递推练习题

第二章 递推练习

2014-2-23

例1:已知费波那契数列的前几个数分别为0,1,1,2,3,5,8,13,……,编程求此数列的前n 项。 样例输入:30

样例输出:514229

例2:用迭代法求y=

的值。X 由键盘输入。利用下列迭代公式计算yn=2/3*yn-1+x/(3*yn-1*yn-1)，初始值y0=x ，误差要求在10-4

练习1：楼梯问题

问题描述：设有一个共有n 级的楼梯，某人每步可走1级，也可走2级，用递推公式给出某人从底层开始走完全部楼梯的走法。例如：当n=3时，共有3种走法，即1+1+1 1+2 2+1. 输入数据：n 为6

输出数据：13

[练2] 小猴子第一天摘下若干桃子,当即吃掉一半,又多吃一个.第二天早上又将剩下的桃子吃一半,又多吃一个.以后每天早上吃前一天剩下的一半另一个.到第10天早上猴子想再吃时发现,只剩下一个桃子了.问第一天猴子共摘多少个桃子？

例3：问题描述:火车从始发站（称为第一站）开出，在始发站上车的人数为a ，然后到达第二站，在第2站有人上车、下车，但上、下车的人数相等，因此在第2站开出时（即到达第3站之前）车上的人数保持为a 人。从第3站起（包括第3站）上、下车的人数有一定的规律:上车的人数都是前两站上车人数之和，而下车人数等于上一站上车人数，一直到终点站的前一站（n-1站），都满足此规律。现给出的条件是:共有n 个车站，始发站上车的人数为a ，最后一站下车的人数是m （全部下车）。试问在第2站上车的人数？从x 站开出时车上的人数是多少？

输入:a,n,m,x

输出:x 站开出时车上的人数，如果无法求解则输出‘noanswer’

输入：5 7 32 4

输出：3 13

练习3、栈（noip2003pj ）题目大意：求n 个数通过栈后的排列总数。（1≤n ≤18） 如输入 3 输出 5

练习4、过河卒棋盘上A 点有一个过河卒，需要走到目标B 点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上的任一点有一个对方的马（如下图中的C 点），该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点（如下图中的C 点和P1，P2，……，P8）。卒不能通过对方马的控制点。棋盘用坐标表示，A 点(0,0)、B 点(n, m) (n,m 为不超过20的整数),同样马的位置坐标是需要给出的，C ≠A 且C ≠B 。现在从键盘输入n ，m ，要你计算出卒从A 点能够到达B 点的路径的条数。

输入：6 6 3 2

输出：17

扩展1、贮油点：一辆重型卡车欲穿过1000公里的沙漠，卡车耗汽油为1升/公里，卡车总载油能力为500公升。显然卡车装一次油是过不了沙漠的。因此司机必须设法在沿途建立若干个贮油点，使卡车能3x

顺利穿过沙漠。试问司机如怎样建立这些贮油点？每一贮油点应存储多少汽油，才能使卡车以消耗最少汽油的代价通过沙漠？

编程计算及打印建立的贮油点序号，各贮油点距沙漠边沿出发的距离以及存油量。格式如下：

–No. Distance(k.m.) Oil(litre)

–1 ××××

–2 ××××

–……………

扩展2：骑士游历:（noip1997tg）

设有一个n*m的棋盘(2<=n<=50,2<=m<=50),如下图,在棋盘上任一点有一个中国象棋马,

马走的规则为:1.马走日字 2.马只能向右走，即如下图所示:

任务1:当N,M 输入之后,找出一条从左下角到右上角的路径。

例如:输入 N=4,M=4

输出:路径的格式:(1,1)->(2,3)->(4,4)

若不存在路径,则输出"no"

任务2:当N,M 给出之后,同时给出马起始的位置和终点的位置,试找出从起点到终点的所有路径的数目。

例如:(N=10,M=10),(1,5)(起点),(3,5)(终点)

输出:2(即由(1,5)到(3,5)共有2条路径)

输入格式:n,m,x1,y1,x2,y2(分别表示n,m,起点坐标,终点坐标)

