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离心率的求法

例谈双曲线离心率的求法

从近几年新课标全国卷对圆锥曲线的考察来看,考察考察形式基本上都是一大两小共三个题,大题主要考察椭圆和抛物线,小题主要考察双曲线的性质,对双曲线性质的考察主要以离心率为主,本文结合近几年高考题谈谈双曲线离心率问题的处理策略。

一,利用标准方程求解

例1,(2015全国2卷)已知A,B 为双曲线E 的左右顶点,点M 在E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( )

2

离心率的求法

离心率的求法

离心率的求法

分析:设出双曲线的标准方程,利用顶角为120°求出M 的坐标,带人双曲线的方程即可。

解:设双曲线E 的标准方程为:22

221

x y a b -=(0,0)a b >>,则(,0),a a -(,0)B a ,不妨设

M

点在第一象限,则易得(2)M a ,又M 在

离心率的求法

双曲线E

上,于是22(2)1a a =,解得:

离心率的求法

22

a b =

,所以e ==A 。

离心率的求法

离心率的求法

二,利用渐近线方程求解

离心率的求法

例2:(2013全国新课标卷改编)已知双曲线C :

2222

1x y a b

-=的渐近线方程为1

2y x =±,则双曲线的离心率为_________

离心率的求法

分析:利用离心率与渐近线的关系e =即可求解。

解:由渐近线方程可知:

1

2

b a =

离心率的求法

离心率的求法

,所以2

c e a ====

三,利用双曲线定义求解

例3:(2014重庆卷)设1F ,2F 为双曲线

22

2

21x y a b

-=的左右焦点,双曲线上存在一点P 使得

123,PF PF b +=126,PF PF ab ?=则双

曲线的离心率为( ) A.

43

B.

53 C.94

D.3

分析:此题考查双曲线焦点三角形问题,焦点三角形问题通常考虑双曲线定义及正余弦定义或勾股定理。

解:由双曲线的定义可知:122,

PF PF a -=±又

123,PF PF b +=所以

2222

1212()()94PF PF PF a PF b a +--=-即22124

94,PF PF b a ?=-又

126,PF PF ab ?=所以22949,b a ab -=即

299()40b b a a --=解得4

3

b a =

,所以离心率5

3

e ==。选B 。

总结:由于篇幅有限,本文只例举这几种常

用的方法,不管采用什么方法,求离心率都是想办法构建a 、b 、c 的齐次方程或直接求出a 、c ,所有的方法都是围绕着这一思路展开,方法的不同主要在于构建a 、b 、c 的齐次方程的思路不同而已。

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