矩阵论复习题
1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕
对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为
k x x k =?
问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.
2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为
),(112211y x y x y x y x +++=⊕
对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为
)2
)1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.
3.设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=,试证明S 是3R 的子空间,并求S 的一组基和S dim .
4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,
)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=
证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim .
5. 设33:R R T →是线性变换,
()()321323213212,,2,,x x x x x x x x x x x T -++-+=
求T 的零空间)(T N 和像空间)(T R 的基和维数.
6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有
k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=
1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵;
2)求T 的像空间的基与维数.
7. 在22R ?中求由基(I) 12101A ??= ??? 20122A ??= ??? 32112A -??= ??? 41312A ??= ???
到
基(II) 11210B ??= ?-?? 21111B -??= ??? 31211B -??= ??? 41101B --??= ???
的过渡矩阵. 并求矩阵???
? ??-=2102A 在基(I)下的坐标.
8. 在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为
?=1
0)()())(),((dx x g x f x g x f 若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组标准正交基.
9. 在2[]P x 中,内积定义为:1
20,()(),,[].f g f x g x dx f g P x <>=?∈? 1)如果()612+-=x x x f ,计算f ;
2)证明:任一线性多项式()bx a x g +=,都正交于()6
12+
-=x x x f . 10. 已知122112012422A ?? ?= ? ???,求A 的最大秩分解。
11. 求矩阵10002i A i +??= ???
的奇异值分解.
12. 设m n A C ?∈,1)证明:()()H rank A A rank A =;
2) 证明:H A A 是半正定矩阵或正定矩阵。
13. 设A 是n n C ?上的n 阶方阵,x 是n C 上的n 维列向量,证明:
22||||||||||||F Ax A x ≤?.
14. 证明n 阶实方阵A 可表示为一实对称矩阵与一反实对称矩阵之和.
15. 已知????? ??=73487612i A , ????
? ??=845x , 求111||||,||||,||||,||||,||||,||||x x Ax Ax A A ∞∞∞
16. 设a ||||?是n n C ?的一种矩阵范数,B 和D 是n 阶可逆矩阵,且,1||||1≤-a B 1||||1≤-a D ,证明对任意的n n C A ?∈,a b BAD A ||||||||=也是n n C ?的一种矩阵范数.
17. 已知a ||||?是n n C ?上的矩阵范数,0y 是n C 中的某非零列向量,n x C ?∈设
0||||||||H a x xy =证明它是n C 上的向量范数,并且与矩阵范数a ||||?相容。
18.设n n C A ?∈,k 为正整数,证明:()()k k A A ρρ=.
19.设n n C A ?∈,且是Hermite 矩阵,证明:()2A A ρ=.
20.设函数矩阵???
? ??-=t t t t A cos sin sin cos , 求)(t A dt d , ))((det t A dt d 和))(det(t A dt d . 21.证明 1))()()())((111t A t A dt
d t A t A dt d ---??-= 2)A
e Ae e dt
d At At At == 22. 已知???
? ??-=2.05.05.02.0A ,判断矩阵级数 +++++k A A A A 32是否收敛,若收敛求其和.
23. 已知111111012A -?? ?= ? ?-??,判断矩阵级数03k k k k A ∞=∑是否收敛. 24. 求矩阵210420210A ?? ?=-- ? ???
的最小多项式.
25. 已知??????
? ??=3000130001300001A , 求A sin 和)sin(At . 26.已知???? ??-=00a a A , ???
? ??-=a a a a B cos sin sin cos 其中R a ∈且0≠a , 证明:B e A =. 27.已知???
? ??-=33i i A , 1)证明A 是Hermite 矩阵; 2)求方阵函数A cos . 28. 设A 为n 阶方阵,求证()det()A tr A e e =特别地当A 为反对称矩阵时det()1A e =.
29. 设????
? ??----=163053064A , 求方阵函数A e 和()cos At .
30. 已知111111012A -?? ?= ? ?-??
,求50303A A +.
31. 求微分方程组
32113x x x dt
dx +-= 32125x x x dt
dx -+-= 32133x x x dt
dx +-= 的通解及满足初始条件123(0)1(0)1(0)0x x x ===的特解.
