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特征向量的几何意义

长时间以来一直不了解矩阵的特征值和特征向量到底有何意义（估计很多兄弟有同样感受）。知道它的数学公式，但却找不出它的几何含义，教科书里没有真正地把这一概念从各种角度实例化地进行讲解，只是一天到晚地列公式玩理论——有个屁用啊。

根据特征向量数学公式定义，矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能是零向量)，所以一个特定的变换特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax=cx, cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)。

这里给出一个特征向量的简单例子，比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]（分号表示换行），

显然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]'（上标'表示取转置），这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是[a 0]'（a不为0），还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0 b]'（b不为0）也是其特征向量。

综上，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值似乎不是那么重要；但是，当我们引用了Spectral theorem（谱定律）的时候，情况就不一样了。

Spectral theorem的核心内容如下：一个线性变换（用矩阵乘法表示）可表示为它的所有的特征向量的一个线性组合，其中的线性系数就是每一个向量对应的特征值，写成公式就是：

从这里我们可以看出，一个变换（矩阵）可由它的所有特征向量完全表示，而每一个向量所对应的特征值，就代表了矩阵在这一向量上的贡献率——说的通俗一点就是能量（power），至此，特征值翻身做主人，彻底掌握了对特征向量的主动：你所能够代表这个矩阵的能量高低掌握

在我手中，你还吊什么吊？

我们知道，一个变换可由一个矩阵乘法表示，那么一个空间坐标系也可视作一个矩阵，而这个坐标系就可由这个矩阵的所有特征向量表示，用图来表示的话，可以想象就是一个空间张开的各个坐标角度，这一组向量可以完全表示一个矩阵表示的空间的“特征”，而他们的特征值就表示了各个角度上的能量（可以想象成从各个角度上伸出的长短，越长的轴就越可以代表这个空间，它的“特征”就越强，或者说显性，而短轴自然就成了隐性特征），因此，通过特征向量/值可以完全描述某一几何空间这一特点，使得特征向量与特征值在几何（特别是空间几何）及其应用中得以发挥。

关于特征向量（特别是特征值）的应用实在是太多太多，近的比如俺曾经提到过的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法；近的比如Google公司的成名作PageRank，也是通过计算一个用矩阵表示的图（这个图代表了整个Web 各个网页“节点”之间的关联）的特征向量来对每一个节点打“特征值”分；再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面，都有应用，有兴趣的兄弟可以参考IBM的Spiros在VLDB‘ 05，SIGMOD ’06上的几篇文章。

特征向量不仅在数学上，在物理，材料，力学等方面（应力、应变张量）

都能一展拳脚，有老美曾在一本线代书里这样说过“有振动的地方就有特征值和特征向量”，确实令人肃然起敬+毛骨悚然......

转特征值物理含义：

1. 特征的数学意义]

我们先考察一种线性变化，例如x,y坐标系的椭圆方程可以写为

x^2/a^2+y^2/b^2=1，那么坐标系关于原点做旋转以后，椭圆方程就要发生变换。我们可以把原坐标系的(x,y)乘以一个矩阵，得到一个新的(x',y')的表示形式，写为算子的形式就是(x,y)*M=(x',y')。这里的矩阵M代表一种线性变换：拉伸，平移，旋转。那么，有没有什么样的线性变换b(b是一个向量)，使得变换后的结果，看起来和让(x,y)*b像是一个数b乘以了一个数字m*b? 换句话说，有没有这样的矢量b，使得矩阵A*b这样的线性变换相当于A在矢量b上面的投影m*b? 如果有，那么b就是A的一个特征向量，m就是对应的一个特征值。一个矩阵的特征向量可以有很多个。特征值可以用特征方程求出，特征向量可以有特征值对应的方程组通解求出，反过来也一样。例如，设A为3阶实对称矩阵，a1=(a,-a,1)T是Ax=0的解，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，a≠2,则常数a=? 因为a1=(a,-a,1)T是Ax=0的解,说明a1=(a,-a,1)T 是A的属于0的特征向量，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，说明

a2=(a,1,-a)T是A的属于-1的特征向量。实对称矩阵属于不同特征值

的特征向量式正交的，所以a^2-a-a=0,a≠2,所以a=0。

还是太抽象了，具体的说，求特征向量的关系，就是把矩阵A所代表的空间，进行正交分解，使得A的向量集合可以表示为每个向量a在各个特征向量上面的投影长度。例如A是m*n的矩阵,n>m，那么特征向量就是m个(因为秩最大是m)，n个行向量在每个特征向量E上面有投影，其特征值v就是权重。那么每个行向量现在就可以写为

Vn=(E1*v1n,E2*v2n...Em*vmn)，矩阵变成了方阵。如果矩阵的秩更小，矩阵的存储还可以压缩。再: 由于这些投影的大小代表了A在特征空间各个分量的投影，那么我们可以使用最小2乘法，求出投影能量最大的那些分量，而把剩下的分量去掉，这样最大限度地保存了矩阵代表的信息，同时可以大大降低矩阵需要存储的维度，简称PCA方法。

