利用空间向量解立体几何(完整版)

向量法解立体几何

引言

立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。

基本思路与方法

一、基本工具

1.数量积： cos a b a b θ⋅=

2.射影公式：向量a 在b 上的射影为

a b

b

⋅ 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系

线线平行⇔两线的方向向量平行

线面平行⇔线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行⇔两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直（共面与异面）⇔两线的方向向量垂直 线面垂直⇔线与面的法向量平行 面面垂直⇔两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离

点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的

距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+- 2.点线距离

求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ，

则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n

⋅=

0022

Ax By C A B +++

即为点P 到l 的距离. 3.点面距离

求点()00,P x y 到平面α的距离：

方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ，

计算平面α的法向量n ，

计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离.

四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面）

线线夹角⇔两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角

求线面夹角的步骤：

① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角）

若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.

实例分析

一、运用法向量求空间角

向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ=

''''

AA BB AA BB ⋅⋅, 不需要用法向量。

1、运用法向量求直线和平面所成角

设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为

sin θ= cos(2

π

-θ) = |cos| =

AB AB n n

∙∙

2、运用法向量求二面角

设二面角的两个面的法向量为12,n n ，则<12,n n >或π-<12,n n >是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<12,n n >

α

n

A

是所求，还是π-<12,n n >是所求角。

二、运用法向量求空间距离

1、求两条异面直线间的距离

设异面直线a 、b 的公共法向量为(,,)n x y z =，在a 、b 上任取一点A 、B ，则异面直线a 、b 的距离

d =AB ·cos ∠BAA

＇

=||||

AB n n ∙

略证：如图，EF 为a 、b 的公垂线段，a ＇

为过F 与a 平行的直线，

在a 、b 上任取一点A 、B ，过A 作AA ＇//

EF ，交a ＇于A

＇

，

则¡¯

//AA n ，所以∠BAA

＇

=<,BA n >（或其补角）

∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA

＇

=||||

AB n n ∙ *

其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得

0n a n a n b n b ⎧⎧⊥∙=⎪⎪⇒⎨⎨⊥∙=⎪⎪⎩

⎩ ① 解方程组可得n 。

2、求点到面的距离

求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为d =

||

||

AB n n ∙，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所

n

述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设(1,,0)n y =，下同）。

3、求直线到与直线平行的平面的距离

求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ，在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离d =

||

||

AB n n ∙ 4、求两平行平面的距离

设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、B ，则平面α到平面β的距离d =

||

||

AB n n ∙ 三、证明线面、面面的平行、垂直关系

设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则

1a//a n α⇔⊥ 1a a//n α⊥⇔

12////n n αβ⇔ 12n n αβ⊥⇔⊥

四、应用举例：

例1：如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.

解：（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正向

建立空间直角坐标系，

则D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、

C 1(4,3,2)

于是，11(3,3,0),(1,3,2),(4,2,2)DE EC FD =-==- 设法向量(,,2)n x y =与平面C 1DE 垂直，则有

1330

1320n DE x y x y x y z n EC ⊥-=⇒

⇒==-++=⊥⎫⎫

⎪⎬⎬⎭

⎪⎭

11111(1,1,2),

(0,0,2),

1010226cos 3

||||114004

2tan 2

n AA CDE n AA C DE C n AA n AA θθθ∴=--=∴--∙-⨯-⨯+⨯==

=

⨯++⨯++∴=

向量与平面垂直与所成的角为二面角的平面角 （II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则

112

2

2

2

2

2

111(4)322221cos 14

||||

132(4)22

EC FD EC FD β∙⨯-+⨯+⨯=

=

=

⨯++⨯-++

例2：如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB=600，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点。

（1）证明平面PED ⊥平面PAB ； （2）求二面角P-AB-F 的平面角的余弦值 证明：（1）∵面ABCD 是菱形，∠DAB=600，

∴△ABD 是等边三角形，又E 是AB 中点，连结BD ∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，

如图建立坐标系D-ECP ，设AD=AB=1，则PF=FD=1

2，ED=3

2

， ∴ P （0，

0，

1），E （32，0，0），B （3

2

，12，0）

∴PB =（

32，12，-1），PE = （3

2

，0，-1），

平面PED 的一个法向量为DC =（0，1，0） ，设平面PAB 的法向量为n =（x, y, 1)

