3-4三角网条件平差计算

§3-4 三角网条件平差计算

2学时

三角网测量的目的，是通过观测三角形的各角度或边长，计算三角网中各未知点的坐标、边的长度及方位角等。三角网按条件平差计算时，首要的问题是列出条件方程。因此了解三角网的构成，总结其条件方程的种类及各种条件方程的组成规律是十分重要的。

三角网的种类比较多，网的布设形式也比较复杂。根据观测内容的不同，有测角网、测边网、边角同测网等；根据网中起始数据的多少，有自由三角网和非自由三角网。自由三角网是指仅具有必要起算数据的三角网，网中没有多余的已知数据。如果测角三角网中，只有两个已知点（或者已知一个已知点的坐标、一条已知边的长度和一个已知的方位角），根据数学理论，以这两个已知点为起算数据，再结合必要的角度测量值，就能够解算出网中所有未知点的坐标。如果三角网中除了必要的起算数据外还有其它的已知数据，或者说已知数据有冗余，就会增加对网形的约束，从而增强其可靠性，这种三角网称之为非自由三角网。无论多么复杂的三角网，都是由单三角形、大地四边形和中点多边形组合而成的。

在本节，我们先讨论三角网条件平差中条件方程个数的确定问题，然后主要讨论测角三角网的条件方程的形式问题。

一、网中条件方程的个数

三角网平差的目的，是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。如图3-9所示，根据前面学到的测量基础知识，我们知道，必须事先知道三角网中的四个数据，如两个三角点的4个坐标值，或者一个三角点的2个坐标值、一条边的长度和一个方位角，这4个已知数据我们称之为三角网的必要起算数据。有了必要起算数据，就可以确定三角网在平面坐标系中的位置、网的大小及其方位，就可以计算三角网中未知点的坐标。

要对三角网进行平差计算，还必须先知道网中的总观测数n、判定必要观测数t，从而确定了多余观测数：

r = n - t

由条件平差原理知，多余观测数与条件方程数是相等的，有了多余观测数，也就确定出了条件方程的个数。因此，问题的关键是判定必要观测数t。

1.网中有2个或2个以上已知点的情况

三角网中有2个或2 个以上已知三角点，就一定具备了4个必要起算数据。无论是测角网、测边网还是边角同测网，如果有2个已知点相邻，要确定一个未知点的坐标，需要观测两个观测值（2个角，或者1条边和1个角，或者2条边）。也就是说，确定1个未知点要有2个必要观测值；那么如果网中有p个未知点，必要观测数应等于未知点个数的两倍。

t = 2 ·p(3-4-1)

(1) 测角网

图3-9所示，三角网中有2个已知点，待定点个数为p =6。如果三角网中观测量全部是角度时。

总观测值个数：n = 23

必要观测数：t = 2 · p =12

则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 11

(2) 测边网

在图3-9中，如果三角网中观测量全部是边的长度时：

总观测值个数：n = 14

必要观测数：t = 2 · p =12

则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 2

(3) 边角同测网

在图3-9中，如果三角网中的所有的角度值和所有的边长值都进行观测时：

总观测值个数：n = 37

必要观测数：t = 2 · p =12

则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 25

2. 网中已知点少于2个的情况

有些情况下，三角网中已知点可能少于2个，只有1个已知点、1个已知边和1个已知方位角，或者没有已知点和已知方位角只有1个已知边。但是，不管怎样说，1条已知边是必须已知的，或者需要进行观测的。如果没有已知点，可以假定网中的1个未知点；如果没有已知方位角，可以取网中的1个方向的方位角为某一假定值。这样也就间接地等价于网中有2个相邻点的坐标是已知的。

(1) 测角网

三角网中共有p个三角点、1个已知方位角（也可以没有）、1个已知点（也可以没有已知点）和1个已知边长S（或者也是观测得到的），并观测了所有的角度。如果已知点和已知方位角都没有，就要进行必要的假设。则在进行条件平差时，必要观测数为：

t = 2 · ( p – 2) (3-4-2) 如图3-10所示，三角网中观测了所有角度值（如果没有已知边时，也观测1条边长作为起算数据）。

网中三角点个数：p = 6

角度观测值个数：n = 12

必要观测数：t = 2 · ( p – 2) = 8

则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 4

(2) 测边网或边角同测网

若三角网中，共有p个三角点和1个已知点（或者也是假定的），并对所有的边长，或者角度和边长进行了观测，观测值总个数为n。在进行条件平差时，由于要加上必须的起算边长，则必要观测（边或者边和角）的个数为