举个例子，对于x,y平面上的一个点(x,y)，我对它作线性变换，(x,y)*[1,0;0,-1]，分号代表矩阵的换行，那么得到的结果就是(x,-y)，这个线性变换相当于关于横轴x做镜像。我们可以求出矩阵[1,0;0,-1]的特征向量有两个，[1,0]和[0,1]，也就是x轴和y轴。什么意思呢? 在x轴上的投影，经过这个线性变换，没有改变。在y轴上的投影，乘以了幅度系数-1，并没有发生旋转。两个特征向量说明了这个线性变换矩阵对于x轴和y轴这两个正交基是线性不变的。对于其他的线性变换矩阵，我们也可以找到类似的，N个对称轴，变换后的结果，关于这N个对称轴线性不变。这N个对称轴就是线性变换A的N个特征向量。这就是特征向量的物理含义所在。所以，矩阵A等价于线性变换A。

对于实际应用的矩阵算法中，经常需要求矩阵的逆：当矩阵不是方阵

的时候，无解，这是需要用到奇异值分解的办法，也就是A=PSQ，P和Q 是互逆的矩阵，而S是一个方阵，然后就可以求出伪逆的值。同时，A=PSQ 可以用来降低A的存储维度，只要P是一个是瘦长形矩阵，Q是宽扁型矩阵。对于A非常大的情况可以降低存储量好几个数量级。

[2. 物理意义]

特征向量有什么具体的物理意义? 例如一个驻波通过一条绳子，绳子上面的每个点组成一个无穷维的向量，这个向量的特征向量就是特征函数sin(t)，因为是时变的，就成了特征函数。每个点特征值就是每个点在特定时刻的sin(x+t)取值。再如，从太空中某个角度看地球自转，虽然每个景物的坐标在不断的变换，但是这种变换关于地球的自传轴有对称性，也就是关于此轴的平移和拉伸的坐标变换不敏感。所以地球自转轴，是地球自转这种空间变换的一个特征向量。Google的PageRank，就是对www链接关系的修正邻接矩阵的，主要特征向量的投影分量，给出了页面平分。有什么特性呢? AB和BA有相同的特征向量----设AB 的特征向量为x，对应的特征值为b，则有(AB)x = bx，将上式两边左乘矩阵B，得B(AB)x = (BA)(Bx) = b(Bx)，故b为BA的特征值，对应的特征向量为Bx。反之亦然。

什么是特征矩阵和特征值？我们用整体论来考虑，假设P(A)=(1,2,3)是A的3个特征向量。那么P(A^2)就是(1^2,2^2,3^2)，P可以看作是一种算子。当然，算子的特性是需要用部分/细节详细证明的。一旦证明，就可以作为整体的特征。特征值有什么特性？说明矩阵可以分解成

N维特征向量的投影上面，这N个特征值就是各个投影方向上的长度。由于n*n矩阵A可以投影在一个正交向量空间里面，那么任何N维特征向量组成的矩阵都可以是线性投影变换矩阵，那么I就是一个同用的线性变换投影矩阵。所以对于特征值m，一定有是够成了一个没有线性无关向量的矩阵Aa=ma两边同乘以I得到 Aa=maI，所以(A-mI)a=0有非0解，那么|A-mI|=0(可以用反正法，如果这个行列式不是0，那么N个向量线性无关，在N维空间中只能相交于原点，不可能有非0解)。所以可以推出一些很有用的性质，例如A=[1/2,1,1;0,1/3,1;0,0,1/5]，那么只要满足|A- mI|=0的值就是特征值，显然特征值数组立即可以得到(1/2,1/3,1/5)。一个n*n的矩阵A，秩=1，那么最大线性无关组=1组，特征向量=1个，任意n维非零向量都是A的特征向量。特征向量本身不是定死的，这就好比坐标系可以旋转一样。一旦特征向量的各个方向确定了，那么特征值向量也就确定了。求特征值的过程就是用特征方程：|A-mE|=0,P(1/A)=1/P(A)，可以证明。有什么物理含义呢？一个N维线性无关的向量，去掉其中的一维，那么就有至少两个向量是线性相关的了，所以行列式=0。特征矩阵有什么作用？把矩阵变化为正定矩阵，也就是A=P^-1BP，这样的变换，A是对角阵。

线性代数的研究，是把向量和矩阵作为一个整体，从部分的性质出发，推到出整体的性质，再由整体的性质得到各种应用和物理上的概念。当矩阵A是一个符号的时候，它的性质会和实数a有很多相似的地方。科学的定理看起来总是递归着的。再举一个例子，高数的基本概念有微分，积分，倒数，那么我立刻可以想到中值定理就应该有3个，形式上

分别是微分，积分和倒数。

[3. 应用的场景]

线性变换的缺点：线性变换PCA可以用来处理图像。如2维的人像识别：

1. 我们把图像A看成矩阵，进一步看成线性变换矩阵，把这个训练图像的特征矩阵求出来(假设取了n个能量最大的特征向量)。用A乘以这个n个特征向量，得到一个n维矢量a，也就是A在特征空间的投影。

