2021年高考数学常考题型集锦
2021年高考高频题型集锦
命题热点一 集合与常用逻辑用语
集合这一知识点是高考每年的必考内容，对集合的考查主要有三个方面：一是
集合的运算，二是集合间的关系，三是集合语言的运用. 在试卷中一般以选择题的
形式出现，属于容易题.集合知识经常与函数、方程、不等式等知识交汇在一起命
题，因此应注意相关知识在解题中的应用.
常用逻辑用语也是每年高考的必考内容，重点考查：充分必要条件的推理判
断、四种命题及其相互关系、全称命题与特称命题等，在试卷中一般以选择题的
形式出现，属于容易题和中档题，这个考点的试题除了考查常用逻辑用语本身的
有关概念与方法，还与其他数学知识联系在一起，所以还要注意知识的灵活运用。
预测1. 已知集合{}2|20A x x x =->，集合(,)B a b =，且B A ?，则a b
-的取值范围是
A.(2,)-+∞
B.[2,)-+∞
C.(,2)-∞-
D.(,2]-∞-
解析：化简A 得{}
{}2|20|02A x x x x x =->=<<，由于B A ?，所以02a b ≥??≤?
，于是2a b -≥-，即a b -的取值范围是[2,)-+∞，故选B. 动向解读：本题考查集合间的关系，考查子集的概念与应用、不等式的性质等，
解答时注意对集合进行合理的化简.
预测2. 若集合1|
2,A x x R x ??=<∈????，{}3|log (1)B x y x ==-，则A B 等于
A.φ
B.1
(,1)2 C. 1(,0)(,1)2-∞ D. 1(,1]2 解析：依题意{}1|0,|12A x x x B x x ??=<>=
?或，所以A B =1(,0)(,1)2
-∞.故选C. 动向解读：本题考查集合的基本运算、函数的定义域、不等式的解法等问题，
是高考的热点题型.在解决与函数定义域、值域、不等式解集相关的集合问题时，
要注意充分利用数轴这一重要工具，通过数形结合的方法进行求解.
预测3. 已知命题:[0,],cos 2cos 02p x x x m π
?∈+-=为真命题，则实数m
的取值范围是 A. 9[,1]8-- B. 9[,2]8- C. [1,2]- D. 9[,)8-+∞
解析：依题意，cos 2cos 0x x m +-=在[0,]2x π
∈上恒成立，即
cos 2cos x x m +=.令2219()cos 2cos 2cos cos 12(cos )48f x x x x x x =+=+-=+-，由于[0,]2
x π∈，所以cos [0,1]x ∈，于是()[1,2]f x ∈-，因此实数m 的取值范围是[1,2]-，故选
C.
动向解读：本题考查全称命题与特称命题及其真假判断，对于一个全称命题，
要说明它是真命题，需要经过严格的逻辑推理与证明，要说明它是一个假命题，只
要举出一个反例即可；而对于特称命题，要说明它是一个真命题，只要找到一个值
使其成立即可，而要说明它是一个假命题，则应进行逻辑推理与证明.
预测4. “0a ≤”是“不等式2
0x ≥对任意实数x 恒成立”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：不等式20x ≥对任意实数x 恒成立，则有20a ?==≤，
又因为0a ≥，所以必有0a =，故“0a ≤”是“不等式20x ≥对任意实
数x 恒成立”的必要不充分条件.故选B.
动向解读：本题考查充分必要条件的推理判断，这是高考的一个热点题型，因
为这类问题不仅能够考查逻辑用语中的有关概念与方法，还能较好地考查其他相关
的数学知识，是一个知识交汇的重要载体.解答这类问题时要明确充分条件、必要
条件、充要条件的概念，更重要的是要善于列举反例.
命题热点二 函数与导数
函数是高中数学的主线，是高考考查的重点内容，主要考查：函数的定义域与
值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数、函数的应用等，在高考试卷中，
一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以
解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函
数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点.
高考对导数的考查主要有以下几个方面：一是考查导数的运算与导数的几何意
义，二是考查导数的简单应用，例如求函数的单调区间、极值与最值等，三是考查
导数的综合应用.导数的几何意义以及简单应用通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题；而对于导数的综合应用，
则主要是和函数、不等式、方程等联系在
一起以解答题的形式进行考查，例如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、
方程根的个数问题、不等式的证明等问题.
预测 1. 函数a ax x x f +-=2)(2
在区间)1,(-∞上有最小值，则函数x
x f x g )()(=在区间),1(+∞上一定 A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数 D ．是增函数
解析：函数()f x 图像的对称轴为x a =，依题意有1a <，所以
()()2f x a g x x a x x
==+-，()g x 在(0,)a 上递减，在(,)a +∞上递增，故()g x 在(1,)+∞上也递增，无最值，选D.
动向解读：本题考查二次函数、不等式以及函数的最值问题.对于二次函数，
高考有着较高的考查要求，应熟练掌握二次函数及其有关问题的解法.在研究函数
的单调性以及最值问题时，要善于运用基本不等式以及函数(0)p y x p x =+
>的单调性进行求解.
