等差数列知识点解读

等差数列

一、学习目标：等差数列的概念、性质及前n 项和求法。

1.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知5a 1=，13n n n a S +=+，*n ∈N ．设3n n n b S =-，

求数列{}n b 的通项公式；

解：依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，

由此得1132(3)n n n n S S ++-=-．

因此，所求通项公式为n n n n 23-S b ==。

2．设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ．

3．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316

． 【考点梳理】

1.在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。

2.补充的一条性质

1）项数为奇数21n -的等差数列有：1

s n s n =-奇偶n s s a a -==奇偶中，21(21)n n s n a -=- 2）项数为偶数2n 的等差数列有：1

n n s a s a +=奇偶，s s nd -=偶奇 21()n n n s n a a +=+ 3.等差数列的判定：{a n }为等差数列???????+=+=+==-?+++数”）（缺常数项的“二次函的“一次函数”）

（关于（定义）Bn An S n B An a a a a d a a n

n n n n n n 22112 即：*),2(2(11n 1n N n n a a a d d a a a n n n n ∈≥+=?=-?-++为常数）｝｛

Bn An s b kn a n n +=?+=?2；

4.三个数成等差可设：a ，a ＋d ，a ＋2d 或a －d ，a ，a ＋d ；

四个数成等差可设：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .

5．等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两

项可以确定一个等差数列.k=d=

1

1--n a a n ，d=m n a a m n --，由此联想点列（n ，a n ）所在直线的斜率.2）点)S (n,n 在没有常数项的二次函数2n S pn qn =+上。其中，公差不为0.

6.等差数列前n 项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解）

1）若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值。 （ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最大?100

n n a a +≥??≤?；

（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q p

-

的非零自然数时n S 最大； 2）若等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，则前n 项和n S 有最小值 （ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最小?100

n n a a +≤??≥?；

（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q p

-的非零自然数时n S 最小。 7.等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等

等 差 数 列

定义 {a n }为等差数列?a n+1-a n =d （常数），n ∈N +?2a n =a n-1+a n+1（n ≥2，n ∈N +） 通项公式 1）n a =1a +（n-1）d=k a +（n-k ）d ；n a =dn +1a -d b kn +=

2）推广：a n =a m +（n －m ）d. 3）变式：a 1=a n －（n －1）d ，d=11--n a a n ，d=m

n a a m n --，由此联想点列（n ，a n ）所在直线的斜率.

求和公式 1）n B n A )2(22)1(2)(S 21211?+?=-+=-+=+=n d a n d d n n na a a n n n 2）变式：

21n a a +=n S n =n a a a n +???++21=a 1+（n －1）·2d =a n +（n －1）·（－2

d ）.

等差中项

1）等差中项：若a 、b 、c 成等差数列，则b 称a 与c 的等差中项，且b =2c a +；a 、b 、c 成等差数列是2b =a +c 的充要条件.2）推广：2n a =m n m n a a +-+

重

要

性

质 1 m n l k m n l k a a a a +=+?+=+(反之不一定成立)；特别地,当2m n p +=时,有2m n p a a a +=；特例：a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…。 2 下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md . 3 n n n n n s s s s s 232,,-- 成等差数列。 4 )(11n m n m a a n a a d n m n ≠--=--=

5 增减性

{}为递增数列n a 0d ?> {}为常数列n a 0d ?=

{}为递减数列n a 0d ?< 其 它 性 质

1 a n =a m +（n －m ）d.

2 若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n +b }（λ、b 为常数）是公差为λd 的等差数列；若{b n }也是公差为d 的等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d +λ2d .

3 a n =an+b ，即a n 是n 的一次型函数，系数a 为等差数列的公差；

S n =an 2+bn ，即S n 是n 的不含常数项的二次函数；

三、合作探究：

题型1 等差数列的基本运算

例1 在等差数列{a n }中，

(1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60；

(2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28；

(3)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．

解：(1)方法一：???

????=-=????=+==+=38382904410141145115d a d a a d a a ∴a 60＝a 1＋59d ＝130． 方法2 3815451545=--=--=a a m n a a d m n ，a n ＝a m ＋(n －m)d ?a 60＝a 45＋(60－45)d ＝90＋15×3

8＝130． (2)不妨设S n ＝An 2

＋Bn ， ∴???-==??????=+=+172460202084121222B A B A B A ∴S n ＝2n 2－17n ∴S 28＝2×282－17×28＝1092

(3)∵S 6＝S 5＋a 6＝5＋10＝15，

又S 6＝

2)10(62)(6161+=+a a a ∴15＝2)10(61+a 即a 1＝－5 而d ＝31

616=--a a ∴a 8＝a 6＋2 d ＝16 S 8＝442)(881=+a a 变式训练1 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列{n S n }的前n 项和，求T n .

解：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n =na 1+2

1n （n －1）d . ∵S 7=7，S 15=75， ∴???=+=+,7510515,721711d a d a 即???=+=+.57,131

1d a d a 解得a 1=－2，d =1. ∴n S n =a 1+21（n －1）d =－2+21（n －1）=2

5-n . ∴11++n S n －n S n =21. ∴数列{n S n }是等差数列，其首项为－2，公差为2

1. ∴T n =41n 2－4

9n . 小结与拓展：基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。等差数列中，已知五个元素a 1，a n ，n ，d ，S n 中的任意三个，便可求出其余两个.

题型2 等差数列的判定与证明

例2 已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 6＝36.

求数列{a n }的通项公式；

解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列，设{a n }的首项为a 1，公差为d ，

由a 3＝5，S 6＝36得?

???? a 1＋2d ＝56a 1＋15d ＝36，解得a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝2n －1.

变式训练2 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .设b n ＝a n 2

n －1，证明：数列{b n }是等差数列； 证明：由已知a n ＋1＝2a n ＋2n 得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2

n －1＋1＝b n ＋1. 又b 1＝a 1＝1， 因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．

小结与拓展：证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法是：1）利用定义，证明a n －a n －1（n ≥2）为常数；2）利用等差中项，即证明2a n =a n －1+a n +1（n ≥2）.

题型3 等差数列的性质

例3 设等差数列{}n a 的首项及公差均是正整数，前n 项和为n S ，且11a >，46a >， 312S ≤，则2010a =_ _ _．答案：4020

变式训练3 在等差数列{a n }中，已知log 2(a 5＋a 9)＝3，则等差数列{a n }的前13项的和