(完整版)相似三角形与圆综合题

相似三角形与圆综合

第一部分：例题分析

例1、已知：如图，BC 为半圆O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，过点B 作弦BF 交AD 于点E ，交半圆O 于点F ，弦AC

与BF 交于点H ，且AE=BE. 求证：（1）︵AB =︵

AF ；（2）AH ·BC=2AB ·BE.

例2、如图，PA 为圆的切线，A 为切点，PBC 为割线，∠APC 的平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，求证：(1)AD=AE ；(2)AB ·AE=AC ·DB ．

例3、AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝60°，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交PQ 于点D ．

(1)求证：△CDQ 是等腰三角形； (2)如果△CDQ ≌△COB ，求BP ∶PO 的值．

例4、△ABC 内接于圆O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于D 点，交⊙O 的切线BE 于F ，连结BD ，CD ． 求证：(1)BD 平分∠

CBE ；(2)AB ·BF ＝AF ·DC ．

例3、 ⊙O 内两弦AB ，CD 的延长线相交于圆外一点E ，由E 引AD 的平行线与直线BC 交于F ，作切线FG ，G 为切点，求证：EF ＝FG ．

第二部分：当堂练习

1．如图，AB 是⊙O 直径，ED ⊥AB 于D ，交⊙O 于G ，EA 交⊙O 于C ，CB 交ED 于F ，求证：DG 2＝DE ?DF

2．如图，弦EF ⊥直径MN 于H ，弦MC 延长线交EF 的反向延长线于A ，求证：MA ?MC ＝MB ?MD

D

C

B

A

O

M

N E

H

3．如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，点D 为劣弧AC 上一点，弦ED 分别交⊙O 于点E ，交AB 于点H ，交AC 于点F ，过点C 的切线交ED 的延长线于点P ． (1)若PC =PF ，求证：AB ⊥ED ；

(2)点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE ·DF ，为什么？

4．如图(1)，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径，则有结论：AB · AC =AE · AD 成立，请证明．如果把图(1)中的∠ABC 变为钝角，其它条件不变，如图(2)，则上述结论是否仍然成立？

5．如图，AD 是△ABC 的角平分线，延长AD 交△ABC 的外接圆O 于点E ，过点C 、D 、E 三点的⊙O 1与AC 的延长线交于点F ，连结EF 、DF ．

(1)求证：△AEF ∽△FED ； (2)若AD =8，DE =4，求EF 的长． 6．如图，PC 与⊙O 交于B ，点A 在⊙O 上，且∠PCA =∠BAP ． (1)求证：P A 是⊙O 的切线． (2)△ABP 和△CAP 相似吗？为什么？ (3)若PB :BC =2:3，且PC =20，求P A 的长．

D

C

B

A

O

E

7．已知：如图， AD 是⊙O 的弦，OB ⊥AD 于点E ，交⊙O 于点C ，OE =1，BE =8，AE :AB =1:3． (1)求证：AB 是⊙O 的切线；

(2)点F 是ACD 上的一点，当∠AOF =2∠B 时，求AF 的长．

8．如图，⊿ABC 内接于⊙O ，且BC 是⊙O 的直径，AD ⊥BC 于D ，F 是弧BC 中点，且AF 交BC 于E ，AB ＝6，AC ＝8，求CD ，DE ，及EF 的长．

A

C

P

E

D H F

O

9． 已知：如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=o ，4AC =，

43BC =，以AC 为直径的O e 交AB 于点D ，点E 是

BC 的中点，连结OD ，OB 、DE 交于点F ．

(1)求证：DE 是O e 的切线； (2)求EF ：FD 的值．

A

B

C

D E F

O

10．如图，A 是以BC 为直径的O e 上一点，AD BC ⊥于点D ，过点B 作O e 的切线，与CA 的延长线相交于点

E G ，是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点

F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．

(1)求证：BF EF =； (2)求证：PA 是O e 的切线； (3)若FG BF =，且O e 的半径长为32，求BD 和FG 的长度．

第三部分 课后作业

1．已知⊙O 的半径为35厘米，⊙O '的半径为5厘米．⊙O 与⊙O '相交于点D 、E ．若两圆的公共弦DE 的长是6厘米（圆心O 、O '在公共弦DE 的两侧），则两圆的圆心距O O '的长为（ ） （A ）2厘米 （B ）10厘米 （C ）2厘米或10厘米 （D ）4厘米 2．如图，两个等圆⊙O 和⊙O '的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB 等于 （ ） （A ）ο