输出格式:路径数目(若不存在从起点到终点的路径,输出0)

高考数列递推公式题型归纳解析完整答案版

最新高考数列递推公式题型归纳解析完整答案版 类型1 ) (1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 变式1.1:（2004，全国I ，个理22．本小题满分14分） 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5； （II ）求{ a n }的通项公式. 解：Θk k k a a )1(122-+=-，k k k a a 3212+=+ ∴k k k k k k a a a 3)1(312212+-+=+=-+，即k k k k a a )1(31212-+=--+ ∴)1(313-+=-a a ，2235)1(3-+=-a a …… ……k k k k a a )1(31212-+=--+ 将以上k 个式子相加，得 ]1)1[(2 1 )13(23])1()1()1[()333(22112--+-=-+???+-+-++???++=-+k k k k k a a 将11=a 代入，得1)1(21321112--+?=++k k k a ， 1)1(2 1 321)1(122--+?=-+=-k k k k k a a 。 经检验11=a 也适合，∴???????--?+?--?+?=-+)(1)1(2132 1)(1)1(21321222 1 21为偶数为奇数n n a n n n n n 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例3:已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-= + )1(≥n ，求n a 。 解：12 31 32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-?+?-??????+---?+---= 3437526331348531n n n n n --= ????=---L 。 变式2.1:（2004，全国I,理15）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)， 则{a n }的通项1 ___ n a ?=? ? 12n n =≥ 解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+???+++=-+13211)1(32，用此式减去已知式，得

用递推公式计算定积分(matlab版)

用递推公式计算定积分 实验目的： 1．充分理解不稳定的计算方法会造成误差的积累，在计算过程中会导致误差的迅速增加，从而使结果产生较大的误差。 2．在选择数值计算公式来进行近似计算时，应学会选用那些在计算过程中不会导致误差迅速增长的计算公式。 3．理解不稳定的计算公式造成误差积累的来源及具体过程； 4．掌握简单的matlab语言进行数值计算的方法。 实验题目： 对n=0,1,2,…,20，计算定积分： 实验原理： 由于y(n)= = – 在计算时有两种迭代方法，如下： 方法一： y(n)=– 5*y(n-1),n=1,2,3, (20) 取y(0)= = ln6-ln5 ≈ 0.182322 方法二： 利用递推公式：y(n-1)=-*y(n),n=20,19, (1) 而且，由 = * ≤≤* =

可取：y(20)≈*()≈0.008730. 实验容： 对算法一,程序代码如下： function [y,n]=funa() syms k n t; t=0.182322; n=0; y=zeros(1,20); y(1)=t; for k=2:20 y(k)=1/k-5*y(k-1); n=n+1; end y(1:6) y(7:11) 对算法二，程序代码如下： %计算定积分； %n--表示迭代次数； %y用来存储结果； function [y,n]=f(); syms k y_20;

y=zeros(21,1); n=1; y_20=(1/105+1/126)/2; y(21)=y_20; for k=21:-1:2 y(k-1)=1/(5*(k-1))-y(k)/5; n=n+1; end 实验结果： 由于计算过程中，前11个数字太小，后9个数字比较大，造成前面几个数字只显示0.0000的现象，所以先输出前6个，再输出7—11个，这样就能全部显示出来了。 算法一结果： [y,n]=funa %先显示一y(1)—y(6) ans = 0.1823 -0.4116 2.3914 -11.7069 58.7346

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法举隅 类型一：1n n a pa q +=+（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ……121(1n p a q p p -=++++…211)11n n q q p a p p p --??+=+ ?+ ? --??。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--?? ，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=??…… 1223(122n -=++++ (211) 332)12232112n n n --+??+=+?+=- ? --?? 。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则1 1342 2n n n a -++=?=，即123n n a +=-。 类型二：1()n n a a f n +=+ 思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+ ∑。