2. 今后在识别的时候同一类的图像(例如，来自同一个人的面部照片)，认为是A的线性相关图像，它乘以这个特征向量，得到n个数字组成的一个矢量b，也就是B在特征空间的投影。那么a和b之间的距离就是我们判断B是不是A的准则。

不过，PCA有天生的缺点，就是线性矢量的相关性考察有"平移无关性"优点的同时，也完全忽略了，2维图形中，矢量分量之间的顺序是有意义的，顺序不同可以代表完全不同的信息。还有，就是图像B必须是A 的某种伸缩(由特征向量空间决定的)，才能被很好的投影到A的特征向量空间里面，如果B包含了A中的某种旋转因素，那么PCA可以彻底失效。所以实际应用中PCA的方法做图像识别，识别率并不高，它要求图像有某种严格的方向对齐和归一化。所以PCA一般不用来做直接的特征提取而是用来做特征矩阵的降维。当然，降维的结果用于分类并不理想，我们可以进一步做最小二承法拉开类间距离的Fisher变换。但是Fisher变换会引入新的弱点，那就是对于训练类别的数据变得更敏感

了，分类效果上升的代价是通用性下降，当类型数量急剧膨胀的时候，分类效果的函数仍然是直线下降的----但是还是比直接PCA的分类效果好得多。PCA"主观"的认为，一个类型的第N+1个矩阵可以由之前已知的[1,N]个矩阵通过拉成向量来线性表出。显然这只是一个美好的主观愿望，因为即使新的输入矩阵是原有矩阵作了一些行列的初等变换如交换等，这种拉直以后的线性表出也可能根本就不存在(2维的PCA同样无法克服这个客观不存在的设定)，于是，当应用到实际的时候，只能试图做优化没，用最小二乘距离来判定，"认为"那个矩阵就是属于某个分类。由于PCA训练的特征矩阵是一个类别一个矩阵，这些矩阵构成的子空间之间又无法保证正交，于是投影的结果也不具有根本意义上的分类特性。这个算法是个实用的算法，但是理论上根本就是无解。

K-L变换是PCA的一个应用形式。假设图像类型C有N个图像，那么把每个图像拉直成一个向量，N个图像的向量组成一个矩阵，求矩阵的特征向量(列向量)。那么用原来的N个图像乘以这些列向量求出平均值，就是我们的特征图像。可以看到特征图像和原图像有相似的地方，但是去掉了和拉伸，平移相关的一些形变信息。在得到了鲁棒性的同时，牺牲了很多精确性。所以它比较适合特定范围图像的Verification工作，也就是判断图像P是不是属于类型C。对比一下神经网络：说白了把函数y=f(x)的映射，变成了[y]=[f(x)]的向量映射。输入输出的点(entry)是固定的。而真实的神经系统，并没有明显的内部处理和外部接口的区分。所以所有的神经网络理论，名字上是神经网络，实质上，差得很远。

[4. 关于谱]

什么是"谱"(Spectrum)? 我们知道音乐是一个动态的过程，但是乐谱却是在纸上的，静态的存在。对于数学分析工具，研究时变函数的工具，可以研究傅立叶变换对应的频率谱；对于概率问题，虽然每次投色子的结果不一样，但是可以求出概率分布的功率谱密度。数学作为一种形而上学工具，研究的重点，就是这个变化世界当中那些不变的规律。

[5. 能用于分类吗]

所谓的特征矩阵，就是原矩阵如何与一个x维的数量矩阵相似。Lamda(i)说明了相似投影与一个x维线性空间的第i维坐标轴，Lamda(i)是放缩比例。Lamda(i)之间的顺序是不重要的，因为坐标轴之间的交换是初等线性变换，不影响代数拓扑的性质。特征向量xi表明A如何把线性组合投影到一个坐标轴上。所谓的特征向量，就是一组正交基集合。在图像处理的问题域中，把图像看成矩阵本身，那么图像的分类问题就是同类矩阵被认为有相同或者代数近似的"不变量"。显然，"同类"是一个主观假设划定的类，而不是通过计算来"确定"的类。这导致了一个问题，所谓的不同类型，其意义是对于人的主观理解能力而言，是先验的，不是通过计算得到的后验，它本身不代表任何数理逻辑上的可判定信息。如果以矩阵的特征向量或者特征值矩阵作为分类的信息，没有任何证据能够避免不同的"类"的矩阵能够有更加近似的特征值。所谓的矩阵分解方法，类内最小距离方法(Fisher)，都有一个令人不愉快地前提，那就是本身就要保证类内的矩阵，其欧式距离足够小----这个欧式距离

