正方形
知识考点:
理解正方形的性质和判定,并能利用它进行有关的证明和计算。
精典例题:
【例1】如图,E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点,且EF ∥AC ,在DA 的延长线上取一点G ,使AG =AD ,EG 与DF 相交于点H 。求证:AH =AD 。
分析:因为A 是DG 的中点,故在△DGH 中,若AH =AD ,当且仅当△DGH 为直角三角形,所以只须证明△DGH 为直角三角形(证明略)。
评注:正方形除了具备平行四边形的一般性质外,还特别注意其直角的条件。本例中直角三角形的中线性质使本题证明简单。
例1图
H
G
F
E
D
C
B
A
例2图
Q
P E D
C
B A
【例2】如图,在正方形ABCD 中,P 、Q 分别是BC 、CD 上的点,若∠PAQ =450,求证:PB +DQ =PQ 。 分析:利用正方形的性质,通过构造全等三角形来证明。
变式:若条件改为PQ =PB +DQ ,那么∠PAQ =?你还能得到哪些结论?
探索与创新:
【问题一】如图,已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,E 是AC 上一点,过A 作AG ⊥EB 于G ,AG 交BD 于点F ,则OE =OF ,对上述命题,若点E 在AC 的延长线上,AG ⊥EB ,交EB 的延长线于点G ,AG 的延长线交DB 的延长线于点F ,其它条件不变,则结论“OE =OF ”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,说明理由。
问题一图1
O F G E
D
C B
A
问题一图 2
O
F
G
E
D
C
B
A
分析:对于图1通过全等三角形证明OE =OF ,这种证法是否能应用到图2的情境中去,从而作出正确的判断。 结论:(2)的结论“OE =OF ”仍然成立。 提示:只须证明△AOF ≌△BOE 即可。
评注:本题以正方形为背景,突破了单纯的计算与证明,着重考查了学生观察、分析、判断等多种能力。
【问题二】操作,将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上,并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑行,直角的一边始终经过点B ,另一边与射线DC 相交于点Q 。
探究:设A 、P 两点间的距离为x 。
(1)当点Q 在边CD 上时,线段PQ 与线段PB 之间有怎样的关系?试证明你观察得到的结论;
(2)当点Q 在边CD 上时,设四边形PBCQ 的面积为y ,求y 与x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域; (3)当点P 在线段AC 上滑行时,△PCQ 是否可能成为等腰三角形,如果可能,指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置,并求出相应的x 值;如果不可能,请说明理由(题目中的图形形状大小都相同,供操作用)。
D
C B A
D
C B A
D
C
B A
分析:(1)实验猜测:PQ =PB ,再利用正方形性质证明;(2)将四边形面积转化为三角形面积求;(3)可能。 略解:(1)如图1,易证BP =PD ,∠1=∠2,∠PQD =1800-∠PQC =∠PBC =∠PDQ ∴PB =PD =PQ
问题二图1
2
1Q
P
D C
B
A
x
问题二图2
Q
P
D
C
B
A
问题二图3
N M Q
P
D
C B
A
(2)如图2,易证△BOP ≌△PEQ ∴QE =PO =AO -AP =
x -2
2
∴PCQ PBC PBCQ S S S ??+=四边形)(2
1
)(21EC PE PC QE BO PC +=+= 22)2(2
1
21x PC -==
∴12212+-=
x x y (0≤x <2
2) (3)△PCQ 可能成为等腰三角形。
①当点P 与点A 重合时,点Q 与点D 重合,这时PQ =QC ,△PCQ 是等腰三角形,此时x =0;
②当点Q 在边DC 的延长线上,且CP =CQ 时,△PCQ 是等腰三角形(如图3)。此时,QN =PM =
x 2
2
,CN =
22CP =x 2
21-,所以CQ =QN -CN =12-x ,当122-=-x x 时,解得1=x 。 评注:本题是一道新颖别致的好题,它考查学生实践操作能力和探究问题的能力。
跟踪训练:
一、填空题:
1、给出下面三个命题:①对角线相等的四边形是矩形;②对角线互相垂直的四边形是菱形;③对角线互相垂直的矩形是正方形。其中真命题是 (填序号)。
2、如图,将正方形ABCD 的BC 边延长到E ,使CE =AC ,AE 与CD 边相交于F 点,那么CE ∶FC = 。
第2题图
E
F
D
C
B A