预测2. 如图，当参数λ分别取12,λλ时，函数2()(0)1x f x x x
λ=
≥+的部分图像分别对应曲线12,C C ，则有
A.120λλ<<
B. 210λλ<<
C. 120λλ<<
D. 210λλ<<
解析：由于函数2()1x f x x
λ=+的图像在[0,)+∞上连续不间断，所以必有120,0λλ>>.又因为当1x =时，由图像可知
122211λλ>++，故12λλ<，所以选A.
动向解读：本题考查函数的图像问题，这是高考考查的热点题型，其特点是给
出函数图象，求函数解析式或确定其中的参数取值范围.解决这类问题时，要善于
根据函数图象分析研究函数的性质，从定义域、值域、对称性、单调性、经过的特
殊点等方面获取函数的性质，从而确定函数的解析式或其中的参数取值范围.
预测3. 已知函数()x
f x e mx =-的图像为曲线C ，若曲线C 不存在与直线12
y x =
垂直的切线，则实数m 的取值范围是 A. 12m ≤- B. 12
m >- C. 2m ≤ D. 2m > 解析：'()x f x e m =-，曲线C 不存在与直线12y x =垂直的切线，即曲线C 不存在斜率等于2-的切线，亦即方程2x e m -=-无解，2x
e m =-，
故20m -≤，因此2m ≤.
动向解读：本题考查导数的几何意义，这是高考对导数考查的一个重要内容和
热点内容，涉及曲线的切线问题都可考虑利用导数的几何意义解决，求解这类问题
时，要始终以“切点”为核心，并注意对问题进行转化.
预测4. （理科）已知函数 为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是
A ．[1,0)-
B ．(0,)+∞
C ．[2,0)-
D ．(,2)-∞- 解析：若()f x 在R 上单调递增，则有02021a a a >??+>??+≤?
，a 无解；若()f x 在R 上
单调递减，则有02021a a a ??+≥?
，解得10a -≤<，综上实数a 的取值范围是[1,0)-.
故选A.
动向解读：本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高
考的重要考点.解决这类问题时，要特别注意：分段函数在R 上单调递增（减），
不仅要求函数在每一段上都要单调递增（减），还应满足函数在分段点左侧的函数
值不大于（不小于）分段点右侧的函数值.
（文科） 已知函数()()()
210(2)0x ax x f x a e x ?+≥?=?-
A. (2,3]
B.(2,)+∞
C.(,3]-∞
D.(2,3)
解析：若()f x 在R 上单调递增，则有02021a a a >??->??-≤?
，解得23a <≤；若()f x 在
R 上单调递减，则有02021a a a
，a 无解，综上实数a 的取值范围是(2,3].
动向解读：本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高
考的重要考点.解决这类问题时，要特别注意：分段函数在R 上单调递增（减），
不仅要求函数在每一段上都要单调递增（减），还应满足函数在分段点左侧的函数
值不大于（不小于）分段点右侧的函数值.
预测5. （理科）设函数)1ln()(2
++=x b x x f ，其中0≠b .（1）若12b =-，
求)(x f 在[1,3]的最小值；（2）如果()f x 在定义域内既有极大值又有极小值，求
实数b 的取值范围；（3）是否存在最小的正整数N ，使得当N n ≥时，不等式311ln n n n n
+->恒成立. 解析：（1）由题意知，)(x f 的定义域为),1(+∞-，
12b =-时，由2/122212()2011
x x f x x x x +-=-==++，得2x =（3x =-舍去）， 当[1,2)x ∈时，/()0f x <，当(2,3]x ∈时，/()0f x >，
所以当[1,2)x ∈时，()f x 单调递减；当(2,3]x ∈时，()f x 单调递增，
所以min ()(2)412ln 3f x f ==-；
（2）由题意2/
22()2011
b x x b f x x x x ++=+==++在),1(+∞-有两个不等实根，即2220x x b ++=在),1(+∞-有两个不等实根，
设()g x =222x x b ++，则480(1)0
b g ?=->??->?，解之得102b <<； （3）对于函数())1ln(2+-=x x x f ，令函数())1ln()(233++-=-=x x x x f x x h ， 则()1)1(311232
32
/+-+=++-=x x x x x x x h ，()0),0[/>+∞∈∴x h x 时，当，
所以函数()x h 在),0[+∞上单调递增，又),0(,0)0(+∞∈∴=x h 时，恒有()0)0(=>h x h ， 即)1ln(32++ +>-恒成立. 显然，存在最小的正整数N=1，使得当N n ≥时，不等式23111ln n n n n +>-恒成立. 动向解读：函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型，这类问题以“参数处理”为主要特征，以“导数运用”为主要手段，以“函数的单调 性、极值、最值”为结合点，往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知 识，需要综合运用等价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法. （文科）已知函数()3ln a f x ax x x =+-.（1）当2a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若()f x 在[2,]e 上单调递增，求实数a 的取值范围. 解析：（1）当2a =时，2()23ln f x x x x =+ -，定义域为(0,)+∞. 2'2223232()2x x f x x x x --=--=，令'()0f x =，得2x =（12x =-舍去），当x 变化时，()f x ，'()f x 的变化情况如下表: 递 所以函数()f x 在2x =时取得极小值，同时也是函数在定义域上的最小值(2)53ln 2f =-. （2）由于'23()a f x a x x =--，所以由题意知，'23()0a f x a x x =--≥在[2,]e 上恒成立. 即22 30ax x a x --≥，所以230ax x a --≥在[2,]e 上恒成立，即231x a x ≥-. 令23()1x g x x =-，而2'2233()(1) x g x x --=-，当[2,]x e ∈时'()0g x <，所以()g x 在[2,]e 上递减，故()g x 在[2,]e 上得最大值为(2)2g =，因此要使231 x a x ≥ -恒 成立，应有2a ≥. 动向解读：函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型，这类问题以“参数处理”为主要特征，以“导数运用”为主要手段，以“函数的单调性、极值、最值”为结合点，往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识，需要综合运用等价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法. 命题热点三 立体几何与空间向量 （理科）高考对立体几何与空间向量的考查主要有三个方面：一是考查空间几何体的结 构特征、直观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系；三是考查利用空间向量解决立体几何问题：例如利用空间向量证明线面平行与垂直、利用空间向量求空间角等.在高考试卷中，一般有1~2个客观题和一个解答题.多为容易题和中档题. （文科）高考对立体几何的考查主要有两个方面：一是考查空间几何体的结构 特征、直观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系，线面平行、垂 直关系的证明等；在高考试卷中，一般有1~2个客观题和一个解答题.