的大小往往又和人的几何拓扑直观不符)。由于矩阵本身不具有预定义的拓扑学信息，那么同类图像间欧式距离增加的时候，无法做到良好的分类。同时，图像的类要分的越多，那么这种子空间之间的交叠现象就越严重，及时再去从每个类别的子空间中去寻找线性不变的子空间或者因子，也无法消除这种交叠性----Fisher算法试图绕过去，但是却付出了严重依赖初始数据的代价和失去通用性的代价。PCA算法试图在统计的意义上得到最好的分类，但是当类型数目增加的时候，以前的参数就作废了，根本无法得到有用的计算流程。由于子空间之间的重叠无法解决，于是分类性便持续下降。原因是什么? 就是因为分类本身不是根据线性变换本身的代数特性去得到的，而是先验的非线性"智慧"的人的判断。于是，由于二元运算为离散集合作分类，必须在线性空间的正交划分中进行，导致了逻辑上的不可调和的悖论。非线性的判定是连续的，几何拓扑的，无穷维德，不可分离变量的，根本就不可建模，于是也就是一个不可判定的问题。

那么不用高等代数的思想，实用信号处理的办法提取局部的特征做比较可以达到分类么? 这个仍然没有回答"先验"分类的问题，仍然是在一个糟糕的前提下试图寻找勉强能用的途径。如何知道一个矩阵的局部其实对应于另一个矩阵上不同位置的局部呢? 这仍然只是一个主观的，直觉主义的判定! 计算机不过是纸和笔的变形，它不能理解意义---即使1+1=2这样的运算结果，它本身也不能判定对错。如果它咨询别的计算机来判断对错呢----别的计算机又如何能自我证明对错? 根本不能，必须等到一个主体的"人"来观察这个结果，这个结果才会变得有意义。于

是就像薛定谔的那只猫一样，她正懒洋洋的晒着太阳冲我微笑呢。形而上学的理论在精妙，也没有超出经验主义的牢笼。

于是，我便不再需要算法，不再需要哲学。

第二章随机变量的分布和数字特征习题课

第二章随机向量的分布和数字特征的习题课一：选择题： 1. 若随机变量 21,X X 的分布函数为)(1x F 与)(2x F 则a ,b 取值为（）时，可使F(x)=a )(1x F -b )(2x F 为某随机变量的分布函数。 A.3/5,-2/5 B.2/3,2/3 C.-1/2,3/2 D.1/2,-3/2 分析：由分布函数在±∞的极限性质，不难知a,b 应满足a-b=1,只有选项A 正确。 [答案选：A] 2. 设 X ～?(x ),且? (-x )= (x ),其分布函数为F (x ),则对任意实数a , F (-a )=( )。 A.1-?a x 0)(?d x B . 2 1 -?a x 0)(? d x C .F(a) D .2F(a)-1 分析：①是偶函数，可结合标准正态分布来考虑；②?a x 0)(? d x ＝F(a)－F(0)；③F(0)＝0.5；④F(a)＋F(-a)=1 [答案选：B] 3.设X ～N (μ,2σ),则随着σ的增大，P (|X -μ|<σ)（）。 A.单调增大 B.单调减少 C.保持不变 D.增减不定 [答案选：C] 4.设随机变量X 与Y 均服从正态分布，X ～N(μ,16)，Y ～N(μ,25), 记P{X ≤μ＋4}=1p ,P{Y ≤μ+5}=2p ,则（）正确。 A.对任意实数μ，均有1p =2p B. 对任意实数μ，均有1p <2p C.只对个别的μ值才有 1p =2p D. 对任意实数μ，均有1p >2p [答案选： A]

5. 设X 是随机变量且)0,()(,)(2>==σ μσμX D X E ，则对任意常数c ，（）成立。 222)(.c EX c X E A -=- 22)()(.μ-=-X E c X E B 22)()(.μ-<-X E c X E C 22)()(.μ-≥-X E c X E D 分析： [答案选：D ] 由2 )(,)(σμ==X D X E ，得2222 )()(μσ+=+=EX X D EX )2()(222c cX X E c X E +-=-∴ 2 2 2 2 2 2 2) (22c c c c cEX EX -+=+-+=+-=μσμμσ )2()(222μμμ+-=-X X E X E 2 22222222σ μμμσμμ=+-+=+-=EX EX 显然2 2 )()(μ-≥-X E c X E 二：题空题 1. 设在每次伯努里试验中，事件A 发生的概率均为p,则在n 次伯努里试验中，事件A 至少发生一次的概率为（），至多发生一次的概率为（）。 [答案填：(1-(1-p)n ); ((1-p)n +np(1-p)1-n )] 由伯努里概型的概率计算公式，，据题意可知，事件A 至少发生一次的概率为k n k n k k n p p C -=-∑)1(1或n n p p C )1(100--，事件 A 至多发生一次的概率为 k n k k K N p p C -=-∑)1(1 =n n p p C )1(00-+111)1(--n n p p C

向量在几何中的应用

唐山师范学院本科毕业论文题目向量在解析几何中的应用学生张红阳指导教师孟令江副教授年级10数本2班专业数学与应用数学系别数学与信息科学系唐山师范学院数学与信息科学系 2014年5月

郑重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师孟令江的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为,本人愿意承担由此产生的各种后果,直至法律责任,并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。毕业论文（设计）作者（签名）：张红阳 2014 年 4 月 31 日

