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高考数学(理)二轮专题练习:概率与统计(含答案)

概率与统计

高考数学(理)二轮专题练习:概率与统计(含答案)

1.随机抽样方法

简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等,且是不放回抽样.

[问题1] 某社区现有480个住户,其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户,其他为高收入家庭.在建设幸福社区的某次分层抽样调查中,高收入家庭被抽取了6户,则该社区本次抽取的总户数为________. 答案 24

解析 由抽样比例可知6x =480-200-160

480

,则x =24.

2.对于统计图表问题,求解时,最重要的就是认真观察图表,从中提取有用信息和数据.对于频率分布直方图,应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率.茎叶图没有原始数据信息的损失,但数据很大或有多组数据时,茎叶图就不那么直观、清晰了. [问题2] 从某校高三年级随机抽取一个班,对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计,其结果的频率分布直方图如图所示.若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上,则该班学生中能报A 专业的人数为________.

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答案 20

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3.众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标.

中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.

中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标. 平均数:样本数据的算术平均数,即x =1

n

(x 1+x 2+…+x n ).

平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小距形底边中点的横坐标之和. 标准差的平方就是方差,方差的计算

(1)基本公式s 2=1

n

[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2].

(2)简化计算公式①s 2=1n [(x 21+x 22+…+x 2n )-n x 2],或写成s 2=1n (x 21+x 22+…+x 2n )-x 2

,即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方.

[问题3] 已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13,0.15,0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14,则该样本的众数、中位数分别是________. 答案 0.15、0.145 4.变量间的相关关系

假设我们有如下一组数据:(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ).回归方程y ^

=b ^

x +a ^

其中??

???

b ^

=∑i =1

n

(x i

-x )(y i

-y )∑i =1

n (x i

-x )2

=∑i =1

n

x i y i

-n x y

∑i =1

n x 2i

-n x

2

,a ^=y -b ^

x .

[问题4] 回归直线方程y ^=b ^x +a ^

必经过点________. 答案 (x ,y )

5.独立性检验的基本方法

一般地,假设有两个分类变量X 和Y ,它们的取值分别为{x 1,x 2}和{y 1,y 2},其样本频数列联表如表:

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根据观测数据计算由公式k =n (ad -bc )(a +b )(a +c )(b +d )(c +d )

所给出的检验随机变量K 2的观测值k ,

并且k 的值越大,说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大,可以利用数据来确定“X 与Y 有关系”的可信程度.

[问题5] 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对该班50名学生进行了问卷调查,得到了如下的2×2列联表:

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则至少有________附:K 2

=n (ad -bc )2

(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )

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答案 6.互斥事件有一个发生的概率P (A +B )=P (A )+P (B ) (1)公式适合范围:事件A 与B 互斥. (2)P (A )=1-P (A ).

[问题6] 抛掷一枚骰子,观察掷出的点数,设事件A 为出现奇数点,事件B 为出现2点,已知P (A )=12,P (B )=1

6,则出现奇数点或2点的概率之和为________.

答案 2

3

7.古典概型

P (A )=m

n (其中,n 为一次试验中可能出现的结果总数,m 为事件A 在试验中包含的基本事件个

数)

[问题7] 若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率为________. 答案

112

8.几何概型

一般地,在几何区域D 内随机地取一点,记事件“该点在其内部一个区域d 内”为事件A ,则事件A 发生的概率为P (A )=d 的度量

D 的度量.此处D 的度量不为0,其中“度量”的意义依D 确定,

当D 分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的度量分别为长度、面积和体积等. 即P (A )=构成事件A 的区域长度(面积和体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积和体积)

[问题8] 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,点O 为底面ABCD 的中心,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ,则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12 B .1-π

12

C.π6 D .1-π

6

答案 B

解析 记“点P 到点O 的距离大于1”为A , P (A )=23-12×4

3π×13

23

=1-π

12

. 9.解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合.

解排列、组合问题的规律是:相邻问题捆绑法;不相邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配分步法;综合问题先选后排法;至多至少问题间接法. (1)排列数公式

A m n =n (n -1)(n -2)…[n -(m -1)]=n !

(n -m )!,其中m ,n ∈N *,m ≤n .当m =n 时,A n n =n ·(n -1)·……·2·1=n !,规定0!=1. (2)组合数公式

C m

n =A m n A m m =n (n -1)(n -2)…[n -(m -1)]m !

n !

m !(n -m )!

.

(3)组合数性质

C m n =C n

-m

n

,C m n +C m -

1n =C m n +1,规定C 0n =1,其中m ,n ∈N *

,m ≤n .

[问题9] (1)将5封信投入3个邮筒,不同的投法共有________种.

(2)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有________种. 答案 (1)35 (2)70 10.二项式定理

(1)定理:(a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -

1b +…+C r n a n -

r b r +…+C n -

1n ab n -

1+C n n b n (n ∈N *

).

