拉格朗日定理

泰勒定理及带有拉格朗日余项泰勒公式的应用探讨 【摘要】泰勒定理是把函数用多项式近似表示的重要依据,是数学分析课程的重要内容.

给出了泰勒定理的证明,泰勒定理是拉格朗日中值定理的推广，相应地泰勒公式也是拉格朗日中值公式的推广． 泰勒公式在数学以及其他学科当中有着广泛的应用，本文讨论了带有拉格朗日余项的泰勒公式之间的关系,从纯数学的方面说明了泰勒公式的应用，以及在近似计算、求极限、求导数、积分计算、判断级数收敛性、证明一些等式和不等式等方面的应用. 【关键词】泰勒定理; 泰勒公式; 拉格朗日型余项

一、泰勒定理及证明

定理1: 若函数f( x) 在［a ，b ］上存在直至n 阶的连续导涵数，在( a ，b ) 内存在

（n + 1） 阶导数，则对任意给定的x ，x 0∈［a ，b ］，至少存在一点ξ∈( a ，b) ，使得

()()()()()()

()()()

()

()1

2

1

'"+!

1n

n n

n f x f f x f x x x f x x x x x x n n x ++=-+-+鬃

?+

-+。。。。。。

证明: 作辅助函数

()()()()()()()()',!n n f t F t f x f x f t x t x t n 轾犏=-+-+鬃?-犏臌

()()

1

n G t x t +=-

所要证明的定理式即为

()()()

()()

()

()

()()

()1

1

.

1!

1!

n n f F x f F x G x n G x n x x ++=

=

++。。。或。()()[](),,,,x x F t G t x x x x <不妨设。则与在。上连续，在。内可导且

()()()()1

',!

n n

f t F t x t n +=--

()()()'10.n

G t n x t =-+-

()()0,F x G x ==又因所以由柯西中值定理证得

()()()()()()()()()()()1',

'1!

n F x F x F x F f G x G x G x G n x x x +-===-+。。。。

()(),,.x x a b x 翁其中。

二、带有拉格朗日余项的泰勒公式

若函数f( x) 在［a ，b ］上存在直至n 阶的连续导涵数，在( a ，b ) 内存在（n + 1）

阶导数，则对任意给定的x ，x 0∈［a ，b ］，至少存在一点ξ∈( a ，b) ，使得

()()()()()()

()()()

()

()1

2

1

'"+!

1n

n n

n f x f f x f x x x f x x x x x x n n x ++=-+-+鬃

?+-+。。。。。

。

上式称为泰勒公式，它的余项为()()()

()()

()()1

1

,1!

n n n n f R x f x T x x x n x ++=-=

-+。

()(),01,x x x x q q =+-<<其中。。称为拉格朗日余项.

所以上式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式. 并且当n=0时，上式即为拉格朗日中值公式

()()()()'.

f x f x f x x x -=-。。

故上式可看作拉格朗日中值定理的推广.

顺便在此介绍一下拉格朗日中值定理.

拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件：

()[],;f a b I 若在闭区间上连续

()(),f a b I I 若在开区间内可导，

(),a b x 则在内至少存在一点，使得

()()()'.

f b f a f b a

x -=

-

在这里定理就不做证明了.由此可看出泰勒定理与拉格朗日中值定理之间的关系.

x x =另当。时，得到泰勒公式

()()()()()()

()()

()()1

2"000'0,01.2!

!

1!

n

n f f f x f x f f x x n n q q +=++

+鬃?

+

<<+

上式也称为（带有拉格朗日余项的）迈克劳林公式.

三、泰勒定理及带有拉格朗日余项泰勒公式的应用 (一)证明含高阶导数的值的问题

()[]()()()1.11,110,11,'00,

f x f f f --===例设函数在闭区间上具有三阶连续导数，且

()()1,1'" 3.f x x -=证明：在开区间内至少存在一点，使得

()0f

x x =证明：将在处展开，得

()()()()()23"0'"0'0,

2!