目录标题 (1) 中文摘要 (1) 1引言 (1) 2 预备知识 (1) 2.1 向量的概念 (1) 2.2 向量的运算 (1) 2.2.1向量的加法 (1) 2.2.2向量的减法 (1) 2.2.3数量乘向量 (1) 2.2.4两向量的数量积 (1) 2.2.5两向量的向量积 (1) 2.2.6三向量的混合积 (2) 2.2.7法向量的有关概念 (2) 2.2.8线性相关定义 (2) 3 向量在立体几何中的应用 (2) 3.1向量在立体几何中的证明 (2) 3.1.1向量在立体几何中的简单证明 (2) 3.1.2证明两直线平行 (3) 3.1.3证明线面平行 (4) 3.1.4证明面面平行 (6) 3.1.5证明两直线垂直 (7) 3.1.6证明线面垂直 (8) 3.1.7证明面面垂直 (9) 3.2向量在几何中的计算 (10) 3.2.1距离 (10) 3.2.1.1两点间的距离 (10) 3.2.1.2点到直线的距离 (11) 3.2.1.3点面距离 (11) 3.2.1.4异面直线的距离 (12) 3.2.2夹角 (12) 3.2.2.1两异面直线的夹角 (12) 3.2.2.2线面角 (13) 3.2.2.3二面角 (14) 3.2.3求面积 (16) 3.2.4求体积 (17) 参考文献： (18) 致谢 (19) 外文页 (20)

[高二数学]平面向量的概念及运算知识总结

平面向量的概念及运算一．【课标要求】（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义（3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件二．【命题走向】本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。预测2010年高考：（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相

空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)

空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量： ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ?a ∥b ?a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b ＝0； ③l ∥α ?a ⊥u ?a ·u ＝0； ④l ⊥α ?a ∥u ?a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥?u ∥v ?u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ?u ⊥v ?u ·v ＝0． (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2 π,0(∈θ则 ?= >

平面向量易错题解析汇报

平面向量易错题解析 1.你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？ 2.你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用2 2 ||→→ =a a ；22||y x a +=） 3.你知道解决向量问题有哪两种途径？（①向量运算；②向量的坐标运算） 4.你弄清“02121=+?⊥→ → y y x x b a ”与“0//1221=-?→ → y x y x b a ”了吗？ [问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？（1）在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=?→ →b a ，不能推出→ →=0b . （2）已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有→ →→→→→=??=?c a c b b a . （3）在实数中有)()(c b a c b a ??=??，但是在向量的数量积中)()(→ → → → → → ??≠??c b a c b a ，这是因为左边是与→ c 共线的向量，而右边是与→ a 共线的向量. 5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？ 1.向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线? AB AC 、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若A B D C =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a bb c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量a 可表示为 (),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

平面向量数乘运算及其意义试题

…………………………装…………………………订…………………………线………………………… 向量数乘运算及其几何意义班级姓名学号年级学科一、概念回顾（认真阅读课本第63,64,65页，回答下面问题） 1．设实数与量a 的积记为，它仍表示向量，它的长度是；它的方向

是． 2．根据向量数乘的定义，可以证明向量数乘有如下运算律：（1）；（2）；（3）． 3．向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点：相同点；不同点．二、理解与应用 1．已知R λ∈，则下列命题正确的是（） A ．a a λλ= B ．a a λλ= C ．a a λλ= D ．0a λ> 2．已知E 、F 分别为四边形ABCD 的边CD 、BC 边上的中点，设AD a =u u u r ，BA b =u u u r ，则 EF u u u r = （） A ．1()2 a b + B ．1()2 a b -+ C ．1()2 a b -- D ．1()2 b a - 3 ．若 a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （） A ．a B ．b C ．c D ．以上都不对 4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），

则AP u u u r = （） A ．().(0,1)A B AD λλ+∈u u u r u u u r B ．().AB B C λλ+∈u u u r u u u r C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈u u u r u u u r D ． ().(0,2 AB BC λλ-∈u u u r u u u r 5．已知m 、n 是实数，a 、b 是向量，对于命题： ①()m a b ma mb -=- ②()m n a ma na -=- ③若ma mb =，则a b = ④若ma na =，则m n = 其中正确命题为_____________________． 6．计算：（1）3(53)2(6)--+a b a b =__________；（2）4(35)2(368)-+---+a b c a b c =__________． 7．已知向量a ，b ，且3()2(2)4()++---+=0x a x a x a b ，则 x =__________． 8．若向量x 、y 满足+=-=23,32x y a x y b ，a 、b 为已知向量，则 x =__________； y =___________．

随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征【基本要求】理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算方法；掌握计算随机变量函数的数学期望方法；掌握二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差；了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。【本章重点】数学期望与方差的概念、性质与计算方法；求随机变量函数的数学期望的方法；二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。【本章难点】数学期望与方差的概念计算方法；随机变量函数的数学期望的计算方法；协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法【学时分配】7-9学时分布函数:) x F≤ =——全面描述随机变量X取值的统计规律。但是，在实际问题中 P X ) ( (x 分布函数的确定并不是一件容易的事，而且有时我们也不需要知道分布函数，只需知道随机变量的某些数字特征就够了。例如：评价粮食产量，只关注平均产量；研究水稻品种优劣，只关注每株平均粒数；评价某班成绩，只关注平均分数、偏离程度；评价射击水平，只关注平均命中环数、偏离程度。描述变量的平均值的量——数学期望，描述变量的离散程度的量——方差。 §4.1 数学期望教学目的：使学生理解掌握随机变量的数学期望的实际意义及概念，会计算具体分布的数学期望；使学生理解掌握随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。教学重点、难点：数学期望的概念及其计算；随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。