通项(展开式的第r +1项):T r +1=C rna n -

r b r ,其中C r n (r =0,1,…,n )叫做二项式系数.

(2)二项式系数的性质

①在二项式展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即

C 0n =C n n ,C 1n =C n -

1n ,C 2n =C n -

2n ,…,C r n =C n -

r n .

②二项式系数的和等于2n (组合数公式),即

C 0n +C 1n +C 2n +…+C n n =2n .

③二项式展开式中,偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和,即C 1n +C 3n +C 5n +…=C 0n +C 2n +C 4n +…=2

n -

1. 特别提醒:二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念,在求法上也有很大的差别,往往因为概念不清导致出错.

[问题10] 设?

??

?x -

2x 6

的展开式中x 3的系数为A ,二项式系数为B ,则A ∶B =________. 答案 4∶1 解析

T r +1=C r 6x

6-r

(-1)r ???

?2x r =C r 6(-1)r 2r

3

62

r x

-,6-32

r =3,r =2,系数A =60,二项式系数B =C 2

6=15,所以A ∶B =4∶1.

4∶1.

11.要注意概率P (A |B )与P (AB )的区别:

(1)在P (A |B )中,事件A ,B 发生有时间上的差异,B 先A 后;在P (AB )中,事件A ,B 同时发生.

(2)样本空间不同,在P (A |B )中,事件B 成为样本空间;在P (AB )中,样本空间仍为Ω,因而有P (A |B )≥P (AB ).

[问题11] 设A 、B 为两个事件,若事件A 和B 同时发生的概率为3

10,在事件A 发生的条件下,

事件B 发生的概率为1

2,则事件A 发生的概率为________.

答案 35

12.求分布列,要检验概率的和是否为1,如果不是,要重新检查修正.还要注意识别独立重复试验和二项分布,然后用公式.

如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率

为P n (k )=C k n p k ·

(1-p )n -

k . [问题12] 若随机变量ξ的分布列如下表,则E (ξ)的值为________.

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答案

20

9

解析 根据概率之和为1,求出x =1

18,

则E (ξ)=0×2x +1×3x +…+5x =40x =20

9

.

13.一般地,如果对于任意实数a

a φμ,σ(x )d x ,则称X 的分

布为正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N (μ,σ2).如果随机变量X 服从正态分布,则记为X ~N (μ,σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是:

①P (μ-σ

[问题13] 已知随机变量ξ服从正态分布N (2,σ2),且P (ξ<4)=0.8,则P (0<ξ<2)等于( )

A .0.6

B .0.4

C .0.3

D .0.2 答案 C

解析 ∵P (ξ<4)=0.8,∴P (ξ>4)=0.2,

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由题意知图象的对称轴为直线x =2, P (ξ<0)=P (ξ>4)=0.2,

∴P (0<ξ<4)=1-P (ξ<0)-P (ξ>4)=0.6. ∴P (0<ξ<2)=1

2

P (0<ξ<4)=0.3.

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易错点1 统计图表识图不准致误

例1 如图所示是某公司(共有员工300人)2012年员工年薪情况的频率分布直方图,由此可知,员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的大约有________人.

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错解 由频率分布直方图,员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为1-(0.02+0.08+0.10+0.10+0.08)=0.62.

∴估计年薪在1.4万元~1.6万元之间约有300×0.62=186(人).

找准失分点 本题主要混淆频率分布直方图与条形图纵轴的意义,频率分布直方图中,纵轴(矩形高)表示“

频率

组距

”,每个小矩形的面积才表示落在该区间上的频率,由于概念不清,识图不准导致计算错误.

正解 由所给图形可知,员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为1-(0.02+0.08+0.08+0.10+0.10)×2=0.24.

所以员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有300×0.24=72(人). 答案 72

易错点2 在几何概型中“测度”确定不准致误

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例2 如图所示,在等腰Rt △ABC 中,过直角顶点C 在∠ACB 内部任意作一条射线CM ,与线段AB 交于点M ,求AM

错解 记AM

在AB 上取一点D ,使AD =AC =a ,那么对线段AD 上的任意一点M 都有AM

AD AB =a 2a =2

2

. 找准失分点 据题意,过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ,射线CM 在∠ACB 内部均匀分布,但是点M 在AB 上的分布不是均匀的.

正解 在AB 上取一点D ,使AD =AC ,因为AD =AC =a ,∠A =π

4,

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所以∠ACD =∠ADC =3π

8,

则P (E )=∠ACD ∠ACB =3π

8π2

=3

4

.

易错点3 分不清是排列还是组合致误

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例3 如图所示,A ,B ,C ,D 是海上的四个小岛,要建三座桥,将这四个岛连接起来,不同的建桥方案共有多少种?

错解 对于有一个中心的结构形式有A 44,对于四个岛依次相连的形式有A 4

4,

∴共有2A 44=48(种).