3!

f f f x f f x x x h =++

+

011x x x h ==-其中介于与之间.将和分别代入以上展开式，并根据题设条件可得

()()()()()()()12111

010"0'",110",262f f f f f f f h h =-=+

-==+

1210,h h -<<<其中， ()()12'"'" 6.f f h h +=两式相减，得

()[]12'",M m f x h h 设和分别是在上的最大值和最小值，显然有

()()

12'",'",

m f M m f M h h ＃＃

()()121'"'".

2

m f f M h h 轾

?

臌

由连续函数的介值定理知，至少存在一点 []

()12,1,1,x h h 翁-

使得

()()()121

'"'"'" 3.2f f f x h h 轾=+=臌

(二)证明等式和不等式

()[]()()()2.1,,f x a b a b f b f a x $?+

例设在上的二阶导函数连续，求证：，使得

()()()3

1''".2

24a b f b a f b a x 骣+琪-+

-琪桫

(

)()()

()()()(),0,

',"'

,x

a F

x f t d t F a F x f x F x f x

====ò证明：设则有

()()'"".

F x f x =

(),2a b

c F x x c +=

=令在。处的二阶泰勒公式为

()()()()()()()()23

"'"',.2!3!

F c F F x F c F c x c x c x c c x h h =+-+-+-其中在与之间

,x b x a ==将分别代入上式然后相减得

()()()()()()()3

12121

''"'",,.3!

2

b a

F b F a F c b a F F a c c b x x x x 骣-轾琪-=-++<<<<琪臌桫

()()()()()3

12""1.2242b

a

f f a b f x b a f b a x x 轾骣++犏琪=-+-琪犏桫臌ò即

()()

()()

12""",'"..

2

f f f a b f x x x x +$?因连续，由介值性得，使得即证

()()()()01

2.2010max 2x f x f f f x ＃===例设函数二次可微，，，

()01

min "16.

x f x ＃￡试证：

()[]0,1f x 、证明：因在上连续，故有最大最小值.又根据题设条件可知最大值在

()()0,1.0,1,x ?内部达到所以存在。使得

()()01

max 2,

x f x f x ＃==。

()()'0.f x

f x =于是，。为极大值，从而有。

()(),0,1,f x x x h ?将在。处展开，则必存在使得

()()()()()22

1100"02"22f f x f x f x x x ==+

-=+。。。， ()()()()()()22

110=1"12"1.

22f f x f x f x h h =+-=+-。。。 ()()(){}()220144min "min ","min --,1x f x f f x x x h ＃禳镲

?睚镲-铪因此，。。

()()22

21444,1,min -,--16,211x x x x 禳轾镲? 犏睚犏镲臌--铪而当。时。。。

()222

14440,,min -,---16,.21x x x x 禳轾镲

? 犏睚犏镲臌-铪当。时所以待证不等式成立。。。

(三)求极限的问题

22

40cos 3.1lim

.x x x e

x ?-例求

()()

2

2424552

cos 1,1,

22428x

x x x x x x e x s s =-++=-++解：由泰勒展开式得

()

24

52

cos -12

x x x e

x s -=+相减得：，

()

2

4

5

2

4

400-cos 1

12lim

lim -.12x x x x x x e

x x s +-==所以，

(四)判定级数的收敛性

1

21

4.1,ln

1.21n n n n u u n n ￥

=+=--?例判定级数的收敛性其中

n 解：当时，有

212

ln

1ln 112121

n n u n n n n 骣+琪=-=+-琪--桫

()

2

3

3

3

221212

1

23

1

1,21221321

321n n n n n n n n s s 轾骣骣骣骣+犏琪琪琪琪=-++-=+琪琪琪琪犏---桫桫桫

桫-臌

()3

22223

1

3211

lim lim .

1112

n x x n n n u n n s 骣++琪琪桫-==于是，

（五）证明函数有界问题

()()()()().1-,'"-

,f x f x f x ?ゥ+

例5设函数在上三阶可导，并且和在上有界，

()()()'"-,.f x f x ?

