二次函数在几何方面的应用

二次函数专题复习

---铅锤线的应用

学习目标：

1.通过理解平面上定点线段的表示，能归纳出图像上动点构成的“铅垂线段”的

表示方法。

2.通过引入“铅垂线”建立二次函数模型，能解决简单的线段、面积等问题。

问题引入：

平面上两个点之间的距离如何表示？铅垂线上两个点之间的距离如何表示？

问题解决：

铅垂线应用一： 1．如图，已知抛物线 的图象与x 轴交于A ，B 两点（点 A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．直线BC 的解析式为 ，点F 是

直线BC 下方抛物线上的一点，过F 作x 轴的垂线交BC 于点D,求出FD 的最大值及F 点的坐标。

铅垂线应用二： 2. （如上图示）点F 在直线BC 下方抛物线上运动时，若点F 的坐标为 ，能否用含n 的式子表示出△BCF 的面积S ，求出S 的最大值及此时

F 点的坐标；

结论：

43

8342-+=x x y 434--=x

y )43834,(2-+n n n F n n FD 4342--=

铅垂线应用三：

3.如图，已知抛物线 的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．点F 在直线BC 下方的抛物线上运动时，过点F 作BC 的垂线交BC 于E ，FE 是否有最大距离，若果有，求出FE 的最大距离及此时F 点的坐标；

结论：

铅垂线应用四：

4.如图，已知抛物线 的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．点F 在直线BC 下方的抛物线上运动时，过点F 作BC 的垂线交BC 于E,过F 作x 轴的垂线交BC 于点D,△DEF 的周长和面积是否存在最大值?若存在，请求出来、并求出此时点F 的坐标；若不存在，请说明理由。

结论：

43

8342-+=x x

y 438342-+=x x

y

铅垂线应用五：

5. 抛物线 交y 轴于点B （0，-2）.点P 为抛物线上一个动 点，经过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m.当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；

（2016年河南数学中招考试23题第二问）

课时小结： 。 234322--=

x x

y

二次函数的应用(几何问题)

二次函数的应用（几何问题） 一、选择题 1.（2012甘肃兰州4分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax 2 ＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【 】 A ．k ＜－3 B ．k ＞－3 C ．k ＜3 D ．k ＞3 【答案】 D 。 【考点】二次函数的图象和性质。 【分析】根据题意得：y ＝|ax 2＋bx ＋c|的图象如右图， ∵|ax 2＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根， ∴k＞3。故选D 。 二、填空题 三、解答题 1. （2012天津市10分）已知抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a ＜b ）的顶点为P （x 0，y 0），点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）在该抛物线上． （Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P 的坐标；②求A B C y y y -的值； （Ⅱ）当y 0≥0恒成立时，求A B C y y y -的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x 2+4x+10。 ①∵y=x 2+4x+10=（x+2）2+6，∴抛物线的顶点坐标为P （－2，6）。 ②∵点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）在抛物线y=x 2+4x+10上， ∴y A =15，y B =10，y C =7。∴A B C y 15==5y y 107 --。 （Ⅱ）由0＜2a ＜b ，得0b x 12a <=--。

由题意，如图过点A 作AA 1⊥x 轴于点A 1， 则AA 1=y A ，OA 1=1。 连接BC ，过点C 作CD⊥y 轴于点D ， 则BD=y B －y C ，CD=1。 过点A 作AF∥BC，交抛物线于点E （x 1，y E ），交x 轴于点 F （x 2，0）。 则∠FAA 1=∠CBD。∴Rt△AFA 1∽Rt△BCD。 ∴11 AA FA BD CD = ，即2 21x yA 1x yB yC 1-==--。 过点E 作EG⊥AA 1于点G ，易得△AEG∽△BCD。 ∴AG EG BD CD =，即A E 1B C y y 1x y y -=--。 ∵点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）、E （x 1，y E ）在抛物线y=ax 2 +bx+c 上， ∴y A =a+b+c ，y B =c ，y C =a －b+c ，y E =ax 12 +bx 1+c ， ∴()()()211a b c ax bx c 1x1c a b c ++-++=---+，化简，得x 12 ＋x 1－2=0， 解得x 1=－2（x 1=1舍去）。 ∵y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜－1。 则1－x 2≥1－x 1，即1－x 2≥3。 ∴yA yB yC -的最小值为3。 【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。 【分析】（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式。 ①将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。 ②将A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）分别代入解析式，即可求出y A 、 y B 、y C 的值，然后计算A B C y y y -的值即可。