30 （B ）ο

45 （C ）ο

60 （D ）ο

90

3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝ο

90，AB ＝AC ＝2，以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分的面积为 （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1+

4π （D ）2－4

π

4．已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为 （ ） （A ）18π （B ）9π （C ）6π （D ）3π

5、如图△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截 AB 被截成三等分则图中阴影部分的面积是△ABC 的面

O

D G

C

A

F

B

积的 （ ）

6．已知，如图，以△ABC 的边AB 作直径的⊙O ，分别并AC 、BC 于点D 、E ，弦FG ∥AB ，S △CDE ︰S △ABC ＝1︰4，DE ＝5cm ，FG ＝8cm ，求梯形AFGB 的面积．

7．如图，在两个半圆中，大圆的弦MN 与小圆相切，D 为切点，且MN ∥AB ，MN ＝a ，ON 、CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．

8．如图，在Rt ABC △中，斜边1230BC C =∠=，°，D 为BC 的中点，ABD △的外接圆O ⊙与AC 交于F 点，过A 作O ⊙的切线AE 交DF 的延长线于E 点．

（1）求证：AE DE ⊥； （2）计算：AC AF ·的值．

9．如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90B ∠=o ，AB =AD ，∠BAD 的平分线交BC 于E ，连接DE ． （1）说明点D 在△ABE 的外接圆上；

（2）若∠AED =∠CED ，试判断直线CD 与△ABE 外接圆的位置关系，并说明理由．

10、 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=o

，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长；

（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．

A

B C

D

E

R

P

H Q

A

E F

O

D

B

相似三角形练习题含解析

相似三角形练习题 一、选择题 1、下列各组图形中不是位似图形的是（） A．B． C．D． 2、若2：3=7：x，则x=（） A．2B．3C．3.5D．10.5 3、两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm，如果它们的面积之和为136cm2，则较大三角形的面积是（） A．36cm2B．85cm2C．96cm2D．100cm2 4、如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（） A．（1，-2）B．（-2，1）C．（）D．（1，-1） 5、如图，已知点A在反比例函数y=(x < 0)上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k的值为( )

A .8 B .12 C .16 D .20 6、如图，平面直角坐标系中，直线y=-x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函数y=-的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（） A．2B．-2C．3D．-3 7、如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于( ) A .6 B .5 C .9 D .

8、如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于( ) A .5∶8 B .3∶8 C .3∶5 D .2∶5 9、如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③=； ④=AD?AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 10、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从 点B出发，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P 关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之 间的函数图象大致为（）

完整版相似三角形与圆综合题

AB 于点D,交AC 于点E ,求证：(1)AD=AE ; C 在O O 上,/ BAC= 60°, P 是OB 上一点，过 P 作AB 的垂线与 AC 的延长线交于点 Q 连结OC 过点C 作CD L OC 交PQ 于点D. (1)求证：△ CDQi 等腰三角形； (2) 如果△ CDQ^A COB 求BP ： PO 的值. 第一部分：例题分析 相似三角形与圆综合 △ ABC 内接于圆O, / BAC 勺平分线交O O 于D 点，交O O 的切线BE 于F ,连结 BD CD 求证：(1) BD 平分/ 例4、 例3、 O O 内两弦 E E AB CD 的延长线相交于圆外一点 E ,由E 引AD 的平行线与直线 BC 交于F ,作切线FG G 为切点, 求证: EF = FG 例3、AB 是O O 的直径，点 (2)AB ? AE=AC ? DB. BE. 例1、已知：如图，BC 为半圆O 的直径，ADI BC,垂足为D,过点B 作弦BF 交AD 于点E ,交半圆O 于点F ,弦AC

第二部分：当堂练习 1.如图，AB是O O直径，ED丄AB于D，交O O于G , EA交O O于C, CB交ED于F,求证：DG2= DE?DF

(1)若 PC=PF ,求证：AB 丄 ED ; ⑵点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使 AD 2 =DE DF ，为什么? 2 . 3. 如图，AB 、AC 分别是O O 的直径和弦，点 D 为劣弧AC 上一点, 弦ED 分别交O O 于点 E ,交AB 于点H ，交 AC 于点F ，过点C 的切线交ED 的延长线于点 P . 如图，弦EF 丄直径