32. 求微分方程组????
?????-+=-+=-+=321332123
2113333x x x dt dx x x x dt
dx x x x dt dx
满足初始条件()()()10,00,10321-===x x x 的特解.
33. 已知(1)??????? ??--=11200111000
1A , (2)???? ??=011i i i A ,求A 的广义逆矩阵+A . 34. 设BC A =是A 的最大秩分解, 证明: +++=B C A .
35. 证明:线性方程组b Ax =(其中n m C A ?∈ m C b ∈)有解的充分必要条件是b b AA =+.
2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3.设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=,试证明S 是3R 的子空间,并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=
第 1 页 共 6 页 (A 卷) 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题,违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式:闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷(A ) 适用专业:2016级硕士研究生 考试日期:2017.1.09 时间:120 分钟 共 8页 一、填空选择题(每小题3分,共30分) 1-5题为填空题: 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ,则1||||A =。 2. 设线性变换1T ,2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ,B ,则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3.在3R 中,基T )2,1,3(1--=α,T )1,1,1(2-=α,T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β, T )3,2,1(2=β,T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ,则 5432333A A A A A -++-= . 5.??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题: 6.设A 是正规矩阵,则下列说法不正确的是 ( ). (A) A 一定可以对角化; (B )?=H A A A 的特征值全为实数; (C) 若E AA H =,则 1=A ; (D )?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7.设矩阵A 的谱半径1)( 1. 广义逆(必考类型) 假设s x n 矩阵A 的广义逆为G ,且A 可以满秩分解为A = BC ,A 的秩r(A) = r ,则B 为s x r 矩阵,C 为r x n 矩阵。则G 可表示为: H 1 1 C (CC )(B B)B H H H G --= 例题: 步骤:显然,A 要分解为BC ,必须知道A 的秩,故先对A 进行行化简成最简式 ,r(A)=2,故A 满秩分解为A=(3x2) (2x4)=BC.根据A 的最简式来决定B 和C ,B 由A 最简式中只有1的原列组成,C 由A 的最简式的非零首元行组成。 B = , C = ,H 11C (CC )(B B)B H H H A --+=,通过计算即可 得到A 的广义逆。(若B 、C 中有单位矩阵,那么A 的广义逆表达式可去掉矩阵) 性质: 2. 证明r(ABC)r(B)r(AB)+r(BC)+>= 比较重要的性质 (1) ABX=0与BX=0同解 r(AB)=r(B) (2) r(A)=r(H A A ) (3) r(A+B)<=r(A)+r(B) (4) r(AB)<=min[r(A),r(B)] (5) r(AB)>=r(A)+r(B)-n ,其中A=s x n ,B=n x t 步骤: 设r(B)=r ,B 的满秩分解为B=HK ,所以ABC=AHKC , r(ABC)=r(AHKC)>=r(AH)+r(KC)-r (性质(5)) AB=AHK ,故r(AB)<=r(AH),同理得r(BC)<=r(KC),(性质(4)) 从而r(ABC)>=r(AB)+r(BC)-r(B),原式得证 知识点: A . 秩为r 的s x n 矩阵A 必可分解为A=BC ,其中B=s x r ,C=r x n 。该分解称为A 的 满秩分解。 3. nxn 2n n 2V {X |AX ,X C }n X ==∈,证明:12=V n C V ⊕ 证明包含两部分,1)证明12V V ⊕是直和 等价于 证明1 2V {0}V = 2)证明12V n C V ?⊕,12V n C V ?⊕ 步骤: 华北电力大学硕士研究生课程考试试题(A 卷) 2013~2014学年第一学期 课程编号:50920021 课程名称:矩阵论 年 级:2013 开课单位:数理系 命题教师: 考核方式:闭卷 考试时间:120分钟 试卷页数: 2页 特别注意:所有答案必须写在答题册上,答在试题纸上一律无效 一、判断题(每小题2分,共10分) 1. 方阵 A 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。 见书52页,代数重数指特征多项式中特征值的重数,几何重数指不变子空间的维数,前者加起来为n ,后者小于等于n 2. 设12,,,m αααL 是线性无关的向量,则12dim(span{,,,})m m ααα=L . 正确,线性无关的向量张成一组基 3.如果12,V V 是V 的线性子空间,则12V V ?也是V 的线性子空间. 错误,按照线性子空间的定义进行验证。 4. n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的充分必要条件是 ()A λ的秩是n . 见书60页,需要要求矩阵的行列式是一个非零的数 5. n 阶实矩阵A 是单纯矩阵的充分且必要条件是A 的最小多项式没有重根. 二、填空题(每小题3分,共27分) (6)210021,003A ?? ?