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2011年中考数学一轮复习:正方形

2011年中考数学一轮复习:正方形

正方形

知识考点:

理解正方形的性质和判定,并能利用它进行有关的证明和计算。

精典例题:

【例1】如图,E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点,且EF ∥AC ,在DA 的延长线上取一点G ,使AG =AD ,EG 与DF 相交于点H 。求证:AH =AD 。

分析:因为A 是DG 的中点,故在△DGH 中,若AH =AD ,当且仅当△DGH 为直角三角形,所以只须证明△DGH 为直角三角形(证明略)。

评注:正方形除了具备平行四边形的一般性质外,还特别注意其直角的条件。本例中直角三角形的中线性质使本题证明简单。

例1图

H

G

F

E

D

C

B

A

例2图

Q

P E D

C

B A

【例2】如图,在正方形ABCD 中,P 、Q 分别是BC 、CD 上的点,若∠PAQ =450,求证:PB +DQ =PQ 。 分析:利用正方形的性质,通过构造全等三角形来证明。

变式:若条件改为PQ =PB +DQ ,那么∠PAQ =?你还能得到哪些结论?

探索与创新:

【问题一】如图,已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,E 是AC 上一点,过A 作AG ⊥EB 于G ,AG 交BD 于点F ,则OE =OF ,对上述命题,若点E 在AC 的延长线上,AG ⊥EB ,交EB 的延长线于点G ,AG 的延长线交DB 的延长线于点F ,其它条件不变,则结论“OE =OF ”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,说明理由。

问题一图1

O F G E

D

C B

A

问题一图 2

O

F

G

E

D

C

B

A

分析:对于图1通过全等三角形证明OE =OF ,这种证法是否能应用到图2的情境中去,从而作出正确的判断。 结论:(2)的结论“OE =OF ”仍然成立。 提示:只须证明△AOF ≌△BOE 即可。

评注:本题以正方形为背景,突破了单纯的计算与证明,着重考查了学生观察、分析、判断等多种能力。

【问题二】操作,将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上,并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑行,直角的一边始终经过点B ,另一边与射线DC 相交于点Q 。

探究:设A 、P 两点间的距离为x 。

(1)当点Q 在边CD 上时,线段PQ 与线段PB 之间有怎样的关系?试证明你观察得到的结论;

(2)当点Q 在边CD 上时,设四边形PBCQ 的面积为y ,求y 与x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域; (3)当点P 在线段AC 上滑行时,△PCQ 是否可能成为等腰三角形,如果可能,指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置,并求出相应的x 值;如果不可能,请说明理由(题目中的图形形状大小都相同,供操作用)。

2011年中考数学一轮复习:正方形

D

C B A

D

C B A

D

C

B A

分析:(1)实验猜测:PQ =PB ,再利用正方形性质证明;(2)将四边形面积转化为三角形面积求;(3)可能。 略解:(1)如图1,易证BP =PD ,∠1=∠2,∠PQD =1800-∠PQC =∠PBC =∠PDQ ∴PB =PD =PQ

问题二图1

2

1Q

P

D C

B

A

x

问题二图2

Q

P

D

C

B

A

问题二图3

N M Q

P

D

C B

A

(2)如图2,易证△BOP ≌△PEQ ∴QE =PO =AO -AP =

x -2

2

∴PCQ PBC PBCQ S S S ??+=四边形)(2

1

)(21EC PE PC QE BO PC +=+= 22)2(2

1

21x PC -==

∴12212+-=

x x y (0≤x <2

2) (3)△PCQ 可能成为等腰三角形。

①当点P 与点A 重合时,点Q 与点D 重合,这时PQ =QC ,△PCQ 是等腰三角形,此时x =0;

②当点Q 在边DC 的延长线上,且CP =CQ 时,△PCQ 是等腰三角形(如图3)。此时,QN =PM =

x 2

2

,CN =

22CP =x 2

21-,所以CQ =QN -CN =12-x ,当122-=-x x 时,解得1=x 。 评注:本题是一道新颖别致的好题,它考查学生实践操作能力和探究问题的能力。

跟踪训练:

一、填空题:

1、给出下面三个命题:①对角线相等的四边形是矩形;②对角线互相垂直的四边形是菱形;③对角线互相垂直的矩形是正方形。其中真命题是 (填序号)。

2、如图,将正方形ABCD 的BC 边延长到E ,使CE =AC ,AE 与CD 边相交于F 点,那么CE ∶FC = 。

2011年中考数学一轮复习:正方形

第2题图

E

F

D

C

B A

D '

C '

B '

A '

第3题图

D

C

B

A

3、如图,把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到正方形D C B A ''''的位置,它们的重叠部分的面积是正方形ABCD 面积的一半,若AC =2,则正方形移动的距离A A '是

