振动图像与波的图像及多解问题专题.docx
振动图像与波的图像及多解问题、振动图象和波的图象
振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象.
简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦(余弦)曲线形状，但二图象是
有本质区别的?见表：
振动图象波动图象
研究对象一振动质点沿波传播方向所有质点
研究内容一质点的位移随时间的变化规律某时刻所有质点的空间分布规律
图线
I
A
O
-A
t
x∕cnι
物理意义表示一质点在各时刻的位移表示某时刻各质点的位移
图线变化随时间推移图延续，但已有形状不变随时间推移，图象沿传播方向平移
一完整曲线占横坐标距离表示个周期表示个波长
例题1:如图6—27所示，甲为某一波动在t=1 ? OS时的图象，乙为参与该波动的P质点的振动图象
(1) 说出两图中AA/的意义？
(2) 说出甲图中OA/B图线的意义？
(3) 求该波速V= ?
(4) 在甲图中画出再经3 ? 5s时的波形图
(5) 求再经过3 ? 5s时P质点的路程S和位移
解析：(1)甲图中AA表示A质点的振幅或1 ? Os时A质点的位移大小为
表示P质点的振幅，也是P质点在0. 25s的位移大小为0. 2m ,方向为负.
(2) 甲图中OA’B段图线表示O到B之间所有质点在1 ? Os时的位移、方向均为负?由乙图看出P质点在1 ? Os时向一y方向振动，由带动法可知甲图中波向左传播，则OA，间各
质点正向远离平衡位置方向振动，A/B间各质点正向靠近平衡位置方向振
动.
(3) 甲图得波长λ= 4 m,乙图得周期T= 1s所以波速V= λ/T=4m∕s
0 ? 2m ,方向为负.乙图中AA/'
(4) 用平移法：ΔX= V ?Δt = 14 m =( 3 十？)λ
在X轴上同一个给定的质点，在t+nT时刻的振动情况与它在t时刻的振动情况（位移、速度、加速度
所以只需将波形向X轴负向平移？λ =2m即可，如图6―― 28所示
t
（5）求路程：因为n=T∕2=7,所以路程S=2A n=2 × 0 ?2× 7=2。8m
求位移：由于波动的重复性，经历时间为周期的整数倍时?位移不变?所以只需考查从图示时刻，P质点
经T/2时的位移即可，所以经 3. 5s质点P的位移仍为零.
例题2:如图所示，（1）为某一波在t = 0时刻的波形图，（2）为参与该波动的P点的振动图象，则下列判
断正确的是
A .该列波的波速度为4m/S ;
B .若P点的坐标为X P= 2m ,则该列波沿X轴正方向传播
C.该列波的频率可能为2 HZ;
D .若P点的坐标为X P= 4 m,则该列波沿X轴负方向传播;
解析：由波动图象和振动图象可知该列波的波长λ=4m ,周期T= 1. 0s,所以波速V =λ∕ T = 4m / s.
由P质点的振动图象说明在t=0后，P点是沿y轴的负方向运动：若P点的坐标为X P= 2m，则说明波是沿X轴负方向传播的；若P点的坐标为X P= 4 m,则说明波是沿X轴的正方向传播的.该列波周期由质点的振动图象被唯一地确定，频率也就唯一地被确定为 f = I/1= 0Hz .综上所述，只有A选项正确.
点评：当一列波某一时刻的波动图象已知时，它的波长和振幅就被唯一地确定，当其媒质中某质点的
振动图象已知时，这列波的周期也就被唯一地确定，所以本题中的波长λ、周期T、波速V均是唯一的.由
于质点P的坐标位置没有唯一地确定，所以由其振动图象可知P点在t= 0后的运动方向，再由波动图象确
定波的传播方向
二、波动图象的多解
波动图象的多解涉及：⑴波的空间的周期性；（2）波的时间的周期性；（3）波的双向性；⑷介质中两质点间距离与波长关系未定；（5）介质中质点的振动方向未定.
1. 波的空间的周期性
沿波的传播方向，在X轴上任取一点P （X）,如图所示，P点的振动完全重复波源O的振动，只是时间上比O点要落后Δt ,且Δt =x/v=xT 0/ λ.在同一波线上，凡坐标与P点坐标X之差为波长整数倍的许多质点，在同一时刻t的位移都与坐标为λ的质点的振动位移相同，其振动速度、加速度也与之相同，或者说它们的振动“相貌”完全相同?因此，在同一波线上，某一振动“相貌”势必会不断重复出现，这就是机械波的空间的周期性.
空间周期性说明，相距为波长整数倍的多个质点振动情况完全相同.
2. 波的时间的周期性
等）相同?因此，在t时刻的波形，在t+nT时刻会多次重复出现?这就是机械波的时间的周期性.
波的时间的周期性，表明波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波的图象相同.
①传播距离：X o =n■ *x
②传播时间：t =nT *t
Xo n λ+^x
V =—= ------------
③传播速度：t n Trt
④质点振动路程：S=：4nA Ts
3. 波的双向性
双向性是指波沿正负方向传播时，若正、负两方向的传播时间之和等于周期的整数倍，则沿正负两方
向传播的某一时刻波形相同.
4. 介质中两质点间的距离与波长关系未定
在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定，就会形成多解，解题时若不能联想到所有可能情况，易出现漏解.
5. 介质中质点的振动方向未定
在波的传播过程中，质点振动方向与传播方向联系，若某一质点振动方向未确定，则波的传播方向有
两种，这样形成多解.
说明：波的对称性：波源的振动要带动它左、右相邻介质点的振动，波要向左、右两方向传播.对称
性是指波在介质中左、右同时传播时，关于波源对称的左、右两质点振动情况完全相同. 5.已知波速V
和波形，画出再经t时间波形图的方法
⑴平移法：先算出经Ut时间波传播的距离「X =v?.Vt ,再把波形沿波的传播方向平移AX即可。因为波动图象的重复性，若已知波长λ,则波形平移n个λ时波形不变。当n' ? x时，可采取去整留零的方法，
只需移X即可。
⑵特殊点法：在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰（谷）点，先确定这两点的振动方
向，再看t =n T t O由于经nT波形不变，所以也是去整留零，分别做出两特殊点经t后的位置，然后按
正弦规律画出新波形。
?- t
6. 已知振幅A和周期T,求振动质点在时间内的路程和位移
求振动物体在：t时间内的路程和位移，由于涉及质点的初始状态，需用正弦函数较复杂。特殊情况下如T/2或T时，则比较容易求。
当质点的初始位移为X o时，经T/2的奇数倍时X=-X o,经T/2的偶数倍时，X=X o o
振动质点无论从哪个位置开始计时，在一个周期内通过的路程为4A ,半个周期内通过的路程为2A ,但不
能说四分之一周期内通过的路程为A o这与振子的计时位置有关。
在X轴上同一个给定的质点，在t+nT时刻的振动情况与它在t时刻的振动情况（位移、速度、加速度
③计算波速，有两种方法。
v=X/t 或V= λ /T
向左传播时， v=X/t= (4n+3) /0.2= (20n+15) m/s.或 V= λ /T=4 (4n+3) /0.8= (20n+15) m/s. ( n=0、1、
2 …)
向右传播时，v=X/t= (4n+1) /0.2= (20n+5) m/s.或 v= λ /T=4 (4n+1) /0.8= (20n+5 ) m/s. ( n=0、1、2
…)
3
④若波速是 35m/s ,则波在0.2s 内传播的距离为 X=Vt=35 × 0.2m=7m=1 4 λ ,所以波向左传播。 ⑤ 若0.2s 小于一个周期，说明波在 0.2s 内传播的距离小于一个波长。则：
向左传播时，传播的距离X=3 λ /4=3m ;传播的时间t=3T/4得：周期T=0.267s ;波速v=15m/s.向右传播时,
例题3:—列在X 轴上传播的简谐波，在 x l = IOcm 和x 2=110cm 处的两 个质点的振动图象如图所示，则质点振动的周期为 ______________________________ s ,这 列简谐波的波长为 _____________cm .