求证：和也在上有界

()()()()()2

311'"'",2!3!f x h f x hf x f x h f x h +=++

+证明：因 ()()()()()11

1,1'"'",

2!3!h f x f x f x f x f x =?=+++分别取得 ()()()()()11

1'"'",

2!3!f x f x f x f x f h -=-++

()()()()()1112''"'",3!f x f x f x f f x h 轾

+--=++臌两式相减得

()()()()()03-2'2,-

,sup ,0,3.

k

k x f x M M x M f x k ?

<+

?"违+?=所以其中

()()0

31

"4,-,.

3

f x M M x ?"违+ 同理两式相加得

()()()'"-,.f x f x ?

故和在上有界

（六）同时求同一点的不同阶的导数值

()()1

306.1lim 1,

x

x f x

f x x e x ?轾犏++=犏臌例设函数在原点的某邻域内二阶可导，且

()()()0'0"0.

f f f 试求，，以及

()()()01

ln 11ln 1lim 3

00

lim 1lim ,

x f x

x f x x x x

x x x

x x f x

e x e

e x ?轾犏++轾

犏犏臌++犏臌

轾犏=++==犏臌

解：因为

()0ln 1lim 3,x f x

x x x ?轾犏++犏臌=所以

()()00limln 10,limln 0,x x f x f x x x x x 轾轾犏犏++=+=犏犏臌臌于是必然有

()()00ln 13lim lim .x x f x f x x x x x x x 轾犏+++犏臌==所以

()()3,0,0f x x x x

x

a a

+从而

其中，

()()()()()

21

0'0",2f x f f x f x x s =++

+而另一方面，显然有

故由泰勒展开式的唯一性，有 ()()()0'00,"0 4.

f f f ===

(七）近似计算

()7.1100115f x x x ==例求作在。的一次和二次泰勒多项式，利用它们计算的

近似值并估计误差.

100,x =解：由于。

而

()()()11

,',"-,24f x x f x f x x

x x ==

=

()()

()1110,',"-,20

4000f x f x f x ==

=。。。 ()f x x 在。的一次泰勒多项式是

()()()()1'50.05p x f x f x x x x

=+-=+。。。

()()1115p x f x x =用作为的近似表达式，容易求出当时

()

()

111510.75

f x p x

=?

故可估算出误差

()()

()(

)

()(

)

2

2

1""0-0.028125

2

2

f f x f x p x x x x x x >-=

->

-=。。。

11510.72380510.75-0.026鬃 的精确值为，与精确值相比较，近似值的误差大约等于，

因而它有3位有效数字.

()1p x 修正可进一步得出二次泰勒多项式

()()()()2

21"2

f x p x p x x x =+

-。。

据此可得到新的近似值

()()

211510.750.02812510.721875

f x p x

=?-=

这个结果有4位有效数字.

2-12

0x e ò例7.2求的近似值.

()

2

4

2-2

1-1.2!

!n

n

x x x e

x n =-++鬃?

+鬃 解：由于 ()2

4

21

1

1

11

2

00

00

1-12!

!n

n x x x e dx dx x dx dx dx n -=-++鬃?+鬃 蝌蝌

逐项积分得

()1111

11-132!5!21n n n =-+-鬃?+鬃 + 11111111.

310422161329936075600=-+-+-+-+鬃

710.000015.

75600

n R R ?

上式右端为一个收敛的交错级数，由其余项的估计式

2

1

-01111

11

10.746836.31042216

13299360x e d x

?+-+-+ ò所以

（八）证明数的类型

8.1.e 例证明为无理数

()()

111=1+1++++,01.

23!1!

e e e n n q

q 鬃?<<+证明：由的泰勒展式得：！！

据上式可得：

()!!!341.

1e n e n n n n n q

-++鬃?鬃?+=+ ()

=

,!.p

e p q n q n e q >倘若为正整数，则当时，为整数，从而上式左边为整数

32.