公务员行测数列数字推理练习题

1，6，20，56，144，( ) A.256 B.312 C.352 D.384 3, 2, 11, 14, ( ) 34 A.18 B.21 C.24 D.27 1，2，6，15，40，104，( ) A.329 B.273 C.225 D.185 2，3，7，16，65，321，( ) A.4546 B.4548 C.4542 D.4544 1 1/ 2 6/11 17/29 23/38 ( ) A. 117/191 B. 122/199 C. 28/45 D. 31/47 答案 1.C 6=1x2+4 20=6x2+8 56=20x2+16 144=56x2+32 144x2+64=288+64=352 2.D 分奇偶项来看：奇数项平方+2 ；偶数项平方-2 3 = 1^2 +2 2 = 2^2 -2 11= 3^2 +2 14= 4^2 -2 （27）=5^2 +2 34= 6^2 -2 3.B 273 几个数之间的差为： 1 4 9 25 64 为别为： 1的平方2的平方3的平方5的平方8的平方 1+2=3 2+3=5 3+5=8 5+8=13 即后面一个为13的平方（169） 题目中最后一个数为：104+169=273 3.A 4546 设它的通项公式为a(n) 规律为a(n+1)-a(n)=a(n-1)^2 4.D 原式变为：1/1、2/4、6/11、17/29、46/76，可以看到，第二项的分子为前一项分式的分子+分母，分母为前一项的分母+自身的分子+1；答案为：122/1 99

2011年国家公务员考试数量关系：数字推理的思维解析 近两年国家公务员考试中，数字推理题目趋向于多题型出题，并不是将扩展题目类型作为出题的方向。因此，在题目类型上基本上不会超出常规，因此专家老师建议考生在备考时要充分做好基础工作，即五大基本题型足够熟练，计算速度与精度要不断加强。 首先，这里需要说明的是，近两年来数字推理题目出题惯性并不是以新、奇、变为主，完全是以基本题型的演化为主。特别指出的一点是，多重数列由于特征明显，解题思维简单，基本上可以说是不会单独出题，但是通过近两年的各省联考的出题来看，简单多重数列有作为基础数列加入其它类型数列的趋势，如2010年9.18中有这样一道题： 【例1】10，24，52，78，( ) .，164 A. 106 B. 109 C. 124 D. 126 【答案】D。其解题思路为幂次修正数列，分别为 故答案选D。 基本幂次修正数列，但是修正项变为简单多重数列，国考当中这一点应该引起重视，在国考思维中应该有这样一个意识，幂次的修正并不仅仅为单纯的基础数列，应该多考虑一下以前不被重视的多重数列，并着重看一下简单多重数列，并作为基础数列来用。 下面说一下国考中的整体思维，多级数列，幂次数列与递推数列，三者在形式上极其不好区分，幂次数列要求考生对于单数字发散的敏感度要够，同时要联系到多数字的共性联系上，借助于几个题目的感觉对于理解和区别幂次数列是极为重要的。 对于多级数列与递推数列，其区分度是极小的，几乎看不出特别明显的区别，考生在国考当中遇到这类题目首先应该想到的就是做差，通过做差来看数列的整体趋势，如果做差二次，依然不成规律，就直接进行递推，同时要看以看做一次差得到的数列是否能用到递推中。 【例2】(国考2010-41)1，6，20，56，144，( ) A. 384 B. 352 C. 312 D. 256 【答案】B。在这个题目中，我们可以得到这样一个递推规律，即(6-1)×4=20，(20-6)×4=56，(56-20)×4=144，因此(144-56)×4=352。这个规律实际上就是两项做一次差之后4倍的递推关系，也就是充分利用了做差来进行递推。 A. 125 B. 250 C. 275 D. 350

(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =

（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。

习题3 递推关系

习 题 三 3-1 解下列递推关系： （1）???===+---1 ,00 1071021a a a a a n n n （2）???===++--1,00961021a a a a a n n n （3）???===+-2,00102a a a a n n （4）???==-=--1210 2 1a a a a a n n n （5）???===-+=---2,1,099210 3 21a a a a a a a n n n n （解）（1）特征方程为010x 7x 2 =+-。解得2x 1=，5x 2=，故通解为 n n n B A a 52?+?= 分别令n ＝0，1，并代入初值1010==a a , 得关于系数A 、B 的方程组 ?? ?=+=+1 520 B A B A 解得31- =A ，3 1 =B 。所以定解为 n a ＝ () n n 253 1- （2）特征方程为0962 =+-x x 。解得321==x x ，故通解为 ()n n Bn A a 3?+= 代入初值得 ? ? ?=+=1330 B A A 解得0=A ，3 1 = B 。 ∴ 1333 1-== n n n n n a （3）特征方程为012 =+x 。解得i x ±=，故通解为 ()n n n i B i A a -?+?= 代入初值得