【解析】由两质点振动图象直接读出质点振动周期为
4s.由于没有说明波的传播方向，本题就有两种
可能性：（1）波沿X 轴的正方向传播.在 t = 0时，X i 在正最大位移处,
X 2在平衡位置并向y 轴的正方向运动，那么这两个质点间的相对位置就
有如图所示的可能性，也就
X 2一 X i =（ n 十1/4） λ, λ =400/ （1十4n ） Cm
（2）波沿X 轴负方向传播.在t = 0时.X 1在正最大位移处，X 2在平衡位置并向y 轴的正方向运动，那么
这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性 十 3/4） λ , λ =400/（ 3+ 4n ） Cm 点评：由于波在媒质中传播具有周期性的特点， 期将重复出现以前的波形图，
所以由媒质中的质点的振动图象确定波长的值就不是唯一的
（若要是唯一的,
就得有两个前提：一个是确定波传播方向；一个是确定波长的范围） 例题4 :如图实线是某时刻的波形图象，虚线是经过 0.2s 时的波形图象。求:
①波传播的可能距离 ②可能的周期（频率）
③可能的波速
④若波速是35m∕s ,求波的传播方向
⑤若0.2s 小于一个周期时，传播的距离、周期（频率） 、波速。
解析：
①题中没给出波的传播方向，所以有两种可能：向左传播或向右传播。 向左传播时，传播的距离为 X=n λ +3 λ /4= (4n+3) m (n=0、1、2 …) 向右传播时，传播的距离为 X=n λ + λ /4= (4n+1) m
(n=0、1、2
…)
②向左传播时，传播的时间为 t=nT+3T∕4 得：T=4t/ (4n+3) =0.8 / (4n+3) (n=0、1、2 …） 向右传播时，传播的时间为
t=nT+T∕4 得: T=4t/ (4n+1) =0.8 / (4n+1) (n=0、1、2
…)
y
⑵P 质点速度向上，说明波向左传播，
T< t 2-t 1 <2 T ,说明这段时间内波只可能是向左传播了
5/3个波
v=100(3n+2)m/s (n=0,1,2,…)
传播的距离为 λ ∕4=1m ;传播的时间t=T∕4得：周期T=0.8s ;波速V =5m∕s. 点评：做此类问题的选择题时，可用答案代入检验法。 例题5:如图所示，一列简谐横波在
t 1时刻的波形，如图甲所示，质点 P 在该时刻的振动速度为 v ，t 2时
刻质点P 的振动速度与t ι时刻的速度大小相等，方向相同；t 3时刻质点P 的速度与t ι时刻的速度大小相等， 方向相反.若t 2— t l = t 3 —12= 0. 2秒，求这列 波的传播速度.
解析：从振动模型分析，若质点
P 从t ι时
刻开始向平衡位置方向振动，在一个周期内， 从t ι时刻到
t 2时刻，从t 2时刻到t 3时刻，对应 的振动图象如图乙所示.
考虑到振动的周期性， 则有：
t 2— t ι=( n +
1 /4) T n = 0, 1, 2
周期为：T= (t 2 一 t ι)∕( n 十 1/4) n = 0, 1, 2
由公式：V = λ/ T 得出速度V 的通解为：
V = 20 ( n + l / 4) n=0, 1, 2
方向向左.
若质点P 从t 1时刻开始背离平衡位置方向振动，在一个周期内，从 时刻到t2时刻，从t 2时刻到t 3时刻，对应的振动图象如图丙所示.考虑到 振动的周期性，则有：
t 2—11=( n + 3
/4
)
T
n = 0
,
1
, 2 .........
t 1
周期为：T= (t 2 一 t 1)∕( n 十 3/4) n = 0, 1, 2
由公式：V = λ/ T 得出速度V 的通解为： V = 20 ( n + 3 / 4) n=0 , 1, 2
方向向右.
答案：V = 20 ( n + l /4) ( n = 0, 1, 2……)
方向向左.
或V = 20 ( n + 3/4) ( n = 0, 1, 2,……)方向向右 例题6:已知在t 1时刻简谐横波的波形如图中实线所示； 在时刻t 2该波的波形如图中虚线所示。t 2-t 1 = 0.02s
来求：⑴该波可能的传播速度。⑵若已知
T< t 2-t 1<2T ,且图中P 质
点在t 1时刻的瞬时速度方向向上，求可能的波速。⑶若 0.01s t 1时刻起，图中Q 质点比R 质点先回到平衡位 置，求可能的波速。 解：⑴如果这列简谐横波是向右传播的，在t 2-t 1内波形向右匀速传播了 T ,所以波速 =100(3n+1)m∕s (n=0,1,2,…); 同理可得若该波是向左传播的，可能的波速 + y s/m V 长，所以速度是唯一的： v=500m∕s ⑶“ Q 比R 先回到平衡位置”，说明波只能是向右传播的，而 0.01s 4/3个波长，解也是唯一的： v=400m∕s 例题7: 一列横波沿直线在空间传播，某一时刻直线上相距为 d 的M 、N 两点均处在平衡位置，且 M 、N 之间仅有一个波峰，若经过时间 t , N 质点恰好到达波峰位置，则该列波可能的波速是多少？ 分析与解：本题没有给定波的传播方向，仅告诉我们在某一时刻 之间仅有一个波峰.由此我 所以波速 s =3q ∕=3/ t =3T∕ 在C 图中，波在时间t 内向左前进的距离 4 4 ,且 4 ,所以波速 M 、N 两点均处在平衡位置，且 M 、N 们可以推想，处在直线 MN 上的各个质点在该时刻相 对平衡位置的位移可能会 有以下四种情况，即波的图像有以下四种图形（如图中 A 、B 、C 、D 图，各图中均为左端为 M ,右端为 若波的传播方向由 M 到N ,那么: 在A 图中，经过时间 t , N 恰好到达波峰，说明时间 t 内波向右前进的距离 S = d 2=>4 所以波速 ViT =d 2t . 在B 图中，经过时间 S =3q ∕=3" t = 3T ∕ t ,波峰传到N 点，则波在时间t 内向右前进的距离 4 4 ,且 4 , 所以波速V 4t3=3d 4t . 在C 图中，经过时间t ,波向右前进的距离 在D 图中，经过时间t ,波向右前进的距离 S=d 4"4 ,且 t =T 4 ,所以波速 V d 4t . S=d 2=3'4 , 且 "S,所以波速 V d 2t . 若波的传播方向从 N 到M ,那么: 在A 图中，质点N 此时要向下振动，经过时间 t , N 到达波峰，则时间t 一印"4 ,在时间t 内波向左前 进的距离s =3d 2=3'4 ,所以波速^3d 2t 在B 图中，经过时间t , N 到达波峰，则时间 =T 4 在此时间内波向左前进的距离 V iT=d 4t3=3d 4t C 广 在D 图中，质点N 经过? 4变为波峰，所以 t 」4 ,在时间t 内波向左前进的距离 S 「6 = '4 ,所以 波速 FT =d 6t . 所以该列波可能的波速有五种 心%仁v=%、心临、v=3%t 、^3d ×2t . 其实上述解决问题的方法过于程序化，如果能够判断出八种情况下该时刻波形图上的波峰在传播方向上 到N 点的距离S ,波速V 就等于S t ?例如：最后一种情况中，波峰在传播方向上到 N 点的距离$‘6 , 所以波 速V S t =d 6t ?其它情况读者可自行解决. 例题8: (06上海10)在均匀介质中选取平衡位置在同一直线上的 9个质点，相邻两质点的距离均为 L,如 于一个波长，因质点1开始振动的方向向下，故波传播到质点9时,质点9起振的方向应向下，而图(b)中质 ^2 丁 ^8 L 1^21 点9向上振动，这说明质点9已振动了 一，故Δ t= — +T,T= — Δ t,机械波传播的速度为 V== = ----- 2 2 3 TZAtN 3 由此可知B C 选项正确 起点的振动图象.从该时刻起 () A. 经过0.35 S 时,质点Q 距平衡位置的距离 小于 质点P 距平衡位置的距离 B. 经过0.25 S 时，质点Q 的加速度大于质点 P 的加速度 C. 经过0.15 s,波沿X 轴的正方向传播了 3 m D. 经过0.1 S 时,质点Q 的运动方向沿y 轴正方向 图(a)所示,一列横波沿该直线向右传播 如图 (b)所示的波形.则该波的 A. 周期为△ t,波长为8L 2 B. 周期为一Δ t,波长为8L 3 2 C. 