相似三角形与圆综合题

相似三角形与圆综合 第一部分：例题分析 例1、已知:如图，ＢＣ为半圆Ｏ的直径,AD⊥ＢC,垂足为D，过点Ｂ作弦BF交ＡD于点Ｅ，交半圆O于点F，弦A Ｃ与BF交于点Ｈ,且AE=BE．求证：（1)错误!=错误!；(2）AＨ·BC＝2AB·BE. 例2、如图，PＡ为圆的切线,A为切点，ＰBＣ为割线,∠APC的平分线交AB于点D,交AＣ于点E，求证：(1)ＡＤ=A Ｅ；(2）ＡB·AE=AC·DＢ. 例３、ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点C在⊙O上,∠BAＣ＝６0°,Ｐ是OB上一点,过P作AB的垂线与ＡC的延长线交于点Q,连结OC，过点C作CD⊥OC交PQ于点D. (１)求证：△CDＱ是等腰三角形； (2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值. 例4、△ＡBＣ内接于圆O，∠BＡC的平分线交⊙O于D点，交⊙O的切线BE于Ｆ,连结ＢＤ，ＣＤ. 求证:(１)ＢＤ平分∠CBE;(2)ＡＢ·BF=AF·DC. 例３、⊙O内两弦AB，ＣD的延长线相交于圆外一点E,由Ｅ引AD的平行线与直线BC交于Ｆ,作切线FG，Ｇ为切点,求证：EＦ=FG. 第二部分:当堂练习 1.如图，AＢ是⊙O直径，ED⊥ＡB于D，交⊙O于G,ＥA交⊙O于C，CB交ED于Ｆ，求证：DG2=ＤE?DF 2.如图,弦EF⊥直径MN于H,弦MＣ延长线交EF的反向延长线于A,求证:MA?ＭC＝MB?ＭＤ

D C B A O M N E H 3.如图,ＡB 、AC 分别是⊙Ｏ的直径和弦，点Ｄ为劣弧AC 上一点,弦E Ｄ分别交⊙Ｏ于点E ，交A Ｂ于点Ｈ,交AC 于点F ，过点Ｃ的切线交ＥD 的延长线于点Ｐ. （1)若PC ＝P Ｆ,求证：AB ⊥ED ； （2)点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD ２ =D Ｅ·DF ，为什么？ 4.如图(1)，AD 是△ABC 的高，ＡE 是△ABC 的外接圆直径,则有结论：AB · AC ＝AE · A Ｄ成立，请证明．如果把图(1)中的∠ABC 变为钝角,其它条件不变，如图(2），则上述结论是否仍然成立？ 5．如图,AD 是△A ＢＣ的角平分线，延长AD 交△A ＢC 的外接圆O 于点E ，过点C 、D 、E 三点的⊙O 1与AC 的延长线交于点F ，连结E Ｆ、DF ． (１)求证:△A ＥF ∽△F ＥD ; （2)若AD =8,DE ＝４，求EF 的长. ６．如图，ＰC 与⊙O 交于B ,点A 在⊙O 上，且∠PCA =∠B ＡＰ. (1）求证:P A 是⊙O 的切线. (2)△ＡＢP 和△CAP 相似吗?为什么？ (3）若ＰB :BC =2:3，且P Ｃ=20,求ＰA 的长. D C B A O E 7.已知：如图, AD 是⊙O 的弦，ＯB ⊥A Ｄ于点Ｅ，交⊙O 于点C ，ＯE =1,BE =8，A Ｅ:A Ｂ=1:３． (１）求证:ＡB 是⊙O 的切线; (2)点F 是A ＣD 上的一点,当∠AOF =2∠Ｂ时,求AF 的长． ８.如图,⊿AB Ｃ内接于⊙O ，且BC 是⊙O 的直径,AD ⊥B Ｃ于D ，Ｆ是弧ＢC 中点,且AF 交BC 于E ,A Ｂ=6,AC ＝8，求CD ,DE ，及EF 的长. 9． 已知：如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=,4AC =,43BC =，以AC 为直径的O 交AB 于点D ,点E 是BC 的中点,连结OD ，OB 、DE 交于点Ｆ． A C P E D H F O