t = 2 · ( p – 2)+1 (3-4-3) 如图3-10所示，网中三角点个数：p = 6

如果是测边网，则

总观测值个数： n = 9

必要观测数： t = 2 · ( p – 2) +1=9

多余观测数，即条件平差条件方程个数： r = n – t = 0

如果是边角同测网，则

总观测值个数： n = 21

必要观测数： t = 2 · ( p – 2) +1=9

多余观测数，即条件平差条件方程个数： r = n – t = 12

以上我们仅对几种三角网，讨论了条件平差时必要观测数及多余观测数和条件平差方程数的确定方法，还有很多情况没有涉及到。在实际平差计算中，应针对不同情况进行具体分析。

二、条件方程的形式

三角网中的条件方程主要有以下几种形式：

1. 图形条件方程

图形条件，又叫三角形内角和条件，或三角形闭合差条件。在三角网中，一般对三角形的每个内角都进行了观测。根据平面几何知识，三角形的三个内角的平差值的和应为180?，如图3-12中的三角形ABP ，其内角平差值的和应满足下述关系：

0180???321=-++ L L L (3-4-4)

此即为三角形内角和条件方程。由于三角形是组成三角网的最基本的几何图形，因此，通常称三角形内角和条件为图形条件。因此图形条件也是三角网的最基本、最常见的条件方程形式。

与（3-4-4）式相对应的改正数条件方程为

0321=-++w v v v (3-4-5)

)180(321 -++-=L L L w

(3-4-6) 2. 水平条件方程

水平条件，又称圆周条件，这种条件方程一般见于中点多边形中。如图3-12所示，在中点P 上设观测站时，周围的五个角度都要观测。这五个观测值的平差值之和应等于360?，

即

0360?????15

12963=-++++ L L L L L (3-4-7)

相应的改正数条件方程为 01512963=-++++w v v v v v (3-4-8)

)360(1512963 -++++-=L L L L L w

(3-4-9)

3. 极条件方程

极条件是一种边长条件，一般见于中点多边形和大地四边形中。先看中点多边形的情况。如图3-12所示，中心P 点为顶点，有五条边，从其中任一条边开始依次推算其它各边的长度，最后又回到起始边，则起始边长度的平差值应与推算值的长度相等。

在图3-12所示的三角网中，我们应用正弦定理，以BP 边为起算边，依次推算AP 、EP 、DP 、CP ，最后回到起算边BP 、，得到下式

14

131110875421?sin ?sin ?sin ?sin ?sin ?sin ?sin ?sin ?sin ?sin ??L L L L L L L L L L S S BP BP ????= 整理得

0?1?sin ?sin ?sin ?sin ?sin ?sin ?sin ?sin ?sin ?sin 14

118521310741=-L L L L L L L L L L (3-4-10)

（3-4-10）式即为平差值的极条件方程。为得到其改正数条件方程形式，可用泰勒级数对上式左边展开并取至一次项：

1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin ?sin ?sin ?sin ?sin ?sin ?sin ?sin ?sin ?sin 1411852131074114

118521310741-=-L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ρρ''-''+22141185213107411114118521310741cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin v L L L L L L L L L L L v L L L L L L L L L L L ρρ''-''+55141185213107414414118521310741cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin v L L L L L L L L L L L v L L L L L L L L L L L ρρ''-''+88141185213107417714118521310741cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin v L L L L L L L L L L L v L L L L L L L L L L L ρρ''-''+111114118521310741101014118521310741cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin v L L L L L L L L L L L v L L L L L L L L L L L 0cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 141414118521310741131314118521310741=''-''+

ρρv L L L L L L L L L L L v L L L L L L L L L L L

化简，即得极条件的改正数条件方程：

0 14141313111110108

87755442211=--+-+-+-+-w v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL (3-4-11)

???

? ?

?-''-=13107411411852sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1L L L L L L L L L L w ρ

(3-4-12)

在大地四边形中的极条件方程与中点多边形稍有不同。如图3-11所示，可以取D 点为极点，以BD 为起始边，依次推算AD 、CD 再回到BD 边。仿照中点多边形的极条件方程，由正弦定理，得大地四边形的极条件平差值方程

01?sin )??sin(?sin ?sin ?sin )??sin(7

4314287=-++L L L L L L L L 整理得

01?sin )??sin(?sin )??sin(?sin ?sin 7

4318742=-++L L L L L L L L (3-4-13) 相应的改正数条件方程

)())(( ))(()(88777874

4343432211=-++-+++-++-+-w v L L ctg v ctgL L L ctg v L L ctg ctgL v L L ctg v ctgL v ctgL (3-4-14) ???? ?

?++-''-=)sin(sin sin sin )sin(sin 187427431L L L L L L L L w ρ

(3-4-15)

4. 方位角条件方程

前面讨论的三种条件方程在三角网中比较常见。如果三角网中的起始数据有了变化，起算数据不相邻，或者已知数据有冗余，还会增加一些限制条件，产生其它类型的条件方程，如方位角条件方程、边长条件方程、坐标条件方程等。这些类型的条件方程常见于非自由三