年高考数学试题分类大全

2008年高考数学试题分类汇编

数列

一．选择题：

1.（全国一5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ C ） A ．138

B ．135

C ．95

D ．23

2.（上海卷14） 若数列{a n }是首项为1，公比为a －3

2的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值

是（B ）

A 3.（ C ）

A ．4. )()1,+∞

]

[)13,+∞

5.23=，则7a （D ）

6.1

)，则n a 7.（ B ） A ．8. A.63

B.64

C.127

D.128

9.（广东卷2）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11

2

a =，420S =，则6S =（ D ） A ．16

B ．24

C ．36

D ．48

10.（浙江卷6）已知{}n a 是等比数列，4

1

252=

=a a ，，则13221++++n n a a a a a a =C （A ）16（n

--41） （B ）16（n

--2

1）

（C ）

332（n --41） （D ）3

32（n

--21）

11.（海南卷4）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则

4

2

S a =（ C ） A. 2 B. 4 C.

152

D.

172

二．填空题：

1.（四川卷16）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为______4_____。 安徽卷（14）在数列{}n a 在中，5

42

n a n =-

，212n a a a an bn ++=+，*n N ∈,其中,a b 为常数，

则n n

n 2.3.)4=,则

10log ()]f a ??4.……………………………………

2k a -5.1.（全国一22）．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．

（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，

是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；

（Ⅲ）设1(1)b a ∈，

，整数11ln a b

k a b

-≥．证明：1k a b +>． 解析：

（Ⅰ）证明：()ln f x x x x =-，()()()'ln ,0,1'ln 0f x x x f x x =-∈=->当时， 故函数()f x 在区间(0,1)上是增函数；

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i ）当n=1时，101a <<，11ln 0a a <，

由函数()f x 在区间(01)，是增函数，且函数()f x 在1x =处连续，则()f x 在区间(01]，是增函数，

2a (f 1k a + 2.（Ⅰ）设3n

n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）若1n n a a +≥，*

n ∈N ，求a 的取值范围．

解：

（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n

n n S S +=+，

由此得1

13

2(3)n n n n S S ++-=-． ······················ 4分

因此，所求通项公式为

13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ··················· 6分

（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*

n ∈N ，

于是，当2n ≥时，

1223(3)2n n a --=?+-，

2

2

321232n n a --????=+-?? ???????

，

当n ?又a 3. 即a 于是()()1122212n

n

n

n n a n a n +-+?=+-+?

又1

112

10n a --?=≠，所以{}

12n n a n --?是首项为1，公比为2的等比数列。

（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知11

22n n n a n ---?=，即()112n n a n -=+

当2b ≠时，由由①得 因此11112222n n n n a b a b b ++??-

?==-? ?--??

得()1

2

1122222n n n n a b b n b -=??=???+-≥??

?-? 4.（天津卷20）（本小题满分12分）

在数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠）．

（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*

n N ∈），证明{}n b 是等比数列；

（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；

的等差中1n a +又1b

,.

1q n =??

上式对1n =显然成立．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠．

由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-，由0q ≠得36

11q q -=-， ① 整理得323()20q q +-=，解得32q =-或3

1q =（舍去）．于是q =

另一方面，21133

(1)11n n n n n q q q a a q q q

+--+--==---，

151

66(1)11n n n n n q q q a a q q q

-+-+--=

=---． 由①可得36n n n n a a a a ++-=-，*

n N ∈．

所以对任意的*

n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项． 5.（安徽卷21）．（本小题满分13分）

解 03C <<

∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 2

1113n n a a --++≤ 且 110n a --≥ (3) 设 103c <<，当1n =时，2

120213a c

=>--，结论成立

当2n ≥时，由（2）知1

1(3)0n n a c -≥->

6.（山东卷19)。(本小题满分12分)

将数列｛a n ｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a 1

a 2 a 3

a 4 a 5 a 6

a 7 a 8 a 9 a 10

……

记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为｛b n ｝,b 1=a 1=1. S n 为数列｛b n ｝的前n 项和，且满足＝

n

N n n

S S b b 2

2-1=（n ≥2）. (Ⅰ)证明数列｛

n

S 1

｝成等差数列，并求数列｛b n ｝的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当4

-

=a 时，求上表中第k (k ≥3)行所有项和的和. 13.91

q =- 1314

?