由

31

31

2(,,1)(,,1)010********(,,1)(,0,1)01022

x y x y x n PB n PE y x y x ⎧

⎧⎧∙-=--=⎪⎪

⎧=⊥⎪⎪⎪⎪⇒⇒⇒⎨

⎨⎨

⎨⊥⎪⎪⎪⎪⎩=∙-=-=⎩⎪⎪⎩

⎩

∴n =（

2

3

, 0, 1) ∵DC ·n =0 即DC ⊥n ∴平面PED ⊥平面PAB （2）解：由（1）知：平面PAB 的法向量为n =（2

3

, 0, 1), 设平面FAB 的法向量为n 1=（x, y, -1)， 由（1）知：F （0，0，12

），FB =（32，12，-12），FE = （32

，0，-1

2

），

由

11311

311

1(,,1)(,,)00222222331310(,,1)(

,0,)002222

x y x y x n FB n FE y x y x ⎧

⎧⎧-∙-=-+=⎪⎪

⎧=-⊥⎪⎪⎪⎪⇒⇒⇒⎨

⎨⎨

⎨⊥⎪⎪⎪⎪⎩=-∙-=+=⎩⎪⎪⎩

⎩

∴n 1=（-

1

3

, 0, -1) ∴二面角P-AB-F 的平面角的余弦值cos θ= |cos| =

11

n 57

14

n n n ∙=∙

例3：在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中

心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.

(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(Ⅱ)设O 点在平面D

1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离. 解: (Ⅰ)如图建立坐标系D-ACD 1, ∵棱长为4

∴A （4，0，0），B （4，4，0），P （0，4，1） ∴AP = (-4, 4, 1) , 显然DC =（0，4，0）为平面BCC 1B 1的一个法向量

∴直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角θ的正弦值sin θ= |cos

DC >|=

222

16433

33

4414=

++∙ ∵θ为锐角，∴直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角θ为arcsin 433

33

(Ⅲ) 设平面ABD 1的法向量为n =（x, y, 1)，

∵AB =（0，4，0），1AD =（-4，0，4）

由n ⊥AB ，n ⊥1AD 得0

440y x =⎧⎨-+=⎩

∴ n =（1, 0, 1)，

∴点P 到平面ABD 1的距离 d = 32

2

AP n n

∙=

例4：在长、宽、高分别为2，2，3的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是底面中心，求A 1O 与B 1C 的距离。

解：如图，建立坐标系D-ACD 1，则O （1，1，0），A 1

（2，2，3），C （0，2，0）

∴1(1,1,3)AO =-- 1(2,0,3)BC =-- 11(0,2,0)A B = 设A 1O 与B 1C 的公共法向量为(,,1)n x y =，则

113(,,1)(1,1,3)0302

(,,1)(2,0,3)0230

32

x n AO x y x y x y x n B C y ⎧

=-⎧⎪⊥∙--=-+-=⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨

∙--=--=⊥⎩⎩⎪⎪⎩=⎪⎩

∴ 33(,,1)22

n =- ∴ A 1O 与B 1C 的距离为 d =

()112

2

330,2,0,,122||

332211||

113312

22A B n n ⎛⎫

∙-

⎪∙⎝

⎭==

=⎛⎫⎛⎫

-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

例5：在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，求A 1到面BDFE 的距离。

解：如图，建立坐标系D-ACD 1，则B （1，1，0），A 1（1，0，1），E （12

，1，1）

∴(1,1,0)BD =-- 1

(,0,1)2

BE =- 1(0,1,1)A B =-

设面BDFE 的法向量为(,,1)n x y =，则

(,,1)(1,1,0)0021

12(,,1)(,0,1)01022

x y x y n BD x y x y x n BE ∙--=--=⎧⎧⎧⊥=⎧⎪⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨=-∙-=-+=⊥⎩⎪⎪⎪⎩⎩⎩ ∴ (2,2,1)n =-

∴ A 1到面BDFE 的距离为d =()()()1220,1,12,2,1|||3|

13||221

A B n n -∙-∙-===+-+ A

B

C

D

A 1

B 1

D 1

C 1

O

F

E

A B

C

D

A 1

B 1

D 1

C 1

五、课后练习:

1、如图,已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1, AB=1,AA 1=2,点E 为CC 1中点,点F 为BD 1中点. （1） 证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线; （2）求点D 1到面BDE 的距离.