周期为一Δ t,波速为12L/ Δ t 3 D. 周期为Δ t,波速为8L∕ Δ t 答案BC ,t=0时到达质点1,质点1开始向下运动，经过时间Δ t 第一次出现 1 2 3 4 5 6 7 8 解析 由图(b)可看出，该波波长 行) (b) λ =8L,质点9此时向上运动，这说明在Δ t 时间内，波传播的距离大 例题9: ( 07四川理综20)图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图 ,图乙为质点 P 以此时刻为计时 3 解析由振动图象可判定t=0时刻质点P向下振动，则机械波向右传播?经0.35 s,即经1-T时,P 4 3 点在波峰,故Q距平衡位置的距离小于P到平衡位置的距离,A对;经0.25 s,即经1-T时,P在波谷,Q的加 4 ; 4 速度小于P的加速度,B错；波速V= = m∕s=20 m/s,所以经0.15 S波沿X轴的正方向传播的距离S=V Δ T 0.2 t=20 × 0.15 m=3 m,C对;Q点图示时刻向上振动，经半个周期，其运动方向沿y轴负方向，D错.答案AC 例题10: （07上海9）如图所示,位于介质I和∏分界面上的波源S,产生两列分别沿X轴负方向与正方向 传播的机械波.若在两种介质中波的频率及传播速度分别为f1、f2和V1、V2,则（） A. f1=2f 2,V 1=V2 B. f 1=f 2,v 1=0.5v 2 C. f 1=f 2,V 1=2V2 D. f 1=0.5f 2,v 1=V2 解析机械波的频率是由波源决定的,机械波的传播速度是由介质决定的，所以f1=f2,对I介质，波速 V1= λ 1f= 2 L Lf,对∏介质，波速V2= λ 2f= f,所以V1 =2V2.答案C 3 3 例题11: （08全国I 16）一列简谐横波沿X轴传播，周期为T.t=0时刻的波形如图所示.此时平衡位置位于 x=3 m处的质点正在向上运动，若a、b两质点平衡位置的坐标分别为x a=2.5 m,x b=5.5 m,贝U （） A. 当a质点处在波峰时,b质点恰在波谷 B. t=T∕4时,a质点正在向y轴负方向运动 C. t=3T∕4时,b质点正在向y轴负方向运动 D. 在某一时刻，a、b两质点的位移和速度可能相同 答案C 解析a 、b两质点的平衡位置间的距离为ΔX=X b-X a=5.5 m-2.5 m=3 m,从波的图象可知：λ=4 m,所 3 1 以ΔX= λ.若Δx=（n+ ）λ且n=0,1,2,3…时两质点的振动反相，故A项错.由x=3 m处的质点在t=0时 4 2 刻的速度方向可判断出波速方向为-X方向，此时质点a、b的速度方向分别为+y、-y方向，可知B错,C对. 若Δx=nλ且n=1,2,3…时两个质点的振动同相，故D错. 16. （09 ?上海物理? 12）弹性绳沿X轴放置，左端位于坐标原点，用手握住绳的左端，当t = 0时使其开始沿y轴做振幅为8cm的简谐振动，在t = 0.25s时，绳上形成如图所示的波形，则该波的波速为 __________ cm/s , t = ______________ 时，位于X2= 45cm的质点N恰好第一次沿y轴正向通过平衡位置。 答案：20, 2.75 0 -8 _I e_I ii J 10 20 30 解析：由图可知，这列简谐波的波长为20cm,周期T=0.25s × 4=1s ,所以该波的波速 人20 X2 45 V cm∕s=20cm∕s ；从t=0时刻开始到N质点开始振动需要时间t1- s = 2.25s,在振T 1 V 20 动到沿y轴正向通过平衡位置需要再经过t2=0.5s ,所以当t=( 2.25+0.5)s=2.75s ,质点N恰好第 2 一次沿y轴正向通过平衡位置。 《振动图像与波动图像的比较》教案 吴元清 2013、4、10 课题: 振动图像与波动图像的比较 教学目的: 知识与技能 : 知道振动图像和波动图像的区别与联系，知道波的传播方向与质点的振动 方向的关系。 知道用振动图像能表示波动中某一个质点的振动规律。 过程与方法: 通过教学，掌握由波的传播方向判断质点的振动方向（或由质点的振动方 向判断波的传播方向）的方法。 知道波动图像随时间变化，知道画后某一时刻波动图像的方法 情感态度与价值观: 通过感悟，使学生获得对振动图像和波动图像的正确认识，通过分析、讨论、总结等学习活动，培养学生热爱物理学习的情感和积极参与、相互配合的学习精神。 教学重点:振动图像与波动图像的区别和联系的教学 教学难点: 波动图像的横轴表示各个质点的平衡位置的理解、波动图像随时间的变化关 系、波的传播方向与质点的振动方向的关系的理解 重点与难点的突破方法: 本次课学习的振动图像与波动图像的比较，是振动和波动知识综合性较强的地方， 学生往往容易把两种图像混淆，因此，在教学中应联系两种图像的形成过程、图像的 变化情况、及各个物理量的变化规律进行比较教学；再通过例题的教学，加深对两种 图像的区别的理解并应用于解题中。 教具准备：多媒体课件、波动图像演示器 教学过程： 一、知识回顾： 多媒体投影图1（振动图像） 教师：图1是什么图像？ 学生：是振动图像； 教师：从图像中能获得哪些信息？ 学生：从图像中能获得的信息是：周期、振幅、任意时刻 的位移、加速度方向、振动方向。 多媒体投影图2（波动图像） 教师：图2是什么图像？ 学生：是波动图像。 教师：从图像中能获得哪些信息？ 学生：从图像中能获得的信息是：振幅、波长；该时刻各质点的位移、加速度；已知波的传播方向可确定该时刻各质点的振动方向，反之，已知各质点的振动方向，可确定 s m 图2 机械波点点清专题4 波传播的周期性和多解性问题 1.波动问题多解的主要因素 (1)周期性 ①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确. 每经过nT，质点完成n次全振动回到原来的状态，在时间上形成多解，多解通式为t ＝nT＋Δt. ②空间周期性：波传播的距离Δx与波长λ的关系不明确. 在波形图上，相距nλ的质点振动状态完全一致，在空间上形成多解，多解通式为x＝n λ＋Δx. (2)双向性 ①传播方向双向性：波的传播方向不确定. 只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播。 ②振动方向双向性：质点位移、速度方向不确定. 质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能，质点在某一确定位置，振动速度方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能； (3)波形的不确定： 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。 2.求解波的多解问题一般思路 (1)根据题设条件结合多解的主要因素判断是唯一解还是多解 (2)根据周期性、双向性、波形的隐含性，采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，确定时间t和距离x的关系通式。若此关系为时间，则t ＝nT ＋Δt (n ＝0,1,2，…)；若此关系为距离，则x ＝n λ＋Δx (n ＝0,1,2，…). (3)根据波速公式v ＝Δx Δt 或v ＝λ T ＝λf 求波速。 题型1 波形的不确定性形成多解 【典例1】（2013年重庆卷）（多选）一列简谐横波沿直线传播，某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6 m ，且这两质点之间的波峰只有一个，则该简谐波可能的波长为（ ） A.4 m 、6 m 和8 m B.6 m 、8 m 和12 m C.4 m 、6 m 和12 m D.4 m 、8 m 和12 m 【解析】 根据题意，有以下三种情况符合要求： ab ＝6 m ，即 λ1 2 ＝6 m ， λ1＝12 m. cd ＝6 m ，即λ2＝6 m. 振动图象和波的图象 振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象．