相似三角形综合题练习

相似三角形综合题练习 类型一相似三角形中动点问题 例1:如图正方形ABCD的边长为2，AＥ=EＢ，线段ＭN的两端点分别在CB、CＤ上滑动,且MN=1,当ＣＭ为何值时△AED与以Ｍ、Ｎ、C为顶点的三角形相似? 变式：如图，在△ABC中,AＢ=８,BＣ=7，ＡＣ=6,有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度为２单位／秒，有一动点Q从C沿CA移动到A,移动速度为1单位/秒,问两动点同时移动多少时间时,△PQA与△BCＡ相似. 例２：如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点Ｐ、Q同时从A、Ｂ两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是１cm/s，点Q运动的速度是2cm/ｓ,当点Q到达点Ｃ时,P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s）,解答下列问题： （1）当t=２时，判断△ＢPQ的形状，并说明理由; （２）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （3）作QR//BA交ＡC于点Ｒ，连结PＲ,当t为何值时，△AＰR∽△PRQ? A B D C E N

N C M B 变式:如图，在矩形ABC Ｄ中,AB=1２cm,BC=8ｃｍ．点E 、Ｆ、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E 、G 的速度均为2c ｍ/s ，点F 的速度为4ｃm/ｓ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动.设移动开始后第t 秒时,△ＥFG 的面积为S(c ｍ２） (1）当t ＝1秒时，S 的值是多少？ (2)写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围. （3）若点F 在矩形的边B Ｃ上移动,当t 为何值时,以点E 、B 、F 为顶 点的三角形与以点F 、C 、Ｇ为顶点的三角形相似？请说明理由. 例3：如图,在梯形ABC Ｄ中，AD ∥ＢC,AD ＝3，ＤC=５,BC=10，梯形的高为４.动点M 从Ｂ点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动N 同时从C 点出发沿线段C Ｄ以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动.设运动的时间为t(秒). （１）当MN/／AB 时，求t 的值； （2)试探究：t 为何值时,△ＭN Ｃ为直角三角形．

相似三角形经典大题解析(含答案)

相似三角形经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，B C 边的长为8，B C 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为A B 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作M N B C ∥，交A C 于点N ，在A M N △中，设M N 的长为x ，M N 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ． （2）将AMN △沿M N 折叠，使A M N △落在四边形B C N M 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A M N △与四边形B C N M 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 【答案】解：（1）M N B C ∥ A M N A B C ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AM N A M N △≌△ 1A M N ∴△的边M N 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形B C N M 内或B C 边上时， 1A M N y S =△= 2 11332 2 4 8 M N h x x x = = ·· （04x <≤） ②当1A 落在四边形B C N M 外时，如下图(48)x <<， 设1A EF △的边E F 上的高为1h ， 则132662h h x =-= - 11EF M N A EF A M N ∴ ∥△∽△ 11A M N ABC A EF ABC ∴ △∽△△∽△

12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 168242 A B C S = ??= △ 2 2 3632241224 62EF x S x x ?? - ?∴==?=-+ ? ??? 1△A 112 223 3912241224828A M N A EF y S S x x x x x ??=-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224 (48)8 y x x x =- +-<< 综上所述：当04x <≤时，2 38 y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2 912248 y x x =-+-， 取163 x = ，8y =最大 86> ∴当163 x = 时，y 最大，8y =最大 M N C B E F A A 1

相似三角形与圆的结合

E D C B A B E D C B A B B B 相似三角形与圆的结合 1、 如图，圆中的弦AB 、CD 相交于E 点， 已知CE=4，BE=5，DB=6；求：弦AC 的长 2、 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于E ，观察图形， 你能得到哪些结论，请将你所得的结论写下来，和同学交流， 看谁写的多写的对。 3、 已知：如图，ABCD 是圆内节四边形，AC 、BD 相交于点E ， 求证：AD ?BE=BC ?AE 4、 已知：如图，△AOB 中，∠AOB=90°，OC ⊥AB 于C ， OA=3cm ，OB=4cm ，以O 为圆心，以2.4cm 为半径作⊙O 。 求证：⊙O 与AB 相切 5、 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 外一点， CB 交⊙O 于D ，AD 2=CD ?BD 求证：AC 是⊙O 的切线 6、 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于B ， AC 交⊙O 于E ，AD 交⊙O 于F ， 求证：AE ?AC=AF ?AD 7、 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CA 与⊙O 相切于点A ， CE ∥AB 交⊙O 于D 、E. 求证；BE 2 =CD ?AB 8、 如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径； 求证：AB ?AC=AD ?AE