111e e n n n n q << +++因为，所以当时右边为非整数，矛盾

.e 从而只能是无理数

参考文献

【1】华东师范大学.数学分析（上、下册）.高等教育出版社. 【2】同济大学.高等数学（上册）.高等教育出版社.

【3】吉米多维奇.数学分析习题集解（四）.山东科学技术出版社. 【4】C.H.爱德华.微积分发展史.北京出版社.

【5】数值分析简明教程.王能超.编著.高等教育出版社.

【6】裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.高等教育出版社.

谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理 如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理

若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --= ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法 证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a -=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且 ()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使 ()()()()0''=--- =a b a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. 3.2 用作差法引入辅助函数法 证明 作辅助函数 ()()()()()()?? ???? ---+-=a x a b a f b f a f x f x ? 显然，函数()x ?在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ??，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得 ()()()()0''=---=a b a f b f f ζζ?，即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ?，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：

中值定理证明

中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

高中数学课本中的定理公式结论的证明

数学课本中的定理、公式、结论的证明 数学必修一 第一章 集合（无） 第二章 函数（无） 第三章 指数函数和对数函数 1．对数的运算性质： 如果 a > 0 ， a 1， M > 0 ，N > 0， 那么 （1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log -log a a a M M N N =； （3）log log ()n a a M n M n R =∈． 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质 证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =，由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴p q p q MN a a a +=?=， ∴log ()a MN =p q +， 即证得log log log a a a MN M N =+． 证明：（性质2）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴ q p q p a a a N M -==， ∴q p N M a -=log ， 即证得log log -log a a a M M N N =． 证明（性质3）设log a M p =，由对数的定义可得 p M a =， ∴n np M a =， ∴log n a M np =， 即证得log log n a a M n M =．

第四章函数应用（无） 数学必修二 第一章立体几何初步 直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明． 1、直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行． 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

隐函数存在性的探讨

隐函数存在性的探讨 摘要隐函数存在唯一性定理是一个充分不必要条件。本文把定理中第四个条件要求的改为时,对隐函数存在性作探讨。本文引入了拐点,解决了本文提出的问题。 关键词隐函数存在性 一、引言 应用课本学习过的知识,判断一个较为复杂方程是否存在隐函数时,主要判断其是否满足隐函数存在唯一性定理的条件。通过实际例子知道,这个定理只是一个充分不必要条件。那么在什么情况下方程存在隐函数呢?本文专门研究了这个问题,并取得了一些小小的进展。 二、拐点法证明隐函数的存在性 (一)分析在定理中的作用。 回顾定理的证明过程,第(4)个条件中的,主要是为了说明对于每个固定的,作为的一元函数,必定在上严格单调。而当的时,出现的情况是,在内,作为的一元函数下,可能不具有单调性。而单调性又是在证明隐函数存在唯一性定理中不可缺少的一个条件,所以当,如果再加一个或几个条件,使对于每个固定的,即令,作为的一元函数,也在上严格单调。那么就可满足要求。此时根据隐函数存在唯一性定理,便能证明在该点邻域内能确定隐函数,问题也就解决了。 (二)单调性分析及证明。 在曲面中,如果我们把区域中的每个的值固定,即令,曲面与平面的交线就是以为自变量的一个函数,如果这个函数在点的邻域内具有单调性,那么问题即可解决.其实可以证明如果点为拐点,则在其邻域内具有单调性。 证明:因为点为拐点,拐点即为凸函数和凹函数的分界点。不妨假设在内是凸函数(若在内是凹函数,则可讨论),在上是凹函数。根据数学分析上册定理6.13的等价论断10及论断20,即如果为上的凸函数,则为上的增函数;如果为上的凹函数,则为上的减函数。 假设为的导数,则在上为增函数,因为,所以;在上为减函数。又因为,所以。即在上都有。所以在上单调递增。故有,。问题得证。 问题转化为:如何验证点为函数的拐点?

拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。 怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。 罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o (如图1)。 拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2). 比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为: 1.首先分析要证明的等式：我们令 (1) 则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。 由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2) 分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论 2.考虑函数

我们知道其导数为 且有 F(a)=F(b)=0. 作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’ 从而有结论成立.

高等数学-中值定理证明

第三章中值定理证明

1.闭区间上连续函数定理① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ① ② ③ ④ 3.积分中值定理 ① ② 不等式证明思路 ①构造函数（利用极值） ②拉格朗日中值定理 ③函数凹凸性定义

1.若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0 f f ξλξ'+=2.设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)() b a ae be e a b ξξ-=--3.设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得：()0 F ξ''=4.设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.

5.若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法

(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法

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高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为D 则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21= ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21== 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C 由向量的加法原则可得 AB CB AC =+ a b D A B C A B C D b a D C B A

拉格朗日中值定理

一拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。 拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻旧，出现创新的一个进程。发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。 用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即 这就是非常著名的费马定律，当一个函数在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则。著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。 在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]任取两点，并且函数在此闭区间是连续的，的 最大值为A，最小值为B，则的值必须是A和B之间的一个值。这是拉格朗日定理最初的证明。 下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。 如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）可导；那么这个函数在此开区间至少存在着一点，使得. 拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。 例1：函数

构造函数法在高等数学中的应用

构造辅助函数在高等数学中的应用 摘要：证明等式和不等式是高等数学中的常见问题，证明方法也多种多样。论文通过几个例子，从研究题目的条件和结论人手，巧妙构造适当的辅助函数进行解题，既能简化证明，又能培养学生的创新思维能力。 构造辅助函数是数学解题的一个很好的工具，辅助函数是使问题转化的桥梁，通过恰当的构造辅助函数可以帮助我们解决很多数学问题，使问题简单化，构造辅助函数的方法是多种多样的，有时需要巧妙的灵活运用，构造辅助函数法还需要进一步探索和总结 如何构造辅助函数是高等数学解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律 文章通过详尽的实例讲明了辅助函数在中值问题不等式恒等式函数求极限讨论方程的根及计算积分求函数值中的运用 关键词：构造辅助函数；中值定理；恒等式与不等式； 在解题过程中，如果用思维定势来探求解题途径比较困难时，我们不妨换一下思维角度，从问题的结构和特点出发，构造一个与问题相关的辅助函数，实现问题的转化，从而使问题得到证明。本文通过对高等数学中中值问题、不等式的证明、恒等式的证明、函数求极限问题、讨论方程的根及计算积分求函数值这几类问题，应用构造辅助函数进行求解，从不同题型总结归纳了辅助函数的思想和具体的方法 一、有关中值定理命题的证明的应用 1.1构造辅助函数证明中值存在性问题 设()x f ，()x g 在[]b a ,连续，在()b a ,可导。()()0==b f a f 而[]b a x ,∈?，()0≠x g 证明至少存在一点∈ξ()b a ,使()()()()ξξξξf g g f ''= 分析：由于所证命题含有导数形式，我们大胆猜想它积分后的形式。为此我们分下面几步走： (一) 将结论化为()()()()x f x g x g x f ''= (二) 移项并同时除以()x g 2得：()() ()()() 0''2=-x g x f x g x g x f (三) 求积分，并令之为()x F ()()()()()() ()()()()()()x g x f a g a f x g x f dt t g t f t g t g t f x F x =-=-=?02'' 则()x F 就是我们要找的辅助函数。 证明 由于()x f ，()x g 在[]b a ,连续，在()b a ,可导且()()0==b f a f 则()x F 在[]b a ,满足罗尔中值定理，存在∈ξ()b a ,，使得()0'=ξF 即()()()()() 0''2=-ξξξξξg f g g f 也即