二次函数与几何综合压轴题题型归纳88728

学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲 一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此 抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解? ?? ?==0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴） （1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。 （2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得 AN MN BM ++之和最小。 （3）如图，B A 、是直线l 同旁的两个定点，线段a ，在直线l 上确定两点E 、F （E 在F 的左侧 ），使得四边形AEFB 的周长最小。 8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法 三角形的面积求解常用方法：如右图，S △PAB =1/2 ·PM ·△x=1/2 ·AN ·△y 9、函数的交点问题：二次函数（c bx ax y ＋＋＝2 ）与一次函数（h kx y ＋＝） （1）解方程组???h kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2可求出两个图象交点的坐标。 （2）解方程组???h kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2，即()02 ＝－＋－＋h c x k b ax ，通过?可判断两个图象的交点 的个数 有两个交点 ? 0＞?

一次函数的应用、二次函数与几何知识的综合应用练习题

2012届一次函数的应用、二次函数与几何知识的综合应用练习题 1、某书报亭开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是 会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书， 若每月租书数量为x 册. （1）写出零星租书方式应付金额y 1(元)与租书数量x （册）之间的函数关系 式； （2）写出会员卡租书方式应付金额y 2(元 )与租书数量x (册)之间的函数关 系式； （3）小军选取哪种租书方式更合算？ 2、某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知 大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购 车总费用为y （万元）． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）； （2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最 省的方案，并求出该方案所需费用． 3、如图，抛物线y = 2 1x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． 4、如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物 线交x 轴于另一点C （3,0）. 第3题图

⑴ 求抛物线的解析式; ⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求 出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由. 5、已知双曲线x k y 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式; (2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积, 6、已知函数y=mx 2－6x ＋1（m 是常数）． ⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值． 7、如图所示，二次函数y =-x 2+2x +m 的图象与x 轴的一个交点为A （3，0），另一 个交点为B ，且与y 轴交于点C ． 第5题图

二次函数与几何综合运用精品教案

二次函数与几何综合运用 能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型． 重点 应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题． 难点 函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得． 一、引入新课 上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共同研究二次函数与几何的综合应用． 二、教学过程 问题1：教材第49页探究1. 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l 为多少米时，场地的面积S最大？ 分析： 提问1：矩形面积公式是什么？ 提问2：如何用l表示另一边？ 提问3：面积S的函数关系式是什么？ 问题2：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 分析： 提问1：问题2与问题1有什么不同？ 提问2：我们可以设面积为S，如何设自变量？ 提问3：面积S的函数关系式是什么？ 答案：设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 提问4：如何求解自变量x的取值范围？墙长32 m对此题有什么作用？ 答案：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 提问5：如何求最值？ 答案：x＝－b 2a＝－ 60 2×（－2） ＝15时，S max＝450. 问题3：将问题2中“墙长为32 m”改为“墙长为18 m”，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 提问1：问题3与问题2有什么异同？ 提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？ 提问3：可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？

二次函数与几何综合(习题及答案)

二次函数与几何综合（习题） ?例题示范 例1：如图，抛物线y=ax2+2ax-3a 与x 轴交于A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点C，且OA=OC，连接AC． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值． （3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 第一问：研究背景图形 【思路分析】 读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a，可以求解A(-3，0)，B(1，0)，对称轴为直线x=-1；结合题中给出的OA=OC，可得C(0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式． 再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形． 【过程示范】 解：（1）由y=ax2+2ax-3a=a(x+3)(x-1) 可知A(-3，0)，B(1，0)， ∵OA=OC， ∴C(0，-3)， 将C(0，-3)代入y=ax2+2ax-3a， 解得，a=1， ∴y=x2+2x-3． 1