D '
C '
B '
A '
第3题图
D
C
B
A
3、如图,把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到正方形D C B A ''''的位置,它们的重叠部分的面积是正方形ABCD 面积的一半,若AC =2,则正方形移动的距离A A '是
。
4、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,给出以下题设条件:①AB =BC =CD =DA ;②AO =BO =CO =DO ;③AO =CO ,BO =DO ,AC ⊥BD ;④AB =BC ,CD =DA 。其中能判断它是正方形的题设条件是 (把正确的序号填在横线上)。 二、选择题:
1、如图,把正方形ABCD 的对角线AC 分成n 段,以每一段为对角线作正方形,设这n 个小正方形的周长和为p ,正方形ABCD 的周长为S ,则S 与p 的关系式是 。
A 、S <p
B 、S >p
C 、S =p
D 、S 与p 无关
2、如图,在正方形ABCD 中,DE =EC ,∠CDE =600,则下列关系式:①∠1∶∠4=4∶1;②∠1∶∠3=1∶1;③(∠1+∠2)∶(∠3+∠4)=5∶3中,正确的是( )
A 、①②③
B 、仅①
C 、仅②和③
D 、仅①和③
第1题图
D C
B
A
第2题图
4
321E
D C
B
A
第3题图
F E
D C
B
A
3、如图,正方形ABCD 的面积为256,点F 在AD 上,点E 在AB 的延长线上,Rt △CEF 的面积为200,则BE 的值
为( )
A 、10
B 、11
C 、12
D 、15
4、有若干张如图所示的正方形和长方形纸片,表中所列四种方案能拼成边长为)(b a +的正方形的是( )
b
a
b b
a
a
数量(张) 卡片 方案
(1) (2) (3)
A
1 1 2
B 1 1 1
C 1 2 1 D
2
1
1
三、解答题:
1、如图,在正方形ABCD 中,E 是AD 的中点,BD 与CE 交于F 点,求证:AF ⊥BE 。
2、已知正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,E 是AB 延长线上一点,MN ⊥DM 且交∠CBE 的平分线于N 。 (1)求证:MD =MN ;
(2)若将上述条件中的“M 是AB 的中点”改为“M 是AB 上任意一点”,其余条件不变,则结论“MD =MN ”还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由。
第1题图
D
C
B
A
E
F
第2题图1
N
M D C B A E
第2题图2
N
M D C
B
A E
3、如图,ABCD 是正方形,P 是对角线上的一点,引PE ⊥BC 于E ,PF ⊥DC 于F 。求证:(1)AP =EF ;(2)AP ⊥EF 。
第3题图
P F
E
A
B
C
D
第4题图
F
E
A
B
C
D
4、如图,过正方形ABCD 的顶点B 作BE ∥CA ,作AE =AC ,又CF ∥AE ,求证:∠BCF =
2
1
∠AEB 。 跟踪训练参考答案
一、填空题:
1、③;
2、12+;
3、12-;
4、②
二、选择题:CDCA 三、解答题:
1、易证△ABF ≌△CFB 和△BAE ≌△CDE ,由△ABF ≌△CFB ?∠AFB =∠BFC ?∠FAD =∠DCE ;由△BAE ≌△CDE ?∠DCE =∠ABF 。所以∠DAF =∠EAB ,故∠EHA =∠EAB =900,AF ⊥BE 。
2、(1)如图1,取AD 中点F ,连结MF ,由MN ⊥DM 得∠DAM =900,易证∠1=∠2,又因∠MNB =∠NBE -∠2=450-∠2,∠DMF =∠AFM -∠1=450-∠1,所以∠DMF =∠MNB ,又因DF =BM ,所以△DMF ≌△MNB ,故MD =MN 。
第2题图 1
2
1
N
M
D C B
A
E
第2题图 2 2
1
F
N
M
D C
B
A
E
第3题图 P
F E
A B
C
D
H 32
1
(2)成立,如图2,在AD 上取DF =MB ,则易知:∠1=900-∠DMA ,又∠2+∠DMA =900,∴∠1=∠2,又∠DMF =450-∠1,∠MNB =450-∠2,∴∠DMF =∠MNB ,又DF =MB ,∴△DMF ≌△MNB ,故MD =MN 。
3、略证:延长AP 与EF 相交于点H ,连结PC ,因为BD 是对角线,易证PA =PC ,∠1=∠2,根据PE ⊥BC 于E ,PF ⊥DC 于F ,知PECF 为矩形,PC =EF ,且∠DAH =∠FPH ,又因为∠1=∠2=∠3,所以在△PHF 中,∠FPH +∠3=∠4+∠1=900,所以△PHF 为直角三角形,故AP ⊥EF 。
4、提示:证AEFC 是菱形,过A 点作BE 的垂线构造300角的直角三角形。