高中数学相关定理及证明

高中数学相关定理、公式及结论证明 汉阴中学正弦定理证明 内容：在ABC ?中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则.sin sin sin C c B b A a == 证明： 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ， 根据锐角三角函数的定义，有sin CD b A ==sin CD a B 。 由此，得 sin sin a b A B = ， 同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = . 从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高， 交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义， 有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。 由此，得 =∠sin sin a b A ABC ，同理可得 =∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . （3）在ABC Rt ?中，,sin ,sin c b B c a A == ∴ c B b A a ==sin sin ， .1sin ,90=?=C C Θ.sin sin sin C c B b A a ==∴ 由(1)(2)（3）可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 2.外接圆证明正弦定理 在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结BO 并延长交圆于B ′,设BB ′=2R.则根据直径所对的圆周 角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB ′=90°，∠C =∠B ′， ∴sin C =sin B ′=R c B C 2sin sin ='=. ∴R C c 2sin =. 同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==.∴R C c B b A a 2sin sin sin ===. 3.向量法证明正弦定理 a b D A B C A B C D b a

拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用

分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5

论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日

摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application

中值定理构造辅助函数

微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论 ()()'()()()'()f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()()f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得 ()()()()()() f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有() ()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231 n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．

高中数学证明公式

高中数学证明公式数学公式 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x+h)* + k 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi)(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 半角公式

拉格朗日插值定理证明

拉格朗日插值定理证明 作者：田茂（tianmao999@https://www.wendangku.net/doc/8a17361641.html, ） 已知： 110111212 211()1...()1...*......................()1...N N N N N N N f x a x x f x a x x f x a x x ----??????????????????=???????????????? ??（1） 则有： 01111100()1*....()()() N N N N i i j i i j j i a a f x x x a x a f x a a ----==≠????????=???????? -=-∑∏ （2） 证明过程如下： 由： ()()0i i f x a f a =-=（3） 可知： ()()()()i i f x f a x a g x -=-（4） 即有： ()()mod()i i f x f a x a ≡-（5） 由中国余数定理（CRT ）可知： 1()()*()*()n i i i i f x N x M x f a ==∑（6） 式（6）中，()i M x 满足： 1()()n i j j j i M x x a =≠=-∏（7） ()i N x 满足： ()()()()1i i i i N x M x n x x a +-=（8） 即有：

()()1mod ()i i i N x M x x a ≡-（9） 由（7）得： ()()()111()() ()mod()n i j j j i n i i j j j i n i j i j j i M x x a x a a a a a x a =≠=≠=≠=-=-+-≡--∏∏∏（10） 如果要满足式（9），由（10）可知，()i N x 为： ()11 ()i n i j j j i N x a a =≠=-∏（11） 将（7）和（11）代入（6）可得： ()1 1111100()()*()*() 1*()*()()()() n i i i i n n j i n i j i j j i j j i N N i i j i i j j i f x N x M x f a x a f a a a x a f x a a ===≠=≠--==≠==---=-∑∑∏∏∑∏（12） 命题得证。

数学分析 隐函数定理及其应用

第十八章隐函数定理及其应用 教学目的：1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数； 2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件； 3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。 教学重点难点：本章的重点是隐函数定理； 教学时数：14学时 § 1 隐函数 一．隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法. 隐函数及其几何意义: 以为例作介绍. 1. 2.隐函数的两个问题:ⅰ>隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性 质. 二.隐函数存在条件的直观意义: 三.隐函数定理: Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件: 在以为内点的某一区域D上连续 ; ⅰ> 函数 ⅱ> ; ( 通常称这一条件为初始条件 )

ⅲ> 在D内存在连续的偏导数 ; ⅳ> . 的某邻域()D内 , 方程唯一地确定一个定义 则在点 在某区间内的隐函数 时()且 ⑴, . 在区间内连续 . ⑵函数 ( 证略 ) 四.隐函数可微性定理: 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D内 Th 2 设函数 存在且连续 . 则隐函数 且 . ( 证略 ) 例1 验证方程 在点满足隐函数存在 唯一性定理的条件 , 并求隐函数的导数 . P149例1 . 其中为由方程所确 例2 定的隐函数 . 求. P150例2 ( 仿 )