找准失分点 没有分清是排列还是组合. 正解 由题意可能有两种结构,如图:

第一种:,第二种:

对于第一种结构,连接方式只需考虑中心位置的情况,共有C 14种方法.

对于第二种结构,有C 24A 22种方法. ∴总共有C 14+C 24A 22=16(种).

易错点4 均匀分组与非均匀分组混淆致误

例4 4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒中,则恰有1个空盒的放法共有________种.(用数字作答) 错解 288

错误!未找到引用源。找准失分点错误!未找到引用源。 没有考虑均匀分组:C 24C 12C 11·

A 34=288.

正解 把4个球分成3组,每组至少1个,即分的小球个数分别为2,1,1的3组,有C 24C 12C 1

1

A 22

种.最

后将三组球放入4个盒中的3个,有分配方法数A 34种,因此,放法共有C 24C 12C 1

1A 22

×A 3

4=144(

). 答案 144

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1.在某次测量中得到的A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据,则A ,B 两样本的下列数字特征对应相同的是( ) A .众数 B .平均数 C .中位数 D .标准差

答案 D

解析 对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差,众数、中位数、平均数都发生改变.

2.(2014·湖北)根据如下样本数据

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得到的线性回归方程为y =b x +a ,则( )

A.a ^

>0,b ^

>0 B.a ^

>0,b ^

<0

C.a ^

<0,b ^

>0 D.a ^

<0,b ^

<0 答案 B

解析 作出散点图如下:

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观察图象可知,回归直线y ^

=b ^

x +a ^

的斜率b ^

<0,

当x =0时,y ^

=a ^

>0.故a ^

>0,b ^

<0.

3.(2014·湖北)由不等式组?????

x ≤0,y ≥0,y -x -2≤0

确定的平面区域记为Ω1,不等式组?????

x +y ≤1,x +y ≥-2确定

的平面区域为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为( ) A.1

8 B.14 C.34

D.78

答案 D

解析 如图,平面区域Ω1就是三角形区域OAB ,平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ,

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易知C (-12,3

2),故由几何概型的概率公式,

得所求概率

P =S 四边形OACD

S △OAB

=2-

142=78.

4.(2014·湖南)(1

2x -2y )5的展开式中x 2y 3的系数是( )

A .-20

B .-5

C .5

D .20 答案 A

解析 (12x -2y )5展开式的通项公式为T r +1=C r 5(12x )5-r ·(-2y )r =C r 5·(12)5-r ·(-2)r ·x 5-

r ·y r . 当r =3时,C 35(12

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)2·(-2)3=-20. 5.如图,矩形ABCD 中,点E 为边CD 上任意一点,若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ,则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) A.14 B.1

3 C.12 D.23

答案 C

解析 这是一道几何概型的概率问题,点Q 取自△ABE 内部的概率为S △ABE S 矩形ABCD =12·|AB |·|AD ||AB |·|AD |=1

2.

故选C.

6.(2014·福建)如图,在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为________.

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答案

2e 2

解析 由题意知,所给图中两阴影部分面积相等,故阴影部分面积为S =2??0

1(e -e x )d x =2(e x

-e x )|10=2[e -e -(0-1)]=2. 又该正方形面积为e 2,

故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e

2.

7.(2014·江西)10件产品中有7件正品,3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是________. 答案 12

解析 从10件产品中取4件,共有C 410种取法,取到1件次品的取法为C 13C 3

7种,由古典概型概率计算公式得P =C 13C 3

7

C 410=3×35210=12

.

8.如图所示,图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图,其中四边形ABCD 是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是1

4

,则此长方体的体积是________.

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答案 3

解析 设长方体的高为h ,由几何概型的概率计算公式可知,质点落在长方体的平面展开图内的概率P =2+4h (2h +2)(2h +1)=14,解得h =3或h =-1

2(舍去),故长方体的体积为1×1×3=3.

9.已知某人投篮的命中率为3

4,则此人投篮4次,至少命中3次的概率是________.

答案

189256

解析 该人投篮4次,命中3次的概率为 P 1=C 34

????343????1-34=2764

该人投篮4次,命中4次的概率为P 2=C 44????344=81256

, 故至少命中3次的概率是P =2764+81256=189

256

.

10.某路段检查站监控录像显示,在某时段内,有1 000辆汽车通过该站,现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析,分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图,则估计在这一时段内通过该站的汽车中车速不小于90 km/h 的约有________辆.(注:分析时车速均取整数)

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答案 300

解析 由图可知,车速大于等于90 km/h 的车辆未标出频率,而小于90 km/h 的都标出了,故考虑对立事件.由题图知车速小于90 km/h 的汽车总数的频率之和为(0.01+0.02+0.04)×10=0.7,所以车速不小于90 km/h 的汽车总数的频率之和为1-0.7=0.3.因此在这一时段内通过该站的车速不小于90 km/h 的汽车有1 000×0.3=300(辆).