年高考数学试题分类大全

2008年高考数学试题分类汇编

数列

一．选择题：

1.（全国一5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ C ）

A ．138

B ．135

C ．95

D ．23

2.（上海卷14） 若数列{a n }是首项为1，公比为a －3

2的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，

10

a 10S A ．64 B ．100

C ．110

D ．120

8.（福建卷3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为C

A.63

B.64

C.127

D.128

9.（广东卷2）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11

2

a =，420S =，则6S =（ D ） A ．16

B ．24

C ．36

D ．48

10.（浙江卷6）已知{}n a 是等比数列，4

1

252=

=a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=C （A ）16（n --41） （B ）16（n --21） （C ）

332（n --41） （D ）3

32（n --21） 11.（海南卷4）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则

4

2

S a =（ C ） A. 2 B. 4 C.

15

D.

17 ,b 若

－

4.（湖北卷15）观察下列等式： ……………………………………

可以推测，当x ≥2（*

k N ∈）时，1111,,12k k k a a a k +-=

==+ 12

k 2k a -= .，0

5.（重庆卷14)设S n =是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8,S 9=-9,则S 16= .-72

三．解答题： 1.（全国一22）．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；

（Ⅲ）设1(1)b a ∈，

，整数11ln a b

k a b

-≥．证明：1k a b +>．

1， 若存在某≤满足i ，则由⑵知：1k i +

2， 若对任意i k ≤都有b a i >，则k

k k k a a b a b a ln 1--=-+ b ka b a ln 11--≥)(1

1b a b a --->0=，即1k a b +>成立. 2.（全国二20）．（本小题满分12分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*

n ∈N ． （Ⅰ）设3n

n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）若1n n a a +≥，*

n ∈N ，求a 的取值范围．

解：

（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n

n n S S +=+，

由此得1

13

2(3)n n n n S S ++-=-． ······················· 4分

因此，所求通项公式为

13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ···················· 6分

1n n -*

2分 【解】：由题意知12a =，且

两式相减得()()1121n

n n n b a a b a ++--=-

即12n

n n a ba +=+ ①

（Ⅰ）当2b =时，由①知122n

n n a a +=+

于是()()1122212n

n

n

n n a n a n +-+?=+-+?

又1

112

10n a --?=≠，所以{}

12n n a n --?是首项为1，公比为2的等比数列。

（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知11

22n n n a n ---?=，即()112n n a n -=+

当2b ≠时，由由①得 因此11112222n n n n a b a b b ++??-

?==-? ?--??

得1

211n n n n a -=??=???? 6n +32 ……

21n n a a q --=，（2n ≥）．

将以上各式相加，得2

11n n a a q q --+++=L （2n ≥）．

所以当2n ≥时，1

1,,.

1,111n n q q q a n q

-≠=?-+

?=-???

上式对1n =显然成立．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠． 由3693a a a a -=-可得5

2

2

8

q q q q -=-，由0q ≠得3

6

11q q -=-， ①

整理得323()20q q +-=，解得32q =-或3

1q =（舍去）．于是q =

另一方面，2113

3

(1)11n n n n n q q q a a q q q

+--+--==---，

则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且3

1110k k a ca c c +=+-≥-=≥

1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立

(2) 设 1

03

c <<

，当1n =时，10a =，结论成立 当2n ≥ 时， 103

C <<

∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 2

1113n n a a --++≤ 且 110n a --≥

(3) 设 103c <<

，当1n =时，2

120213a c

=>--，结论成立 当2n ≥时，由（2）知1

1(3)0n n a c -≥->

6.（山东卷19)。(本小题满分12分)

将数列｛a n ｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a 1

a 2 a 3

a 4 a 5 a 6

a 7 a 8 a 9 a 10

……

项

则(12)1(1)12(1)

k k S q k k k k =

==--+-+g （k ≥3）. 7.（江苏卷19）.（Ⅰ）设12,,,n a a a L L 是各项均不为零的等差数列（4n ≥），且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当n =4时，求

1

a d

的数值；②求n 的所有可能值； （Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n ≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列

12,,,n b b b L L ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．

【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．

（Ⅰ）①当n ＝4 时，1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d ＝0．

若删去2a ，则有2

314,a a a =g 即()()2

11123a d a a d +=+g 化简得2

14a d d +＝0，因为d ≠0，所以

1

a d

=4 ； 若删去3a ，则有2

14a a a =g ，即()()2

1113a d a a d +=+g ，故得

1

a d

=1．

n a 数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且

113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.

（1）求,n n a b ； （2）求证

121113

4

n S S S +++

3(1)n a n d =+-，1n n b q -=

依题意有1363(1)22642(6)64n n nd

a d n d a

b q q b q S b d q +++-?====?

??=+=?

①

由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1,2,3,6之一， 解①得2,8d q ==

1

n -λ（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a n ｝是等比数列，则有a 2

2=a 1a 3,即

,0949

4

9494)494()332(222=?-=+-?-=-λλλλλλλ矛盾. 所以｛a n ｝不是等比数列.