教学过程： (一) 数学期望的概念先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入区域2e 得2分, 射入区域1e 得1分,脱靶即射入区域0e 得0分.设射手一次射击的得分数X 是一个 e 0 随机变量，而且X 的分布律为P{X=k}=k p ,k=0,1,2 现射击N 次，其中得0分0a 次，得1分1a 次，得2分2a 次，0a +1a +2a =N.则他射击N 次得分的总和为0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射击的得分数为 ∑==?+?+?2 210210k k N a k N a a a ，因为当N 充分大时, 频率k p 概率稳定值 ??→?N a k 。所以当N 充分大时, 平均数∑=??→?2 k k k p x x 稳定值。显然,数值∑=2 k k k p x 完全由随机变量X 的概率分布确定,而与试验无关，它反映了平均数的大小。定义: 1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X 的分布律为{}k k P X x p ==，1,2,3k =…若级数1 k k k x p ∞ =∑绝对收敛，则称级数1 k k k x p ∞ =∑为随机变量X 的数学期望，记为()E X ,即()E X ＝1 k k k x p ∞ =∑。 2.连续型随机变量的数学期望:设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，若积分()xf x dx ∞ -∞ ?绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞-∞ ?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即()E X ＝()xf x dx ∞ -∞ ?。数学期望简称期望，又称为均值。 (二) 数学期望的计算关键是：求出随机变量的分布律或者密度函数。 1、离散型——若则()E X ＝1k k k x p ∞ =∑ （绝对收敛）

向量的减法及其几何意义

2.2.2 向量的减法运算及其几何意义一、学习目标: 1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义； 2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题. 二、重难点 : 1. 重点：向量减法的三角形法则及其应用； 2. 难点：对向量的减法定义的理解. 三、知识回顾: 1、向量加法的法则：。 2、向量加法的运算定律：。四、探究新知： 1.用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：。 (2) 规定：零向量的相反向量仍是 . --=a a （）. 任一向量与它的相反向量的和是 +- =0a a （）如果a 、b 互为相反向量，则=-,=-,+0a b b a a b = （3）向量减法的定义： . 即：求两个向量差的运算叫做向量的减法. (4).用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b x a +=,则x 叫做a 与b 的差，记作。 2.向量的减法的三角形法则：特点：共起点，连终点，方向指向被减向量. 五、典例分析：

例1、已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a b -、c d -. 练习：已知向量，求作向量。例2.化简:(AB →－CD →)－(AC →－BD → )． ,a b a b -

练习：化简：(1)AB →－CB →－DC →＋DE →＋F A → ；例3、平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，用a 、b 表示向量、. 变式一：当a ，b 满足什么条件时，+a b 与a b -垂直？变式二：当a ，b 满足什么条件时，|+a b | = |a b -|？变式三：+a b 与a b -可能是相等向量吗？

向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用向量是形与数的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简洁与一身，向量的双重身份（既是几何对象又是代数运算对象）决定了向量在解决平面几何问题的重要作用.但是初步接触向量，好多学生还不习惯用向量解决几何中常见的判断几何图形形状，证明全等，直线平行、垂直，求线段的长度，夹角等问题.向量是连接代数与几何间的又一座桥梁，它几乎与中学阶段几何内容与部分代数内容都有联系. 利用向量解答平面几何问题的一般步骤是：1.将题设和结论中的有关元素转化为向量形式； 2.确定必要的基底向量，并用基地表示其他向量； 3.借助于向量的运算解决问题. 共线定理的作用：用向量共线定理可以证明几何中的直线平行、三点共线、三线共点问题．但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b a λr r ＝，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．相关结论： 1.平面上三点A B C 、、共线?AB BC λu u u r u u u r ＝.(向量共线且有公共点才能得出三点共线．) 2.点P 为线段AB 的中点，O 为平面内的任意一点?1OP OA OB 2u u u r u u u r u u u r ＝＋． 3.平面上三点A B C 、、共线?O 为不同于A B C 、、的任意一点，OC OA OB λμu u u r u u u r u u u r ＝＋且1.λμ＋＝. 应用一：应用向量知识证明三点共线例1：如图已知△ABC 两边AB AC 、的中点分别为M N 、，在BN 延长线上取点P ，使NP BN =，在CM 延长线上取点Q ，使MQ CM =. 求证：P A Q 、、三点共线11,22AN b AM a ==u u u r r u u u u r r 解：设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则，由此可得12BN NP b a ==-u u u r u u u r r r ，12CM MQ a b ==-u u u u r u u u u r r r ， ,()PA AN NP PA b a a b ∴-=+=--=-u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r ， ,()AQ AM MQ AQ b a a b -=+=--=-u u u r u u u u r u u u u r u u u r r r r r ，即PA PQ =u u u r u u u r ,故有//PA AQ u u u r u u u r ，且它们有公共点A ，所以P A Q 、、三点共线. 应用二：应用向量知识解决有关平行的问题例2、证明顺次连结四边形各中点所得四边形为平行四边形. 已知：如图，四边形ABCD E F G H AB BC CD DA ，、、、分别是、、、的中点. 求证：四边形EFGH 是平行四边形. 分析：要证平行四边形，只需证一组对边平行且相等，即它们所对应的向量相等. 证明：连接AC,Q E F AB BC 、分别是、的中点， ∴11++22EF EB BF AB BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11+22AB BC AC =u u u r u u u r u u u r （）=, 同理12 HG AC =u u u r u u u r ∴EF HG =u u u r u u u r //.EF HG EF HG =则且 ∴四边形EFGH 是平形四边形.