2、已知正方形ABCD ，边长为1，过D 作PD ⊥平面ABCD ，且PD=1，E 、F 分别是AB 和BC 的中点，（1）求D 到平面PEF 的距离；（2）求直线AC 到平面PEF 的距离

1A 1

B

1C

1D

3、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=4，BC=3，CC 1=2（如图）

（1）求证：平面A 1BC 1//平面ACD 1；

（2）求（1）中两个平行平面间的距离；

（3）求点B 1到平面A 1BC 1的距离。

4、如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB ；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

D

C

C1A A1B B1D1

(完整版)用空间向量解立体几何问题方法归纳

用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 (1) 线面平行： l ∥α? a ⊥u? a ·u ＝0? a 1a 3＋ b 1b 3＋c 1c 3＝ 0 (2) 线面垂直： l ⊥α? a ∥u? a ＝ku? a 1＝ka 3，b 1＝ kb 3，c 1＝kc 3 (3) 面面平行： α∥β? u ∥v? u ＝kv? a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4) 面面垂直： α⊥β? u ⊥v? u ·v ＝ 0? a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例 1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ， 的中点， PA ＝AB ＝1， BC ＝2. (1) 求证： EF ∥平面 PAB ； (2) 求证：平面 PAD ⊥平面 PDC. ［证明］ 以 A 为原点， AB ，AD ，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立 空 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)， D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以 E 12，1，12 ， uuur uuur uuur 1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)， uuur ∥AB ，即 EF ∥AB. 又 AB? 平面 PAB ， EF? 平面 PAB ，所以 EF ∥平面 PAB. uuur uuur uuur uuur (2)因为 AP ·DC ＝(0,0,1) (1,0·,0)＝ 0， AD ·DC ＝(0,2,0) (1,0·,0)＝0， uuur uuur uuur uuur 所以 AP ⊥ DC ， AD ⊥ DC ，即 AP ⊥DC ，AD ⊥DC. 又 AP ∩ AD ＝ A ，AP? 平面 PAD ，AD? 平面 PAD ，所以 DC ⊥平面 PAD.因为 DC? 平面 PDC ， 直线 l 的方向向量为 a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面 α， β的法向量 u ＝ (a 3，b 3，c 3)， v ＝(a 4，b 4，c 4) 1 uuur 1 uuur F 0 ， 1， 2 ，EF ＝ －2， 0， 0 ，PB ＝ (1,0， uuur uuur E ， F 分别是 PC ， PD 间直角坐标系如图所示，则 DC ＝(1,0,0)， AB ＝(1,0,0)． uuur 1uuur uuur (1)因为 EF ＝－ 2AB ，所以 EF

用向量法解立体几何

y k i A(x,y,z)O j x z 空间向量与立体几何 一．空间向量 1、空间直角坐标系： （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示； （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建 立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通 过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。 （3）作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=（或45），90yOz ∠=； （4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正 方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系 2、空间直角坐标系中的坐标： 如图给定空间直角坐标系和向量a ,设,,i j k 为坐标向量,则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ,使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =． 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯 一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记 作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 3、空间向量的直角坐标运算律 （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， y k i B(b1,b2,b3)A(a1,a2,a3) O j x z

(完整版)空间向量与立体几何题型归纳

空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD （1）证明AB⊥平面VAD； （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E为PD的中点. （1）求直线AC与PB所成角的余弦值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项)

3. 如图，在长方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ； （2）当E 为AB 的中点时，求点A 到面ECD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1―EC ―D 的大小为(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本来法向量就己经存在了,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧,但法向量找出来了,和那个己经存在的法向量有很大的差别,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里?) 4. 如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝2，E 为BD 1的中点，F 为AB 的中点，∠DAB ＝60°． (1)求证：EF ∥平面ADD 1A 1； (2)若2 21 BB ，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值．

N：5题到11题都是运用基底思想解题 5.空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成60度角，求AD与BC所成角的大小。 6.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB=45°, ∠A1AC=60°,求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。 7.如图，60°的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8，求CD的长 8.如图，已知空间四边形OABC中，OB=0C, ∠AOB=∠AOC=Θ，求证OA⊥BC。 9．如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE。 （1）计算DE的长； （2）求点O到平面ABC的距离。 10．如图，线段AB在平面⊥α，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD与平面α所成的角。

空间向量与立体几何(含答案)

空间向量与立体几何 例1（08年）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE为矩形，侧面 ABC⊥底面BCDE，2 BC= ，CD=AB AC =． （Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角C AD E --的余弦值． 例2 （2010年）（19）如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB//DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小. C E A B