19、如图，4531===∠=∠∠=∠BC DE AB D B ，，， （1）ABC ?∽ADE ?吗？说明理由。 （2）求AD 的长。 20、如图4，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线． 21、已知:如图,ΔABC 中,AD=DB,∠1=∠2. 求证:A E A C D E A B = 22、如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连接FC (),AE AB >试证明： EF 平分∠AFC. 23、已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD

中考相似三角形经典综合题

中考相似三角形经典综合题 1、如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C 向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒． (1)求线段BC的长； (2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围： (3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线 段AB上，点F的对应点是F1，E1F1交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF= 3 3 QG? 2、在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA． （Ⅰ）如图①，求点E的坐标； （Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′． ①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标； ②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．

3、如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．（1）当ι=7时，点P与点Q相遇； （2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？ （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位． ①求s与ι之间的函数关系式； ②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直 线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积． 4、如图，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k·AE，AC＝k·AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N． （1）探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明． （2）若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并证明变化后∠ANB与∠BAE的关系． 5.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M为AB一动点（点M与点A B 、不重合），过点M作MN BC ∥，交AC于点N，在AMN △中，设MN的长为x，MN上的高为h． （1）请你用含x的代数式表示h． （2）将AMN △沿MN折叠，使AMN △落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面 A B C E M D N

经典相似三角形练习题(附参考答案)

相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：△ADE ∽△EFC ． 2．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ． （1）求证：△CDF ∽△BGF ； （2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF ∥CD 交AD 于点E ，若AB=6cm ，EF=4cm ，求CD 的长． 3．如图，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC ． 求证：△ABC ∽△FDE ． 4．如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，试说明：△ABF ∽△EAD ． 5．已知：如图①所示，在△ABC 和△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接BE ，CD ，M ，N 分别为BE ，CD 的中点． （1）求证：①BE=CD ；②△AMN 是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：△PBD ∽△AMN ． 6．如图，E 是?ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC 与△DEC 是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ，BC=6cm ． 某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的？ （2）是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD 中，若AB ∥DC ，AD=BC ，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形． （1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例） （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC 中，D 为AC 上一点，CD=2DA ，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD 于E ，连接AE ． （1）写出图中所有相等的线段，并加以证明； （2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对； 若没有，请说明理由； （3）求△BEC 与△BEA 的面积之比．

初中数学相似三角形的经典综合题

初中数学相似三角形的性质与应用经典试题 一、知识体系： 1．相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等； ②相似三角形的对应边成比例； ③相似三角形对应边上的高之比，对应边上的中线之比，对应角的角平分线之比都等于相似比； ④相似三角形的周长之比等于相似比。 ⑤相似三角形的面积之比等于相似比的平方（2 k ）。 二、典型例题： 例1：若△ABC∽△A′B′C′，且,, 3 4AB A B ，△ABC 的周长为15cm ，则△A′B′C′的周长为（ ） A ．18 B ．20 C ．154 D ．80 3 针对练习： 1．已知△ABC∽△DEF，且△ABC 的三边长为3、4、5，若△DEF 的周长为6，那么下列不可能是△DEF 一边长的是（ ） A ．1.5 B ．2 C ．2.5 D ．3 2．一直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值为（ ） A ．7 B ．5 C ．7或5 D ．无数个 例2：（2014江苏南京，3）若△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1:2，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为（ ） A ．1:2 B ．2:1 C ．1:4 D ．4:1 针对练习： 1．两相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ，它们的面积之差为322 cm ，那么小三角形的面积为（ ） A ．102 cm B ．142 cm C ．162 cm D ．182 cm 2．如图，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝2，则△ADE 与四边形DBCE 面积之比是 ▲ 。 3．如图，平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD ＝2DE ，若△DEF 的面积为a ，则平行四边形ABCD 的面积为 ▲ （用a 的代数式表示）。 4．如图，在四边形ABCD 中，E 是AD 上的一点，EC ∥AB ，EB ∥DC ，若△ABE 的面积为3，△ECD 的面积为1，则△BCE 的面积为 ▲ 。