(Ⅱ)解：因为b n +1=(-1)n +1

［a n +1-3(n -1)+21］=(-1)n +1

(

3

2

a n -2n +14) =

32(-1)n

·（a n -3n +21）=-3

2b n 又b 1x -(λ+18),所以

当λ＝－18，b n =0(n ∈N +

),此时｛b n ｝不是等比数列： 当λ≠－18时，b 1=(λ+18) ≠0,由上可知b n ≠0，∴

3

2

1-=+n a b b (n ∈N +). 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以－（λ＋18）为首项，－3

2

为公比的等比数列. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,b n =0,S n =0,不满足题目要求. ∴λ≠-18，故知b n = -（λ+18）·（－

3

2）n -1

，于是可得

）. (Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设21122,.n n n n n a b S b b b a -=

=+++L 证明：当1

62.n n S n

≥-<时， 解: (Ⅰ)因为121,2,a a ==所以2

2

311(1cos

)sin 12,2

2

a a a π

π

=++=+=

一般地，当*

21(N )n k k =-∈时，2

22121(21)21

[1cos

sin 22

k k k k a a ππ+---=++

＝211k a -+，即2121 1.k k a a +--=

所以数列{}21k a -是首项为1、公差为1的等差数列，因此21.k a k -=

当*

2(N )n k k =∈时，2

2222222(1cos

)sin 2.22

k k k k k a a a ππ

+=++= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k

k a =

故数列{}n a 的通项公式为*

21,21(N ),2

2n n n n k k a +?=-∈?=?

令2

(2)

(6)2n n n c n +=

≥，则21121(1)(3)(2)30.222n n n n n n n n n c c ++++++--=-=< 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，6683

1.644

n c c ?≤==< 于是当6n ≥时，

2

(2)

1.2n n +< 综上所述，当6n ≥时，1

2.n S n

-<

11.（陕西卷22）．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 的首项13

5a =

，1321n n n

a a a +=+，12n =L ，，．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ??

-- ?++??

≥

，12n =L ，，； （Ⅲ）证明：2

121

n n a a a n +++>+L ．

则22

121111

11133n n

n n n n a a a n n n +++=>

+??+-+- ???

L ≥． ∴原不等式成立．

解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设2112()1(1)3n

f x x x x ??

=

-- ?++??

，

则2222

22(1)2(1)2133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x ????

-+--+- ? ?????'=-

-=+++g

0x >Q ， ∴当23n x <时，()0f x '>；当2

3

n x >时，()0f x '<，

∴当2

3n

x =

时，()f x 取得最大值212313n n n

f a ??

== ???+．

}的 21

.2x ≥ ③

下用反证法证明：2211

..22

x x ≤>假设

由①得2121131

2()(2).22

n n n n n n x x x x x x ++++++=+++

因此数列12n n x x ++是首项为22x +，公比为1

2

的等比数列.故

*

121111((N ).222

n n n x x x n +--=-∈ ④

又由①知 211111311

()2(),2222

n x n n n n n x x x x x x x +++++-=--=-- 因此是112n n x x +-

是首项为21

2

x -，公比为-2的等比数列,所以 1*1211

()(2)(N ).22

n n n x x x n -+-=--∈ ⑤ 由④-⑤得

1*221511

(2)()(2)(N ).222

n n n S x x n --=+---∈ ⑥ 对n 求和得

，

数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，1

4

q =

，求{}n x 的前n 项和n S ． 【解析】（1）由求根公式，不妨设<αβ，得==

αβ ∴+=+=p

αβ，

==q αβ

（2）设112()----=-n n n n x sx t x sx ，则12()--=+-n n n x s t x stx ，由12n n n x px qx --=-得

+=??=?

s t p st q ， 消去t ，得2

0-+=s ps q ，∴s 是方程2

0x px q -+=的根，由题意可知，

12,==s s αβ

∴

数列

{

}

n

n

x α是以1为公差的

等

差

数

列

，

1

2(1)111∴

=

+-?=

+-=+n

n

x x n n n α

αα

α

,∴=+n n n x n αα

综上所述，11

,(),()++?-≠?

=-??+=?

n n n n n x n βααββααααβ

（3）把1p =，14q =

代入20x px q -+=，得2

104-+=x x ，解得12

==αβ

14.（浙江卷22）（本题14分） 已知数列

{}

n a ，0≥n a ，01=a ，)(12

121?++∈=-+N n a a a n n n ．记

n

n a a a S +++=Λ21．

)

1()1)(1(1

)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=

ΛΛ． 求证：当?

∈N n 时，

11k k k ++得22

231()(1)n n a a a a n a ++++--=L ． 因为10a =，所以2

1n n S n a =--．

由1n n a a +<及22

11121n n n a a a ++=+-<得1n a <， 所以2n S n >-． （Ⅲ）证明：由22

1112k k k k a a a a +++=+≥，得

所以

2342

1

(3)(1)(1)(1)2n n n a a a a a a -+++L ≤≥，

于是

2222

232211

(3)(1)(1)(1)2()22n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++L ≤≥，

故当3n ≥时，211

11322

n n T -<++

++

分

分

那么当n =k +1时，

22

221122(1)(1)(1)(2)(2)k

k k k k k

a a

b a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，．

所以当n =k +1时，结论也成立．

由①②，可知2

(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立． ·········· 7分

（Ⅱ）

11115

612

a b =<+．

n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． ··········· 9分

故

112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??

+++<++++ ?+++??+??

…… 综上，原不等式成立． ··························· 12分