△ 第二问：铅垂法求面积 【思路分析】 （1） 整合信息，分析特征： 由所求的目标入手分析，目标为 S △ACP 的最大值，分析 A ，C 为定点，P 为动点且 P 在直线 AC 下方的抛物线上运动，即 -3＜x P ＜0； （2） 设计方案： 注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达 S △ACP ． 【过程示范】 如图，过点 P 作 PQ ∥y 轴，交 AC 于点 Q ， 易得 l AC ：y =-x -3 设点 P 的横坐标为 t ，则 P (t ，t 2+2t -3)， ∵PQ ∥y 轴， ∴Q (t ，-t -3)， ∴PQ =y Q -y P =-t -3-(t 2+2t -3)=-t 2-3t （-3＜t ＜0）， ∴ S = 1 PQ ? (x - x ) = - 3 t 2 - 9 t （-3＜t ＜0） △ ACP 2 C A 2 2 ∵ - 3 < 0 ， 2 ∴抛物线开口向下，且对称轴为直线t = - 3 ， 2 ∴当t = - 3 时，S ACP 最大，为 27 ． 2 8 第三问：平行四边形的存在性 【思路分析】 分析不变特征： 以 A ，B ，E ，F 为顶点的四边形中，A ，B 为定点，E ，F 为动点，定点 A ，B 连接成为定线段 AB ． 分析形成因素： 要使这个四边形为平行四边形．首先考虑 AB 在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则 AB 既可以作边，也可以作对角线． 画图求解： 先根据平行四边形的判定来确定 EF 和 AB 之间应满足的条 2

北师大版二次函数的应用教案

第二章二次函数 2.4 二次函数的应用（1） 一、知识点 1.利用二次函数求几何图形面积最大值的基本思路. 2.求几何图形面积的常见方法. 二、教学目标 知识与技能： 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值． 过程与方法： 1.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力． 2.通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力． 情感与态度： 1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值． 2.能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格． 3.进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力． 三、重点与难点 重点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题. 难点：把实际问题转化成函数模型.

四、创设情境，引入新知(放幻灯片2、3、4） 1.(1)请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园. (2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？ 设计意图：通过学生所熟悉的图形，引入新课，使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路. 2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米. (1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 . 设计意图：在上一个问题的基础上对问题情境进行变化，增大难度，同时板书解题过程，让学生明确规范的书写过程. 五、探究新知(放幻灯片5、6、7） 探究一：如图,在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上，AN=40m ，AM=30m. (1)设矩形的一边AB=x m,那么AD 边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为2ym ,当x 取何值时,y 的最大值是多少? 探究二：在上一个问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其顶点A 和点D 分别在两直角边上,BC 在斜边上.其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？ 探究三：如图,已知△ABC 是一等腰三角形铁板余料，AB=AC=20cm, BC=24cm.若在△ABC 上截出一矩形零件DEFG,使得EF 在BC 上,点D 、G 分别在边AB 、AC 上.问矩形DEFG 的最大面积是多少? M N D C B A P M N D C B A F G E D C B A

中考数学分类解析 专题 二次函数的应用(几何问题)

2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题） 专题22：二次函数的应用（几何问题） 一、选择题 1.（2012甘肃兰州4分）二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax 2 ＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【 】 A ．k ＜－3 B ．k ＞－3 C ．k ＜3 D ．k ＞3 【答案】 D 。 【考点】二次函数的图象和性质。 【分析】根据题意得：y ＝|ax 2 ＋bx ＋c|的图象如右图， ∵|ax 2 ＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根， ∴k＞3。故选D 。 二、填空题 三、解答题 1. （2012天津市10分）已知抛物线y=ax 2 +bx+c （0＜2a ＜b ）的顶点为P （x 0，y 0），点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）在该抛物线上． （Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P 的坐标；②求 A B C y y y -的值； （Ⅱ）当y 0≥0恒成立时，求 A B C y y y -的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x 2 +4x+10。 ①∵y=x 2 +4x+10=（x+2）2 +6，∴抛物线的顶点坐标为P （－2，6）。 ②∵点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）在抛物线y=x 2 +4x+10上， ∴y A =15，y B =10，y C =7。∴ A B C y 15 ==5y y 107 --。