圆与相似三角形综合训练题

圆与相似三角形专题训练 例1.如图，PD切⊙O于D，PC = PD，B为⊙O上一点，PB交⊙O于A，连结AC、BC. 求证：AC·PB = PC·BC 证明： 训练1. 如图，⊙O是弦AB∥CD，延长DC到E，EB延长线交⊙O于F，连结DF. 求证：AD·ED = BE·DF 证明：连结CB 2. 如图，CD切⊙O于P，PE⊥AB于E，AC⊥CD，BD⊥CD. 求证：① PE：AC = PB：PA；② PE 2 = AC·BD

例2.如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF 交BC于G. 求证：AB 2 = BG·BC 证明：连结AD 训练1. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB于M，P是CD延长线上一点，PE 切⊙O于E，BE交CD于F. 求证：PF 2 = PD·PC 证明：连结AE 2. 如图，△ABC中，AB = AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CD⊥BA，垂足为D. 求证：①∠DAC = 2∠B；② CA 2 = CD·CO

例3.如图，⊙O 1和⊙O 2 相交于点A和点B，且O 1 在⊙O 2 上；过点A的直线 CD分别与⊙O 1、⊙O 2 交于点C、D，过点B的直线EF分别与⊙O 1 、⊙O 2 交于 点E、F，⊙O 2的弦O 1 D 交AB于P. 求证：① CE∥DF；② O 1 A 2 = O 1 P·O 1 D 证明： 训练1. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分∠BCD，BD交AC于点F，过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E. 求证：①AE∥BD；②AD 2 = DF·AE 证明： 2. 已知：，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作⊙O，过E作⊙O的切线ET，T为切点. 求证：ET = ED 证明：

初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)

经典练习题相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． $ 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC． 求证：△ABC∽△FDE．

4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． ; 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． | 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC=_________°，BC=_________； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： ' （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

相似三角形综合试相似与圆(难)

相似三角形综合试相似与圆(难)

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2

D C B A O M N E H A B C P E D H F O 相似三角形与圆 1．如图，AB 是⊙O 直径，ED ⊥AB 于D ，交⊙O 于G ，EA 交⊙O 于C ，CB 交ED 于F ，求证：DG 2＝DE ?DF 2．如图，弦EF ⊥直径MN 于H ，弦MC 延长线交EF 的反向延长线于A ，求证：MA ?MC ＝MB ?MD 3．(2006年黄冈)如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，点D 为劣弧AC 上一点，弦ED 分别交⊙O 于点E ，交AB 于点H ，交AC 于点F ，过点C 的切线交ED 的延长线于点P ． (1)若PC =PF ，求证：AB ⊥ED ； (2)点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE ·DF ，为什么？ 4．如图(1)，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径，则有结论：AB · AC =AE · AD 成立，请证明．如果把图(1)中的∠ABC 变为钝角，其它条件不变，如图(2)，则上述结论是否仍然成立？

D C B A O E F 5．如图，AD是△ABC的角平分线，延长AD交△ABC的外接圆O于点E，过点C、D、E三点的⊙O1与AC的延长线交于点F，连结EF、DF． (1)求证：△AEF∽△FED； (2)若AD=8，DE=4，求EF的长． 6．如图，PC与⊙O交于B，点A在⊙O上，且∠PCA=∠BAP． (1)求证：P A是⊙O的切线． (2)△ABP和△CAP相似吗？为什么？ (3)若PB:BC=2:3，且PC=20，求P A的长． 7．已知：如图，AD是⊙O的弦，OB⊥AD于点E，交⊙O于点C，OE=1，BE=8，AE:AB=1:3． (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)点F是ACD上的一点，当∠AOF=2∠B时，求AF的长． 8．如图，⊿ABC内接于⊙O，且BC是⊙O的直径，AD⊥BC于D，F是弧BC中点，且AF交BC于E，AB＝6，AC＝8，求CD，DE，及EF的长．

初三数学相似三角形练习题集

资料范本 本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载 初三数学相似三角形练习题集 地点：__________________ 时间：__________________ 说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容

相似三角形练习题 1．如图所示，给出下列条件： ①；②；③；④． 其中单独能够判定的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，已知，那么下列结论正确的是（） A．B．C．D． 3. 如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为 1：4.其中正确的有：（） A．0个B．1个C．2个D．3个 4.若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（） A．1∶4B．1∶2C．2∶1D．１∶ 5.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（） D B C A N M O

A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个 6.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD 的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（） A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 7.如图，在方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平 移方法中，正确的是（） A．先向下平移3格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移1格 C．先向下平移2格，再向右平移2格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 8.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（） A．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 9.小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米， AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 （） A．3米B．0.3米C．0.03米D．0.2米 10、在比例尺为1︰10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（）