?? ?=-=+2 Bi Ai B A 解得i A -=，i B =。 ∴ n a ＝()n n i i i i -+?-＝() 1 1---+n n i i ＝() 11 11---+n n i )( 可以看出，此数列为：0，2，0，－2，0，2，0，－2，……。 当然本数列可以不用特征根法求解，直接由解递推关系就可观察出2--=n n a a ，从而由初值即得结果。 （4）用特征根法求解可得解为n a ＝1。 本小题虽然是二阶递推关系，但由于其特殊性，并不一定要用特征根法求解，而用迭代法可能更容易计算出结果。即 0122a a a -=＝2×1－1＝1， 1232a a a -=＝2×1－1＝1，…… 立即可以观察出n a ＝1（n ＝0，1，2，…）。 （5）特征方程为0992 3 =+--x x x 。解得31-=x ，12=x ，33=x ，故通解为 ()n n n C B A a 33++-= 代入初值得方程组 ?? ? ??=++=++-=++2991330 C B A C B A C B A 解得121-=A ，4 1-=B ，31 =C 。 ∴ ()n n n a 331413121 ?+---=＝()[] 113134 1--+--n n 3-2 求由A ，B ，C ，D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列数。 （解）设由A ，B ，C ，D 组成的字符串为s ＝()n c c c 21，串的长度为n ，满足条件 的串有n a 个，则 n a ＝13-n a ＋()2242--+n n a ＋()3342--+n n a ＋……＋() 0042+a 即 ∑-=-=-1 012n i i n n a a a ＋ () 143 11 --n 化简得 221143----+-=-n n n n n a a a a ∴ ???====+----1044210 221a a a a a a n n n n ,,

由递推公式求通项公式的方法

由递推公式求通项公式的方法 已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。 一、1()n n a a f n +=+型数列，（其中()f n 不是常值函数) 此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为1()n n a a f n +-=，从而就有 21321(1),(2),,(1).n n a a f a a f a a f n --=-=-=- 将上述1n -个式子累加，变成1(1)(2)(1)n a a f f f n -=+++- ，进而求解。 例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求 解：依题意有 213211,3,,23n n a a a a a a n --=-=-=- 逐项累加有221(123)(1)1323(1)212n n n a a n n n n +---=+++-= =-=-+ ，从而223n a n n =-+。 注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错. 变式练习：已知{}n a 满足11=a ,) 1(11+=-+n n a a n n ,求}{n a 的通项公式。 二、)(1n f a a n n ?=+型数列，（其中()f n 不是常值函数) 此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为1()n n a f n a +=，从而就有 32121 (1),(2),,(1)n n a a a f f f n a a a -===- 将上述1n -个式子累乘，变成1 (1)(2)(1)n a f f f n a =???- ，进而求解。 例2. 已知数列{}n a 中11123,(2)321 n n n a a a n n --==?≥+，求数列{}n a 的通项公式。

数列题型及解题方法归纳总结99067

知识框架 111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解 的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??????????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a = （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112a = ，12141 n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…