（Ⅱ）由0＜2a ＜b ，得0b x 12a <=- -。 由题意，如图过点A 作AA 1⊥x 轴于点A 1， 则AA 1=y A ，OA 1=1。 连接BC ，过点C 作CD⊥y 轴于点D ， 则BD=y B －y C ，CD=1。 过点A 作AF∥BC，交抛物线于点E （x 1，y E ），交x 轴于点 F （x 2，0）。 则∠FAA 1=∠CBD。∴Rt△AFA 1∽Rt△BCD。 ∴ 11AA FA BD CD = ，即221x yA 1x yB yC 1-==--。 过点E 作EG⊥AA 1于点G ，易得△AEG∽△BCD。 ∴ AG EG BD CD = ，即A E 1B C y y 1x y y -=--。 ∵点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）、E （x 1，y E ）在抛物线y=ax 2 +bx+c 上， ∴y A =a+b+c ，y B =c ，y C =a －b+c ，y E =ax 12 +bx 1+c ， ∴ ()()() 211a b c ax bx c 1x1c a b c ++-++=---+，化简，得x 1 2＋x 1－2=0， 解得x 1=－2（x 1=1舍去）。 ∵y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜－1。 则1－x 2≥1－x 1，即1－x 2≥3。 ∴ yA yB yC -的最小值为3。 【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。 【分析】（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式。 ①将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。 ②将A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）分别代入解析式，即可求出y A 、

二次函数的最值几何应用教学案

二次函数的最值几何应用教学案 【教学目标】 1．理解二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质在平面几何问题中的应用，特别是用来求几何图形面积的最大值或最小值． 2．理解二次函数在求解几何问题中的一般方法和步骤． 【重点、难点】 重点：二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质在平面几何中的应用. 难点：如何将几何问题转化为二次函数的图象和性质问题. 【知识要点】 1．一次函数的最值：在函数的取值范围的两个端点，考察该函数的最值； 2．二次函数的最值：在函数的取值范围的两个端点考察该函数的最值； 3．函数的最大值与最小值 最大值： ()()()()()()(). 0max 0000x f y x f y x f x f x f x f x x f y ==≤=记作叫做函数都成立，那么不等式处的函数值是在设函数几何解释： (1) 函数图像的最高点，纵坐标最大的值 在将一条平行于横坐标的直线从y 坐标。 ()()()()()()().0in 0000x f y x f y x f x f x f x f x x f y m ==≥=记作的最小值， 叫做函数都成立，那么不等式处的函数值是在设函数 几何解释： (2) 函数图像的最高点，纵坐标最小的值 (3) 在将一条平行于横坐标的直线从y 轴的负向向正向平移的过程中，与函数的第一个交点的纵坐标。 【经典例题】 例1．求下列函数的最值(自变量范围是R). 132)1(2+-=x x y 32)2(2++-=x x y

例2．已知实数a,b 满足等式5)3(22=+-b a ，求 a b 的最大值和最小值。 例3．已知二次函数2 (1)2y x =-- （1）当23x ≤≤时，求函数的最值。 （2）当03x ≤≤时，求函数的最值。 例4．方程()()22160x m x m +-+-=有一根不大于1，另一根不小于1。 （1）求m 的取值范围 （2）求方程两根平方和的最大值与最小值