简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦（余弦）曲线形状，但二图象是有本质区别的．见表： 振动图象波动图象 研究对象一振动质点沿波传播方向所有质点 研究内容一质点的位移随时间的变化规律某时刻所有质点的空间分布规律 图线 物理意义表示一质点在各时刻的位移表示某时刻各质点的位移 图线变化随时间推移图延续，但已有形状 不变 随时间推移，图象沿传播方向平 移 一完整曲线占横坐 标距离 表示一个周期表示一个波长 2012届高考二轮复习专题 ：振动图像与波的图像及多解问题 【例1】如图6—27所示，甲为某一波动在t=1．0s 时的图象，乙为参与该波动的P 质点的振动图象 （1）说出两图中AA /的意义 （2）说出甲图中OA /B 图线的意义 （3）求该波速v= （4）在甲图中画出再经3．5s 时的波形图 （5）求再经过3．5s 时p 质点的路程S 和位移 解析：（1）甲图中AA /表示A 质点的振幅或1．0s 时A 质点的位移大小为0．2m ，方向为负．乙 图中AA /’表示P 质点的振幅，也是 P 质点在 0．25s 的位移大小为0．2m ，方向为负． （2）甲图中OA /B 段图线表示O 到B 之间所有质点在1．0s 时的位移、方向均为负．由乙图 看出P 质点在1．0s 时向一y 方向振动，由带动法可知甲图中波向左传播，则OA /间各质点 正向远离平衡位置方向振动，A /B 间各质点正向靠近平衡位置方向振动． （3）甲图得波长λ＝4 m ，乙图得周期 T ＝1s 所以波速v= λ/T=4m/s （4）用平移法：Δx ＝v ·Δt ＝14 m ＝（3十?）λ 所以只需将波形向x 轴负向平移?λ=2m 即可，如图所示 （5）求路程：因为n=2 /T t =7，所以路程S=2An=2×0·2×7=2。8m 求位移：由于波动的重复性，经历时间为周期的整数倍时．位移不变·所以只需考查从图示时刻，p 质点经T/2时的位移即可，所以经3．5s 质点P 的位移仍为零． 【例2】如图所示，（1）为某一波在t ＝0时刻的波形图，（2）为参与该波动的P 点的振动图象，则下列判断正确的是 A ． 该列波的波速度为4m ／s ； B ．若P 点的坐标为x p ＝2m ，则该列波沿x 轴正方向传播 C 、该列波的频率可能为 2 Hz ； D ．若P 点的坐标为x p ＝4 m ，则该列波沿x 轴负方向传播； 解析:由波动图象和振动图象可知该列波的波长λ=4m ，周期T ＝1．0s ，所以波速v ＝λ／T ＝4m ／s ． 由P 质点的振动图象说明在t=0后，P 点是沿y 轴的负方向运动：若P 点的坐标为x p ＝2m ，则说明波是沿x 轴负方向传播的；若P 点的坐标为x p ＝4 m ，则说明波是沿x 轴的正方向传播的．该列波周期由质点的振动图象被唯一地确定，频率也就唯一地被确定为f ＝ l ／t ＝0Hz ．综上所述，只有A 选项正确． 点评：当一列波某一时刻的波动图象已知时，它的波长和振幅就被唯一地确定，当其媒质中某质点的振动图象已知时，这列波的周期也就被唯一地确定，所以本题中的波长λ、周期T 、波速v 均是唯一的．由于质点P 的坐标位置没有唯一地确定，所以由其振动图象可知 学大教育个性化教学辅导教案 学科: 物理任课教师：黄启琢授课时间：年月日( 星期) 姓名年级性别总课时____第___课 教学目标1、深刻理解振动图像意义与特征 2、深刻理解波动图像意义与特征 3、理解与掌握振动图像与波动图像得区别与联系 难点 重点 理解与掌握振动图像与波动图像得区别与联系 课堂教学过程课前 检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________ 过 程 1．振动图象与波得图象 振动图象与波得图象从图形上瞧好象没有什么区别，但实际上它们有本质得区别。 （1）物理意义不同：振动图象表示同一质点在不同时刻得位移；波得图象表示介质中得各个质点在同一时刻得位移。 （2）图象得横坐标得单位不同：振动图象得横坐标表示时间；波得图象得横坐标表示距离。 （3）从振动图象上可以读出振幅与周期；从波得图象上可以读出振幅与波长。 简谐振动图象与简谐横波图象得列表比较： 简谐振动简谐横波 图 象 坐 标 横坐标时间介质中各质点得平衡位置 纵坐标质点得振动位移各质点在同一时刻得振动位移 研究对象一个质点介质中得大量质点 物理意义一个质点 ．．．．在不同时刻得振 动位移 介质中各质点 ．．．在同一时刻得振 动位移 随时间得变化原有图形不变，图线随时间 而延伸 原有波形沿波得传播方向平移 运动情况质点做简谐运动 波在介质中匀速传播；介质中各 质点做简谐振动 2．描述波得物理量——波速、周期、波长： （1）波速v：运动状态或波形在介质中传播得速率；同一种波得波速由介质决定。 注：在横波中，某一波峰（波谷）在单位时间内传播得距离等于波速。 （2）周期T：即质点得振动周期；由波源决定。 （3）波长λ：在波动中，振动位移总就是相同得两个相邻质点间得距离。 振动图像与波的图像及多解问题 一、振动图象和波的图象 振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象,波动是全部质点联合起来共同呈现的现象． 简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦（余弦)曲线形状，但二图象是有本质区别的．见表： 振动图象波动图象 研究对象一振动质点沿波传播方向所有质点 研究内容一质点的位移随时间的变化规律某时刻所有质点的空间分布规律 图线 物理意义表示一质点在各时刻的位移表示某时刻各质点的位移 图线变化随时间推移图延续,但已有形状不变随时间推移,图象沿传播方向平移 一完整曲线占横坐标距离表示一个周期表示一个波长 例题精选： 例题1：如图6—27所示，甲为某一波动在t=1．0s时的图象，乙为参与该波动的P质点的振动图象 （1）说出两图中AA/的意义？ (2）说出甲图中OA/B图线的意义？ （3）求该波速v=? （4）在甲图中画出再经3．5s时的波形图 (5)求再经过3．5s时p质点的路程S和位移 解析：（1)甲图中AA/表示A质点的振幅或1．0s时A质点的位移大小为0．2m，方向为负．乙图中AA/’表示P质点的振幅，也是P质点在0．25s的位移大小为0．2m，方向为负． （2）甲图中OA/B段图线表示O 到B之间所有质点在1．0s时的位移、方向均为负．由乙图看出P质点在1．0s时向一y方向振动,由带动法可知甲图中波向左传播，则OA/间各 质点正向远离平衡位置方向振动，A/B间各质点正向靠近平衡位置方向振 动． （3)甲图得波长λ＝4 m,乙图得周期T＝1s 所以波速v=λ/T=4m/s （4）用平移法：Δx＝v·Δt＝14 m＝（3十?)λ 波的传播的多解性 【学习目标】 1．理解波传播的时间周期性特征。 2．理解波传播的空间周期性特征。 【要点梳理】 要点一、波的传播的多解性的形成原因 机械波传播过程中在时间和空间上的周期性、传播方向上的双向性、质点振动方向的不确定性都是形成波动问题多解的主要原因．解题时常出现漏解，现归类分析． 1．波动图像的周期性形成多解 机械波在一个周期内不同时刻图像的形状是不同的，但在相隔时间为周期整数倍的不同时刻图像的形状则是相同的．机械波的这种周期性必然导致波的传播距离、时间和速度等物理量有多值与之对应，即这三个物理量可分别表示为：s n s λ?=+，t kT t ?=+，/()/()v s t n s kT t λ??==++，其中0123n =，，，，；0123 k =，，，，． 2．波的传播方向的双向性形成多解 在一维条件下，机械波既可以向x 轴正方向传播，也可以向x 轴负方向传播，这就是波传播的双向性． 3．波形的隐含性形成多解 许多波动习题往往只给出完整波形的一部分，或给出了几个特点，而其余部分处于隐含状态．这样，一道习题就有多个图形与之对应，从而形成多解． 由于波动的时间周期性、空间周期性及传播的双向性，从而造成波动问题的多解．解题时要先建立通式，再根据限制条件从中取出符合题意的解． 要点二、波的传播的多解性的解题方法 1．多解问题的解题技巧 （1）方向性不确定出现多解． 