向量的加法及其几何意义

向量的加法及其几何意义一、教材分析高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。二、学生学习情况分析学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。三、设计理念

教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。四、教学目标根据新课标的要求: 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。及本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，我把本节课的教学目的确定为： 1、理解向量加法的意义，掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的运算律。 2、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。 3、培养类比、迁移、分类、归纳等能力。 4、进行辩证唯物主义思想教育，数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。

平面向量在几何中的应用

1 / 1 §2. 5.1平面向量在几何中的应用班级___________姓名____________学号____________得分____________ 一、选择题 1.如果△ABC 的顶点坐标分别是A (4,6),B(-2,1),C (4,-1),则重心的坐标是( ) A.(2,1) B.(2,2) C.(1,2) D.(2,4) 2.在菱形ABCD 中,下列关系中不正确的是( ) A.// B.)()(+⊥+ C.0)()(=-?- D.?=? 3.设O 是△ABC 所在平面内一点，且OB OC OC OA OA OB ?=?=?，则O 是△ABC 的（） A ．垂心 B.重心 C.内心 D.外心 4.在四边形ABCD 中，=a +2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为（） A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 5.设平面上四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（DB → ＋DC → －2DA → ）·（AB → －AC → ）=0．则ΔABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 . 二、填空题 7.已知AB =a -b,AC =2a-b,|a |=3,|b |=4, a 与b 的夹角为600,则△ABC 的三边的长分别是 ,,. 8.已知M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，若=a ,=b ,则=_______. 9.已知向量a =(x 1，y 1),b =(x 2，y 2),c =(x 3，y 3)，定义运算“*”的意义为a * b =(x 1y 2，x 2y 1).则下列命题：①.若a =(1,2),b =(3,4)，则a * b =(6，4)；②.a * b=b * a ；③. (a *b )*c=a *（b*c ）；④.（a +b ）*c =(a * c )+(b * c )中，正确的命题序号是____三、解答题 10.已知M 为△ABC 的边BC 的中点,求证:AB 2+AC 2=2(AM 2+BM 2). 11.证明三角形的三条中线交于一点. 12.在等腰△ABC 中,BD 、CE 是两腰上的中线，且BD ⊥CE ，求顶角A 的余弦值.

复数的几何意义及应用

复数的几何意义及应用一、教学目标： (一)知识与技能: 通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。 (二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力; 2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点； 3、提高知识之间的理解与综合运用能力。 (三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用四、教学工具：计算机、投影仪五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法六、教学过程： (一)设置情境，问题引入问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈R ），连结OZ ，则点Z ，OZ ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应一一对应复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是OZ ，则向量是OZ 的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，=| a+bi |=22b a +（a ，b ∈R ）。问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差z z z =-21所对应的向量就是连结21Z Z 并且方向指向（被减数向量）的向量, 2 2122121)()(y y x x z z d -+-==-=一一对应向量 O Z

(二)探索研究根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 以),(000y x Z 为圆心， )0(>r r 为半径的圆上任意一点, 则r ZZ =0 )0(>r （1）该圆向量形式的方程是什么)0(>=r r （2）该圆复数形式的方程是什么? r z z =-0 )0(>r （3）该圆代数形式的方程是什么? )0()()(22020>=-+-r r y y x x 2．椭圆的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的和等于常数(大于21Z Z )的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为长轴长的椭圆的上任意一点, 则a ZZ ZZ 221=+ )2(21Z Z a > （1）该椭圆向量形式的方程是什么a 2=+ )2(21Z Z a > （2）该椭圆复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a > 变式:以),(211y x Z ),(222y x Z 为端点的线段（1）向量形式的方程是什么a 2=+ )2(21Z Z a = （2）复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a = 3．双曲线的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的差的绝对值等于常数(小于21Z Z ) 的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为实轴长的双曲线的上任意一点,