例3 （2011年）如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD， 侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1. (1)证明：SD⊥平面SAB； (2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值． 例4（2012年大纲）1如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为 菱形，P A⊥底面ABCD，AC P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC． (1)证明：PC⊥平面BED； (2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

例5 (2013大纲全国，理19)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△P AB和△P AD都是等边三角形． (1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的余弦值． 例6．[2014·北京卷] 如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P -ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H. (1)求证：AB∥FG；(2)若P A⊥底面ABCDE，且P A＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．

利用空间向量解立体几何(完整版)

向量法解立体几何 基本思路与方法 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+- 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离：

方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ?= 0022 Ax By C A B +++ 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. 实例分析

利用 空间向量解立体几何(含综合题

利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 （一）刻画直线与平面方向的向量 1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =-- 2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线 （2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组： 1112220 x y z x y x y z x y z z ++=?? ++=? 解出,,x y z 的比值即可 例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量 解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=??++=? ，解得：2x y z y =-??=? ::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=- （二）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b 表示直线,a b 的方向向量，用,m n 表示平面 ,αβ的法向量） 1、判定类 （1）线面平行：a b a b ?∥∥ （2）线面垂直：a b a b ⊥?⊥ （3）面面平行：m n αβ?∥∥ （4）面面垂直：m n αβ⊥?⊥ 2、计算类： （1）两直线所成角：cos cos ,a b a b a b θ?==

空间向量解决立体几何

1 空间直角坐标系构建三策略 利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其它向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如． 1．利用共顶点的互相垂直的三条棱 例1 已知直四棱柱中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，试求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值． 解 如图以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，B (2,4,0)，C (0,1,0)， 所以BC 1→＝(－2，－3,2)， CD →＝(0，－1,0)． 所以cos 〈BC 1→，CD →〉＝BC 1→·CD →|BC 1→||CD →|＝31717. 故异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值为31717 . 点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可． 2．利用线面垂直关系 例2 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥面BB 1C 1C ，E 为棱C 1C 的中 点，已知AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3 .试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标． 解 过B 点作BP 垂直BB 1交C 1C 于P 点， 因为AB ⊥面BB 1C 1C ，所以BP ⊥面ABB 1A 1， 以B 为原点，分别以BP ，BB 1，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系． 因为AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3 ， 所以CP ＝12，C 1P ＝32，BP ＝32，则各点坐标分别为B (0，0,0)，A (0,0，2)，B 1(0,2,0)，C (32 ，－12，0)，C 1(32，32，0)，E (32，12 ，0)，A 1(0,2，2)．

空间向量解立体几何

美博教育利用空间向量解立体几何 教师：王光明 一,空间向量的直角坐标运算: 1,(1)若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ ， 112233a b a b a b a b ?=++ ， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈ ， 1122330a b a b a b a b ⊥?++= 。 (2)若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =--- 。 (3)模长公式：若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ， 则||a == ||b == (4) 夹角公式：cos ||||a b a b a b ??==? （5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则||AB == ， 或,A B d = 2,空间向量的数量积。 （1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作 ,OA a OB b == ，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<> ；若,2 a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥ 。 （2）向量的模：设OA a = ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 。 （3）向量的数量积：已知向量,a b ，则||||c o s ,a b a b ??<> 叫做,a b 的数量积， 记作a b ? ，即a b ?= ||||cos ,a b a b ??<> 。 （4）空间向量数量积的性质： ①||cos ,a e a a e ?=<> 。②0a b a b ⊥??= 。③2||a a a =? 。

空间向量解立体几何(含综合题习题)

空间向量解立体几何(含综合题习题) 利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 1.刻画直线与平面方向的向量 直线的方向向量可由直线上的两个点来确定。例如，若有点A(2,4,6)和点B(3,0,2)，则直线AB的方向向量为AB=(1,-4,-4)。 平面的法向量来刻画平面的倾斜程度。法线的方向向量就是平面的法向量。要求出指定平面的法向量，需要平面上的两条不平行的直线。设平面的法向量为n=(x,y,z)，若平面上所选两条直线的方向向量分别为a=(x1,y1,z1)和b=(x2,y2,z2)，则可列出方程组：x1x+y1y+z1z=0和x2x+y2y+z2z=0，解出x,y,z 的比值即可。例如，若a=(1,2,0)和b=(2,1,3)，求a,b所在平面的法向量，则设n=(x,y,z)，有方程组：x+2y=0，2x+y+3z=0，解得：x:y:z=-2:1:1，故n=(-2,1,1)。