= ? ???则A e 的Jordan 标准型为223e 1 00e 0 ,00 e ?? ? ? ?? ?。 首先写出A e 然后对于若当标准型要求非对角元部分为1. (7)301002030λλλ-?? ?+ ? ?-??的Smith 标准型为10003000(3)(2)λλλ?? ?- ? ?-+?? 见书61-63页,将矩阵做变换即得 矩阵理论2017-2018学年期末考试试题 ?、选择题 (每题5分,共25分) 1.下列命题错误的是(A)(B)若,且,则(C)设且,令,则的谱半径为1 (D)设为空间的任意?空间,则2.下列命题错误的是(A)若,则(B)若,则(C)若,则(D)设的奇异值分别为,,如果,则3.下列说法正确的是(A)若,则(B)若为收敛矩阵,则?定可逆 (C)矩阵函数对任何矩阵均有定义,?论A 为实矩阵还是复矩阵 (D)对任意?阵,均有4.下列选项中正确的是(A)且,则为收敛矩阵; (B)为正规矩阵,则(C),则(D)为的所有正奇异值,5.下列结论错误的是(A)若和分别是列满秩和?满秩矩阵,则(B)若矩阵为?满秩矩阵,则是正定矩阵(C)设为严格对?占优矩阵,,则的谱半径(D)任何可相似对?化的矩阵,皆可分解为幂等矩阵的加权和,即?、判断题(15分)(正确的打√,错误的打×) 1.若,且,,则 2.若且,则为到的值域上的正交投影 3.设都是可逆矩阵,且齐次线性?程组有?零解,为算?范数,则 4.,定义,则是上的范数 5.设矩阵的最?秩分解为,则当且仅当 ( ) (A ?B =?)H A H B H A ∈C n ×n =A A 2rank (A )=tr (A )μ∈C n μ=1μH H =E ?2μμH H ,V 1V 2V dim (+)=dim ()+dim () V 1V 2V 1V 2( ) =A ,=A A H A 2=A A +A =A A H A H (=(A m )+A +)m x ∈C n ∥x ≤∥x ≤∥x ∥∞∥2∥1 A , B ∈ C n ×n ≥≥?≥>0σ1σ2σn ≥≥?≥>0σ′1σ′2σ′ n >(i =1,2,?,n )σi σ′i ∥>∥A +∥2B +∥2 ( )A =????π000π001π????sinA =????0000000sin 10?? ??A E ?A e A A A ,B =e A e B e A +B ( )A ∈C n ×n ∥A <1∥m A A ∈C n ×n r (A )=∥A ∥2A ∈(r >0)C m ×n r ∥A =A +∥F r √≥≥?≥σ1σ2σr A ∥=A +∥21σ1 ( ) A B (AB =)+ B +A + A A A H Hermite A =()∈(n >1)a ij C n ×n D =diag (,,?,)a 11a 22a nn E ?A D ?1r (E ?A )≥1 D ?1(i =1,2,?,n )A i A =∑n i =1λi A i A ∈C m ×n A ≠0(A =A A ?)H A ?∥A =n A ?∥2 ( ) A ∈,G ∈C m ×n C n ×m AGA =A y =AGx ,?x ∈C m C m A ( ) A , B ∈ C n ×n (A +B )x =0∥?∥∥A ∥≥1B ?1 ( )?(x ,y )∈R 2f (x ,y )=2+3?4xy x 2y 2 ̄  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄√f (x ,y )R 2 ( )A A =BD Ax =0Dx =0 ( ) 武汉理工大学研究生考试试题(2010) 课程 矩阵论 (共6题,答题时不必抄题,标明题目序号) 一,填空题(15分) 1、已知矩阵A 的初级因子为223 ,(1),,(1)λλ-λλ-,则其最小多项式为 2、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -????????==== ? ? ? ?--???????? ,则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 4、已知0100001000011 000A ?? ? ?= ? ???,则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--,21i =-,则其范数 1α= ;2α= ;∞α= ; 二,(20)设1112112121220a a V A a a a a ??????==-=?? ?????? ?为22?R 的子集合, 1、证明:V 是22?R 的线性子空间; 2、求V 的维数与一组基; 3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ????== ? ????? V ∈,定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++= 证明:),(B A 是V 的一个内积; 4、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、(15分)设{} 23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于3的实系数 多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈,定义: 1) 一组基为q = .维数为3. 3) 南京航空航天大学双语矩阵论期中考试参考答案(有些答案可能有问题) Q1 1解矩阵A 的特征多项式为 A-2 3 -4 4I-A| =-4 2+6 -8 =A 2(/l-4) -6 7 A-8 所以矩阵A 的特征值为4 =0(二重)和/^=4. 人?2 3 由于(4-2,3)=1,所以D| (人)二1.又 彳 人+6=“2+4人=?(人) 4-2 3 、=7人+4=代(人)故(们3),代3))=1 ?其余的二阶子式(还有7个)都包含因子4, -6 7 所以 D? 3)=1 .最后 det (A (/L))=42(人.4),所以 D 3(A)=/l 2 (2-4). 因此矩阵A 的不变因子为d, (2) = d 2(2) = l, d 3 (2) = r (2-4). 矩阵A 的初等因子为人2, 2-4. 2解矩阵B 与矩阵C 是相似的.矩阵B 和矩阵C 的行列式因子相同且分别为9 3)=1 , D 2(/i)=A 2-/l-2 .