二次函数与几何图形动点问题

A 专题九 二次函数与几何图形动点问题 中考目标： 1、 灵活运用二次函数、特殊三角形和四边形相关性质、判定、定理，确定二次函数，判定线与线关系、特殊三角形、四边形及相应的周长、面积、还有存在、最值等问题； 2、 能够通过数形结合，进行建构模型，联想、猜测，运用分类、转化、从特殊到一般归纳等数学思想解 决问题； 3、 运用“动中求静”，找到、运用不变的数、不变的量、不变的关系，建立函数关系及综合应用代数、 几何知识解决问题。 一．考点归纳：特殊图形的定义、性质、判定等，图形的变化：轴对称、平移、旋转（特殊的是中心对称） 二次函数部分的归纳： 1、二次函数的表达式：一般式 ，顶点（ ， ） 对称轴x= ， 还有 式； 2、二次函数的图象是 ，二次函数的性质： 。 二、考点探究 活动一：二次函数与三角形 例1.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图象经过点B （12,0）和C （0，－6），对称轴为x ＝2． （1）求该抛物线的解析式； （2）点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同 时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直 平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的结论下，直线x ＝1上是否存在点M 使，△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的 坐标，若不存在，请说明理由． 练习：如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-2 1，0)、B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ； (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状； (2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 跟踪练习：《题型专练》P56 T1；P58 T5 中考考点：二次函数与四边形 例1. 如图，抛物线2 23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物 线交于A 、C 两点，其C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶 点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 跟踪练习：《题型专练》P57 T3；P59 T7 中考考点：二次函数与三角形、四边形的面积

二次函数的几何应用

二次函数的几何应用 1.（2011?安顺）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x．则y关于x的函数图象大致是（） A、B、C、D、 2.（2011山东日照）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=时，四边形ABCN的面积最大． 3.（2011江苏淮安）如图，已知二次函数y= -x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，与y轴交于点B. (1)求此二次函数关系式和点B的坐标； (2)在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△P AB是以AB为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由.

4.（2011江苏连云港）如图，抛物线212 y x x a = -+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点在直线y =－2x 上. (1)求a 的值； (2)求A,B 两点的坐标; (3)以AC ,CB 为一组邻边作□ABCD ,则点D 关于x 轴的对称点D′是否在该抛物线上?请说明理由. 5. （2011?江苏宿迁）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，Q 为边CD 上一动点，设DQ=t （0≤t≤2），线段PQ 的垂直平分线分别交边AD 、BC 于点M 、N ，过Q 作QE ⊥AB 于点E ，过M 作MF ⊥BC 于点F ． （1）当t≠1时，求证：△PEQ ≌△NFM ； （2）顺次连接P 、M 、Q 、N ，设四边形PMQN 的面积为S ，求出S 与自变量t 之间的函数关系式，并求S 的最小值．

全国各地中考数学试题分类汇编考点 二次函数的应用(几何)

二次函数的应用（几何）1 一、选择题 1.（2011安徽，10，4分）如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直 于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（） A．B．C． D． 【答案】C 2. （ 2011山东威海，12 ，3分）如图， 在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y （cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y 与x之间的函数关系的是（） 【答案】B 3. （2011甘肃兰州，14，4分）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函

数图象大致是 A ． B ． C ． D ． 【答案】B 4. 二、填空题 1. 2. 3. 4. 5. 三、解答题 1. （2011浙江省舟山，24，12分）已知直线3+=kx y （k ＜0）分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，线段OA 上有一动点P 由原点O 向点A 运动，速度为每秒1个单位长度，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，设运动时间为t 秒． （1）当1-=k 时，线段OA 上另有一动点Q 由点A 向点O 运动，它与点P 以相同速度 同时出发，当点P 到达点A 时两点同时停止运动（如图1）． ① 直接写出t ＝1秒时C 、Q 两点的坐标； ② 若以Q 、C 、A 为顶点的三角形与△AOB 相似，求t 的值． （2）当4 3 - =k 时，设以C 为顶点的抛物线n m x y ++=2)(与直线AB 的另一交点为D （如图2）， ① 求CD 的长； ② 设△COD 的OC 边上的高为h ，当t 为何值时，h 的值最大？ F G （第24题图2） （第24题图1）

