2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数

2019年全国高考理科数学分类汇编——三角函数

1（2019北京理科）.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________． 【答案】

2

π

.

【解析】 【分析】

将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可. 【详解】函数()2

sin 2f x x ==

142cos x

-,周期为2

π 【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式?三角函数的最小正周期公式，属于基础题. 2.（2019北京理科）在△ABC 中，a =3，b ?c =2，cos B =1

2

-． （Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B –C ）的值．

【答案】(Ⅰ) 375a b c =??

=??=?

；

(Ⅱ

)

【解析】 【分析】

(Ⅰ)由题意列出关于a ,b ,c 的方程组，求解方程组即可确定b ,c 的值； (Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得()sin B C -的值.

【详解】(Ⅰ)由题意可得：2221cos 2223a c b B ac b c a ?+-==-???-=??=???

，解得：375a b c =??

=??=?.

(Ⅱ)

由同角三角函数基本关系可得：sin 2

B ==

， 结合正弦定理

sin sin b c B C =

可得：sin sin c B C b ==

很明显角C 为锐角，故11cos 14

C ==，

故()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=

【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3.（2019全国1卷理科）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：

①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（

2

π

,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④

C. ①④

D. ①③

【答案】C 【解析】 【分析】

化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】

()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①

正确．当

2x π

π<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π??

π ???

单调递减，故②错误．当0x π

≤≤时，

()2

s i n f

x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，

()()s i n s i n 2s i n f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：

0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2s i n f

x x =；当

[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈

N 时，()si n si n 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．

【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．

4（2019全国1卷理科）.V ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设

22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．

（1）求A ；

（22b c +=，求sin C ．

【答案】（1）3

A π

=；（2）sin C =

【解析】 【分析】

（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根

据()0,A π∈可求得结果；（2）利用正弦定理可得

sin 2sin A B C +=，利用

()sin sin B A C =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程，结合同角三角函

数关系解方程可求得结果.

【详解】（1）()2

222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=

2221cos 22

b c a A bc +-∴==

()0,πA ∈ 3

A π

\=

（2）

22a b c +=sin 2sin A B C +=

又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3

A π

=

1

cos sin 2sin 222

C C C ++=

整理可得：3sin C C -

=

2

2

sin cos 1C C += (

()

2

23s i n

31s i n C C ∴=-

解得：sin 4C =

4

因

sin 2sin 2sin 0B C A C ==>所以sin C >

，故sin C =

（2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=

又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3

A π

=

1

sin 2sin 2

C C C ++=

整理可得：3sin C C -=

，即3sin 6C C C π?

?

-=-

= ??

?

sin 62C π??∴-= ???

由2(0,

),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446

C C ππππ-==+

sin sin()46

4

C ππ

=+=. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.

5.（2019全国2卷理科）下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2

π

)单调递增的是 A. f (x )=│cos 2x │ B. f (x )=│sin 2x │ C. f (x )=cos│x │ D. f (x )= sin│x │

【答案】A 【解析】 【分析】

本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，

即可做出选择．

【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos2y x =图象，由图象知，其周期为2

π，在区间(,)42ππ

单调

递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2

π，在区间(,)42ππ

单调递减，

排除B ，故选A ．

【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②

sin y x ω=不是周期函数；

6.（2019全国2卷理科）已知a ∈（0，

π

2

），2sin2α=cos2α+1，则sinα=

A.

15

B.

C. D.

【答案】B 【解析】 【分析】

利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】

2sin 2cos21α=α+，2

4sin cos 2cos .

0,,cos 02π??

∴α?α=αα∈∴α> ???

．

sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，221

5sin 1,sin 5

∴α=α=，又

sin 0α>，sin 5

α∴=

，故选B ． 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．

7.（2019全国2卷理科）V ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π

6,2,3

b a

c B ===，则V ABC 的面积为__________.

【答案】 【解析】 【分析】

本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．

【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，

所以2

2

21

(2)2262

c c c c +-???=， 即212c =

解得c c ==-

所以2a c ==，

11

sin 22ABC S ac B ?=

=?= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．

8.（2019全国3卷理科）设函数()f x =sin （5

x ωπ

+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：

①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点

③()f x 在（0,

10

π

）单调递增 ④ω的取值范围是[1229

510

，)

其中所有正确结论的编号是 A. ①④ B. ②③

C. ①②③

D. ①③④

【答案】D 【解析】 【分析】

本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265

π

ππωπ≤+<，结合正

弦函数的图像分析得出答案． 【详解】当[0,2]x π∈时，,2555x π

π

πωπω??+

∈+????

， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265

π

ππωπ≤+<，

∴

1229

510

ω≤<，故④正确， 由5265

π

ππωπ≤+<，知,2555x π

π

πωπω??+

∈+????

时， 令59,

,5

222

x π

πππ

ω+

=

时取得极大值，①正确；

极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 当0,

10x π??

∈ ???

时，(2),5510x ππωπω+??+∈????， 若f （x ）在0,10π??

???

单调递增， 则

(2)102

ωππ

+< ，即<3? ，

∵

1229510

ω≤<，故③正确． 故选：D ．

【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．

9（2019全国3卷理科）.ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知

sin

sin 2

A C

a b A +=． （1）求B ；

（2）若ABC ?为锐角三角形，且1c =，求ABC ?面积的取值范围． 【答案】(1) 3

B π

=

;(2). 【解析】 【分析】

(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π

=

.(2)根据三角形面积公式1

sin 2

ABC

S

ac B =

?，又根据正弦定理和1c =得到ABC S 关于C 的函数，由于V ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2

π

来计算C 的

定义域，最后求解()ABC

S

C 的值域.

【详解】(1)根据题意sin

sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2

A C

A B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2

A C

B +=。 0

C π+<<因为故2A C B +=或者2A C

B π++=，而根据题意A B

C π++=，故2A C B π++=不成立，所以2

A C

B +=，又因为A B

C π++=，代入得3B =π，所以3

B π

=

.

(2)因为V ABC 是锐角三角形，由（1）知3

B π

=

，A B C π++=得到2

3

A C π+=

， 故022032C C πππ

?

<

，解得62C ππ<<.

又应用正弦定理

sin sin a c

A C

=，1c =， 由三角形面积公式有：

222sin(

)111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABC

C a A S

ac B c B c B c C C

π

-=?=?=?=