4、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,给出以下题设条件:①AB =BC =CD =DA ;②AO =BO =CO =DO ;③AO =CO ,BO =DO ,AC ⊥BD ;④AB =BC ,CD =DA 。其中能判断它是正方形的题设条件是 (把正确的序号填在横线上)。 二、选择题:

1、如图,把正方形ABCD 的对角线AC 分成n 段,以每一段为对角线作正方形,设这n 个小正方形的周长和为p ,正方形ABCD 的周长为S ,则S 与p 的关系式是 。

A 、S <p

B 、S >p

C 、S =p

D 、S 与p 无关

2、如图,在正方形ABCD 中,DE =EC ,∠CDE =600,则下列关系式:①∠1∶∠4=4∶1;②∠1∶∠3=1∶1;③(∠1+∠2)∶(∠3+∠4)=5∶3中,正确的是( )

A 、①②③

B 、仅①

C 、仅②和③

D 、仅①和③

第1题图

D C

B

A

第2题图

4

321E

D C

B

A

第3题图

F E

D C

B

A

3、如图,正方形ABCD 的面积为256,点F 在AD 上,点E 在AB 的延长线上,Rt △CEF 的面积为200,则BE 的值

为( )

A 、10

B 、11

C 、12

D 、15

4、有若干张如图所示的正方形和长方形纸片,表中所列四种方案能拼成边长为)(b a +的正方形的是( )

b

a

b b

a

a

数量(张) 卡片 方案

(1) (2) (3)

A

1 1 2

2011年中考数学一轮复习:正方形

B 1 1 1

C 1 2 1 D

2

1

1

三、解答题:

1、如图,在正方形ABCD 中,E 是AD 的中点,BD 与CE 交于F 点,求证:AF ⊥BE 。

2、已知正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,E 是AB 延长线上一点,MN ⊥DM 且交∠CBE 的平分线于N 。 (1)求证:MD =MN ;

(2)若将上述条件中的“M 是AB 的中点”改为“M 是AB 上任意一点”,其余条件不变,则结论“MD =MN ”还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由。

第1题图

D

C

B

A

E

F

第2题图1

N

M D C B A E

第2题图2

N

M D C

B

A E

3、如图,ABCD 是正方形,P 是对角线上的一点,引PE ⊥BC 于E ,PF ⊥DC 于F 。求证:(1)AP =EF ;(2)AP ⊥EF 。

第3题图

P F

E

A

B

C

D

第4题图

F

E

A

B

C

D

4、如图,过正方形ABCD 的顶点B 作BE ∥CA ,作AE =AC ,又CF ∥AE ,求证:∠BCF =

2

1

∠AEB 。 跟踪训练参考答案

一、填空题:

1、③;

2、12+;

3、12-;

4、②

二、选择题:CDCA 三、解答题:

1、易证△ABF ≌△CFB 和△BAE ≌△CDE ,由△ABF ≌△CFB ?∠AFB =∠BFC ?∠FAD =∠DCE ;由△BAE ≌△CDE ?∠DCE =∠ABF 。所以∠DAF =∠EAB ,故∠EHA =∠EAB =900,AF ⊥BE 。

2、(1)如图1,取AD 中点F ,连结MF ,由MN ⊥DM 得∠DAM =900,易证∠1=∠2,又因∠MNB =∠NBE -∠2=450-∠2,∠DMF =∠AFM -∠1=450-∠1,所以∠DMF =∠MNB ,又因DF =BM ,所以△DMF ≌△MNB ,故MD =MN 。

2011年中考数学一轮复习:正方形

第2题图 1

2

1

N

M

D C B

A

E

第2题图 2 2

1

F

N

M

D C

B

A

E

第3题图 P

F E

A B

C

D

H 32

1

(2)成立,如图2,在AD 上取DF =MB ,则易知:∠1=900-∠DMA ,又∠2+∠DMA =900,∴∠1=∠2,又∠DMF =450-∠1,∠MNB =450-∠2,∴∠DMF =∠MNB ,又DF =MB ,∴△DMF ≌△MNB ,故MD =MN 。

3、略证:延长AP 与EF 相交于点H ,连结PC ,因为BD 是对角线,易证PA =PC ,∠1=∠2,根据PE ⊥BC 于E ,PF ⊥DC 于F ,知PECF 为矩形,PC =EF ,且∠DAH =∠FPH ,又因为∠1=∠2=∠3,所以在△PHF 中,∠FPH +∠3=∠4+∠1=900,所以△PHF 为直角三角形,故AP ⊥EF 。

4、提示:证AEFC 是菱形,过A 点作BE 的垂线构造300角的直角三角形。