波总是由波源发出向外传播的，介质中各质点的振动情况是根据波的传播方向来确定的，反之亦然．因此，题目中不确定波的传播方向或者不确定质点的振动方向，就会出现多解，学生在解题时往往凭主观选定某一方向为波的传播方向或质点振动方向，这样就会漏掉一个相反方向的解． 【例】图为一列简谐横波在某时刻的波形图，其中M 点为介质中一质点，此时刻恰好过平衡位置，已知振动周期为0.8 s ，问M 至少过多长时间达到波峰位置？ 【解析】题设条件中没有给出M 点过平衡位置的振动方向，也没给出波的传播方向，故我们应分情况讨论，当波向右传播时，M 点向下振动，则至少经过3/4T 才能达到波峰；当波向左传播时，质点M 向上振动，则至少需要/4T 才能够到达波峰，所以此题应该有两个答案．即至少再经过0.6 s 或0.2 s ，M 点到达波峰． （2）时间、距离不确定形成多解． 沿波的传播方向，相隔一个波长的两个相邻的质点振动的步调是完全相同的，相隔一定周期的前 振动图像与波的图像及多解问题专题 振动图像与波的图像及多解问题 一、振动图象和波的图象 振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象． 简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦（余弦）曲线形状，但二图象是有本质区别的．见表： 振动图象波动图象 研究对象一振动质点沿波传播方向所有质点 研究内容一质点的位移随时 间的变化规律 某时刻所有质点 的空间分布规律 图线 物理意义表示一质点在各时 刻的位移 表示某时刻各质 点的位移 图线变化随时间推移图延 续，但已有形状不 变 随时间推移，图象 沿传播方向平移 一完整曲线占 横坐标距离 表示一个周期表示一个波长例题精选： 例题1：如图6—27所示，甲为某一波动在t=1．0s时的图象，乙为参与该波动的P质点的振动图象 （1）说出两图中AA/的意 义？ （2）说出甲图中OA/B图线 的意义？ （3）求该波速v=？ （4）在甲图中画出再经3．5s时的波形图 （5）求再经过3．5s时p质点的路程S和位移 解析：（1）甲图中AA/表示A质点的振幅或1．0s时A 质点的位移大小为0．2m，方向为负．乙图中AA/’表示P质点的振幅，也是P质点在0．25s的位移大小为0．2m，方向为负． （2）甲图中OA/B段图线表示O 到B之间所有质点在1．0s时的位移、方向均为负．由乙图 看出P质点在1．0s时向一y方向振动， 由带动法可知甲图中波向左传播，则 OA/间各质点正向远离平衡位置方向振动，A/B间各质点正向靠近平衡位置方向振动． （3）甲图得波长λ＝4 m，乙图得周期T＝1s 所以波速v=λ/T=4m/s （4）用平移法：Δx＝v·Δt＝14 m＝（3十?）λ 振动图像和波动图像 [P3.]1.振动图象和波的图象 振动图象和波的图象从图形上看好象没有什么区别，但实际上它们有本质的区别。 ⑴物理意义不同：振动图象表示同一质点在不同时刻的位移；波的图象表示介质中的各个质点在同一时刻的位移。 ⑵图象的横坐标的单位不同：振动图象的横坐标表示时间；波的图象的横坐标表示距离。 ⑶从振动图象上可以读出振幅和周期；从波的图象上可以读出振幅和波长。 [P4.]2.波动图象与振动图象的比较 [P5.]1 图1所示为一列简谐横波在t ＝20s 时的波形图，图2是这列波中P 点的振动图线，那么该波的传播速度和传播方向是 （ B ） (A) v ＝25cm/s ，向左传播。 (B) v ＝50cm/s ，向左传播。 (C) v ＝25cm/s ，向右传播。 (D) v ＝50cm/s ，向右传播。 [P6.]2．一列沿x 轴正方向传播的横波在某时刻波的图象如图甲所示，A 、B 、C 、D 为介质中沿波的传播方向上四个等间距质点的平衡位置，若从该时刻开始再经过5s 作为计时零点，则图乙可以用来反映下列哪个质点的振动图象 （ C ） y /cm t /s 图2 1 2 3 4 5 0.2 y /cm 0 x /cm P 50 100 150 200 0.2 拍许多人做广播操的一张照片 拍一个人做广播操的录像 形象比喻 图象沿传播方向平移λ/4 原图象延伸T/4 图象的变化（T/4后 的图象） 振幅、波长；该时刻各质点的位移、加速度；已知波的传播方向可确定该时刻各质点的振动方 振幅、周期；任一时刻质点的位移、加速度、振动方向； 图象提供的物理信息 反映某一时刻介质中各质点相对平衡位置的位移值的波形 反映某一个质点相对平衡位置的位移随时间的变化规律 物理意义 介质中的各个质点 一个质点 研究对象 质点的平衡位置 时间 横坐标 图象 波动图象 振动图象 x y v t y T t y x y v 物理总复习：机械波及波的图像 【考纲要求】 1、理解机械波的产生条件、形成过程； 2、知道研究机械波的几个重要物理量及其相互间的关系； 3、理解波动图像的意义； 4、知道波动图像与振动图像的区别； 5、能分析有关波的多解问题。 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、机械波 1、波的形成 机械振动在介质中的传播形成机械波。条件：①波源；②介质。 2、机械波的分类 按质点的振动方向与波的传播方向是垂直还是平行，分为横波和纵波。 3、描述波动的物理量 名称符号单位意义备注 波长λm 沿着波的传播方向，两个相 邻的振动情况完全相同的 质点的距离 在一个周期内，波传播的距离 等于一个波长波速v m/s 振动传播的速度波速大小由介质决定振幅 A m 质点振动的位移的最大值 数值大小由波源决定 v f T λ λ ==周期T s 质点完成一次全振动的时 间 频率f Hz 1s内质点完成全振动的次 数 4、机械波的传播特征 要点诠释：（1）机械波向外传播的只是振动这一运动形式和振动的能量，介质中的质点本身并没有随波迁移。 （2）机械波在传播过程中，介质中各质点都在各自的平衡位置附近做同频率、同振幅的简谐振动，沿着波的传播方向，后一质点的振动总落后于前一质点的振动，或者说后面的质点总要重复前面质点的振动，只是在时间上晚了一段。正是由于不同质点在同一时刻的振 动步调不一致，于是就形成了波。 （3）在介质中有波传播时，由于介质中各个质点运动的周期性，决定振动状态在介质中的传播也具有周期性，如果忽略了介质对能量的吸收消耗，则介质中各质点均做振幅相同的简谐振动。 （4）机械波从一种介质进入另一种介质，频率不变，波速、波长都改变。机械波波速仅由介质来决定，固体、液体中波速比空气中大。 考点二、波的图像 简谐波的图象是正弦或余弦曲线。 要点诠释：（1）波的图象形象直观地揭示了较为抽象的波动规律。波的图象表示在波的传播方向上介质中大量质点在同一时刻相对平衡位置的位移，波动图象一般随时间的延续而变化（t kT ?=时，波形不变，k 为整数）。 （2）从图象可获取的信息有：①该时刻各质点的振动位移；②振幅A 和波长λ； ③若已知波的传播方向，由图象可知各质点的振动方向；若已知某质点此时刻的振动方向，由图象可知波的传播方向。 考点三、确定振动或传播方向的方法 要点诠释： 波的传播方向与质点振动方向的判断方法 已知波的传播方向，由图象可知各质点的振动方向；若已知某质点此时刻的振动方向，由图象可知波的传播方向。 常用方法有： 1、上下坡法。沿波的传播方向看，“上坡”的质点向下振动；“下坡”的质点向上振动，简称“上坡下，下坡上”（如图甲所示）。 2、同侧法。在波的图象上某一点，沿纵轴方向画出一个箭头表示质点的振动方向，并设想在同一点沿水平方向画个箭头表示波的传播方向，那么这两个箭头总是在曲线的同侧 （如图乙所示）。 3、平移法。将波沿波的传播方向做微小移动，4 x v t λ ?=?< ，如图丙中虚线所示，则 可判定P 点沿y 正方向运动了。或者说沿波的传播方向画出下一时刻的波形，这个波形（虚线）在原波形的上面，则P 点向上振动；如果这个波形（虚线）在原波形的下面，如Q 点向下振动。 考点四、振动图像与波动图像的区别 振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象。简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦(余弦)曲线形状，但二图象是有本质区别的。 