多为容易题 和中档题. 预测1.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于 A ．3 B ．2 C ．23 D ．6 解析：由正视图可知该三棱柱的底面边长等于2，高是1，所以其侧面积等于 3216S =??=，故选D. 动向解读：三视图是高考的热点内容，几乎每年必考，除了考查对简单几何体 的三视图的判断外，更多地是以三视图为载体考查几何体的体积、表面积的计算， 在由三视图中给出的数据得出原几何体的有关数据时，要充分利用三视图“主左一 样高、主俯一样长、俯左一样宽”的性质. 预测2.平面α与平面β相交，直线m α⊥，则下列命题中正确的是 A. β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直 B. β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直 C. β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直 D. β内必存在直线与m 平行，却不一定存在直线与m 垂直 解析：假设l α β=，由于m α⊥，所以必有m l ⊥，因此在β内必存在直 线l 与m 垂直；当αβ⊥时，可存在直线与m 平行，当α与β不垂直时，在β内一定不存在直线与m 平行.故选B. 动向解读：本题考查空间中线面、面面的平行与垂直关系的判断，其特点是 以符号语言给出，考查对相关定理的理解与运用，解决这类问题时，要熟练掌握 相关的定理，善于利用一些常见的几何体作为模型进行判断，还要善于举出反例 对命题进行否定. 预测3.（理科）正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，,E F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A DC B --． （1）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （2）求二面角E DF C --的余弦值； （3）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP DE ⊥？证明你的结论． 解：法一：（I ）如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF //AB ， 又AB ?平面DEF ，EF ?平面DEF ，∴AB ∥平面DEF ． （II ）∵AD ⊥CD ，BD ⊥CD ，∴∠ADB 是二面角A —CD —B 的平面角， ∴AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BCD ，取CD 的中点M ，这时EM ∥AD ，∴EM ⊥平面BCD ， 过M 作MN ⊥DF 于点N ，连结EN ，则EN ⊥DF ， ∴∠MNE 是二面角E —DF —C 的平面角. 在Rt △EMN 中，EM =1，MN =23，∴tan ∠MNE ，cos ∠MNE =7 21. （Ⅲ）在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE ， 证明如下：在线段BC 上取点P 。使BC BP 3 1=，过P 作PQ ⊥CD 与点Q ， ∴PQ ⊥平面ACD ∵3 3231==DC DQ 在等边△ADE 中，∠DAQ=30° ∴AQ ⊥DE ∴AP ⊥DE. 法二：（Ⅱ）以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，2）B （2，0，0）C （0，)0,3,1(),1,3,0(),,0,32F E . 平面CDF 的法向量为)2,0,0(=设平面EDF 的法向量为),,(z y x =， A B C D E F A B C D E F 则?????=?=?0 0 即)3,3,3(0303-=?????=+=+n z y y x 取， 721||||,cos =>= 21； x （Ⅲ）设3 32023),0,,(=∴=-=?y y y x P 则， 又)0,32,(),0,,2(y x y x --=-=， 323)32)(2(//=+∴-=--∴y x xy y x PC BP 把x y 3 1,34332=∴==代入上式得， 所以在线段BC 上存在点P 使AP ⊥DE. 动向解读：本题主要考查空间向量在解决立体几何问题中的应用，这是每年高 考的必考内容，也是高考试卷中相对较为固定的考查模式，即以空间几何体为载体，考查空间中直线与平面、平面与平面的平行关系与垂直关系的论证，考查空间中两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的求解等，有时还会以开放性的设问方式进行考查.这类问题通常可以有两种解法，一是利用有关的定理与性质直接进行论证和求解，二是通过建立空间直角坐标系，利用空间向量进行证明或计算.这类考题通常有2至3个小问题，在解答过程要注意各个小问题结果之间的连贯性，这样可以简化解题过程，提高解题速度. 预测3.（文科）如图，平行四边形ABCD 中，1=CD ， 60=∠BCD ，且CD BD ⊥，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，H G ,分别是BE DF ,的中点． E （1）求证：CDE BD 平面⊥； （2）求证：//GH 平面CDE ； （3）求三棱锥CEF D -的体积． （Ⅰ）证明：平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ， AD ED ⊥，∴ABCD ED 平面⊥，∴BD ED ⊥， 又 CD BD ⊥，∴CDE BD 平面⊥； （Ⅱ）证明：连结EA ，则G 是AE 的中点，∴EAB ?中，AB GH //，又 CD AB //， ∴//GH CD ，∴//GH 平面CDE ； （Ⅲ）解：设BCD Rt ?中BC 边上的高为h ，依题意：3121221??=??h ， ∴23=h ，即：点C 到平面DEF 的距离为2 3， ∴3323222131=????= =--DEF C CEF D V V . 动向解读：本题主要考查立体几何中的综合问题，这是每年高考的必考内容， 也是高考试卷中相对较为固定的考查模式，即以空间几何体为载体，考查空间中直线与平面、平面与平面的平行关系与垂直关系的论证，考查空间几何体表面积、体积的计算求解等，有时还会以开放性的设问方式进行考查.这类问题通常有2至3个小问题，在解答过程要注意各个小问题结果之间的连贯性，这样可以简化解题过程，提高解题速度. 命题热点四 解析几何 高考对解析几何的考查主要包括以下内容：直线与圆的方程、圆锥曲线等，在 高考试卷中一般有1~2个客观题和1个解答题，其中客观题主要考查直线斜率、直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义应用、标准方程的求解、离心率的计算等，解答题则主要考查直线与椭圆、抛物线等的位置关系问题，经常与平面向量、函数与不等式交汇等，考查一些存在性问题、证明问题、定点与定值、最值与范围问题等，解析几何试题的特点是思维量大、运算量大，所以应加强对解析几何重点题型的训练. 预测 1. 如果圆22(3)(1)1x y ++-=关于直线:l 410mx y +-=对称，则直 线l 的斜率等于————————————. 解析：依题意直线410mx y +-=经过点(3,1)-，所以3410m -+-=， 1m =，于是直线斜率为14 k =-. 动向解读：本题考查直线方程与斜率、圆的方程、对称等基本问题，这是解析 几何的基础内容，是高考的重点内容，一般以选择题、填空题的形式考查，有时也间接考查，与圆锥曲线的内容综合起来进行考查. 预测2. 已知双曲线22 1916 x y -=的左右焦点分别是12,F F ，P 点是双曲线右支上一点，且212||||PF F F =，则三角形12PF F 的面积等于——————————. 