根据定理:两矩阵相似的充分必要条件是他们有相同的行列式因子. 所以矩阵B 与矩阵c 相似. Q2 2)设k 是数域p 中任意数,a, 0, /是v 中任意元素.明显满足下而四项. (") = (",a) ; (a+月,/) = (",/) + (”,刃;(ka,/3) = k(a,/3) ; (a,a)>0, 当且仅当Q = 0时(a,a) = ().所以(。,/?)是线性空间V 上的内积. 利 用Gram-Schmidt 正交化方法,可以依次求出 ,p 2 =%-(%'5)与= 层=%-(%,弟与一(%,弓)役= 习题二 1.化下列矩阵为Smith 标准型: (1)222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; (2)2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; (3)2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解:(1)对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? , 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ; (2)矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为 2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??; (3)对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中,可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子: (1) 21 0021002λλλ--????--????-??; (2)100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ; 2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷 (17级专业硕士) 专业 学号 姓名 得分 一.判断题(每小题3分,共15分) 1.线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零, 即ker A =0。( ) 2.实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个 线性空间。( ) 3.设A 是n 阶方阵,则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分 必要条件是A 的谱半径1)( 4. 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间,求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为 , 。 5.设A 是复数域上的正规矩阵,则A 满足: ,并 写出常用的三类正规矩阵 。 三.计算题(每小题12分,共48分) 1.在3R 中,试用镜像变换(Householder 变换)将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量,写出变换矩阵。 。 习题三 1.证明下列问题: (1)若矩阵序列{}m A 收敛于A ,则{}T m A 收敛于T A ,{} m A 收敛于A ; (2)若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛,则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明:(1)设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(,,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1, =,有 ij m ij m a a =∞ →) (lim , 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ,ij m ij m a a =∞ →)(lim ,n j i ,,2,1, =, 故{} T m A 收敛于T A ,{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S , 其中m m m A c A c c S +++= 10. 若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛,设其和为S ,即 S A c m m m =∑∞ =0 ,或S S m m =∞ →lim , 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ,故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛,且其和为T S , 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ,且{} 1-m A ,1 -A 都存在,证明: (1)A A m m =∞ →lim ;(2){}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明:设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1, =,有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ,有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =, 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ = ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ , 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ,矩阵论解题步骤-期末考试题
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