；