振动图象 波形图象 研究对象 一振动质点 沿传播方向所有介质质点 研究内容 一质点的位移随时间的变化规律 同一时刻所有质点的空间分布规律 波的多解问题 1．知道波的问题中多解形成的原因。 2．能正确求出波的多解。 3．培养学生具体问题具体分析的科学作风。 1．重点：波的多解产生的原因。 2．难点：波的多解的分析。 一、波的多解产生的原因 由于波在时间及空间上的重复性，波在传播方向上有不确定性，故波的问题往往会引起多解，因此，在解决波的问题时，要特别注意是否有多解。 这类问题又往往与波形图联系在一起。此类问题关键是要根据题意画出正确的波形图，而且必须考虑各种可能性。 1．传播方向不确定引起多解：波总是由波源发出并由近及远地向前传播。波在介质中传播时，介质各质点的振动情况依据波的传播情况是可以确定的，反之亦然。如果根据题目中中已知条件不能确定波的传播方向或者不能确定质点的振动方向，就会出现多解。 2．波在空间上的重复性引起多解：沿波的传播方向，距离相隔n(n=1,2,3,…) 个波长的质点的振动情况是完全相同的，故波沿波的传播方向传播n(n=0、1、2……)个波长时，波形图与原来完全相同。因此，当题目中波的传播时间与质点振动的周期的关系不确定，或波的传播距离与波长的关系不确定时，就会出现多解。因此，在已知传播时间的情况下，应考虑传播时间是否已超过一个周期；在已知传播距离的情况下，应考虑传播距离是否已超过一个波长。 3．两质点间关系不确定形成多解：在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定，就会形成多解。 二、例题分析 例1、如图所示为一列横波在某时刻的波形图。此时x=2m 处的质点M 恰好位于平衡位置，再经过0.1s ，质点M 到达y=2cm 。已知波的周期大于0.1s 。求波速。 分析：由于波的周期大于0.1s ，故波在0.1s 内传播的距离必小于一个波长。 由M 到达的新位置可以画出再过0.1s 时的波形图如图。 由于不知道波的传播方向，也无法确定波的传播方向，故新的波形可能是原波形向右传播λ/4而形成 的，也可能是原波形向左传播3λ/4而形成的。这两种情况都是可能的。故在解题时要分两种情况讨论。 解：由图可读出波长λ=4m 。 1、若波向右传播，则依题意，在0.1s 时间波传播了λ/4。 s=λ/4=1m v=s/t=1/0.1=10m/s 2、若波向左传播，则依题意，则0.1s 的时波传播了3λ/4。 s=3λ/4=3m v=s/t=3/0.1=30m/s 说明：①这是由波的传播方向不确定引起的多解问题。 ② 波速也可以用公式v=s/t 求。其实，波在传播时，就是整个波形沿波的传播方向做匀速直线运动。式中的s 可理解为整个波形在时间t 内移动的距离。 例2、如图所示，实线是一列沿x 轴正方向传播的 军需谐横波在t=0时刻的波形图，虚线是t=0.05s 时的波形图。求波速。 分析：由于波在空间上具有重复性，即波传播n(n=0、1、2、3……)个波长时波形图不变，故虚线所示的波形，可能是波在0.05s 内沿x 轴正方向传播2m 而形成的，也可能是传播了λ+2、2λ+2、……n λ+2(n=0、1、2、3……)而形成的。 解：由图可读出：λ=8m 在0.05s 内，波沿x 轴的正方向传播的距离为： y/cm -2 y/m 第2课 振动图像与波的图像及多解问题 知识目标 一、振动图象和波的图象 振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象． 简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦（余弦）曲线形状，但二图象是有本质区别的．见表： 振动图象 波动图象 研究对象 一振动质点 沿波传播方向所有质点 研究内容 一质点的位移随时间的变化规律 某时刻所有质点的空间分布规律 图线 物理意义 表示一质点在各时刻的位移 表示某时刻各质点的位移 图线变化 随时间推移图延续，但已有形状不变 随时间推移，图象沿传播方向平移 一完整曲线占横坐标距离 表示一个周期 表示一个波长 【例1】如图6—27所示，甲为某一波动在t=1．0s 时的图象，乙为参与该波动的P 质点的振动图象 （1）说出两图中AA / 的意义？ （2）说出甲图中OA /B 图线的意义？ （3）求该波速v=？ （4）在甲图中画出再经3．5s 时的波形图 （5）求再经过3．5s 时p 质点的路程S 和位移 【例2】如图所示，（1）为某一波在t ＝0时刻的波形图，（2）为参与该波动的P 点的振动图象，则下列判断正确的是 A ． 该列波的波速度为4m ／s ； B ．若P 点的坐标为x p ＝2m ，则该列波沿x 轴正方向传播 C 、该列波的频率可能为 2 Hz ； D ．若P 点的坐标为x p ＝4 m ，则该列波沿x 轴负方向传播； 二、波动图象的多解 波动图象的多解涉及：(1)波的空间的周期性；(2)波的时间的周期性；(3)波的双向性；(4)介质中两质点间距离与波长关系未定；(5)介质中质点的振动方向未定． 1.波的空间的周期性 2.波的时间的周期性 3.波的双向性 说明：波的对称性：波源的振动要带动它左、右相邻介质点的振动，波要向左、右两方向传播．对称性是指波在介质中左、右同时传播时，关于波源对称的左、右两质点振动情况完全相同． 【例3】一列在x 轴上传播的简谐波，在x l = 10cm 和x 2=110cm 处的两个质点的振动图象如图所示，则质点振动的周期与这列简谐波的波长． 【例4】如图实线是某时刻的波形图象，虚线是经过0.2s 时的波形图象。求： ①波传播的可能距离 ②可能的周期（频率） ③可能的波速 ④若波速是35m/s ，求波的传播方向 ⑤若0.2s 小于一个周期时，传播的距离、周期（频率）、波速。 试题展示 1．一列简谐横波沿直线由a 向b 传播，相距10.5m 的a 、b 两处的质点振动图象如图中a 、b 所示，则 A ．该波的振幅可能是20cm B ．该波的波长可能是8.4m C ．该波的波速可能是10.5 m/s D ．该波由口传播到6可能历时7s 4 x /m y 0 简谐运动、机械波的多解性 简谐运动是质点运动的一种基本模型，它的基本特点就是周期性和对称性．在解答某些 问题时，如果能充分利用其对称性，不仅物理过程简单明了，而且解答也很简洁． 波的传播和介质各质点的振动之间有密切的内在联系，在求解此类问题时，如果质点振动或波的传播方向不确定和波的传播时间不确定等，就容易出现多解现象．解题时往往人为地选定某一方向为波的传播方向或是质点的振动方向， 造成漏掉一个相反方向的可能解．如果解题中又不能透彻分析题意，合理使用已知条件，就会造成解答不完整，或用特解代替通解现象． 简谐运动的多解性 简谐振动的多值性 ：作简谐振动的质点，是一个变加速运动，质点运动相同的路程所需的时间不一定相同．简谐振动是周期性的运动，若运动的时间与周期存在整数倍的关 系，质点运动的路程是唯一的，若运动时间为周期的一半，运动的路程具有唯一性．若不具备以上条件，质点运动的位移是多值的． 情形一：简谐振动的对称性引出的多值 例1．一个做简谐运动的质点在平衡位置O 点附近振动，当质点从O 点向某一侧运动时，经3s 第一次过P 点，再向前运动，又经2s 第二次过P 点，则该质点再经 s 的时间第三次过P 点． 分析与解： 由题意“从 O 点”出发，“过 P 点继续” 运动知，P 点不是平衡位置和位移最大的特殊点，做出示意图， 题中未明确质点第一次从 O 到P 的路径，因此需多向思维， 考虑到可能的两种情况． 若质点沿图14-1中①的方向第一次过 P 点 ，历时3s ； 由P 到b ，再由b 到P 共历时2s ，则由其对 称性知P 、b 间往返等时，各为1s ，从而可知4 T =4s ，周期 T =16s ，第三次再过 P 点，设由P 向左到a ，再返回P ，历时一个周期 T 减去P 、b 间往返用的 2s ，需时t=(16—2)s=14s ． 