(12)1)12k -=-7.,

,n a 是各项均不为零的等差数列（0，若将

的数值；②求n 的所有可能值；,n b ，

【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．

（Ⅰ）①当n ＝4 时，1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d ＝0．

若删去2a ，则有2

314,a a a =即()()2

11123a d a a d +=+ 化简得2

14a d d +＝0，因为d ≠0，所以

1

a d

=4 ； 若删去3a ，则有2

14a a a =，即()()2

1113a d a a d +=+，故得

1

a d

=1．

综上

1

a d

=1或－4． ②当n ＝5 时，12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去首项或末项．

若删去2a ，则有15a a ＝34a a ，即()()()1111423a a d a d a d +=++．故得1

a d

=6 ； 若删去3a ，则15a a ＝24a a ，即()()()111143a a d a d a d +=++． 化简得32

d ＝0，因为d ≠0，所以也不能删去3a ； 若删去

a ，则有a a ＝a a ，即42a a d

a d

a d ．故得

1

a = 2 ． 当n 32n a -去a 1a ∈{4，5}． 8.（江西卷19）．（本小题满分{}

n a b （1（2134

n S ++

<的公差为d ，{3(1)n a n d =+-，1n n b q -=

依题意有1363(1)22642(6)64n n nd

a d n d a

b q q b q S b d q +++-?====?

??=+=?

①

由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1,2,3,6之一， 解①得2,8d q ==

故1

32(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=

（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+

∴

12

1111111

132435

(2)

n S S S n n +++

=++++

???+

9.（湖北卷21）.(本小题满分14分) 已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=,12

4,(1)(321),3

n n n n n a a n b a n +=+-=--+其中λ为实数，n 为正整数.

（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}a 不是等比数列；

a (又1n 3

1+n a b 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以－（λ＋18）为首项，－3

2

为公比的等比数列. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,b n =0,S n =0,不满足题目要求. ∴λ≠-18，故知b n = -（λ+18）·（－

3

2）n -1

，于是可得 S n =-.321·)18(53

?

?

????+n

）－（－　λ

要使a

53(λ+18)·［1－（－3

2）n ］〈b(n ∈N +

) ，则

令

得

)2

(1)()3

2(1)18(5

3

3

2(1--=--<

+-<--n f b a n

n

λ ①

当n 为正奇数时，1

;5<≤≤

n f n 为正偶数时，当 ∴f 当a 当b . 10. 1,2,3,.

.n b ++证明：当 所以3(1a =+当*

2(N )n k k =∈时，2

2222222(1cos

sin 2.22

k k k k k a a a ππ

+=++= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k

k a =

故数列{}n a 的通项公式为*

*21,21(N ),2

2,2(N ).

n n n n k k a n k k +?=-∈?=??=∈?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，2122,2n n n a n b a -=

=23123

,222

2

n n n

S =++++

①

2241112322222

n n n

S +=++++ ② ①-②得，23111111.222222

n n n n

S +=++++-

所以112

22.222

n n n n n n S -+=--=-

要证明当6n ≥时，12n S n -<成立，只需证明当6n ≥时，(2)

12

n

n n +<成立. 证法一

(1)当n = 6时，66(62)48312644

?+==<成立.

3)

1.2)2k k

+<

n

11.（Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ??

-- ?++??

≥

，12n =，，； （Ⅲ）证明：2

121

n n a a a n ++

+>+．

解法一：（Ⅰ）

1321n n n a a a +=

+，112133n n a a +∴=+，1111

113n n a a +??∴

-=- ???

，

又

1213n a -=，11n a ??∴- ???

是以23为首项，1

3为公比的等比数列． ∴1

1212

1333n n n a --==，332n n n a ∴=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3032

n

n n

a =>+， 2

11n n a a ??=--+ ?n a ≤，∴原不等式成立．

3n nx =

++

-21233n ?- ??++=??1n n a +

+≥原不等式成立．

∴当23n x <时，()0f x '>；当2

3

n x >时，()0f x '<，

∴当2

3n

x =

时，()f x 取得最大值212313n n n

f a ??

== ???+．

∴原不等式成立．

（Ⅲ）同解法一． 12.（重庆卷22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）

设各项均为正数的数列{a n }满足32

112

2,(N*)n a a a a a

a n ++==∈.

（Ⅰ）若21

4

a =

，求a 3，a 4，并猜想a 2cos 的值（不需证明）；

（Ⅱ）记32(N*),n n n b a a a n b =∈≥若对n ≥2恒成立，求a 2的值及数列{b n }的通项公式.