解析：由已知可得3a =，12||210F F c ==，而12||||26PF PF a -==，所 以12||16,||10PF PF ==，又12||10F F =，所以可得三角形12PF F 的面积等于 116482 S =?=. 动向解读：本题考查双曲线的定义、三角形面积的计算等问题，是一道综合性 的小题.尽管高考对双曲线的考查要求不高，但对于双曲线的定义、离心率、渐近线等知识点的考查却常考常新，经常会命制一些较为新颖的考查基础知识的小题目.解答这类问题要善于运用双曲线的定义，善于运用参数间的关系求解. 预测 3.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，,M N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM PN 、的斜率分别为12k k 、，若1214 k k =，则椭圆的离心率为 A.12 B. C. D 解析：设0000(,),(,),(,)P x y M x y N x y --，则001200 ,y y y y k k x x x x -+==-+，依题意有220001222000 y y y y y y k k x x x x x x -+-=?=-+-.又因为,M N 在椭圆上，所以 2222 0022221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减得222200220x x y y a b --+=，即222 02220y y b x x a -=--，所以2214b a =，即22214a c a -= ，解得e =故选C. 动向解读：本题考查椭圆的离心率问题，这是高考的热点内容，这类问题的特 点是：很少直接给出圆锥曲线的方程等数量关系，而是提供一些几何性质与几何位置关系，来求离心率的值或取值范围.解决这类问题时，首先应考虑运用圆锥曲线的定义获得必要的数量关系或参数间的等量关系，其次是根据题目提供的几何位置关系，确定参数,,a b c 满足的等式或不等式，然后根据,,a b c 的关系消去参数b ，从而可得到离心率的值或取值范围. 预测4.已知椭圆22)(y c x +-10)(22=+++y c x 的短轴长为b 2，那么直线03=++cy bx 截圆122=+y x 所得的弦长等于____________. 解析：由椭圆定义知210a =，所以5a =，于是222 25b c a +==，圆122=+y x 的圆心到直线03=++cy bx 的距离等于35d = =，故弦长 等于85=. 动向解读：本题考查椭圆定义、椭圆标准方程、直线与圆的位置关系等问题， 是一道多知识点的综合性小题，这正体现了高考数学命题所追求的“在知识交汇点处命题”的原则.值得注意的是：本题中椭圆方程没有直接给出，而是要借助椭圆 的定义进行分析求解，才能得到有关的参数值. 预测5. （理科） 已知椭圆22 21(08x y b b +=<<的左、右焦点分别为F 1和F 2 ，以F 1 、F 2为直径的圆经过点M （0，b ）.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且0MA MB ?=.求证：直线l 在y 轴上的截距为定 值. 解析：（1）由题设知b c = ，又a =，所以2b c ==，故椭圆方程为 22 184 x y +=； （2）因为(0,2)M ，所以直线l 与x 轴不垂直.设直线l 的方程为y kx m =+， 1122(,),(,)A x y B x y .由22 184x y y kx m ?+=???=+? 得222(21)4280k x kmx m +++-=， 所以2121222428,2121 km m x x x x k k -+=-=++， 又0MA MB ?=，所以1122(,2)(,2)0x y x y -?-=， 即1212122()40x x y y y y +-++=， 121212()()2()40x x kx m kx m kx m kx m +++-++++=， 整理得22 1212(1)(2)()(2)0k x x k m x x m ++-++-=， 即22 222284(1)(2)()(2)02121m km k k m m k k -++--+-=++， 因为2m ≠，所以2222(1)(2)4(21)(2)0k m k m k m ++-++-=， 展开整理得320m +=，即23m =-.直线l 在y 轴上的截距为定值23 -. 动向解读：本题考查解析几何中的定点、定值或取值范围问题，这是一类综合 性较强的问题，也是近几年高考对解析几何考查的一个重点和热点内容.这类问题以直线与圆锥曲线德位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数、方程、不等式、平面向量等诸多数学知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、化简计算能力有较高的要求. （文科）已知圆22:(4)()16()C x y m m N * -+-=∈，直线43160x y --=过椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点，且交圆C 所得的弦长为532，点 )1,3(A 在椭圆E 上. （1）求m 的值及椭圆E 的方程； （2）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AQ AC ?的取值范围. 解析：（1）因为直线01634=--y x 交圆C 所得的弦长为,532 所以圆心),4(m C 到直线43160x y --=的距离等于2216124( ),55-= 即5 125|16344|=-?-?m ，所以4,4m m ==-或（舍去）， 又因为直线01634=--y x 过椭圆E 的右焦点，所以右焦点坐标为).0,4(2F 则左焦点F 1的坐标为(4,0).-，因为椭圆E 过A 点，所以12||||2AF AF a +=， 所以22 252262,32,18,2a a a b =+====，故椭圆E 的方程为：22 1.182x y += （2）(1,3),(,)AC Q x y =设，则(3,1)AQ x y =--，设3x y n +=， 则由22 11823x y x y n ?+=???+=? ，消去x 得22186180y ny n -+-=, 由于直线3x y n +=与椭圆E 有公共点，所以22 (6)418(18)0n n ?=-??-≥， 所以66n -≤≤，故36AC AQ x y ?=+-的取值范围为[12,0]-. 动向解读：本题考查解析几何中的定点、定值或取值范围问题，这是一类综合 性较强的问题，也是近几年高考对解析几何考查的一个重点和热点内容.这类问题以直线与圆锥曲线德位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数、方程、不等式、平面向量等诸多数学知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、化简计算能力有较高的要求. 命题热点五 三角函数与平面向量 高考对给部分考查的主要内容为：任意角的概念和弧度制、任意角的三角函数 的概念、诱导公式、同角三角函数关系、三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、平面向量的概念和线性运算、平面向量的数量积、平面向量的应用。高考对该部分的考查重基础，虽然该部分内容在试卷中试题数量多、占有的分值较多，但是试题以考查基础为主，试题的难度一 般是中等偏下。 在高考中重点考查：三角函数的图像和性质、正弦定理、余弦定理、平面向量 的数量积、平面向量的几何意义等。 预测1.将函数y=sin 2x 的图像向左平移 4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是 A ．y=cos 2x B ．y=22cos x C ．y=1+sin 24x π? ?