(完整版)数列的递推公式教案

数列的递推公式教案 普兰店市第六中学陈娜 一、教学目标 1、知识与技能：了解数列递推公式定义，能根据数列递推公式求项，通过数列递推公式求数列的通项公式。 2、过程与方法：通过实例“观察、分析、类比、试验、归纳”得出递推公式概念，体会数列递推公式与通项公式的不同，探索研究过程中培养学生的观察归纳、猜想等能力。 3、情感态度与价值观：培养学生积极参与，大胆探索精神，体验探究乐趣，感受成功快乐，增强学习数学的兴趣，培养学生一切从实际出发，认识并感受数学的应用价值。 二、教学重点、难点和关键点 重点：数列的递推定义以及应用数列的递推公式求出通项公式。 难点：数列的递推公式求通项公式。 关键：同本节难点。 三、教学方法 通过创设问题的情境，在熟悉与未知的认知冲突中激发学生的探索欲望；引导学生通过自主探究和合作交流相结合的方式进行研究；引导学生积极思考，运用观察、试验、联想、类比、归纳、猜想等方法不断地提出问题、解决问题，再提出问题，解决问题……经历知识的发生和发展过程，并注意总结规律和知识的巩固与深化。 四、教学过程 环节1：新课引入 一老汉为感激梁山好汉除暴安良，带了些千里马要送给梁山好汉，见过宋江以后，宋江吧老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他，老汉又去见卢俊义，把

现有的马匹全送给了他，卢俊义也把老汉送来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了老汉……… 一直送到108名好汉的最后一名段景住都是这样的，老汉下山回家时还剩下两匹马，问老汉上山时一共带了多少匹千里马？ 通过这个小故事让学生感受到数学来源于生活同时又为生活所服务。同时也能引起学生的兴趣和好奇心。 环节2：引例探究 (1）1 2 4 8 16……… (2) 1 ()1cos ()1cos cos ()]1cos cos[cos ……. (3)0 1 4 7 10 13 ……. 通过设置问题的情境，让学生分析找出这些数列从第二项（或后几项）后一项与前一项的关系，从而引出数列的递推公式的定义，便于学生对于数列递推公式的理解、记忆和应用。 递推公式定义： 如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任意一项a n 与它的前一项a n-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式是数列一种的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可． 环节3：应用举例及练习 例1：已知数列｛a n ｝的第1项是1，以后的各项由公式 (n ≥2)给出，写出这个给出，写出这个数列的前5项. 解：据题意可知：a 1=1, 1 11n n a a -=+2111112,1a a =+=+=3211311,22a a =+=+=4312511,33a a =+=+=5413811.55a a =+ =+=

公务员行测数字推理题目大汇总情况

公务员行测数字推理题目大汇总 1， 6， 20， 56， 144， ( ) A.256 B.312 C.352 D.384 3, 2, 11, 14, ( ) 34 A.18 B.21 C.24 D.27 1， 2， 6， 15，40， 104， ( ) A.329 B.273 C.225 D.185 2，3，7，16，65，321，( ) A.4546 B.4548 C.4542 D.4544 1 1/ 2 6/11 17/29 23/38 ( ) A. 117/191 B. 122/199 C. 28/45 D. 31/47 答案 1.C 6=1x2+4 20=6x2+8 56=20x2+16 144=56x2+32 144x2+64=288+64=352 2.D 分奇偶项来看：奇数项平方+2 ；偶数项平方-2 3 = 1^2 +2 2 = 2^2 -2 11= 3^2 +2 14= 4^2 -2 （27）=5^2 +2 34= 6^2 -2 3.B 273 几个数之间的差为： 1 4 9 25 64 为别为： 1的平方 2的平方 3的平方 5的平方 8的平方 1+2=3 2+3=5 3+5=8 5+8=13

即后面一个为13的平方（169） 题目中最后一个数为：104+169=273 3.A 4546 设它的通项公式为a(n) 规律为a(n+1)-a(n)=a(n-1)^2 4.D 原式变为：1/1、2/4、6/11、17/29、46/76，可以看到，第二项的分子为前一项分式的分子+分母，分母为前一项的分母+自身的分子+1；答案为：122/1 99 2011年国家公务员考试数量关系：数字推理的思维解析 近两年国家公务员考试中，数字推理题目趋向于多题型出题，并不是将扩展题目类型作为出题的方向。因此，在题目类型上基本上不会超出常规，因此专家老师建议考生在备考时要充分做好基础工作，即五大基本题型足够熟练，计算速度与精度要不断加强。 首先，这里需要说明的是，近两年来数字推理题目出题惯性并不是以新、奇、变为主，完全是以基本题型的演化为主。特别指出的一点是，多重数列由于特征明显，解题思维简单，基本上可以说是不会单独出题，但是通过近两年的各省联考的出题来看，简单多重数列有作为基础数列加入其它类型数列的趋势，如2010年9.18中有这样一道题： 【例1】10，24，52，78，( ) .，164 A. 106 B. 109 C. 124 D. 126 【答案】D。其解题思路为幂次修正数列，分别为 基本幂次修正数列，但是修正项变为简单多重数列，国考当中这一点应该引起重视，在国考思维中应该有这样一个意识，幂次的修正并不仅仅为单纯的基础数列，应该多考虑一下以前不被重视的多重数列，并着重看一下简单多重数列，并作为基础数列来用。