二次函数的应用(几何问题)题

学习必备 欢迎下载 C ． 33 3. （2012 广东广州 14分）如图，抛物线 y= x 2 x+3 与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在 1）求点 A 、 B 的坐标； 2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点， 当△ ACD 的面积等于△ ACB 的面积时， 求点 D 的坐标； 3）若直线 l 过点 E （4，0），M 为直线 l 上的动点，当以 A 、 B 、M 为顶点所作的直角三角 形有且只有三个时，求直线 l 的解析式． 年全国中考数学试题分类解析 二次函数的应用（几何问题） 1. （2012 天津市 10 分） 已知抛物线 y =ax 2+bx +c （0<2a

二次函数与几何综合运用——存在性问题教学设计.doc

二次函数在几何方面的应用——存在性问题 一、教学目标： 知识与技能：通过本节课的专题学习体会二次函数与几何的综合应用，培养学生综合运用知识的技能，提高学生分析问题解决问题的能力。 过程与方法：利用数形结合思想，把“数''与“形”结合起来，互相渗透.同时熟练运用分类讨论的思想、方程的思想等各种数学思想方法。 情感态度与价值观：鼓励学生要知难而上，敢于挑战，激发学生学习数学的兴趣。 二、教学重点、难点 重点：二次函数与三角形、四边形、存在性问题综合应用；利用各种数学思想方法解决问题。 难点：二次函数与三角形、四边形、存在性问题的分析和解决。 教学方法：自主探索、合作交流。 教学手段：运用多媒体教学 三、教学过程： 类型一特殊三角形的存在、探究问题 【方法指导】 1.探究等腰三角形的存在、探究问题时，具体方法如下： （1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步； （2）当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底，哪条边是等腰三角形的腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等，得到三种情况； （3）设未知量，求边长.在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（x, ax2^-hx+c）；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（- 二，）；），并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长； 2a （4）计算求解.根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式, 根据等量关系求解即可. 探究等边三角形的存在、探究问题时，可以先求出该三角形为等腰三角形时的情况，然后求腰和底相等时的情况即可. 2.探究直角三角形的存在、探究问题时，具体方法如下： （1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步;

二次函数在几何方面的应用

二次函数专题复习 ---铅锤线的应用 学习目标： 1.通过理解平面上定点线段的表示，能归纳出图像上动点构成的“铅垂线段”的 表示方法。 2.通过引入“铅垂线”建立二次函数模型，能解决简单的线段、面积等问题。 问题引入： 平面上两个点之间的距离如何表示？铅垂线上两个点之间的距离如何表示？ 问题解决： 铅垂线应用一： 1．如图，已知抛物线 的图象与x 轴交于A ，B 两点（点 A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．直线BC 的解析式为 ，点F 是 直线BC 下方抛物线上的一点，过F 作x 轴的垂线交BC 于点D,求出FD 的最大值及F 点的坐标。 铅垂线应用二： 2. （如上图示）点F 在直线BC 下方抛物线上运动时，若点F 的坐标为 ，能否用含n 的式子表示出△BCF 的面积S ，求出S 的最大值及此时 F 点的坐标； 结论： 43 8342-+=x x y 434--=x y )43834,(2-+n n n F n n FD 4342--=

铅垂线应用三： 3.如图，已知抛物线 的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．点F 在直线BC 下方的抛物线上运动时，过点F 作BC 的垂线交BC 于E ，FE 是否有最大距离，若果有，求出FE 的最大距离及此时F 点的坐标； 结论： 铅垂线应用四： 4.如图，已知抛物线 的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．点F 在直线BC 下方的抛物线上运动时，过点F 作BC 的垂线交BC 于E,过F 作x 轴的垂线交BC 于点D,△DEF 的周长和面积是否存在最大值?若存在，请求出来、并求出此时点F 的坐标；若不存在，请说明理由。 结论： 43 8342-+=x x y 438342-+=x x y