+ ??? D ．y=22sin x 解析：:将函数sin 2y x =的图象向左平移4π 个单位,得到函数sin 2()4y x π =+即 sin(2)cos 22y x x π =+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos 22cos y x x =+=,故选B ． 预测2.已知向量(2cos ,1),(3sin cos ,)m x n x x a ωωω==-，其中(,0)x R ω∈>，函数()f x m n =?的最小正周期为π，最大值为3。 （1）求ω和常数a 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间。 解析：（1）2()23sin cos 2cos f x m n x x x a ωωω=?=-+， 2cos 21x x a ωω=--+2sin(2)16x a πω=- +-， 由22T ππω ==，得1ω=。 又当sin(2)16x πω- =时max 213y a =+-=，得2a =. （2）由（1）()2sin(2)16f x x π=-+当 222()262k x k k Z πππππ- ≤-≤+∈， 即63k x k π π ππ-≤≤+，故()f x 的单调增区间为[,]63k k ππ ππ-+，()k Z ∈。 动向解读：本题主要结合三角函数与平面向量考查了三角函数的图像与性质。 三角函数解答题的命题方向：（1）考查三角函数的图像与性质为主，一般需要求出函数的解析式，通过三角恒等变换的方法变换函数的解析式。（2）考查三角形中的三角恒等变换，其核心为根据正余弦定理实现边角之间的互化。（3）考查利 用正余弦定理解三角形（包括实际应用题），这在近几年课标区高考试题中经常考到。 命题热点六 数列与不等式 高考对该部分主要从以下几个方面考查：数列的概念、等差数列和等比数列、一元二次不等式、一元二次不等式组和简单的线性规划问题、基本不等式的应用等。高考在解答题中一般有一道数列题，各地高考的试题不尽相同，但总的趋势是难度在下降；试卷中没有不等式解答题（选做题除外），通常会在小题中设置1到2道，而对不等式的深层考查则在数列解答题、解析几何解答题、函数导数解答题中考查。 预测1. 设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥??-≥-??-≤? ．则目标函数z=2x+3y 的最小值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．23 解析：画出不等式3123x y x y x y +≥??-≥-??-≤? 表示的可行域，让目标函数表示直线332z x y +-=在可行域上平移，解方程组? ??=-=+323y x y x 得)1,2(，知在点（2，1）处目标函数取到最小值，所以734min =+=z ，选B 。 预测 2. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足353,9b b ==， （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若对任意的*n N ∈，1()2 n n S k b +?≥恒成立，求实数k 的取值范围． 解析：（1）由121n n a S +=+----得121n n a S -=+----， -得112()n n n n a a S S +--=-， 113,3n n n n a a a -+∴=∴=； 5326,3,3(3)336n b b d d b n n -==∴=∴=+-?=-； - （2）1(1)13311132 n n n n a q S q ---===--， 311()3622n k n -∴+≥-对*n N ∈恒成立， 即363 n n k -∴≥对*n N ∈恒成立， 令363n n n c -=，11363927333 n n n n n n n n c c -----+-=-=， 当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<，max 32()9 n c c ∴==，29 k ≥． 动向解读：数列知识在高中是主干知识之一，数列题目蕴含着极为丰富的数学思想方法，高考对数列的考查主要以等差数列和等比数列为主，结合函数、不等式、解析几何等进行考查；不等式主要考查应用，即应用不等式研究函数的性质、研究直线与曲线的关系等，利用基本不等式求待定函数的最值，利用不等式表示的平面区域解决线性规划问题。 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性； 高考数学常用公式及结论200条（一） 湖北省黄石二中 杨志明 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11()f x N M N > --. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f . 高中数学重要结论集锦 1.函数()y f x =的图象的对称性: ①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-= ②函数()y f x =的图象关于直2 a b x +=对称()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-=. ③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ?=-- 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ? =-- 2.两个函数图象的对称性: ①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m += 对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- 3. 分数指数幂 m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. 1m n m n a a - = （0,,a m n N *>∈，且1n >） 4. 对数的换底公式 log log log m a m N N a =.推论 log log m n a a n b b m =. 对数恒等式log a N a N =（0,1a a >≠） 5. 若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，* N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。如下图所示： k k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 其前n 项和公式 1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+- 5. 若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为' 12-n S ， 则'1212--=n n n n S S b a 。等比数列{}n a 的通项公式1 *11()n n n a a a q q n N q -==?∈； 等比数列{}n a 的变通项公式m n m n q a a -= 其前n 项的和公式11 (1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1n n a a q q q s na q -?≠? -=??=? 6． 同角三角函数的基本关系式 22 sin cos 1θθ+=，tan θ=θ θ cos sin ，tan 1cot θθ?= . 2 21 1tan cos αα += ?0 ③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 . 