中考相似三角形经典综合题解析资料

中考相似三角形经典综合题解析 1、（2013哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒． (1)求线段BC的长； (2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围： (3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线 段AB上，点F的对应点是F1，E1F1交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF= 3 3 QG? (1)解：如图l∵△AOB为等边三角形∴∠BAC=∠AOB=60。∵BC⊥AB ∴∠ABC=900∴∠ACB=300∠OBC=300 ∴∠ACB=∠OBC ∴CO=OB=AB=OA=3 ∴AC=6 ∴3 33 (2)解：如图l过点Q作QN∥0B交x轴于点N ∴∠QNA=∠BOA=600=∠QAN ∴QN=QA ∴△AQN为等边三角形 ∴NQ=NA=AQ=3-t ∴NON=3- (3-t)=t ∴PN=t+t=2t ∴OE∥QN．∴△POE∽△PNQ ∴OE PO QN PN = ∴ 1 32 OE t = - ∴ 31 22 OE t =- ∵EF∥x轴 ∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=300 ∴EF=BE∴m=BE=OB-OE 13 22 t =+ (0

(3)解：如图2 11180120BE F BEF EBF EFB ∠=∠=-∠-∠= ∴∠AEG=600=∠EAG ∴GE 1 =GA ∴△AE’G 为等边三角形 111331 2222 QE BE BQ m t t t t =-=-=+-=- 111131 22 QE GA AE AB BE BQ t QE ∴===--=-= ∴∠l=∠2 ∠3=∠4 ∵∠l+∠2+∠3+∠4=1800∴∠2+∠3=900 即∠QGA=900 ∵EF ∥OC BF BE BC BO ∴ =333 332233 BF m BF m t ∴ =∴==+31 3322 BC CF -= - 3CP CO OP t =-=- 31 33322633 t CF t CP CB CA --∴=== ∵∠FCP=∠BCA ∴△FCP∽△BCA． 32 PF CP t PF AB CA -∴ =∴= ∵2BQ —PF=33QG ∴33312(33)2322t t t --=?-∴t=1∴当t=1 时，2BQ —PF= 3 3 QG 2、（2013?天津）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣2，0），点B （0，4），点E 在OB 上，且∠OAE=∠0BA ． （Ⅰ）如图①，求点E 的坐标； （Ⅱ）如图②，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A ′E ′O ′，连接A ′B 、BE ′． ①设AA ′=m ，其中0＜m ＜2，试用含m 的式子表示A ′B 2+BE ′2，并求出使A ′B 2+BE ′2取得最小值时点E ′的坐标；

(完整版)圆与相似三角形的综合常见题型

圆与相似三角形专题训练 27、如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线上一点，AE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，且AC 平分∠EAB 。【2005成都】 ⑴求证：DE 是⊙O 的切线；⑵若AB ＝6，AE ＝ 24 5 ，求BD 和BC 的长。 27、已知：如图，⊙O 与⊙A 相交于C 、D 两点，A 、O 分别是两圆的圆心，△ABC 内接于⊙O ，弦CD 交AB 于点G ，交⊙O 的直径AE 于点F ，连结BD 。【2006成都】 （1）求证：△ACG ∽△DBG ；（2）求证：2 AC AG AB =? ； （3）若⊙A 、⊙O 的直径分别为15，且CG ：CD ＝1：4，求AB 和BD 的长。 E

O D G C A E F B P 27．如图,A 是以BC 为直径的O e 上一点,AD BC ⊥于点D ，过点B 作O e 的切线,与CA 的延长线相交于点 E G ，是AD 的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点 F ,延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．【2007成都】 （1）求证：BF EF =；（2）求证：PA 是O e 的切线； （3）若FG BF =，且O e 的半径长为32，求BD 和FG 的长度． 27. 如图，已知⊙O 的半径为2，以⊙O 的弦AB 为直径作⊙M ，点C 是⊙O 优弧? AB 上的一个动点（不与点A 、点B 重合）.连结AC 、BC ，分别与⊙M 相交于点D 、点E ，连结DE.若AB=23.【2008成都】 (1)求∠C 的度数；（2）求DE 的长； （3）如果记tan ∠ABC=y ，AD DC =x （0

最新相似三角形经典解答题难题含答案(个人精心整理)