在点的某邻域内 例3 ( 反函数存在性及其导数 ) 设函数 有连续的导函数 函数 , 并求反函数的导数. P151例4 五. 元隐函数: P149 Th3 例4 . 验证在点存在 的隐函数 , 并求偏导数 . P150 例3 平面曲线的切线与法线 : 设平面曲线方程为. 有 一. . 切线方程为, 法线方程为 . 求Descartes叶形线在点处的切线和 例1 二.空间曲线的切线与法平面 : 1.曲线由参数式给出 : . 切线的方向数与方向余弦.

关于高等数学常见中值定理证明及应用

中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法

(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法

高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为 D.则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21=. ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得 AB CB AC =+, a b D A B C B C D b a D C B A

七大中值定理的理解与运用

七大中值定理的理解与运用 在高等数学内容中，七大中值定理（零点定理、介值定理、三大微分中值定理、泰勒定理与积分中值定理）是学生在学习过程中认为最难的部分。七大定理的难主要在于难理解、难应用。在历次考试，包括研究生入学考试中，与中值有关的问题一直是考试中得分最少的题，因此如何让学生更好的理解与掌握定理，灵活有效的使用定理，一直是我在授课过程中觉得比较难把握的。在授课和答疑过程中也曾经积累了一些想法，但是这些想法都比较零碎。乐老师在培训过程中对中值定理证明问题中辅助函数构造的讲解，对我帮助最大。借这次机会将我对七大定理教学过程中的体会总结如下。 第一，七大定理的归属。 零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进。积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广。 第二，对使用每个定理的体会。 学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。

1．使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b 之间有一个（或者只有一个）根”。从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。 2．介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数 f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。 3．用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数（甚至是高阶导数）、含有中值（也可能有多个中值）。正如乐老师在培训过程中所说，应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。曾经在以往授课过程中总结了一点构造函数的方法，这次经过培训，我对构造函数的方法有了进一步的掌握，感觉乐老师讲述的方法便于记忆，更便于学生理解。在微分中值定理证明问题时，我的体会有下面几点：（1）当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理；（2）当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的；（3）当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明；（4）当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点不一样，需要注意区间的选择，两

罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用

罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用

单位：旅游系 专业：酒店管理 姓名：王姐 学号：1414061039 【摘要】罗尔定理与拉格朗日定理是是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断导数的整体性质的工具。拉格朗日定理存在于多个科学领域之中，其中微积分中的拉格朗日定理即拉格朗日中值定理，又称拉式定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的形式。它在初等数学中有着重要作用，也是一个基础性定理。在许多方面它都有重要的作用 ，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。 【关键词】罗尔定理、拉格朗日定理、重要应用。 引言 拉格朗日定理是高等数学的基础，同时也是一个基础性的定理，在高等数学中有着重要作用，要学习和掌握它的证明方法。 罗尔定理：如果函数()f x 满足条件：○ 1在闭区间[,]a b 上连续；○2在开区间(,)a b 内可导；○ 3在区间两个端点的函数值相等，即()()f a f b =，(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=。 罗尔定理的证明：因为函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，所以它在[,]a b 上必能取得最大值M 和最小值m 。 （1）如果M m =，则()f x 在[,]a b 上恒等于常数M ，因此，在整个区间(,)a b 内恒有 '()0f x =，所以，(,)a b 内每一点都可取作ξ，此时定理显然成立。 （2）如果m M <，因()()f a f b =，则数M 与m 中至少有一个不等于端点的函数值()f a ，设()m f a ≠，这就是说，在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()f M ξ=。 下面证明'()0f ξ=。 由于()f M ξ=是最大值，所以不论x ?为正或负，恒有()()0f x f x ξ+?-ξ≤?， (,)x a b ξ+?∈。 当0x ?>时，()()0f x f x ξ+?-ξ≤?，有已知条件'()f ξ存在可知，