二次函数实际应用问题及解析

中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题，主要是解答题，也有少量的选择和填空题，常见问题有以几何为背景问题，以球类为背景问题，以桥、隧道为背景问题和以利润为背景问题四类。 一. 以几何为背景问题 原创模拟预测题 1. 市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管AB 高出地面 1.5m，在B 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45 的角，水流的最高点C离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出 2m，水流的落地点为D ．在建立如图所示的直角坐标系中： （1）求抛物线的函数解析式； （2）求水流的落地点D 到A 点的距离是多少 m？ 13 【答案】（ 1）y 1 x 2 2 x 3；（ 2）2 7 m． 22 【解析】试题分析：（ 1）把抛物线的问题放到直角坐标系中解决，是探究实际问题常用的方法，本题关键是解等腰直角三角形，求出抛物线顶点C（2，3.5 ）及 B （0，1.5 ），设顶点式求解 析式； （2）求 AD，实际上是求当 y=0 时点 D 横坐标．在如图所建立的直角坐标系中， 由题意知，B 点的坐标为（0，1.5）， CBE 45 ，△ BEC 为等腰直角三角形， BE 2，点坐标为（2，3.5） 2 （1）设抛物线的函数解析式为y ax 2 bx c（ a 0），

则抛物线过点（01，.5）顶点为（2，3.5），当x 0 时，y c 1.5 由2，得b 4a ， 2a 22 4ac b 6a 16a 由3.5 ，得3.5 4a 4a 1 解之，得a 0 （舍去），a ， b 4a 2 ． 2 13 所以抛物线的解析式为y 1x2 2x 3． 22 考点：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．结合实际问题并从 中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型． 原创模拟预测题 2. 在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长 15m） 的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为 40m的栅栏围成（如图所示）．若设花园的BC边长为 x（ m），花园的面积为y （m） （1）求y 与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）满足条件的花园面积能达到 200 m 吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由；（3）根据（1）中求得的函数关系式 ,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？ 12 答案】（ 1）y x2 20x （0 x 15）；（ 2）不能；（ 3）x 15时，最大面积 187.5m 解析】 2

二次函数在几何方面应用

二次函数函数在几何方面的应用 一、考点链接 1．点A ()o y x ,0在函数c bx ax y ++=2的图像上.则 有 . 2. 求函数b kx y +=与x 轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ； 与y 轴的交点纵坐标，即令 ，求y 值 3. 求一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数 ()02≠++=a c bx ax y 的图像的交点，解方程组 . 4．二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得 ， ⑴ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 时，有最 （“大”或“小”）值 是 ； ⑵ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 时，有最 （“大”或“小”）值 是 ． 5. 每件商品的利润P = － ；商品的总利润Q = × . 6. 函数图像的移动规律: 若把一次函数解析式写成y=k （x+0）+b 、二次函数的解析式写成y=a （x+h ）2+k 的形式，则用下面后的口诀“左 2 24()24b ac b y a x a a -=++0a >x =y 0a

右平移在括号,上下平移在末稍,左正右负须牢记,上正下负错不了”。 7. 二次函数 c bx ax y ++=2的图像特征与c b a ,,及的符号的确定. 二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点, 它们确定图象现；开口、大小由a 断,c 与Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。 注意：当x=1时，y=a+b+c ；当x=-1时，y=a-b+c 。若a+b+c ＞0，即x=1时，y ＞0; 若a-b+c ＞0，即x=-1时，y ＞0。 8．函数的综合应用 ⑴利用一次函数图像解决求一次方程、一次不等式的解、比较大小等问题。 ⑵利用二次函数图像、反比例函数图像解决求二次方程、分式方程、分式不等式的解、比较大小等问题。 ⑶利用数形结合的思路，借助函数的图像和性质，形象直观的解决有关不等式最大（小）值、方程的解以及图形的位置关系等问题。 ⑷利用转化的思想，通过一元二次方程根的判别式来解决抛物线与x 轴交点的问题。 ⑸通过几何图形和几何知识建立函数模型，提供设计方案或讨论方案的可行性。

中考一轮复习专题 二次函数的应用(几何问题)