2.空间向量可解决的立体几何问题 1）判定类 线面平行：a∥b当且仅当a∥b。 线面垂直：a⊥XXX且仅当a⊥b。 面面平行：α∥β当且仅当m∥n。 面面垂直：α⊥β当且仅当m⊥n。 2）计算类 两直线所成角：cosθ=cos(a,b)=(a·b)/(|a||b|)。线面角：sinθ=sin(a,m)=(a·m)/(|a||m|)。

二面角：cosθ=cos(m,n)（法向量夹角关系而定）或cosθ=-cos(m,n)。 点到平面距离：设A为平面α外一点，P为平面α上任意一点，则A到平面α的距离为d=|AP·n|/|n|，即AP在法向量n 上投影的绝对值。 3）点的存在性问题 在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件。解决该问题时，可以先设出所求点的坐标(x,y,z)，再想办法利用条件求出 坐标。 为底面，以AD为高，构造平面ADE，可知平面ADE与 平面ABCD- A1垂直，且平面ADE与平面EF所成角为所求角，故EF与平面ADE垂直。 1）由题意可知，CF=2CE，又因为. 3）由于EF与平面ADE垂直，所以二面角A1-ED-F的正 弦值为EF/AD=√2/2.

用空间向量法求解立体几何问题典例及解析....

用空间向量法求解立体几何问题 一：利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的夹角 范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。 向量求法：设直线,a b 的方向向量为a,b ，其夹角为θ，则有cos ___________.θ= (2)直线与平面所成的角 定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。 范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。 向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与法向量所成角的余弦值为|cos |___________.θ=直线与平面所成的角为ϕ，则有 sin ___________.ϕ=或在平面内任取一个向量m ，则|cos |___________.θ=. (3)二面角 二面角的取值范围是 . 二面角的向量求法： 方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的 即为所求的二面角的大小； 方法二：设1n ，2n 分别是两个面的 ，则向量1n 与2n 的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。 二：利用空间向量求空间距离 （1）点面距离的向量公式 平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是 ，即d = || || MP ⋅n n . （2）线面、面面距离的向量公式 平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d = . 平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d = || || MP ⋅n n . （3）异面直线的距离的向量公式 设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =|| || MP ⋅n n . 三：利用空间向量解证平行、垂直关系

空间向量与立体几何解答题精选(含答案)

空间向量与立体几何解答题精选（选修2--1） 1．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥ =∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且12 PA AD DC === ，1AB =，M 是PB 的中点。 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； （Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。 证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2 A B C D P M . （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故 由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD . （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC （Ⅲ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ= 要使14,00,.25 AN MC AN MC x z λ⊥=-==只需即解得 ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为 所求二面角的平面角. 2．如图，在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形, 平面VAD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面VAD ； （Ⅱ）求面VAD 与面DB 所成的二面角的大小． 证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标图系. （Ⅰ）证明：不防设作(1,0,0)A ， 则(1,1,0)B ， )2 3,0,21 (V ， 由,0=⋅VA AB 得AB VA ⊥，又AB AD ⊥，因而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA ，AD 都垂直. ∴AB ⊥平面VAD . （Ⅱ）解：设E 为DV 中点，则)4 3,0,41 (E ， 由.,,0DV EA DV EB DV EB ⊥⊥=⋅又得

空间向量方法解立体几何教案

空间向量方法解立体几何 【空间向量基本定理】 例1.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、 PD上的点，且M分成定比2，N分PD成定比1，求满足的实数x、y、z的值。 分析;结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都 用、、表示出来，即可求出x、y、z的值。 如图所示，取PC的中点E，连接NE，则。 点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。 【利用空间向量证明平行、垂直问题】 例2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。 （1）证明：PA//平面EDB； （2）证明：PB⊥平面EFD； （3）求二面角C—PB—D的大小。 点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量． （2）证明线面平行的方法： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线； ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量． （3）证明面面平行的方法： ①转化为线线平行、线面平行处理； ②证明这两个平面的法向量是共线向量． （4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直． （5）证明线面垂直的方法： ①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；

空间向量在立体几何中的应用和习题含答案

空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量： ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量． 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量． 由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； ④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0． (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角． 设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2 π,0(∈θ则 ⋅= ><⋅| |||| ||,cos |212121v v v v v v ②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角． 设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ，显然 ]2 π,0[∈θ，则⋅= ><⋅| |||| ||,cos |v u v u v u ③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l －β 在二面角的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α －l －β 的平面角． 利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一： 如图，若AB ，CD 分别是二面角α －l －β 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角α －l －β