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时 间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并 求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时， 求t的值． 2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的 面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关 于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当 △CPQ为等腰三角形时，求出t的 值． 3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB ＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在 边AB上运动，DE 平分CDB交 边BC于点E，EM⊥BD，垂足为 M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中， BA＝BC＝20cm，AC＝ 30cm，点P从A点出发， 沿着AB以每秒4cm的速 度向B点运动；同时点Q 从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中， AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A 以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？ 二、构造相似辅助线——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求 精品文档

相似三角形与圆综合

(一）知识复习巩固 圆的基本性质:圆周角性质，垂径定理逆定理，切线长定理 相似三角形四种判定,及性质 (二）例题精讲： 例１、已知:如图，△ABC内接于⊙Ｏ,∠BＡC的平分线交⊙O于点Ｄ，交⊙O的切线BF于点F,Ｂ为切点。求证：（１）ＢD平分∠CBF；(2)AB?ＢF=AＦ?ＣD. 考点: 相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，弦切角定理分析： (1）由于AF是∠ＢAＣ的角平分线,那么∠１=∠２,利用弦切角定理可得 ∠1=∠3,利用同弧所对的圆周角相等,可得∠2=∠4,那么，可证∠3=∠4,即 ＢD平分∠CBF; （2)由于∠3=∠1，∠F=∠Ｆ,那么可证△DBF∽△BAF,再利用相似三角形 的性质，可得相关比例线段AB：AF=BD：BＦ,又由于∠１＝∠２,同圆里 相等的圆周角所对的弧相等,而同圆里相等的弧所对的弦相等,从而BＤ=CD, 等量代换,可得ＡB：AF＝CD：BF，即ＡＢ?BF=AＦ?CD. 解答:

证明:（１）∵AD平分∠ＢAC， ∴∠1=∠２,(2分) ∵BＦ切⊙Ｏ于点B，∴∠３＝∠2, ∴∠３=∠１,(4分) 又∵∠2=∠4, ∴∠3=∠４,即BD平分∠CBＦ;(6分) （２)在△ＤＢＦ和△BＡF中， ∵∠３＝∠1，∠F＝∠F, ∴△ＤBＦ∽△BAF,（8分) ∴BＤAB=ＢＦAF即AＢ?ＢＦ=AF?BD(１0分） ∵∠1=∠2, ∴BD=CD,(11分) ∴AB?BＦ＝AF?CＤ.(12分) 例2、已知：如图,△ＡBC内接于圆,ＡB＝ＡC,D为延长线上一点,AD交圆于Ｅ. 求证:AB2=ＡＤ?AE. 考点:相似三角形的判定与性质，圆周角定理 分析： 如图,作辅助线；证明△AＢＥ∽△AＤＢ，列出比例式，即可解决问题.解答：

相似三角形综合题精选

相似三角形综合题精选 1、在Rt ABC ?中, ∠ACB =90°, CD AB ⊥,垂足为D . E 、F 分别是AC 、BC 边上一点, 且CE = 13AC ,BF =1 3BC . (1 )求证∶AC BC =CD BD . (2 )求EDF ∠的度数. 2、在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，P 是射线BC 上的一个动点，作PE ⊥AP ，PE 交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP =x ，CE =y ． （1）如图，当点P 在边BC 上时（点P 与点B 、C 都不重合），求y 关于x 的函数解析式，并 写出它的定义域； （2）当x =3时，求CF 的长； （3）当EP/AP=2 1 时，求BP 的长． F F E D C B A

3、（1）在ABC ?中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠. ①若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长； ②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）正方形ABCD 的边长为5（如图2），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与 点C 、点B 重合），且保持?=∠90APQ .当1=CQ 时，写出线段BP 的长 （不需要计算过程，请直接写出结果）. 图1 A B C 备用图 A B C P Q A B C D 图2

※ 课堂练习： 1、在ABC ?和AED ?中, AB ·AD ＝AC ·AE ,CAE ∠＝BAD ∠,ADE S ?＝4ABC S ?. 求证∶DE ＝2BC . 2、如图1,在平行四边形ABCD 中,CD AC =. （1）求证：ACB D ∠=∠； （2）若点E 、F 分别为边BC 、CD 上的两点,且CAD EAF ∠=∠.(如图2) ① 求证:ADF ?∽ACE ?； ② 求证:EF AE =. （图1） （图 2） E D C B A