高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0OP OQ ?=，求直线PQ 的方程； （3）设AP AQ λ=（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证 明FM FQ λ=-. (14分) 2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。 （1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。 （2） 证明)(x f 是偶函数。 （3） 试问方程01 log )(4=+x x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2 2 =-+y x 。 （1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g （3） 过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S 4.以椭圆2 22y a x +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 6 已知过函数f （x ）=12 3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。 （1） 求a 、b 的值； （2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132 ++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有 最大值1？ 7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→ → ?PN PM 的等比中项。 （1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。 8．已知数列{a n }满足a a a a b a a a a a a a n n n n n n +-=+=>=+设,2),0(322 11 （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与 8 7 的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围； （Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程． 10. )(x f 对任意R x ∈都有.2 1)1()(= -+x f x f 集合练习题 一、选择题（每小题5分，计5×12=60分） 1．下列集合中，结果是空集的为（） （A）（B） （C）（D） 2．设集合，，则（） （A）（B） （C）（D） 3．下列表示①②③④中,正确的个数为( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4．满足的集合的个数为（） （A）6 （B） 7 （C） 8 （D）9 5．若集合、、，满足，，则与之间的关系为（） （A）（B）（C）（D） 6．下列集合中，表示方程组的解集的是（） （A）（B）（C）（D） 7．设，，若，则实数的取值范围是（） （A）（B）（C）（D） 8．已知全集合，，，那么 是（） （A）（B）（C）（D） 9．已知集合，则等于（） （A）（B） （C）（D） 10．已知集合，，那么（） （A）（B）（C）（D） 11．如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（） （A）（B） （C）（D） 12．设全集，若，， ，则下列结论正确的是（） （A）且（B）且 （C）且（D）且 二、填空题（每小题4分，计4×4=16分） 13．已知集合，，则集合 14．用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为 15．设全集，，，则的值为 16．若集合只有一个元素，则实数的值为三、解答题（共计74分） 17．（本小题满分12分）若，求实数的值。 18．（本小题满分12分）设全集合，， ，求，，， 19．（本小题满分12分）设全集，集合与集合，且，求， 20．（本小题满分12分）已知集合 ， ，且 ，求实数 的取值范围。 21．（本小题满分12分）已知集合 ， ， ，求实数的取值范围 22．（本小题满分14分）已知集合 ， ，若 ，求实数的取值范围。 已知集合}31{≤≤-=x x A ，},{2A x y x y B ∈==，},2{A x a x y y C ∈+==，若满足B C ?， 求实数a 的取值范围． 已知集合}71{<<=x x A ，集合}521{+<<+=a x a x B ，若满足 }73{<<=x x B A ，求 实数a 的值． 历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分） 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3 a d π ==，求集合S ； （2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素； （3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的 值． 二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数. 设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值； （2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围． 集合 一．【课标要求】 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。 预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体 三．【要点精讲】 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或 者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。 2．集合的包含关系： （1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集： （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 4．交集与并集： 高考数学常用结论集锦 一. 函数 1.函数 ()y f x =的图象的对称性: ①. 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-= ②. 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ?=-- 2.两个函数图象的对称性: ①. 函数 ()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②. 函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③. 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④. 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- 3. 对数的换底公式 log log log m a m N N a =. 推论 log log m n a a n b b m =. 对数恒等式log a N a N =（0,1a a >≠） 4. 