2012年全国中考数学试题分类汇编 二次函数的应用（几何问题） 一、选择题 1.（2012甘肃兰州4分）二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax 2 ＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【 】 A ．k ＜－3 B ．k ＞－3 C ．k ＜3 D ．k ＞3 三、解答题 1. （2012天津市10分）已知抛物线y=ax 2 +bx+c （0＜2a ＜b ）的顶点为P （x 0，y 0），点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）在该抛物线上． （Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P 的坐标；②求 A B C y y y -的值； （Ⅱ）当y 0≥0恒成立时，求 A B C y y y -的最小值． 2. （2012上海市12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2 +6x+c 的图象经过点A （4，0）、B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD=t ，点E 在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE= 1 2 ，EF⊥OD，垂足为F ． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）； （3）当∠ECA=∠OAC 时，求t 的值．

3. （2012广东广州14分）如图，抛物线23 3y=x x+384 --与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标； （2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标； （3）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式． 4. （2012广东肇庆10分）已知二次函数2y mx nx p =++图象的顶点横坐标是2，与x 轴交于A （x 1，0）、 B （x 2，0），x 1﹤0﹤x 2，与y 轴交于点 C ，O 为坐标原点，tan tan CA BO 1O C ∠-∠=． （1）求证： n 4m 0+=； （2）求m 、n 的值； （3）当p ﹥0且二次函数图象与直线y x 3=+仅有一个交点时，求二次函数的最大值． 5. （2012广东珠海7分）如图，二次函数y=（x ﹣2）2 +m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象，写出满足kx+b≥（x ﹣2）2 +m 的x 的取值范围． 6. （2012浙江杭州12分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k （x 2 +x ﹣1）的图象交于点A （1，k ）和点B （﹣1，﹣k ）．

201x版中考数学专题复习 专题三(14-3)二次函数几何方面的应用教案

2019版中考数学专题复习专题三（14-3）二次函数几何方面的应 用教案 一、【教材分析】 教学目标 知识 技能 1．根据二次函数的平移规律，会由一个二次函数经过平移得到另一个二次 函数. 2．会求最大面积问题. 过程 方法 1.通过对生活中实际问题的研究，经历将实际问题转化为数学问题的过程， 体会数学知识的现实意义. 2.会求动点问题、存在点问题、二次函数与几何图形等问题. 情感 态度 通过解决实际生活中与二次函数有关的几何问题，体会学习数学知识的价 值，从而增强学习数学的兴趣. 教学 重点 二次函数的平移变换，及与几何图形问题. 教学 难点 利用二次函数解决几何方面的实际问题. 二、【教学流程】教 学环节教学问题设计师生活动 二次备 课 知识【回顾练习】 1.将抛物线4 4 2- - =x x y向左平移3个单位，再向 上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（） A.13 )1 (2- + =x y B．3 )5 (2- - =x y C．13 )5 (2- - =x y D．()3 12- + =x y 2.已知直线y=﹣3x+3与坐标轴分别交于点A，B， 点P在抛物线y=﹣（x﹣3）2+4上，能使△A BP 为等腰三角形的点P的个数有（） A．3个B．4个 先将一般式化为 顶点式，根据左加右 减，上加下减来平移. 以点B为圆心线段 AB长为半径做圆，交 抛物线于点C、M、N 点，连接AC、BC，由 直线y=﹣x+3可求 出点A、B的坐标，结 合抛物线的解析式可 得出△ 二 次函数 图象上 点的坐 标特 征；一 次函数 图象上

回顾 C．5个D．6个 3.如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=， AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s 的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以 2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点 同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是 （） A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm2 ABC等边三角形， 再令抛物线解析式中 y=0求出抛物线与x轴 的两交点的坐标，发现 该两点与M、N重合， 结合图形分三种情况 研究△ABP为等腰三 角形，由此即可得出结 论． 先根据已知求边 长BC，再根据点P和 Q的速度表示BP和 BQ的长，设△PBQ的 面积为S，利用直角三 角形的面积公式列关 于S与t的函数关系 式，并求最值即可． 综合1.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3 个单位长度，然后绕原点选择180°得到抛物线 y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（） A．y=﹣（x﹣）2﹣B．y=﹣（x+）2﹣ C．y=﹣（x﹣）2﹣D．y=﹣ （x+）2+ 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何 先求出绕原点旋 转180°的抛物线解析 式，求出向下平移3个 单位长度的解析式即 可.