若沿图1中② 的方向第一次过 P 点，由对 称性可知，从 O 到P 的时间与从P 到O 的时间相等，设为t ’ ，则有：'3'22'4T t t -=+= 由上式解得1'3t =s,163T =s ，质点第三次过 P 点历时10''23t T =-=s ，故此时的答案为：14s 或103 s ． 情形二：运动方向性引出的多值性 例2．一质点做简谐运动，从平衡位置开始计时，经过0.5s 在位移最大处发现该质点，则此简谐运动的周期可能是（ ） A.2s B.2s 3 C.1s 2 D.1s 4 解：质点从平衡位置开始运动时，是先向发现点运动还是背离发现点运动，题目中并未说明，故分析时应考虑两种情况： 若质点先向发现点运动，设周期为T 则，t =T n )4 1 (+，且n=0、1、2、3…… 图 14-1 专题·振动图像和波动图像·教案 一、教学目标 1．通过对比振动图像和波动图像的联系与区别，使学生进一步深刻地认识到两种图像的不同的物理意义，培养学生的分析能力． 2．熟练掌握振动图像与波动图像的特点，能够正确识图并判断图形的变化． 二、重点、难点 1．重点是正确认识波动图像和振动图像，能从图像辨认位移、振幅、周期、波长，以及振动加速度、速度的方向、大小的比较；及速度、加速度、位移的变化的趋势；波的传播方向，并能结合其他条件计算波速，研究波动图线的变化等问题． 2．难点是正确区分振动图像和波动图像，明确它们不同的物理意义，区分质点的振动与波的传播． 三、教具 演示用沙摆振动图像仪；计算机；自制演示振动、波动图形关系软件；投影仪、投影胶片，长绳子． 四、主要教学过程 (一)引入新课 在高一年级，我们已分别学习过振动的图像和波动图像，这两种图像的物理意义有什么不同，它们的联系又是什么，如何应用这两种图像解决振动和波动问题，就是这节课所要研究的内容． (二)教学过程设计 1．振动图像和波动图像的区别和联系． (1)振动图像的演示． 用沙摆演示振动图像的形成，说明由于木板做匀速直线运动，其位移s∝时间t，所以可用木板中线上的不同位置代表不同的时刻，振动图像记录的是一个质点在不同时刻的振动位移． (2)波动图像的演示． 用长绳演示波动图像的形成，说明长绳不动时，其上各点表示的是振动质点的平衡位置，波动图像记录的是在同一时刻，不同平衡位置质点的振动位移． (3)振动图像与波动图像的区别． 引导学生回忆并总结两种图像的区别，展示投影片1，其内容如下： 振动图像波动图像 研究对象①② 横轴的物理意义③④ 周期性⑤⑥ 相邻波峰(谷)间距离⑦⑧ 图形与时间的关系⑨⑩ 图形斜率的物理意义 教师指导并组织学生填写，表格内从①～的内容分别为： ①单个质点；②无数质点；③表示时间；④表示振动质点的平衡位置；⑤表示质点位移随时间变化的周期性；⑥表示质点位移随空间变化的周期性；⑦表示一个周期；⑧表示一个波长；⑨随着时间的推移，图形不发生变化；⑩随 着时间的推移，图形沿波的传播方向平移；斜率的大小表示振动速度的大 小；斜率无物理意义． (4)振动图像与波动图像的相似点． 关于机械波多解问题的例析 山东临沂双月园学校（276017）刘忠涛机械波多解问题历来是各级各类考试中经常考察的热点，也是高中物理教学中的一个重点和难点。学生在求解机械波问题时，往往由于对波动的实质理解不深刻、对题目中隐含条件挖掘不透彻、对已知条件使用不全面等，常常会出现解答不完整而造成漏解。本文限于横波沿一条直线传播的情形，就常见的机械波多解问题通过剖析其成因进行归类例析，力求帮助学生掌握解决此类问题的根本。 一、波传播的“双向性”带来的多解问题 机械波在同种介质中沿一条直线传播的情形下，波的传播方向有两种可能，这就是波传播的“双向性”。当题目没有明确波的传播方向时，我们必须要考虑波传播的“双向性”，才能得出完整的答案。 例1如图1所示，一列简谐横波以速率v传播，t1时刻的波形为实线，t2时刻的波 形为虚线。已知△t= t 2- t 1 =0.06s，且△t小于一个周期T。则下列关于该列波传播的周期 与速率的判断，可能正确的是( )。 A．T=0.24s，v=50m／s B．T=0.08s，v=150m／s C．T=0.24s，v=150m／s D．T=0.08s，v=50m／s 解析：本题没有明确波的传播方向，因此需要考虑波传播的“双向性”。 由图1可知，该波的波长为λ=12m。 （1）若波沿+x方向传播，由图1可看出，波在△t内传播的最小距离为△S=λ／4。又 则波速大小v=△s／△t=λ／T =50m ／s. （2）若波沿－x 方向传播，同理可得另一组解T=0.08s ，v=150m ／s. 故本题正确选项为A 、B 。 二、波传播的周期性带来的多解问题 机械波在介质中传播的过程中，由于介质质点做周期性的振动，因而波的图像也具有周期性。这种周期性表现在两个方面：时间上的周期性和空间上的周期性。 （一）波传播的时间上的周期性产生多解 设某简谐波周期为T ，传播过程中在时刻t 各振动质点形成一波形，经过时间△t＝nT （n=0，1，2，3，……）各振动质点又回到t 时刻的位置。因而t ＋△t＝t ＋nT 时刻的波形与t 时刻的波形完全重合，这就是波传播的时间上的周期性。这样当题目中没有给定波传播的时间△t 与周期T 的关系时往往会有多解。 例2 一列简谐横波沿x 轴正方向传播，某 时刻波形如图2实线所示，经过时间△t＝2.5s 时波 形如图2虚线所示。求这列波传播的周期T 和速率v. 解析: 本题由于△t=t 2-t 1=2.5s 与周期T 的关系 未确定，所以必须考虑到波传播的时间上的周期性。 由波形图可知,从某时刻经过时间△t=T／4(此时T 最大)的波形图为图2中虚线所示。又由波传播的时间上的周期性可知,经过时间△t=nT+T ／4(n=0，1，2，3……)的波形图也为图2中虚线所示。根据以上讨论有 s n s n n t T 1 4104/15.24/1+=+=+?= (n=0，1，2，3，……) 由图2可知，波长λ=8m，所以波的速率 s m n s m n T v /)14(5 4/)14/(108+=+==λ (n=0，1，2，3，……) 波的传播的多解性 编稿：张金虎 审稿：吴嘉峰 【学习目标】 1．理解波传播的时间周期性特征。 2．理解波传播的空间周期性特征。 【要点梳理】 要点一、波的传播的多解性的形成原因 机械波传播过程中在时间和空间上的周期性、传播方向上的双向性、质点振动方向的不确定性都是形成波动问题多解的主要原因．解题时常出现漏解，现归类分析． 1．波动图像的周期性形成多解 机械波在一个周期内不同时刻图像的形状是不同的，但在相隔时间为周期整数倍的不同时刻图像的形状则是相同的．机械波的这种周期性必然导致波的传播距离、时间和速度等物理量有多值与之对应，即这三个物理量可分别表示为：s n s λ?=+，t kT t ?=+，/()/()v s t n s kT t λ??==++，其中0123n =，，，，；0123 k =，，，，． 2．波的传播方向的双向性形成多解 在一维条件下，机械波既可以向x 轴正方向传播，也可以向x 轴负方向传播，这就是波传播的双向性． 3．波形的隐含性形成多解 许多波动习题往往只给出完整波形的一部分，或给出了几个特点，而其余部分处于隐含状态．这样，一道习题就有多个图形与之对应，从而形成多解． 由于波动的时间周期性、空间周期性及传播的双向性，从而造成波动问题的多解．解题时要先建立通式，再根据限制条件从中取出符合题意的解． 要点二、波的传播的多解性的解题方法 1．多解问题的解题技巧 （1）方向性不确定出现多解． 波总是由波源发出向外传播的，介质中各质点的振动情况是根据波的传播方向来确定的，反之亦然．因此，题目中不确定波的传播方向或者不确定质点的振动方向，就会出现多解，学生在解题时往往凭主观选定某一方向为波的传播方向或质点振动方向，这样就会漏掉一个相反方向的解． 【例】图为一列简谐横波在某时刻的波形图，其中M 点为介质中一质点，此时刻恰好过平衡位置，已知振动周期为0.8 s ，问M 至少过多长时间达到波峰位置？ 【解析】题设条件中没有给出M 点过平衡位置的振动方向，也没给出波的传播方向，故我们应分情况讨论，当波向右传播时，M 点向下振动，则至少经过3/4T 才能达到波峰；当波向左传播时，质点M 向上振动，则至少需要/4T 才能够到达波峰，所以此题应该有两个答案．即至少再经过0.6 s 或0.2 s ，M 点到达波峰． （2）时间、距离不确定形成多解． 