导数： ⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(000 00 ； ⑵常见函数的导数公式: ①' C 0=；②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=；④. x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =')(；⑦'1(log )log a a x e x =；⑧. x x 1)(ln '= ； ⑶导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2 v v u v u v u v u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='± 二.数列 1. 若数列 {}n a 是等差数列，n S 是其前 n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。如图所示： k k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 其前n 项和公式 1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+21 1()22d n a d n =+- 5. 若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1 212--=n n n n S S b a 。 等比数列 {}n a 的通项公式1*11()n n n a a a q q n N q -== ?∈；等比数列{}n a 的变通项公式m n m n q a a -= 其前n 项的和公式 11 (1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1n n a a q q q s na q -?≠? -=??=? 三.三角函数 1． 同角三角函数的基本关系式 2 2sin cos 1θθ+=，tan θ=θ θ cos sin ，tan 1cot θθ ?=2 211tan cos αα += 2. 正弦、余弦的诱导公式： 2 12(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-?-?+=??-?为偶数为奇数 212(1)s ,s()2(1)sin ,n n co n n co n απαα+?-?+=??-? 为偶数为奇数 即:奇变偶不变,符号看象限,如cos()sin ,sin()cos 22 sin()sin ,cos()cos π π ααααπααπαα +=-+ =-=-=- 3. 和角与差角公式：sin()sin cos cos sin α βαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= . 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 2019-2020 年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（五） 46.已知函数f ( x)x2ax 4 （ aＲ）的两个零点为x1, x2 , 设 x1 x2. （Ⅰ）当 a0 时，证明：2x1 0． （Ⅱ）若函数g (x)x2| f ( x) |在区间 (, 2)和(2,) 上均单调递增，求 a 的取值范围. 47.设函数 f ( x)2 R ）．x ax ln x （a （Ⅰ）若 a 1时,求函数 f (x)的单调区间； （Ⅱ）设函数 f ( x) 在[1 , ] 有两个零点，求实数 a 的取值范围． e e 48.已知函数 f ( x) ln( ax b) x ，g (x)x2ax ln x ． （Ⅰ）若 b 1,F ( x) f ( x) g (x) ，问：是否存在这样的负实数 a ，使得 F ( x) 在x1处存在切线且该切线与直线y 1 x 1平行，若存在，求a的值；若不存在，请说明理 23 由． （Ⅱ）已知 a 0 ，若在定义域内恒有 f (x) ln( ax b) x 0 ，求 a(a b) 的最大值． 49.设函数 f ( x) x ln x b(x 1 )2(b R)，曲线y f x在1,0处的切线与直线 2 y3x 平行．证明： （Ⅰ）函数 f ( x) 在 [1,) 上单调递增； （Ⅱ）当 0 x 1 时， f x1. 50.已知 f（ x） =a（ x-ln x）+2 x 1 ， a∈ R. x 2（I ）讨论 f（ x）的单调性； （II ）当 a=1 时，证明f（ x）＞ f’（ x） + 3 对于任意的x∈ [1,2] 恒成立。 2 2 51.已知函数f（x） =x +ax﹣ lnx， a∈ R． （1）若函数f（x）在 [1， 2]上是减函数，求实数 a 的取值范围； （2）令 g（ x） =f（ x）﹣ x2，是否存在实数a，当 x∈（ 0， e] （ e 是自然常数）时，函数g （x）的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由； （3）当 x∈（ 0， e]时，证明： e2x2－5 x＞ (x+1)ln x．2 高中数学新课标典型例题：子集、全集、补集·典型例题 例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}? (2){1，2，3}＝{3，2，1} (3){0}??≠ (4)0∈{0} (5){0}(6){0} ??∈＝ 分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的． 说明：含元素0的集合非空． 例2 列举集合{1，2，3}的所有子集． 分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个． 解含有个元素的子集有：； 0? 含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}； 含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个． 说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ? 例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ?? ________． 分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}． 答 共3个． 说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束． 例设为全集，集合、，且，则≠ 4 U M N U N M ?? [ ] 分析 作出4图形． 答 选C ． 说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便． 点击思维 例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是 [ ] A A B B A B C A B D A B ．＝．．．≠≠ ??? 分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上 x ＝5－4a ＋a 2＝(2－a)2＋1≥1， y ＝4b 2＋4b ＋2＝(2b ＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B ． 答 选A ． 说明：要注意集合中谁是元素． M 与P 的关系是 [ ] A ．M ＝U P B ．M ＝P C M P D M P ．．≠?? 分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除 )的方法；二是利用补集的性质：M ＝U N ＝U (U P)＝P ；三是利用画图的方法． 1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 2U U A B A A B B A B C B C A =?