浅谈向量在中学几何中的应用

浅谈向量在中学几何中的应用摘要：向量是新教材中的新增内容，以向量为载体的解中学几何问题是新课程高考中出现的新趋势，本文就有关向量在中学几何中的应用谈谈自己的看法。关键词：向量；向量的模；向量的加法和减法；向量与解析几何；向量与立体几何一.平面向量在解析几何中的应用 1.向量坐标与点的坐标向量坐标与点的坐标是不同的，设()()11 2 2, ,,A x y B x y ，则 ()2121 ,A B x x y y =-- ，但当向量是以坐标原点为起点时，向量坐标就是点的坐标，即()1,1OA x y = . 例1（01天津）设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=?OB OA 解：设()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,OA x y = ，()22,OB x y = 22121212124y y OA OB x x y y y y ∴?=+=+ ，又抛物线2 2y x =的焦点为1,02F ?? ? ??，设直线AB 方程为1 2x m y =+代入22y x =得2210y my --=， 121y y ∴=-，故13 144 O A O B ?=-=- 。 2.利用向量的数量积求夹角由cos ,a b a b a b ?= 可知,向量的数量积在解决与长度、角度有关的问题时非常有效. 例2．（04全国）给定抛物线C ：y 2 =4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于AB 两点，设l 的斜率为1，求O A 与OB 的夹角的大小；解：抛物线的焦点为F （1，0），直线l 的斜率为1，所以l 的方程为1y x =- 将1y x =-，代入方程24y x =，并整理得 2610x x -+= 设()()1122,,,A x y B x y ，则有126x x +=，121x x = ()()()112,212121212,213OA OB x y x y x x y y x x x x ?=?=+=-++=- ||||OA OB === ∴( ) cos ,41O A O B O A O B O A O B ?==- ?

高中数学经典解题技巧和方法：平面向量

高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景。（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。（3）理解向量的几何意义。 2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。 3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义。（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 5. 向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。好了，搞清楚平面向量的上述内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的

平面向量的概念教案

1 平面向量基本概念教学目标 1.从生活实例和物理素材中感受向量以及研究向量的必要性. 2.理解平面向量的含义、向量的几何表示，向量的模. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的含义，能在图形中辨认相等向量和共线向量. 4.从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点. 教学重点：向量、相等向量、共线向量的含义及向量的几何表示. 教学难点：向量的含义. 教学过程（一）情境创设 1.南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说：“不要紧，我有一匹好马！” 结果原因 2.如图1，在同一时刻，老鼠由A 向西北方向的C 处逃窜，猫由B 向正东方向的D 处追去，猫能否抓到老鼠？结果原因思考：上述情景中，描绘了物理学中的那些量？咱们还认识类似于上面的量，你能举出来吗？这些量的共同特征是什么？（二）概念形成观察：如图2中的三个量有什么区别？ 1.向量的概念——既有大小又有方向的量叫向量. 2.向量的表示方法思考:物理学中如何画物体所受的力? (1) 几何表示法：常用一条有向线段表示向量. 符号表示：以A 为起点、B 为终点的有向线段，记作AB .(注意起终点顺序). (2) 字母表示法：可表示AB 为a . 练习. 如图4，小船由A 地向西北方向航行15海里到达 B 地，小船的位移如何表示？（用1cm 表示5海里）（三）理性提升 3.向量的模向量的大小——向量长度称为向量的模. 记作：||. 强调：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量的加减法运算及其几何意义

课题向量的加减法运算及其几何意义知识点一：向量的基本概念：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）探究学习 1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a

平面向量系列之几何意义法

平面向量系列几何意义法解题一、平面向量的几何意义 ? 平面向量既有坐标表示，也有几何表示（即有向线段表示），利用平面向量的几何意义解题，在解决某些数学问题时往往能起到避繁就简的效果。 ? 首指向尾首尾相连，?+ ? 指向被减向量共起点，?- ? b a b t a b t a ⊥?-=+|||| ? 即矩形形对角线相等的平行四边，?-=+|||| ? 即菱形四边形对角线互相垂直的平行，?=-+0))(( 二、例题精析例1、（2017，崂山区校级期末改编）已知,是非零向量，则下列条件中,夹角等于0 120的是（） A 、||||-=+ B 、 ||||||-== C 、||||||+== D 、 ||2||||=-=+ 【解析】：由题知b a ,是非零向量，则||||b a b a -=+表示对角线相等的平行四边形，即为矩形，故b a ,夹角为090；而|||||a |b a b -==表示b a ,所在的边与其中一条对角线长度相等，故构成的三角形为等边三角形，故b a ,夹角为060；|||||a |b a b +==表示b a ,所在的边与其中一条对角线长度相等，故构成的三角形为等边三角形，画出图形可知，b a ,夹角为060的补角，即为0120；||2||||a b a b a =-=+表示对角形相等的矩形，且对角线长度等于某一边长的2倍，b a ,夹角为090。故选C 。例2、（2017，金台区期末改编）已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，满足 |,2|||-+=-则ABC ?一定是（） A 、等腰直角三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形 D 、等边三角形【解析】：|,2|||-+=-||||||+=-+-=?，即对角线相等，对角线相等的平行四边形是矩形，所以ABC ?一定是直角三角形，选B 。