沿波的传播方向，相隔一个波长的两个相邻的质点振动的步调是完全相同的，相隔一定周期的前 三、振动图像与波的图像及多解问题 一、振动图象和波的图象 振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象； 波动是全部质点联合起来共同呈现的现象． 简谐振动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦（余弦）曲振动图象波动图象 研究对象 研究内容一质点位移随的变化规律某时刻所有质点的规律画出图线 物理意义表示某在各时刻的位移表示某各质点的位移 图线变化随时间推移，图线延续，但已有图 像形状。 随时间推移，图象。 一完整曲线 占横坐标距 离 表示一个。表示一个。 m处的质点，Q是平衡位置为x=4 m处的质点，图乙为质点Q的振动图象，则 ( ) A．t =0．15s时，质点Q的加速度达到正向最大 B．t=0．15 s时，质点P的运动方向沿y轴负方向 C．从t=0．10 s到t=0．25 s，该波沿x轴正方向传播了6 m D．从t=0．10 s到t=0．25 s，质点P通过的路程为30 cm 【对应练习2】如图甲所示，为一列横波在t=0时刻的波动图像，图乙为质点P的振动图像，下列说法正确的是（） A．波沿x轴正方向传播 B．波沿x轴负方向传播 C．波速为6m/s D．波速为4m/s 【对应练习3】一列横波 沿x轴正方向传播，a、b、 c、d为介质中的沿波传播方向上四个质点的平衡位置。某时刻的波形如图1所示，此后，若经过3/4周期开始计时，则图2描述的是（） A．a处质点的振动图象 B．b处质点的振动图象 C．c处质点的振动图象 D．d处质点的振动图象 【对应练习4】图甲表示一简谐横 波在t=20 s时的波形图，图乙是该 列波中的质点P的振动图象，由甲、乙两图中所提供的信息可知这列波的传播速度以及传播方向分别是( )． A．v=25cm／s，向左传播 B．v=50 cm／s，向左传播 C．v=25 cm／s．向右传播 D．v=50 cm／s，向右传播． 二、波动图象的多解 1、波的空间的周期性：相距为的多个质点振动情况完全相同． 2、波的时间的周期性：波在传播过程中，经过时，其波的图象相同． 3、波的双向性：波的传播方向及质点的振动方向不确定，要全面考虑。 【解题思路】波的多解问题常常求解波速。常常根据波速的两个表达式v=x/t=λ/T，建立等式方程。考虑波的多解问题，也即考虑x=nλ+x0，或t=nT+t0。其中x0常写为四分之几λ的形式，t0常写为四分之几T的形式。 同时根据图像得出λ和T的大小。最后联立方程求解。 【题目形式】常常结合已知图像的不同进行分类：①已知两个质点的振动图像；②已知两个时刻的波形图；③已知一个质点的振动图像和某一时刻的波形图。 100考点最新模拟题千题精练15- 4 第十五部分选修3-4 四．振动图像和波动图像 一．选择题 1.（2019成都摸底）（4分）如图甲，介质中两个质点A和B的平衡位置距波源O的距离分别为1m和5m。图乙是波源做简谐运动的振动图像。波源振动形成的机械横波可沿图甲中x轴传播。已知t＝5s时刻，A质点第一次运动到y轴负方向最大位移处。下列判断正确的是（填正确★答案★标号。选对1个得2分，选对2个得3分，选对3个得4分。每选错1个扣2分，最低得分为0分） A．A质点的起振方向向上 B．该列机械波的波速为0.2m/s C．该列机械波的波长为2m D．t＝11.5s时刻，B质点的速度方向沿y轴正方向 E．若将波源移至x＝3m处，则A、B两质点同时开始振动，且振动情况完全相同 【参考★答案★】ACE 【命题意图】此题考查振动图像、波动传播及其相关知识点。 2.（2018武汉4月调研）一列简谐横波某时刻的波形图如图(a)所示，从该时刻开始计时，质点A的振动图像如图(b)所示。下列说法正确的是（选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得5分，每选错1个扣3分，最低得分为0分）。 A．t=0. 6s时，质点P的位移为2m B．0~0. 6s内，质点P运动的路程为6m C．t=0. 6s时，波传播的距离为6m D．若t=0时，振动刚刚传到A点，则t=1.6s时，x=50m的质点第二次位于波峰 E．若t=0时，振动刚刚传到A点，则t=2.4s时，x=50m的质点第二次位于波峰 【参考★答案★】（1）（5分）ABE 【命题意图】本题考查振动图像、波动图像和波动传播及其相关的知识点。 3.(2017·江西南昌二模)一条弹性绳子呈水平状态,M为绳子中点,两端点P、Q同时开始上下振动,一小段时间后产生的波形如图所示。对于其后绳上各点的振动情况,以下判断正确的是。 A.两列波将同时到达中点M B.两列波波速之比为1∶2 C.中点M的振动总是加强的 D.M点的位移大小在某时刻可能为零 E.绳的两端点P、Q开始振动的方向相同 【参考★答案★】 ADE 拓展课振动图像与波的图像 核心要点振动图像与波的图像的区别与联系 [要点归纳] 从物理意义上区别：振动图像描述的是同一振动质点在不同时刻的位移情况；波的图像描述的是同一时刻介质中各个质点的位移情况。 从图像画法上区别：振动图像的横轴t表示一个振动质点振动的时间，纵轴y表示这个质点在不同时刻的位移；波的图像的横轴x表示介质中各振动质点的平衡位置，纵轴y表示各振动质点在某个时刻的位移。 从图像变化上区别：振动图像是随着时间的延长而延伸的，而原有的形状不变，如图所示。波的图像则随着时间的改变，图像沿传播方向平移，如图所示。 从图像给出的信息上的区别：振动图像能直观地给出振幅A、周期T，以及各个时刻该质点的位移y；波的图像能直观地给出质点的振幅A、波长λ，以及该时刻各质点的位移y。 联系：由振动图像可读出质点的振动周期T，而质点振动的周期与波源的振动周 期及波的传播周期是相同的；由波的图像可读出波长λ，据v＝λ T可求波速。 由振动图像可画波的图像，由波的图像也可画出质点的振动图像。 [试题案例] [例1](2019·4月浙江选考，16)[加试题](多选)图甲为一列简谐横波在t＝0时刻的波形图，P、Q为介质中的两个质点，图乙为质点P的振动图像，则() A.t＝0.2 s时，质点Q沿y轴负方向运动 B.0～0.3 s内，质点Q运动的路程为0.3 m C.t＝0.5 s时，质点Q的加速度小于质点P的加速度 D.t＝0.7 s时，质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离 解析根据题图甲、乙可知，此列波沿x轴负向传播，周期T＝0.4 s，经过半个 周期，质点Q沿y轴正方向运动，A错误；根据简谐运动特点，经3 4T时间质点Q 运动的路程大于0.3 m，故B错误；t＝0.5 s时，质点P运动至y轴正方向最大位移处，又回复力F＝－kx和a＝F ，故质点Q的加速度小于质点P的加速度，C m 正确；t＝0.7 s时，质点P运动至y轴负方向最大位移处，故质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离，D正确。 答案CD 方法凝炼 解决这类问题关键是看清是哪一时刻的波形图，然后再看振动图像中这一时刻质点正在向哪一个方向振动，再由振动方向与波的传播方向的关系来确定是哪一质点的振动图线。反之亦可根据振动图像，画出波形图。 [针对训练1]如图甲所示，为一列沿x轴正方向传播的波在t＝0.1 s时刻的图像，图乙为参与波动的某一质点的振动图像。 (1)两图中AA′，各表示什么物理量？其值各是多少？ (2)设波速为0.04 m/s，画出再经过0.25 s后的波形图和振动图像。 解析(1)图甲中AA′表示沿波的传播方向，距波源1 cm处的质点在t＝0.1 s离开平衡位置的位移值为－0.2 m。图乙中AA′表示振动质点在t＝0.25 s时位移值为－0.2 m。 (2)在Δt＝0.25 s时间内波沿波的传播方向平移的距离Δx＝vΔt＝0.04×0.25 m＝《振动图像与波动图像的比较》教案
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