(完整版)数列专题1递推公式求通项公式(练习)

专题1：递推公式求通项公式 1．数列3，7，13，21，31，…，的一个通项公式为（ ） A ．14-=n a n B ．223++-=n n n a n C ．12 ++=n n a n D ．不存在 2．在数列}{n a 中，21-=a ， n a a n n +=+21，则=3a （ ） A. 6- B. 5- C. 4- D. 3- 3．数列}{n a 中，a 1=1，对于所有的2n ≥，* n N ∈都有2123n a a a a n ??=L ，则35a a +=等 于（ ） A. 16 61 B. 9 25 C. 16 25 D. 15 31 4．下列各式中，可以作为数列}{n a 的通项公式的是：（ ） A ．2-= n a n B ．)2(log 1-=-n a n n C ．112 ++= n n a n D ．4 tan π n a n = 5．在数列}{n a 中，2,121==a a ，n n n a a a -=++122，则=4a （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 （ ） A ．289 B ．1024 C ．1225 D ．1378 7．数列}{n a 的前n 项和)2(2 ≥?=n a n S n n ，而11=a ，通过计算2a ，3a ，4a 猜想=n a A ． 2)1(2+n B ．n n )1(2+ C ．122-n D ．1 22 -n 8．数列}{n a 中，)2(31, 11 1 1≥+= =--n a a a a n n n ，则数列｛a n ｝的通项公式是：（ ）

高中数列题型大全

高中数列题型大全Newly compiled on November 23, 2020

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ： ),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。

1-2-2 数列递推关系综合应用 解析版

专题限时训练 (小题提速练) (建议用时：45分钟) 一、选择题 1．设数列{}a n 满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2 a n ＋1 (n ∈N *)，若数列{}a n 是常数列，则a ＝( ) A ．－2 B.－1 C.0 D.(－1)n 解析：因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2 －2 a ＋1 ，即a (a ＋1)＝a 2－2，解得a ＝－2.故选A. 答案：A 2．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1 a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1 n B.a n ＝ 2n ＋1 C ．a n ＝2 n ＋2 D.a n ＝3n 解析：由已知2a n ＋1＝1a n ＋1 a n ＋2， 可得 1 a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1 ， 所以??????1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1 a 1 ＝2－1＝1 的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1 n . 答案：A 3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，若S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B.9 C.10 D.11 解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，∴S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100， 解得n ＝10. 答案：C 4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 1 3(a 5＋a 7＋a 9)＝( ) A ．－5 B.－15 C.5 D.15 解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n .

简单数列递推题型

简单的递推数列 类型一 )(1n f a a n n +=+ 把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用迭加法求解 1.已知数列{}n a 中，* 111,3,1N n a a a n n n ∈+==-+，则n a = 2.在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n +=++，则n a = 类型二 n n a n f a ?=+)(1 把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法求解 1.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，则n a = 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，则n a = 类型三 周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期 1.已知数列}{n a 满足)(1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+，则2014a =（ ） A ．0 B ．3- C ．3 D ． 2 3 2.已知数列}{n a 满足=??-+==+52012111,11,2a a a a a a a n n n Λ则 类型四. q pa a n n +=+1（其中q p ,均为常数，)0)1((≠-p pq 1．已知数列{}n a 中，11=a ，231+=+n n a a ，则n a = 2.在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则n a = 3.已知数列{}n a 满足* 111,21().n n a a a n N +==+∈则n a =