=???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 3. 若Ａ={123,,n a a a a },则Ａ的子集有2n 个,真子集有(2n －1)个,非空真子集有(2n －2)个 4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式 2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 三次函数的解析式的三种形式①一般式32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ ②零点式123()()()()(0)f x a x x x x x x a =---≠ 5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性: ①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-= ②函数()y f x =的图象关于直2 a b x +=对称()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-=. ③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ?=-- 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ? =-- 7.两个函数图象的对称性: ①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m += 对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 8.分数指数幂 m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. 1 m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =?=>≠>. log log log a a a M N MN +=(0.1,0,0)a a M N >≠>> log log log a a a M M N N -=(0.1,0,0)a a M N >≠>> 1. 对于函数()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 2 2sin cos t t t -+ t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-，则 ()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02(2)323(2)0 a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-+ ∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -+ ≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得22 4a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3)(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 2015年10月18日姚杰的高中数学组卷 一．解答题（共10小题） 1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x 轴交于点E、A，与y轴交于点E、B． （1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值； （2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．2．（2010?江苏模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S． （Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程． 4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 5．（2009?福建）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标． （2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共 点个数； （3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1． 6．（2009?东城区一模）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A （﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C； （Ⅱ）当时，求直线l的方程； （Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理 由． 7．（2009?天河区校级模拟）已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C 外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（﹣3，0）． （1）若点D（0，3），求∠APB的正切值； （2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值； （3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由． 8．（2007?海南）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P （0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B． 慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二集合与元素的关系 1．属于 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A. 2．不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A. 知识点三集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 名称非负整数集(自然数集)整数集实数集 符号N N*或N＋Z Q R 知识点四集合的表示方法 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系 1．子集与真子集 定义符号语言图形语言(Venn图) 子集如果集合A中的________元素 都是集合B中的元素，我们就 说这两个集合有包含关系，称 集合A为集合B的子集 ________(或 ________) 真子集如果集合A?B，但存在元素 ________，且________，我们 称集合A是集合B的真子集 ________(或 ________) 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 定义符号语言图形图言(Venn图) 集合相等如果集合A是集合B的子集 (A?B)，且 ________________，此时， 集合A与集合B中的元素是 一样的，因此，集合A与集 合B相等 A＝B 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________.[数学]数学高考压轴题大全
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