用空间向量法求解立体几何问题典例及解析

用空间向量法求解立体几何问题典例及解析 以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。 首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法 一：利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的夹角 范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。 向量求法：设直线,a b 的方向向量为a,b ，其夹角为θ，则有cos ___________.θ= (2)直线与平面所成的角 定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。 范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。 向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与法向量所成角的余弦值为|cos |___________.θ=直线与平面所成的角为ϕ，则有sin ___________.ϕ=或在平面内任取一个向量m ，则|cos |___________.θ=. (3)二面角 二面角的取值范围是 . 二面角的向量求法： 方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的 即为所求的二面角的大小； 方法二：设1n ，2n 分别是两个面的 ，则向量1n 与2n 的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。 二：利用空间向量求空间距离 （1）点面距离的向量公式 平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是 ，即d = |||| M P ⋅ n n . （2）线面、面面距离的向量公式 平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d = . 平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d = |||| M P ⋅ n n . （3）异面直线的距离的向量公式 设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d

空间向量与立体几何解答题精选(含答案)

空间向量与立体几何解答题精选(含答案) LT

面VAD . （Ⅱ）解：设E 为DV 中点，则)4 3 , 0,4 1(E ， ). 2 3,0,21(),43,1,43(),43,0,43(=-=-=DV EB EA 由.,,0DV EA DV EB DV EB ⊥⊥=⋅又得 因此，AEB ∠是所求二面角的平面角， ,7 21| |||),cos(=⋅⋅= EB EA EB EA EB EA 解得所求二面角的大小为.721arccos 3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形， 侧棱PA ⊥底面ABCD ，3AB =，1BC =，2 PA =， E 为PD 的中点. （Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ， 并求出点N 到AB 和AP 的距离. 解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、 (3,0,0) B 、( 3,1,0) C 、(0,1,0) D 、 (0,0,2) P 、1 (0,,1)2 E ， D C B A V

从而). 2,0,3(),0,1,3( -==PB AC 设PB AC 与的夹角为θ，则 ,14 7 37 23| |||cos == ⋅= PB AC θ ∴AC 与PB 所成角的余弦值为1473. （Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为(,0,)x z ，则 ) 1,2 1 ,(z x NE --=，由NE ⊥面PAC 可得， ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.021 3,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(. 0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴ ⎪⎩ ⎪⎨⎧==163 z x 即N 点的坐标为)1,0,63(，从而N 点到AB 和AP 的距离分别为34．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体 被截面1 AEC F 所截面而得到的，其中 14,2,3,1 AB BC CC BE ====. （Ⅰ）求BF 的长； （Ⅱ）求点C 到平面1 AEC F 的距离.

高三立体几何大题专题(用空间向量解决立体几何类问题)

高三立体几何大题专题(用空间向量解决立体 几何类问题) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

【知识梳理】 一、空间向量的概念及相关运算 1、空间向量基本定理 如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p xa yb zc =++ ,,a b c 称为基向量。 2、空间直角坐标系的建立 分别以互相垂直的三个基向量k j i ,,的方向为正方向建立三条数轴：x 轴，y 轴和z 轴。则 a xi y j zk =++（x,y,z ）称为空间直角坐标。 注：假如没有三条互相垂直的向量，需要添加辅助线构造，在题目中找出互相垂直的两个面，通过做垂线等方法来建立即可。 3、空间向量运算的坐标表示 (1)若()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则：()121212,,a b x x y y z z ±=±±± ()111,,a x y z λλλλ= 121212a b x x y y z z ⋅=++ 12121200a b a bx x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++= 121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔=== 21a a a x =⋅=+ a b ⋅=a cos ,b a b 〈〉．cos ,a b a b a b ⋅〈〉= 2 1 cos ,x a b a b a b x ⋅〈〉= = + (2)设()()111222,,,,,A x y z B x y z ==则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=--- (3)()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =二、应用： 平面的法向量的求法： 1、建立恰当的直角坐标系 2、设平面法向量n =（x ，y ，z ） 3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a =（a1，a2, a3） b =（b1，b2，b3） 4、根据法向量的定义建立方程组①n*a =0 ②n*b =0 5、解方程组，取其中一组解即可。 应用1：证明空间位置关系