（长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 10a >且 659 11 a a =，当n S 取最大值时，n 的值为 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 （辽宁省沈阳市2015届高三教学质量监测（一）数 学（理）试题）设等差数列{}n a 满足 27a =，43a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得n S 0>最大的自然数n 是（ ） A ．9 B.10 C.11 D.12 （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数 学（理）试题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，123n n a S +=+，则4S =____________. （新疆乌鲁木齐地区2017年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）等差数列{}n a 中， 365,S 36,a ==则9S = （ ） A. 17 B. 19 C. 81 D. 100 （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）设数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足21 =346 n n n S a a +-（），则=n a . (甘肃省定西市通渭县榜罗中学2016届高三上学期期末数学（理）试题)已知数列{a n }是递增等比数列，a 2=2，a 4﹣a 3=4，则此数列的公比q=（ ） A ．﹣1 B ．2 C ．﹣1或2 D ．﹣2或1 （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L A ．5 B ．9 C ．3log 45 D ．10

数列题型与解题方法归纳总结

.下载可编辑. 知识框架 111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解 的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ????????????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可 能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？ （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112a = ，12141 n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+… +（a n -a n-1）

行测数字推理口诀

2011公考：行测之数字推理八句口诀 距离国考仅不到1个月的时间了，相信广大考生都在进行紧张的复习，为了帮助考生提 高复习效率，针对行测里面的数量关系模块，华图讲师张平总结了八句口诀，熟悉掌握这八 句口诀，并在考试时加以灵活运用，可以取得事半功倍的效果。 八句口诀： 一个目标：保3争4 两种思维：单数字发散，多数字联系 三步流程：看特征，做差，递推 四种方式：分数线，约分与通分，反约分，根号 五大题型：多级，多重，分数，幂次，递推 六种趋势：差，商，和，方，积，倍 七种数列：常数，等差，等比，质数，周期，对称，简单递推 八大特征：倍数关系，长数列，两个括号，少数分数，幂次数，带分数与小数，多位数，-n、0型 下面就这8句口诀进行详细解释。 一、一个目标 数字推理的目标：保3争4。也就是说，针对5个数字推理题，保证做对3个，争取做 对4个，放弃1个。如果某些省考的数字推理题是10个，则可相应把目标调整为保6争8。 有目的的放弃，将时间投入到其他模块相对容易的题目中，可以保证整体效益的最大化。 二、两种思维 众所周知，行测的核心问题就是速度。在保证四则运算速度（尤其是三位数以内的加减 法）的基础上，如果具备快速的两种思维能力（单数字发散和多数字联系），那么面对那些 幂次数列和递推数列时，就很容易迅速的找到突破口，轻松解题。 【例1】126 因子发散：其因子有2、3、6、7、9， 相邻数发散：126周围的特殊数（平方数、立方数）有 【例2】1，4，9 共性联系：都是正整数、一位数、平方数 递推联系：

三、三步流程 做过数字推理题的都知道，面对一个陌生的数列，一般是先确定数列类型，也就是找出这个数列中数字的规律，再根据规律计算出未知项。而最难的也就是第一步：确定数列类型。一旦数列类型确定，后续的计算过程基本没有难度。为了使考生在最短的时间内做出题目，我们形成了一套数字推理解题的流程，如下图。 理解并熟练掌握这个流程图以后，可以解决90%的数字推理题，完成我们的目标“保3争4”没有任何问题。 为了使考生更好的理解这个解题的流程图，将以上三步详细分解如下： 四、四种方式 基本上，分数数列的特征非常明显：数列中大部分都是分数。针对特征明显的分数数列，我们总结出三种解题方式，再加上特征明显的根式数列，总共是四种方式，熟练掌握这四种方法，就可以轻松解决分数（根式）数列。 ⑴连接分数线 连接分数线后，分子、分母各形成一个数列，这两个数列或者单独有规律，或者交叉有 规律。

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

.. . 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -= ---n n a a n n ……

.. . 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得： 1-= k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-1 1)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n